Τεύχος 1ο: Φυσική ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΟΡΟΣΗΜΟ. Καταστατική εξίσωση Κινητική θεωρία ιδανικών αερίων Φυσική Γενικής

ΒΛ/Μ 05-06 ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΟΡΟΣΗΜΟ Τεύχος ο: Φυσική Κατεύθυνσης: Νόµοι των αερίων Καταστατική εξίσωση Κινητική θεωρία ιδανικών αερίων Φυσική Γενικής Παιδείας: Νόµος του Coulob Ένταση ηλεκτροστατικού πεδίου υναµικές γραµµές ηλεκτροστατικού πεδίου

ΒΛ/Μ 05-06 ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΟΡΟΣΗΜΟ Τεύχος ο: Φυσική Κατεύθυνσης: Νόµοι των αερίων Καταστατική εξίσωση Κινητική θεωρία ιδανικών αερίων

ΕΚ ΟΤΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΠΕΡΙΟ ΙΚΗ ΕΚ ΟΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Φυσική Κατεύθυνσης για την Β' Τάξη του Λυκείου. Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση σελ. 5. Κινητική θεωρία ιδανικών αερίων σελ. 8 ΣΤΟ ΕΠΟΜΕΝΟ ΤΕΥΧΟΣ. Έργο - Θερµότητα - Εσωτερική ενέργεια. Θερµικές µηχανές

ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία 5 Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση Κινητική θεωρία ιδανικών αερίων Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση: Οι πειραµατικά προσδιορισµένες σχέσεις που συνδέουν τα τρία µακροσκοπικά µεγέθη (πίεση, όγκο και θερµοκρασία) ορισµένης ποσότητας αερίου ονοµάζονται νόµοι των αερίων και είναι οι εξής: Νόµος του Boyle (ή νόµος της ισόθερµης µεταβολής) Η πίεση ορισµένης ποσότητας αερίου, σε σταθερή θερµοκρασία, είναι αντιστρόφως ανάλογη µε τον όγκο του. PV =σταθ ή P V = P V για T = σταθ Γραφική παράσταση του νόµου του Boyle (N/ ) (N/ ) ( ) ( ) (K) (K) Νόµος του Charles (ή νόµος της ισόχωρης µεταβολής) Η πίεση ορισµένης ποσότητας αερίου, υπό σταθερό όγκο, είναι ανάλογη µε την απόλυτη θερµοκρασία του αερίου. P T =σταθ ή P P = για V = σταθ T T

6 ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία Γραφική παράσταση του νόµου του Charles (N/ ) ( ) (N/ ) Η κλίση στο διάγραµµα P f( T) ( ) (K) (K) P nr = είναι αντιστρόφως ανάλογη του όγκου του αερίου εφφ = = T V Νόµος του Gay-Lussac (ή νόµος της ισοβαρούς µεταβολής) Ο όγκος ορισµένης ποσότητας αερίου, σε σταθερή πίεση, είναι ανάλογος µε την απόλυτη θερµοκρασία του αερίου. V V = σταθ ή V = T T T για P = σταθ Γραφική παράσταση του νόµου του Gay-Lussac (N/ ) (N/ ) ( ) ( ) (K) (K) V nr Η κλίση στο διάγραµµα V= f( T) είναι αντιστρόφως ανάλογη της πίεσης: εφφ = = T P Καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων Οι τρεις πειραµατικοί νόµοι των αερίων συνδυάζονται, ώστε να προκύψει ένας άλλος, ο οποίος θα περιγράφει τις µεταβολές όταν τα µεγέθη P,V,T αλλάζουν ταυτόχρονα. Ο νέος νόµος είναι η καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων και οι διάφορες µαθηµατικές εκφράσεις του είναι:

ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία 7 P V P V = P V T T =σταθ T P V = n R P V = nrt T ολ n= ολ ρ= Μr V ολ ολ R R PV = RT P = T P = ρ T Mr V Mr Mr N R n= k= ΝΑ N Ν R A PV = RT PV = N T PV = NkT ΝΑ NΑ Οι σταθερές που εµφανίζονται στις παραπάνω σχέσεις είναι: J L at Παγκόσµια σταθερά των ιδανικών αερίων: R = 8, 4 = 0, 08 ol K ol K Σταθερά του Avogadro: N = 6,0 0 A µόρια ol J Σταθερά του Boltzann: k =,8 0 µόρια Κ Παρατήρηση: Είναι χρήσιµο για την επίλυση των προβληµάτων να γνωρίζουµε ότι J =N οπότε η J N σταθερά R γράφεται R = 8, 4 = 8, 4 στο S.I. ol K ol K Oι γραµµοµοριακές µάζες µετρούνται σε Κg/ol, π.χ. για το υδρογόνο: g Kg ( H ) :Mr = = 0 ol ol Η καταστατική εξίσωση χρησιµοποιείται ακόµα και αν η µάζα του αερίου µεταβάλλεται κατά τη µετάβαση του αερίου από µία κατάσταση σε µία άλλη. Τότε θα ισχύει η παρακάτω εξίσωση: PV PV = nrt = R nt PV PV = PV nt nt PV = nrt = R nt Όλα τα αέρια τα οποία επαληθεύουν ακριβώς την καταστατική εξίσωση pv = nrt ονοµάζονται ιδανικά αέρια.

8 ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία Όταν δίνεται ότι ένα αέριο βρίσκεται σε s.t.p. έχουµε: N = = και T = 7K 5 P at,0 0 Σε θερµοκρασίες κοντά στο απόλυτο µηδέν δεν ισχύουν οι νόµοι των αερίων. Κινητική θεωρία ιδανικών αερίων: Με την κινητική θεωρία των αερίων ερµηνεύονται οι πειραµατικοί νόµοι των αερίων και η καταστατική εξίσωση µε βάση τη σωµατιδιακή θεωρία της ύλης, δηλαδή εξάγουµε τις σχέσεις που συνδέουν τα µακροσκοπικά µεγέθη όπως η πίεση και η θερµοκρασία µε τη µέση τιµή των ταχυτήτων των µορίων του αερίου. Η κινητική θεωρία αποτελεί το συνδυασµό των νόµων της Μηχανικής σε µικροσκοπική κλίµακα και των µεθόδων της Στατιστικής για το υπολογισµό µέσων τιµών κλπ. Αφετηρία της κινητικής θεωρίας είναι η υπόθεση ότι τα αέρια αποτελούνται από πολύ µεγάλο πλήθος µορίων, που κινούνται άτακτα σε όλο το χώρο που καταλαµβάνει το αέριο. Άρα οι ταχύτητες των µορίων έχουν µε την ίδια πιθανότητα οποιαδήποτε κατεύθυνση και συµβαίνουν µεγάλοι αριθµοί κρούσεων σε µικρούς χρόνους. Για τα ιδανικά αέρια ισχύουν οι εξής παραδοχές: α. Οι δυνάµεις µεταξύ των µορίων εµφανίζονται µόνο κατά τις µεταξύ τους συγκρούσεις και όχι από απόσταση, οπότε στο χρονικό διάστηµα µεταξύ δύο κρούσεων το µόριο κινείται µε σταθερή ταχύτητα. β. Ο συνολικός όγκος που καταλαµβάνουν τα µόρια είναι αµελητέος σε σχέση µε τον όγκο που καταλαµβάνει το αέριο. γ. Ο χρόνος που διαρκεί η κρούση µεταξύ των µορίων ή των µορίων και των τοιχωµάτων είναι αµελητέος σε σχέση µε το χρόνο µεταξύ δύο διαδοχικών κρούσεων του ίδιου µορίου. δ. Οι κρούσεις των µορίων του αερίου µε τα τοιχώµατα του δοχείου, που το περιέχει, είναι ελαστικές, οπότε η κινητική ενέργεια του µορίου δε µεταβάλλεται κατά την κρούση του µε τα τοιχώµατα. Μερικές σπουδαίες ταχύτητες υ+υ+... +υν Η µέση ταχύτητα: υ= Ν υ+ υ +... + υν Το τετράγωνο της µέσης ταχύτητας: υ = Ν υ +υ + +υ Η µέση τιµή των τετραγώνων των ταχυτήτων: υ = Ν... Ν

ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία 9 Η πρώτη σχέση που προκύπτει από την κινητική θεωρία είναι αυτή που συνδέει την πίεση του αερίου µε τις ταχύτητες των µορίων του: Nυ P = V όπου Ν ο αριθµός των µορίων του αερίου, η µάζα κάθε µορίου, V ο όγκος του αερίου και υ η µέση τιµή των τετραγώνων των ταχυτήτων των µορίων του αερίου. Επειδή το γινόµενο Ν είναι η ολική µάζα του αερίου, η προηγούµενη σχέση παίρνει τη µορφή ολ P = υ P = ρυ όπου ολ είναι η πυκνότητα (ρ) του αερίου. Η δεύτερη βασική σχέση V V που συνάγεται από την εφαρµογή της κινητικής θεωρίας των αερίων συνδέει τη µέση µεταφορική κινητική ενέργεια των µορίων του αερίου Κ = υ µε τη θερµοκρασία του Τ: K = kt Απόδειξη () Παρατήρηση: Πολλές φορές στη λύση των προβληµάτων είναι χρήσιµη η έκφραση της ενεργού ταχύτητας σε συνάρτηση µε τη γραµµοµοριακή µάζα Μ r των µορίων του αερίου, η οποία προκύπτει ως εξής: R k= N A kt υ εν = RT υ εν = N A Nυ Από τη σχέση () γνωρίζουµε ότι p = η οποία γίνεται: V Nυ N P = P = υ PV = N υ ( ) V V Από την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων έχουµε: N PV = nrt PV = RT PV = NkT N Από τις σχέσεις () και () έχουµε: A () NkT = N υ kt υ = kt = υ K = Ενεργός ταχύτητα Από την εξίσωση kt = υ έχουµε ότι: υ kt kt = υ = Η τετραγωνική ρίζα της µέσης τιµής των τετράγωνων των ταχυτήτων των µορίων του ιδανικού kt υ εν = RT M r αερίου ονοµάζεται ενεργός ταχύτητα και συµβολίζεται µε υ εν :υ εν = kt

0 ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία Ερωτήσεις:. Η καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων µπορεί να πάρει τη µορφή: N ρ n A α. PV = RT β. P = RT γ. PV = RT δ. PV = N M N A RT (N/ ). Τι µεταβολή παριστάνει το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ στο διπλανό διάγραµµα P-V α. Ισόχωρη µεταβολή β. Ισόθερµη µεταβολή γ. Ισοβαρή µεταβολή δ. Τυχαία µεταβολή. Αν διπλασιάσουµε τον όγκο και τη θερµοκρασία ορισµένης ποσότητας ιδανικού αερίου τότε η πίεση του γίνεται: Pαρχ α. P αρχ β. Pαρχ γ. σταθερή δ. 4 4. Στο διπλανό διάγραµµα παριστάνονται δύο ισοβαρείς µεταβολές συγκεκριµένης ποσότητας ιδανικού αερίου. Για ποια από τις δύο µεταβολές η πίεση είναι µεγαλύτερη και γατί; α. Στην () β. Στην () 5. Ποιο από τα παρακάτω διαγράµµατα ΑΒ παριστάνει ισόθερµη εκτόνωση: ( ) ( ) (K) (N/ ) ( ) (N/ ) (N/ ) (K) (K) (K) ( ) 6. Στην ισόχωρη µεταβολή ΑΒ ποιο από τα παρακάτω διαγράµµατα αντιστοιχεί: ( ) (N/ ) ( ) (N/ ) (K) (K) (K) ( )

ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία 7. Ποσότητα ιδανικού αερίου συµπιέζεται ισόθερµα. Η µεταβολή της πυκνότητας σε συνάρτηση µε την πίεση του αερίου παριστάνεται στην ακόλουθη γραφική παράσταση. (Kg/ ) (Kg/ ) (Kg/ ) (Kg/ ) (N/ ) (N/ ) (N/ ) (N/ ) 8. Η ελάττωση της πίεσης ορισµένης ποσότητας ιδανικού αερίου συνοδεύεται από: α. ελάττωση του όγκου όταν T = σταθ. β. ελάττωση της θερµοκρασίας όταν V = σταθ. γ. αύξηση του όγκου όταν T = σταθ. δ. αύξηση της θερµοκρασίας όταν V = σταθ. 9. Η ισόχωρη µεταβολή ορισµένης ποσότητας αερίου: α. περιγράφεται από την εξίσωση P σταθ. T = β. υπακούει στο νόµο του Gay-Lussac γ. παριστάνεται µε µια ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων σε διάγραµµα πίεσηςθερµοκρασίας δ. είναι η µεταβολή κατά την οποία η πυκνότητα του αερίου αυξάνεται µε την αύξηση της θερµοκρασίας 0. Ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες. α. Η καταστατική εξίσωση ισχύει µόνο για µονοατοµικά αέρια. β. Στην κλίµακα Kelvin δεν υπάρχουν αρνητικές θερµοκρασίες. γ. Η πίεση ενός ιδανικού αερίου δεν εξαρτάται από την πυκνότητά του. δ. Η καταστατική εξίσωση ισχύει και για αέριο που αποτελεί µίγµα δύο ή περισσότερων ιδανικών αερίων.. Αν διπλασιάσουµε την πίεση ενός ιδανικού αερίου και τετραπλασιάσουµε την απόλυτη θερµοκρασία του τότε: α. Ο όγκος του τριπλασιάζεται β. Η πυκνότητα διπλασιάζεται γ. Ο αριθµός των µορίων υποδιπλασιάζεται δ. Η πυκνότητα υποδιπλασιάζεται

ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία. Ποσότητα ιδανικού αερίου έχει θερµοκρασία Τ. ιπλασιάζουµε ταυτόχρονα την πίεση και τον όγκο. Τότε : α. Η τελική θερµοκρασία είναι διπλάσια της αρχικής β. Η υ εν στην τελική θερµοκρασία είναι διπλάσια σε σχέση µε την υ εν στην αρχική θερµοκρασία. γ. Η τελική θερµοκρασία είναι τετραπλάσια της αρχικής δ. Η µέση µεταφορική ενέργεια στην τελική θερµοκρασία είναι τετραπλάσια της αρχικής. Ιδανικό αέριο µε µάζα µορίου βρίσκεται σε θερµοκρασία Τ.Ένα αέριο µε µάζα µορίου 4 στην ίδια θερµοκρασία Τ θα έχει ενεργό ταχύτητα υ εν : α. Ίδια µε του πρώτου αερίου β. ιπλάσια γ. Υποδιπλάσια δ. Υποτετραπλάσια 4. ύο ιδανικά αέρια Α και Β βρίσκονται στην ίδια θερµοκρασία. Τότε: α. Έχουν και τα δύο την ίδια ενεργό ταχύτητα υ εν β. Έχουν και τα δύο την ίδια µέση µεταφορική ενέργεια γ. Αν οι µάζες των µορίων Α και Β ήταν ίσες τότε θα είχαν ίσες ενεργές ταχύτητες δ. Και τα δύο αέρια µέσα σε δοχεία ίσων όγκων ασκούν την ίδια πίεση 5. Η πίεση ενός ιδανικού αερίου είναι ανάλογη: α. µε τον αριθµό των µορίων β. µε τη µέση κινητική ενέργεια των µορίων του γ. µε την ενεργό ταχύτητα των µορίων του δ. µε τη µέση τιµή των τετραγώνων των ταχυτήτων των µορίων του. 6. Η µέση κινητική ενέργεια των µορίων ενός ιδανικού αερίου µπορεί να υπολογιστεί αν δίνεται: α. ο όγκος του αερίου β. η πυκνότητα του αερίου γ. η πίεση του αερίου δ. η θερµοκρασία του αερίου 7. Τα µόρια ενός ιδανικού αερίου που έχει σταθερή θερµοκρασία εµφανίζουν: α. την ίδια ορµή β. την ίδια ταχύτητα γ. την ίδια επιτάχυνση δ. την ίδια µέση κινητική ενέργεια

ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία 8. Ποιες από τις ακόλουθες σχέσεις για την ενεργό ταχύτητα των µορίων ενός ιδανικού αερίου είναι σωστές και ποιες λανθασµένες. α. υεν kτ Τ = β. υεν = γ. υεν = k P ρ δ. υεν ΜΤ = ε. υεν = R RΤ 9. Η ενεργός ταχύτητα των µορίων ενός ιδανικού αερίου είναι: α. ανάλογη της πίεσης του αερίου β. ανάλογη της θερµοκρασίας του αερίου γ. ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας της θερµοκρασίας του αερίου δ. αντιστρόφως ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας της πίεσης του αερίου. 0. Η πίεση ενός ιδανικού αερίου τετραπλασιάζεται ενώ ο όγκος του παραµένει σταθερός. Η µέση κινητική ενέργεια των µορίων του αερίου: α. τετραπλασιάζεται β. διπλασιάζεται γ. παραµένει σταθερή δ. υποδιπλασιάζεται. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες: α. η ενεργός ταχύτητα των µορίων ενός ιδανικού αερίου δεν εξαρτάται από τη θερµοκρασία β. η ενεργός ταχύτητα των µορίων ενός ιδανικού αερίου είναι αντιστρόφως ανάλογη της µάζας των µορίων. γ. Η µέση κινητική ενέργεια των µορίων δεν εξαρτάται από τη µάζα των µορίων. δ. Οι µέσες κινητικές ενέργειες των µορίων δύο διαφορετικών ιδανικών αερίων δε µπορεί να είναι ίσες.

4 ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία Μεθοδολογία ασκήσεων - Λυµένα παραδείγµατα - ασκήσεις: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση ιδανικών αερίων: Για να καταλάβουµε ποιός νόµος αερίων ισχύει, κοιτάµε ποιο µέγεθος από τα P,V,T είναι σταθερό. Αν κανένα µέγεθος δεν είναι σταθερό ή δίνεται η µάζα ή η πυκνότητα τότε χρησιµοποιούµε καταστατική εξίσωση. Αν το φυσικό µέγεθος που είναι σταθερό π.χ. Ρ = σταθ, εµφανίζεται στους άξονες, τότε η γραφική παράσταση είναι κάθετη σ αυτόν τον άξονα. - 5 N Τ= 7+Θ, L =0, at =,0 0 Αν στο τελικό αποτέλεσµα εµφανίζεται πηλίκο οµοειδών µεγεθών, τότε δε χρειάζεται να µετατρέψω τον όγκο και την πίεση στο S.I. H θερµοκρασία πάντα µετατρέπεται σε βαθµούς Kelvin (K). Για την τιµή της σταθερής R έχουµε: R = 8,4 J/(ol K) αν όλες οι µονάδες είναι στο S.I. και R = 0,08 at L/(ol K) αν η πίεση δίνεται σε at και ο όγκος σε L. Παράδειγµα. Ιδανικό αέριο βρίσκεται µέσα σε κατακόρυφο κυλινδρικό δοχείο που κλείνεται µε έµβολο πάνω στο οποίο θέτουµε ορισµένα σταθµά. Το αέριο βρίσκεται σε θερµοκρασία -,5 o C και καταλαµβάνει όγκο 0L. Θερµαίνουµε το αέριο σε θερµοκρασία 70 o C. α. Ποιος νόµος αερίων ισχύει; β. Ποιος είναι ο τελικός όγκος του δοχείου; γ. Να αποδώσετε τη µεταβολή σε άξονες P - V, P - T, V - T. Λύση α. Η πίεση στο εσωτερικό του δοχείου είναι ίση µε την πίεση που προκαλεί η ατµόσφαιρα, το βάρος του εµβόλου και των σταθµών. Επειδή η εξωτερική πίεση παραµένει σταθερή, θα είναι και η εσωτερική πίεση σταθερή. Άρα ισχύει ο Ν. Gay-Lussac.

ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία 5 β. V = 0L, T = (, 5 + 7)K = 7, 5K, T = (70 + 7)K = 54 Κ γ. V V V T 0L 54K = V V V T T = T = 7,5K = (at) (at) 40L Παράδειγµα. Ένα κυλινδρικό δοχείο µε διαθερµικά τοιχώµατα κλείνεται µε έµβολο και περιβάλλεται από λουτρό, σταθερής θερµοκρασίας. Το δοχείο περιέχει ιδανικό αέριο πίεσης p = at και όγκου V = 0 L. Μετακινώντας το έµβολο τριπλασιάζουµε την πίεση του αερίου. Nα βρεθεί: α. Ποιoς νόµος αερίων ισχύει. β. Ποιoς είναι ο τελικός όγκος του αερίου γ. Να αποδώσετε τη µεταβολή σε άξονες P - V, P - T, V - T. Λύση α. Επειδή το δοχείο έχει διαθερµικά τοιχώµατα και περιβάλλεται από λουτρό σταθερής θερµοκρασίας, θα ισχύει ο Ν. Boyle β. P = at, V = 0 L, P = P = at. PV Ισχύει ο Ν. Boyle: PV = PV V = P at 0L V = V = 0 at L γ.

6 ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία Παράδειγµα. Ιδανικό αέριο βρίσκεται µέσα σε κυλινδρικό δοχείο µε pa = 5at, VA = L και TA = 00K. Το αέριο θερµαίνεται µε σταθερή πίεση µέχρι να διπλασιαστεί ο όγκος του. Στη συνέχεια µε σταθερή θερµοκρασία αυξάνεται ο όγκος του µέχρι να γίνει VΓ = 5L. Έπειτα ψύχεται µε σταθερή πίεση µέχρι την αρχική θερµοκρασία και τέλος συµπιέζεται µε σταθερή θερµοκρασία µέχρι την αρχική του κατάσταση. α. Να υπολογίσετε την πίεση, τον όγκο και τη θερµοκρασία σε κάθε θέση. β. Να γίνουν τα διαγράµµατα P V, P T, V T. Λύση Αντί για τους νόµους των αερίων, θα µπορούσαµε να εφαρµόσουµε την καταστατική εξίσωση σε κάθε θέση. Iσχύει: V = V = 4L οπότε: A ( ) B Α VΑ VB TA VB B P Α = σταθ Ν. Gay-Lussac: = TB = 00K 4L TB = TB = 600K T T V L A B A B Γ( ΤΒ = σταθ) Ν. Boyle: PV B B PV B B = PV Γ Γ PΓ = Ρ Γ = 4at V Γ Γ ( ) VΓ V = T T Γ P Γ V =σταθ Ν. Gay-Lussac VΓ Τ = Τ Γ 5L 00K V = V =, 5L 600K

ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία 7 Παράδειγµα.4 Πόσα µπαλόνια όγκου L µπορούµε να φουσκώσουµε µε το ήλιο που περιέχεται σε φιάλη όγκου L; Το ήλιο στη φιάλη βρίσκεται υπό πίεση 0 at, ενώ στα µπαλόνια υπό πίεση, at. Υποθέστε ότι τόσο η φιάλη όσο και τα µπαλόνια βρίσκονται στην ίδια θερµοκρασία. Λύση Έστω ν ο αριθµός των µπαλονιών. Επειδή η µεταβολή του ήλιου είναι ισόθερµη, ισχύει ο νόµος του Boyle: P PV = PV V = V P 0at L ν = L ν = 400, ο αριθµός των µπαλονιών, at Παράδειγµα.5 Ένα ol αερίου βρίσκεται σε s.t.p. ιπλασιάζουµε την πίεση διατηρώντας σταθερή τη θερµοκρασία και στη συνέχεια τριπλασιάζουµε τον όγκο διατηρώντας σταθερή την πίεση. Να βρεθούν οι τελικές τιµές πίεσης, όγκου και θερµοκρασίας. Λύση Η αρχική κατάσταση του αερίου είναι: P 0 =at, V 0 =,4 L και Τ 0 =7 Κ. H πρώτη µεταβολή του αερίου είναι ισόθερµη, οπότε από το νόµο του Boyle έχουµε: V0 PV 0 0 = PV PV 0 0 = PV 0 V = () Η δεύτερη µεταβολή του αερίου είναι ισοβαρής, οπότε από το νόµο Gay-Lussac έχουµε: V V V V = = T= T0 T = 89K T T T T 0 0 Η τελική πίεση του αερίου είναι: P = P0 P = at και ο τελικός όγκος του αερίου είναι: V= V V =,6 L ()

8 ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία Παράδειγµα.6 Ο λεπτός κατακόρυφος σωλήνας του διπλανού σχήµατος κλείνεται από µια σταγόνα υδραργύρου Σ και το τµήµα ΑΣ, ύψους h=7 c περιέχει αέρα θερµοκρασίας θ=7 o C. Αν η θερµοκρασία του αέρα γίνει θ =7 o C, πόσο θα µετακινηθεί η σταγόνα; Η µεταβολή του όγκου του σωλήνα µε την αύξηση της θερµοκρασίας θεωρείται αµελητέα. Λύση Η µεταβολή του αέρα στο σωλήνα είναι ισοβαρής γιατί είναι: P αερ =P ατµ + w/a=σταθερό όπου: w το βάρος της σταγόνας και A εµβαδό διατοµής του σωλήνα. Άρα από το νόµο Gay-Lussac έχουµε: V V ha h A h h h h+ x = = = = T T T Τ T Τ T Τ T T h+ x = h x = h T T 400 ή x = 7c = 9c 00 Παράδειγµα.7 οχείο όγκου V, που περιέχει αέρα, έχει στο πάνω µέρος του στρόφιγγα. Αρχικά η στρόφιγγα είναι ανοιχτή και ο αέρας του δοχείου επικοινωνεί µε το περιβάλλον. Η ατµοσφαιρική πίεση είναι P ατ =at. Θερµαίνουµε το δοχείο, µε ανοιχτή στρόφιγγα, µέχρι τη θερµοκρασία στο εσωτερικό του να γίνει T =40 Κ. Κλείνουµε τη στρόφιγγα και τοποθετούµε το δοχείο σε λουτρό νερού - πάγου. Να υπολογιστεί η τελική πίεση στο εσωτερικό του δοχείου. Η θερµοκρασία στην οποία συνυπάρχει νερό και πάγος είναι Τ =7 Κ. Λύση Στην αρχή που η στρόφιγγα είναι ανοικτή και µετά τη θέρµανση, στο δοχείο περιέχονται n ol αέρα. Η πίεση του αέρα είναι η ατµοσφαιρική και ισχύει η καταστατική εξίσωση: P ατµ V=nRT () Όταν τοποθετήσουµε το δοχείο στο λουτρό νερού - πάγου για τα n ol αέρα που περιέχονται στο δοχείο, ισχύει και πάλι η καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων: PV=nRT () Ó x h Ô h Ô Ó h Ó õäñüñãõñïò áýñáò (Ô) Θυµόµαστε ότι: Σε ασκήσεις που αναφέρουν για έµβολο που µπορεί να κινείται χωρίς τριβές (ή για σταγόνα Hg που φράσσει λεπτό σωλήνα), εφαρµόζουµε ότι οι πιέσεις που ασκούνται στο έµβολο, από τις δύο πλευρές του, είναι ίσες σε κάθε κατάσταση ισορροπίας. η λύση: Όταν τοποθετήσουµε το δοχείο στο λουτρό νερού - πάγου, τα n ol αέρα που περιέχονται στο δοχείο, υφίστανται ισόχωρη ψύξη, αφού V=σταθ. Ισχύει: Pατµ T T = P= Pατµ P T T P= 0,666at

ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία 9 ιαιρώντας κατά µέλη τις εξισώσεις () και () βρίσκουµε: Pατµ V nrt P ατµ T = = P PV nrt P T T = Pατ µ P = T 0, 666at P=P=P Ç O Θυµόµαστε ότι:. n = Μ όπου:, M στην ίδια µονάδα µέτρησης. Όταν η άσκηση αναφέρει µήκος l (ή ύψος) δοχείου, τότε θα γράφουµε: V = S. l (όγκος κυλίνδρου) Παράδειγµα.8 O κύλινδρος του σχήµατος χωρίζεται σε δύο µέρη, µέσω εµβόλου που κινείται χωρίς τριβή. Στο τµήµα εισάγονται g Η ενώ στο εισάγονται 8 g O. Ποιος είναι ο λόγος l / l στην κατάσταση ισορροπίας; Τα αέρια στην κατάσταση ισορροπίας βρίσκονται στην ίδια θερµοκρασία. Οι γραµµοµοριακές µάζες για το Η και το Ο είναι. 0 - Kg/ol και. 0 - kg/ol, αντίστοιχα. Λύση Στην κατάσταση ισορροπίας, τα αέρια βρίσκονται στην ίδια θερµοκρασία Τ και έχουν την ίδια πίεση (P =P ) γιατί το έµβολο ισορροπεί. Εφαρµόζοντας την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων, για κάθε αέριο έχουµε: PV =n RT και PV =n RT όπου: n = M και n = M Με διαίρεση κατά µέλη παίρνουµε: RT l l RT M PV M V M V S l = = = 4 = 4 = 4 PV V M V S l

0 ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία Παράδειγµα.9 Το κυλινδρικό δοχείο του σχήµατος έχει τον άξονά του κατακόρυφο, περιέχει αέρα και κλείνεται µε έµβολο. Όταν το δοχείο τοποθετηθεί µε τη βάση του προς τα κάτω (σχ. α) το ύψος της στήλης του εγκλωβισµένου αέρα είναι h α = 40 c. Αν το δοχείο αναστραφεί (σχ. β) το ύψος της στήλης είναι h β =60 c. Να υπολογιστεί το βάρος του εµβόλου. ίνονται: P ατµ =,0. 0 5 N/ και η διατοµή του εµβόλου Α=0c. Η µεταβολή να θεωρηθεί ισόθερµη. Λύση Ισχύει: P V = P V () Επειδή το έµβολο ισορροπεί, τόσο στην αρχική όσο και στην τελική κατάσταση, ισχύουν: h á (á) h â (â) P =Ρ ατµ +Ρ w =Ρ ατµ + w/α () P +Ρ w =Ρ ατµ ή P =Ρ ατµ - w/α () Oι όγκοι µπορούν να γραφούν: V =A. h α (4) και V =A. h β (5) Η σχέση () λόγω των σχέσεων (), (), (4) και (5) γράφεται: w w Pατµ. + A hα = Pατµ. A hβ ή w = 0,6 Ν A A Παράδειγµα.0 Στο εργαστήριο µπορούν να επιτευχθούν πολύ χαµηλές πιέσεις µέχρι. 0 5 at. Να υπολογίσετε τον αριθµό των µορίων ενός αερίου σε ένα δοχείο όγκου L σε αυτή την πίεση και σε θερµοκρασία Τ=00 Κ. ίνεται: R=0,08 L. at/(ol. K), Ν Α =6,0. 0 µόρια/ol.( at=,0. 0 5 N/, L=0 - ) Λύση Σύµφωνα µε την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων έχουµε: PV=nRT N N PV 8 Aλλά n = Άρα: PV RT N NA N,8 0 N = N = RT = µόρια A A

ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία Προσοχή: Όταν αντικαθιστούµε τη γραµµοµοριακή µάζα, να θυµόµαστε ότι στο S.I. εκφράζεται σε Kg/ol. Παράδειγµα. Ένας από τους πυροσβεστήρες του σχολείου σας περιέχει CO µάζας, kg σε θερµοκρασία 7 o C. Αν ο εσωτερικός όγκος του πυροσβεστήρα είναι,. 0 - να βρείτε την πίεση του J CO. ίνονται: R =8, 4 και η γραµµοµοριακή µάζα του CO ότι είναι 44 g/ol. ol K Λύση CO Θα εφαρµόσουµε την καταστατική εξίσωση: PV=nRT αλλά n = MCO CO CO RT Άρα: PV = RT ή P= M M V CO CO Eπειδή η γραµµοµοριακή µάζα του CO είναι M= 44 g/ol=44. 0 - Kg/ol, µε αντικατάσταση παίρνουµε: Ρ=9. 0 6 Ν/ Παράδειγµα. ύο δοχεία µε όγκους V =0,L και V =0,L συνδέονται µε λεπτό σωλήνα αµελητέου όγκου. Τα δοχεία περιέχουν αέρα θερµοκρασίας 00 Κ. Αυξάνουµε τη θερµοκρασία στο πρώτο δοχείο κατά 00 Κ και στο δεύτερο κατά 50Κ. Αν η αρχική πίεση ήταν at να υπολογιστεί η τελική της τιµή. Λύση Στην αρχική και τελική κατάσταση ο συνολικός αριθµός των ol στα δύο δοχεία είναι ίδιος. ηλαδή: n +n =n +n =n ολ () Eφαρµόζουµε την καταστατική εξίσωση στην αρχική και τελική κατάσταση για τον αέρα κάθε δοχείου. Pá Ô n V V P á Ô n Η σχέση () γράφεται: Pα V n = RT, Pα V n = RT, PΤ = V n RT, PΤ = V n RT

ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία P V P V P V P V + = + RT RT RT RT α α Τ Τ ή at 0,L at 0, L PΤ 0,L PΤ 0,L + = + 00K 00K 400K 50K P ô P V ô Ô ή P τ =,6 at Ô n n V Παράδειγµα. Ένα δοχείο έχει όγκο,5l L και είναι εφοδιασµένο µε στρόφιγγα. Η στρόφιγγα είναι ανοικτή και στο δοχείο περιέχεται ποσότητα αζώτου σε θερµοκρασία θ =7 ο C, και πίεση ίση µε την εξωτερική, που είναι 0 5 Ρα. Θερµαίνουµε το άζωτο µε τη στρόφιγγα ανοικτή µέχρι η θερµοκρασία να γίνει θ =7 ο C. Στη συνέχεια ψύχουµε το αέριο στην αρχική του θερµοκρασία, έχοντας κλείσει τώρα τη στρόφιγγα. Α. Πόσα ol αζώτου διέφυγαν; Β. Πόση είναι µετά την ψύξη η πίεση του αζώτου; R = 8,4 J/(ol K). (â) Λύση Α. Επειδή αλλάζουν τα ol δουλεύουµε µόνο µε καταστατική εξίσωση. Pατµ V Στην αρχική κατάσταση ο αριθµός των ol στo δοχείo είναι: n = = 0,06 RT Pατµ V Στην τελική κατάσταση ο αριθµός των ol στo δοχείo είναι: n = = 0,045 RT Άρα διέφυγαν: n=n -n =0,05 ol Β. Όταν κλείσει η βαλβίδα και ψυχθεί το αέριο στην αρχική θερµοκρασία των 7 ο C, υφίσταται ισόχωρη µεταβολή. Άρα: P P Τ ατµ τελ 5 = ή Ρτελ = Ρατµ = 0 Ν/ Τ Τ Τ 4 V Ô n P áôì (á) V Ô P áôì n (ã) V Ô n P ôåë Θυµόµαστε ότι: Όταν δεν παραµένει σταθερός ο αριθµός των ol του αερίου χρησιµοποιούµε µόνο την καταστατική εξίσωση στην αρχική και τελική κατάσταση.

ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία Παράδειγµα.4 Το κυλινδρικό δοχείο του σχήµατος έχει τον άξονά του κατακόρυφο, περιέχει 0,5 ol ιδανικού αερίου και κλείνεται µε έµβολο βάρους w = 00Ν ενώ η διατοµή του εµβόλου είναι A = 0c. Ποια πρέπει να είναι η θερµοκρασία του αερίου σε βαθµούς Κελσίου, ώστε το έµβολο να ισορροπεί σε ύψος h =,45 από τη βάση του κυλίνδρου; ίνονται: P ατµ =0 5 N/ και R = 8, J/(ol K). Λύση Επειδή το έµβολο ισορροπεί, ισχύει: P=Ρ ατµ +Ρ εµβ =Ρ ατµ + w/a ή P=,5. 0 5 N/ () Θα εφαρµόσουµε την καταστατική εξίσωση για να βρούµε τη θερµοκρασία. nrt nrt P Α h PV = nrt üπου V = A h Άρα: P = = ή Τ= V A h nr Με αντικατάσταση παίρνουµε: 5 4 P Α h,5 0 0 0, 45 Τ= T= K= 00K nr 0,5 8, Τελικά: θ=τ-7=7 ο C. P 6 4 0 ( x0 5 N/ ) A B Ã 00 600 Ô (Ê) Παράδειγµα.5 Μια ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται στην κατάσταση Α(Ρ Α,V A,T A ) και εκτελεί τις εξής διαδοχικές µεταβολές: ΑΒ: ισόθερµη εκτόνωση µέχρι να γίνει V B = 4 V A. BΓ: ισοβαρή εκτόνωση µέχρι να γίνει T Γ = Τ A α) Να βρείτε τις τιµές των P, V και Τ σε κάθε κατάσταση ισορροπίας Α, Β και Γ. β) Να παραστήσετε γραφικά τη µεταβολή ΑΒΓ σε διάγραµµα: P - V, P - T, V - T. ίνονται: Ρ Α = 4. 0 5 Pa, V A = 0 -, T A =00 K. Λύση Για την ισόθερµη µεταβολή ΑΒ (Τ Β =Τ Α =00Κ) ισχύει: V V P P V = P V P = P P = P P = = 0 N/ A A A A A B B B A B A B VB 4VA 4 5

4 ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία Άρα: Ρ B =0 5 N/, V B =4. 0 -, T B =00 Κ Για την ισοβαρή µεταβολή ΒΓ (Ρ Γ =Ρ Β =Ρ Α /4) ισχύει: P 6 4 ( x0 5 N/ ) A VB ΤΒ 4VΑ ΤΑ = = Γ = Α = VΓ ΤΓ VΓ ΤΑ Άρα: V 8V 8 0 Ρ Γ =0 5 N/, V Γ =8. 0 -, T Γ =600 Κ 0 B 4 6 8 Ã V - (0 x ) V - (0 x ) 0 8 Ã 6 4 B 0 A 00 600 Ô (Ê) Παράδειγµα.6 Μιά ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται στην κατάσταση Α (Ρ Α, V A, T A ) και εκτελεί τις εξής διαδοχικές µεταβολές. Ι) ισόχωρη θέρµανση µέχρι να γίνει η πίεση Ρ Β =Ρ Α ΙΙ) ισοβαρή εκτόνωση µέχρι να γίνει ο όγκος V Γ =V Α ΙΙΙ) ισόθερµη εκτόνωση µέχρι να γίνει ο όγκος V IV) ισοβαρή συµπίεση µέχρι να επιστρέψει το αέριο στην αρχική του κατάσταση Α. Να βρείτε τις τιµές των P, V και Τ σε κάθε κατάσταση ισορροπίας Α, Β, Γ, και να παραστήσετε γραφικά τη µεταβολή ΑΒΓ Α σε διάγραµµα: P - V, P - T, V - T. ίνονται: Ρ Α = 4. 0 5 Pa, V A = 0 -, T A =00 K. P A n V Ô A A

ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία 5 Λύση Για την ισόχωρη µεταβολή ΑΒ (V Β =V Α =0 - ) ισχύει: PB PA PA PA = = TB = TA TB = 600K T T T T B A B A Άρα: Ρ B =8. 0 5 N/, V B =0 -, T B =600 Κ Για την ισοβαρή µεταβολή ΒΓ (Ρ Γ =Ρ Β =8. 0 5 N/ ) ισχύει: VB VΓ VΑ VΑ = = Τ Γ =Τ Β =00Κ Τ Τ T Τ Β Γ B Γ Άρα: Ρ Γ =8. 0 5 N/, V Γ =. 0 -, T Γ =00 Κ Για την ισόθερµη µεταβολή Γ (Τ Γ =Τ =00Κ) ισχύει: 5 80 5 V = 0 V = 4 0 40 - PV =P V P V =V Ρ Γ Γ Γ Γ Άρα: Ρ =4. 0 5 N/, V =4. 0 -, T =00 Κ P 8 4 0 ( x0 5 N/ ) B A Ã 4 Ä P 8 4 V - (0 x ) 0 ( x0 5 N/ ) A B Ã Ä 00 600 900 00 Ô (Ê) V 5 4 0 - (0 x ) Ä A Ã B 00 600 900 00 Ô (Ê)

6 ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία Παράδειγµα.7 Μιά ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται στην κατάσταση Α (Ρ 0, V 0, T 0 ) και εκτελεί τις διαδοχικές µεταβολές του διπλανού σχήµατος. Να βρείτε το είδος της κάθε µεταβολής και να παραστήσετε γραφικά τη µεταβολή ΑΒΓ Α σε διάγραµµα: P - V, P - T. Λύση Οι µεταβολές ΑΒ και Γ είναι ισόχωρες (V A =V B =V 0 και V Γ =V =V 0 ). Οι µεταβολές ΒΓ και Α είναι ισοβαρείς γιατί ισχύει: V/T = σταθ. Άρα: Ρ A =Ρ =Ρ 0 και Ρ Γ =Ρ Β ( ) (N/ ) (K) P0 PB Για τη µεταβολή ΑΒ: = P = P T T Άρα και Ρ Γ =Ρ 0 0 0 B 0 ( )

ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία 7 Παράδειγµα.8 c αέρα βρίσκεται σε s.t.p. α. Πόση είναι η µάζα του, β. Πόσος είναι ο αριθµός µορίων του, γ. Ποια είναι η πυκνότητα του. ίνεται R = 8,4 J/(ol K), N = 6,0 0 µόρια/ ol, η µέση γραµοµοριακή µάζα του A - 5 N αέρα M = 9 0 kg/ol, at =,0 0 Λύση 5 N s.t.p. σηµαίνει πίεση P = at =,0 0 και θερµοκρασία T = 7K α. Από την καταστατική εξίσωση P V = nrt P V = RT M 5 6 PVM,0 0 N / 0 9 0 kg / ol = = RT 8,4J /(ol K) 7K 6,9 0 kg = (ή αλλιώς N M N n = = = ) N M N A A N NA β. Ο αριθµός των oles του αέρα: n = = N = N M M A 6,9 0 6,0 0 N = µόρια N = 0, 7 0 9 0 0 µόρια. γ. Από την καταστατική εξίσωση P M P M P V = nrt P V = R T = ρ = M V R T R T 5 P Μ,0 0 N / 9 0 kg / ol kg ρ = ρ = =,9 RT 8,4J /(ol K) 7K kg ρ =,9 (ή αλλιώς ρ = ). V

8 ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία Παράδειγµα.9 Για να µετρήσουµε το βάθος της λίµνης Πλαστήρα κάνουµε το εξής πείραµα. Μια φυσαλίδα αέρα όγκου 0 c βρίσκεται στο βυθό της λίµνης όπου η θερµοκρασία είναι 4 o C. Η φυσαλίδα όταν ανεβαίνει στην επιφάνεια έχει όγκο 00 c και η θερµοκρασία είναι 0 o C. Θεωρήστε τη θερµοκρασία της ίση µε τη θερµοκρασία του νερού που την περιβάλλει, την ατµοσφαιρική πίεση P 0 = 0 5 N/, την πυκνότητα του νερού ρ = 0 Kg/ και την επιτάχυνση της βαρύτητας g = 0 /s. Υδροστατική πίεση P υδρ. = ρ g h. Πόσο είναι το βάθος της λίµνης; Λύση H καταστατική εξίσωση στο βυθ ό: ( P0 + ρ gh) V = nrt H καταστατική εξίσωση στην επιφά νεια :P0V = nrt VT 5 N 00c 77K P0 0 ( P0 +ρgh) V nrt VT = h = 0c 9K h = h = 7,6 PV 0 nrt ρg kg 0 0 s Σηµείωση: Αν δίνεται η ακτίνα r της φυσαλίδας τότε ο όγκος της είναι 4 V = πr. Παράδειγµα.0 Σ ένα παιδικό πάρτυ θέλουµε να φουσκώσουµε 00 µπαλόνια µε ήλιο. Το κάθε µπαλόνι έχει όγκο L και πίεση,5at. Αν η φιάλη που θα χρησιµοποιήσουµε έχει όγκο 4L, ποια είναι η πίεσή της. Θεωρήστε ότι η φιάλη και τα µπαλόνια έχουν την ίδια θερµοκρασία, ενώ δεν χάθηκε ήλιο στη διαδικασία. Λύση Όταν η συνολική µάζα διατηρείται σταθερή, χρησιµοποιούµε την καταστατική εξίσωση σε συνδυασµό µε την αρχή διατήρησης της µάζας. Η καταστατική εξίσωση: στη φιάλη: P ολ V ολ = n ολ RT n ολ Pολ V = RT ολ P V στο µπαλόνι: P V = nrt n = RT Η µάζα του ηλίου που είναι στη φιάλη ( n ολ ) είναι ίση µε το άθροισµα των µαζών στα µπαλόνια (00n). Άρα n ολ Pολ V = 00n RT ολ P V = 00 RT 00 P V 00, 5at L Pολ = Pολ = Pολ = 50at. V 4L ολ

ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία 9 Παράδειγµα. Ένα κυλινδρικό δοχείο ακτίνας r = 40 c και ύψους h 0 = 50 c είναι γεµάτο µε αέρα θερµοκρασίας 0 o C και πίεσης at. Στη συνέχεια τίθεται ένα έµβολο στο πάνω µέρος του δοχείου, µάζας = 0 Kg, το οποίο κατέρχεται µέσα στον κύλινδρο συµπιέζοντας τον αέρα που έχει παγιδευθεί µέσα στο δοχείο. Τελικά, ένας άνθρωπος µάζας M = 75 Kg στέκεται πάνω στο έµβολο συµπιέζοντας ακόµη περισσότερο τον αέρα (ο οποίος παραµένει στους 0 o C) α. Πόσο πιο κάτω ( h) κατέβηκε το έµβολο όταν ο άνθρωπος ανέβηκε πάνω του; β. Σε ποια θερµοκρασία πρέπει να θερµανθεί ο αέρας ώστε το έµβολο µε τον άνθρωπο να ανυψωθούν στο ύψος h, όπου αρχικά ισορροπούσε το έµβολο. ίνονται: Όγκος κυλίνδρου V = S h = πr h, η πίεση που προκαλεί µια δύναµη F κάθετη σε επιφάνεια εµβαδού S είναι P = F/s, at = 0 5 N/, g = 0 /s. Λύση α. Η καταστατική εξίσωση: µε το έµβολο:p V = nrt0 P = = V P αρχικά :P0 V0 nrt0 0 V 0 g P0 h0 P0 + πr h = P0 πr h0 h = = 49,8c h = 49,8c S g P0 + πr Η καταστατική εξίσωση: µε τον άνθρωπο και το έµβολο:p V µε το έµβολο:p V = nrt 0 = nrt0 P V = P V

0 ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία 0 g ( + M) g P0 + πr h = P0 + πr h S S S ( + ) Άρα h = h h = 0, 7c h 0, 7c = g P + h = h h = 49,c M g P0 + S β. Όταν θερµανθεί το αέριο µε το έµβολο και τον άνθρωπο, η εσωτερική πίεση µένει σταθερή ίση µε την εξωτερική που είναι P 0 ( + ) 0 0 0 M g = P +. ηλαδή ισχύει ο Ν. Gay-Lussac. S V V V S h h = T' = T T' = T 49, 8c T' = T0 T' = 9K T' = 97, K T T' V S h h 49, c Παράδειγµα. Ένας κύλινδρος στο πάνω µέρος του κλείνεται µε έµβολο εµβαδού διατοµής 0 - και αµελητέας µάζας. Το έµβολο είναι συνδεδεµένο µε ελατήριο σταθεράς Κ = 0 Ν/. Ο κύλινδρος περιέχει 5L αερίου και το ελατήριο ισορροπεί ασυµπίεστο, υπο πίεση at και θερµοκρασία 0 o C. α. Κατά πόσο θα ανυψωθεί το έµβολο, όταν η θερµοκρασία του αερίου ανέλθει στους 50 o C; β. Ποια είναι τότε η πίεση του αερίου; ίνεται at = 0 5 N/. Λύση α. V = 5L V = V + x S P = at k x P = P+ T = 9K S T = 5K S= 0 Όταν το έµβολο ανυψωθεί κατά x, τότε ο όγκος του αερίου, γίνεται V = V+ x S, ενώ στην Fελ k x ατµοσφαιρική πίεση προστίθεται η πίεση του συµπιεσµένου ελατηρίου Pελ = =. S S

ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία Eποµένως k x P = P +. S Εφαρµόζουµε στις δύο θέσεις την καταστατική εξίσωση. Αρχικ ά:pv = nrt PV T PV Τ = PV = Τελικ ά:pv = nrt PV T Τ k x PVΤ P+ ( V+ x S) = 0x + 0x, 9 = 0 S Τ Από τη λύση της δευτεροβάθµιας εξίσωσης έχουµε x = 0, 68 k x N β. P = P + P =, 6 0 s 5 Παράδειγµα. Οριζόντιος κυλινδρικός σωλήνας κλειστός στις δύο άκρες του, χωρίζεται σε δύο διαµερίσµατα από στεγανό ευκίνητο έµβολο. Στο ένα διαµέρισµα περιέχεται αέριο He και στο άλλο H. Τα δύο τµήµατα έχουν την ίδια θερµοκρασία και τον ίδιο όγκο. Αν η ολική µάζα των αερίων είναι 5g, να βρεθεί: α. Η µάζα κάθε αερίου β. Αν θερµάνουµε οµοιόµορφα τον κύλινδρο θα µετακινηθεί το έµβολο; ίνονται οι γραµοµοριακές µάζες M He = 4 0 Kg/ol, MH = 0 Kg/ol Λύση α. Θα είναι ολ = He + H () 0 He διαµ έ ρισµα :PV = RT M He He H He H () = = 0 H 4 διαµ έ ρισµα :PV = RT M H 0 Από τις (), () έχω: He = g και = 5 H g

ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία β. Αν θερµάνουµε οµοιόµορφα σε θερµοκρασία T τότε: 0 PV PV διαµ έ ρισµα : = T T V = V άρα δεν θα κινηθεί το έµβολο 0 PV PV διαµ έ ρισµα : = T T Παράδειγµα.4 Σε οριζόντιο κυλινδρικό θερµοµονωτικό σωλήνα, εσωτερικής διατοµής S = 0 c περιέχεται ιδανικό αέριο θερµοκρασίας 7 o C. Θερµοµονωτικό έµβολο, που µετακινείται χωρίς τριβές, χωρίζει το σωλήνα σε δύο ίσα διαµερίσµατα όγκου V = 70 c το καθένα. Αυξάνουµε τη θερµοκρασία στο ένα διαµέρισµα στους 7 o C ενώ στο άλλο τη διατηρούµε στους 7 o C. Κατά πόσο µετακινήθηκε το έµβολο; Λύση Αν ο όγκος στο 0 διαµέρισµα αυξήθηκε κατά V µε µετακίνηση του εµβόλου κατά x, τότε στο 0 διαµέρισµα µειώθηκε κατά V. 0 P V P ( V + V) : = T T P ( V + V) P ( V V) = 0 P V P ( V V) T T : = T T ( V + V) ( V V) V ( T T ) = V = V = 0c T T T + T V Άρα V = x S x = x = c. S Παράδειγµα.5 Ποσότητες οξυγόνου - kg M O = 0 και αζώτου - kg ol M N = 8 0 έχουν την ίδια ol θερµοκρασία.. Οι ενεργές τους ταχύτητες είναι: i. ίδιες ii. διαφορετικές. Οι µέσες κινητικές τους ενέργειες είναι: i. ίδιες ii. διαφορετικές Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία Λύση RT. υ εν, Ο = MO υεν, Ο M N = = RT υεν,n M O υ εν,n = M N 7 < υ < υ 8 εν, Ο εν,n. K K O N = KT K = KT O = K N ( ίδιες) Παράδειγµα.6 Ιδανικό αέριο υποβάλλεται στις εξής διαδοχικές µεταβολές: i. διπλασιάζουµε την πίεσή του κρατώντας σταθερό τον όγκο του, ii. διπλασιάζουµε τον όγκο του κρατώντας σταθερή τη θερµοκρασία του, iii. διπλασιάζουµε τον όγκο υπό σταθερή πίεση. α. Να σχεδιάσετε τις µεταβολές σε άξονες Ρ - V β. Να βρείτε το λόγο των ενεργών ταχυτήτων τις αρχικής προς την τελική κατάσταση Λύση α. Oι µεταβολές απεικονίζονται στο διπλανό σχήµα. P P β. Α Β:V = σταθ ( Ν.Charles) = TB = T T T A B Γ:ΤΒ = σταθ ( Ν.Βoyle) P V = PΓ V PΓ = Ρ V 4V :Ρ = σταθ ( Ν.Gay Lussac) = T Γ T = Τ = Τ Τ = 4Τ Όµως Γ υ υ ενα εν Β Α A B Γ T RΤΑ = M ΤΑ = = = υ εν RT Τ 4 = υ Μ ενα

4 ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία Παράδειγµα.7 οχείο Α όγκου V = 00 L συνδέεται µε σωλήνα αµελητέου όγκου µε δοχείο Β όγκου V = 00 L. Η συσκευή περιέχει H υπό πίεση P 0 = at και θερµοκρασία Θ 0 = ο C. Στη συνέχεια το δοχείο Α φέρεται σε θερµοκρασία Θ = 0 ο C ενώ το Β σε Θ = 00 ο C ζητούνται: α. Η τελική πίεση του υδρογόνου H β. Το % της συνολικής µάζας του H που περιέχεται στο δοχείο Α στην τελική κατάσταση γ. Την ενεργό ταχύτητα του H στο δοχείο Β στην τελική κατάσταση. ίνονται R = 8,4 (J/ol) K, Λύση P0V α. Αρχικά: δοχε ίο Α : n = RT 0 Μ Η - kg = 0 ol Επειδή η συνολική µάζα του H παραµένει σταθερή: P0 V δοχε ίο B: n = RT 0 β. P0 V P0V PV PV n + n = n' + n' + = + RT RT RT RT V V n' T n' T = = n V ' n V ' + n ' V + T T T Άρα το ζητούµενο ποσοστό είναι,%. 0 0 P0 ( V + V ) T0 Ρ = P =, at V V + T T V n ' = n T = 0,n T + T ολ ολ V V RT υ = υ =,5 0 s γ. ενh εν H MH

ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία 5 Παράδειγµα.8 Η πυκνότητα του αζώτου σε κανονικές συνθήκες πίεσης και θερµοκρασίας (s.t.p) είναι,5 Kg/. Να υπολογίσετε την ενεργό ταχύτητα των µορίων του αζώτου στις θερµοκρασίες 0 o C, 7 o C, 7 o C. ίνεται ότι at 0 5 N/ Λύση Από τα δεδοµένα της άσκησης έχουµε ότι σε κανονικές συνθήκες (s.t.p.), δηλ. για πίεση ο p = at και θερµοκρασία θ = 0 C ή T = 7K το αέριο άζωτο έχει πυκνότητα ρ =,5kg/ οπότε: 5 P P 0 N/ 5 5 = ρυ υ = =,5kg / υ = 0 /s υ = 0/s ρ 6 υ = 0, 0 / s υ = 0, 0 / s Αν υ υ είναι η ενεργός ταχύτητα των µορίων του αζώτου στους 7 ο C θα έχουµε: KT T υ = KT υ = T υ 7 + 7 υ = 0, 0 / s υ = 0,47 0 / s = 470 / s 7 Οµοίως για τους 7 ο C δηλ. T = 400K έχουµε υ = 0,54 0 / s = 540 / s Παράδειγµα.9 Αποδείξτε µε τη βοήθεια της κινητικής θεωρίας των αερίων: α. Το νόµο των µερικών πιέσεων του Dalton που διατυπώνεται ως εξής: όταν σ ένα δοχείο βρίσκονται µαζί αέρια που δεν αντιδρούν, το άθροισµα µερικών πιέσεων που εξασκείται από κάθε αέριο σε ορισµένη θερµοκρασία, είναι ίσο µε την ολική πίεση. β. Την υπόθεση Avogadro που διατυπώνεται ως εξής: ίσος όγκος αερίων στις ίδιες συνθήκες πίεσης και θερµοκρασίας περιέχουν τον ίδιο αριθµό µορίων. Λύση α. Σε δοχείο όγκου V, έχουµε µίγµα αερίων που δεν αναµιγνύονται. Αν αποτελείται από N µόρια µάζας, N µόρια µάζας,..., N v µόρια µάζας v µε ενεργές ταχύτητες υ, υ,... υ, τότε η ολική κινητική ενέργεια λόγω µεταφορικής κίνησης θα είναι: v

6 ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία K =... vv v Ν υ + ολ Ν υ + + Ν υ N N Nv Kολ = υ + υ +... + vυv V V V V K = P + P +... + P v V ολ () Ο όρος N i i υ παριστάνει την πίεση i P που θα ασκούσε το αέριο i αν καταλάµβανε όλο V i τον όγκο του δοχείου µόνο του. N Όµως K = N K K = K = P () ολ V ολ V ολ Από (), () έχω P P + P +... + P ολ = β. Σύµφωνα µε την κινητική θεωρία για δύο αέρια () και () ισχύουν: N P = KT V N P = KT N = N V Aν V = V, P = P, T = T v Παράδειγµα.0 Σε δοχείο όγκου 4L περιέχονται 0, ol N και 0,5 ol H. H ολική πίεση του µίγµατος είναι 4at. Να βρείτε την ενεργό ταχύτητα για το H. 5 N - ίνονται at = 0 M H = 0 kg/ol. Λύση n RT n RT Για το H : P V = nrt P = N : PV = nrt P = V V Από τον Ν. των µερικών πιέσεων του Dalton P ολ Όµως = P + P P nrt nrt PολV = + RT = V V n + ολ n υ RT M H = υh = 0 H s J RT = 000 ol

ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία 7 Παράδειγµα. Στους 0 ο 5 C και σε πίεση 0 atη πυκνότητα ενός αερίου είναι, 49 0 g / c. Βρείτε: α. Την ενεργό ταχύτητα των µορίων του αερίου β. Το µοριακό βάρος του αερίου και εξακριβώστε ποιο αέριο είναι. 5 N ίνεται at =, 0 0, R = 8,4 J/(ol K). Λύση 5 gr 5 0 kg kg α. Η πυκνότητα είναι ρ =, 49 0 =, 49 0 ρ =, 49 0 6 c 0 Άρα P = ρ υ υ p = ρ υ = p ρ, 0 0 υ = υ = 49, 49 0 s s β. Η ενεργός ταχύτητα Εποµένως πρόκειται για το άζωτο N. υ = RT RT M = M = 8 0 M υ kg ol Παράδειγµα. Κυλινδρικό δοχείο κλείνεται στο ένα άκρο του µε έµβολο που κινείται χωρίς τριβές. Το δοχείο βρίσκεται σε µια µεγάλη δεξαµενή νερού σε οριζόντια θέση και σε βάθος h = 0. Το δοχείο περιέχει ιδανικό αέριο θερµοκρασίας 7 o C, έχει εµβαδόν διατοµής S = 5 0 και ισορροπεί στη θέση όπου το µήκος του τµήµατος του κυλίνδρου που περιέχει το αέριο είναι x = 0,. α. Με τη βοήθεια θερµοδοχείου το αέριο αρχίζει να εκτονώνεται σιγά-σιγά καθώς θερµαίνεται µέχρι το έµβολο να µετατοπιστεί κατά x = 0,. β. Ακολούθως κρατώντας συνεχώς σταθερό το έµβολο και οριζόντιο τον κύλινδρο, το ανεβάζουµε στην επιφάνεια, όπου µε τη βοήθεια ψυχρου δοχείου, ψύχουµε το αέριο µέχρι να 5 N αποκτήσει πίεση ίση µε την ατµοσφαιρική P 0 = 0 γ. Στη συνέχεια αφήνουµε το έµβολο και ψύχουµε το αέριο µέχρι να αποκτήσει τον αρχικό όγκο. δ. Τέλος κρατώντας πάλι σταθερό το έµβολο θερµαίνουµε το αέριο µέχρι τις αρχικές συνθήκες. i. ποιες µεταβολές υφίσταται το αέριο; Γράψτε τους αντίστοιχους νόµους των αερίων, ii. υπολογίστε τα P,V,T σε κάθε θέση, iii. κάντε τα διαγράµµατα P V, P T, V T.

8 ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία ίνεται P 5 0 = N 0, Κg ρ H O = 0, g = 0 s. Λύση i. Αρχικά επειδή βρίσκεται σε µεγάλη δεξαµενή είναι T = σταθ. Ισχύει ο Ν. Boyle: P V = P V () A A B B Ακολούθως επειδή κρατάµε σταθερό το έµβολο είναι P P = T T B B Γ Γ () V = σταθ. Ισχύει ο Ν. Charles: Στη συνέχεια επειδή η εσωτερική πίεση του αερίου είναι ίση µε την εξωτερική (ατµοσφαιρική) συνεπώς είναι P = σταθ. Ισχύει ο Ν. Gay - Lussac: = () V Γ V Τ Τ Τέλος επειδή κρατάµε πάλι σταθερό το έµβολο είναι P P = Τ T A A () 4 ii. Κατάσταση Α: T A = ( 7 + 7) K = 00K, V A = S x = 0 P = P + h ρ A 0 HO 5 N g = 0 Κατάσταση Β: V B = S( x + x) =, 5 0, TB = TA = 00K, PA VA 4 Ν. Boyle () 0 5 N PB = = V Κατάσταση Γ: V = V = Γ B P Γ = =, 5 0 5 N P 0 0 B 5 N P Τ 0 00K Γ Β Ν. Charles: () Τ Γ = = = 5K P 4 N B 5 0 Γ V = σταθ. Ισχύει ο Ν. Charles:

ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία 9 Κατάσταση : iii. P 5 N Γ = P = P 0 = 0 V = V A = 0 Τ V Ν. Gay-Lussac: Γ 5K 0 () Τ = = T = 50Κ V, 5 0 Γ Παράδειγµα. Αν η πυκνότητα ιδανικού αερίου σε s.t.p. είναι ρ 0 = 0,5 kg/ να υπολογίσετε την υ εν των µορίων του σε θερµοκρασία: 0 ο C, 7 o C,7 o C. ίνεται ότι: Ρ 0 = at=0 5 Pa. Λύση Από τη σχέση: P0 = ρ0 υ (0) Þ P0 = ρ0 υεν(0) P0 παίρνουµε: υ εν,(0) = ρ 0 Με αντικατάσταση έχουµε: υ εν,(0) =. 0 /s Όµως η ενεργός ταχύτητα βρίσκεται και από τη σχέση: υ εν = k T

40 ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία Άρα µε εφαρµογή της σχέσης για τις θερµοκρασίες 0 ο C, 7 o C και 7 o C παίρνουµε: k T7 υεν(7) υεν = (7) 400 /s= υεν(0) k T0 0 7 υ εν,(7) = 7,8 /s k T7 υεν(7) υεν = (7) 600 /s = υ εν,(7) = 096,6 /s υεν(0) k T0 0 7 Παράδειγµα.4 Σε δοχείο όγκου V=0,00 περιέχονται 0 όµοια σωµατίδια που συµπεριφέρονται ως µόρια ιδανικού αερίου. Καθένα έχει µάζα =5 g. Κάποια στιγµή υπολογίστηκαν οι παρακάτω ταχύτητες (σε /s) για τα σωµατίδια. 0 40 50 80 50 90 0 0 40 00 40 0 70 50 60 0 40 60 70 40 α. Να φτιάξετε ένα πίνακα στον οποίο να φαίνεται πόσα σωµατίδια έχουν την ίδια ταχύτητα. β. Να υπολογίσετε τη µέση ταχύτητα των σωµατιδίων. ** Προαιρετικό ** διάβασµα γ. Να υπολογίσετε την ενεργό ταχύτητα υ εν = υ. δ. Πόση είναι η µέση κινητική ενέργεια κάθε σωµατιδίου και πόση είναι η συνολική κινητική ενέργειά τους; ε. Πόση είναι η πίεση που ασκείται στα τοιχώµατα του δοχείου; στ.πόση θα ήταν η µέση κινητική ενέργεια των µορίων ενός αερίου του οποίου η θερµοκρασία είναι Τ=00 Κ; ίνεται: k=,8. 0 - J/K.

ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία 4 υ (/s) 0 0 0 40 50 60 70 80 90 00 αριθµός σωµατιδίων 5 Λύση α. Ο αριθµός των σωµατιδίων του αερίου που έχουν ίδια ταχύτητα φαίνεται στον παραπάνω πίνακα. β. Η µέση ταχύτητα των σωµατιδίων είναι: 0 + 0 + 0 + 5 40 + 50 + 60 + 70 + 80 + 90 + 00 υ= 0 s υ=50 /s ή γ. Η ενεργός ταχύτητα των µορίων είναι: 0 + 0 + 0 + 5 40 + 50 + 60 + 70 + 80 + 90 + 00 υ = 0 s ή υ εν = υ =54,86 /s δ. Η µέση κινητική ενέργεια κάθε σωµατιδίου είναι: K = υ K = 5 0 54,86 J K = 7,55J Η ολική κινητική ενέργεια των σωµατιδίων είναι: K = Ν K = 0 7, 55 J K ολ ολ = 50, 5 J ε. Η πίεση που ασκείται στα τοιχώµατα του δοχείου είναι: P= ρ υ ή N N K Ñ= υ ή P= K = V V V ολ

4 ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία Με αντικατάσταση παίρνουµε: 50,5 P= N/ = 0 N/ - 0 5 στ. Η µέση κινητική ενέργεια των µορίων του αερίου είναι: K = k T Με αντικατάσταση παίρνουµε: - - K =,8 0 00 J = 6, 0 J Παράδειγµα.5 Να υπολογίσετε τη θερµοκρασία στην οποία η υ εν των µορίων του Η είναι ίση µε την ταχύτητα διαφυγής από το γήινο βαρυτικό πεδίο (ελάχιστη ταχύτητα που πρέπει να έχει ένα σώµα για να διαφύγει από το πεδίο της Γης). ίνονται: R=8,4 J/ol. K, υ δ =, K/s, M H = g/ol, υ διαφ. =, 0 /s. Λύση α. Για να διαφύγει ένα µόριο Η από το γήινο βαρυτικό πεδίο θα πρέπει να γίνει: RT υδ Μ υ εν =υ δ ή =υδ ή Τ= M R õ ä (, 0 ) 0 Με αντικατάσταση των µεγεθών παίρνουµε: Τ= 8,4 Κ ή Τ=0058 Κ Παράδειγµα.6 Μια ποσότητα αερίου που έχει όγκο V =5 L θερµαίνεται υπό σταθερή πίεση µέχρι να αποκτήσει όγκο V. Αν κατά τη διάρκεια της θέρµανσης διπλασιάστηκε η τετραγωνική ρίζα της µέσης τιµής του τετραγώνου της ταχύτητας των µορίων, να υπολογίσετε τον τελικό όγκο V του αερίου.

ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία 4 Λύση Η τετραγωνική ρίζα της µέσης τιµής του τετραγώνου της ταχύτητας των µορίων (υ εν ), δίνεται από τη σχέση: RT υ εν. = υ = M Όταν διπλασιάζεται η υ εν, η θερµοκρασία του αερίου τετραπλασιάζεται. Η µεταβολή του αερίου είναι ισοβαρής και ισχύει ο νόµοςτου Charles. ηλαδή: V V V V = Þ = Þ V = 4V = 0L T T T 4T Παράδειγµα.7 Σ ένα δοχείο περιέχονται µόρια αζώτου(ν ) σε Τ= 7 Κ. Να υπολογίσετε: Α. Την τετραγωνική ρίζα της µέσης τιµής του τετραγώνου της ταχύτητας των µορίων (υ εν ). Β. Τη µέση κινητική ενέργεια για κάθε µόριο. Γ. Τη µεταβολή της ορµής ενός µορίου, το οποίο συγκρούεται ελαστικά µε το τοίχωµα του δοχείου πέφτοντας κάθετα µε ταχύτητα υ εν. ίνονται: Γραµµοατοµική µάζα αζώτου 4. 0 - Κg/ol, R=8,4 J/(ol. K), Ν Α = 6,0. 0 µόρια/ol. Λύση Α. Η τετραγωνική ρίζα της µέσης τιµής του τετραγώνου της ταχύτητας των µορίων (υ εν ), δίνεται από τη σχέση: Με αντικατάσταση των µεγεθών παίρνουµε: RT υ εν. = υ = M υ εν. = 8,47 υ = = /s 49,7/s 8 0

44 ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία Β. Η µέση κινητική ενέργεια για κάθε µόριο είναι: Με αντικατάσταση των µεγεθών παίρνουµε: R K = k T = T N 8,4 K = 7J = 566 0 J 6,0 0 Γ. Η µεταβολή της ορµής ενός µορίου, το οποίο συγκρούεται ελαστικά µε το τοίχωµα του δοχείου πέφτοντας κάθετα µε ταχύτητα υ εν, είναι: A p = p -p ή ( + ) ( ) p=p p =p = υ () Πρέπει να υπολογίσουµε τη µάζα του µορίου του αζώτου. Ισχύει: K = υ ή Από τις σχέσεις () και () έχουµε: p= Με αντικατάσταση των µεγεθών παίρνουµε: 4 566 0 p= 49,7 εν K K = = () υ υεν K 4K υεν υ ή p= εν υ εν Kg / s = 4,586 0 Kg /s Θυµόµαστε ότι: Η ορµή σώµατος µάζας ορίζεται από τη σχέση: p = υ p õ Η κατεύθυνση της ορµής p είναι ίδια µε την κατεύθυνση της ταχύτητας õ.

ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία 45 Προσοχή: Στην αντικατάσταση της µονάδας της γραµ- µοµοριακής µάζας. Στο S.I. είναι: Κg/ol Παράδειγµα.8 Σ ένα δοχείο όγκου 4 L περιέχεται Ηe σε θερµοκρασία 400 Κ και πίεση 0 Ν/. Α. Πόσα µόρια He περιέχονται στο δοχείο; Β. Πόση είναι η υ για κάθε µόριο; Γ. Συµπιέζουµε το αέριο, ώστε ο όγκος του να γίνει L. Πόση είναι η υ, αν η συµπίεση γίνει: ι) µε σταθερή πίεση. ιι) µε σταθερή θερµοκρασία. ίνονται: Ν Α =6. 0 - µόρια/ol, γραµµοµοριακή µάζα He = 4 g/ol και R=8,4 Joule. ol -. k -. Λύση N Α. H καταστατική εξίσωση P. V = n. R. T γράφεται: PV = RT NA N Άρα: A P V N = RT Με αντικατάσταση των µεγεθών παίρνουµε: - 6,0 0 0 4 0 N= µόρια = 0,564 0 8,4 00 8 µόρια Β. Η τετραγωνική ρίζα της µέσης τιµής του τετραγώνου της ταχύτητας (υ εν ) των µορίων του He, δίνεται από τη σχέση: RT υ = M Με αντικατάσταση των µεγεθών παίρνουµε: 8,4 400 υ = = /s 58,4 /s () 40 Γ. Η ενεργός ταχύτητα (υ εν ) ενός αερίου εξαρτάται µόνο από τη θερµοκρασία. ι) Αν η συµπίεση γίνει ισοβαρώς ίσχύει: V V V V/ = Þ = Þ T =T/ () T T T T Άρα: υ εν() = RT M ()

46 ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία υ εν() = RT M = () RT M (4) Από τις σχέσεις () και (4) παίρνουµε: υ εν() =υ εν() / ιι) Αν η συµπίεση γίνει ισόθερµα (Τ=σταθ.), η ενεργός ταχύτητα δεν αλλάζει. ηλαδή: υ εν =σταθ. Παράδειγµα.9 Ένα δοχείο έχει όγκο V=0,04 και περιέχει άζωτο για τα µόρια του οποίου είναι u =00 /s. Αν η ολική κινητική ενέργεια των µορίων λόγω της µεταφορικής τους κίνησης είναι 4. 0 J, να υπολογίσετε: Α. Την ποσότητα του αζώτου που περιέχεται στο δοχείο. Β. Την πίεση που ασκεί το άζωτο στα τοιχώµατα του δοχείου. Λύση Α. Iσχύει ότι: Kολ =Ν K όπου: K = υ Άρα: Kολ Kολ =Ν υ Þ Ν = υ Με αντικατάσταση των µεγεθών παίρνουµε: (, 0 ) Kολ 40 40 αερ = = Kg = Kg 6 υ, 0 - ή αερ=,65 0 Kg Β. Η πίεση που ασκεί το άζωτο στα τοιχώµατα του δοχείου, θα υπολογιστεί από τη σχέση: Ρ= ρ υ = V Με αντικατάσταση των µεγεθών παίρνουµε: αερ ( ),65 0 5 Ρ= ρ υ =, 0 N/ ή P= 0 N/ 0,04 υ

ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία 47 Παράδειγµα.40 Σε ύψος 0 k η πίεση της ατµόσφαιρας είναι 56bar και η πυκνότητα του αέρα 9, 0 Kg/. α. Υπολογίστε τη θερµοκρασία σ αυτό το ύψος και την ενεργό ταχύτητα των µορίων του αέρα. β. Μία ποσότητα αυτού του αέρα εγκλωβίζεται σε κυλινδρικό δοχείο, κλειστό στο ένα άκρο, ενώ στο άλλο άκρο κλείνεται µε ευκίνητο έµβολο που κινείται χωρίς τριβές. Ο αέρας υφίσταται τις εξής µεταβολές: i. A B: κρατώντας σταθερή την πίεσή του τριπλασιάζουµε τον όγκο του ii. B Γ : µε σταθερή θερµοκρασία υποδιπλασιάζουµε την πίεσή του iii. Γ : µε σταθερό όγκο πηγαίνουµε στην αρχική θερµοκρασία. Να σχεδιάσετε τα διαγράµµατα P-V, P-T, V-T γ. Να υπολογίσετε την τελική πίεση του αερίου στην κατάσταση. δ. Να υπολογίσετε το λόγο των ενεργών ταχυτήτων στις καταστάσεις Γ και Α. J - ίνονται R=8,4, για τον αέρα M = 9 0 kg/ol, bar = 0 5 N/ ol K Λύση 5 N α. P= 56bar = 560 0 = 560N/ Ισχύει: P M 56 0 9 0 P M= ρrt T = T = K T =, K RT ρr Ενώ υ = υ 47, 9, 0 8, 4 M = s β. (Ν/ ) (Ν/ ) ( ) ( ) (K) (K) VA VB T γ. ( = ) AVB A B P σταθ : N.Gay Lussac: = T V T T T TA T B = = B = B VA V PBVB P V B Γ ( Τ = σταθ) : N.Boyle:PBVB = PΓVΓ VΓ = = VΓ = 6V P P Γ P PΓ P PΓT T P Γ ( V = σταθ) : N.Charles: = P = P = P = 9, bar TΓ Τ Τ T 6 = Γ RΤ Γ υγ δ. Ισχύει TΓ = ΤΒ = Τ εποµένως: = M T = =. RΤ T υ A Α M

48 ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία Ασκήσεις για λύση:. Ιδανικό αέριο περιέχεται σε δοχείο σταθερού όγκου. Αρχικά η θερµοκρασία του ήταν 0 o Cκαι η πίεσή του,5 at. α. Ποια θα είναι η πίεσή του όταν η θερµοκρασία του γίνει 80 o C; β. Να σχεδιαστούν τα διαγράµµατα P = f (V), V= f (T) και P = f (T). Απ. α., at. Ποσότητα αέριου οξυγόνου βρίσκεται υπό πίεση P και σε θερµοκρασία 7 o C. α. Αν το αέριο θερµανθεί υπό σταθερό όγκο έως ότου τριπλασιαστεί η πίεσή του ποια θα είναι η τελική θερµοκρασία; β. Αν το αέριο, από την αρχική κατάσταση θερµανθεί ώστε η πίεσή του και ο όγκος του να διαπλασιαστούν, ποια θα είναι η τελική θερµοκρασία. Aπ. α. T = 900 K, β. T = 00 K. Αέριο βρίσκεται σε δοχείο υπό πίεση 0at και θερµοκρασία 5 o C. Αν το µισό αέριο διαφύγει και η θερµοκρασία του ανυψωθεί στους 65 o C ποια θα είναι η πίεση του αερίου στο δοχείο. Aπ. 5,87 at 4. Μια ποσότητα ιδανικού αερίου εκτελεί τη µεταβολή που φαίνεται στο σχήµα. α. Ποιος νόµος περιγράφει κάθε µεταβολή; β. Να παραστήσετε τη µεταβολή σε άξονες P - V και V - T γ. Μεγαλύτερος είναι ο όγκος στη θέση ή στη θέση Γ; Απ. γ. στη θέση Γ (Ν/ ) (Κ) 5. Μια φυσαλλίδα αερίου, που βρίσκεται σε θερµική ισορροπία µε το νερό σε κάθε θέση, ανέρχεται από τον πυθµένα µιας λίµνης βάθους 4, και θερµοκρασίας 5 o C στην επιφάνεια, όπου η θερµοκρασία του νερού είναι o C. Ποιος είναι ο λόγος των διαµέτρων της φυσαλλίδας στις δύο θέσεις; ίνονται P 0 = 0 5 N/, g = 0 /s, ρ = 0 Κg/ Απ.,

ΦΥΣΙΚΗ: Νόµοι των αερίων - Καταστατική εξίσωση - Κινητική θεωρία 49 6. Ένα κατακόρυφο κυλινδρικό δοχείο διατοµής S = 0,008 κλείνεται αεροστεγώς από ένα έµβολο µάζας = 0 Kg, το οποίο κινείται χωρίς τριβές. Ο κύλινδρος περιέχει n = 0, ol ιδανικού αερίου θερµοκρασίας Θ = 7 ο C. Προσδιορίστε το ύψος h στο οποίο το έµβολο θα ισορροπεί υπό την επίδραση του βάρους του. ίνονται g = 0 /s, P 0 =,0 0 5 N/, R = 8,4 J/ol K. Απ. h=0,66 7. Σε µια µεταβολή δεδοµένης ποσότητας ιδανικού αερίου, η πυκνότητά του παραµένει σταθερή και η αρχική πίεση του αερίου είναι,5at σε θερµοκρασία 7 o C. Να υπολογιστεί η πίεσή του όταν η θερµοκρασία του γίνει 7 o C. Aπ. P= at 8. ύο δοχεία µε όγκους 600L και 400L συνδέονται µε λεπτό σωλήνα αµελητέου όγκου που φέρει κλειστή στρόφιγγα. Τα δοχεία περιέχουν αέριο υπο πίεση at και at αντίστοιχα. Να βρεθεί η τελική πίεση στα δοχεία αν ανοίξουµε τη στρόφιγγα. Να θεωρήσετε ότι η θερµοκρασία παραµένει σταθερή. Aπ. P=,8 at 9. Ποσότητα n = /R ol ιδανικού αερίου βρίσκεται στην κατάσταση Α και εκτελεί τις µεταβολές που φαίνονται στο σχήµα. α. Να υπολογίσετε τις θερµοκρασίες στις καταστάσεις Α, Β, Γ β. Να βρείτε τις σχέσεις p(t) σε κάθε µεταβολή. γ. Να βρείτε τη µέγιστη θερµοκρασία στη διάρκεια των µεταβολών. Aπ. α. T A = 00 K, Τ Β = 400 Κ, Τ Γ = 400 Κ, γ. Τ ax = 450 K 0. Ποσότητα ιδανικού αερίου έχει αρχικά θ = 7 ο C, P = at και V = L. Το αέριο εκτονώνεται µε σταθερή θερµοκρασία µέχρι να διπλασιασθεί ο όγκος του και ακολούθως θερµαίνεται το αέριο υπό σταθερό όγκο µέχρι να αποκτήσει την αρχική πίεση. Να βρείτε: α. Την τελική θερµοκρασία β. Να παραστήσετε τη µεταβολή σε άξονες P-V, P-T, V-T γ. Να βρείτε το λόγο της αρχικής προς την τελική ενεργό ταχύτητα. Απ. α. 600 Κ, γ.