είναι οι εξαρτημένες μεταβλητές και t η ανεξάρτητη μεταβλητή. Αυτό γίνεται παίρνοντας ως καινούργιες μεταβλητές ( x 1

1 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ Π1. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Αν έχομε σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων λέμε ότι είναι τάξης, όπου είναι το άθροισμα των τάξεων των επιμέρους διαφορικών εξισώσεων. Για παράδειγμα, σύστημα διαφορικών εξισώσεων, η κάθε μια δεύτερης τάξης, αποτελούν σύστημα τάξης 2. Κάθε σύστημα διαφορικών εξισώσεων τάξης μπορεί να αναχθεί σε σύστημα διαφορικών εξισώσεων της μορφής d dt X (,,...,, t), 1, 2,...,. (12.1) 1 2 Όπου είναι οι εξαρτημένες μεταβλητές και t η ανεξάρτητη μεταβλητή. Αυτό γίνεται παίρνοντας ως καινούργιες μεταβλητές ( 1 ( t), 2 ( t),..., ( t ) ) τις αρχικές εξαρτημένες μεταβλητές μαζί με τις παραγώγους τους τάξης κατά ένα μικρότερης της μέγιστης τάξης παραγώγου που απαντά στο αρχικό σύστημα. Για παράδειγμα έστω το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων d q dt d q (,,, ), (,,, ). (12.2) dt 2 2 1 2 Q1 q1 q2 q1 q 2 2 Q 2 2 q1 q2 q1 q2 Αυτό είναι τάξης 4 και μπορεί να αναχθεί στο d1 d2 d3 d4 3, 4, Q1 ( 1, 2, 3, 4), Q2 ( 1, 2, 3, 4). (12.3) dt dt dt dt Αν η F( 1, 2,...,, t ) είναι τέτοια που d F 0 για εκείνα τα 1( t), 2 ( t),..., ( t ) που dt ικανοποιούν το σύστημα των διαφορικών Εξ.(12.1), τότε η εξίσωση F(,,...,, t) c σταθερό (12.4) 1 2 λέγεται ότι είναι ένα ολοκλήρωμα του συστήματος των διαφορικών εξισώσεων. Πολλές φορές η ίδια η συνάρτηση F( 1, 2,...,, t ) λέγεται ότι είναι ένα ολοκλήρωμα του συστήματος. Σε αυτή την περίπτωση λέμε ότι έχομε ολοκληρωσιμότητα Lagage. Εύκολα βρίσκεται η συνθήκη που πρέπει να ισχύει ώστε δεδομένη συνάρτηση F(, t ) να αποτελεί ένα ολοκλήρωμα του συστήματος. Πράγματι αφού προφανώς ισχύει d F 0, άρα έχομε dt

2 F F 0 t (12.5) 1 ή F F X 0 t. (12.6) 1 Αυτή είναι η συνθήκη για να μπορεί να είναι η Εξ.(12.4) ένα ολοκλήρωμα του συστήματος των διαφορικών εξισώσεων, Εξ.(12.1). Η πλήρης λύση αυτού του συστήματος των διαφορικών εξισώσεων τάξης επιτυγχάνεται αν βρεθούν τέτοια ολοκληρώματα, δηλαδή F (,,...,, t), 1, 2,..., (12.7) 1 2 όπου τα είναι αυθαίρετες σταθερές. Υποτίθεται ότι οι σχέσεις αυτές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Αυτό μπορούμε να το καταλάβομε θεωρώντας τις μεταβλητές 1, 2,..., που βρίσκονται από τη λύση του συστήματος των αλγεβρικών Εξ.(12.7) ως συναρτήσεις των t, 1, 2,...,, δηλαδή (,,...,, t), 1, 2,...,. (12.8) 1 2 Αν ( 1, 2,..., ) είναι κάποιο ειδικό σύνολο συναρτήσεων το t που ικανοποιούν τις διαφορικές εξισώσεις, Εξ.(12.1), προκύπτει από όσα είπαμε ότι δίνοντας στις αυθαίρετες σταθερές κατάλληλες σταθερές τιμές μπορούμε να πετύχομε να ικανοποιούνται οι Εξ.(12.7) για αυτό το ειδικό σύνολο συναρτήσεων και επομένως αυτό το σύνολο συναρτήσεων θα συμπεριλαμβάνεται στις συναρτήσεις που ορίστηκαν με τις Εξ.(12.8). Επομένως η λύση του δυναμικού προβλήματος με συντεταγμένες θέσης μπορεί να θεωρηθεί ισοδύναμο με τον προσδιορισμό 2 ολοκληρωμάτων του αντίστοιχου συνόλου διαφορικών εξισώσεων τάξης 2. Π2. ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΜΕ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Ας ξεκινήσομε από σύστημα αναφοράς στο οποίο η περιγραφή γίνεται με καρτεσιανές, σταθερές ως προς το σύστημα, συντεταγμένες. Για μηχανικό σύστημα με Ν σωμάτια έχομε N 1 2 T. (13.1) 2 1

3 Έχομε τις σχέσεις μετασχηματισμού συντεταγμένων Εξ.(13.2), όπου έχουν ληφθεί υπόψη ολόνομοι δεσμοί και έτσι έχουν οριστεί γενικευμένες συντεταγμένες θέσης ( q, q,..., q, t), 1, 2,..., N. 1 2 Ισχύουν για τις αντίστοιχες ταχύτητες 1 (13.2) d q. (13.3) dt q t Άρα N 1 T q 1 2 1 q t T ( q, t) T ( q, q, t) T ( q, q, t). 0 1 2 2 (13.4) Όπου N 2 1 T0 ( q, t) M 0( q, t), M 0( q, t) 1 2 t N T1 ( q, q, t) M ( q, t) q, M ( q, t) 1 1 t q 1 N T2 ( q, q, t) M ( q, t) q q, M ( q, t) M ( q, t) 2 1 1 1 q q. (13.5) Το πρώτο άθροισμα, προσθετέος, T T ( q, t) 0 0, δεν εξαρτάται από τις ταχύτητες, το δεύτερο, T (,, ) 1 T q q t 1, εξαρτάται γραμμικά από τις ταχύτητες. Οι όροι αυτού του αθροίσματος λέγονται γυροσκοπικοί όροι, σε αυτούς οφείλεται η «περίεργη» κίνηση του γυροσκοπίου. Το τρίτο άθροισμα T (,, ) 2 T q q t 2 είναι δευτέρου βαθμού ως προς τις ταχύτητες. Οι τρεις προσθετέοι είναι ομογενείς ως προς τις ταχύτητες βαθμών 0, 1, 2 f αντιστοίχως. Δηλαδή ισχύει η γνωστή σχέση f όπου είναι ο βαθμός 1 ομογένειας για τις μεταβλητές. Αν οι εξισώσεις μετασχηματισμού από τις καρτεσιανές στις άλλες γενικευμένες δεν περιέχουν το χρόνο, τότε T0 T1 0 και μένει μόνο ο όροςt 2, T T 2 ( q, q ), ο οποίος έχει ομογενή τετραγωνική μορφή ως προς τις γενικευμένες ταχύτητες και δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο.

4 Π3. ΔΙΑΦΟΡΑ ΕΙΔΗ ΣΥΝΙΣΤΩΣΩΝ ΔΥΝΑΜΗΣ Αν έχομε μια δυνατή μεταβολή, δq, της γενικευμένης συντεταγμένης, q, ενώ όλες οι άλλες γενικευμένες συντεταγμένες μένουν αμετάβλητες, τότε το σημείο ( 1, 2,..., N ) του πλήρους καρτεσιανού θεσικού χώρου θα υποστεί μιαν αντίστοιχη δυνατή μεταβολή, δ (δ 1,δ 2,...,δ N ). Η κατεύθυνση αυτής της μετατόπισης στον καρτεσιανό χώρο, λέγεται κατεύθυνση q. Έστω η δύναμη, F ( X1, X 2,..., X 3N ), του καρτεσιανού χώρου. Η ορθή προβολή της στην κατεύθυνση q λέγεται φυσική συνιστώσα της F στην κατεύθυνση q και παριστάνεται συνήθως ως F q. Για να βρούμε τη σχέση μεταξύ γενικευμένων συνιστωσών δυνάμεων και φυσικών συνιστωσών σκεφτόμαστε ως εξής. Η συνιστώσα μιας δυνατής μετατόπισης στην q κατεύθυνση, στην κατεύθυνση της καρτεσιανής συνιστώσας δίνεται από τη σχέση δ δ q, 1, 2,...,3N. (14.1) q Επομένως η συνιστώσα στην κατεύθυνση του μοναδιαίου διανύσματος ( q ) ( 1, 2,..., 3N ) στην κατεύθυνση q, είναι / q ( q ), 1,2,...,3 N 1/2 N 2 / q 1. (14.2) Το εσωτερικό γινόμενο επί τη δύναμη F ( X1, X 2,..., X 3N ), δίνει τη φυσική συνιστώσα της δύναμης αυτής στην κατεύθυνση q, δηλαδή 3N 3N q ( ) 1 1 2 F X q N 1 X / q / q 1/2. (14.3) Έχομε την παρακάτω σχέση για τις γενικευμένες συνιστώσες δύναμης,

5. N Q F 1 q Προφανώς στο συμβολισμό με τις καρτεσιανές συνιστώσες μπορεί να γραφτεί ως Q 3N X. (14.4) 1 q Από την Εξ.(14.3) και την Εξ.(14.4) βρίσκομε τη ζητούμενη σχέση για την q φυσική συνιστώσα της καρτεσιανής δύναμης, F q N 1 Q / q 2 1/2. (14.5) Υπάρχουν και άλλες ανάλογες ποσότητες για τις δυνάμεις, οι πιο διαδεδομένες είναι οι λεγόμενες συνήθεις (oday) συνιστώσες δύναμης, X. Οι συνήθεις συνιστώσες δύναμης στις κατευθύνσεις q, 1, 2,...,, ορίζονται ως το σύνολο των πολυδιάστατων διανυσμάτων στις κατευθύνσεις q τα οποία όταν αθροιστούν διανυσματικά δίνουν το πολυδιάστατο διάνυσμα της δύναμης στον καρτεσιανό χώρο των 3Ν διαστάσεων. Χωρίς να το αποδείξομε απλώς αναφέρομε ότι η συνήθης συνιστώσα δύναμης στην κατεύθυνση q δίνεται από oq όπου 1/ 2 o ( ) q 1 X g g Q (14.6) Q η q γενικευμένη συνιστώσα δύναμης, 3N / ( / ) και g q q 1 g είναι μήτρα με στοιχεία g είναι τα στοιχεία της αντίστροφης μήτρας. Πολλές φορές οι όροι δε χρησιμοποιούνται προσεκτικά και μπερδεύονται, καλό είναι να το έχομε υπόψη. Το Σχ. (Π3.1) δείχνει τις διαφορές τους στις δυο διαστάσεις. ΟΒ είναι η φυσική συνιστώσα της δύναμης f στην κατεύθυνση της q 1 γενικευμένης συνιστώσας. ΟΑ είναι η συνήθης συνιστώσα της δύναμης f στην ίδια κατεύθυνση. Το σύστημα των γενικευμένων συντεταγμένων q1, q 2 είναι πλαγιογώνιο καρτεσιανό.

6 Σχήμα Π3.1 Φυσική (OB) και συνήθης (ΟΑ) συνιστώσες δύναμης. Π4. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ-ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΗΣ NOETHER Για την περιοχή αυτή των μαθηματικών, χρησιμοποιούνται οι όροι, θεωρία μεταβολών ή παραλλαγών ή παραλλακτικές μέθοδοι (vaatoal ethods). Τα θεωρήματα στα οποία θα αναφερθούμε είναι στην ουσία μαθηματικά θεωρήματα. Αυτά τα θεωρήματα έχουν εφαρμογή στα δυναμικά συστήματα, στη Φυσική και γι αυτό τα εξετάζομε στη μορφή που είναι χρήσιμα στη Φυσική. Συγκεκριμένα, βρίσκουν εφαρμογή στην Κλασική Φυσική και με αυτό εννοούμε, στην περιοχή που λαμβάνονται υπόψη η καθαρά Νευτώνεια Φυσική ή η Ειδική ή η Γενική σχετικότητα, ακόμη και η Κβαντική Φυσική με τα πεδία να είναι κλασικά πεδία. Στα παρακάτω υποθέτομε ότι ο χώρος είναι επίπεδος, Το στοιχείο όγκου όταν ο χώρος ολοκλήρωσης είναι επίπεδος (flat), μη καμπύλος, (flat) οπότε το στοιχείο όγκου είναι της μορφής d d1d 2...d d. Τέτοιος χώρος στη φυσική, είναι ο συνήθης τρισδιάστατος χώρος (σε καρτεσιανές συντεταγμένες) μαζί με τον ανεξάρτητο χρόνο στη μη σχετικιστική μηχανική. Στην Ειδική Σχετικότητα είναι ο τετραδιάστατος χώρος 0 1 2 3 4 0 1 2 3 Mows της σχετικότητας, ( ( ct,,, ) ), d d d d d = d. Σε αυτές τις περιπτώσεις ο χώρος είναι ευκλείδειος ή ψευδοευκλείδειος. Στην περίπτωση καμπύλων χώρων συμπεριλαμβανομένης και της περίπτωσης της Γενικής Σχετικότητας, το στοιχείο όγκου γίνεται g d0d1d 2d 3, όπου g( ) είναι η ορίζουσα του μετρικού

7 τανυστή g ( ) στο τετρασημείο. Η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση γίνεται g. Σε αυτή την περίπτωση τροποποιείται με ανάλογο τρόπο και το θεώρημα της απόκλισης που συνδέει το ολοκλήρωμα όγκου με το ολοκλήρωμα στην περικλείουσα τον όγκο επιφάνεια. Π4.1 Εξισώσεις των Eule-Lagage από θεωρία μεταβολών Έστω η συνάρτηση F η οποία εξαρτάται, τελικώς, από ανεξάρτητες μεταβλητές. Στη φυσική έχομε 1 στην περιγραφή με βάση τη συνήθη κλασική νευτώνεια μηχανική και 4 στην περίπτωση περιγραφής με βάση την ειδική και γενική θεωρία της σχετικότητας, επίσης η F είναι η λαγκρανζιανή πυκνότητα ή η λαγκρανζιανή. Γίνονται και επεκτάσεις σε χώρους όπως στον χώρο των πρόσθετων ανεξάρτητων μεταβλητών του Gassa. Η F εξαρτάται και από συναρτήσεις των, τις y ( ), που είναι εξαρτημένες μεταβλητές και είναι μεταξύ τους ανεξάρτητες. Θα υποθέσομε y ακόμη ότι η F εξαρτάται επίσης, από (μόνο) τις πρώτες παραγώγους y,. Μπορεί κανείς να ασχοληθεί με πιο γενικές μορφές όπου υπάρχει εξάρτηση και από παραγώγους ανώτερης τάξης, τότε οι εξισώσεις Eule-Lagage είναι ανώτερης τάξης και οι εκφράσεις του θεωρήματος της Noethe περιέχουν ανώτερες παραγώγους. Τέτοιες γενικεύσεις και επεκτάσεις έχουν προταθεί ή βρίσκουν εφαρμογή στα πλαίσια Υπερσυμμετρικών Θεωριών Στοιχειωδών Σωματιδίων (θεωρίες SUSY, supesyety). Όμως στα πλαίσια της φυσικής που μας ενδιαφέρει εδώ, είναι αρκετή η εξάρτηση μόνο από τις πρώτες παραγώγους. Όσα ακολουθούν αναφέρονται σε προβλήματα που σχετίζονται με ανεξάρτητες μεταβλητές χώρου διαστάσεων (υπερόγκος). Στο σύνορο του χώρου (υπερεπιφάνεια -1 διαστάσεων ) οι τιμές των εξαρτημένων μεταβλητών είναι καθορισμένες και δεν μεταβάλλονται κατά τις παραλλαγές. Θα χρησιμοποιούμε τους συμβολισμούς (,,..., ) 1 2 y y( ) y ( ), y ( ),..., y ( ) 1 2 y y y = y, 1,2,..., 1,2,..., y F(, y, y) F, y, F, y, y, 1, 2,..., 1, 2,...,. (15.1) Σχηματίζομε το συναρτησοειδές της συνάρτησης F

8 1 2 Z Z y( ) F( y, y, )d d d d...d d 2 1 (15.2) Το ολοκλήρωμα εκτείνεται σε ένα πεπερασμένο ή απέραντο χωρίο («όγκο») του χώρου των, διαστάσεως. Τα y( ) παριστάνουν μια «τροχιά» στον ανωτέρω πολυδιάστατο χώρο. Θέλομε να βρούμε τις σχέσεις που πρέπει να πληρούν τα y( ) (πραγματική τροχιά) ώστε το συναρτησοειδές να έχει στάσιμη τιμή για αυτή την τροχιά σε σχέση με γειτονικές τροχιές που διαφέρουν κατά απειροστό πρώτης τάξης από την πραγματική. Οι απειροστές μεταβολές των y( ) είναι αυθαίρετες συναρτήσεις των και γίνονται με τα σταθερά. Για κάθε θέση πηγαίνομε από το σημείο της πραγματικής τροχιάς y( ) στο σημείο της γειτονικής τροχιάς y ( ). Σε αυτό το Εδάφιο, αυτές οι μεταβολές θα συμβολίζονται με το γνωστό σύμβολο δ. Αφού τα y( ) είναι καθορισμένα και μη μεταβλητά κατά τις παραλλαγές στο σύνορο, οι αυθαίρετες μεταβολές των y( ), δηλαδή τα δ y( ), πρέπει να μηδενίζονται στο σύνορο του χωρίου Ω. Όπως είπαμε το σύνορο S είναι ένα είδος υπερεπιφάνειας διαστάσεως 1 μέσα στο χώρο των ανεξάρτητων μεταβλητών διαστάσεως. Προφανώς το χωρίο Ω δεν μεταβάλλεται κατά την παραλλαγή (μεταβολή). Στάσιμη τιμή σημαίνει ότι, η απειροστή παραλλαγή του συναρτησοειδούς (δηλαδή του ολοκληρώματος) της Εξ.(15.2), κατά τη μεταβολή από την πραγματική τροχιά στη γειτονική παραλλαγμένη τροχιά, είναι μηδέν. Συγκεκριμένα δ Z = F, y, y d F, y, y d Ω Ω = F, y, y F, y, y d Ω =δ F, y, y d δ F, y, y d 0. Ω Ω (15.3) Στο Σχ.(Π4.1) φαίνεται η απλή περίπτωση για 1 και 1.

9 Σχήμα Π4.1 Πραγματική και γειτονική τροχιά για την πιο απλή περίπτωση. Αυτή είναι η αρχή παραλλαγών (ή μεταβολών). Με βάση αυτή την αρχή θα δείξομε ότι για την πραγματική τροχιά ισχύουν οι εξισώσεις των Eule-Lagage. Η ισχύς των εξισώσεων των Eule-Lagage είναι αναγκαία συνθήκη για το στάσιμο του συναρτησοειδούς αλλά όχι πάντοτε και ικανή συνθήκη. Δεν θα ασχοληθούμε με αυτό το μαθηματικό θέμα εδώ. Υποθέτομε ότι υπάρχουν τα y( ) έχουν παραγώγους μέχρι δεύτερης τάξης ως προς τα. Θα ορίσομε μεταβολές των μεταβλητών που να είναι σε συμφωνία με όσα είπαμε παραπάνω. Ενώ μπορεί κανείς να ορίσει γενικότερες μεταβολές με πιο πολύπλοκες εξαρτήσεις, συγκεκριμένα δ 0 1, 2,..., δ y ( )= y y 1, 2,..., (15.4) δ y ( ) =0. S Για μια συνάρτηση f με άμεση και έμμεση εξάρτηση από τα έχομε, f f δf f f f δ f δ =δf f δf δ. δf (15.5)

10 Έχομε τη σχέση δz δfdω F δy F δy dω 0,. (15.6) Ω Ω 1 y 1 y, Σε αυτό το σημείο αναφέρομε ότι πρέπει να προσέχομε διότι ο συμβολισμός που ακολουθείται σε αυτή την περιοχή, διεθνώς, δεν είναι ο συνήθης. Συγκεκριμένα, αν έχομε f, y( ), y ( ), αυτή εξαρτάται άμεσα από τις μια συνάρτηση της μορφής μεταβλητές και επίσης έμμεσα από τις μέσω των y( ), y( ). Θα παριστάνομε με το σύμβολο της μερικής παραγώγου ως προς, δηλαδή f (, y( ), y( )), την παραγώγιση που αναφέρεται μόνο στην άμεση εξάρτηση από την και με το σύμβολο της συνήθους παραγώγου θα παριστάνομε την «ολική παράγωγο ως προς» που σημαίνει ότι η παραγώγιση αναφέρεται στην «ολική» εξάρτηση από το, άμεση και έμμεση. Προφανώς έχομε για αυτού του είδους την ολική παράγωγο d f (, y( ), y ( )) f f y f y d y y l l,. (15.7) l1 l 1 l1 l, Μερικές φορές δεν γίνεται διάκριση συμβολισμού μεταξύ μερικής παραγώγισης και ολικής παραγώγισης, ειδικά στη θεωρία πεδίων. Θυμίζομε ότι στη συνήθη πρακτική το σύμβολο χρησιμοποιείται για να δείξει ότι η συνάρτηση εξαρτάται από πολλές μεταβλητές αλλά είναι ουσιαστικά παράγωγος που λαβαίνει υπόψη όλες τις εξαρτήσεις d από το και το σύμβολο για να δείξει ότι δεν υπάρχουν πολλές μεταβλητές. d Προφανώς ισχύει σύμφωνα με όσα είπαμε ότι y ( ) d y ( ) d. (15.8) Μεγαλύτερη δυσκολία εμφανίζεται με τα διαφορικά διότι εδώ ολικό διαφορικό εννοείται διαφορικό που σχετίζεται μόνο με την ανεξάρτητη μεταβλητή d (είναι ουσιαστικά μερικό ολικό διαφορικό). Οι συγγραφείς εισάγουν διάφορα σύμβολα για να αποφεύγονται οι παρανοήσεις, χωρίς όμως να υπάρχει κάτι που να ακολουθείται από όλους. Είναι εύκολο να δούμε ότι ισχύουν οι αντίστοιχες των τελευταίων από τις Εξ.(15.5) για την ολική παράγωγο. Πράγματι για μια συνάρτηση με άμεση και έμμεση εξάρτηση από τα έχομε

11 df df df d(δ f ) δ d d d d d f d (δ f ) δ. d d (15.9) Θα ολοκληρώσομε παραγοντικά το δεύτερο ολοκλήρωμα του αθροίσματος της Εξ.(15.6). Ισχύει η σχέση d F d F F d(δ y ) δy δy d y, d y, y, d d F F dy d F F y δy δ δy δ d y y d d y y,,,, d F F =δy δ y,. d y, y, (15.10) Επομένως, με παραγοντική ολοκλήρωση, το δεύτερο ολοκλήρωμα της Εξ.(15.6) γίνεται F d F d F δy dω δy dω- δy dω. (15.11), 1 1, 1 1 d, 1 1 d Ω y Ω y Ω y, d F Η έκφραση δ y στο πρώτο ολοκλήρωμα του δεύτερου μέλους της 1 d y, Εξ.(15.11), είναι η απόκλιση με διάσταση της συνάρτησης που αντιπροσωπεύει η παρένθεση, επομένως ισχύει το σχετικό θεώρημα της απόκλισης και το ολοκλήρωμα όγκου μετατρέπεται σε ολοκλήρωμα στην επιφάνεια που περικλείει τον όγκο (σύνορο του χωρίου, του όγκου), όπου στην επιφάνεια θεωρείται θετική η κατεύθυνση από μέσα προς τα έξω. Συγκεκριμένα, ισχύει df d Ω f d S d. (15.12) Ω 1 S 1 Τα ds είναι οι «προβολές» του στοιχείου του συνόρου S στο υπερεπίπεδο που καθορίζεται από =σταθερό. Επομένως το παραπάνω ολοκλήρωμα της Εξ.(15.11) γίνεται d F F δy d δy d S. (15.13) 1 1 d y, S 1 1 y,

12 Όμως οι δεύτερες σχέσεις της Εξ.(15.4) λένε ότι στην επιφάνεια S τα δy 0, άρα το ολοκλήρωμα της Εξ.(15.13) είναι μηδέν, οπότε η Εξ.(15.6) με χρήση της Εξ.(15.11) και της Εξ.(15.13) δίνει F d F δz δy - dω 0. (15.14) 1 y 1 d Ω y, Στη συνέχεια κάνομε τον εξής συλλογισμό, αφού τα y είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα θα είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα και τα δy, επομένως μπορούμε να διαλέγομε διαδοχικά ένα από αυτά μη μηδενικό στο άθροισμα των ολοκληρωμάτων πάνω στα 1, 2,..., και όλα τα άλλα μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι κάθε ένα από αυτά τα ολοκληρώματα του αθροίσματος θα είναι μηδέν, δηλαδή F d F δy - dω 0. (15.15) y 1 d Ω y, Ας υποθέσομε ότι η κάθε αγκύλη στην Εξ.(15.15) είναι παντού μη μηδενική. Αφού οι μεταβολές δy είναι αυθαίρετες συναρτήσεις των, μπορούμε σε κάθε σημείο να τις διαλέξομε έτσι που να έχουν το ίδιο πρόσημο με αυτό της μη μηδενικής έκφρασης που είναι μέσα στην αγκύλη. Αυτό σημαίνει ότι η υπό ολοκλήρωση παράσταση θα είναι παντού θετική. Τότε όμως καταλήγομε σε άτοπο διότι δεν μπορεί το ολοκλήρωμα της Εξ.(15.15) να είναι μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι η αγκύλη πρέπει να είναι μηδέν. Επομένως τελικώς η Εξ.(15.15) μας οδηγεί στο ότι, για την πραγματική τροχιά, δηλαδή για τα y ( ) 1, 2,...,, που την καθορίζουν, ισχύουν οι εξισώσεις των Eule-Lagage για τη συνάρτηση F του συναρτησοειδούς, δηλαδή F d F y d y 1, 1 0 F d F 0 1, 2,...,. y d y / (15.16) Σε αυτό το σημείο πρέπει να αναφερθούμε στο γεγονός ότι, αν προσθέσομε στην F την απόκλιση κάποιων αυθαίρετων παραγωγίσιμων συναρτήσεων Λ (, y) 1, 2,...,, d (, ) δηλαδή την παράσταση Λ y d τότε θα έχομε τη νέα συνάρτηση 1 d Λ (, y) F F. Εύκολα δείχνεται ότι αν χρησιμοποιήσομε στο πρόβλημα των 1 d μεταβολών την F στη θέση της F, προκύπτουν οι ίδιες εξισώσεις Eule-Lagage. Πράγματι θα έχομε αντί για την Εξ.(15.6) την

13 d (, y) δz δfd δfd δ d 1 d F F dδ (, y) δy δy, d d 0. 1 y 1 y, 1 d (15.17) Κάναμε χρήση της Εξ.(15.9) και με χρήση του θεωρήματος της απόκλισης, Εξ.(15.12), το τελευταίο ολοκλήρωμα όγκου της Εξ.(15.17) γίνεται επιφανειακό ολοκλήρωμα στο σύνορο του Ω, δηλαδή dδ Λ (, y) dω δ Λ (, y) ds 1 d S 1. (15.18) Ω Είναι προφανές ότι αφού τα σταθερά, ισχύει στο σύνορο S ότι Λ δ Λ (, y) δy 0 y 1 διότι στο σύνορο δy 0. Άρα το τελευταίο ολοκλήρωμα στην Εξ.(15.17) μηδενίζεται επομένως έχομε και πάλι την Εξ.(15.6), οπότε πράγματι προκύπτουν πάλι οι ίδιες εξισώσεις Eule-Lagage, Εξ.(15.16). Παρόλο που εφόσον η F περιέχει μόνο πρώτες παραγώγους των y, γράψαμε τα Λ ως συναρτήσεις μόνο των, y μπορεί να θεωρήσομε τα Λ ως συναρτήσεις και παραγώγων αρκεί να μπορούν οι μεταβολές των παραγώγων στο σύνορο να είναι μηδέν. Ανάλογο ισχύει και σε γενικότερες περιπτώσεις όπου υπάρχουν στην F ανώτερες παράγωγοι. Παρουσιάζει ενδιαφέρον η περίπτωση που έχομε δεσμούς, δηλαδή δεσμευτικές σχέσεις μεταξύ των, y ( ), y, ( ) 1, 2,..., 1, 2,...,. Σε αυτή την περίπτωση έχομε να λύσομε το ίδιο πρόβλημα όπως προηγουμένως αλλά πρέπει να λάβομε υπόψη τις πρόσθετες σχέσεις, τις δεσμευτικές σχέσεις, που φαίνονται στις Εξ.(15.19). δ Z =δ F(, y, y )dω δ F(, y, y )dω 0 Ω f (, y, y ) 0, l 1, 2,..., K. l Ω (15.19) Για την περίπτωση αυτή, θα δείξομε ότι κατά την μεταβολή δz μπορούμε να αγνοήσομε τις δεσμευτικές σχέσεις, αφού ορίσομε ένα νέο συναρτησοειδές για μιαν άλλη συνάρτηση, την h(, y, y ) F(, y, y ) ( ) f (, y, y ). (15.20) l l l1 K Στη συνέχεια, θα δούμε ότι αν αυτό το συναρτησοειδές έχει στάσιμη τιμή θα ικανοποιούνται οι εξισώσεις των Eule-Lagage που μαζί με τις δεσμευτικές σχέσεις δίνουν τη λύση του προβλήματος. Τα l ( ) είναι συναρτήσεις που πρέπει να προσδιοριστούν. Θα έχομε

14 h d h y d y 1, 1 0 h d h 0 1, 2,...,. (15.21) y d y / f (, y, y ) 0, l 1, 2,..., K. l Βλέπομε ότι έχομε K αγνώστους και K εξισώσεις. Προχωρούμε στην απόδειξη. Πρέπει και σε αυτήν εδώ την περίπτωση, το αρχικό συναρτησιακό να έχει στάσιμη τιμή και απαιτούμε να ισχύουν οι δεσμευτικές σχέσεις για όλες τις τροχιές, δηλαδή την πραγματική και τις παραλλαγμένες τροχιές. Έχομε επομένως τις σχέσεις δ Z =δ F(, y, y )dω δ F(, y, y )dω 0 Ω f (, y, y ) 0, l 1, 2,..., K. l Ω. (15.22) Κατά την ανάλυση που θα κάνομε παρακάτω θα φανεί ότι δεν είναι απαραίτητο να ισχύουν οι δεσμευτικές σχέσεις για όλες τις παραλλαγμένες τροχιές αλλά για πολύ κοντινές στην πραγματική, σε πρώτη προσέγγιση ως προς τις δυνατές μετατοπίσεις (μέχρι διαφορικά πρώτης τάξεως). Θα χρησιμοποιήσομε τη μέθοδο των πολλαπλασιαστών του Lagage. Η πρώτη των Εξ.(15.22) οδηγεί στην προηγούμενη Εξ.(15.14), δηλαδή στην F d F δz δy - dω 0. (15.23) 1 y 1 d Ω y, τώρα όμως τα δy δεν είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους, προφανώς δεν είναι ούτε και αυθαίρετα το καθένα σε κάθε σημείο. Δεν μπορούμε επομένως να εξισώσομε με μηδέν τον καθένα όρο (ολοκλήρωμα) του αθροίσματος 1, 2,..., ούτε να εξισώσομε με μηδέν την κάθε μια αγκύλη. Για να βρούμε τις δεσμευτικές σχέσεις μεταξύ των μεταβολών κάνομε τους παρακάτω συλλογισμούς. Οι στοιχειώδεις μετατοπίσεις, με σταθερά τα, από την πραγματική τροχιά πρέπει να είναι τέτοιες ώστε να ικανοποιούνται οι δεσμευτικές σχέσεις των Εξ.(15.19). Οι σχέσεις που προκύπτουν μας δίνουν τις συσχετίσεις των μεταβολών δy, δy,. Κάνομε μια τέτοια μεταβολή από την πραγματική τροχιά στις δεσμευτικές αυτές σχέσεις και καταλήγομε, με προσέγγιση πρώτης τάξεως για τα διαφορικά, στις παρακάτω Εξ.(15.24), f (, y δ y, y δ y ) 0 f (, y, y ) δf l l l f (, y, y ) 0. l (15.24) Επομένως

15 f f δf δy δy 0 l 1, 2,..., K. l l l, 1 y 1 1 y, (15.25) Πολλαπλασιάζομε την κάθε μια από αυτές τις δεσμευτικές σχέσεις επί μιαν άγνωστη συνάρτηση των ανεξάρτητων μεταβλητών, την l ( ) και αθροίζομε στα l και ολοκληρώνομε ως προς dω οπότε έχομε ( ) f ( ) f K K l l l l δy δy, dω 0. (15.26) 1 Ω l 1 y l1 1 y, Προχωρούμε σε παραγοντική ολοκλήρωση του δεύτερου ολοκληρώματος. Έχομε την αντίστοιχη της Εξ.(15.10) f d f f d l l l l l l δ y =δy δ y,. d y, d y, y, (15.27) Επομένως το δεύτερο ολοκλήρωμα της Εξ.(15.26) γίνεται ( λ f ) d ( λ f ) d ( λ f ) δy dω δy dω δy d Ω. K K K l l l l l l, Ω l1 1 y, Ω l1 1 d y, Ω l1 1 d y, (15.28) Κατά τα γνωστά, το πρώτο ολοκλήρωμα του δεύτερου μέλους, σύμφωνα με το θεώρημα της απόκλισης, μετατρέπεται σε ολοκλήρωμα στην επιφάνεια S (στο σύνορο) που περικλείει το χωρίο Ω. Επειδή στο σύνορο οι σχέσεις δy =0 μπορούν να ισχύουν και σε αυτή την περίπτωση, το ολοκλήρωμα μηδενίζεται, οπότε τελικώς η Εξ.(15.26) γίνεται K K ( λl f ) d l ( λl fl ) δy δy dω 0. (15.29) l 1 y l 1 d Ω y, Προσθέτομε τις Εξ.(15.23) και (15.29) οπότε έχομε ( ) f d f K K F d F l l l l δz δy - - d 0. 1 y 1 d y (15.30), l1 y l 1 1 d y,

16 Προφανώς ισχύει h d h δz δy - dω 0. (15.31) 1 y 1 d Ω y, Όπου h(, y, y ) F(, y, y ) ( ) f (, y, y ). (15.32) l l l1 K Όπως έχομε ξαναπεί, αφού τα δy στις Εξ.(15.31) δεν είναι ανεξάρτητα, δεν μπορούμε να εξισώσομε με μηδέν το κάθε ένα ολοκλήρωμα του αθροίσματος 1, 2,...,. Από τα δy μόνο K είναι αυθαίρετα αφού υπάρχουν Κ δεσμευτικές σχέσεις. Θα πάρομε τα πρώτα Κ μη αυθαίρετα και τα τελευταία K να είναι αυθαίρετα. Διαλέγομε τις ( ) έτσι που οι πρώτες Κ αγκύλες να είναι μηδέν, δηλαδή l h d h - 0, y 1 d y, 1,2,..., K. (15.33) οπότε από την Εξ.(15.31) θα έχομε ότι h d h - δy d 0. (15.34) y d y K 1 Ω 1, Όμως αυτά τα δy είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους και αυθαίρετα σε κάθε σημείο οπότε ακολουθώντας τη διαδικασία που ακολουθήσαμε στα προηγούμενα, χωρίς δεσμευτικές σχέσεις, καταλήγομε τελικώς στις h d h - 0 K 1, K 2,...,. (15.35) y 1 d y, Άρα βρίσκομε τις παρακάτω εξισώσεις των Eule-Lagage, με τροποποιημένη συνάρτηση του συναρτησοειδούς που μαζί με τις σχέσεις των δεσμών προσδιορίζουν την πραγματική τροχιά, h d h - 0 1, 2,..., y 1 d y, f (, y, y ) 0 l 1, 2,..., K l h(, y, y ) F(, y, y ) ( ) f (, y, y ). l l l1 K (15.36)

17 Με την τροποποίηση της συνάρτησης του συναρτησοειδούς, καταφέραμε να μην έχομε δεσμευτικές σχέσεις κατά τη διαδικασία των παραλλαγών, δηλαδή καταλήξαμε σε ένα πρόβλημα αμιγούς θεωρίας παραλλαγών αλλά με περισσότερες συναρτήσεις προς προσδιορισμό. Προστέθηκαν οι l ( ). Έτσι, για των προσδιορισμό των K συναρτήσεων y( ), ( ) χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις των Eule-Lagage μαζί με τις K δεσμευτικές σχέσεις. Σε τέτοιες περιπτώσεις, που μπορούν να εξαλειφθούν οι δεσμοί με τροποποίηση της συνάρτησης του συναρτησοειδούς και το πρόβλημα γίνεται καθαρό πρόβλημα θεωρίας μεταβολών, παρατηρούμε ότι οι σχέσεις των δυνατών μεταβολών και οι δεσμοί είναι τέτοιοι που για τις πολύ γειτονικές στην πραγματική τροχιές ικανοποιούνται οι εξισώσεις των δεσμών, βλέπε Εξ.(15.24) και (15.25). Με άλλα λόγια, οι γειτονικές στην πραγματική τροχιές είναι πιθανές τροχιές. Αυτοί οι δεσμοί περιλαμβάνουν αυτούς της μηχανικής που ονομάζομε ολόνομους δεσμούς στην ολοκληρωμένη τους μορφή. Η πιο γενική μορφή συνάρτησης F είναι να ορίζεται σε πολυδιάστατο χώρο (ή ακόμη περισσότερους διαφορετικούς πολυδιάστατους χώρους) ανεξάρτητων μεταβλητών και να εξαρτάται από πολλές εξαρτημένες μεταβλητές και παραγώγους τους ανώτερης τάξης συμπεριλαμβανομένων μεικτών παραγώγων της l μορφής. 1 2 3... Η γενική περίπτωση είναι πολύπλοκη, παρακάτω δίνομε την περίπτωση όπου στην F έχομε μιαν ανεξάρτητη μεταβλητή μια εξαρτημένη μεταβλητή και παραγώγους μέχρι τάξεως N. Αυτή μπορεί, σχετικά εύκολα, να γενικευθεί για πολλές ανεξάρτητες και εξαρτημένες μεταβλητές με παραγώγους ανώτερης τάξης, χωρίς μεικτές παραγώγους. Θα χρησιμοποιήσομε για ευκολία το συμβολισμό l ( l ) d y y, l 0,1,..., N l d (0) (1) (2) ( N ) y y, F F(, y, y, y,..., y ) (15.37) Τώρα η Εξ.(15.6) γίνεται 2 2 N F ( ) δz δfd δy d 0 ( ) 0 y 1 1. (15.38) Σε αυτή την περίπτωση με παραγώγους μέχρι N τάξης ισχύει ο περιορισμός στα άκρα του διαστήματος ολοκλήρωσης (δηλαδή στο σύνορο) δ ( ) 0, 0,1,..., 1, 2 y N δd y, 0,1,..., N 1. (15.39) Σύμφωνα με τις Εξ.(15.5) ή (15.9) μετατίθενται τα d, δ d οπότε έχομε 2 N F d δy ( ). (15.40) 0 y d 1 δz d 0

18 Είναι γνωστό ότι ισχύει η ταυτότητα της Εξ.(15.41), όπου όταν 0, θεωρούμε ότι ο δεύτερος όρος στο δεύτερο μέλος είναι μηδέν, ( ) ( ) d l1 ( l1) ( l ) fg ( 1) gf ( 1) f g d. (15.41) l1 Επομένως η Εξ.(15.40) γίνεται 2 N d F δz δ y ( 1) d ( ) d y 0 1 y ( 1) d 0. 2 N l1 l d l1 d F d δ l1 ( ) l d 0 l 1 d y d 1 (15.42) Το δεύτερο ολοκλήρωμα είναι ολοκλήρωμα ολικού διαφορικού. Κάνοντας την μετάθεση l d των και δ, αυτό γίνεται l d 2 N l1 l d l 1 d F d δ l1 ( ) l d 0 l 1 d y d 1 2 1 N 0 l1 y ( 1) d N l1 d l1 d F ( l ) ( 1) δy d l1 ( ) d 0 l1 d y d F ( 1) δ d y l1 l1 ( l ) y l1 ( ) 2 1 (15.43) Αυτό το ολοκλήρωμα οδηγεί σε όρο ο οποίος έχει τιμές στο σύνορο, δηλαδή στα σημεία 1, 2, όρος συνόρου. Αυτός είναι μηδέν αφού υποθέσαμε ότι ισχύουν οι συνθήκες μηδενισμού των μεταβολών των παραγώγων και της y στο σύνορο,, Εξ.(15.39) και για την περίπτωση 0 είπαμε ότι η δ ( ) y 0, 0,1,..., N 1 1, 2 αγκύλη είναι μηδέν. Επομένως εφόσον το δy είναι αυθαίρετη συνάρτηση του, εφαρμόζομε το θεμελιώδες λήμμα της θεωρίας μεταβολών και από την Εξ.(15.42) καταλήγομε στην παρακάτω εξίσωση των Eule-Lagage με ανώτερες παραγώγους

19 F d F ( 1) =0.. (15.44) N 1 d d y d Τελικώς δίνομε παρακάτω, χωρίς απόδειξη, τη γενική μορφή των εξισώσεων των Eule- Lagage, Εξ.(15.47), με όλων των μορφών παραγώγους στην F, με πολλές ανεξάρτητες και εξαρτημένες μεταβλητές. Αν θέλει κάποιος να εισαγάγει χωριστά τις πρόσθετες μεταβλητές Gassa, αυτό είναι εύκολο προσθέτοντας άλλο ένα αντίστοιχο πολλαπλό άθροισμα πάνω σε αυτές τις μεταβλητές, εντελώς όμοιο με αυτό που φαίνεται στην Εξ.(15.44). Ο συμβολισμός που ακολουθούμε εδώ είναι ο εξής d d,. (15.45) d d............ Για απλούστευση, θεωρούμε ότι η F εξαρτάται από παραγώγους της ίδιας μέγιστης τάξης, N, για όλες τις υπάρχουσες ανεξάρτητες μεταβλητές, y. Το σύμβολο του δείκτη ( ) δηλώνει άθροιση πάνω σε όλους τους συνδυασμούς (,,...), δηλαδή.... (15.46) ( ) Στα αθροίσματα ο κάθε όρος εμφανίζεται μόνο μια φορά, δηλαδή οι όροι στα αθροίσματα είναι όλοι διαφορετικοί μεταξύ τους. Έχομε N δf F F ( 1) d... 0. δ y y 1 ( ) (... y (15.47) Οι παρακάτω εκφράσεις που συνήθως παριστάνονται με το σύμβολο E E F d F 0 y d y / 1 F d F E ( 1) =0 E N 1 d d y d N F F ( 1) d... 0 y 1 ( ) (... y και απαντούν στις Εξ.(15.16), (15.44)και (15.47), αντιστοίχως, είναι μορφές αυτού που ονομάζομε εκφράσεις του Eule. Πρέπει να τονίσομε εδώ ότι, η συνάρτηση F μπορεί να

20 εξαρτάται και από άλλες συναρτήσεις των των οποίων η εξέλιξη δεν προκύπτει από θεωρία μεταβολών του ανωτέρω συναρτησοειδούς, οπότε για τη θεωρία μεταβολών που οδηγεί στις εξισώσεις των Eule-Lagage είναι δεδομένες και προσδιορίζονται με άλλους τρόπους. Όταν κάνομε τις ανωτέρω μεταβολές αυτές οι συναρτήσεις δεν μεταβάλλονται αλλά λαμβάνονται ως σταθερές. Οι συναρτήσεις (μεταβλητές) που μπορούν να προσδιοριστούν από θεωρία μεταβολών στη φυσική λέγονται δυναμικές μεταβλητές και οι άλλες απόλυτες μεταβλητές. Οι δυναμικές μεταβλητές εξαρτώνται από τις απόλυτες ενώ οι απόλυτες δεν εξαρτώνται από τις δυναμικές. Π4.2 Θεωρήματα της Noethe Τα θεωρήματα της Noethe ασχολούνται με τις συνέπειες της ύπαρξης ομάδας απειροστών μετασχηματισμών των ανεξάρτητων και εξαρτημένων μεταβλητών, συμπεριλαμβανομένων δυναμικών και απόλυτων, υπό τους οποίους ένα συναρτησοειδές (το οποίο ως ολοκλήρωμα λαμβάνεται πάνω σε αυθαίρετο χωρίο Ω το οποίο μετασχηματίζεται επίσης) παραμένει αναλλοίωτο ή ημιαναλλοίωτο (quas-vaat). Δεν τίθενται περιορισμοί στο σύνορο του χωρίου κατά τις παραλλαγές. Αυτό συνήθως λέγεται παραλλακτική συμμετρία, συμμετρία θεωρίας παραλλαγών (vaatoal syety). Οι συμμετρίες τις οποίες διαπραγματεύεται αυτό το θεώρημα περιγράφονται με συνεχείς απειροστούς μετασχηματισμούς που αποτελούν ομάδα και εξαρτώνται από κάποιες αυθαίρετες ανεξάρτητες παραμέτρους ή από κάποιες αυθαίρετες ανεξάρτητες συναρτήσεις. Αυτές οι ομάδες είναι ομάδες του Le. Τα θεωρήματα της Noethe μπορεί να χρησιμεύσουν στη Φυσική (στη Δυναμική) διότι και στη δυναμική, στις πιο ενδιαφέρουσες περιπτώσεις, ορίζεται ένα συναρτησοειδές που είναι το ολοκλήρωμα δράσης και από αυτό το ολοκλήρωμα δράσης (συναρτησοειδές) προκύπτουν οι εξισώσεις κίνησης των Eule-Lagage από την αρχή του Halto, δηλαδή από θεωρία μεταβολών. Το θεώρημα εφαρμόζεται στα πλαίσια της Κλασικής Φυσικής δηλαδή εκτός Κβαντικής Θεωρίας, όπως αναφέραμε στην αρχή αυτού του Παραρτήματος Π4. Υπάρχουν συμμετρίες που δεν περιγράφονται με συνεχείς μετασχηματισμούς, μια τέτοια σχετίζεται με την αλλαγή συντεταγμένων από σε, μάλιστα η ύπαρξη τέτοιας συμμετρίας οδηγεί στη διατήρηση της ομοτιμίας (paty). Αυτές οι περιπτώσεις δεν περιγράφονται από τα θεωρήματα της Noethe. Υπάρχουν δυο θεωρήματα, το πρώτο και το δεύτερο θεώρημα της Noethe. Στο πρώτο θεώρημα οι μετασχηματισμοί περιέχουν απλές αυθαίρετες, ανεξάρτητες σταθερές (παραμέτρους) και αποτελούν ομάδα τύπου πεπερασμένων συνεχών ομάδων (fte cotuous goup). Βρίσκει εφαρμογή στη φυσική, όταν έχομε θεωρίες με παγκόσμια (ολική) αναλλοιώτητα βαθμίδας (global gauge vaat). Στο δεύτερο θεώρημα οι μετασχηματισμοί περιέχουν αυθαίρετες, ανεξάρτητες παραγωγίσιμες συναρτήσεις (παραμέτρους) των ανεξάρτητων μεταβλητών και αποτελούν ομάδα τύπου απείρων συνεχών ομάδων (fte cotuous goup). Το δεύτερο θεώρημα της Noethe βρίσκει

21 εφαρμογή σε θεωρίες της Φυσικής που έχουν τοπικές συμμετρίες, όπως οι θεωρίες τοπικού αναλλοίωτου βαθμίδας (local gauge vaace). Τέτοια θεωρία είναι η Γενική Θεωρία της Σχετικότητας αλλά και η Κβαντική Χρωμοδυναμική και άλλες κβαντικές θεωρίες στοιχειωδών σωματιδίων μέχρι το σημείο που τα πεδία τους θεωρούνται κλασικά πεδία. Οι ομάδα μετασχηματισμών του πρώτου τύπου είναι υποομάδα των μετασχηματισμών του δεύτερου τύπου, όπου οι αυθαίρετες συναρτήσεις γίνονται αυθαίρετες σταθερές. Αν οι γενικότεροι μετασχηματισμοί παραλλακτικής συμμετρίας που επιδέχεται ένα φυσικό σύστημα είναι τύπου ομάδας ολικού χαρακτήρα τότε μπορεί να προκύψουν σταθερές ποσότητες κίνησης που είναι αναλλοίωτες στη μορφή υπό τους εν λόγω μετασχηματισμούς. Αν όμως οι γενικότεροι μετασχηματισμοί είναι τοπικού τύπου, παρόλο που ως υποομάδα αυτών ισχύουν και ολικοί μετασχηματισμοί, δεν μπορούν να οριστούν σταθερές ποσότητες κίνησης που να είναι αναλλοίωτες στη μορφή υπό τους γενικότερους μετασχηματισμούς του συστήματος. Τώρα θα ασχοληθούμε με απειροστούς συνεχείς μετασχηματισμούς των ανεξάρτητων και των εξαρτημένων μεταβλητών από τις οποίες εξαρτάται η συνάρτηση F του συναρτησιακού Z. Όπως είπαμε με τους μετασχηματισμούς μεταβάλλεται και το χωρίο Ω ολοκλήρωσης. Οι απειροστοί μετασχηματισμοί των ανεξάρτητων μεταβλητών είναι της μορφής δ ( ). (15.48) Όπου οι μεταβολές δ ( ) είναι αυθαίρετες συναρτήσεις των ανεξάρτητων μεταβλητών. Οι ανεξάρτητες μεταβλητές και οι παράγωγοί τους μετασχηματίζονται όπως φαίνεται d στις Εξ.(15.49) και εύκολα προκύπτει ότι η μεταβολή δ και η ολική παραγώγιση d ή η μερική παραγώγιση, γενικώς, δεν μετατίθενται διότι κατά το μετασχηματισμό δεν αναφερόμαστε στο ίδιο σημείο αλλά πάμε από το σημείο στο σημείο όπου γενικώς, y ( ) y ( ) δy y ( ) y ( ) δy,,, d d δ δ,δ δ. d d (15.49) Σε αυτό το Εδάφιο, η μεταβολή δ y ( ) οφείλεται σε δυο είδη μεταβολών, δηλαδή έχομε μεταβολή της εξαρτημένης μεταβλητής ένεκα μεταβολής των ανεξάρτητων μεταβλητών (θέση), 1, 2,..., και σε μεταβολή της εξαρτημένης μεταβλητής ενώ οι ανεξάρτητες μεταβλητές (θέση) μένουν σταθερές. Η μεταβολή των εξαρτημένων μεταβλητών δy γίνεται με σταθερές ανεξάρτητες μεταβλητές, δηλαδή για σταθερή y θέση, δy δ y ( ) y ( ) y ( ). Επομένως ισχύει ότι δy δy δ. Εύκολα 1 d προκύπτει ότι η μεταβολή δ και η παραγώγιση d ή η πάντοτε μετατίθενται, διότι

22 δεν έχομε κατά τη μεταβολή δ αλλαγή στα. Συνοψίζομε τα παραπάνω με τις παρακάτω σχέσεις δy δ y ( ) y ( ) y ( ) y δ y y ( ) y ( ) δy δ 1 δ y ( ) y ( ) y ( ),,, d d δ δ,δ δ. d d (15.50) Θα εφαρμόσομε τον παραπάνω απειροστό μετασχηματισμό και θα υπολογίσομε τη μεταβολή του παρακάτω συναρτησιακού (συναρτησιακή μεταβολή) Θα έχομε Z = F, y, y dω. (15.51) Ω. (15.52) Ω Ω δ Z = F, y, y d Ω F, y, y dω Υποθέτομε ότι η μεταβολή της μορφής της F είναι τέτοια που να αντιστοιχεί με πρόσθεση της απόκλισης (dvegece) μιας αυθαίρετης απειροστής συνάρτησης των, y, dδ G (, y) δηλαδή. Αυτό σχετίζεται με το γεγονός ότι αν θέλομε να καταλήξομε στις d 1 εξισώσεις των Eule-Lagage εφαρμόζοντας αρχή μεταβολών για το συναρτησιακό της Εξ.(15.51), οι εξισώσεις των Eule-Lagage θα είναι οι ίδιες αν προστεθεί ένας τέτοιος όρος στην F. Ισχύουν προφανώς όσα αναφέραμε στα προηγούμενα σχετικά με τα Λ. Ενώ θεωρήσαμε ότι τα δg είναι συναρτήσεις μόνον των, y, αυτά μπορεί να εξαρτώνται και από παραγώγους των y, ακόμη και ανώτερης τάξης, αρκεί οι μεταβολές των παραγώγων στο σύνορο να ληφθούν ίσες με μηδέν. Η ύπαρξη αυτού του όρου είναι χρήσιμη στη φυσική, για παράδειγμα, όταν εξετάζομε μετασχηματισμούς από ένα αδρανειακό σύστημα σε άλλο που κινείται ως προς το πρώτο με σταθερή διανυσματική ταχύτητα (συστήματα του Γαλιλαίου ή συστήματα του Loetz). Δυστυχώς ο συμβολισμός και εδώ δεν είναι ο καλύτερος, εδώ το δg δηλώνει απειροστό μέγεθος, όχι μεταβολή. Σύμφωνα με τα ανωτέρω θα έχομε

23 δ Z = F, y, y d Ω F, y, y dω Ω dδ G (, y) = F, y, y d Ω F, y, y dω 1 d Ω Ω dδ G (, y) F, y, y d Ω F, y, y d Ω+ dω d Ω Ω Ω 1 Ω (15.53) Για το μετασχηματισμό του τελευταίου ολοκληρώματος από το χωρίο Ω στο Ω μπορούμε να κάνομε χρήση της ιακωβιανής ορίζουσας που προκύπτει από τις Εξ.(15.49). Έχομε παραλείποντας διαφορικά ανώτερης τάξης (δ ) (δ ) 1, d Ω=dΩ dω dω d Ω. (15.54) l 1 l 1 Μπορούμε εύκολα να δούμε ότι και η υπό ολοκλήρωση ποσότητα σε προσέγγιση πρώτης τάξεως μπορεί να θεωρηθεί ως συνάρτηση των μη μετασχηματισμένων μεταβλητών, y έτσι για το τελευταίο ολοκλήρωμα έχομε dδ G (, y) dδ G (, y) dω dω d d. (15.55) Ω 1 Ω 1 Για το τρίτο ολοκλήρωμα από το τέλος στην Εξ.(15.53), μπορούμε να αλλάξομε το συμβολισμό για τις ανεξάρτητες μεταβλητές από σε (και από dω σε dω ) γιατί η ολοκλήρωση γίνεται ως προς τις ανεξάρτητες μεταβλητές (από τις οποίες εξαρτάται και το διαφορικό του όγκου) και επομένως αντιπροσωπεύουν βωβές μεταβλητές. Φυσικά το χωρίο ολοκλήρωσης παραμένει Ω Ω. Έτσι από την Εξ.(15.53) καταλήγομε στην dδ G (, y) δ Z F, y, y d Ω F, y, y d Ω+ dω d. (15.56) Ω Ω Ω 1 Στη συνέχεια, για να καταλήξομε σε ολοκλήρωμα πάνω στο ίδιο χωρίο, μπορούμε να ακολουθήσομε μια διαδικασία όπου παίρνομε τις μεταβολές της F και του dω. Τότε η διαφορά των δυο πρώτων ολοκληρωμάτων μπορεί να γραφτεί ως F, y, y d Ω F, y, y dω δ F, y, y d Ω F, y, y δ(d Ω) Ω Ω Ω Ω και μπορούμε να προχωρήσομε τη διαδικασία από εδώ. Ένας άλλος τρόπος είναι με χρήση της ιακωβιανής να καταλήξομε σε ολοκληρώματα που να είναι πάνω στο ίδιο χωρίο Ω. Εμείς εδώ θα ακολουθήσομε έναν άλλο τρόπο. Αυτός ο τρόπος γίνεται κατανοητός με το Σχήμα Π4.1, που δείχνει μια αναπαράσταση

24 των Ω, Ω για χώρο ανεξάρτητων μεταβλητών δυο διαστάσεων. Είναι ευνόητο ότι εφόσον ο μετασχηματισμός είναι απειροστός η μεταβολή Ω Ω του χωρίου ολοκλήρωσης, που σχετίζεται με τις (απειροστές) μεταβολές δ έχει απειροστό όγκο. Γράφοντας το πρώτο ολοκλήρωμα της Εξ.(15.56) ως άθροισμα δυο ολοκληρωμάτων, θα έχομε για τη διαφορά των δυο πρώτων ολοκληρωμάτων της Εξ.(15.56) την ακόλουθη σχέση Ω F, y, y d Ω F, y, y dω Ω F, y, y d Ω F, y, y d Ω F, y, y dω Ω ΩΩ Ω F, y, y F, y, y d Ω F, y, y d Ω. Ω ΩΩ (15.57) Σχήμα Π4.2 Τα χωρία ολοκλήρωσης σε χώρο ανεξάρτητων μεταβλητών δυο διαστάσεων. Είναι ευνόητο ότι το χωρίο μεταξύ των Ω, Ω είναι απειροστό, επομένως η τιμή της συνάρτησης F, y, y είναι περίπου η ίδια κατά το μετασχηματισμό από το σημείο της επιφάνειας S στο αντίστοιχο της επιφάνειας S. Μπορούμε επομένως να φανταστούμε ένα στοιχειώδη «όγκο» σε κάθε σημείο της επιφάνειας S που φτάνει μέχρι το αντίστοιχο μετασχηματισμένο σημείο της επιφάνειας S. Αν ds είναι το στοιχείο της επιφάνειας, στον επίπεδο χώρο που αναφερόμαστε, ο παραπάνω στοιχειώδης όγκος θα είναι το «εσωτερικό» γινόμενο δds, επομένως το τελευταίο ολοκλήρωμα =1 της Εξ.(15.57), πάνω στο στοιχειώδη όγκο Ω Ω γίνεται ολοκλήρωμα στην επιφάνεια S, δηλαδή

25 F, y, y δ ds. (15.58) S =1 Όμως αυτό το ολοκλήρωμα μετασχηματίζεται σε ολοκλήρωμα όγκου με χρήση του θεωρήματος της απόκλισης, Εξ.(15.12), οπότε έχομε d F(, y, y )δ F, y, y δ ds. (15.59) 1 d Ω S =1 Από τις Εξ.(15.56), (15.57), (15.58) και (15.59) καταλήγομε στη σχέση d δ Z F, y, y F, y, y F(, y, y )δ δ G (, y) dω. (15.60) 1 d Ω Λαβαίνοντας υπόψη την (15.50) βρίσκομε για τη διαφορά που είναι μέσα στην αγκύλη στην Εξ.(15.60) F(, y, y ) F(, y, y ) δ F F, y, y F, y, y δy δy. (15.61), l 1 y 1 l 1 y, l dδy Σύμφωνα με την Εξ.(15.50) τα δ, και οι παράγωγοι μετατίθενται άρα έχομε δy, l dl (προφανώς εδώ η μερική παράγωγος και η ολική συμπίπτουν, σύμφωνα με τους ορισμούς που τους έχομε δώσει στα προηγούμενα, εφόσον τα y εξαρτώνται μόνο από τα l ). Επομένως η Εξ.(15.61) γίνεται F(, y, y ) F (, y, y ) dδy δ F F, y, y F, y, y δ y. 1 y 1 l 1 y, l dl (15.62) Επομένως η υπό ολοκλήρωση ποσότητα, δηλαδή ο μύστακας της Εξ.(15.60) γίνεται d δf Fδ δg 1 d F F dδy d δy Fδ δ G. 1 y 1 l 1 y, l dl 1 d (15.63) Όμως ισχύει

26 d ( Fδ y ) d F F dδy δy l1 dl y, l l1 dl y, l l1 y, l dl. (15.64) Από τις Εξ.(15.60), (15.63) και (15.64) καταλήγομε στη σχέση d δz δf Fδ δg dω 1 d Ω F d F d F δy δy Fδ δg d Ω. 1 y 1 d y, 1 d Ω 1 y, (15.65) Οι εκφράσεις μέσα στις πρώτες παρενθέσεις είναι οι εκφράσεις του Eule, λέγονται και λαγκρανζιανές εκφράσεις. Το θεώρημα της Noethe εφαρμόζεται στην περίπτωση που ο παραπάνω απειροστός μετασχηματισμός των Εξ.(15.48), (15.49) οδηγεί σε δz 0. Επομένως, αν εισαγάγουμε την έκφραση του Eule, E E F d F. (15.66) y d y 1, θα έχομε d δz δf Fδ δg dω 1 d Ω d F δy E δy Fδ δg dω 0. 1 1 d Ω 1 y, (15.67) Λέμε ότι έχομε ημιαναλλοιώτητα όταν η συνάρτηση F αλλάζει μορφή με τον τρόπο που καθορίζεται στην Εξ.(15.53). Αν δεν αλλάζει μορφή, δηλαδή αν δg 0 στην Εξ.(15.53), τότε λέμε ότι έχομε αναλλοιώτητα. Υποθέτομε ότι δz 0 για κάθε χωρίο Ω, οπότε εύκολα καταλήγομε στο ότι οι υπό ολοκλήρωση ποσότητες στην Εξ.(15.67) είναι μηδέν. Αν λάβομε υπόψη ότι ισχύουν και οι Εξ.(15.50) και (15.62) καταλήγομε στις δυο παρακάτω ισοδύναμες ομάδες σχέσεων

27 d δf Fδ δg d 1 δy E d F δy Fδ δg ή 1 1 d 1 y, F F δy Fδ δg 1 y 1 l1 y, l dl 1 d dδy 1 1 1 d 1 y, 1 d y d F y δy δ E δy δ Fδ δg (15.68) Προφανώς μπορεί κάποιος, αν χρειαστεί, να αντικαταστήσει τα μεγέθη με δ με αυτά που έχουν δ. Το κριτήριο ημιαναλλοιώτητας ή αναλλοιώτητας εκφράζουν οι πρώτες σχέσεις από αυτές τις δυο ομάδες, δηλαδή πρέπει η μεταβολή να δf παίρνει μορφή απόκλισης. Στις ποιο γενικές περιπτώσεις οι συναρτήσεις του Lagage έχουν και παραγώγους ανώτερης τάξης από ότι συνήθως, τότε οι σχέσεις είναι ποιο πολύπλοκες. Οι δεύτερες από τις σχέσεις των δυο ομάδων της Εξ.(15.68) συνδέουν μια παράσταση στο πρώτο μέλος, που περιέχει τις κατάλληλες για κάθε περίπτωση εκφράσεις του Eule με το δεύτερο μέλος που είναι απόκλιση (dvegece). Αυτές αποτελούν το κριτήριο του αν ένας μετασχηματισμός αποτελεί νεδεριανή συμμετρία ή αλλιώς, αν το σύστημα είναι νεδεριανό υπό τον εν λόγω μετασχηματισμό, πράγμα που σημαίνει ότι ισχύει η απαίτηση για το θεώρημα της Noethe, δηλαδή η Εξ.(15.67). Η ομάδα μετασχηματισμών που είναι νεδεριανοί, λέγεται νεδεριανή ομάδα Σημειώστε ότι τα παραπάνω είναι ανεξάρτητα από το αν ισχύουν οι εξισώσεις των Eule- Lagage, αφού πουθενά δεν υποθέσαμε κάτι τέτοιο. Π4.2.1 Πρώτο θεώρημα της Noethe Διατυπώνομε το πρώτο θεώρημα της Noethe όπως φαίνεται παρακάτω. «Αν μια συνεχής ομάδα (του Le) απειροστών μετασχηματισμών των ανεξάρτητων και εξαρτημένων μεταβλητών, η οποία εξαρτάται από R αυθαίρετες απειροστές σταθερές παραμέτρους 1, 2,..., R, (πρόκειται για παγκόσμιο μετασχηματισμό, global) είναι νεδεριανή ομάδα ως προς τη συνάρτηση,,, F y y, ή αλλιώς F(, y, y ), τότε ικανοποιούνται οι ακόλουθες R σχέσεις, μια για την κάθε παράμετρο από τις οποίες εξαρτάται η ομάδα»:

28 3 Y y δ E, 1 0 d F F y, Fδ X Y Z 0 1 d 1 1 y, 1 y, 1, 2,..., R. (15.69) Με άλλα λόγια, έχομε ότι R ανεξάρτητοι γραμμικοί συνδυασμοί των εκφράσεων του Eule είναι αποκλίσεις (dveegeces). Πρέπει να τονίσομε ότι η εξάρτηση των μεταβολών των ανεξάρτητων και εξαρτημένων μεταβλητών είναι γραμμική ως προς τις απειροστές παραμέτρους. Η Εξ.(15.69) προκύπτει από την Εξ.(15.67) και την Εξ.(15.68), αφού ληφθούν υπόψη οι παρακάτω σχέσεις των απειροστών μετασχηματισμών. Οι μετασχηματισμοί για τις απειροστές μεταβολές δ, της Εξ.(15.48), περιέχουν τις συναρτήσεις X (, y, y ). Ισχύουν οι σχέσεις R δ X (, y, y ). (15.70) 1 Για τις απειροστές μεταβολές δy, Εξ.(15.49) και (15.50), ισχύουν οι σχέσεις, R δ y Y (, y, y ) 1 y δy δy δ 1 δy Y y R δ 1 1 μπορούμε να γράψομε δ y (, y, y ) y όπου δ. Y 1 R 1 (15.71) Υποθέτομε ότι και για τα δ G (, y) ισχύουν ανάλογα, δηλαδή έχομε τις σχέσεις δg δ G (, y) Z (, y) (15.72) 1 R Ξαναθυμίζομε ότι το δ G (, y) δεν είναι μεταβολή, απλώς συμβολίζεται έτσι διότι είναι απειροστό. Προφανώς τα γνωστά και για τα δg. Z θα εξαρτώνται μόνο από τα (, y ) όπως ισχύει κατά τα

29 Τελικώς, από την Εξ.(15.68) με χρήση και των Εξ.(15.71), (15.72) βρίσκομε τις παρακάτω εξισώσεις R Y y δ E, 1 1 1 R d F F y, Fδ X Y Z 0. 1 1 d 1 1 y, 1 y, (15.73) Εφόσον τα είναι αυθαίρετα (μεταξύ τους ανεξάρτητα), προκύπτουν R ανεξάρτητες σχέσεις μια για κάθε, δηλαδή οι Εξ.(15.69). Από την Εξ.(15.68) μπορούσαμε από την αρχή να γράψομε τις παραπάνω σχέσεις με τις δυο παρακάτω μορφές, d d 1 1, d F δ y F δ δ G 0 y F y δ δ δ δ 0 y F G 1 d 1 y, 1 (15.74) Όταν υπάρχουν στην F ανώτερες παράγωγοι, είναι ευνόητο ότι με χρήση των όσον αναφέραμε πιο πάνω, μπορεί το θεώρημα να πάρει γενικότερη ποιο πολύπλοκη μορφή. Π4.2.2 Δεύτερο θεώρημα της Noethe Το κύριο συμπέρασμα που συνδέεται με το δεύτερο θεώρημα της Noethe έχει την παρακάτω διατύπωση. «Αν μια συνεχής ομάδα (του Le) απειροστών μετασχηματισμών των ανεξάρτητων και εξαρτημένων μεταβλητών, η οποία εξαρτάται από R αυθαίρετες απειροστές συναρτήσεις p ( ) 1, 2,..., R και παραγώγους τους d l p ( ), l 1,2,..., l d (πρόκειται για τοπικό μετασχηματισμό, local) είναι νεδεριανή ομάδα ως προς τη F, y, y, τότε ικανοποιούνται οι ακόλουθες R σχέσεις, μια για την κάθε συνάρτηση, αυθαίρετη συνάρτηση από τις οποίες εξαρτάται η ομάδα»:

30 d ( b E ) b E ( 1) 0 1,2,..., R. (15.75) 0 1 1 1 d Όπως θα δούμε παρακάτω, έχομε υποθέσει ότι στους μετασχηματισμούς δεν υπεισέρχονται μεικτές παράγωγοι των αυθαίρετων συναρτήσεων p( ). Ανάλογα με τη σύμβαση που υιοθετεί κάποιος μπορεί αντί για d d Ο μετασχηματισμός έχει τη μορφή να χρησιμοποιεί το συμβολισμό. δ a p a R l 0 l l 1 1 l1 d δy b p b δg R l 0 l l 1 1 l1 d R 1 δg R l d p δ G c 0 p c l. l 1 1 l 1 d d d p p (15.76) Γενικώς τα a, b, c εξαρτώνται από τα, y και παραγώγους των y. Με χρήση των δεύτερων από τις σχέσεις (15.76) έχομε ότι d p δ. R l. E y E b 0 p b l l 1 1 1 1 l 1 d (15.77) Ισχύει η ταυτότητα d p d d d p. (15.78) 1 1 ( 1) p ( 1) 1 d d 1 d d 0 d d Υποτίθεται ότι όταν 0 0. Ο δεύτερος όρος του δεύτερου μέλους της d d Εξ. (15.78) οδηγεί, όταν αθροίσομε στα 1, 2,...,, σε απόκλιση (dvegece) των συναρτήσεων

31 C d d p. (15.79) 1 1 ( 1) 1 1 d d Έτσι έχομε αντί της (15.78) την εξίσωση Θέτομε όπου βρίσκομε d p d dc ( 1) p. (15.80) d d d τα E b l στην Εξ. (15.80) και αντικαθιστώντας στην Εξ. (15.77) C 1 C δ d ( b E ) dc. R l l E y p b 0E l 1 1 1 1 l 1 d 1 d (15.81) Παρατηρούμε ότι ο τελευταίος όρος είναι μια απόκλιση. Συνδυάζοντας την Εξ. (15.81) με τη δεύτερη από τις σχέσεις στην Εξ.(15.68) καταλήγομε στην d ( b E ) d( B C ). R l l p b 0E l 1 1 1 l1 d 1 d (15.82) Παίρνομε το ολοκλήρωμα και των δυο μελών πάνω σε οποιοδήποτε χωρίο Ω οπότε βρίσκομε R l d ( ) b le d( B C ) d p b 0E d. l 1 1 1 l1 d (15.83) 1 d Το ολοκλήρωμα του δευτέρου μέλους που περιέχει την απόκλιση, σύμφωνα με το θεώρημα της απόκλισης, ισούται με το επιφανειακό ολοκλήρωμα στην κλειστή υπερεπιφάνεια S που είναι το σύνορο του χωρίου Ω, επομένως έχομε Ω d( B C ) dω d S ( B C ) d. (15.84) 1 S 1

32 Σύμφωνα με τα παραπάνω τα B, C εξαρτώνται από τις αυθαίρετες συναρτήσεις p ( ) και τις παραγώγους τους έτσι που αν στο σύνορο S ληφθούν οι συναρτήσεις και οι υπάρχουσες παράγωγοί τους μηδέν τότε τα B, C είναι μηδέν στο σύνορο. Αυτό μπορούμε να το κάνομε διότι οι συναρτήσεις p ( ) είναι αυθαίρετες. Επομένως τελικώς καταλήγομε στο ότι το ολοκλήρωμα του δεύτερου μέλους της Εξ. (15.83) είναι μηδέν άρα είναι και το ολοκλήρωμα του πρώτου μέλους. Εφόσον το χωρίο Ω είναι αυθαίρετο η υπό ολοκλήρωση ποσότητα είναι επίσης μηδέν. Άρα R l l p b 0E l 1 1 1 l 1 d d ( b E ) 0. (15.85) Σε αυτή την περίπτωση δεν καταλήγομε σε νόμους διατήρησης αλλά, εφόσον οι συναρτήσεις p ( ) είναι αυθαίρετες (και προφανώς ανεξάρτητες μεταξύ τους) ο κάθε όρος του αθροίσματος πάνω στα 1, 2,..., R που είναι μέσα στον μύστακα θα είναι μηδέν άρα καταλήγομε στις παρακάτω σχέσεις (εξαρτήσεις) μεταξύ των λαγκρανζιανών εκφράσεων που ισχύουν ανεξάρτητα αν ισχύουν ή όχι οι εξισώσεις των Eule-Lagage, d ( b E ) b E 0 1, 2,..., R. (15.86) l l 0 l 1 1 l 1 d Αυτές οι εξαρτήσεις, ταυτότητες, είναι του τύπου των ταυτοτήτων του Bach, που απαντούν στη Γενική Σχετικότητα, και σημαίνουν ότι στην περίπτωση φυσικών συστημάτων που υπακούουν σε τοπικές συμμετρίες βαθμίδας, οι εκφράσεις του Eule που υπολογίζονται από τη λαγκρανζιανή και οι παράγωγές τους συνδέονται με τις ανωτέρω εξισώσεις ανεξάρτητα από το αν ισχύουν οι εξισώσεις των Eule-Lagage. Αυτό έχει συνέπειες στη λύση τέτοιων προβλημάτων και σημαίνει ότι όταν ισχύουν οι εξισώσεις των Eule-Lagage δεν είναι όλες ανεξάρτητες μεταξύ τους. Π5. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΔΙΚΗ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ Στην ειδική θεωρία της σχετικότητας ο χωρόχρονος του Mows έχει τις τέσσερις συντεταγμένες που σε κάποιο σύστημα Loetz είναι 0 1 2 3 0 1 2 3,,, ct,, y, z. (16.1) Δηλαδή η συντεταγμένη με δείκτη 0 αντιστοιχεί στο χρόνο και οι υπόλοιπες τρεις είναι οι συνήθεις καρτεσιανές συντεταγμένες. Οι τέσσερεις αυτές συντεταγμένες αντιστοιχούν σε

33 1 2 3 ένα (κοσμικό) γεγονός σε ορισμένη χωρική θέση (,, ) που συμβαίνει ορισμένη χρονική στιγμή t. Η τετράδα αυτή αποτελεί ένα τετραδιάνυσμα. Χρησιμοποιούμε τον ακόλουθο συμβολισμό για τετραδιανύσματα, με ελληνικούς δείκτες που παίρνουν τιμές (0,1,2,3) τετραδιάνυσμα, 0,1, 2, 3. (16.2) Ας υποθέσομε ότι υπάρχει μετασχηματισμός που μας οδηγεί από ένα σύστημα συντεταγμένων σε άλλο σύστημα συντεταγμένων. Έστω ότι οι συντεταγμένες των δυο συστημάτων συνδέονται με μετασχηματισμούς της μορφής 0 1 2 3 (,,, ) 0 1 2 3 (,,, ), 0,1, 2,3 (16.3) Οι τανυστές τάξης που ορίζονται στο χωροχρονικό σημείο χαρακτηρίζονται από τις ιδιότητες μετασχηματισμού τους υπό το μετασχηματισμό συντεταγμένων. Συγκεκριμένα ένα βαθμωτό (μέγεθος) είναι ένας τανυστής τάξης μηδέν, δηλαδή είναι μια μοναδική ποσότητα που η τιμή της δε μεταβάλλεται από το μετασχηματισμό. Οι τανυστές τάξης 1 είναι διανύσματα και μπορεί να είναι δυο τύπων. Τα λεγόμενα ανταλλοίωτα διανύσματα A 0 1 2 3 με τέσσερις συνιστώσες A, A, A, A, που δηλώνονται με άνω δείκτες και μετασχηματίζονται σύμφωνα με τον κανόνα A A. (16.4) Δηλαδή όπως ένα διαφορικό. Εδώ εννοείται ότι έχομε άθροιση στους επαναλαμβανόμενους δείκτες, δηλαδή 0 1 2 3 A A A A A. (16.5) 0 1 2 3 Οι άνω δείκτες λέγονται ανταλλοίωτοι δείκτες. Τα λεγόμενα συναλλοίωτα διανύσματα B, δηλώνονται με κάτω δείκτες και χαρακτηρίζονται από τον ακόλουθο μετασχηματισμό B B. (16.6) Δηλαδή μετασχηματίζονται όπως η βαθμίδα μιας συνάρτησης. Αναλυτικά έχομε 0 1 2 3 B B B B B 0 1 2 3. (16.7) Οι κάτω δείκτες λέγονται συναλλοίωτοι δείκτες. Ένας ανταλλοίωτος τανυστής τάξης δύο F αποτελείται από 16 ποσότητες (συνιστώσες) που μετασχηματίζονται ως εξής

34 F F. (16.8) Ένας συναλλοίωτος τανυστής τάξης δύο, μετασχηματίζεται όπως φαίνεται παρακάτω G G. (16.9) Ένας μεικτός τανυστής δεύτερης τάξης H μετασχηματίζεται ως εξής H H. (16.10) Το πλήθος των δεικτών χαρακτηρίζει την τάξη του τανυστή. Εύκολα μπορεί να γενικεύσει κάποιος τα ανωτέρω και σε τανυστές μεγαλύτερης τάξης. Το εσωτερικό ή βαθμωτό γινόμενο δυο διανυσμάτων ορίζεται ως γινόμενο των αντίστοιχων συνιστωσών ενός συναλλοίωτου και ενός ανταλλοίωτου διανύσματος, δηλαδή B A B A. (16.11) Εύκολα προκύπτει ότι αυτό είναι πράγματι βαθμωτό με την έννοια ότι οι ανωτέρω μετασχηματισμοί συντεταγμένων το αφήνουν αμετάβλητο B A B A. (16.12) Με τον όρο εσωτερικό γινόμενο ή συναλοιφή ή συστολή (cotacto) σε σχέση με δυο δείκτες που ανήκουν στον ίδιο τανυστή ή σε διαφορετικούς, ορίζεται ως η άθροιση ως προς αυτούς τους δείκτες με ανάλογο τρόπο όπως στην Εξ.(16.11). Πρέπει ο ένας δείκτης να είναι ανταλλοίωτος και ο άλλος συναλλοίωτος. Παρόλο που αναφερθήκαμε σε τανυστές που ορίζονται σε τετραδιάστατο χώρο, αυτό δεν είναι απαραίτητο, ο χώρος μπορεί να έχει οσεσδήποτε διαστάσεις. Αν ο χώρος έχει διαστάσεις και η τάξη του τανυστή είναι, τότε ο τανυστής έχει συνιστώσες. Όπως αναφέραμε στην αρχή, στην περίπτωση της ειδικής σχετικότητας ο χώρος είναι ο τετραδιάστατος χώρος του Mows. Οι μετασχηματισμοί είναι οι μετασχηματισμοί του Loetz. Η γεωμετρία του χωρόχρονου της ειδικής σχετικότητας χαρακτηρίζεται από το (αναλλοίωτο) μήκος s ως 2 0 2 1 2 2 2 3 2 προς μετασχηματισμούς Loetz, για το οποίο ισχύει s ( ) ( ) ( ) ( ). Για το στοιχειώδες μήκος έχομε 2 0 2 1 2 2 2 3 2 (d s) =(d ) -(d ) -(d ) -(d ). (16.13) Το στοιχειώδες μήκος είναι επίσης αναλλοίωτο σε μετασχηματισμούς του Loetz, δηλαδή είναι ένα βαθμωτό (μέγεθος). Γενικώς το στοιχειώδες μήκος καθορίζεται από τη μετρική του χώρου που εκφράζεται από το μετρικό τανυστή g, ως εξής 2 (d s) dd gd d. (16.14)

35 Ο μετρικός τανυστής είναι ο ακόλουθος συμμετρικός, διαγώνιος τανυστής 1 0 0 0 0-1 0 0 g 0 0-1 0 0 0 0-1. (16.15) Ισχύουν οι σχέσεις g g g g g 0, για και (16.16) g 1, g 1, g 1, g 1. 00 11 22 33 Προφανώς έχομε τη σχέση g g, 0, 1 =0,1,2,3. (16.17) Όπου είναι το δέλτα του Koece. Ο μετρικός τανυστής είναι αυτός που χρησιμοποιείται ώστε να μετατρέψομε ένα δείκτη τανυστή από συναλλοίωτο σε ανταλλοίωτο και αντίστροφα, αυτό ουσιαστικά έγινε στην Εξ.(16.14). Έχομε g, g F g F, G g G......................... (16.18) Στην περίπτωση της σχετικότητας όταν ανεβαίνει ή κατεβαίνει ένας δείκτης τανυστή, αν ο δείκτης έχει την τιμή 0 (δηλαδή αναφέρεται στη χρονική συνιστώσα) τότε η συνιστώσα του τανυστή μένει αμετάβλητη, αν ο δείκτης είναι 1,2 ή 3 (χωρικές συνιστώσες) τότε το μέτρο της συνιστώσας μένει το ίδιο αλλά αλλάζει το πρόσημό της. Για παράδειγμα, έστω το ανταλλοίωτο τετραδιάνυσμα A στο χώρο του Mows, θα έχομε A ( a, a), A ( a, a). (16.19) Το εσωτερικό γινόμενο δυο τετραδιανυσμάτων είναι, 0 0 B A B A B A B A 0 B B 0 Ο τελεστής της παραγώγισης ως προς μιαν ανταλλοίωτη συνιστώσα του τετραδιανύσματος το τετραχώρου της σχετικότητας, είναι συναλλοίωτος διανυσματικός τελεστής. Ο τελεστής παραγώγισης ως προς τις αντίστοιχες συναλλοίωτες συνιστώσες είναι ανταλλοίωτος διανυσματικός τελεστής. Πρέπει να πούμε ότι τέτοιες παραγωγίσεις δεν οδηγούν στη γενική περίπτωση του τανυστικού λογισμού σε τανυστές αλλά μόνο αν ο μετασχηματισμός συντεταγμένων είναι γραμμικός. Έχομε τους συμβολισμούς