ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ I Αν (, τότε ( ( d (l d l ( e e e d e ( a a l a a a d l a ( ηµ d ηµ ( ηµ ηµ d ( εφ d εφ ( σφ d σφ ηµ ηµ ( τοξηµ d τοξηµ ( τοξ d τοξ ( τοξεφ d τοξεφ ( τοξσφ d τοξσφ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΚΑΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ Αν (, v v( είνι δύο ρτήσεις του µε εχείς πρώους τότε v d v vd ή dv v vd ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΑΠΛΩΝ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ A d A l a ( a A ( a d A ( a A B ( d,,, 3
Αν 4 0 τότε Θέτουµε 4 4 3 ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ( ( f (, g( είνι πολυώνυµ όπου θµός f ( θµός g( g( Αν f ( g( g( ( λ ( µ ( a ( a τότε 3 A B Γ E Z H Θ I K λ µ ( µ ( µ ( 3 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΤΟΥ ηµ κι ηµ (, d d i Θέτουµε εφ, οπότε τοξεφ, d, ηµ, ii Αν ( ηµ, ( ηµ,, θέτουµε εφ, d d, ηµ, iii Αν ( ηµ, ( ηµ,, θέτουµε iv Αν ( ηµ, ( ηµ,, θέτουµεηµ p p 5 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ,,, d δ δ Αν το ελάχιστο κοινό πολλπλάσιο των,, 3,, είνι, θέτουµε δ l 6 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ( d Θέτουµε, οπότε l I ( d, που είνι ολοκλήρωµ της µορφής l I λ ( d, (θέσµε λ p i Αν λ Z κι Q θέτουµε
3 p i Αν λ Q κι Z θέτουµε p p ii Αν λ Q, Q κι ( λ Z θέτουµε 7 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (, a d, a 0, a Θέτουµε aηµ,, 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ a Θέτουµε,, 9 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Θέτουµε aεφ,, 0 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (, a d, a 0, a (, a d, a 0 (, d i Αν a 0 θέτουµε a ± a a( ± 4 ii Αν a 0 κι 0 4 όπου X κι 4 k 4 iii Αν a 0 κι 0 όπου X κι iv Αν 0 θέτουµε v Αν 0 θέτουµε 4 4 a ( a k 4 4 ( λ, X k, k X όπου λ, µ είνι πρµτικές ρίζες του πολυωνύµου a( λ ( µ µ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ( µ e,, e d Θέτουµε e
4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΟΡΙΣΜΕΝΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΕΜΒΑ ΟΝ Ι Αν f : I [, είνι εχής άρτηση στο I, τότε το εµδόν του τόπου που περικλείετι πό την κµπύλη y f (, τις ευθείες, κι άξον X OX δίνετι πό τον τύπο E f ( d ΙΙ Αν f, g : I [, είνι δύο εχείς ρτήσεις κι 0 [, η ευθεί 0 τέµνει τις δύο κµπύλες y f (, y g( σ έν µόνο σηµείο, τότε το εµδόν του τόπου µετξύ των δύο κµπύλων κι των ευθειών, δίνετι πό τον τύπο E f ( g( d Σηµείωση: To εµδόν του τόπου που περικλείετι πό πλή κλειστή κµπύλη κι ποτελείτι πό τις κµπύλες y f (, y (, f ορισµένες στο διάστηµ [, δίνετι πό τον τύπο E f ( f ( d ΙII Αν η άρτηση f : I [, ορίζετι µε πρµετρική µορφή πό τις ρτήσεις ( y y(, [, κι οι (, y ( είνι εχείς στο I, τότε το εµδόν του τόπου που περικλείετι πό την κµπύλη y f (, τις ευθείες, κι άξον X OX δίνετι πό τον τύπο E y( ( d, όπου (, ( IV Αν η κµπύλη έχει εξίσωση r r( θ σε πολικές τετµένες, τότε το εµδόν του τόπου που περικλείετι πό την κµπύλη κι τις ηµιευθείες θ θ κι θ θ δίνετι πό τον τύπο E θ r d θ θ ΟΓΚΟΣ ΣΤΕΡΕΟΥ ΑΠΟ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ Ι Έστω f : I [, είνι εχής άρτηση στο I, D ο τόπος που περικλείετι πό την κµπύλη y f (, τις ευθείες, κι άξον X OX Αν ο τόπος D στρφεί ύρω πό τον άξον X OX τότε ο όκος του στερεού που σχηµτίζετι δίνετι πό τον τύπο [ ( V π f d
5 ΙΙ Αν η άρτηση f : I [, ορίζετι µε πρµετρική µορφή πό τις ρτήσεις ( y y(, [, κι οι (, y ( είνι εχείς στο I, τότε [ ( (, V π y d όπου (, ( ΙII Αν η εξίσωση της κµπύλης σε πολικές τετµένες είνι r r( θ :[ θ, θ, r( θ είνι εχής στο διάστηµ [ θ, θ κι D ο τόπος που περικλείετι πό την κµπύλη κι τις ηµιευθείες θ θ κι θ θ, τότε ο όκος του στερεού που προκύπτει πό περιστροφή του D ύρω πό τον άξον X OX είνι θ π 3 V r d ηµθ θ 3 θ ΙV Αν f, g : I [, δύο ρτήσεις εχείς στο [, Αν D είνι ο τόπος που περικλείετι πό τις κµπύλες f, g κι τις ευθείες, τότε ο όκος του στερεού που προκύπτει πό περιστροφή του D ύρω πό τον άξον X OX είνι [ ( [ ( V π f g d