3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 87 89 Οµάδας. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου µε κέντρο την αρχή των αξόνων σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : (i) Όταν διέρχεται από το σηµείο Α(, 3 ) (ii) Όταν διέρχεται από το σηµείο Α(α β, α + β) (iii) Όταν εφάπτεται της ευθείας (iv) Όταν εφάπτεται της ευθείας α β (i) ρ (ΟΑ) ( ) Εξίσωση του κύκλου : (ii) ρ (ΟΑ) + 3. ( αβ ) + ( α+β ) α + β Εξίσωση του κύκλου : α + β α αβ+β +α + αβ+β α + β (iii) ρ απόσταση της αρχής των αξόνων από την ευθεία + Εξίσωση του κύκλου : (iv) ρ απόσταση της αρχής των αξόνων από την ευθεία α β ( α + α β α +β ( ) α +β Εξίσωση του κύκλου : α +β α +β α + β α +β β )
. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης του κύκλου τις παρακάτω περιπτώσεις : (i) Όταν είναι παράλληλη στην ευθεία 3 (ii) Όταν είναι κάθετη στην ευθεία 5 σε καθεµιά από (iii) Όταν διέρχεται από το σηµείο Α(5, ) (i) Έστω ε : + 5 η ζητούµενη εφαπτοµένη, όπου Ε(, ) το σηµείο επαφής. ε στην ευθεία 3 Ε στον κύκλο λ ε 5 ή () + 5 5 5 Για, η (), οπότε ε : 5 Για, η (), οπότε ε : 5 () (ii) Έστω ε : + 5 η ζητούµενη εφαπτοµένη, όπου Ε(, ) το σηµείο επαφής. ε στην ευθεία λ ε Συνεχίζουµε όπως στην περίπτωση (i) και βρίσκουµε ε : 5 ή ε : 5 (iii) Έστω ε : + 5 η ζητούµενη εφαπτοµένη, όπου Ε(, ) το σηµείο επαφής. ε 5 +. 5 () Ε στον κύκλο 5 ή () + 5 Άρα ε : 5 ή ε : 5
3 3. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόµενες του κύκλου στα σηµεία Α(, ), Β(, ), Γ(, ) και (, ) σχηµατίζουν τετράγωνο µε διαγώνιες τους άξονες και. Ποιο είναι το εµβαδόν του τετραγώνου αυτού; Εφαπτοµένη στο Α(, ). Τέµνει τους άξονες στα Κ(, ), Λ(, ) Εφαπτοµένη στο Β(, ) Τέµνει τους άξονες στα Λ(, ), Μ(, ) Εφαπτοµένη στο Γ(, ) Τέµνει τους άξονες στα Μ(, ), Ν(, ) Εφαπτοµένη στο (, ) Τέµνει τους άξονες στα Ν(, ), Ν(, ) Το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο διότι οι διαγώνιές του διχοτοµούνται, είναι ίσες και κάθετες. Μ Γ Β O Λ Ν Α K. Να βρείτε την εξίσωση της χορδής του κύκλου που έχει µέσο το σηµείο Μ(, ) Η ζητούµενη χορδή ε θα είναι κάθετη στην ΟΜ. Είναι λ ΟΜ. Άρα λ ε. Εποµένως ε : ( ) ( ) +
5. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : (i) Όταν έχει κέντρο Κ(, ) και διέρχεται από το σηµείο Α( 3, ) (ii) Όταν έχει διάµετρο το τµήµα µε άκρα Α(, ) και Β(7, 8) (iii) Όταν έχει ακτίνα ρ 5 και τέµνει τον άξονα στα σηµεία Α(, ) και Β(7, ) (iv) Όταν διέρχεται από τα σηµεία Α(, ) και Β(8, ) και έχει το κέντρο του στην ευθεία (v) Όταν τέµνει τον άξονα στα σηµεία Α(, ) και Β(8, ) και τον άξονα στα σηµεία Γ(, ) και (, µ) (vi) Όταν εφάπτεται του άξονα στο σηµείο Α(3, ) και διέρχεται από το σηµείο Β(, ) (vii) Όταν διέρχεται από την αρχή των αξόνων και εφάπτεται της ευθείας 3 στο σηµείο Α(, 3) (i) ρ (ΚΑ ) ( ) + ( 3 ) + 3 Η εξίσωση του κύκλου είναι ( ) + ( ) (ii) Το κέντρο Κ του κύκλου θα είναι το µέσο του τµήµατος ΑΒ. Κ( 7, 8+ ) Κ(3, 5) ρ (ΚΑ ) ( 3 ) + ( 5 ) 6 + 9 5 Η εξίσωση του κύκλου είναι ( 3 ) + ( 5 ) 5 (iii) Έστω Κ(, ) το κέντρο του κύκλου. (ΚΑ ) (ΚΒ ) Ο Α Κ Β ( ) + ( ) ( 7 ) +( ) + + 8 + 9 + () (ΚΑ) 5 (ΚΑ ) 5 ( ) + ( ) 5 9 + 5 6 ή Η εξίσωση του κύκλου είναι ( ) + ( ) 5 ή ( ) + ( + ) 5 (iv) Έστω Κ(, ) το κέντρο του κύκλου. (ΚΑ ) (ΚΒ ) ( ) +( ) ( 8 ) +( ) 8 + 6 + 6 + 6 + ()
5 8 8 6 Επειδή Κ στην ευθεία, θα είναι 6 ρ (ΚΑ ) ( 6 ) + ( 6 ) + 36 Η εξίσωση του κύκλου είναι ( 6 ) + ( 6 ) (v) Έστω Κ(, ) το κέντρο του κύκλου. (ΚΑ ) (ΚΒ ) ( ) + ( ) ( 8 ) +( ) 8 + 6 + 8 8 6 + 6 + 6 () (ΚΑ ) (ΚΓ ) ( ) + ( ) ( ) + ( + ) 8 + 6 + 8 + 3 + + + () 3 + 9 ρ (ΚΑ ) ( ) + ( ) (6 ) +( 9 ) + 8 85 Η εξίσωση του κύκλου είναι ( 6 ) + ( + 9 ) 85 (vi) Έστω Κ(, ) το κέντρο του κύκλου. K 3 Β K (ΚΑ ) (ΚΒ ) ( 3 ) + ( ) ( ) + ( ) O Α 6 + 9 + + + + + 3 ρ (ΚΑ) Η εξίσωση του κύκλου είναι ( 3 ) + ( ) (vii) Έστω Κ(, ) το κέντρο του κύκλου και ε η ευθεία 3 K O ΑΚ ε λακ λ ε 3 ( 3 ) 3 3 3 9 (3)
6 (ΚΑ ) (ΚΟ ) ( ) + ( 3 ) 6 + 9 6 9 3 (3) 3 3 9 9 8 8 ρ (ΚΟ ) 8 6 + 9 Η εξίσωση του κύκλου είναι ( 9 8 8+ 6 5 6 ) + ( 3 9 8 ) 5 6 6.i) Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου που έχει εξίσωση ρ + 6 3 Α +Β Γ 6+ 36+ B 6 3 K(, 3) 6 8 6.ii) Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου που έχει εξίσωση ρ 5 Α +Β Γ + + 8 B 6 K(5, 6) 3 8 9 6.iii) Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου που έχει εξίσωση 3 + 3 + 6 9 + H εξίσωση του κύκλου γράφεται + 3 + 3 ρ + 9 Α +Β Γ 3 B 3 3 + 7 3 35 K(, 3 )
7 6.iv) Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου που έχει εξίσωση α β + α + 6β α α B β 5β Κ(α, 5β) ρ Α +Β Γ 6α + β (α + 6 β ) 6α + β 6α 6β 36β 9 β ρ 3β 7.i) Να βρείτε την εφαπτοµένη του κύκλου + στο σηµείο του Α(, ), B. Κέντρο το Κ(, ) Έστω Μ(, ) το τυχαίο σηµείο της εφαπτοµένης στο Α ΑΜ ΑΚ ΑΜ ΑΚ ( )( ) + ( + )( + ) ( + )( ) 7.ii) Να βρείτε την εφαπτοµένη του κύκλου α β + α 3β στο σηµείο του Α(α, β) α B β Κέντρο το Κ(α, β) Έστω Μ(, ) το τυχαίο σηµείο της εφαπτοµένης στο Α ΑΜ ΑΚ ΑΜ ΑΚ ( α)(α α) + ( + β)( β + β) ( + β)β () Όταν β, η () γίνεται ( + ) δηλαδή, που δεν παριστάνει ευθεία. Η εξήγηση είναι : Η δοσµένη εξίσωση α β + α 3β α α γίνεται Α +Β Γ α + α Οπότε ο κύκλος εκφυλίζεται σε σηµείο, άρα δε γίνεται λόγος για εφαπτοµένη. Όταν β, η () γίνεται + β δηλαδή β
8 8. Να βρείτε τη σχετική θέση των κύκλων C : Κ (, ), Κ (, ), Είναι ( Κ και C : ρ ρ ( ) + Κ ) και ρ ρ ( Κ Κ ) ρ ρ Άρα οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά. Β Oµάδας. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( α)( β) + ( γ)( δ) παριστάνει τον περιγεγραµµένο κύκλο του τετραπλεύρου µε κορυφές τα σηµεία Α(α, γ), Β(β, γ), Γ(β, δ), (α, δ) και ότι οι ΑΓ και Β είναι διάµετροι αυτού του κύκλου. ( α)( β) + ( γ)( δ) (α + β) αβ + (γ + δ) + γδ (α + β) (γ + δ) + αβ + γδ είναι δε (α + β ) + (γ + δ ) (αβ + γδ) α +αβ + β + α αβ + β + (α β ) + (γ δ ) > Άρα η δοσµένη εξίσωση παριστάνει κύκλο. Ελέγχουµε αν η εξίσωση επαληθεύεται από το σηµείο Α(α, γ) (α α)( β) + (γ γ)( δ) που ισχύει. Άρα ο κύκλος διέρχεται από το Α. Οµοίως, διέρχεται από τα Β, Γ,. γ + γδ + δ αβ γδ γ γδ + δ ΒΑ ΒΓ (α β)(β β) + (γ γ)(δ γ) (α β) + (δ γ) + ΒΑ ΒΓ Α ˆΒΓ 9 ο ΑΓ διάµετρος Οµοίως Β διάµετρος
9. Να αποδείξετε ότι η ευθεία συνφ + ηµφ ηµφ συνφ + εφάπτεται του κύκλου + 8 + H δοσµένη ευθεία γράφεται ε : συνφ + ηµφ ηµφ + συνφ., B. Κέντρο του κύκλου Κ(, ) Α +Β Γ ρ ρ 6+ 66 6 ρ. συνϕ+ ηµϕ ηµϕ+ συνϕ d(k, ε) ρ. συν ϕ+ηµ ϕ Άρα η ευθεία εφάπτεται του κύκλου. 3. Από ένα σηµείο Μ (, ) εκτός του κύκλου ρ φέρνουµε τις δύο εφαπτόµενές του. Αν Μ, Μ είναι τα σηµεία επαφής, να αποδείξετε ότι η χορδή Μ Μ έχει εξίσωση + ρ. O κύκλος έχει κέντρο Ο(, ) και επειδή το Μ είναι εκτός του κύκλου, θα είναι Μ Ο, άρα ένα τουλάχιστον από τα, είναι. Άρα η γραµµική εξίσωση + ρ παριστάνει ευθεία ε. Για να αποδείξουµε ότι η ευθεία ε είναι η Μ Μ, αρκεί να αποδείξουµε ότι επαληθεύεται από τα σηµεία Μ, Μ, δηλαδή ότι ρ και όπου (, ) είναι οι συντεταγµένες του Μ και (, ) του Μ. Η εφαπτοµένη στο Μ έχει εξίσωση + ρ. Επειδή το Μ ανήκει σ αυτή, θα την επαληθεύει, άρα Οµοίως αποδεικνύουµε ότι ρ. ρ ρ.
. Έστω C ο κύκλος που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και διέρχεται από το σηµείο Α(3α, ). Αν Μ είναι ένα οποιοδήποτε σηµείο του C, που δε βρίσκεται στον άξονα, να αποδείξετε ότι το κέντρο βάρους G του τριγώνου ΟΑΜ ανήκει στον κύκλο ( α ) + O G Μ µ,ν ( ) α. 3α. ( ) Η () 9( α ) + 9 9α ( α ) + Έστω (µ, ν) οι συντεταγµένες του Μ. Τότε µ + ν (3α ) 9 α () Οι συντεταγµένες (, ) του G είναι +µ+ 3α, +ν+ 3 3 3 µ + 3α, 3 ν µ 3 3α, ν 3 µ 3( α), ν 3 α. 5. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ, από τα οποία οι εφαπτόµενες προς τον κύκλο ρ είναι κάθετες. Έστω Μ(µ,ν) τυχαίο σηµείο του γεωµετρικού τόπου Α ΑΜΒ ˆ ˆ ˆ 9 ο και ΟΑ ΟΒ ΟΑΒΜ τετράγωνο πλευράς ρ ρ Μ(µ,ν) ΟΜ ρ το Μ διαγράφει κύκλο (Ο, ρ ) Ο µ + ν (ρ ) Β µ + ν ρ
6. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ, των οποίων ο λόγος των αποστάσεων από τα σηµεία Α( 3, ) και Β(3, ) είναι σταθερός και όσος µε. Έστω Μ(, ) τυχαίο σηµείο του γεωµετρικού τόπου ( ΜΑ) ΜΒ (M ) (MB ) ( ) ( 3 ) + ( ) [( 3 ) + ( ) ] 6 9 + 6 9 + ( 6 9 + ) 36 + 3 +3 3 7 9 Κύκλος µε κέντρο Κ(5, ) και ακτίνα ρ 36 6 8
7. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ, των οποίων το τετράγωνο της απόστασης από την αρχή των αξόνων είναι ίσο µε το τετραπλάσιο της απόστασης από την ευθεία. H ευθεία ε : γράφεται Έστω Μ(, ) τυχαίο σηµείο του γεωµετρικού τόπου (OM ) d(m, ε) + ( ( ) µε ) ή ( ( ) µε ) ( ) µε µε µε ( ) + µε και µε και µε σηµείο Μ(, ) ( ) µε µε 6+ 6 ρ κέντρο Κ(, ) + µε () 3, k(-, ) O H () το σηµείο Μ(, ) διαγράφει τον κύκλο που έχει κέντρο Κ(, ) και ακτίνα, µε τον περιορισµό. Στο σχήµα, παρατηρούµε ότι, όλα τα σηµεία του κύκλου ικανοποιούν τον περιορισµό (ακολουθεί η απόδειξη). Τελικά, ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είναι ο κύκλος (Κ, ) µαζί µε το σηµείο Μ(, ). Η εξίσωση του κύκλου + γράφεται ηλαδή το τριώνυµο είναι ετερόσηµο του α και επειδή 6 + 6 3 >, ο θα είναι εντός των ριζών ± 3 ± ± Άρα < < + <.
3 8. Έστω το τρίγωνο µε κορυφές Α(3, 5), Β(, ) και Γ( 5, ). Να αποδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ για τα οποία ισχύει MΑ + MΒ + MΓ 7 Είναι κύκλος µε κέντρο το κέντρο βάρους του τριγώνου ΑΒΓ. Έστω Μ(, ) τυχαίο σηµείο του γεωµετρικού τόπου MΑ + MΒ + MΓ 7 ( 3 ) + ( 5 ) + ( ) + ( + ) + ( 5 ) + ( + ) 7 6 9 + + 5 + + 3 + 3 + 8 7 + 8 + 6 + 5 + + + 7 7 3 το Μ διαγράφει τον κύκλο που έχει κέντρο την αρχή Ο και ακτίνα 3.. Οι συντεταγµένες του κέντρου βάρους του τριγώνου ΑΒΓ είναι 3 ( + 5, 5 3 3 ) (, ) άρα το Ο είναι το κέντρου βάρους του. 9. Να αποδείξετε ότι το σηµείο τοµής των ευθειών συνθ + ηµθ α και ηµθ συνθ β ανήκει στον κύκλο α + β για όλες τις τιµές του θ [, ) Λύνουµε το σύστηµα των εξισώσεων των δύο ευθειών. D συνθ ηµθ ηµθ -συνθ συν θ ηµ θ π. D α β ηµθ συνθ ασυνθ βηµθ D συνθ ηµθ α β βσυνθ αηµθ D ασυνθ + βηµθ D D D αηµθ βσυνθ (ασυνθ + βηµθ ) + (αηµθ βσυνθ ) α συν θ + αβσυνθ ηµθ + α ( συν θ + ηµ θ ) + β ηµ θ + β ( συν θ + α ηµ θ ) ηµ θ αβσυνθ ηµθ + α + β β α + β συν θ
. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µέσων των χορδών του κύκλου που διέρχονται από το σηµείο Α(, ). Λ Μ Σ K (, ) Έστω Μ(, ) τυχαίο σηµείο του γεωµετρικού τόπου 5, το Μ είναι µέσο της τυχαίας χορδής ΚΛ, που διέρχεται από το Α O ΟΜ ΜΑ το Μ βλέπει το τµήµα ΟΑ µε ορθή γωνία το Μ διαγράφει κύκλο διαµέτρου ΟΑ Το κέντρο του είναι Σ( +, + ) Σ(, ) και η ακτίνα του ρ (ΣΟ) + 5. Άρα η εξίσωσή του είναι ( ) + ( ) 5