9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων

4ο Κεφάλαιο

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή από το R Μονώνυμο του x λέμε επίσης και κάθε πραγματικό αριθμό Παράδειγμα 5 Το x είναι μονώνυμο με συντελεστή, κύριο μέρος 5 x και βαθμό 5 3 3 Χαρακτηριστικά μονώνυμα 3 5 Μηδενικό μονώνυμο λέγεται κάθε μονώνυμο με συντελεστή μηδέν, πχ 0x, 0x Μονώνυμο μηδενικού βαθμού λέγεται κάθε μονώνυμο του οποίου ο βαθμός είναι μηδέν, o o πχ 7 7 x, 9 9 x Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν ν1 α x α x α x α, ν ν1 1 0 όπου 0 1 ν 1 ν α, α,, α, α R, και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή από το σύνολο R

176 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Ένα πολυώνυμο του x το συμβολίζουμε συνήθως με P x, Q x, f x, φ x κλπ Γράφουμε λοιπόν: ν ν 1 P x α x α x α x α Για παράδειγμα: ν ν1 1 0 Η παράσταση 3 Q x x 4x x 5 είναι πολυώνυμο του x Χαρακτηριστικά πολυώνυμα Σταθερά πολυώνυμα Λέγονται οι πραγματικοί αριθμοί δηλαδή τα πολυώνυμα της μορφής 0 α α x Μηδενικό πολυώνυμο Λέγεται το σταθερό πολυώνυμο 0 Στοιχεία πολυωνύμου ν ν 1 P x α x α x α x α, α 0 ν - Όροι: Λέγονται τα μονώνυμα α x,,α ν 0 ν ν1 1 0 ν - Σταθερός όρος: Είναι ο όρος α 0 που δεν περιέχει x - Συντελεστές: Λέγονται οι πραγματικοί αριθμοί α, α,, α, α ν ν 1 1 0 - Βαθμός: Είναι ο εκθέτης ν - Αριθμητική τιμή για x = ξ: Λέγεται ο αριθμός ν αν στο P x αντικαταστήσουμε το x με τον αριθμό ξ ν 1 0 - Ρίζα: Ένας αριθμός ρ R λέγεται ρίζα του Px, αν και μόνο αν, 0 0 P ξ α ξ α ξ α που προκύπτει Pρ 0 Σχόλιο Βαθμός μηδενικού πολυωνύμου δεν ορίζεται ενώ ο βαθμός κάθε σταθερού μη μηδενικού πολυωνύμου είναι μηδέν Παράδειγμα Το πολυώνυμο Px 5x 6x 1 είναι ου βαθμού και έχει συντελεστές: 5, 6, 1 Ο σταθερός όρος του πολυωνύμου Η αριθμητική τιμή του P x είναι 1 Px για x 1 είναι: P1 51 611 10 Ισότητα πολυωνύμων Δύο πολυώνυμα του x λέγονται ίσα, αν και μόνο αν είναι του ίδιου βαθμού και οι συντελεστές των ομοβάθμιων όρων τους είναι ίσοι Έτσι αν μ μ1 P x α x α x α x α και μ μ1 1 0 ν ν 1 Q x β x β x β x β ν ν1 1 0 είναι δύο πολυώνυμα του x με μ ν, έχουμε:

Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων 177 α β, α β,, α β P x Q x α α α 0 ν1 ν μ Παράδειγμα 0 0 1 1 ν ν Τα πολυώνυμα 3 P x αx βx γx δ και Qx x 3x 1 είναι ίσα, αν και μόνο αν, α 0, β, γ 3, δ 1 Θεώρημα 1 (Ταυτότητα της διαίρεσης) Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x) με δx 0 υπάρχουν δύο μοναδικά πολυώνυμα π(x) και υx τέτοια ώστε: Δx δx πx υx όπου το υ x είναι το μηδενικό πολυώνυμο ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του δ x Δ x δx πx υx Ισχύει Δx δx πx υx Δ x διαιρετέος δx διαιρέτης πx πηλίκο υx υπόλοιπο και είναι βαθμού μικρότερου από το βαθμό του δx, ή υx 0 Σημείωση Η διαίρεση Δx : δx λέγεται τέλεια αν υx 0 Τότε η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται: Δx δx πx και το δ x λέγεται παράγοντας του Δ x Οι εκφράσεις: - το δ x είναι παράγοντας του Δx, το δx διαιρεί το είναι τέλεια, υπάρχει πx ώστε: Δx δx πx είναι ισοδύναμες Δx, η διαίρεση Δx : δx Θεώρημα Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Px με το x ρ είναι ο αριθμός Pρ Η ταυτότητα της διαίρεσης Ρx x ρ πx υ Ρ ρ είναι: Px x ρ π x Ρ ρ

178 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Θεώρημα 3 Ένα πολυώνυμο P x έχει παράγοντα το x ρ, αν και μόνο αν, το ρ είναι ρίζα του Px Δηλαδή: Px x ρ π x P ρ 0 Θεώρημα 4 (της ακέραιας ρίζας) Αν το v P x α x α x α έχει ρίζα τον ακέραιο ρ, ρ 0 τότε αυτός διαιρεί τον α 0 Σημείωση ν 1 0 Τις ακέραιες ρίζες τις αναζητούμε μέσα στο σύνολο των διαιρετών του α 0 Β ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κατηγορία Μέθοδος 1 Πρόσθεση - πολλαπλασιασμός Για την πρόσθεση (αφαίρεση) και πολλαπλασιασμό πολυωνύμων ισχύουν οι ίδιες ιδιότητες που ισχύουν και στις αντίστοιχες πράξεις μεταξύ πραγματικών αριθμών Προσοχή όμως στην πρόσθεση (αφαίρεση) πολυωνύμων γιατί προσθέτουμε μεταξύ τους μόνο τα όμοια μονώνυμα που είναι όροι των πολυωνύμων αυτών 3 Για παράδειγμα τα μονώνυμα x, 5x δεν είναι δυνατό να προστεθούν αφού δεν είναι 3 3 όμοια, ενώ τα μονώνυμα x, 5x προστίθενται και το άθροισμα τους είναι: 3 3 3 x 5x 7x Στον πολλαπλασιασμό πολυωνύμων Px Qx Φx το Φx θα έχει βαθμό το άθροισμα των βαθμών P x, Q x Παράδειγμα 1 Δίνεται το πολυώνυμο: Px αx3 α 1 x α 1 x 3 Βρείτε το α R ώστε P 3 και στη συνέχεια το βαθμό του Px για κάθε τιμή του α που βρήκατε Έχουμε διαδοχικά: Άρα α 0 ή α 3 P 3 3 α α 1 α 1 3 3 8α 4 α 1 4α 3 3 4α 1α 0 4αα 3 0 Για α 0 το πολυώνυμο γίνεται: P x x x 3 και είναι ου βαθμού Για α 3 το πολυώνυμο γίνεται: Px 3x 3 4x 17x 3 και είναι 3 ου βαθμού

Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων 179 Παράδειγμα Βρείτε το βαθμό του πολυωνύμου: 3 P x α 1 α 9 x α 4α 3 x 3α 9 για τις διάφορες τιμές του α R Για να βρούμε το βαθμό του Px πρέπει να γνωρίζουμε αν ο συντελεστής α 1α 9 του μεγιστοβάθμιου (από πρώτη άποψη) όρου είναι μηδέν ή όχι Γι αυτό διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: 1η Περίπτωση Αν α 1α 9 0 δηλαδή αν α 1, α 3 τότε το P x είναι 3ου βαθμού η Περίπτωση Αν α 1α 9 0 δηλαδή α 1 ή α 3 ή α 3, τότε: i Για α 1 είναι Ρx 6, δηλαδή σταθερό μη μηδενικό πολυώνυμο οπότε είναι μηδενικού βαθμού ii Για α 3 είναι Ρx 0, δηλαδή μηδενικό πολυώνυμο οπότε δεν ορίζεται βαθμός iii Για α 3 είναι Ρx 4x 18, δηλαδή είναι πολυώνυμο ου βαθμού Κατηγορία Μέθοδος Όταν ζητείται πολυώνυμο Ρ x που ικανοποιεί δοθείσα σχέση: 1 ο Προσπαθούμε να προσδιορίσουμε (αν δεν δίνεται) το βαθμό του ο Αν διαπιστώσουμε ότι είναι πχ νιοστού βαθμού, υποθέτουμε ότι είναι της μορφής: ν Ρ x α x α x α ν 1 0 3 ο Αντικαθιστούμε στη δοθείσα σχέση και μετά τις πράξεις καταλήγουμε σε ισότητα πολυωνύμων από την οποία με τη βοήθεια του ορισμού της ισότητας πολυωνύμων Ρ x ( μέθοδος προσδιοριστέων συντε- προσδιορίζουμε τα α,α,,α δηλαδή το 0 1 ν λεστών ) Παράδειγμα 3 Βρείτε πολυώνυμο Ρx, 1ου βαθμού, ώστε να ισχύει: ΡΡ x 8x 4x 1 για κάθε x R Έστω ότι Px αx β με α 0 Με αντικατάσταση στη δοθείσα σχέση έχουμε διαδοχικά: PΡ x 8x 4x 1 αρ x β 8x 4x 1 α αx β β 8x 4x 1 α αx αxβ β β 8x 4x 1 3 α x α βx αβ β 8x 4x 1

180 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Η παραπάνω ισότητα ισχύει για κάθε x R, σύμφωνα με τον ορισμό της ισότητας πολυωνύμων, αν και μόνο αν, α3 8 α β 4 αβ β 1 Άρα το ζητούμενο πολυώνυμο είναι το Παράδειγμα 4 α β 3 Px x 3, Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης Δ x : δ x όπου: Δx 10x3 9x 4x 1 και δ x 5x x 1 χωρίς να εκτελέσετε τη διαίρεση Αφού το το υπόλοιπο Έστω λοιπόν: Δx είναι 3 ου βαθμού και το δx ου, θα πρέπει το πηλίκο Πx να είναι 1 ου βαθμού και υ x το πολύ 1 ου βαθμού Π x αx β και υx κx λ Από την ταυτότητα της διαίρεσης Δ x : δ x έχουμε: 3 Δ x δ x Π x υ x 10x 9x 4x 1 5x x 1 αx β κx λ 3 3 10x 9x 4x 1 5αx 5βx αx βx αx β κx λ 3 3 10x 9x 4x 1 5αx 5β α x α κ β x β λ Η τελευταία είναι ισότητα πολυωνύμων πρέπει και αρκεί να ισχύουν : 5α 10 α 5β α 9 β 1 α κ β 4 κ 0 β λ 1 λ 0 Άρα Πx x 1, υ 0 Κατηγορία Μέθοδος 3 Για να διαιρέσουμε πολυώνυμα με την ίδια μεταβλητή ακολουθούμε τη γνωστή διαδικασία της διαίρεσης Για να διαιρέσουμε πολυώνυμα με περισσότερες της μιας μεταβλητές, θεωρούμε αυτά ως πολυώνυμα της μιας μεταβλητής (όποια θέλουμε) ενώ τις υπόλοιπες τις θεωρούμε σταθερές και κάνουμε τη διαίρεση κανονικά κατά τα γνωστά Όταν στο διαιρετέο λείπει κάποιος όρος πχ ο κ x, τότε ή αφήνουμε τη θέση κενή ή κ γράφουμε 0x Παράδειγμα 5 Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης: 4 x x x : x x 1

Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων 181 4 3 x 0x x x x x 1 x x x 4 3 3 x x x 3 x x x 3x 0x 3x 3x 3 3x 1 x x 3 Η διαδικασία της διαίρεσης σταματά γιατί το 3x 1 είναι βαθμού μικρότερου του ου που είναι ο βαθμός του διαιρέτη x x 1 Άρα έχουμε: Πηλίκο: Πx x x 3 και Παράδειγμα 6 Υπόλοιπο: υx 3x 1 Να βρεθούν το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης: 5x 3αx α : x α 1ος τρόπος (Θεωρούμε τα πολυώνυμα με μεταβλητή το x) 5x 3αx α 5x 5αx 5x α αx α αx α ος τρόπος (Θεωρούμε τα πολυώνυμα με μεταβλητή το α) Άρα έχουμε: Πηλίκο: α 5x και Υπόλοιπο: 0 0 α 3xα 5x x α α xα α 5x 5xα 5x 5xα 5x 0 α x

18 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Κατηγορία Μέθοδος 4 Το σχήμα Horner είναι μια μέθοδος με την οποία μπορούμε να βρούμε: Το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης Px : x ρ χωρίς να εκτελέσουμε την διαίρεση Δηλαδή αντικαθιστά την διαίρεση πολυωνύμων μόνο όμως στην περίπτωση που ο διαιρέτης είναι της μορφής x ρ Την αριθμητική τιμή του πολυωνύμου Px για x ρ P ρ Όταν ο διαιρετέος είναι ελλειπές πολυώνυμο (λείπουν κάποιοι όροι), τότε πρέπει στις αντίστοιχες θέσεις τους στον πίνακα Horner να τοποθετούνται μηδενικά, δηλαδή το Παράδειγμα 7 Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρεθούν το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης: 3 x x 7x 5 : x 1 Άρα Πx x 3x 10 και υ 5 Κατηγορία Μέθοδος 5 Αν γνωρίζουμε δύο πολυώνυμα Δ x και δ x τότε είναι δυνατό να βρούμε το πηλίκο Πx και το υπόλοιπο υx της διαίρεσης Δ x : δ x με τους εξής τρόπους: 1 ο Κάνουμε τη διαίρεση όπως έχουμε περιγράψει ο Στηριζόμαστε στην ταυτότητα της διαίρεσης Δx δx Πx υx Υπολογίζουμε αρχικά τους βαθμούς των Πx και υ x και στη συνέχεια εργαζόμαστε με τη μέθοδο της προσδιοριστέων συντελεστών 3 ο Αν δx x ρ χρησιμοποιούμε σχήμα Horner Παράδειγμα 8 Να βρεθεί το πολυώνυμο δx το οποίο διαιρεί το Δx 3x 7x x και δίνει πηλίκο Πx x Αφού το Δx είναι 3 ου βαθμού και το Πx 1ου, το δx θα είναι ου βαθμού

Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων 183 Έστω λοιπόν ότι: δ x αx βx γ, α 0 Σύμφωνα με την υπόθεση η διαίρεση Δ x : δ x είναι τέλεια οπότε η ταυτότητά της είναι: Δ x δ x Π x 3x 7x x αx βx γx 3 3x 7x x αx αx βx βx γx γ 3 3x 7x x αx α β x β γ x γ Από τον ορισμό της ισότητας πολυωνύμων παίρνουμε: α 3 α 3 α β 7 β 1 β γ 1 γ 1 γ Άρα δx 3x x 1 Κατηγορία Μέθοδος 6 Για να δείξουμε ότι ένα πολυώνυμο Px διαιρείται με γινόμενο της μορφής x αx β αρκεί να δείξουμε ότι: Pα 0 και Ρβ 0 Σε ασκήσεις που ζητούν και το πηλίκο της διαίρεσης ακολουθούμε τα παρακάτω: Το x α διαιρεί το Px οπότε: Px x απ x (1) και το x β διαιρεί το Π x οπότε: Π x x β Π x 1 1 1 () Από (1) και () παίρνουμε: Px x αx βπ x δηλαδή το ζητούμενο Την ίδια διαδικασία ακολουθούμε και όταν ο διαιρέτης είναι της μορφής x α ν Παράδειγμα 9 Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Px x3 5x 9x 18 διαιρείται με το γινόμενο x x 3 και να βρείτε το πηλίκο Κάνουμε σχήμα Horner για τη διαίρεση Px : x Δηλαδή έχουμε Px x x 9x 9 (1) όπου Π x x 9x 9 1 Κάνουμε σχήμα Horner για την διαίρεση Π x : x 3 1 5-9 -18 4 18 18 9 9 0 9 9-3 -6-9 3 0

184 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Δηλαδή έχουμε Π x x 3x 3 () 1 Η (1) δίνει λόγω της (): Px x x 3x 3, που σημαίνει ότι το P x διαιρείται με το γινόμενο x x 3 και το πηλίκο είναι το πολυώνυμο: Π x x 3 Παράδειγμα 10 Να βρείτε α,β R ώστε το πολυώνυμο v1 P x x αx β να έχει παράγοντα το x 1 Αρχικά πρέπει το P x να έχει παράγοντα το x 1 δηλαδή P1 0 Κάνουμε σχήμα Horner για το Px και το 1 Άρα πρέπει P1 0 α β 1 0 δηλαδή α β 1 (1) Έχουμε v v1 P x x 1 x x x α 1 Έστω Πx x v x v1 x α 1 Θα πρέπει το Π x να έχει παράγοντα το x 1 Άρα πρέπει: Π1 0 11 1 α 1 0 ν α 1 0 α 1 ν και από (1) 1 ν β 1 ή β ν Άρα πρέπει α 1 ν και β ν 1 0 0 0 α β 1 1 1 1 1 α + 1 1 1 1 1 α + 1 α + β + 1 Κατηγορία - Μέθοδος 7 Εφαρμογή του θεωρήματος 4 (της Ακέραιας ρίζας) Παράδειγμα 11 Να δείξετε ότι το v1 v P x x x 1 δεν έχει ακέραιη ρίζα Έστω ότι έχει ακέραιη ρίζα τότε αυτή θα διαιρεί το 1 άρα θα είναι 1 ή 1 P1 1 άτοπο, P1 1 επίσης άτοπο Παράδειγμα 1 Αν το 5 3 P x x β x 37x 1 έχει μια ακέραιη ρίζα, να βρείτε τις τιμές του β Το Px αφού έχει ακέραιη ρίζα αυτή θα διαιρεί το 1 άρα θα είναι 1 ή 1 Αποκλείεται όμως η 1 αφού οι συντελεστές του πολυωνύμου είναι όλοι θετικοί

Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων 185 5 Συνεπώς: 3 P 1 0 1 β 1 37 1 1 0 β 37 1 0 β 36 β 6 Γ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 Έστω τα πολυώνυμα P x α β 1 x β γ 1 x γ α και Qx αx βx γ 3 όπου α,β, γ R με α 1 β 3 γ 3 3 3α 1β γ 3 και α β γ 6 Να δειχθεί ότι Px Qx 3 Από τη σχέση α 1 β 3 γ 3 3 3α 1β γ 3 συμπεραίνουμε ότι: α 1 β γ 3 0 ή α 1 β γ 3 δηλαδή α β γ 6 απορρίπτεται ή α 1 β γ 3 (1) Από (1) έχουμε: α 1 β β α 1 β γ 3 β 1 α 1 γ 3 α γ () Οι συντελεστές του πολυωνύμου Δηλαδή τα α β 1 α α 1 1 α P x είναι εξαιτίας της σχέσης ():, γ α γ γ γ Άρα Px Q x Άσκηση Βρείτε πολυώνυμο β γ 1 β β 1 1 β, Px, Q x έχουν όλους τους συντελεστές των ομοβάθμιων όρων τους ίσους Px, 3ου βαθμού, αν για κάθε x 0 ισχύει: 3 1 P 3x 3P x 3x P 13 x Έστω ότι 3 P x αx βx γx δ με α 0 Έχουμε διαδοχικά:

186 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων 3 1 P 3x 3P x 3x P 13 x 3 3 α 3x β3x γ 3x δ 3 α x β x γx δ 3 3 1 1 1 3x α β γ δ 13 x x x 3 3 3 7αx 9βx 3γx δ 3 8αx 4βx γx δ 3x δ 13 3 3αx3 1βx 3γx 4δ 3α 3βx 3γx 3δx 3 13 3 α β γ x x x 6α 3δ x 4β 3γ x 6γ 3β x 8δ 3α 13 Η τελευταία ισότητα με βάση τον ορισμό της ισότητας πολυωνύμων, δίνει: 6α 3δ 0 δ α δ 4β 3γ 0 γ 14β γ 0 6γ 3β 0 β 0 β 0 8δ 3α 13 α 1 α 1 Άρα το ζητούμενο πολυώνυμο είναι: Px x3 Άσκηση 3 Βρείτε τις τιμές των α,β R για τις οποίες, για κάθε x R,3 ισχύει: x 1 α β x 5x 6 x x 3 Εκτελούμε τις πράξεις και στα δύο μέλη της σχέσης x 1 α β x 1 α x 3 β x Είναι: x 5x 6 x x 3 x x 3 x x 3 x 1 α x 3 β x x 1 αx 3α βx β x 1 α β x 3α β Η τελευταία επειδή πρέπει ν α ισχύει για κάθε x R,3 είναι ισότητα πολυωνύμων του x Με βάση λοιπόν τον ορισμό της ισότητας πολυωνύμων έχουμε: α β α β α β α 5 3α β 1 3 β β 1 β 7 β 7 Άσκηση 4 Έστω πολυώνυμο Px τέτοιο ώστε: Px 1 Px 3 για κάθε x R και P0 0 Να υπολογιστεί το P15

Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων 187 Η δοθείσα σχέση Px 1 Px 3 (1) για x 7 δίνει: P15 P7 3 () Συνεπώς για να βρούμε το P15 αρκεί να βρούμε το P7 Εφαρμόζουμε λοιπόν την (1) για x 3 και παίρνουμε P7 P3 3 (3) Αναζητούμε έτσι το P 3 Η (1) για x 1 δίνει: P3 P1 3 (4) Το P1 βρίσκουμε από την (1) για x 0 : P1 P0 3 και επειδή P0 0 είναι: P1 3 (5) Από (4), (5) παίρνουμε ότι Έτσι η σχέση () δίνει: P15 45 Άσκηση 5 P3 9 οπότε από την (3) προκύπτει ότι P7 1 Βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης: x 5 : x 1 Είναι x 1 x x 1 Οπότε: x5 0x4 0x3 0x 0x 0 x x 1 x5 x4 x3 x3 x 3x 4 x4 x3 0x 0x 0 x4 4x3 x 3x3 x 0x 0 3x3 6x 3x 4x 3x 0 4x 8x 4 5x 4 Άρα έχουμε: Πηλίκο: Πx x3 x 3x 4 Άσκηση 6 Πολυώνυμο Υπόλοιπο: υx 5x 4 Px διαιρούμενο με το x 1 δίνει υπόλοιπο 3 και διαιρούμενο με το x δίνει υπόλοιπο 9 Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Px με το x 1x

188 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Η ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύμου Px με το x 1x γράφεται: Px x 1x Πx υx Επειδή ο διαιρέτης είναι ου βαθμού το υπόλοιπο θα είναι το πολύ 1ου βαθμού Έστω υx αx β Τότε η ταυτότητα της διαίρεσηςγράφεται: Από την τελευταία ισότητα παίρνουμε: για x 1: P1 α β για x : P α β Επειδή από την υπόθεση είναι Px x 1x Π x αx β P1 3 και P 9 έχουμε: α β 3 α β 9 Η λύση του συστήματος δίνει: α και β 5 δηλαδή υx x 5 Άσκηση 7 i Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Px με το αx β, α 0 β είναι: υ P α ii Να βρείτε μ R ώστε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου 3 P x 8μx μ 1 x 3 με το x 1 να είναι 5 i Η ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύμου Px με το αx β γράφεται: Px αx β Π x υx (1) Επειδή ο διαιρέτης είναι 1ου βαθμού, το υπόλοιπο θα είναι σταθερό πολυώνυμο, άρα η (1) γράφεται: Px αx β Π x υ β β β β β Για x έχουμε P α β Π υ δηλαδή P υ α α α α α ii Για να είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του Px με το x 1 ίσο με 5 πρέπει από το ερώτημα i να ισχύει: 1 P 5 ή 3 1 1 8μ μ 1 3 5 1 μ 1 μ 1 8μ 3 5 ή μ ή μ μ 1 4 8 Δηλαδή 3μ 3 μ 1 ή

Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων 189 Άσκηση 8 Αν το πολυώνυμο Px έχει παράγοντα το x, να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο P5x 7 έχει παράγοντα το x 1 Αφού το Px έχει παράγοντα το x x θα ισχύει P 0 (1) Βρίσκουμε την αριθμητική τιμή του P5x 7 για x 1 Έχουμε: 1 P 51 7 P 0 Άρα το 1 είναι ρίζα του P5x 7, επομένως το P5x 7 έχει παράγοντα το x 1 Δ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ 1 Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης: 5 3 3x 1x 0 50 : x Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης: αx 5 βx 4 1 : x 1 3 Δίνεται το πολυώνυμο 13 1 11 10 P x x 10x 10x 10x 10x 1 Να βρείτε το P9 και το P 11 4 Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο 4 3 P x x 6x 1x 11x 6 διαιρείται με το x 5x 6 και να βρείτε το πηλίκο του 5 Να βρείτε α,β R ώστε το πολυώνυμο 4 3 P x 3x αx 5x 9x β να διαιρείται με το x 1 6 Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο v v1 v P x x v3 x v 1 3, v N έχει παράγοντα το x 3 7 Να βρεθούν τα α,β R συναρτήσει του ν ώστε το πολυώνυμο v v1 P x αx βx να έχει παράγοντα το πολυώνυμο Q x x x 1 8 Να δειχθεί ότι το πολυώνυμο Qx x x είναι παράγοντας του πολυωνύμου v 1 v1 P x x 1 x 3x 1 με v N 9 Πολυώνυμο P x διαιρούμενο με το x 3 δίνει υπόλοιπο 1 Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης Px 1 : x 1

190 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων 10 Πολυώνυμο Px έχει παράγοντα το x 4 και είναι τέτοιο ώστε για κάθε x R να ισχύει: Px P5x 1 Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης Px : x 9 11 Πολυώνυμο Px διαιρούμενο με το x 1 δίνει το υπόλοιπο 5 και διαιρούμενο με το x 3 δίνει υπόλοιπο 7 Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης P x : x x 3 1 Πολυώνυμο Px διαιρούμενο με το x 1 δίνει υπόλοιπο 4, διαιρούμενο με το x δίνει υπόλοιπο 6 Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης Px με το x 1 x x 3 13 Να βρείτε α,β R ώστε το πολυώνυμο 5 P x x x αx β διαιρούμενο με το x 4 δίνει υπόλοιπο 35x 5 Ε ΤΟ ΞΕΧΩΡΙΣΤΟ ΘΕΜΑ 1 Έστω πολυώνυμο P x τέτοιο ώστε Να βρεθεί το P 7 Να προσδιοριστούν οι α,β R ώστε το πολυώνυμο: 3 P x 1 P 7x 6 x P1 0 4 3 P x x 6x α β x α 1 x α 4β να είναι τέλειο τετράγωνο άλλου πολυωνύμου