Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1
Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την βοήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Πρόσθεση Πρόσθεση είναι η πράξη κατά την οποία προκύπτει το άθροισμα. α φυσικών αριθμών και συμβολίζεται με το ( + ). Αν ν, μ δύο φυσικοί αριθμοί, τότε η πρόσθεση ισοδυναμεί με την πράξη: ν + μ = α Οι φυσικού αριθμοί που προστίθενται κατά την πρόσθεση, ονομάζονται προσθετέοι. Για τον πολλαπλασιασμό και την πρόσθεση ισχύουν οι ιδιότητες που αναφέρονται στον παρακάτω πίνακα, οι οποίες αποτελούν την βάση του αλγεβρικού λογισμού. Ιδιότητες Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός αντιμεταθετική α+ β = β+α α β = β α προσεταιριστική α+( β+γ ) = ( α+β )+γ α. ( β. γ ) = ( α. β). γ επιμεριστική α. ( β + γ ) = α. β + α. γ ουδέτερο α + 0 = α α. 1 = α αντίθετο α + (-α ) = 0 α. 1 α = 1, α 0 www.ma8eno.gr Σελίδα 2
Ο αριθμός 0 λέγεται και ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης, ενώ ο αριθμός 1 λέγεται ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού. Οι αριθμοί α και α, που έχουν άθροισμα 0, λέγονται αντίθετοι αριθμοί, ενώ ο α και 1/α, με α 0, που έχουν γινόμενο την μονάδα, λέγονται αντίστροφοι αριθμοί. Η αντιμεταθετική και προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης έχουν σαν συνέπεια, κάθε άθροισμα με περισσότερους από δύο προσθετέους, να ισούται με οποιοδήποτε άλλο άθροισμα, που σχηματίζεται από τους ίδιους αριθμούς, με οποιαδήποτε σειρά και αν τους πάρουμε. Η αφαίρεση και η διαίρεση ορίζονται, με τη βοήθεια της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, ως εξής : α - β = α+(-β) και α : β = α / β = α 1 / β, όπου β 0 Για τις τέσσερις πράξεις ισχύουν και οι ακόλουθες ιδιότητες : 1. Αν α = β και γ = δ τότε: α + γ = β + δ και αγ = βδ Δηλαδή: Δύο ισότητες μπορούμε να τις προσθέσουμε και να τις πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη. 2. Αν α = β τότε : α + γ = β + δ και α γ = β γ Δηλαδή: Μπορούμε και στα δύο μέλη μίας ισότητας να προσθέσουμε τον ίδιο www.ma8eno.gr Σελίδα 3
αριθμό. Μπορούμε και τα δύο μέλη μίας ισότητας να πολλαπλασιάσουμε με τον ίδιο αριθμό. 3. Αν α + γ = β + γ, τότε α = β Αν αγ = βγ και γ 0, τότε α = β Δηλαδή : Μπορούμε και από τα δύο μέλη μιας ισότητας να διαγράψουμε τον ίδιο προσθετέο ή τον ίδιο μ η μ η δ ε ν ι κ ό παράγοντα. Βλέπουμε ότι, αν ισχύει μία από τις ισότητες α = β, α+γ = β+γ, τότε ισχύει και η άλλη. Γι αυτό λέμε ότι οι ισότητες αυτές είναι ισοδύναμες και γράφουμε : α = β => α+γ = β+γ Συμβολικά πλέον οι προηγούμενες δύο ιδιότητες γράφονται: α = β => α+γ = β+γ Αν γ 0, τότε : α = β => αγ = βγ 4. α 0 = 0 Αν αβ = 0, τότε α = 0 ή β = 0 Δηλαδή : Άμεση συνέπεια της ιδιότητας αυτής είναι η ακόλουθη : α β 0<-> α 0 και β 0 www.ma8eno.gr Σελίδα 4
5. ( -1 ) α = - α ( - α) β = - αβ Θα πούμε περισσότερα σε επόμενη ενότητα. ( -α )(- β)= αβ ( Κανόνας των προσήμων) 6. -( α + β) = -α-β (1/αβ) = 1/α 1/β (Κανόνας απαλοιφής παρενθέσεων) Δηλαδή : Ο αντίθετος ενός αθροίσματος ισούται με το άθροισμα των αντίθετων των προσθετέων. Ο αντίστροφος ενός γινομένου ισούται με το γινόμενο των αντίστροφων των παραγόντων. Οι ιδιότητες αυτές ισχύουν και για περισσότερους από δύο προσθετέους ή παράγοντες αντίστοιχα. Ας θυμηθούμε ότι: α β α β + = + (1) γ γ γ α γ β αγ δ = βδ (2) α γ αδ+ βγ + = β δ βδ α β :γ α δ = δ β γ = αδ βγ και α γ = αδ=βγ (5) β δ α γ α β = ± β δ β = γ± δ (6) δ α γ β = α δ γ = β δ ( 7) α γ β = δ τοτε α γ α+γ β = δ = β+δ (8) www.ma8eno.gr Σελίδα 5
Όταν έχουμε ισότητα κλασμάτων π.χ. a x = β γ = ψ ω τότε ονομάζοντας το λόγο αυτό λ έχουμε: α = λ α = λ χ χ β = λ β = λ ψ ψ γ = λ γ = λ ω ω Με την αντικατάσταση αυτή μειώνουμε το πλήθος των μεταβλητών, πράγμα χρήσιμο στην αντιμετώπιση πολλών σχετικών προβλημάτων. Σχόλια : Συγκεκριμένος αριθμός χωρίς πρόσημο: σημαίνει ότι είναι θετικός, δηλαδή έχει πρόσημο +. Τυχαίος αριθμός α χωρίς πρόσημο: Δε σημαίνει ότι είναι θετικός, αφού μπορεί να έχει μέσα του το. Ακόμη και αν γράψουμε + α, δε σημαίνει ότι ο α είναι θετικός. Οι δύο σημασίες του συμβόλου «+» : i) Μπροστά από αριθμό σημαίνει ότι ο αριθμός είναι θετικός + 4, + 7, 6 ii) Μεταξύ δύο αριθμών σημαίνει την πράξη της πρόσθεσης 6 + 2, 5 + 1, 5 + ( 4), 3 + ( 5) Οι δύο σημασίες του συμβόλου : i) Μπροστά από αριθμό σημαίνει ότι ο αριθμός είναι αρνητικός 3, 1 ii) Μεταξύ δύο αριθμών σημαίνει την πράξη της αφαίρεσης 5 1, 5 1, 5 ( 3), 4 ( 1) Η διαίρεση με το 0 είναι αδύνατη. Επειδή κάθε κλάσμα δηλώνει διαίρεση, πρέπει κάθε παρανομαστής www.ma8eno.gr Σελίδα 6
να είναι 0, ώστε το κλάσμα να έχει νόημα πραγματικού αριθμού. Ένας άρτιος γράφεται με τη μορφή α=2κ Όταν θέλουμε να δείξουμε ότι ένας αριθμός είναι άρτιος, αποδεικνύουμε ότι γράφεται με τη μορφή 2κ Ένας περιττός γράφεται με τη μορφή α=2κ+1 Όταν θέλουμε να δείξουμε ότι ένας αριθμός είναι περιττός, αποδεικνύουμε ότι γράφεται με τη μορφή 2κ+1 Διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς τους γράφουμε κ, κ+1, κ+2,... Παραδείγματα Για τους φυσικούς αριθμούς που περιλαμβάνονται μεταξύ του 0 και του 7: Α. Να υπολογίσετε το άθροισμά τους. Β. Να υπολογίσετε το γινόμενό τους. Οι φυσικοί αριθμοί που αναφέρονται είναι οι 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Α. Είναι: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28. Β. Είναι: 1 2 3 4 5 6 7 = 2.520. Να υπολογιστούν τα αθροίσματα: Α) 3 + 20 + 7 + 24 + 11 Β) 3 + 16 + 9 + 22 + 15 Ο υπολογισμός ενός αθροίσματος με τρεις ή περισσότερους προσθετέους γίνεται πιο εύκολα, αν εφαρμόσουμε την αντιμεταθετική και την προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης. www.ma8eno.gr Σελίδα 7
Α) 3 + 20 + 7 + 24 +11= = (3 + 7) + 20 + (24 +11) = =10 + 20 + 35 = = (10 + 20) + 35 = = 30 + 35 = 65 Β) 3 +16 + 9 + 22 +15 = = (3 + 22) + (16 + 9) +15 = = 25 + 25 +15 = = (25 + 25) +15 = = 50 +15 = 65 www.ma8eno.gr Σελίδα 8
Να υπολογιστούν τα αθροίσματα των αριθμών κάθε γραμμής, κάθε στήλης και κάθε διαγωνίου του διπλανού τετραγώνου. Λύση Αν εργαστούμε με τον ίδιο τρόπο διαπιστώνουμε ότι το άθροισμα των αριθμών κάθε γραμμής, κάθε στήλης και κάθε διαγωνίου του τετραγώνου είναι το ίδιο, ίσο με 45. Το μαγικό τετράγωνο ανακαλύφθηκε από τους Κινέζους το 90 μ.χ. Στο τετράγωνο αυτό το άθροισμα κάθε γραμμής, κάθε στήλης και κάθε διαγωνίου είναι ίδιο. 16 17 12 11 15 19 18 13 14 Να υπολογιστούν τα γινόμενα: I. 45 10=450 II. 321 100=32.100 III. 4 1.000=4.000 IV. 16 10.000=1.610.000 www.ma8eno.gr Σελίδα 9
Αν χ = 20 και ψ = 30, να βρείτε το άθροισμα 11 + χ + 45 + ψ Λύση Για να βρούμε το άθροισμα αντικαθιστούμε τις τιμές των χ και ψ. Επομένως είναι: 11 + χ + 45 + ψ = 11 + 20 + 45 + 30 = 106 Χρησιμοποιούμε την προσαιτεριστική ιδιότητα Αν χ + ψ = 8, να βρείτε το άθροισμα (11 + χ ) + ψ Λύση (11 + χ ) + ψ = 11 + ( χ + ψ) = 11 +8 = 19 Να υπολογιστούν τα γινόμενα: 5 110 = 5 (100 +10) = 5 100 + 5 10 = 500 + 50 = 550. 4 111 = 4 (100 +10 +1)= 4 100 + 4 10 + 4 1 = 400 + 40 + 4 = 444. 7 11 = 7 (10 +1)= 7 10 + 7 1 + 70 + 7 = 77. www.ma8eno.gr Σελίδα 10
Αριθμητική παράσταση - Προτεραιότητα πράξεων Ονομάζεται μια σειρά φυσικών αριθμών οι οποίοι συσχετίζονται μεταξύ τους μέσω των πράξεων της πρόσθεσης της αφαίρεσης και του πολλαπλασιασμού. Η σειρά με την οποία εκτελούμε τις διάφορες πράξεις καθορίζεται από τους εξής κανόνες: Αν στην παράσταση δεν υπάρχουν παρενθέσεις, τότε εκτελούμε πρώτα τους πολλαπλασιασμούς με τη σειρά που αναγράφονται και στη συνέχεια τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις, από αριστερά προς τα δεξιά. Αν στην παράσταση υπάρχουν παρενθέσεις, τότε εκτελούμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις εφαρμόζοντας την παραπάνω σειρά και στη συνέχεια τις υπόλοιπές πράξεις στην αριθμητική παράσταση που προκύπτει, πάλι σύμφωνα με τα προηγούμενα. Παραδείγματα Να εκτελεστούν οι ακόλουθες πράξεις: 1) 77 7+77 3 = 77 (7+3) =77 10 =770 2) 14 88+86 88 = (14+86) 88 = 100 88 = 8.800 3) 37 14-37 4 = 37 (14-4) =37 10 = 370 4) 345 99 = 354 (100-1) = 35.400-354 = 35.046 www.ma8eno.gr Σελίδα 11
Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις εκμεταλλευόμενοι τις ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού: α) 3 + (17 + 36) β) (37 25) 4 γ) 36 42 + 36 58 α) Σύμφωνα με την προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης, έχουμε: 3 + (17 + 36) = (3 +17) + 36 = 20 + 36 = 56 β) Σύμφωνα με την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού, έχουμε: (37 25) 4 = 37 (25 4) = 37 100 = 3.700 γ) Σύμφωνα με την επιμεριστική ιδιότητα, έχουμε: 36 42 + 36 58 = 36 (42 + 58) = 36 100 = 3.600 Να κάνετε τις παρακάτω αφαιρέσεις: Λύση Έχουμε: α) 5 11= 5 + ( 11) = (11 5) = 6 β) 9 3 = 9 + ( 3) = (9 + 3) = 12 γ) 17 ( 17) = 17 +17 = 0 Να βρείτε την τιμή της παρακάτω αριθμητικής παράστασης: Α = 12 : (4 2 5) 2 [ 6 ( 2) + 3 ( 5)] Λύση Έχουμε: Α =12 : (4 2 5) 2 [ 6 ( 2) + 3 ( 5)] = =12 : (4 10) 2 (12 15) = =12 : ( 6) 2 ( 3) = = 2 + 6 = 4 www.ma8eno.gr Σελίδα 12
Αν x + y = 3, να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης: A = 3(x 2y) 2(x 4y) (3x + 4y) Λύση A = 3(x 2y) 2(x 4y) (3x + 4y) = = 3x 6y 2x + 8y 3x 4y = = 3x 2x 3x 6y + 8y 4y = = (3 2 3)x + ( 6 + 8 4) y = = 2x 2y = 2(x + y) = = 2 ( 3) = 6 www.ma8eno.gr Σελίδα 13