Δορυφορικές Επικοινωνίες

Δορυφορικές Επικοινωνίες Διάλεξη #2 Μηχανική των Τροχιών Διδάσκων: Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Πανεπιστηµίου Πειραιώς Περιεχόμενα Διάλεξης #2 Ο Kepler και οι Νόμοι του Ο Νewton, ο Νόμος της Παγκόσμιας Έλξης και οι Νόμοι της Κίνησης Θεωρήσεις για τους Δορυφόρους της Γης Διανυσματική Διαφορική Εξίσωση στο Πρόβλημα των 2 Σωμάτων Διατήρηση Μηχανικής Ενέργειας, Διατήρηση Στροφορμής Η Εξίσωση της Τροχιάς, Κωνικές Τομές και Γεωμετρικές Ιδιότητες Ελλειπτική, Κυκλική, Παραβολική, και Υπερβολική Τροχιά Το Ηλιοκεντρικό-Εκλειπτικό Σύστημα Αναφοράς, η κίνηση της Γης γύρω από τον Ήλιο Το Γεωκεντρικό-Ισημερινό Σύστημα Αναφοράς Τροχιές Γήινων Δορυφόρων - Ορισμοί

Σε ποιό ύψος ξεκινά το διάστημα; Ύψος και Διάστημα (1/2) Στους Αμερικανούς αστροναύτες απονέμονται τα διαστημικά φτερά τους αν πετάξουν σε ύψος που υπερβαίνει τα 62 μίλια (~ 100 km). Μερικές διεθνείς συνθήκες υποστηρίζουν ότι το σύνορο του διαστήματος πάνω από μια δεδομένη χώρα αρχίζει σε ένα ύψος 100 μιλίων (~ 160 km). Κάτω από τα 100 μίλια, πρέπει να ζητηθεί άδεια για πτήση πάνω από οποιοδήποτε τμήμα της εν λόγω χώρας.

Ύψος και Διάστημα (2/2) Στην επανείσοδο, η ατμοσφαιρική αντίσταση αρχίζει να γίνεται αισθητή σε ένα ύψος περίπου 400.000 ποδών (~ 76 μίλια 122 km). Οι περισσότεροι δορυφόροι, για οποιαδήποτε αποστολή διάρκειας μεγαλύτερης από λίγους μήνες, τοποθετούνται σε τροχιές τουλάχιστον 250 μιλίων (400 km) πάνω από τη γη. Ακόμη και σε αυτό το ύψος, η ατμοσφαιρική αντίσταση (οπισθέλκουσα) είναι σημαντική. Ουράνια Σώματα και Κίνηση Οι αρχαίοι Έλληνες και οι Βαβυλώνιοι πίστευαν ότι τα άστρα ήταν σταθερά και τα απεικόνιζαν στο εσωτερικό ενός ημισφαιρικού θόλου, του ουράνιου θόλου. Είχαν βέβαια παρατηρήσει ότι υπήρχαν κάποια σώματα σαν άστρα τα οποία και ονόμασαν πλανήτες τα οποία κινούνταν ως προς τα σταθερά άστρα του ουρανού. Η κίνηση των 5 πλανητών ήταν αργή αλλά εμφανής σε διάρκεια ημερών ή και μηνών.

Πλανήτες Οι πλανήτες που αναγνωρίζουμε σήμερα είναι 8 (Ερμής, Αφροδίτη, Γη, Άρης, Δίας, Κρόνος, Ουρανός, Ποσειδώνας), ενώ μόνο τους 5 (και τη Γη, 6) αναγνώριζαν οι αρχαίοι λόγω της μεγάλης απόστασης από τη Γη των 2 τελευταίων. Πλανήτες Αστέρες (περιπλανώμενοι αστέρες) σε αντίθεση με τους Απλανείς Αστέρες. Οι 5 πλανήτες πήραν ονόματα θεών: Mercury (Ερμής), Venus (Αφροδίτη), Mars (Άρης), Jupiter (Δίας), Saturn (Κρόνος). Στην Αγγλική γλώσσα οι ημέρες της εβδομάδας έχουν πάρει τα ονόματά τους από τον Ήλιο, τη Σελήνη και άλλους πλανήτες: Sunday, Mo(o)nday, Tuesday (Tys το ισοδύναμο του Άρη στα γερμανικά), Wednesday (από το Wotan που σημαίνει Ερμής), Thursday (από το Thor ή Jove δηλ. το Δία), Friday (από το Fria δηλ. Αφροδίτη στα γερμανικά) και Satur(n)day. Κίνηση Πλανητών Παρατηρώντας τον ουράνιο θόλο, τα σταθερά άστρα όπως και ο ήλιος ή η σελήνη περιστρέφονται με κατεύθυνση από ανατολικά προς δυτικά (γεωκεντρική θεώρηση). Η σελήνη κινείται πιο αργά, με μια πλήρη περιστροφή να διαρκεί 25 ώρες. Αυτή η πιο αργή προς τα δυτικά κίνηση της σελήνης ως προς τα άστρα, την κάνει να φαίνεται ότι κινείται με κατεύθυνση προς τα ανατολικά ως προς αυτά. Ανάδρομη είναι η κίνηση αντίθετης φοράς με την κίνηση του πρωτεύοντος αντικειμένου, δηλαδή του αντικείμενου το οποίο αποτελεί το κέντρο του συστήματος. Η περιστασιακή κίνηση προς τα δυτικά καλείται ανάδρομη κίνηση (retrogresssion ή retrogradation).

Ανάδρομη Κίνηση Η ανάδρομη κίνηση μπορεί να είναι και φαινομενική, στην οποία ένας πλανήτης φαίνεται να κινείται σε κατεύθυνση αντίθετη με τα άλλα σώματα στο ίδιο σύστημα, όπως παρατηρείται από συγκεκριμένο οπτικό σημείο. Στην περίπτωση του Ηλιακού Συστήματος, η κατεύθυνση που έχει ο «ανάδρομος» πλανήτης είναι προς τα δυτικά. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι πλανήτες περιφέρονται με διαφορετική ταχύτητα γύρω από τον Ήλιο, με αποτέλεσμα ο ένας πλανήτης να προσπερνά τον άλλο, και έτσι να φαίνεται ότι ο άλλος πλανήτης κινείται προς τα πίσω. Ανάδρομη κίνηση του Άρη ως προς τη Γη Αρχαίοι Έλληνες και Πλανήτες Οι πρώτοι που ασχολήθηκαν με την κίνηση των πλανητών ήταν οι αρχαίοι Έλληνες φιλόσοφοι (6ο και 7ο αιώνα π.χ.) με πιο γνωστούς το Θαλή και τον Πυθαγόρα. Μέχρι τον 4ο αιώνα π.χ. είχε αναπτυχθεί μια πλήρης θεωρία για την κίνηση των ουράνιων σωμάτων. Σύμφωνα με αυτή τη θεωρία ο ουρανός αποτελείται από 8 (οκτώ) ομόκεντρες διαφανείς σφαίρες, στις οποίες βρίσκονται ο ήλιος, η σελήνη, οι πέντε πλανήτες και τα σταθερά άστρα.

Αρχαίοι Έλληνες και Πλανήτες Κάθε σφαίρα περιστρέφεται γύρω από διαφορετικό άξονα, με διαφορετικό ρυθμό, αλλά όλες με κέντρο τη γη (γεωκεντρικό σύστημα). Η θεωρία αυτή διατηρήθηκε για 2000 χρόνια!!!!! Σε πολλά σημαντικά κείμενα της παγκόσμιας λογοτεχνίας (π.χ. Shakespeare) γίνεται λόγος για το μοντέλο αυτό. Ο Πλάτωνας, ο Αριστοτέλης και οι μαθητές τους παρότι γνώριζαν τις ατέλειες του μοντέλου προσέφεραν επιπλέον λεπτομέρειες στη θεωρία. Ο Πλάτωνας, δίδαξε ότι η κυκλική κίνηση είναι η μόνη τέλεια και φυσική κίνηση και έθεσε το δόγμα της κίνησης των ουράνιων σωμάτων σε κύκλους. Ο Αριστοτέλης θέλοντας να διατηρήσει την έννοια της τέλειας κυκλικής κίνησης αλλά ταυτόχρονα να εξηγήσει την ανάδρομη κίνηση των πλανητών, υπέθεσε μια πολύπλοκη ομάδα από κυκλικές κινήσεις: Κάθε πλανήτης, ο ήλιος και η σελήνη δεν βρίσκονταν μόνο σε μια σφαίρα αλλά σε περισσότερες με διαφορετικό άξονα περιστροφής. Συνολικά υπέθεσε 50 σφαίρες. Αρχαίοι Έλληνες και Πλανήτες Η γεωκεντρική θεώρηση έφτασε στο απόγειό της με την εργασία του Κλαύδιου Πτολεμαίου (100-170 μ.χ.). Ενώ διατήρησε την κυκλική κίνηση, κατήργησε τις σφαίρες και θεώρησε ότι οι πλανήτες κινούνται σε συνδυασμούς κύκλων που υπερτίθενται. Μάλιστα για να φέρει πιο κοντά το μοντέλο στις παρατηρήσεις που είχε κάνει, μετατόπισε το κέντρο του μεγάλου κύκλου από τη γη. Παρόλο που η συμφωνία με τις μετρήσεις δεν ήταν πλήρης, η πρόβλεψη που παρείχε ήταν τόσο κοντά στην πραγματικότητα που κανείς δεν ασχολήθηκε για 1300 χρόνια!!!

Σύστημα Πτολεμαίου Ηλιοκεντρικό Σύστημα Η θεώρηση για το ηλιοκεντρικό σύστημα πρωτοεμφανίζεται με τον φιλόσοφο Αρίσταρχο τον Σάμιο (310-230 π.χ.) που προτείνει ότι και η γη περιστρέφεται γύρω από τον ήλιο μεταξύ της Αφροδίτης και του Άρη. Η θεώρηση ήταν αντίθετη στην κοινή φιλοσοφική πεποίθηση ότι η γη ήταν το κέντρο του σύμπαντος και κατά συνέπεια δεν βρήκε ανταπόκριση.

Κοπέρνικος = Επανάσταση Έπρεπε να περάσουμε στην εποχή της Αναγέννησης, όπου ένας Πολωνός, ο Nicolaus Copernicus (1473-1543) ξεκίνησε τη μεγάλη επανάσταση. Στο βιβλίο του On the revolution of the Heavenly Spheres που δημοσίευσε λίγο πριν το θάνατό του, ο Κοπέρνικος αποκάλυψε το ηλιοκεντρικό του σύστημα. Ο τίτλος του έργου είχε από μόνος του ιστορική επίδραση, αφού έδωσε το λατινικό όνομα revolutio (περιστροφή, περιφορά) σε κάθε αιφνίδια και θεμελιώδη μεταβολή στη σκέψη ή και στην κοινωνία (revolution = επανάσταση). Κοπέρνικος = Επανάσταση Η γη είναι και αυτή ένας πλανήτης που περιστρέφεται γύρω από τον ήλιο με περίοδο ενός έτους. Επιπλέον, η γη περιστρέφεται γύρω από τον εαυτό της μια φορά την ημέρα και σε αυτή την κίνηση οφείλεται η φαινόμενη ημερήσια περιστροφή του ήλιου, της σελήνης και των άστρων. Για να εξηγήσει τη μηνιαία κίνηση της σελήνης πρότεινε την περιστροφή της γύρω από τη γη. Όντας βαθειά Αριστοτελικός, αν και κατέρριψε τη θεωρία του Αριστοτέλη περί γεωκεντρικού συστήματος, διατήρησε την απαίτηση οι πλανήτες να κινούνται σε τέλειους κύκλους. Αυτή η υπόθεση έκανε το σύστημά του τόσο περίπλοκο όσο και του Πτολεμαίου, υποθέτοντας ένα σύστημα από περίπου 50 κύκλους για την κίνηση των πλανητών.

Κοπέρνικος = Επανάσταση Σαφώς υπήρχαν και αποκλίσεις του μοντέλου από τις μετρήσεις, ιδιαίτερα για την κίνηση του Άρη. Η θεωρία του όμως προσέφερε δύο βασικές απλοποιήσεις Το ημερολογιακό έτος ερμηνεύεται καλύτερα Η ανάδρομη κίνηση των πλανητών δεν υφίσταται. Η φαινόμενη αυτή κίνηση οφείλεται στο ότι η γη και ο πλανήτης βρίσκονται κοντά και η σχετική ταχύτητα είναι τέτοια ώστε ο πλανήτης να φαίνεται ότι κινείται σε αντίθετη κατεύθυνση. Όπως όλες οι μεγάλες ιδέες, η πρόταση του Copernicus βρήκε μεγάλες αντιδράσεις. Ιδιαίτερα από την εκκλησία (Calvin και Luther). Galileo Galilei Ο Γαλιλαίος (1564-1642) ήταν από τους πρώτους που χρησιμοποίησαν το τηλεσκόπιο και έκανε πολύ σημαντικές παρατηρήσεις. Αναφέρεται ως ο «πατέρας της σύγχρονης Αστρονομίας» και ο πρώτος φυσικός με τη σύγχρονη σημασία του όρου, καθώς ήταν ο πρώτος που αντικατέστησε την επαγωγική μέθοδο με την πειραματική και εισηγήθηκε τη μαθηματικοποίηση της φυσικής. Παρατήρησε άστρα που δεν ήταν ορατά με το γυμνό μάτι και ότι ο Γαλαξίας αποτελείται από πολλά άστρα. Είδε τα 4 φεγγάρια του Δία και ότι η Αφροδίτη έχει φάσεις όπως και η Σελήνη. Είδε ότι η Σελήνη δεν ήταν μια τέλεια σφαίρα αλλά είχε βουνά και κοιλάδες και τέλος παρατήρησε πρώτος τις ηλιακές κηλίδες. Ήταν μεγάλος υποστηρικτής του Κοπέρνικου. Καταδικάστηκε από την Ιερά Εξέταση το 1633. And yet it moves!

Tycho Brahe Ο Tycho Brahe (1546-1601), ήταν ένας ευγενής Δανός αστρονόμος, εξαιρετικής ευφυΐας και ιδιαίτερα σχολαστικός στη συλλογή και καταγραφή δεδομένων ακριβείας για τη θέση των πλανητών. Από τους πρώτους που συνειδητοποίησαν τη μεγάλη αξία και τη δύναμη της ακριβούς παρατήρησης. Κατασκεύασε ένα όργανο (quadrant) εξαιρετικής ακρίβειας με το οποίο μπορούσε να μετρήσει τη γωνιακή θέση ενός πλανήτη με ακρίβεια 1/100 της μοίρας!!! Eπί 20 έτη απεικόνισε τα μονοπάτια κίνησης των πλανητών από το εργαστήρι του. Χαρακτηρίζονταν από έλλειψη θεωρητικής κατάρτισης και μαθηματικής δύναμης, που του στερούσαν τη δυνατότητα εκμετάλλευσης των πειραματικών δεδομένων του. Johann Kepler Ο βοηθός του Tycho, Johann Kepler (1571-1630) ήταν ένας φτωχός και φιλάσθενος μαθηματικός, γεννημένος στη Γερμανία, προικισμένος με υπομονή και έμφυτη μαθηματική αντίληψη που απαιτούνταν για την ανακάλυψη των μυστικών που κρύβονταν στα δεδομένα του Tycho. Ήταν μεγάλος υποστηρικτής του Κοπέρνικου και πίστευε ότι στις μετρήσεις του Tycho κρύβονταν η επιβεβαίωση του ηλιοκεντρικού συστήματος. Οι ακριβείς παρατηρήσεις του Tycho που είχε στα χέρια του δεν εναρμονίζονταν με τις υπάρχουσες θεωρήσεις. Από το 1601 ως το 1606 προσπαθούσε να προσαρμόσει διάφορες γεωμετρικές καμπύλες στα δεδομένα του Tycho για τις θέσεις του Άρη. Επειδή όλες οι μετρήσεις των πλανητών γίνονταν από τη γη, ενώ η κίνηση των πλανητών γίνονταν γύρω από τον ήλιο, έπρεπε κάθε παρατήρηση να μεταφράζεται σε σχέση με τον ήλιο.

O Kepler και η Έλλειψη Μετά από προσπάθειες ενός χρόνου ώστε να αφαιρέσει μια απόκλιση της τάξης των 8 λεπτών του τόξου, ο Kepler ανακάλυψε την προσαρμογή στην έλλειψη. Στις αρχές του 1600 δημοσιεύει τους τρεις νόμους του, για την κίνηση των πλανητών, που αποτελούν σημαντικό ορόσημο στη Μαθηματική θεωρία. Ο Kepler και ο Tycho θέτουν τις βάσεις για τις σημαντικές ανακαλύψεις του Newton, 50 χρόνια αργότερα. Ο Κέπλερ ως προς την επιστημονική του φιλοσοφία ήταν ένας Πυθαγόρειος: Πίστευε ότι το θεμέλιο ολόκληρης της Φύσεως είναι μαθηματικές σχέσεις και ότι όλη η Δημιουργία αποτελεί μία ενιαία ολότητα. Η Γεωμετρία της Έλλειψης

Oι Νόμοι του Kepler Πρώτος Νόμος : Οι πλανήτες κινούνται σε ένα επίπεδο και οι τροχιές που διαγράφουν είναι ελλείψεις, με τον Ήλιο σε μια εστία. (1602) Δεύτερος Νόμος : Το ακτινικό διάνυσμα από τον Ήλιο στον πλανήτη καλύπτει (σαρώνει) ίσες επιφάνειες σε ίσους χρόνους. (1605) Τρίτος Νόμος : Ο λόγος του τετραγώνου της περιόδου (Τ) της περιστροφής ενός πλανήτη γύρω από τον Ήλιο, προς τον κύβο του μεγάλου ημιάξονα (a) της έλλειψης, είναι ο ίδιος για όλους τους πλανήτες. (Ο λόγος (T 2 /a 3 ) είναι σταθερός). (1618) Περιγραφή και ΟΧΙ Εξήγηση Οι νόμοι του Kepler αποτελούν περιγραφή της πλανητικής κίνησης και ΟΧΙ εξήγηση. Ο Isaac Newton (1642-1727) διαλεύκανε το μυστήριο του ΓΙΑΤΙ;. Θεωρείται πατέρας της Κλασικής Φυσικής, καθώς ξεκινώντας από τις παρατηρήσεις του Γαλιλαίου αλλά και τους νόμους του Κέπλερ για την κίνηση των πλανητών διατύπωσε τους τρεις μνημειώδεις νόμους της κίνησης. To 1665 o Newton ήταν φοιτητής στο University of Cambridge, όταν μια επιδημία της πανώλης έκλεισε το Πανεπιστήμιο για 2 χρόνια. Τα δύο αυτά χρόνια ο Newton συνέλαβε το Νόμο της Βαρύτητας, τους Νόμους της Κίνησης, και ανέπτυξε τις βασικές αρχές της Διαφορικής Ανάλυσης.

Isaak Newton Λόγω κάποιων μικρών ασυμφωνιών της θεωρίας του με την κίνηση της Σελήνης παραμέρισε την εργασία του. Οι ανακαλύψεις του έγιναν γνωστές 20 χρόνια αργότερα. Το 1687 δημοσειεύει το βιβλίο: The Mathematical Principles of Natural Philosophy, ή πιο απλά Principia (Αρχές). Ο Νεύτων εξάγει το γνωστό νόμο της παγκόσμιας έλξης θεμελιώνοντας τη μηχανική. Εγκαθίδρυσε έτσι μία κοσμολογική άποψη για τη βαρύτητα που κυριάρχησε στην επιστημονική κοινότητα, ώσπου να την αναθεωρήσει ο Albert Einstein το 1915 με τη γενική θεωρία της σχετικότητας. Οι Νόμοι της Κίνησης Πρώτος Νόμος (Αδράνειας) : Κάθε σώμα παραμένει σε αδράνεια ή συνεχίζει την ομοιόμορφη κίνησή του σε ευθεία γραμμή, εκτός αν εξαναγκασθεί σε αλλαγή της κατάστασης από εξωτερικές δυνάμεις. Δεύτερος Νόμος : Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής είναι ανάλογος της δύναμης που ασκείται και είναι στην ίδια κατεύθυνση με τη δύναμη (F=ma). Τρίτος Νόμος : Σε κάθε Δράση αντιστοιχεί και μια ίση και αντίθετη Αντίδραση (Οι δυνάμεις που εξασκούνται από την αλληλεπίδραση δύο σωμάτων είναι πάντα ίσες κατά το μέτρο και αντίθετες κατά τη φορά).

Οι Νόμοι της Κίνησης Οι νόμοι του Νεύτωνα για την κίνηση μπορούν να συμπτυχθούν σε 4 εξισώσεις s : είναι η απόσταση που έχει διανυθεί από τη στιγμή t=0 u : είναι η αρχική ταχύτητα τη t=0 v : η τελική ταχύτητα τη χρονική στιγμή t a : είναι η επιτάχυνση F : η δύναμη m : η μάζα του σώματος s = ut + 1 2 at 2 v 2 = u 2 + 2as v = u + at F = ma Νόμος της Παγκόσμιας Έλξης Ο Νεύτωνας έδειξε ότι Ο 2ος Νόμος του Kepler ισχύει αν στους πλανήτες ασκείται ελκτική δύναμη με κατεύθυνση ένα κεντρικό σημείο, τον Ήλιο. Για να ικανοποιείται ο 1ος Νόμος του Kepler η δύναμη έπρεπε να είναι αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης πλανήτη-ήλιου. Για να ισχύει ο 3ος Νόμος έπρεπε η δύναμη να είναι ανάλογη της μάζας του πλανήτη.

Νόμος της Παγκόσμιας Έλξης Δύο σώματα με μάζες m και Μ, έλκουν το ένα το άλλο με μια δύναμη η οποία είναι ανάλογη με τις μάζες τους και αντίστροφα ανάλογη με το τετράγωνο της απόστασης μεταξύ τους:! F g = GMm r 2 ˆr = GMm r 2! r r = m µ r 2 ˆr G είναι μια σταθερά που ονομάζεται Παγκόσμια Σταθερά της Βαρύτητας και είναι G=6.672 x 10-11 m 3 kg -1 s -2 Η μάζα Γης είναι Μ=5,974 x 10 24 kg, άρα μ=gm=3,986 x 1014 m 3 s -2 Κίνηση Δορυφόρου Σε σταθερή τροχιά, υπάρχουν δύο κύριες δυνάμεις που ενεργούν σε έναν δορυφόρο: μια φυγόκεντρος δύναμη λόγω της κινητικής ενέργειας του δορυφόρου, η οποία προσπαθεί να ωθήσει το δορυφόρο σε μια υψηλότερη τροχιά, και μια κεντρομόλος δύναμη λόγω της βαρυτικής έλξης του πλανήτη γύρω από τον οποίο περιστρέφεται ο δορυφόρος, η οποία προσπαθεί να τραβήξει το δορυφόρο κάτω, προς τον πλανήτη. Αν αυτές οι δύο δυνάμεις είναι ίσες, ο δορυφόρος θα παραμείνει σε σταθερή τροχιά με ταχύτητα v. m µ r 2 = mv2 r v = µ r

Περίοδος Κυκλικής Τροχιάς Αν η τροχιά είναι κυκλική, και r είναι η ακτίνα της τροχιάς από τον δορυφόρο μέχρι το κέντρο του πλανήτη, η περίοδος της τροχιάς του δορυφόρου, T, θα είναι T = ( 2πr) v = ( 2πr) 3/2 2πr T = µ µ r H μέση ακτίνα της γης είναι 6,378.137 km και η ακτίνα GEO από το κέντρο της γης είναι 42,164.17 km. Κίνηση Δορυφόρου της Γης Η κίνηση των δορυφόρων γύρω από τη Γη ακολουθεί κατά προσέγγιση τους νόμους τους Kepler, με τις ακόλουθες Υποθέσεις : Η μάζα m του δορυφόρου είναι μικρή σε σχέση με τη μάζα M της Γης ( m<<m ), που υποτίθεται είναι ΣΦΑΙΡΙΚΗ και ΟΜΟΓΕΝΗΣ. Η κίνηση συμβαίνει στον ελεύθερο χώρο. Τα μόνα σώματα που υπάρχουν είναι ο δορυφόρος και η Γη. Η πραγματική κίνηση πρέπει να λάβει υπόψη το γεγονός ότι η Γη δεν είναι ούτε σφαιρική ούτε ομογενής, όπως επίσης την έλξη του Ήλιου, της Σελήνης και άλλων ουράνιων σωμάτων, καθώς και άλλες δυνάμεις που τη διαταράσσουν.

Γεωκεντρικό σύστημα συντεταγμένων! F = GMm r 2 Εξισώνοντας προκύπτει Κίνηση Δορυφόρου! r r και! F = m d 2! r dt 2 d 2! r dt 2 =! "" r = µ r 3! r! "" r + µ r 3! r = 0! "" r = µ r 2 ˆr Αυτή είναι μια γραμμική διαφορική εξίσωση 2ης τάξης και η λύση της περιλαμβάνει 6 σταθερές που καλούνται τροχιακά στοιχεία. Αρχικά Συμπεράσματα Το Βαρυτικό πεδίο είναι συντηρητικό (Διατήρηση της Ενέργειας). Ανταλλαγή μιας μορφής ενέργειας (κινητικής) με μια άλλη μορφή ενέργειας (δυναμικής). Οι δυνάμεις έλξης είναι κεντρικές και άρα Η στροφορμή του δορυφόρου ως προς το κέντρο του συστήματος αναφοράς, είναι αμετάβλητη (Διατήρηση της Στροφορμής).

Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας Από τη διαφορική εξίσωση της σχετικής κίνησης προκύπτει d dt 2 µ r = 0 v 2 Ειδική Μηχανική Ενέργεια = Κινητική Ενέργεια ανά μονάδα μάζας του δορυφόρου + Δυναμική Ενέργεια ανά μονάδα μάζας του δορυφόρου E = v2 2 µ r Διατήρηση της Στροφορμής Στροφορμή Ειδική Στροφορμή! H =! r m! v! h =! H m =! r! v d dt! r! v ( ) = d! h dt = 0 Το διάνυσμα της Στροφορμής παραμένει σταθερό, άρα τα διανύσματα θέσης και ταχύτητας ΠΡΕΠΕΙ να παραμένουν στο ίδιο επίπεδο, αφού η στροφορμή είναι πάντα κάθετη στο επίπεδο που ορίζουν τα δύο διανύσματα. Άρα η κίνηση του δορυφόρου γίνεται σε ένα επίπεδο ΣΤΑΘΕΡΟ στο χώρο, που καλείται τροχιακό επίπεδο.

Συστήματα Συντεταγμένων Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων του Τροχιακού Επιπέδου Πολικό Σύστημα Συντεταγμένων του Τροχιακού Επιπέδου x 0 = r 0 cosφ 0 y 0 = r 0 sinφ 0 Η Εξίσωση της Τροχιάς Αφετηρία είναι η εξίσωση της κίνησης!"" r + µ r 3! r = 0 Προκύπτει η εξίσωση της τροχιάς h 2 / µ r 0 = 1+ ecos φ 0 θ 0 ( ) = p ( ) 1+ ecos φ 0 θ 0 όπου θ 0 είναι μια σταθερά και e η εκκεντρότητα μιας έλλειψης με παράμετρο p.

Κωνική Τομή : η καμπύλη της τομής ενός επιπέδου και ενός ορθού κυκλικού κώνου. Η πολική εξίσωση της κωνικής τομής είναι όπου p είναι μια γεωμετρική σταθερά της κωνικής τομής που καλείται «παράμετρος» ή semi-latus rectum. Η σταθερά e καλείται «εκκεντρότητα» και καθορίζει τον τύπο της τομής Αν e = 0 τότε Κύκλος Αν 0 < e < 1 τότε Έλλειψη Αν e = 1 τότε Παραβολή Αν e > 1 τότε Υπερβολή Κωνικές Τομές r = p 1+ ecosφ Γεωμετρικές Ιδιότητες Κωνικών Τομών e = c a p = a( 1 e 2 ) Ισχύουν για όλες τις κωνικές τομές εκτός από την παραβολή

Αρχικά Συμπεράσματα Οι κωνικές τομές αναπαριστούν τα μοναδικά πιθανά μονοπάτια για ένα αντικείμενο που βρίσκεται σε τροχιά στο πρόβλημα των 2 σωμάτων. Η εστία της τροχιάς πρέπει να είναι τοποθετημένη στο κέντρο του σώματος με τη μεγαλύτερη μάζα. Η μηχανική ενέργεια του δορυφόρου δεν μεταβάλλεται κατά την κίνησή του στη τροχιά. Η τροχιακή κίνηση λαμβάνει χώρα σε επίπεδο το οποίο είναι σταθερό στο αδρανειακό σύστημα. Η ειδική στροφορμή του δορυφόρου γύρω από το κεντρικό σώμα έλξης, παραμένει σταθερή. Αψίδες και Τροχιές p r max = r apoapsis = 1+ ecos 180 = a 1+ e ( ) = a 1+ c a ( ) = p = a + c 1 e r min = r periapsis = ( ) = a 1 c a = a 1 e p 1+ e = p 1+ ecos( 0 ) = a c

Ιδιότητες Τροχιών Ειδική Μηχανική Ενέργεια E = v2 2 µ r = µ 2a Άρα ο Μεγάλος Ημι-άξονας μιας τροχιάς εξαρτάται μόνο από την Ειδική Μηχανική Ενέργεια, η οποία εξαρτάται από τη θέση και την ταχύτητα του δορυφόρου. Η ειδική στροφορμή καθορίζει την παράμετρο p. Η ειδική μηχανική ενέργεια τον μεγάλο ημι-άξονα a. Και οι δύο μαζί καθορίζουν την εκκεντρότητα. Για κάθε κωνική τροχιά ισχύει ότι e = 1+ 2E h2 µ 2 Τροχιές και Μεγέθη

Η Ελλειπτική Τροχιά Γεωμετρία Έλλειψης r p + r a = 2a = r + r r a r p = 2c e = c a = 1 b a 2 e = r a r p r p + r a a 2 = b 2 + c 2 c = a 2 b 2 Ο 2ος Νόμος του Kepler Επαλήθευση 2ου Νόμου Kepler : «Κάλυψη ίσων επιφανειών σε ίσους χρόνους» Σε χρόνο dt σαρώνεται επιφάνεια da. Αν t 1 t 2 = t 3 t 4 τότε A 12 = A 34 da dt = 1 2 r dφ 2 0 dt = 1 2 r r dφ 0 dt = 1 2 rv εϕαπτοµενικη = 1 2 h = Σταθερα

Περίοδος Τροχιάς και ο 3ος Νόμος του Kepler Period = T = 2 h πab Area of Ellipse = πab h = µ p και b = a 2 c 2 = a 2 ( 1 e 2 ) = ap T = 2 h πab = 2π µ a3/2 = 2π a3 µ T 2 = 4π 2 µ a3 Επαλήθευση 3ου Νόμου Kepler : «Το τετράγωνο της περιόδου είναι ανάλογο του κύβου του μεγάλου ημι-άξονα» Ταχύτητα Δορυφόρου Ενέργεια σε οποιαδήποτε κωνική τροχιά E = µ 2a = V 2 2 µ r V 2 = 2µ r µ a V = 2µ r µ a Για κυκλική τροχιά a = b = r c = e = 0 V = µ r

Γεωστατικοί Δορυφόροι Η τροχιακή περίοδος ενός δορυφόρου GEO είναι ακριβώς ίση με την περίοδο περιστροφής της γης, 23 h 56 min 4,1 s, αλλά, σε έναν παρατηρητή στο έδαφος, ο δορυφόρος φαίνεται να έχει μια άπειρη τροχιακή περίοδο: μένει πάντα στην ίδια θέση στον ουρανό. Για να είναι τέλεια γεωστατική πρέπει: (1) να είναι ακριβώς κυκλική (e=0) (2) να είναι στο σωστό ύψος (δηλ., να έχει τη σωστή περίοδο), και (3) να βρίσκεται στο επίπεδο του ισημερινού Γεωσύγχρονοι Δορυφόροι Αν η κλίση του δορυφόρου είναι μη μηδενική και/ή αν η εκκεντρότητα δεν είναι μηδέν, αλλά η τροχιακή περίοδος είναι σωστή, τότε ο δορυφόρος θα βρίσκεται σε γεωσύγχρονη τροχιά. Η θέση ενός γεωσύγχρονου δορυφόρου θα φαίνεται να ταλαντεύεται γύρω από μια μέση γωνία σκόπευσης στον ουρανό σε σχέση με έναν ακίνητο παρατηρητή στην επιφάνεια της γης.

Τροχιές Γήινων Δορυφόρων - Ορισμοί Για τον πλήρη προσδιορισμό της θέσης ενός δορυφόρου απαιτείται η εξής πληροφορία Γνώση του τύπου της Τροχιάς (2 από τις παραμέτρους a,b,c,e,r p,r a ) Θέση του Δορυφόρου στην Τροχιά (Μία από τις Ανωμαλίες-Γωνίες) Θέση της Τροχιάς στο Τροχιακό Επίπεδο (Όρισμα του Περιγείου) Θέση Τροχιακού Επιπέδου στο Χώρο (Έγκλιση και Ορθή Άνοδος του Ανοδικού Κόμβου) Θέση Δορυφόρου στην Τροχιά Για να εξισώσουμε το θ 0, στην εξίσωση της τροχιάς, με το μηδέν, έχουμε επιλέξει τον άξονα x 0 έτσι ώστε τόσο το απόγειο όσο και το περίγειο να βρίσκονται κατά μήκος του και ο άξονας x 0 είναι επομένως ο μεγάλος άξονας της έλλειψης. Αληθής Ανωμαλία (True Anomaly) : Η γωνία φ 0 μεταξύ της διεύθυνσης του περιγείου και της διεύθυνσης του δορυφόρου. Μετράται από τον άξονα x 0 που διέρχεται από το περίγειο. r 0 = a 1 e2 ( ) 1+ ecosφ 0

Εκκεντρική Ανωμαλία (Eccentric Anomaly) Εκκεντρική Ανωμαλία, Ε : Η γωνία που σχηματίζεται από τη διεύθυνση του περιγείου και την ακτίνα του κύριου κύκλου που διέρχεται από το σημείο του κύριου κύκλου που τέμνει η ευθεία που διέρχεται από το δορυφόρο και είναι κάθετη στον μεγάλο ημι-άξονα. r 0 = a( 1 ecose) a r 0 = aecose Εκκεντρότητα και Ανωμαλίες Υπάρχουν οι εξής σχέσεις που συνδέουν τις 2 ανωμαλίες και την εκκεντρότητα. ΠΡΟΣΟΧΗ : Στον υπολογισμό του arctan πρέπει να λάβουμε υπόψη μας τη συμπεριφορά των calculators ή των PCs. Δίνουν μόνο βασικές τιμές γωνιών, δηλαδή arctan(1.732)=60 o, ενώ επίσης tan(240 o )=1.732. Το ίδιο ισχύει για cos και sin. cose = e + cosφ 0 1+ ecosφ 0 tan E 2 = 1 e 1+ e tan φ 0 2 Λύση για την προηγούμενη εξίσωση: E = 2arctan 1 e 1+ e tan φ 0 2 + 360 o n n = 0 για 180 o φ 0 180 o 1για 180 o < φ 0 540 o

Σχέσεις Αληθούς και Εκκεντρικής Ανωμαλίας cosφ 0 = cose e 1 ecose tan φ 0 2 = 1+ e 1 e tan E 2 tan φ 0 E 2 = Asin E 1 AcosE = Asinφ 0 1+ Acosφ 0 όπου e A = 1+ 1 e 2 Μέση Κίνηση και Ανωμαλία Μέση Κίνηση (Mean Movement), n : Είναι η μέση γωνιακή ταχύτητα του δορυφόρου με περίοδο Τ στην τροχιά του (δηλ. η γωνιακή ταχύτητα που θα απαιτούνταν για την ολοκλήρωση μιας πλήρους περιστροφής θεωρώντας σταθερή ταχύτητα σε κυκλική τροχιά και η οποία θα ολοκληρώνονταν σε χρόνο ίσο με εκείνη της πραγματικής ελλειπτικής τροχιάς, όπου η ταχύτητα μεταβάλλεται). n = 2π T = µ a 3 (rad / sec) Μέση Ανωμαλία (Mean Anomaly), M : Είναι η αληθής ανωμαλία του δορυφόρου σε μια εγγεγραμμένη κυκλική τροχιά της ίδιας περιόδου Τ. M = 2π T t t p ( ) = n( t t p ) (rad)

Εξίσωση του Kepler M = E esin E (rad) Μη-γραμμική αλγεβρική εξίσωση Αν ορίσουμε ως Δt το χρονικό διάστημα από τη στιγμή διέλευσης από το περίγειο, δηλαδή Δt=t-t p Δt = T 2π M = T [ 2π E esin E ] = a3 µ M = a3 [ µ E esin E ] Διάστημα Μεταξύ 2 Σημείων Αν ο δορυφόρος δεν περνά από το περίγειο κατά την κίνησή του από το φ 0 στο φ t t o = t t p ( ) ( t o t p ) = Δt Δt o Αν ο δορυφόρος περνά από το περίγειο κατά την κίνησή του από το φ 0 στο φ 0 t t o = T ( t o t p ) + ( t t p )=T Δt o + Δt Γενικά Ισχύει t t o = a3 ( ) ( E esin E o o ) 2kπ + E esin E µ

Διαδικασία Εύρεσης Θέσης Δορυφόρου στην Τροχιά Δεδομένα: Χρόνος του περιγείου t p, εκκεντρότητα e, και το μήκος του μεγάλου ημιάξονα a 1. Υπολογίστε το n 2. Υπολογίστε το M 3. Λύστε την εξίσωση του Kepler για το E 4. Βρείτε το r 0 από το E 5. Υπολογίστε το φ 0 από την εξίσωση της τροχιάς 6. Υπολογίστε τους x 0 και y 0 Το Γεωκεντρικό Ισημερινό Σύστημα Ο περιστροφικός άξονας της γης είναι ο άξονας z i, ο οποίος διέρχεται από τον γεωγραφικό Βόρειο Πόλο. Ο άξονας x i ξεκινάει από το κέντρο της γης και εκτείνεται προς μια σταθερή θέση στο διάστημα (όποια και να είναι η θέση της γης γύρω από τον ήλιο) που ονομάζεται πρώτο σημείο του Κριού (first point of Aries). Αυτό το σύστημα συντεταγμένων κινείται στο χώρο, δηλαδή μετατοπίζεται καθώς η γη κινείται στην τροχιά της γύρω από τον ήλιο, αλλά δεν περιστρέφεται καθώς η γη περιστρέφεται. Το (x i, y i ) είναι το ισημερινό επίπεδο.

Θέση του Τροχιακού Επιπέδου στο Χώρο Γραμμή των Κόμβων (Line of Nodes) : Είναι η τομή του τροχιακού επιπέδου με το ισημερινό επίπεδο. Η γραμμή που ενώνει δύο σημεία της τροχιάς που ονομάζονται κόμβοι. Ανοδικός Κόμβος (Ascending Node) : Το σημείο της τροχιάς που ανήκει στη γραμμή των κόμβων στην κατεύθυνση που ο δορυφόρος περνά από το επίπεδο του ισημερινού με κατεύθυνση από Νότο προς Βορρά. Καθοδικός Κόμβος (Descending Node) : Αντίστοιχα στην κατεύθυνση από Βορρά προς Νότο. Θέση του Τροχιακού Επιπέδου στο Χώρο Έγκλιση (inclination), i, είναι η γωνία που ορίζεται στον ανοδικό κόμβο μεταξύ της καθέτου στη γραμμή των κόμβων στο ισημερινό επίπεδο (με κατεύθυνση προς τα ανατολικά) και της καθέτου στη γραμμή των κόμβων στο τροχιακό επίπεδο (στην κατεύθυνση κίνησης του δορυφόρου). Εκτιμάται θετικά στην ορθή φορά μεταξύ 0 ο και 180 ο.

Έγκλιση Ο δορυφόρος περιστρέφεται προς την ίδια διεύθυνση, όπως και η γη, δηλαδή ανατολικά. Τέτοιες τροχιές καλούνται Ορθές ή Μη-Ανάδρομες Ο δορυφόρος περιστρέφεται αντίθετα προς τη διεύθυνση περιστροφής της γης, δηλαδή δυτικά. Τέτοιες τροχιές καλούνται Ανάδρομες Εναλλακτικά η Έγκλιση

Ορθή Άνοδος του Ανοδικού Κόμβου Ορθή Άνοδος του Ανοδικού Κόμβου (Right Ascension of Ascending Node, RAAN), Ω : είναι η γωνία που σχηματίζεται από τον άξονα Οx i, δηλαδή την κατεύθυνση της εαρινής ισημερίας και του διανύσματος που ενώνει το κέντρο της γης με τον Ανοδικό Κόμβο. Είναι γωνία που εκτιμάται θετική με εύρος από 0 ο ως 360 ο. Ουσιαστικά μας δίνει την περιστροφή του τροχιακού επιπέδου ως προς τον άξονα Οz i, μετρούμενη από τον Οx i. Θέση της Τροχιάς στο Τροχιακό Επίπεδο Ο προσανατολισμός της τροχιάς στο τροχιακό επίπεδο ορίζεται από το Όρισμα του Περιγείου (Argument of Perigee), ω, που είναι η γωνία μεταξύ της διεύθυνσης του Ανοδικού Κόμβου και της διεύθυνσης του Περιγείου. Είναι μια γωνία που εκτιμάται θετικά από 0 ο ως 360 ο, στην κατεύθυνση κίνησης του δορυφόρου.

Υπολογισμός Θέσης Δορυφόρου Ευχαριστώ! Ερωτήσεις? kanatas@unipi.gr