ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοοίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 207-208 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Εικ. Καθηγητής v.kouras@fme.aegea.gr Τηλ: 227035468
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ Διαδικασία Posso
Σημειακή Διαδικασία 0 T T 2 T 3 T T k- T k Χρόνος μεταξύ δύο γεγονότων U k = T k T k- 0 αριθμός γεγονότων : N
Στοχαστική Διαδικασία Μια διαδικασία εριγράφεται είσης αό τον αριθμό των γεγονότων Ν ου συμβαίνουν σε ένα χρονικό διάστημα Ν: ο αριθμός των γεγονότων στο χρ. διάστημα [0,] Να,β]=Νβ-Να Μέσος αριθμός γεγονότων ριν την στιγμή : } { } { } { } { 2 T T T T N T T N E N m
Στοχαστική Διαδικασία Θεωρείστε ένα σύστημα το οοίο εξελίσσεται τυχαία στο χρόνο και έστω ότι αρατηρούμε το σύστημα στους χρόνους = 0,, 2, 3,. Έστω X η τυχαία κατάσταση του συστήματος στο χρόνο. Η ακολουθία των τυχαίων μεταβλητών {X 0, X, X 2, } ονομάζεται στοχαστική διαδικασία διακριτού χρόνου και γράφεται {Χ, 0} Αν με Ε συμβολίσουμε το σύνολο όλων των δυνατών τιμών ου μορεί να άρει η X για όλα τα, τότε το Ε ονομάζεται χώρος καταστάσεων της στοχαστικής διαδικασίας {Χ, 0}
Στοχαστική Διαδικασία Παραδείγματα σ.δ.δ.χ. X : η θερμοκρασία στην όλη της Χίου την ημέρα στις 2:00 το μεσημέρι. Ο χώρος καταστάσεων της σ.δ.δ.χ. {Χ, 0} είναι Ε =-20,50 X : το αοτέλεσμα της -οστής ρίψης ενός κανονικού ζαριού. Ο χώρος καταστάσεων της σ.δ.δ.χ. {Χ, 0} είναι Ε = {, 2, 3, 4, 5, 6} X : ο δείκτης του Χ.Α.Α. την ημέρα. Ο χώρος καταστάσεων της σ.δ.δ.χ. {Χ, 0} είναι Ε = [0, X : ο αριθμός των εφημερίδων «ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ» ου ουλάει ένα ερίτερο την ημέρα. Ο χώρος καταστάσεων της σ.δ.δ.χ. {Χ, 0} είναι Ε = {0,, 2, 3,.} διακριτή σ.δ. με διακριτό χώρο καταστάσεων διακριτή σ.δ. με συνεχή χώρο καταστάσεων
Στοχαστική Διαδικασία Θεωρείστε ένα σύστημα το οοίο εξελίσσεται τυχαία στο χρόνο και έστω ότι αρατηρούμε το σύστημα σε όλες τις χρ. στιγμές 0 και έστω X η κατάσταση του συστήματος χρ. στιγμή. Το σύνολο των καταστάσεων στις οοίες μορεί να βρεθεί το σύστημα σε οοιαδήοτε χρ. στιγμή καλείται χώρος καταστάσεων και συμβολίζεται με Ε. Η διαδικασία {X, 0} καλείται στοχαστική διαδικασία συνεχούς χρόνου με χώρο καταστάσεων Ε.
Στοχαστική Διαδικασία Παραδείγματα σ.δ.σ.χ. Έστω μια μηχανή η οοία μορεί να λειτουργεί ή να μην λειτουργεί. Εάν θεωρήσουμε ως X την κατάσταση της μηχανής στο χρόνο τότε η {X, 0} είναι μια σ.δ.σ.χ με χώρο καταστάσεων Ε =λειτουργία, μη-λειτουργία Έστω X ο αριθμός των ελατών ου μαίνουν σε ένα εμορικό κατάστημα στο χρόνο τότε η {X, 0} είναι μια σ.δ.σ.χ με χώρο καταστάσεων Ε =0,, 2, } Έστω X η θερμοκρασία στην όλη της Χίου στο χρόνο τότε η {X, 0} είναι μια σ.δ.σ.χ με χώρο καταστάσεων Ε =-20,50 συνεχής σ.δ. με διακριτό χώρο καταστάσεων συνεχής σ.δ. με συνεχή χώρο καταστάσεων
Στοχαστική Διαδικασία Μια διαφορετική ροσέγγιση: Ορισμός: Η συνάρτηση Χω, όου ω το αοτέλεσμα ενός ειράματος τύχης και ο χρόνος, λέγεται στοχαστική διαδικασία. Αν = 0 μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή, τότε η Χω, 0 = Χ ω είναι τ.μ. Αν ζ = ζ 0 είναι ένα συγκεκριμένο αοτέλεσμα του ειράματος τύχης, τότε η Χζ 0, = x είναι μια συνάρτηση του χρόνου Χζ, * Χζ, 0 Χζ 2, Χζ 3, * Χζ 2, 0 0 * Χζ 3, 0
Διαδικασία Posso Ο αριθμός των γεγονότων Ν ακολουθεί την κατανομή Posso αν οι χρόνοι U ακολουθούν εκθετική κατανομή 3 2 0 όου U U U U T T T N T T N Pr Pr Pr! Pr e N
Διαδικασία Posso Posso λ Υέρθεση Posso λ + λ 2 Posso λ 2 Posso λ Διαχωρισμός Posso λ Posso λ- *ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Ανεξάρτητες τ.μ. Χ, Υ Pr k 2 2 X k e, PrY k e, PrX Y? k! k k!
ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ Μαρκοβιανές Αλυσίδες Δικριτού Χρόνου
Διακριτού Χρόνου Ορισμός Μαρκοβιανή Αλυσίδα Μια ακολουθία τ.μ. X με τιμές στο χώρο καταστάσεων Ε, είναι μια Μαρκοβιανή Αλυσίδα αν για οοιοδήοτε k > 0 και για οοιαδήοτε ακολουθία,, 0,,, - στοιχείων του Ε, έχουμε: X X0 0, X, X 2 2,, X PrX X Pr Μαρκοβιανή ιδιότητα Αν Pr X τότε η δεσμευμένη συνάρτηση μάζας ιθανότητας k m, Pr X k X 0 m m ονομάζεται συνάρτηση ιθανοτήτων μετάβασης της ΜΑ Ομογενής ΜΑ
Διακριτού Χρόνου Για μια ομογενή ΜΑ χρησιμοοιούμε την k Pr X k X m και ονομάζεται ιθανότητα μετάβασης -βημάτων m Λόγω της Μαρκοβιανής ιδιότητας μορούμε να ορίσουμε την αό κοινού ιθανότητα X 0 0,X,X 2,,X... 0 0 0 Pr 2 Αυτό ουσιαστικά σημαίνει ότι μορούμε να υολογίσουμε οοιαδήοτε αό κοινού ιθανότητα θέλουμε αρκεί να γνωρίζουμε την αρχική κατανομή 0 Pr X0 α και τις ιθανότητες μετάβασης μεταξύ των καταστάσεων
Διακριτού Χρόνου Δηλαδή: α P 0 0 ή a0 0 00 0 0 0 a Το άθροισμα κάθε γραμμής του ίνακα P είναι Pr X 0 X Pr X X E Ένας τέτοιος τετραγωνικός ίνακας ονομάζεται στοχαστικός
Διακριτού Χρόνου Παράδειγμα: Έστω ότι ένα σύστημα μορεί να βρεθεί σε μια αό τις καταστάσεις 0 βλάβη ή λειτουργία. Αρχικά, στο χρόνο = 0, το σύστημα λειτουργεί. - 0 -q q Pr X 0? Pr? X
Διακριτού Χρόνου Πιθανότητα -βημάτων: Γνωρίζουμε ότι Pr X X m m Prη διαδικασία άει στην κατάσταση k στο m-οστό βήμα, δοθέντος ότι Χ 0 = = k m Prαν η διαδικασία φτάνει στην κατάσταση μετά αό m+ βήματα, δοθέντος ότι Χ m = k = k Η μαρκοβιανή ιδιότητα υοδεικνύει ότι τα δύο αραάνω γεγονότα είναι ανεξάρτητα. Αό το θεώρημα ολικής ιθανότητας: m m k k ke Chama-Kolmogorov
Διακριτού Χρόνου Αν τώρα συμβολίσουμε με P τον ίνακα με στοιχεία, τότε με βάση τα ροηγούμενα ροκύτει : Μορούμε ακόμα να υολογίσουμε την εριθώρια σ.μ.. της τ.μ. Χ, με βάση τις ιθανότητες -βημάτων και την αρχική κατανομή Η εριθώρια σ.μ.. της. Χ σαν διάνυσμα: και με βάση τα ροηγούμενα E E E, a ή a X X X X Pr Pr Pr 0 0... 0 P P P P P P α α
Διακριτού Χρόνου Παράδειγμα: - 0 -q P 2 2?? q
Διακριτού Χρόνου Για ολλές εριτώσεις αλλά όχι για όλες τις Μ.Α. ισχύει: Ταξινόμηση Καταστάσεων lm 02,, Ορισμός: Μια κατάσταση ονομάζεται μεταβατική ή μη-εαναλητική αν και μόνο αν υάρχει θετική ιθανότητα η διαδικασία να μην ξαναγυρίσει σε αυτή Γενικά για μια εερασμένη Μ.Α. εριμένουμε ότι μετά αό ένα μεγάλο αριθμό βημάτων, η ιθανότητα η αλυσίδα να βρεθεί σε μια μεταβατική κατάσταση τείνει στο 0, ανεξάρτητα αό την αρχική κατάσταση. Έστω Χ ο αριθμός των εισκέψεων στην αό την. Τότε Αν η είναι μεταβατική τότε E[ X ] 0 0 και άρα 0
Διακριτού Χρόνου Ορισμός: Μια κατάσταση ονομάζεται εαναλητική αν και μόνο αν ξεκινώντας αό την η διαδικασία θα ειστρέψει κάοια στιγμή σε αυτή με ιθανότητα. Για τις εαναλητικές καταστάσεις είναι σημαντικός ο χρόνος ειστροφής σε αυτές Έστω f = Prη ρώτη είσκεψη αό την στην γίνεται με ακριβώς βήματα τότε k f k k
Διακριτού Χρόνου Έστω f = Prξεκινώντας αό την να φτάσω κάοια στιγμή στην τότε f f Αν f = τότε η είναι εαναλητική* Αν f < τότε η είναι μεταβατική * k l k l Έστω f = τότε ορίζεται ο μέσος χρόνος εανάληψης της μ ή m ή v μ f Αν μ = τότε η είναι μηδενικά εαναλητική Αν μ < τότε η είναι θετικά εαναλητική
Διακριτού Χρόνου Ορισμός: Για μια εαναλητική κατάσταση ισχύει > 0 για κάοιο. Ορίζουμε ως ερίοδο της και συμβολίζουμε με d, το μέγιστο κοινό διαιρέτη των θετικών ακεραίων για τους οοίους > 0 Ορισμός: Μια εαναλητική κατάσταση είναι αεριοδική αν d = και εριοδική αν d > 0 0 k k Ορισμός: Μια κατάσταση είναι αορροφητική αν = k μεταβατική εαναλητική μηδενικά θετικά εριοδική αεριοδική εριοδική αεριοδική
Διακριτού Χρόνου Ορισμός: Δύο καταστάσεις και λέμε ότι εικοινωνούν, αν υάρχει τουλάχιστον ένα μονοάτι ου οδηγεί αό την στην και αντίστροφα. Ορισμός: Ένα σύνολο C αό καταστάσεις ου εικοινωνούν είναι ένα κλειστό σύνολο αν καμία κατάσταση έκτος του C δεν είναι ροσβάσιμη αό καμία κατάσταση εντός του C. k k Ορισμός: Μια Μ.Α. ονομάζεται μη-διαχωρίσιμη ή μη-αναγωγίσιμη ή αμετάτωτη αν κάθε κατάστασή της είναι ροσβάσιμη αό οοιαδήοτε άλλη σε εερασμένο αριθμό βημάτων. Αν μια κατάσταση μιας μη-διαχωρίσιμης Μ.Α, είναι αεριοδική τότε όλες της οι καταστάσεις είναι αεριοδικές και η Μ.Α. λέγεται αεριοδική. Ομοίως εριοδικη, μεταβατική, εαναλητική.
Διακριτού Χρόνου Οριακή Κατανομή Οι ιθανότητες μετάβασης -βημάτων μιας εερασμένης, μη διαχωρίσιμης και αεριοδικής Μ.Α. εργοδικής γίνονται ανεξάρτητες αό την κατάσταση και αό το όταν Όταν η οριακή ιθανότητα είναι: lm lm lm lm Αυτό σημαίνει ότι όταν ο P συγκλίνει σε έναν ίνακα Π με όμοιες γραμμές = [ 0 ] Αν ισχύει και τότε το ονομάζεται οριακή κατανομή E lm
Διακριτού Χρόνου Αό το Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας έχουμε ότι : και αφού αίρνουμε lm lm Προκύτει λοιόν το σύστημα γραμμικών εξισώσεων: ή - Οοιοδήοτε διάνυσμα x ικανοοιεί το σύστημα ονομάζεται στάσιμη κατανομή P P
Διακριτού Χρόνου Θεώρημα: Για μια αεριοδική Μ.Α. το lm υάρχει Θεώρημα : Για οοιαδήοτε μη-διαχωρίσιμη και αεριοδική Μ.Α. οι οριακές ιθανότητες lm lm υάρχουν και είναι ανεξάρτητες αό την αρχική κατανομή α Θεώρημα : Για μια εργοδική Μ.Α. η οριακή κατανομή ιθανοτήτων ονομάζεται = [ 0 ] είναι η μοναδική στάσιμη κατανομή. lm lm E 0 E 0 lm
Διακριτού Χρόνου Χρόνοι Παραμονής Για μια Μ.Α. γνωρίζουμε ότι ολόκληρη η ιστορία της συνοψίζεται στο τρέχον στάδιο Έστω ότι στο -οστό βήμα η αλυσίδα είναι στην κατάσταση, δηλ Χ = Η PrX + = ρέει να εξαρτάται μόνο αό την και όχι αό τον χρόνο αραμονής σε αυτή. Έστω λοιόν T ο χρόνος αραμονής στην κατά την διάρκεια μιας είσκεψης Σίγουρα θα αραμείνει χρ. στιγμή + όσες φορές η αλυσίδα κάνει την μετάβαση ριν την εγκαταλείψει. Το T όμως ρέει να είναι τ.μ. με κατανομή ου να μην έχει μνήμη έτσι ώστε η {Χ, = 0,, } να είναι Μ.Α.
Διακριτού Χρόνου Δοθέντος ότι η αλυσίδα μόλις μήκε στην κατάσταση στο βήμα, στο εόμενο βήμα είτε θα αραμείνει στην με ιθανότητα είτε θα την εγκαταλείψει ηγαίνοντας στην με ιθανότητα Pr T Εομένως: Beroul Οότε για τον χρόνο αραμονής στην έχουμε E T - - E Var T - 2
Διακριτού Χρόνου Παράδειγμα: - 0 -q E T [ ] 0? [ 0]?, E[ T ]? q
ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ Μαρκοβιανές Αλυσίδες Συνεχούς Χρόνου
Συνεχούς Χρόνου Η διαφορά με τις Μ.Α.Δ.Χ. είναι ότι η μετάβαση αό μια κατάσταση σε μια άλλη μορεί να γίνει οοιαδήοτε χρονική στιγμή Διακριτός χώρος καταστάσεων. Έστω λοιόν Ε = {0,, 2, 3, } Μια σ.δ.σ.χ.δ.χ. {Χ, 0} είναι Μ.Α. όταν για 0 < < < και r 0 για r = 0,, 2, ισχύει Pr X x X x, X x,, X 0 x0 Pr X Η συμεριφορά της Χ χαρακτηρίζεται αό: Την αρχική κατανομή της Μ.Α.Σ.Χ. δεδομένης της σ.μ.. της Χ 0 : PrΧ 0 = k, k = 0,, 2, Τις ιθανότητες μετάβασης με x X x v, Pr X X v 0 v,, 0,, 2,...,, 0, ά 2
Συνεχούς Χρόνου Στην ομογενή ερίτωση, συμβολίζουμε E v, : 0 v 3 Αφού η 2 είναι δεσμευμένη σ.μ.. ικανοοιεί την σχέση: Pr X v X v v 0 4 Ορίζουμε τις ιθανότητες κατάστασης για οοιαδήοτε χρ. στιγμή : Pr X 02,,,... 0 5 και ισχύει E 0
Συνεχούς Χρόνου Αό το Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας για δοθέν > v, μορούμε να εκφράσουμε την σ.μ.. της Χ συναρτήσει των v, και της σ.μ.. της Χv: αό όου για v = 0 αίρνουμε: δηλαδή η συμεριφορά της Χ είναι λήρως καθορισμένη αν γνωρίζουμε την αρχική κατανομή α = [α0 α ] και τις ιθανότητες μετάβασης 0, 7 6 E E v v v X v X X X, Pr Pr Pr E E a 0, 0 0,
Συνεχούς Χρόνου Οι ιθανότητες μετάβασης μιας Μ.Α.Σ.Χ. ικανοοιούν τις εξισώσεις Chama-Kolmogorov: Η άμεση είλυση της 8 είναι δύσκολη και συνήθως βρίσκουμε τις ιθανότητες μετάβασης λύνοντας ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων Για τον λόγο αυτό μορούμε ν.δ.ο για κάθε υάρχει μια συνεχής μηαρνητική συνάρτηση q ου ορίζεται ως: q v, ke k v, v,u v k u, lm h0 h0 - lm 0 v u, - h, h, h h 8 9
Συνεχούς Χρόνου Ομοίως για κάθε υάρχει μια συνεχής μη-αρνητική συνάρτηση q ου ονομάζεται ρυθμός μετάβασης και ορίζεται ως: Τότε μορούμε να συνδέσουμε τις ιθανότητες μετάβασης με τους ρυθμούς μετάβασης: 0 h h h h v q h h v, lm, -, lm, 0 0 h o h q h, h o h q h,
Συνεχούς Χρόνου Αό την εξίσωση Chama Kolmogorov 8 για +h έχουμε: και άρα :h lm h0 u v, h v, v, h v,u u, h v, k k ke ke k k v,u a v,u k k k u, h v,u a k u, Kolmogorov forward equaos Ομοίως ροκύτουν και οι Kolmogorov backword equaos
Συνεχούς Χρόνου Ορίζουμε τον ίνακα Q =[q ] ή Α με στοιχεία της διαγωνίου q = - α Προκύτει εύκολα ότι Αν τώρα ορίσουμε τον ίνακα Pv, =[ v,], τότε οι εξισώσεις Kolmogorov γράφονται ως: q 0,,,, v v v v v P Q P Q P P
Συνεχούς Χρόνου Αό τις σχέσεις 6 και ροκύτει: d d ή με την μορφή ινάκων d d q k Q q Σε ολλές εριτώσεις οι ιθανότητες μετάβασης,+h δεν εξαρτώνται αό τον αρχικό χρόνο αλλά μόνο αό τον χρόνο h ου έχει εράσει ομογενής Αυτό σημαίνει ότι οι ρυθμοί μετάβασης q και q είναι ανεξάρτητοι του 2 3
Συνεχούς Χρόνου Σε αυτήν την ερίτωση οι ρυθμοί μετάβασης γίνονται q και q και οι ιθανότητες μετάβασης h. Εομένως οι και 2 γίνονται: ή με την μορφή ινάκων k k k k k q q d d q q d d 4 5 Q Q P P d d d d 6 7
Συνεχούς Χρόνου Η είλυση της 7 για τον υολογισμό των είναι δύσκολη, ωστόσο υάρχουν εριτώσεις όου μορεί αυτό να γίνει σχετικά αλά Στις ερισσότερες εριτώσεις όμως θεωρούμε ότι η τείνει σε ένα καθώς. Θα μελετήσουμε κάτω αό οιες συνθήκες συμβαίνει αυτό Χρειάζεται και εδώ να ταξινομήσουμε τις καταστάσεις Μια κατάσταση ονομάζεται αορροφητική αν q = 0 Μια κατάσταση ονομάζεται ροσιτή αό την αν για κάοιο > 0 ισχύει > 0 Μια Μ.Α.Σ.Χ. ονομάζεται μη-διαχωρίσιμη αμετάτωτη αν κάθε κατάσταση της είναι ροσιτή αό οοιαδήοτε άλλη
Συνεχούς Χρόνου Θεώρημα: Για μια μη-διαχωρίσιμη ΜΑΣΧ το όριο lm lm υάρχει και είναι ανεξάρτητο αό την, E 8 Αν οι οριακές ιθανότητες υάρχουν τότε: lm d d και αντικαθιστώντας στην 5 αίρνουμε το ακόλουθο σύστημα των γραμμικών εξισώσεων, ου ονομάζονται εξισώσεις ισορροίας: 0 q 0 q 9
Συνεχούς Χρόνου Αν ορίσουμε την στάσιμη κατανομή = [ 0 ] τότε οι οριακές ιθανότητες υάρχουν, και η 9 σε μορφή ινάκων μορεί να γραφεί ως: 20 Q 0 Για ένα τέτοιο ομογενές σύστημα, μια ιθανή λύση είναι η = 0, Για να βρούμε μια μοναδική μη-μηδενική λύση χρησιμοοιούμε την συνθήκη: E 2
Συνεχούς Χρόνου ΜΑΣΧ με αμοιβές Αν μορούμε να υολογίσουμε τα ή τα τότε μορούμε να υολογίσουμε αρκετά μέτρα ου μορεί να μας ενδιαφέρουν Έστω μια αμοιβή ή οινή r η οοία δίνεται σε κάθε κατάσταση. Έστω ακόμα Z = r X ο ρυθμός αμοιβής της ΜΑΣΧ στο χρόνο. Τότε, η αναμενόμενη αμοιβή στο χρόνο είναι: Για μια μη-διαχωρίσιμη ΜΑΣΧ ορίζεται η Y Z x dx Αν είναι η αθροιστική αμοιβή στο 0, ], τότε η 0 αναμενόμενη τιμή της είναι: Z E r E Z lm EZ E r E E Y 0 x dx E r
Συνεχούς Χρόνου Πιθανότητες κατάστασης στην μεταβατική ερίοδο Α Lalace 0 0 α 0 d f e f L s 2 3 a b λ μ Εξισώσεις ισορροίας 3 2 a a 2 3 3 2 2 3 2 d d b d d b d d Μετασχηματισμός Lalace a a 2 3 3 2 2 3 2 s s s s s b s s s b s s s s Λύνω το σύστημα και στην συνέχεια εφαρμόζω τον αντίστροφο μετασχηματισμό Lalace για να υολογίσω τα, 2, 3
Συνεχούς Χρόνου Β Εκθετική του ίνακα Α Q P e I Q! αp αe Q
Συνεχούς Χρόνου - Παράδειγμα Σε ένα υολογιστικό σύστημα καταφτάνουν εργασίες για εξυηρέτηση συμφώνα με μια κατανομή Posso αραμέτρου λ. Κάθε εργασία εεξεργάζεται σύμφωνα με τον κανόνα FIFO. Ο χρόνος ου χρειάζεται για την εεξεργασία κάθε εργασίας ακολουθεί την εκθετική κατανομή με αράμετρο μ. Το σύστημα διαθέτει μια ενδιάμεση μνήμη buffer στην οοία μορεί να αοθηκεύονται μέχρι 2 εργασίες οι οοίες αναμένουν να αρχίσει η εξυηρέτηση τους. Οι εργασίες ου φτάνουν στο σύστημα και βρίσκουν την ενδιάμεση μνήμη λήρη χάνονται. Να κατασκευαστεί το διάγραμμα καταστάσεων Να βρεθεί ο ίνακας ρυθμών μετάβασης Q Να βρεθεί ο ίνακας ιθανοτήτων μετάβασης P
Πίνακας ρυθμών μετάβασης 0 0 0 0 0 0 Q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 P Μαρκοβιανές Αλυσίδες Συνεχούς Χρόνου - Παράδειγμα λ μ 0 2 3 λ λ μ μ Q Πίνακας ιθανοτήτων μετάβασης P και q q, 0
Συνεχούς Χρόνου - Παράδειγμα Να βρεθεί η κατανομή ιθανοτήτων στον χρόνο αp αe Q εισροή d d Q d d q q μεταβολή στην ροή ιθανότητας q εκροή q k k q q k k εισροή εκροή
Συνεχούς Χρόνου - Παράδειγμα 0 0 0 Q 0 2 3 0 0 0 0 Q Να βρεθεί η ασυμτωτική κατανομή ιθανοτήτων 0 2 3
Συνεχούς Χρόνου - Παράδειγμα 0 0 0 0 2 0 2 3 0 2 2 0 3 3 0 0 2 3 0 2 3