ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 2: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών Συντονισμός έκδοσης: Χρίστος Παρπούνας, Συντονιστής Υπηρεσίας Ανάπτυξης Προγραμμάτων Έκδοση 2011 ISBN 978-9963-0-4582-2 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΚΥΠΡΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ
Τετραγωνική και κυβική ρίζα πραγματικού αριθμού Διερεύνηση Η οικογένεια Αντωνίου έχει έναν κήπο στο πίσω μέρος του σπιτιού και θέλει να τον επεκτείνει. Ο κήπος που έχει σήμερα η οικογένεια είναι σχήματος ορθογωνίου με μήκος 12 και πλάτος 8. Θέλει ο νέος κήπος που θα κατασκευάσει να έχει εμβαδόν 225 και να έχει σχήμα τετράγωνο ή ορθογώνιο με πλευρές ακέραιους αριθμούς μικρότερους από το μήκος του σπιτιού. Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του νέου κήπου και τι σχήμα θα έχει; Τι πρέπει να ξέρετε Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό. Η τετραγωνική ρίζα του συμβολίζεται με. Επειδή,, ορίζουμε ως. π.χ. γιατί γιατί ( ) γιατί ( ) γιατί H ρίζα αρνητικού αριθμού δεν ορίζεται, γιατί δεν υπάρχει αριθμός που το τετράγωνό του να είναι αρνητικός. Π.χ. η δεν έχει νόημα, γιατί κανένας αριθμός, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει αποτέλεσμα. και ( ) Γενικά έχουμε. 1 Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα
Από τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας έχουμε:. Προσοχή! ( ), αλλά ( ) Κυβική ή τρίτη ρίζα ενός πραγματικού αριθμού, λέγεται ο πραγματικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στην τρίτη δύναμη, δίνει τον αριθμό. Η κυβική ρίζα του συμβολίζεται με. Από τον ορισμό της κυβικής ρίζας έχουμε:. ( ) Επειδή,, ορίζουμε ως. π.χ. γιατί γιατί ( ) γιατί ( ) γιατί ( ) γιατί Προσοχή! Η τρίτη ρίζα ορίζεται και στους αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς, ενώ η τετραγωνική ρίζα δεν ορίζεται στους αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς. Δραστηριότητες Να υπολογίσετε τους αριθμούς:,,,,. Λύση: γιατί γιατί γιατί γιατί γιατί ( ) Να υπολογίσετε τους αριθμούς:,,,. Λύση: γιατί γιατί γιατί 2 Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα
γιατί γιατί ( ) Να εξετάσετε την ορθότητα σε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (α) (γ) (β) (δ) (ε) (στ) (ζ) Λύση: (α) Λάθος, γιατί. (β) Σωστό, γιατί και (γ) Λάθος, γιατί η ισότητα δεν ισχύει για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό (O αριθμός μπορεί να είναι αρνητικός). (δ) Λάθος, γιατί ( ). (ε) Σωστό, γιατί ( ) (στ) Λάθος, γιατί. (ζ) Λάθος, γιατί. 1. Να συμπληρώσετε τον πίνακα: 2. Να συμπληρώσετε τον πίνακα: 9 3 Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα
3. Να υπολογίσετε τους αριθμούς:,,, 4. Να υπολογίσετε τους αριθμούς: ( ),,, ( ) 5. Να υπολογίσετε τους αριθμούς: (α) (β) (γ) (δ) (ε) (στ) 6. Να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα: Τι συμπεραίνετε; 7. Να δείξετε ότι:. 8. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: (α) (β) (γ) ( ) (δ) (ε) (στ) ( ) ( ) (ζ) (η) 9. Αν και, να υπολογίσετε τις παραστάσεις:, 4 Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΡΙΖΩΝ Διερεύνηση Να συμπληρώσετε τον πίνακα. i. Να παρατηρήσετε τα αποτελέσματα των στηλών και. Να γράψετε τη σχέση που υπάρχει με λόγια και συμβολικά. ii. Να παρατηρήσετε τα αποτελέσματα των στηλών και Να γράψετε τη σχέση που υπάρχει με λόγια και συμβολικά.. Να εξετάσετε κατά πόσο ισχύει η σχέση για κάθε θετική τιμή των αριθμών και. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι πιο κάτω σχέσεις, για κάθε πραγματική τιμή των αριθμών και : i. ii. iii. 5 Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα
Τι πρέπει να ξέρετε Ιδιότητες Ριζών Τετραγωνική ρίζα i., ii., Κυβική ρίζα iii. iv. Για να υπολογίσουμε την ρίζα του γινομένου δυο μη αρνητικών αριθμών, πολλαπλασιάζουμε τις τετραγωνικές ρίζες των δύο αριθμών (ιδιότητα i). Δηλαδή: ( ) π.χ. ( ). ( ). Απόδειξη: Παίρνουμε το κάθε μέλος της ( ) και το υψώνουμε στο τετράγωνο. ( ),. ( ) ( ) ( ),. Άρα έχουμε ότι. Για να υπολογίσουμε την τετραγωνική ρίζα του πηλίκου δυο θετικών αριθμών (ο παρονομαστής δεν μπορεί να είναι ), διαιρούμε τις ρίζες των δυο αριθμών (ιδιότητα ii). Δηλαδή : ( ) π.χ. ( ). ( ) =. 6 Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα
Απόδειξη: Παίρνουμε το κάθε μέλος της ( ) και το υψώνουμε στο τετράγωνο. ( ), ( ) ( ) ( ), Άρα έχουμε ότι. Σημείωση: Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να αποδείξουμε τις ιδιότητες ( ) και ( ). Παράδειγμα: Να υπολογίσετε τις παραστάσεις : i. ii. Δραστηριότητες Λύση: i. ii. Να αντιστοιχίσετε τους αριθμούς της πρώτης στήλης με ένα αριθμό της δεύτερης και ένα της τρίτης στήλης. 1. Α. i. 2. Β. ii. 3. Γ. iii. 4. Δ. iv. Λύση: 1 Γ i, 2 A iii, 3 Δ ii, 4 Β iv 7 Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα
1. Να χαρακτηρίσετε με ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω προτάσεις, βάζοντας σε κύκλο τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό. i. ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ ii. ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ iii. ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ iv. v. ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ 2. Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των ριζών:. 8 Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα
Πυθαγόρειο Θεώρημα Εξερεύνηση Στο διπλανή εικόνα φαίνεται το γραμματόσημο της Ελληνικής Δημοκρατίας που εκδόθηκε στις 20 Αυγούστου του 1955 με την ευκαιρία του συνεδρίου για τον Πυθαγόρα. Σε αυτό απεικονίζεται ένα τρίγωνο και τρία τετράγωνα. Να εξετάσετε τη σχέση μεταξύ των εμβαδών των τριών τετραγώνων. Διερεύνηση Τεχνολογία: Να χρησιμοποιήσετε το εφαρμογίδιο «Pythagorio1», όπως φαίνεται στην πιο κάτω εικόνα. Να μετακινήσετε τα σημεία που φαίνονται με μπλε, κόκκινο και πράσινο, για να αλλάξετε τις διαστάσεις του σχήματος. Πόσα σχήματα παρατηρείτε και ποιες οι διαστάσεις τους. Να υπολογίστε τα εμβαδά:, συναρτήσει των, και. Να βρείτε ίσα εμβαδά. Να βρείτε μια σχέση που συνδέει τα εμβαδά:, συναρτήσει των, και. Να βρείτε την σχέση που συνδέει τα εμβαδά:, συναρτήσει των, και. 9 Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα
Τεχνολογία: Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το λογισμικό Geogebra ή Capri II plus για τις πιο κάτω δραστηριότητες: Να κατασκευάσετε δύο κάθετες ευθείες και που να τέμνονται σε σημείο Α. Να κατασκευάσετε τρίγωνο με το σημείο στην και το σημείο Γ στην. (Όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα) Να αποκρύψετε τις ευθείες και Να βρείτε το μήκος των πλευρών του τριγώνου. Να κατασκευάσετε τρία τετράγωνα, έξω από το τρίγωνο, με πλευρές τις, και αντίστοιχα. Να βρείτε το εμβαδόν των τετραγώνων. Να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πινάκα, για διάφορες τιμές των πλευρών: Να βρείτε μια σχέση που συνδέει τα τρία εμβαδά. Να μετακινήσετε τις κορυφές του τριγώνου, για να διαπιστώσετε κατά πόσο η σχέση που έχετε ανακαλύψει εξακολουθεί να ισχύει. 10 Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα
Τεχνολογία: Να χρησιμοποιήσετε το εφαρμογίδιο «Pythagorio 3» Να μετακινήσετε τα κομμάτια του Puzzle και να εξετάσετε κατά πόσο εφαρμόζουν (με κατάλληλη μετατόπιση) στο Α μεγάλο τετράγωνο με πλευρά. Να μετακινήσετε τα κομμάτια του Puzzle και να εξετάσετε κατά πόσο εφαρμόζουν (με κατάλληλη Β Γ This file was inspired by a file created by H.J. Elschenbroich μετατόπιση) στα δύο μικρά τετράγωνα με πλευρές και. Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα τρία εμβαδά. Να μετακινήσετε τις κορυφές του τριγώνου, για να διαπιστώσετε κατά πόσο η σχέση που έχετε ανακαλύψει εξακολουθεί να ισχύει. Πυθαγόρειο Θεώρημα (Π.Θ.) Τι πρέπει να ξέρετε Σε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών του. π.χ. στο τρίγωνο με υποτείνουσα την και κάθετες πλευρές τις και ισχύει. Επίσης ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή αν σε τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Π.χ. αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Πυθαγόρεια τριάδα είναι μια τριάδα φυσικών αριθμών ( ) που συνδέονται με την σχέση, όπου, και είναι τα μήκη των πλευρών ορθογωνίου τριγώνου. Οι αριθμοί και αποτελούν πυθαγόρεια τριάδα όταν φυσικοί αριθμοί. π.χ. αν, έχουμε ότι:,,. Οι αριθμοί αποτελούν πυθαγόρεια τριάδα. 11 Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα
Δραστηριότητες Παραδείγματα Να εξετάσετε ποιες από τις πιο κάτω τριάδες αριθμών είναι πυθαγόρειες. i. ii. iii. iv. Λύση: i. Οι αριθμοί είναι φυσικοί αριθμοί. Άρα, θα πρέπει να ελέγξουμε κατά πόσο ικανοποιείται το Π.Θ.. Η υποτείνουσα είναι η πιο μεγάλη πλευρά. και. Άρα, ικανοποιείται το Π.Θ. και επομένως οι αριθμοί αποτελούν πυθαγόρεια τριάδα. ii. Οι αριθμοί είναι φυσικοί αριθμοί. Άρα, θα πρέπει να ελέγξουμε κατά πόσο ικανοποιείται το Π.Θ.. Η υποτείνουσα είναι η πιο μεγάλη πλευρά. και. Άρα, ικανοποιείται το Π.Θ. και επομένως οι αριθμοί αποτελούν πυθαγόρεια τριάδα. iii. Εδώ δεν χρειάζεται να ελέγξουμε, αν ικανοποιείται το Π.Θ. αφού οι αριθμοί δεν είναι φυσικοί και επομένως δεν αποτελούν πυθαγόρεια τριάδα. iv. Οι αριθμοί είναι φυσικοί αριθμοί. Άρα θα πρέπει να ελέγξουμε, αν ικανοποιείται Π.Θ.. Η υποτείνουσα είναι η πιο μεγάλη πλευρά. και Άρα δεν ικανοποιείται το Π.Θ. και επομένως οι αριθμοί αποτελούν πυθαγόρεια τριάδα. Να εξετάσετε κατά πόσο το τρίγωνο με πλευρές, και είναι ορθογώνιο. Λύση: Για να είναι ορθογώνιο θα πρέπει να εξεταστεί κατά πόσο ικανοποιείται το Π.Θ. με υποτείνουσα τη μεγαλύτερη πλευρά. δεν Άρα ισχύει.το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και η ορθή γωνία είναι αυτή που βρίσκεται απέναντι από την υποτείνουσα. 12 Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα
Να εξετάσετε κατά πόσο το τρίγωνο με πλευρές, ΒΓ και ΑΓ είναι ορθογώνιο. Λύση: Για να είναι ορθογώνιο, θα πρέπει να εξεταστεί κατά πόσο ικανοποιείται το Π.Θ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Να βρεθεί το μήκος σε καθεμιά από τις πιο κάτω περιπτώσεις. (α) (β) Λύση: α) Πυθαγόρειο θεώρημα: ( ) ( ) ( ) β) Πυθαγόρειο θεώρημα: ( ) ( ) ( ) 1. Να βρείτε το εμβαδόν του σκιασμένου τετραγώνου στα πιο κάτω σχήματα (α) (β) 13 Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα
2. Η Έλενα και ο Χρίστος εξέτασαν κατά πόσο το τρίγωνο με πλευρές 5, 12, 13 είναι ορθογώνιο και έδωσαν τις πιο κάτω απαντήσεις. Ποια απάντηση νομίζετε ότι είναι ορθή; Να εξηγήσετε. 3. Να βρεθεί το μήκος σε καθεμιά από τις πιο κάτω περιπτώσεις. (α) (β) (γ) 4. Να βρείτε το μήκος του σχοινιού που χρησιμοποιεί ο Ανδρέας, για να πετάξει το χαρταετό του. 5. Να παραστήσετε σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων τα σημεία και να εξετάσετε κατά πόσο το τρίγωνο είναι ορθογώνιο σε καθεμιά από τις πιο κάτω περιπτώσεις. (α) ( ) ( ) ( ) (β) ( ) ( ) ( ) 14 Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα
6. Να βρείτε το εμβαδόν και την περίμετρο των πιο κάτω σχημάτων: (α) (β) 7. Ο Κύριος Τάσος τοποθέτησε τη σκάλα του μήκους σε απόσταση από τη βάση του τοίχου, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να βρείτε το ύψος που έχει η κορυφή της σκάλας από το έδαφος. 8. Στη διπλανή φωτογραφία φαίνεται η γέφυρα που ενώνει το Ρίο με το Αντίρριο και η οποία στηρίζεται σε πυλώνες. Από την κορυφή κάθε πυλώνα ξεκινούν καλώδια που καταλήγουν στο κατάστρωμα της γέφυρας. Το ύψος του πυλώνα είναι m και το πιο μεγάλο καλώδιο καταλήγει σε απόσταση m από τη βάση του πυλώνα (σημείο ). Να βρείτε το μήκος του καλωδίου. 9. Ένας οικοδόμος, για να σχηματίσει ορθή γωνία, κόβει τρία ξύλα μήκους, και. Στη συνέχεια με αυτά σχηματίζει ένα τρίγωνο. Να εξηγήσετε γιατί είναι σίγουρος ότι έχει σχηματίσει ορθή γωνία. 15 Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα
10. Να εξετάσετε κατά πόσο το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο σε καθεμιά από τις πιο κάτω περιπτώσεις. Αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, να εντοπίσετε την ορθή γωνία. (α). (β). (γ). 11. Να αποδείξετε ότι ο περίφημος πύργος της Πίζας που έχει ύψος 55m, δεν είναι τοποθετημένος σε όρθια θέση. 12. Να βρείτε τρεις διαφορετικές πυθαγόρειες τριάδες χρησιμοποιώντας τους τύπους και όταν. 16 Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα
Άρρητοι Αριθμοί Διερεύνηση Τεχνολογία: Να χρησιμοποιήσετε το εφαρμογίδιο «ArritoiDiereynhsh.ggb» και να απαντήσετε στα πιο κάτω ερωτήματα. Ποιο είναι το είδος του τριγώνου, ως προς τις γωνίες και τις πλευρές του; Να υπολογίσετε το μήκος της υποτείνουσας του τριγώνου. Να μετακινήσετε προς τα δεξιά το δρομέα «ΒΗΜΑΤΑ», έτσι ώστε να μεταφέρετε την υποτείνουσα του τριγώνου στην ευθεία των πραγματικών αριθμών. Mε τη βοήθεια του εργαλείου «Μεγέθυνση», να βρείτε την τετμημένη του σημείου (μήκος του ). Ποια είναι η σχέση του με την τετμημένη του σημείου. Να εξετάσετε κατά πόσο τα μήκη των πλευρών του τριγώνου επαληθεύουν το πυθαγόρειο θεώρημα. (Η επαλήθευση να γίνει με τη χρήση υπολογιστικής μηχανής). Δίνεται ο διπλανός πίνακας με την τιμή του αριθμού στην πρώτη στήλη και την αντίστοιχη τιμή του στη δεύτερη στήλη. Να συμπληρώσετε την πρώτη στήλη του πίνακα. Αν δεν μπορείτε να βρείτε ακριβώς την απάντηση, να βρείτε μια προσέγγιση της απάντησής σας, με ακρίβεια ενός δεκαδικού ψηφίου. Να εξηγήσετε πώς υπολογίσατε την ακριβή απάντηση στις τέσσερις πρώτες τιμές του. Να εξηγήσετε πώς υπολογίσατε την προσέγγιση στην απάντησή σας στις τέσσερις τελευταίες τιμές του. x x 2 25 49 196 225 8 12 65 110 17 Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα
Τι πρέπει να ξέρετε Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός. 1. Ένας άρρητος αριθμός είναι ένας αριθμός ο οποίος δεν μπορεί να γραφεί ως λόγος, όπου και είναι ακέραιοι και ο. π.χ., 2. Για να προσεγγίσουμε τον αριθμό, παρατηρούμε διαδοχικά ότι:.. Σχόλιο: Η τετραγωνική ρίζα κάθε θετικού πραγματικού αριθμού υπολογίζεται με τη χρήση υπολογιστικής μηχανής, χρησιμοποιώντας το πλήκτρο. Π.χ. Για τον υπολογισμό της πατούμε διαδοχικά τα πλήκτρα:. Στην οθόνη θα εμφανιστεί η απάντηση (εδώ με ακρίβεια 12 δεκαδικών ψηφίων). Όμοια η κυβική ρίζα κάθε πραγματικού αριθμού υπολογίζεται με τη χρήση υπολογιστικής μηχανής, χρησιμοποιώντας το πλήκτρο. Π.χ. Για τον υπολογισμό της πατούμε διαδοχικά τα πλήκτρα:. Στην οθόνη θα εμφανιστεί η απάντηση (εδώ με ακρίβεια 12 δεκαδικών ψηφίων). 18 Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα
Το σύνολο των ρητών αριθμών και το σύνολο των άρρητων αριθμών μαζί, σχηματίζουν το σύνολο των πραγματικών αριθμών που συμβολίζεται με. ( ) Ρητο αριθμο (Q) Ακέραιοι αριθμο (Z) Αρρητο αριθμο ( Q) Φυσικο αριθμο ( ) Δραστηριότητες Παραδείγματα Να υπολογίσετε την με ακρίβεια ακέραιας μονάδας. Λύση: Ο μεγαλύτερος τετράγωνος αριθμός μικρότερος από το 23,5 είναι το 16. ( ). Ο μικρότερος τετράγωνος αριθμός μεγαλύτερος από το 23,5 είναι το 25. ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) Άρα, η τετραγωνική ρίζα είναι ανάμεσα στο 4 και στο 5. Επειδή ο 23,5 είναι πιο κοντά στο 25 παρά στο 26, η προσέγγιση σε ακέραια μονάδα είναι το 5. 19 Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα
Ο Παρθενώνας είναι ένα παράδειγμα του χρυσού ορθογωνίου. Το μήκος της μεγαλύτερης πλευράς του διαιρούμενο με το μήκος της μικρότερης πλευράς του είναι ίσο με. Να υπολογίσετε την τιμή αυτή. Λύση: Αρχικά θα υπολογίσουμε την. ( έ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) έ 20 Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα
Να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι άρρητος αριθμός. Απόδειξη Θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο απόδειξης που είναι γνωστή ως μέθοδος της «εις άτοπον απαγωγή». (Αρχικά υποθέτουμε την άρνηση της αρχικής υπόθεσης και με λογικές συνεπαγωγές οδηγούμαστε σε ένα άτοπο αποτέλεσμα). Θεωρούμε ότι ο αριθμός είναι ρητός, δηλαδή μπορεί να γραφεί στη μορφή ρητού αριθμού Z και ( ). Επομένως. Υψώνοντας στο τετράγωνο και τα δύο μέλη έχουμε ότι: ( ), δηλαδή έχουμε ότι ( ) Επειδή οι είναι πρώτοι μεταξύ τους συμπεράνουμε ότι το, που μας δίνει, όπου Z. Αντικαθιστώντας στην ( ) έχουμε ότι ( ) ( ). Από την ( ) έχουμε ότι. Αποδείξαμε δηλαδή, ότι και το οποίο είναι άτοπο επειδή ο μέγιστος κοινός διαιρέτης του είναι το 1. Από αυτό συμπεραίνουμε ότι η αρχική υπόθεση είναι λάθος, δηλαδή ο αριθμός δεν είναι ρητό. Άρα, είναι άρρητος. 1. Να υπολογίσετε στην πλησιέστερη ακέραια μονάδα τους αριθμούς: i. ii. iii. iv. v. vi. 2. Η ακτίνα ενός κυκλικού ταψιού πίτσας με εμβαδόν Ε είναι ίση περίπου με. Αν μια πίτσα έχει εμβαδόν 333 τετραγωνικά εκατοστά, να υπολογίσετε κατά προσέγγιση ακεραίας μονάδας την ακτίνα της. 3. Να τοποθετήσετε σε αύξουσα ακολουθία τους αριθμούς: i. 7, 9,, ii., 7, 5, iii., 6,, 8 4. Να βάλετε σε αύξουσα σειρά τους αριθμούς,4,,,,,. 21 Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα
5. Να βρείτε δύο άρρητους αριθμούς οι οποίοι έχουν τετραγωνικές ρίζες ανάμεσα στο και το. Ο ένας αριθμός έχει τετραγωνική ρίζα πιο κοντά στο, ενώ ο άλλος έχει τετραγωνική ρίζα πιο κοντά στο. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 6. Να τοποθετήσετε στην ευθεία των πραγματικών αριθμών τους πιο κάτω αριθμούς: 7. Να αντικαταστήσετε το με ένα από τα σύμβολα για να δημιουργηθούν αληθείς προτάσεις. i. ii. iii. iv. v. 8. Να υπολογίσετε τους πιο κάτω αριθμούς με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων, χρησιμοποιώντας υπολογιστική μηχανή. i. ii. iv. v. iii. 9. Να ονομάσετε όλα τα σύνολα των αριθμών ( Z Q Q) στα οποία ανήκει ο καθένας από τους πιο κάτω αριθμούς: i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii. 10. Να εξετάσετε κατά πόσο η πρόταση Όλες οι τετραγωνικές ρίζες είναι άρρητοι αριθμοί είναι αληθής και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 11. Ποιος από τους αριθμούς αντιπροσωπεύει το σημείο που είναι σημειωμένο στην ευθεία των πραγματικών αριθμών; 22 Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα
12. Να διορθώσετε το λάθος που έγινε στον υπολογισμό της τετραγωνικής ρίζας στις πιο κάτω περιπτώσεις. Να περιγράψετε τον τρόπο που εργαστήκατε. i. ii. 13. Η διπλανή τηλεόραση (LCD) έχει μήκος 2 ίντσες* και πλάτος 12 ίντσες*. Να βρείτε τη διαγώνιο. Χρήσιμη πληροφορία: Όταν μια τηλεόραση χαρακτηρίζεται π.χ. 40 ιντσών εννοείται ότι ο αριθμός αυτός δηλώνει το μήκος της διαγωνίου της και όχι το μήκος της πλευράς της! (*η ίντσα είναι μία άλλη μονάδα μέτρησης και μία ίντσα αντιστοιχεί με 2,51 cm) 14. Να βρείτε το ύψος του δένδρου. 15. Πόση είναι η απόσταση του αεροπλάνου από το πλοίο; 23 Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα
16. Την καλοκαιρινή περίοδο το μικρό νησάκι Ν που φαίνεται στην εικόνα συνδέεται ατμοπλοϊκά με τα λιμάνια, και. Να βρείτε την απόσταση του νησιού από το κάθε λιμάνι. 17. Στον άξονα των πραγματικών αριθμών έχουμε τοποθετήσει τα σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε και Ζ. Στις πιο κάτω περιπτώσεις να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση. i. Ο αριθμός βρίσκεται κοντά στο σημείο: (α) Α (β) Ε (γ) Γ (δ) Δ ii. Ο αριθμός βρίσκεται κοντά στο σημείο: (α) Γ (β) Δ (γ) Ε (δ) Ζ iii. Ο αριθμός βρίσκεται κοντά στο σημείο: (α) Γ (β) Β (γ) Δ (δ) Α iv. Ο αριθμός βρίσκεται κοντά στο σημείο: Γ, Δ, Β, Α (α) Γ (β) Δ (γ) Β (δ) Α 24 Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα
Δραστηριότητες ενότητας 1. Να υπολογίσετε τις ρίζες: i. ii. iii. iv. ( ) v. vi. vii. viii. 2. Στις πιο κάτω προτάσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση, αν χ είναι θετικός αριθμός. Α Β Γ Δ Ε (α) Αν, τότε αδύνατη σχέση (β) Αν, τότε αδύνατη σχέση (γ) Αν, τότε αδύνατη σχέση (δ) Αν, τότε αδύνατη σχέση 3. Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή των παραστάσεων: (α) ( ) ( ) (β) ( ) ( ) ( ) (γ) 4. Να δείξετε ότι: (α) (β) (γ) (δ) 25 Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα
5. Να βρείτε το στο διπλανό σχήμα: 6. Να ενώσετε τέσσερις κουκκίδες, για να σχηματίσετε ένα τετράγωνο με εμβαδόν: ( ) ( ). Να κατασκευάσετε τετράγωνο με διαγώνιο. 7. Να βρείτε με ρητές προσεγγίσεις την τετραγωνική ρίζα του αριθμού 23 μέχρι και 2 δεκαδικά ψηφία. 8. Να συγκρίνετε τους πιο κάτω αριθμούς, χρησιμοποιώντας τα σύμβολα. 9. Να τοποθετήσετε σε σειρά τους πιο κάτω αριθμούς, από το μικρότερο στο μεγαλύτερο. 26 Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα
10. Να βρείτε τη τιμή του σε καθεμιά από τις πιο κάτω περιπτώσεις: (α) (β) (γ) 11. Να βρείτε τις τιμές των και σε καθεμιά από τις πιο κάτω περιπτώσεις: (α) (β) (γ) (δ) 12. Να υπολογίσετε το μήκος της διαμέσου ισόπλευρου τριγώνου που έχει πλευρά 12cm. 13. Με τη βοήθεια του διπλανού σχήματος να βρείτε την απόσταση που έχουν μεταξύ τους οι δύο βάρκες που βρίσκονται στις θέσεις και. 14. Να βρείτε πόσο μεγαλύτερη είναι η περίμετρος ενός τετραγώνου με εμβαδόν από ένα τετράγωνο με εμβαδόν. 27 Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα
Δραστηριότητες Εμπλουτισμού 1. Να αποδείξετε τις πιο κάτω ιδιότητες που αφορούν την κυβική ρίζα: i. ii. 2. Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου χρησιμοποιούμε τον τύπο, όπου είναι το μήκος της πλευράς του τριγώνου. Να υπολογίσετε την πλευρά ισόπλευρου τριγώνου, αν το εμβαδόν του είναι ίσο με. 3. Να κατασκευάσετε γεωμετρικά τις τετραγωνικές ρίζες των αριθμών. 4. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα χάρτινο κιβώτιο με μήκος, πλάτος και ύψος. Να υπολογίσετε τη διαγώνιο. 5. Οι μηχανικοί θέλουν να υπολογίσουν το μήκος μίας υπόγειας σήραγγας που περνά μέσα από ένα βουνό, όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα (υψομετρικό σχέδιο). Έχουν μετρήσει από ένα σημείο την απόσταση της εισόδου ( ) και την απόσταση της εξόδου ( ) Αν, να υπολογίσετε με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων το μήκος της σήραγγας ( ) 28 Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα
6. Το ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές, και, χρησιμοποιείται, για να κατασκευαστούν τα σχήματα και. Να επεξηγήσετε γιατί τα σχήματα και αποτελούν οπτικές αναπαραστάσεις της απόδειξης του πυθαγόρειου θεωρήματος. M β γ N α Σχήμα 1 Σχήμα 2 7. Να υπολογίσετε τις τετραγωνικές ρίζες των αριθμών: 6,, και. Τι παρατηρείτε; Να περιγράψετε έναν τρόπο, χρησιμοποιώντας ένα μοτίβο, για να βρείτε την τετραγωνική ριζά του. 8. Ομαδική εργασία: Ξετυλίγοντας την Σπείρα των Ριζών μπορούμε να κατασκευάσουμε τη γραφική παράσταση μιας απλής εξίσωσης στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων. Διαδικασία: i. Να κόψετε προσεκτικά κάθε τρίγωνο από τη Σπείρα των Ριζών που δίνεται πιο κάτω. 29 Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα
i. Να τοποθετήσετε σε σειρά τα τρίγωνα, σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, έτσι ώστε η πλευρά με μήκος να είναι πάνω στον άξονα των και η υποτείνουσα στα αριστερά, όπως φαίνεται στο σχήμα που δίνεται πιο κάτω. ii. Να σημειώσετε στο σύστημα των συντεταγμένων ένα σημείο στην πάνω κορυφή κάθε τριγώνου και να ενώσετε τα σημεία αυτά με μια ομαλή καμπύλη. iii. Να σημειώσετε ένα σημείο Α πάνω στην καμπύλη που έχει τετμημένη. iv. Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου Α. v. Ποια είναι η σχέση που συνδέει τις συντεταγμένες του σημείου Α; 9. Εργασία Έρευνας : Σύνδεση του συνεχούς κλάσματος, της σειράς Fibonaci και του χρυσού ορθογώνιου. Συνεχές Κλάσμα Η ακολουθία Fibonacci Το Χρυσό Ορθογώνιο Ο λόγος των πλευρών του «χρυσού ορθογωνίου» είναι: Βήμα 1 Οι τρεις τελείες στο συνεχές κλάσμα δείχνουν ότι το μοτίβο συνεχίζεται απεριόριστα. Για να καταλάβουμε καλύτερα ποιον αριθμό προσεγγίζει το συνεχές κλάσμα, μπορούμε να ξεκινήσουμε με τους πρώτους όρους της παράστασης. 30 Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα
Να γράψετε τις πιο κάτω παραστάσεις στην πιο απλή μορφή κλάσματος: Βήμα 2 Να συγκρίνετε τις απαντήσεις από τις κλασματικές παραστάσεις στο προηγούμενο βήμα με τη σειρά Fibonacci. Με βάση την παρατήρησή σας, να απλοποιήσετε την επόμενη παράσταση χωρίς να κάνετε πράξεις. Βήμα 3 Να συνεχίσετε την ακολουθία των κλασμάτων που γράψατε στα βήματα 1 και 2 μέχρι τον ένατο όρο. Να μετατρέψετε καθένα από τους αριθμούς αυτούς σε δεκαδικό με ακρίβεια τεσσάρων δεκαδικών ψηφίων. Βήμα 4 Να υπολογίσετε μια δεκαδική προσέγγιση, με χρήση υπολογιστικής μηχανής, ψηφίων. Βήμα 5 του Χρυσού Λόγου, με ακρίβεια τεσσάρων δεκαδικών Να συγκρίνετε τα αποτελέσματα στα βήματα 3 και 4 και να κάνετε μια πρόβλεψη του αριθμού που προσεγγίζει το συνεχές κλάσμα. 31 Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα