1. Εισαγωγή Φυσικές Ποσότητες, Μονάδες Μετρήσεις, Αβεβαιότητα Διανύσματα Βιβλιογραφία Giancoli D.C., Φυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς, Τόμος Α, Τζιόλα, 4 η έκ. Halliday D., Resnick R., Walker J., Φυσική, Τόμος Α, Gutenberg, 8 η έκ. Serway, R.A., Jewett J.W., Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: μηχανική, ταλαντώσεις και μηχανικά κύματα, θερμοδυναμική, σχετικότητα, Κλειδάριθμος, 8 η έκ. Young H., Freedman R. Πανεπιστημιακή φυσική με σύγχρονη φυσική, Τόμος Α, Παπαζήση, 2 η έκ.
Σε αυτή την εισαγωγική ενότητα θα συζητηθούν τα ακόλουθα Bασικές έννοιες της φυσικής Θεμελιώδη μεγέθη / Πρότυπα μέτρησης / Μονάδες Διαστατική ανάλυση / Προσδιορισμός τάξης μεγέθους Μετρήσεις και αβεβαιότητα Σφάλματα και διάδοση σφαλμάτων Γραφική απεικόνιση μετρήσεων / Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Βαθμωτές και διανυσματικές ποσότητες Συνιστώσες διανυσμάτων και χρήση τους Μοναδιαία διανύσματα και χρήση τους Γινόμενο διανυσμάτων βαθμωτό και διανυσματικό
Φυσική Θεμελιώδης επιστήμη Ασχολείται με τις βασικές αρχές του σύμπαντος. Αποτελεί τη βάση γι άλλες επιστήμες. Οι βασικές αρχές της είναι απλές. Κλασική φυσική Αναπτύχθηκε πριν από το 1900 Σύγχρονη φυσική 1900 μέχρι σήμερα Κάποια φαινόμενα δεν μπορούσαν να εξηγηθούν από την κλασική φυσική Περιλαμβάνει τις θεωρίες της σχετικότητας και της κβαντικής μηχανικής
Στόχοι της φυσικής Να προσδιορίσει ένα συγκεκριμένο πλήθος θεμελιωδών νόμων που διέπουν τα φυσικά φαινόμενα. Να εφαρμόσει τους νόμους αυτούς στην ανάπτυξη θεωριών που θα μπορούν να προβλέψουν τα αποτελέσματα μελλοντικών πειραμάτων. Να διατυπώσει τους νόμους στη γλώσσα των μαθηματικών. Θεωρία και πειράματα Πρέπει να αλληλοσυμπληρώνονται. Όταν υπάρχει κάποια ασυμφωνία, πρέπει να διατυπώνονται νέες θεωρίες ή να βελτιώνονται οι υπάρχουσες. Μια θεωρία μπορεί να ισχύει μόνο κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες και να χρειάζεται να αναπτυχθεί μια πιο γενική θεωρία Παράδειγμα: Η νευτώνεια μηχανική περιορίζεται στα σώματα που κινούνται αργά σε σύγκριση με την ταχύτητα του φωτός.
Μοντέλα Το μοντέλο είναι ένα σύστημα που αποτελείται από φυσικά συστατικά μέρη. Χρήσιμο όταν δεν μπορούμε να αλληλεπιδράσουμε άμεσα με το φαινόμενο. Προσδιορίζει τα φυσικά συστατικά μέρη. Κάνει προβλέψεις για τη συμπεριφορά τού συστήματος με βάση τις αλληλεπιδράσεις ανάμεσα στα συστατικά μέρη και/ή την αλληλεπίδραση του συστήματος με το εξωτερικό του περιβάλλον Σημαντική τεχνική επίλυσης προβλημάτων είναι η δημιουργία ενός μοντέλου για το πρόβλημα. Ορίζουμε ένα σύστημα με τα φυσικά συστατικά του προβλήματος. Κάνουμε προβλέψεις για τη συμπεριφορά του συστήματος βάσει των αλληλεπιδράσεων ανάμεσα στα συστατικά του συστήματος και/ή βάσει της αλληλεπίδρασης του συστήματος με το εξωτερικό του περιβάλλον.
Μοντέλα της ύλης Ορισμένοι Έλληνες φιλόσοφοι (π.χ. Αριστοτέλης) θεωρούσαν ότι η ύλη αποτελείται από άτομα Ο J.J. Thomson (1897) ανακάλυψε τα ηλεκτρόνια και απέδειξε ότι τα άτομα έχουν εσωτερική δομή. Ο Rutherford (1911) ανακάλυψε ότι υπάρχει ένας κεντρικός πυρήνας ο οποίος περιβάλλεται από ηλεκτρόνια.
Μοντέλα, Θεωρίες και Νόμοι Τα Μοντέλα είναι χρήσιμα για την κατανόηση ενός φαινομένου. Το μοντέλο μας παρέχει μια νοητική εικόνα. Χρειάζεται προσοχή ώστε να αντιληφθούμε τα όρια ενός μοντέλου. Η Θεωρία είναι λεπτομερής και δίνει προβλέψεις που μπορούν να επαληθευθούν. Ο Νόμος είναι η περιγραφή του πώς συμπεριφέρεται η φύση κάτω από διάφορες συνθήκες.
Μετρήσεις Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή των φυσικών φαινομένων. Κάθε μέτρηση συνδέεται με ένα φυσικό μέγεθος. Πρέπει να ορίζονται με βάση κάποιο πρότυπο. Πρότυπα μέτρησης για τα θεμελιώδη μεγέθη Χαρακτηριστικά ενός προτύπου μέτρησης Να είναι άμεσα διαθέσιμο. Να έχει κάποια ιδιότητα που να μπορεί να μετρηθεί με αξιοπιστία. Πρέπει να δίνει τα ίδια αποτελέσματα όταν χρησιμοποιείται από διαφορετικούς ανθρώπους σε διαφορετικά μέρη. Δεν μπορεί να μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου. Προτυποποιημένα συστήματα Ορίζονται από κάποια αρχή, συνήθως ένα κυβερνητικό όργανο
Πρότυπα, θεμελιώδη μεγέθη και μονάδες Εφτά είναι οι τρεις θεμελιώδεις ποσότητες της φυσικής Το Διεθνές σύστημα ή SI μονάδων είναι το σύστημα μονάδων που χρησιμοποιείται ευρέως σήμερα. Στο σύστημα SI το μήκος μετριέται σε μέτρα, ο χρόνος σε δευτερόλεπτα και η μάζα σε χιλιόγραμμα. Βρετανικό Σύστημα Μονάδων Οι βρετανικές μονάδες με βάση τις αντίστοιχες μονάδες στο SI ορίζονται ως εξής: Μήκος: 1 ίντσα = 1 in = 2,54 cm Δύναμη: 1 λίβρα-δύναμης (pond force) = 4,448221615 newton
Τα θεμελιώδη μεγέθη και οι μονάδες μέτρησής τους Μέγεθος Μήκος Μάζα Χρόνος Θερμοκρασία Ηλεκτρικό ρεύμα Φωτοβολία Ποσότητα ύλης Μονάδα μέτρησης στο SI μέτρο χιλιόγραμμο δευτερόλεπτο kelvin ampere candela mole
Μεγέθη που χρησιμοποιούνται στη μηχανική Στη μηχανική χρησιμοποιούνται τρία θεμελιώδη μεγέθη: Μήκος Μάζα Χρόνος } Όλα τα υπόλοιπα μεγέθη στη μηχανική μπορούν να εκφραστούν ως συνάρτηση των τριών θεμελιωδών μεγεθών. Μήκος Το μήκος είναι απόσταση μεταξύ δύο σημείων στον χώρο. Μονάδα μέτρησης: SΙ μέτρο, m Ορίζεται συναρτήσει του μέτρου η απόσταση που διανύει το φως στο κενό μέσα σε ένα δεδομένο χρονικό διάστημα. Μάζα Μονάδα μέτρησης: SI χιλιόγραμμο, kg Ορίζεται συναρτήσει του χιλιόγραμμου, το οποίο βασίζεται σε έναν συγκεκριμένο κύλινδρο που φυλάσσεται στο Διεθνές Γραφείο Μέτρων και Σταθμών. Χρόνος Μονάδα μέτρησης: δευτερόλεπτο, s Ορίζεται συναρτήσει της ταλάντωσης της ακτινοβολίας που εκπέμπει το άτομο του καισίου
Πρότυπο χιλιόγραμμο
Προθέματα μονάδων Τα προθέματα αντιστοιχούν σε δυνάμεις του 10. Κάθε πρόθεμα έχει συγκεκριμένο όνομα. Κάθε πρόθεμα έχει συγκεκριμένη σύντμηση. Τα προθέματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν με οποιαδήποτε θεμελιώδη μονάδα. Είναι (υπο)πολλαπλάσια της θεμελιώδους μονάδας.
Προθέματα μονάδων
Συμφωνία μονάδων και μετατροπές Οι εξισώσεις πρέπει να είναι πάντοτε συνεπείς ως προς τις διαστάσεις. Δύο όροι μπορούν να προστεθούν ή να εξισωθούν μόνο αν έχουν τις ίδιες διαστάσεις. Στους υπολογισμούς κάνουμε πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις με τις μονάδες. Αν π.χ. η απόσταση d μετριέται σε μέτρα τότε και το γινόμενο d=υt πρέπει να εκφράζεται σε μέτρα. Παράδειγμα μετατροπής μονάδων ταχύτητας: Το πρώτο αεριωθούμενο αυτοκίνητο που έσπασε το φράγμα του ήχου, πέτυχε ρεκόρ επίγειας ταχύτητας κινούμενο με 1228,0 Km/h. Εκφράστε την ταχύτητα αυτή σε m/s. 1228,0 km h = 1228 1h 103 m/h = 341,11 m/s 3600 s
Τα θεμελιώδη μεγέθη και οι διαστάσεις τους Η διάσταση έχει συγκεκριμένη σημασία υποδηλώνει τις φυσικές ιδιότητες ενός μεγέθους. Μήκος [L] Μάζα [M] Χρόνος [T] Διαστάσεις και μονάδες μέτρησης Κάθε διάσταση μπορεί να έχει πολλές πραγματικές μονάδες μέτρησης.
Διαστατική ανάλυση Μια τεχνική η οποία μας επιτρέπει να ελέγξουμε αν μια εξίσωση έχει τη σωστή μορφή ή μας βοηθάει να αποδείξουμε έναν μαθηματικό τύπο. Μπορείτε να χειριστείτε τις διαστάσεις (μήκος, μάζα, χρόνος, συνδυασμοί) ως αλγεβρικά μεγέθη: Πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση Τα δύο σκέλη της εξίσωσης πρέπει να έχουν τις ίδιες διαστάσεις. Μια εξίσωση είναι σωστή μόνο αν οι διαστάσεις και στα δύο σκέλη της είναι ίδιες. Δεν μπορεί να δώσει τις αριθμητικές τιμές των παραγόντων: αυτός είναι ο περιορισμός της.
Διαστατική ανάλυση Παραδείγματα Δίνεται η εξίσωση: x = ½ α t 2 L 2 Ελέγξτε τις διαστάσεις κάθε σκέλους: L T L 2 T Τα T 2 απαλείφονται, οπότε διαπιστώνουμε ότι το L είναι η διάσταση κάθε σκέλους. Η εξίσωση είναι διαστατικά σωστή. Η σταθερά δεν έχει διαστάσεις. Εύρεση των δυνάμεων σε μια αναλογία Παράδειγμα: βρείτε τους εκθέτες στη σχέση Πρέπει να έχετε μήκη και στα δύο σκέλη Η επιτάχυνση έχει διαστάσεις L/T 2 Ο χρόνος έχει διαστάσεις T Η ανάλυση δίνει x α t m n x αt 2
Τάξη μεγέθους Προσέγγιση που βασίζεται σε ορισμένες υποθέσεις Τρόπος επίλυσης που προβλημάτων σας επιτρέπει να κόβετε ψηφία, να κάνετε λογικές προσεγγίσεις και απλουστευτικές υποθέσεις. Αν απαιτούνται αποτελέσματα μεγαλύτερης ακριβείας, ενδέχεται να πρέπει να τροποποιήσετε τις υποθέσεις σας. Η τάξη μεγέθους είναι η δύναμη του 10 που ορίζετε. Εκτιμήστε έναν αριθμό και γράψτε τον με επιστημονικό συμβολισμό. Ο πολλαπλασιαστής της δύναμης του 10 πρέπει να είναι μεταξύ 1 και 10. Παραδείγματα: Ποιος είναι ο αριθμός των αναπνοών ενός ανθρώπου κατά τη διάρκεια της ζωής του; Τι θα αλλάξει στην εκτίμησή μας αν αυξηθεί ο μέσος όρος ζωής κατά 10 έτη;
Επιστημονικές μετρήσεις Οι μετρήσεις αποτελούν τεκμήριο ορθής επιστημονικής προσέγγισης. Το εύρος των γνώσεων μας σχετικά με ένα επιστημονικό θέμα συχνά συνδέεται με το πόσο καλά μπορούμε να το μετρήσουμε. «αν κάτι μπορούμε να το μετρήσουμε και να το εκφράσουμε με αριθμούς, τότε γνωρίζουμε κάτι για αυτό. Όταν δεν μπορούμε να το μετρήσουμε, όταν αδυνατούμε να το εκφράσουμε με αριθμούς, τότε η γνώση που διαθέτουμε είναι ανεπαρκής» Λόρδος Κέλβιν
Αβεβαιότητα των μετρήσεων Αβεβαιότητα ή σφάλμα στην επιστημονική γλώσσα σημαίνει την αναπόφευκτη, αριθμητικά εκφρασμένη, έλλειψη ακρίβειας που υπάρχει στη μέτρηση ενός μεγέθους σ όλα τα πειράματα, και μπορεί να οφείλεται στη συσκευή μέτρησης, στο άτομο που εκτελεί το πείραμα, και/ή στο πλήθος των μετρήσεων που γίνονται. Έτσι, κάθε μέτρηση εμπεριέχει αβεβαιότητα, η οποία διατηρείται σε όλα τα στάδια των υπολογισμών. Ακρίβεια (Accuracy) πόσο κοντά βρίσκεται η τιμή μιας μέτρησης στην πραγματική τιμή Ακρίβεια Μέτρησης ή πιστότητα (Precision) εκφράζει την επαναληψιμότητα των μετρήσεων. Είναι δυνατόν κάποιος να μετρά τιμές με ακρίβεια κάνοντας μη-ακριβείς μετρήσεις και αντιστρόφως!
Αβεβαιότητα των μετρήσεων
Αβεβαιότητα και σημαντικά ψηφία Η αβεβαιότητα ή το σφάλμα μιας μέτρησης υποδεικνύεται με το πλήθος των σημαντικών ψηφίων στην μετρημένη τιμή. Χρησιμοποιούμε κανόνες για τα σημαντικά ψηφία για να προσεγγίσουμε την αβεβαιότητα που υπάρχει στα αποτελέσματα των υπολογισμών. Ένα μικρό επί τοις εκατό σφάλμα προκάλεσε το θεαματικό ατύχημα της εικόνας
Αβεβαιότητα και σημαντικά ψηφία Τα σημαντικά ψηφία είναι ψηφία που γνωρίζουμε με αξιοπιστία. Τα μηδενικά ενδέχεται να είναι ή να μην είναι σημαντικά ψηφία. Εκείνα που χρησιμοποιούνται για τον καθορισμό των δεκαδικών ψηφίων δεν είναι σημαντικά. Για να εξαλείψουμε την ασάφεια, χρησιμοποιούμε τον επιστημονικό συμβολισμό. Το 0.0075 m έχει 2 σημαντικά ψηφία. Τα αρχικά μηδενικά είναι μόνο δεσμευτικά θέσης. Γράψτε την τιμή με τον επιστημονικό συμβολισμό για να γίνει πιο σαφής: 7.5 x 10-3 m για 2 σημαντικά ψηφία Το 10.0 m έχει 3 σημαντικά ψηφία. Η υποδιαστολή μάς δίνει πληροφορίες για την αξιοπιστία της μέτρησης. Το 1500 m χαρακτηρίζεται από ασάφεια. Χρησιμοποιήστε το 1.5 x 10 3 m για 2 σημαντικά ψηφία. Χρησιμοποιήστε το 1.50 x 10 3 m για 3 σημαντικά ψηφία. Χρησιμοποιήστε το 1.500 x 10 3 m για 4 σημαντικά ψηφία. } Το 80 km είναι «διφορούμενο» Μπορεί να έχει ένα ή δύο Σ.Ψ., αλλά αν γραφτεί 80,0 km, τότε έχει τρία Σ.Ψ. Ο Επιστημονικός συμβολισμός (Scientific notation) επιτρέπει την ξεκάθαρη δήλωση των Σ.Ψ.
Αβεβαιότητα και σημαντικά ψηφία Πολλαπλασιασμός ή διαίρεση λαμβάνουμε υπόψη το πλήθος των σημαντικών ψηφίων. Όταν πολλαπλασιάζετε ή διαιρείτε πολλές ποσότητες, το πλήθος των σημαντικών ψηφίων στην τελική απάντηση είναι ίδιο με το πλήθος των σημαντικών ψηφίων στο μέγεθος που έχει τα λιγότερα σημαντικά ψηφία. Παράδειγμα: 25.57 m x 2.45 m = 62.6 m 2 Το 2.45 m περιορίζει το αποτέλεσμα στα 3 σημαντικά ψηφία. Πρόσθεση ή αφαίρεση λαμβάνουμε υπόψη το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων. Κατά την πρόσθεση ή την αφαίρεση, το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων στο αποτέλεσμα πρέπει να ισούται με το μικρότερο πλήθος δεκαδικών ψηφίων οποιουδήποτε όρου του αθροίσματος ή της διαφοράς. Παράδειγμα: 135 cm + 3.25 cm = 138 cm Το 135 cm περιορίζει το αποτέλεσμα στη τιμή των μονάδων.
Αβεβαιότητα και σημαντικά ψηφία Οι αριθμομηχανές δεν αποδίδουν τα σωστά σημαντικά ψηφία, αλλά όσα δεκαδικά ψηφία μπορούν. Η αριθμομηχανή πάνω δείχνει το αποτέλεσμα της πράξης 2,0/3,0. Το σωστό αποτέλεσμα είναι 0,67 (2 Σ.Ψ.) Η αριθμομηχανή κάτω δείχνει το αποτέλεσμα της πράξης 2,5 x 3,2. Το σωστό αποτέλεσμα είναι 8,0 (2 Σ.Ψ.) Copyright 2009 Pearson Education, Inc.
Αβεβαιότητα και σημαντικά ψηφία Παράδειγμα: 0,745 2,2 3,885 = 0,42 1,32578 10 7 4,11 10 3 = 5,45 10 4 Παράδειγμα: 27,153 + 138,2 11,74 = 153,6
Αβεβαιότητα και σημαντικά ψηφία Παράδειγμα: Σημαντικά ψηφία στον πολλαπλασιασμό Η ενέργεια ηρεμίας Ε ηλεκτρονίου με μάζα ηρεμίας m δίνεται από την εξίσωση ηρεμίας του Einstein E 0 = mc 2 όπου c η ταχύτητα του φωτός στο κενό. Βρείτε την ενέργεια Ε 0 για ένα αντικείμενο με m=9,11 10-31 kg (μάζα ηρεμίας του ηλεκτρονίου με τρία σημαντικά ψηφία). Η μονάδα της E 0 στο SI είναι το joule. 1J=1Kg.m 2 /s E 0 = 9,11 10 31 2,99792458 10 8 m/s 2 = 9,11 2,99792458 2 10 31 10 8 2 kg. m2 = 8,187659678 10 14 kg. m 2 /s 2 Η τιμή της m έχει δοθεί με τρία σημαντικά ψηφία, επομένως μπορούμε να στρογγυλέψουμε το αποτέλεσμα σε E 0 = 8,19 kg. m2 s 2 = 8.19 10 14 J s 2
Στρογγυλοποίηση Το τελευταίο ψηφίο που μένει αυξάνεται κατά 1, αν το ψηφίο που φεύγει είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 5. Το τελευταίο ψηφίο που μένει δεν μεταβάλλεται, αν το ψηφίο που φεύγει είναι μικρότερο από 5. Μπορείτε να αποφύγετε τη συσσώρευση σφαλμάτων από την στρογγυλοποίηση αναβάλλοντας τη στρογγυλοποίηση μέχρι να έχετε το τελικό αποτέλεσμα. Να βρίσκετε την πλήρη λύση πρώτα σε αλγεβρική μορφή και να αντικαθιστάτε αριθμητικές τιμές στα σύμβολα στην τελική παράσταση. Έτσι θα αποφύγετε τη συχνή χρήση της αριθμομηχανής και θα ελαχιστοποιήσετε τις στρογγυλοποιήσεις.
Συστηματικά και τυχαία σφάλματα Συστηματικά σφάλματα τείνουν να μετατοπίσουν όλες τις μετρήσεις με συστηματικό τρόπο, έτσι ώστε η μέση τιμή να είναι μετατοπισμένη προς μία διεύθυνση, δηλαδή επιδρούν στο αποτέλεσμα μιας μέτρησης πάντοτε κατά την ίδια φορά (μόνο θετικά ή μόνο αρνητικά), όσες φορές και αν επαναληφθεί η μέτρηση, και παραμένουν σταθερά για μια σειρά μετρήσεων, που διεξάγονται κάτω από τις ίδιες συνθήκες. Διακρίνονται σε: Σφάλματα μεθόδου Σφάλματα οργάνων Προσωπικά σφάλματα Τυχαία σφάλματα είναι πιο κοινά και πιο συχνά και οφείλονται σε μη μόνιμες αιτίες και υπάρχουν πάντα στο πείραμα. Το τυχαίο σφάλμα μεταβάλλεται και μπορεί να είναι και θετικό και αρνητικό. Αν δεν έχουμε συστηματικά σφάλματα οι μετρήσεις μας βρίσκονται γύρω από την πραγματική τιμή. Μπορεί να οφείλονται στην έλλειψη ευαίσθητης απόκρισης του οργάνου ή στον παρατηρητή (σφάλματα ανάγνωσης), στον εξωτερικό θόρυβο, κ.λ.π.
Πολλαπλές μετρήσεις Εάν σε ένα πείραμα η μέτρηση του μεγέθους Χ επαναληφθεί Ν φορές, και οι μετρούμενες τιμές είναι x 1, x 2, x 3, x N τότε σύμφωνα με τη θεωρία των πιθανοτήτων η τιμή που βρίσκεται πιο κοντά στην «πραγματική» είναι η μέση τιμή που υπολογίζεται από τον τύπο: x x1 x2... xk... x N N k 1 Και σ αυτή την περίπτωση όμως δεν μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το αποτέλεσμά μας συμπίπτει με την "πραγματική" τιμή. Πρέπει, λοιπόν, να υπολογίσουμε το σφάλμα, δηλαδή μια περιοχή τιμών του x μέσα στην οποία βρίσκεται αυτή η πραγματική τιμή. N N x k Δηλαδή x ± δx όπου Το σφάλμα δx λέγεται τυπικό ή απόλυτο σφάλμα της μέσης τιμής
Απόλυτο και σχετικό σφάλμα Για να κρίνουμε αν ένα σφάλμα είναι μικρό ή μεγάλο πρέπει να εξετάσουμε: Αν το σφάλμα ανταποκρίνεται στις απαιτήσεις των πειραματικών στόχων, αν έχουμε δηλαδή την ακρίβεια που απαιτείται στο συγκεκριμένο πείραμα Αν το σφάλμα είναι μικρό ή μεγάλο, υπολογίζοντας το σχετικό σφάλμα που ορίζεται ως εξής: η = δx x Tο σχετικό σφάλμα είναι καθαρός αριθμός και δίνεται σε ποσοστά Ένα σφάλμα θεωρείται μικρό αν η~5% ενώ μεγάλο αν η > 10%
Διάδοση Σφαλμάτων Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε την ποσότητα λ = f(x, y, z, ) όπου τα μεγέθη x, y, z, έχουν σφάλματα αντίστοιχα δx, δy, δz, Τότε ισχύει: δλ = λ x δx 2 + λ y δy 2 + λ z δz 2 + όπου λ χ η μερική παράγωγος της συνάρτησης λ ως προς x, κ.ο.κ. Είναι εύκολο να υπολογιστεί ως η παράγωγος της λ ως προς την εκάστοτε μεταβλητή, διατηρώντας τις άλλες μεταβλητές σταθερές.
Η στρογγυλοποίηση στα σφάλματα Στο τελικό αποτέλεσμα ( x ± δx ) χρησιμοποιούμε στρογγυλοποιημένες τιμές, απορρίπτουμε, δηλαδή, τα ψηφία που δεν είναι σημαντικά ακολουθώντας τους παρακάτω κανόνες στρογγυλοποίησης Στρογγυλοποιούμε πρώτα το σφάλμα, κρατώντας ένα (το πρώτο) σημαντικό ψηφίο, εκτός εάν το πρώτο είναι το 1 ή το 2 οπότε κρατάμε δύο σημαντικά ψηφία. Στη μέση τιμή αφήνουμε το τελευταίο ψηφίο της ίδιας τάξης μεγέθους με το σφάλμα και στρογγυλοποιούμε.
Χάραξη καμπύλης πειραματικών μετρήσεων
Βαθμωτές και διανυσματικές ποσότητες Όταν μια φυσική ποσότητα περιγράφεται από έναν αριθμό ονομάζεται βαθμωτή Οι πράξεις με βαθμωτά μεγέθη γίνονται σύμφωνα με τους κανόνες της απλής αριθμητικής Μια διανυσματική ποσότητα έχει μέτρο και κατεύθυνση, π.χ. μετατόπιση Στα βιβλία τα διανύσματα συμβολίζονται συνήθως μ ένα γράμμα με έντονα πλάγια γράμματα: Α Όταν γράφουμε, χρησιμοποιούμε βελάκι: Α Το μέτρο του διανύσματος Α ή Α γράφεται ως Α ή Α ή Α
Παράδειγμα διανυσματικού μεγέθους Ένα σωματίδιο κινείται από το σημείο A στο σημείο B ακολουθώντας τη διαδρομή που υποδεικνύει η διακεκομμένη γραμμή: Αυτή είναι η απόσταση που διένυσε - βαθμωτό μέγεθος. Η μετατόπιση είναι η ευθεία που ενώνει το A με το B. Η μετατόπιση είναι ανεξάρτητη από τη διαδρομή που ακολουθεί το σωματίδιο μεταξύ των δύο σημείων. Η μετατόπιση είναι διανυσματικό μέγεθος.
Διανυσματικό άθροισμα ή συνισταμένη C δύο διανυσμάτων Α και Β
Διανυσματικό άθροισμα ή συνισταμένη C δύο διανυσμάτων Α και Β Στην πρόσθεση δύο διανυσμάτων, το άθροισμα είναι ανεξάρτητο από τη σειρά της άθροισης. αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης. Α + Β = Β + Α Στην πρόσθεση τριών ή περισσοτέρων διανυσμάτων, το άθροισμα είναι ανεξάρτητο από τον τρόπο ομαδοποίησης των επιμέρους διανυσμάτων. Η ιδιότητα αυτή ονομάζεται προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης. (Α + Β) + C = Α + (Β + C)
Παράδειγμα πρόσθεσης διανυσμάτων Αν κινηθείτε 1,00 Κm βόρεια και μετά 2,00 Κm ανατολικά σε οριζόντια επιφάνεια, α) πόσο μακριά θα βρεθείτε από το σημείο που ξεκινήσατε και προς ποια κατεύθυνση και β) Ποιο είναι το μέτρο και η κατεύθυνση της συνισταμένης μετατόπισης; 1Km φ 2Km α) Τα διανύσματα σχηματίζουν ορθή γωνία. Από το Πυθαγόρειο θεώρημα: 1,00 km 2 + 2,00 km 2 = 2,24 km Η κατεύθυνση δίνεται από τη γωνία φ: tanφ = απεναντι πλευρα = 2 km = προσκειμενη πλευρα 1 km 63,4o β) Το μέτρο και η κατεύθυνση της συνισταμένης μετατόπισης είναι 2,24 km. Για την κατεύθυνση μπορούμε να πούμε αν κοιτάμε το βορρά είναι 63,4 ο ανατολικά του βορρά. Αν κοιτάμε την ανατολή θα πούμε ότι είναι 26,6 ο βόρεια της ανατολής.
Συνιστώσες διανυσμάτων Η πρόσθεση διανυσμάτων γραφικά, χρησιμοποιώντας διάγραμμα έχει περιορισμένη ακρίβεια και ο υπολογισμός με ορθογώνια τρίγωνα εφαρμόζεται μόνο όταν τα διανύσματα είναι κάθετα. Μια πιο γενική μέθοδος πρόσθεσης διανυσμάτων είναι η μέθοδος των συνιστωσών. Κάθε διάνυσμα στο επίπεδο x-y μπορεί να παρασταθεί με το διανυσματικό άθροισμα των διανυσματικών συνιστωσών Α x και Α y : Α = A x + A y Το μέτρο των συνιστωσών Α x και Α y δίνεται από τις σχέσεις: A x = Acos θ και Α y = Αsin θ, όπου Α το μέτρο του διανύσματος
Παράδειγμα: Πώς βρίσκουμε συνιστώσες Α) Ποιες είναι οι συνιστώσες κατά τους άξονες x και y του διανύσματος D στο σχήμα (α); Το μέτρο του διανύσματος είναι D = 3,00 m και η γωνία είναι α=45 ο. Β) Ποιες είναι οι συνιστώσες κατά τους άξονες x και y του διανύσματος E στο σχήμα (β); Το μέτρο του διανύσματος είναι Ε = 4,50 m και η γωνία είναι β=37,0 ο. A) D x = Dcosα = 3,00 m cos 45 o = +2,1 m D y = Dsinα = 3,00 m sin 45 o = 2,1 m B) E x = Esinβ = 4,50 m sin37,0 o = +2,71 m E y = Ecosβ = 4,50 m cos37,0 o = +3,59 m
Χρήση των Συνιστωσών στην άθροιση διανυσμάτων Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις συνιστώσες ενός διανύσματος για να βρούμε το μέτρο και την κατεύθυνση: A = A x 2 + A y 2 και tanθ = Α y A x Το διάνυσμα R είναι το διανυσματικό άθροισμα (η συνισταμένη) των A και B. Η συνιστώσα x του διανύσματος R, ισούται με το άθροισμα των συνιστωσών x των Α και Β. Με την ίδια σχέση συνδέονται και οι συνιστώσες y: R x = A x + B x, R y = A y + B y Για μεγαλύτερο αριθμό διανυσμάτων έχουμε: Έστω R το διανυσματικό άθροισμα των A,B,C,D,E τότε οι συνιστώσες του R είναι: R A B C, R A B C x x x x y y y y Σε τρεις διαστάσεις το μέτρο ενός διανύσματος A είναι: A = A x 2 + A y 2 + A z 2. Ενώ η συνιστώσα του αθροίσματος διανυσμάτων R στον z είναι: R z = A z + B z + C z +
Παράδειγμα: Διάνυσμα σε τρεις διαστάσεις Ένα αεροπλάνο, αφού απογειωθεί, πετάει 10,4 km δυτικά, 8,7 km βόρεια και παίρνει ύψος 2,1 km. Πόσο μακριά βρίσκεται από το σημείο απογείωσης; Βρίσκουμε το μέτρο της συνισταμένης: A = 10,4 km 2 + 8,7 km 2 + 2,1 km 2 = 13,7 km.
Μοναδιαία διανύσματα Ένα μοναδιαίο διάνυσμα είναι ένα διάνυσμα, που έχει μέτρο καθαρό αριθμό ίσο με τη μονάδα. Σ ένα σύστημα συντεταγμένων x-y μπορούμε να ορίσουμε ένα μοναδιαίο διάνυσμα i που έχει την κατεύθυνση του θετικού άξονα x και ένα μοναδιαίο διάνυσμα j που έχει την κατεύθυνση του θετικού άξονα y. Έτσι οι διανυσματικές συνιστώσες A x και A y ενός διανύσματος A μπορούν να εκφραστούν ως: A x = A x i, A y = A y j και A = A x i + A y j Για δύο διανύσματα A και Β που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο A = A x i + A y j και B = B x i + B y j το διανυσματικό τους άθροισμα είναι: R = A + B = A x i + A y j + B x i + B y j = = A x + B x i + A y + B y j = R x i + R y j
Μοναδιαία διανύσματα Αν τα διανύσματα δεν βρίσκονται όλα στο επίπεδο, χρειαζόμαστε μια τρίτη συνιστώσα στον άξονα z R = A x + B x i + A y + B y j + A z + B z k = R x i + R y j + R z k Παράδειγμα: Χρήση των μοναδιαίων διανυσμάτων Αν δίνονται οι δύο μετατοπίσεις D = 6i + 3j k m και E = 4i 5j + 8k m Βρείτε το μέτρο της μετατόπισης F = 2D E. F = 2 6i + 3j k m 4i 5j + 8k m = 8i + 11j 10k m F = 8 m 2 + 11 m 2 + 10 m 2 = 17 m
Γινόμενα διανυσμάτων Το βαθμωτό ή εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων A και B συμβολίζεται με το γινόμενο A B Ισχύει: A B = ABcosφ = A B cosφ Το φ παίρνει τιμές από 0 ο 180 ο. a) Για να ορίσουμε το βαθμωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων A, B τα σχεδιάζουμε με κοινή αρχή. b) Η συνιστώσα του B στην κατεύθυνση του A είναι Bcosφ και το γινόμενο αυτής της συνιστώσας με το μέτρο του A είναι A B. c) Το γινόμενο της συνιστώσας του Α στην κατεύθυνση του Β με το μέτρο του Β είναι επίσης A B.
Βαθμωτό ή εσωτερικό γινόμενο a) Όταν η γωνία φ είναι μεταξύ 0 ο -90 ο το A B είναι θετικό. b) Αν φ είναι μεταξύ 90 ο -180 ο το A B είναι αρνητικό. c) Για κάθετα διανύσματα, φ=90 ο το γινόμενο A B είναι μηδέν. Στη Φυσική για παράδειγμα το έργο W μιας σταθερής δύναμης F που εφαρμόζεται σ ένα σώμα και το μετατοπίζει σε απόσταση s, εκφράζεται με το βαθμωτό γινόμενο: W = F s
Βαθμωτό ή εσωτερικό γινόμενο Αν γνωρίζουμε τις συνιστώσες των A και B στους τρεις άξονες μπορούμε να υπολογίσουμε το βαθμωτό γινόμενο A B Ισχύει: i i = j j = k k = 1 1 cos0 = 1 i j = i k = j k = 1 1 cos90 o = 0 Οπότε A B = A x i + A y j + A z k B x i + B y i + B z k = = A x i B x i + A y j B x i + A z k B x i + A x i B y j + A y j B y j + +A z k B y j + A x i B z k + A y j B z k + A z k B z k = = A x B x + A y B y + A z B z
Το διανυσματικό ή εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων Α και Β συμβολίζεται με A B. Ισχύει: A B = ABsinφ`
Διανυσματικό ή εξωτερικό γινόμενο Για τα μοναδιαία διανύσματα ισχύουν: i i = j j = k k = 0 i j = j i = k j k = k j = i k i = i k = j Το εξωτερικό γινόμενο A B σαν συνάρτηση των συνιστωσών είναι: A B = A x i + A y j + A z k B x i + B y i + B z k = A x i B x i + A x i B y j + A x i B z k +A y j B x i + A y j B y j + A y j B z k +A z k B x i + A z k B y j + A z k B z k = A y B z A z B y i + A z B x A x B z j + A x B y A y B x k A B = i j k A x A y A z B x B y B z
Παράδειγμα: Υπολογισμός βαθμωτού γινομένου Να βρείτε το βαθμωτό γινόμενο A B των δύο διανυσμάτων στο ακόλουθο σχήμα. Τα μέτρα των δύο διανυσμάτων είναι Α = 4,00 και Β = 5,00. Υπάρχουν δύο τρόποι εύρεσης του βαθμωτού γινομένου: Α) A B = ABcosφ = 4,00 5,00 cos77,0 ο = 4,50 Β) πολλαπλασιάζοντας τις συνιστώσες των δύο διανυσμάτων: Τα δύο διανύσματα βρίσκονται στο επίπεδο x-y, επομένως: A x = 4,00 cos53,0 o = 2,407 A y = 4,00 sin53,0 o = 3,195 B x = 5,00 cos130,0 o = 3,214 B y = 5,00 cos130,0 o = 3,830 A B = A x B x + A y B y = 4,50
Παράδειγμα: Εύρεση γωνιών με το βαθμωτό γινόμενο Βρείτε τη γωνία μεταξύ των δύο διανυσμάτων A = 2i + 3j + k και B = 4i + 2j k Η γωνία ισούται με: cosφ = A xb x + A y B y + A z B z AB Από το εσωτερικό γινόμενο: A B = A x B x + A y B y + A z B z = 2 4 + 3 2 + 1 1 = 3 Για τα μέτρα των Α και Β ισχύει: A = A x 2 + A y 2 + Az 2 = 2 2 + 3 2 + 1 2 = 14 B = B x 2 + B y 2 + Bz 2 = 4 2 + 2 2 + 1 2 = 21 Άρα η γωνία είναι: cosφ = 3 14 21 = 0,175 φ = 100ο
Παράδειγμα: Υπολογισμός διανυσματικού γινομένου Το διάνυσμα Α έχει μέτρο 6 μονάδες και βρίσκεται στην κατεύθυνση του άξονα +x. Το διάνυσμα Β έχει μέτρο 4 μονάδες, βρίσκεται στο επίπεδο xy και σχηματίζει γωνία 30 ο με τον άξονα +x. Βρείτε το διανυσματικό γινόμενο A B. Δύο τρόποι για την επίλυση: Α) ABsinφ = 6 4 sin30 o = 12 B) Βρίσκουμε τις συνιστώσες και επιλύουμε τον πίνακα: C = A B = i j k A x A y A z = A y B z A z B y i + A z B x A x B z j + A x B y A y B x k B x B y B z A x =6, A y =0 B x =4cos30 ο =2 3, B y =4sin30 ο =2 C x = 0 0 0 2 = 0 C y = 0 2 3 6 0 = 0 C z = 6 2 0 2 3 = 12 Tο εξωτερικό γινόμενο έχει τη διεύθυνσή του στον άξονα z
Προβλήματα 1. Πρόβλημα: Πρότυπα και μονάδες-συμφωνία μονάδων και μετατροπές. Το Φθινόπωρο του 2002, μια ομάδα επιστημόνων στο Εθνικό Εργαστήριο του Λος Άλαμος βρήκε ότι η κρίσιμη μάζα του ποσειδωνίου -237 είναι περίπου 60 kg. Η κρίσιμη μάζα ενός σχάσιμου υλικού είναι η ελάχιστη ποσότητα που πρέπει να έρθει κοντά ώστε να ξεκινήσει μια αλυσιδωτή αντίδραση. Το στοιχείο αυτό έχει πυκνότητα 19,5 g/cm 3. Ποια θα ήταν η ακτίνα μιας σφαίρας από αυτό το υλικό όταν έχει την κρίσιμη μάζα; 2. Πρόβλημα: Διανύσματα και πρόσθεση διανυσμάτων. Μια σπηλαιολόγος εξερευνά ένα σπήλαιο. Ακολουθεί στοά μήκους 180 μέτρων προς τα δυτικά, μετά διανύει 210 m σε διεύθυνση 45 ο ανατολικά του νότου και μετά 280 m σε 30 ο ανατολικά του βορρά. Μετά από μια τέταρτη μετατόπιση, που δεν τη μέτρησε, βρέθηκε πίσω στο σημείο απ όπου ξεκίνησε. Κάνετε ένα διάγραμμα υπό κλίμακα και προσδιορίστε την τέταρτη μετατόπιση, κατά μέτρο και κατεύθυνση.
3. Πρόβλημα: Διανύσματα και πρόσθεση διανυσμάτων. Κάποιος καθηγητής Φυσικής, που έχασε το δρόμο του, οδηγεί 3,25 km βόρεια, μετά 4,75 km δυτικά και τέλος 1,50 km νότια. Βρείτε το μέτρο και την κατεύθυνση της συνισταμένης της μετατόπισης χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των συνιστωσών. 4. Πρόβλημα: Μοναδιαία διανύσματα. Α) Είναι το διάνυσμα i + j + k μοναδιαίο διάνυσμα; Αιτιολογείστε την απάντησή σας. Β) Μπορεί ένα διάνυσμα να έχει μέτρο μεγαλύτερο της μονάδας; Μπορεί κάποιες συνιστώσες του να είναι αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας σε κάθε περίπτωση. C) Αν A = a 3,0i + 4,0j, όπου η α είναι μια σταθερά, να καθορίσετε την τιμή της α που κάνει το διάνυσμα Α μοναδιαίο.
5. Πρόβλημα: Γινόμενα διανυσμάτων Βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων για κάθε ένα από τα παρακάτω ζεύγη: Α) A = 2,00i + 6,00j και B = 2,00i 3,00j B) A = 3,00i + 5,00j και B = 10,00i + 6,00j C) A = 4,00i + 2,00j και B = 7,00i + 14,00j Για τα δύο διανύσματα της εικόνας βρείτε: α) το μέγεθος και τη διεύθυνση του εξωτερικού γινομένου A B, β) κάντε το ίδιο για το B A. 6. Πρόβλημα: Συνισταμένη διανυσμάτων Ένα πλοίο φεύγει από το νησί Γκουάμ και πλέει 285 km και στις 40 ο βόρεια της δύσης. Προς τα πού πρέπει τώρα να κατευθυνθεί και πόσο μακριά πρέπει να ταξιδέψει ώστε η συνισταμένη μετατόπιση του να είναι 115 km απευθείας ανατολικά της Γκουάμ;