Καρτεσιανές Συντεταγµένες

Transcript

1 Γρφική Πράστση Συνάρτησης Κρτεσινές Συντετγµένες Κρτεσινό σύστηµ συντετγµένων ή ορθογώνιο σύστηµ ξόνων O είνι έν σύστηµ δύο κθέτων ξόνων O κι O ( 0 0) µε κοινή ρχή το σηµείο O,. O Ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων O λέγετι το κρτεσινό σύστηµ συντετγµένων όπου οι µονάδες των ξόνων O κι O έχουν το ίδιο µήκος. O Κρτεσινό επίπεδο λέγετι εκείνο στο οποίο έχει ορισθεί έν ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων. Άξονς τετµηµένων λέγετι ο οριζόντιος άξονς O Άξονς τετγµένων λέγετι ο κτκόρυφος άξονς O Μ(,) Σηµείο Μ ( ), του κρτεσινού επιπέδου ονοµάζουµε ( ) την πεικόνιση ενός διτετγµένου ζεύγους ριθµών,. το είνι η προολή του σηµείου Μ στον άξον O κι λέγετι τετµηµένη του σηµείου Μ. το είνι η προολή του σηµείου Μ στον άξον O κι λέγετι τετγµένη του σηµείου Μ. τ, λέγοντι συντετγµένες του Μ Μθημτικός Τηλ /

2 Οι άξονες O κι O χωρίζουν το επίπεδο σε τέσσερ επίπεδ που λέγοντι τετρτηµόρι. Τ πρόσηµ των συντετγµένων των σηµείων φίνοντι στο διπλνό σχήµ (II) <0, >0 (I) >0, >0 Τ σηµεί του άξον O έχουν τετγµένη µηδέν ( 3 0) Β ( 6 0) ( 0) κι είνι της µορφής Μ,. Π.χ: Α,,,,... (III) <0, <0 (IV) >0, >0 Τ σηµεί του άξον O έχουν τετµηµένη µηδέν ( 0 8) Β ( 0 6) ( 0 ) κι είνι της µορφής Μ,. Π.χ: Α,,,,... Συµµετρικά Σηµεί ( ) ( ) Τ σηµεί Μ, κι Μ, λέγοντι συµµετρικά ως: προς τον Άξον : Έχουν ίδι τετµηµένη κι ντίθετη τετγµένη δηλδή ( 3 5) ( 3 5) = κι =. Π.χ: Α, συµµετρικό Α, + Μ(, ) - Μ (, -) προς τον Άξον : Μ(-, ) Μ (, ) Έχουν ίδι τετγµένη κι ντίθετη τετµηµένη δηλδή ( 7) ( 7) = κι =. Π.χ: Α, συµµετρικό Α, - Μθημτικός Τηλ /

3 προς την ρχή των ξόνων Ο : Έχουν ντίθετη τετµηµένη κι ντίθετη τετγµένη δηλδή = κι =. ( 3 4) Α ( 3 4) Π.χ: Α, συµµετρικό, Μ(, ) - ης ης προς την διχοτόµο της 1 κι 3 γωνίς των ξόνων : H τετµηµένη του ενός είνι ίση µε την τετγµένη του άλλου δηλδή = κι =. ( 5) Α ( 5 ) Π.χ: Α, συµµετρικό, Μ (-,- ) - Μ(, ) Μ (, ) Απόστση σηµείων Σε έν κρτεσινό σύστηµ θεωρούµε τ σηµεί ( ) ( ) Α, κι Β, τότε η πόστση ΑΒ 1 1 ( ΑΒ ) = ( ) + ( ) δίνετι πό την σχέση :. ( ΑΒ ) = ( ΑΓ ) + ( ΒΓ ) ( ΑΓ ) = κι ( ΒΓ ) = 1 1 Απόδειξη : Έστω ότι η ΑΒ δεν είνι πράλληλη στους άξονες κι τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ Γ= 90 θ ισχύει : 1 1 Άρ θ έχουµε: 1 ΑΒ = ( ) ( ) ΑΒ = ( ΑΒ ) = ( ) + ( ) 1 1 Μθημτικός Τηλ /

4 Πρτηρήσεις Αν ΑΒ // τότε : ΑΒ = = 1 ΑΒ = + = + 0 = A 1 B Αν ΑΒ // τότε : ΑΒ = = 1 ΑΒ = + = 0 + = B A Γρφική Πράστση Συνάρτησης Γρφική πράστση µις συνάρτησης µε πεδίο ορισµού έν σύνολο Α, D =Α ( ) ονοµάζετι το σύνολο των σηµείων Μ, ή Μ, όπου = γι κάθε Α κι συµολίζετι µε G Η ισότητ = επληθεύετι µόνο γι το διτετγµένο ζεύγος ριθµών, που είνι συντετγµένες των σηµείων της γρφικής πράστσης κι ονοµάζετι εξίσωση της γρφικής πράστσης. Πρτηρήσεις : ( ) 1 ενυπάρχουν σηµεί της γρφικής πράστσης µις συνάρτησης µε την ίδι τετµηµένη ( ε) Κάθε κτκόρυφη ευθεί τέµνει την γρφική πράστση µις συνάρτησης το πολύ σε έν σ ηµείο. εν είνι γρφική πράστση συνάρτησης φού η την τέµνει σε σηµεί. Είνι γρφική πράστση συνάρτησης φού κάθε ευθεί ( ε) πράλληλη στον την τέµνει το πολύ σε 1 σηµείο. Μθημτικός Τηλ /

5 Σηµεί Τοµής Γρφικής Πράστσης µε άξονες Γι ν ρούµε τ σηµεί τοµής µις συνάρτησης µε τους άξονες κολουθούµε τ εξής ήµτ: 1 ήµ : Βρίσκουµε το πεδίο ορισµούd της συνάρτησης. ήµ : Γι τον άξον θέτουµε στη συνάρτηση όπου = 0 ( 0) Β ( 0) Λύνουµε δηλδή την εξίσωση = 0 κι οι λύσεις είνι οι τετµηµένες των σηµείων τοµής. ηλδή τ σηµεί θ έχουν την µορφή Α,,,, ήµ : Γι τον άξον θέτουµε στη συνάρτηση όπου = 0 (, ) φού πρώτ ελέγξουµε ν το σηµείο 0 νήκει στο D. Έπειτ λύνουµε δηλδή την εξίσωση = 0 κι η λύση είνι η τεττγµένη του σηµείου τοµής. Το σηµείο θ έχει την µορφή Α 0 0. Πρτηρήσεις 1. Αν το 0 δεν νήκει στο πεδίο ορισµού της τότε δεν υπάρχει σηµείο τοµής µε τον. Η γρφική πράστση µις συνάρτησης µπορεί ν τέµνει τον άξον σε περισσότερο πό έν σηµεί. 3. Η γρφική πράστση µις συνάρτησης µπορεί ν τέµνει τον άξον το πολύ σε έν σηµείο. Σχετική Θέση Γρφικής Πράστσης κι άξον Γι ν ρούµε τ διστήµτ στ οποί η γρφική πράστση µις συνάρτησης ρίσκετι : Πάνω πό τον άξον 1 ήµ : Βρίσκουµε πεδίο ορισµούd της συνάρτησης. ήµ : Λύνουµε την νίσωση > 0. 3 ήµ : Ελέγχουµε ν οι λύσεις επληθεύουν το D. Μθημτικός Τηλ /

6 Κάτω πό τον άξον 1 ήµ : Βρίσκουµε πεδίο ορισµούd της συνάρτησης. ήµ : Λύνουµε την νίσωση < 0. 3 ήµ : Ελέγχουµε ν οι λύσεις επληθεύουν το D. Κοινά σηµεί γρφικών πρστάσεων δύο συνρτήσεων Γι ν ρούµε τ κοινά σηµεί των γρφικών πρστάσεων συνρτήσεων, κολουθούµε τ εξής ήµτ: { R 3} = { R / < 5} 1 ήµ : Βρίσκουµε την τοµή των πεδίων ορισµού D D Π. χ : D = / > D D( ) = R / 3 < < 5 = 3, 5 D = < { } ήµ : Λύνουµε την εξίσωση = 3 ήµ : Ελέγχουµε ν οι λύσεις επληθεύουν το πεδίο ορισµού D D 4 ήµ : Τις λύσεις που ρήκµε, δηλδή την τιµή ή τις τιµές των τις ντικθιστούµ ε στην ή γι ν ρούµε τις ντίστοιχες τετγµένες, δηλδή τ. Σχετική Θέση γρφικών πρστάσεων δύο συνρτήσεων Γι ν ρούµε τ διστήµτ στ οποί η γρφική πράστση της ρίσκετι : Πάνω πό την γρφική πράστση της 1 ήµ : Βρίσκουµε την τοµή των πεδίων ορισµού D D ήµ : Λύνουµε την νίσωση ( ) > ( ) 3 ήµ : Ελέγχουµε ν οι λύσεις επληθεύουν το πεδίο ορισµού D D Μθημτικός Τηλ /

7 Γι ν ρούµε τ διστήµτ στ οποί η γρφική πράστση της ρίσκετι : Κάτω πό την γρφική πράστση της 1 ήµ : Βρίσκουµε την τοµή των πεδίων ορισµού D D ήµ : Λύνουµε την νίσωση ( ) < ( ) 3 ήµ : Ελέγχουµε ν οι λύσεις επληθεύουν το πεδίο ορισµού D D Εύρεση Πεδίο Ορισµού - Σύνολο τιµών σε Γρφική πράστση συνάρτησης Πεδίο Ορισµού : ποτελεί την προολή της G πάνω στον άξον ( ] Όπως λέπουµε πό το σχήµ το πεδίο ορισµού της είνι το σύνολο Α= 5, 10 * Ότν στην γρφική πράστση λέπουµε κυκλάκι, σηµίνει ότι δεν την δέχετι την τιµή κι στο πεδίο ορισµού άζουµε ( ενώ ότν λέπουµε τελίτσ την τιµή κι στο πεδίο ορισµού άζουµε ] σηµίνει ότι την δέχετι Μθημτικός Τηλ /

8 Σύνολο τιµών : ποτελεί την προολή της G πάνω στον άξον 5-8 ( ] Όπως λέπουµε πό το σχήµ το σύνολο τιµών της είνι το σύνολο Β= 8, 5 Γρφική πράστση της συνάρτησης = ρ = ρ ρ -ρ ρ Μθημτικός Τηλ /

9 Γρφική πράστση της συνάρτησης = ρ -ρ ρ -ρ = ρ Γρφικές Πρστάσεις,, ( ) = i) H γρφική πράστση της είνι συµµετρική της γρφικής πράστσης της C ως προς τον άξον ( 3 + ) Μθημτικός Τηλ /

10 = ii) H γρφική πράστση της k ποτελείτι πό: τ τµήµτ της C που ρίσκοντι στον άξον κι πάνω πό υτόν. τ συµµετρικά τµήµτ ως προς τον άξον των τµηµάτων της C που ρίσκοντι κάτω πό τον = ( ) iii) H γρφική πράστση της h είνι συµµετρική της C ως προς τον άξον ( ) 6( ) Μθημτικός Τηλ /

11 4. Γρφική Πράστση Συνάρτησης Ασκήσεις 1. Ν σηµειώσετε σε έν κρτεσινό επίπεδο τ σηµεί : (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) Α 3 4 Β 4 9 Γ Ε 0 7 ΣΤ 0 5 Ε 8 0 Ζ 4 0. Ν συµπληρώσετε τον πίνκ : Σηµείο Α Β Γ Ε () () () () () Συµµετρικό ως προς άξον Συµµετρικό ως προς Συµµετρικό ως προς Συµµετρικό ως προς άξον ρχή Ο ξόνων διχοτόµο γωνίς Ο 3. Ν ρείτε τις ποστάσεις των σηµείων : κι ( ) ( ) κι ( 7, ) κι Β( 4, 8) ( ) κι ( ) κι κι ( ) i) Ο 0, 0 Α 3, ii) Α 3, Β 4, 5 iii) Α iv) Α, 4 Β 7, 3 v) Α 0, Β 1, 0 vi) Α 4, 0 Β 5, 0 4. Ν ποδείξετε ότι : ( ) ( ) i) T σηµεί Α, 3 κι Β 6, 7 κι Γ 10, 11 είνι κορυφές ισοσκελούς τριγώνου. ii) Τ σηµεί (, ) κι 1 Α 3 Β, 3 κι Γ(, 1) είνι κορυφές τριγώνου µε Α= 90 κι ν υπολογιστεί το εµδόν του. ( + ) ( ) ( ) 5. ίνοντι τ σηµεί Κ λ, λ 1, Λ λ, λ 3, Μ 3λ, λ. Ν ρεθεί το είδος του τριγώνου ΚΛΜ γι τις διάφορες τιµές του λ. 6. Σε κάθε µι πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν ρείτε τις συντετγµένες των κοινών σηµείων της γρφικής πράστσης της συνάρτησης µε τους άξονες. = 6 = ( 4)( 3) = ( 3) i) ii) iii)h iv)q = + 4 v)k = 3 vi)z = ίνετι η συνάρτηση = 4. Ν ρείτε : i) Τ σηµεί τοµής της C µε τους άξονες ii) Τις τετµηµένες των σηµείων της C που ρίσκοντι πάνω πό τον άξον iii) Τις τετµηµένες των σηµείων της C που ρίσκοντι κάτω πό τον άξον Μθημτικός Τηλ /

12 8. ίνετι η συνάρτηση = Ν ρείτε : i) Τ σηµεί τοµής της C µε τους άξονες ii) Τις τετµηµένες των σηµείων της C που ρίσκοντι πάνω πό τον άξον iii) Τις τετµηµένες των σηµείων της C που ρίσκοντι κάτω πό τον άξον κι 9. ίνοντι οι συνρτήσεις = 6+ 8 = 5 i) Τ σηµεί τοµής της C κι C µε τους άξονες ii) Τις τετµηµένες των σηµείων της C κι C που ρίσκοντι πάνω πό τον άξον iii) Τις τετµηµένες των σηµείων της C κι C που ρίσκοντι κάτω πό τον άξον iv) Τ κοινά σηµεί των C κι C v) Τις τεµηµένες των C που ρίσκοντι κάτω πό την C v) Τις τεµηµένες των C που ρίσκοντι πάνω πό την C κι 10. ίνοντι οι συνρτήσεις = = 3 39 i) Τ σηµεί τοµής της C κι C µε τους άξονες ii) Τις τετµηµένες των σηµείων της C κι C που ρίσκοντι πάνω πό τον άξον iii) Τις τετµηµένες των σηµείων της C κι C που ρίσκοντι κάτω πό τον άξον iv) Τ κοινά σηµεί των C κι C v) Τις τεµηµένες των C που ρίσκοντι κάτω πό την C v) Τις τεµηµένες των C που ρίσκοντι πάνω πό την C 11. ίνετι η συνάρτηση = + λ, λ R i) Ν ρεθεί η τιµή του λ ώστε το σηµείο, 6 ν νήκει στην γρφική πράστση της. ii) Ν ρεθούν τ σηµεί τοµής της C µε τους άξονες κι iii) Ν υπολογιστεί το εµδόν του τριγώνου που ορίζουν τ πρπάνω σηµεί. iv) Γι ποιες τιµές του, η C ρίσκετι : i) πάνω πό τον ii) κάτω πό v) Σε ποιά σηµεί τέµνοντι οι γρφικές πρστάσεις των (, ) κι = Αν η γρφική πράστση της συνάρτησης = 4 + διέρχετι πό το σηµείο Μ 1 4 τότε : i) Ν ρείτε το ii) Ν δείξετε ότι το συµµετρικό του σηµείου Μ ως προς τον άξον νήκει στη γρφική πράστση της. iii) Ν ρείτε την πόστση του σηµείου Μ πό το σηµείο τοµής της γρφικής πράστσης της µε τον άξον των. Μθημτικός Τηλ /