Νίκος Καζαντζάκης (Από τον πρόλογο του Καπετάν Μιχάλη )

Σχετικά έγγραφα
ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

+ + = + + α ( β γ) ( )

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι

(Καταληκτική ημερομηνία αποστολής 15/11/2005)

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx+β=0

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2

Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)!

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων

1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

στους μιγαδικούς αριθμούς

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

2.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0.

Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικών αριθµών. Μιγαδικό επίπεδο. Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικών αριθµών.

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ είναι τέλεια, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = (1 + i) v - (1 - i) v. 15. Αν z μιγαδικός και f (ν) = i

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. (Πρόοδοι) ΠΡΟΟΔΟΙ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεων

2.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

Ε 1. Διαφορικός λογισμός (Κανόνες παραγώγισης)

Η παραπάνω ιδιότητα γενικεύεται και για περισσότερους από δύο πραγµατικούς αριθµούς. Έτσι έχουµε: αβγ α β γ = β β. d a β = α

Δημήτρης Διαμαντίδης, Γεωργία Ευθυμίου, Αναστάσιος Κουπετώρης, Ιωάννης Σταμπόλας. Άλγεβρα Α Λυκείου B ΤΟΜΟΣ

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

(, )

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν.

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου 2016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ˆ ΑΔΒ.

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ. 1. Τι ονομάζουμε σύνολο Μιγαδικών Αριθμών; Τι ονομάζουμε πραγματικό μέρος - φανταστικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού z = α + βi.

4. * Αν α, β, γ, διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε β - α = γ - β. Σ Λ

Α. Οι Πραγματικοί Αριθμοί

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 9 Γενικές ασκήσεις µιγαδικών

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Γραπτές ανακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ 2ο Γυμνάσιο

ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

0..1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει:

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

1. * Η ακολουθία είναι µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν. Ν* Ε. R

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x)

1. [0,+ , >0, ) 2. , >0, x ( )

ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ. ορισµοί. Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (κεφ. 2 )

x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z.

iii. Ακόμα, αλλάζουμε πρόσημα (όλα!) όποτε θέλουμε : α α, α β β α

4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ. Εισαγωγή

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων. Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός }

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 9). Να λυθούν οι εξισώσεις :

Μαθηµατική Επαγωγή 175.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 47) Εισαγωγικό σημείωμα. Λυμένες Ασκήσεις. 2συν x 2συν x 1 συνx συνx 1 x 2κπ, κ οι ζητούμενοι α-

z = =5 ενώ z 1 z 2. (µε απόδειξη) z = z z I. z = z. z 1 z z όπου z 1 =x 1 +y 1 i και z 2 =x 2 +y 2 i σταθεροί z παριστάνει υπερβολή µε z 2

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΑΛΓΕΒΡΑ= = = = = = Α =ΛΥΚΕΙΟΥ

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή,

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος)

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

i) Αν ο φυσικός αριθμός n δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, τότε ο n είναι άρρητος.

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x)f(y)

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

Transcript:

Η ψυχή του αθρώπου γίεται πατοδύαμη, ότα συεπαρθεί από μια μεγάλη ιδέα Τρομάζεις ότα ύστερα από πικρές δοκιμασίες, καταλάβεις πως μέσα μας υπάρχει μια δύαμη που μπορεί α ξεπεράσει τη δύαμη του αθρώπου τρομάζεις γιατί από τη στιγμή που θα καταλάβεις πως υπάρχει η δύαμη αυτή δε μπορείς πια α βρεις δικαιολογίες για τις ασήματες ή άατρες πράξεις σου, για τη ζωή σου τη χαμέη, ρίχοτας το φταίξιμο στους άλλους ξέρεις πια πως εσύ, όχι η τύχη, όχι η μοίρα, μήτε οι αθρώποι γύρα σου, εσύ μοάχα έχεις, ό,τι κι α κάεις, ότι κι α γίεις ακέραιη τη ευθύη Και τρέπεσαι τότε α γελάς, τρέπεσαι α περγελάς α μια φλεγόμεη ψυχή ζητάει το αδύατο Καλά πια καταλαβαίεις πως αυτή είαι η αξία του αθρώπου: α ζητάει και α ξέρεις πως ζητάει το αδύατο και α αι σίγουρος πως θα το φτάσει, γιατί ξέρει πως α δε λιποψυχήσει α δε ακούσει τι του καοαρχάει η λογική, μα κρατάει με τα δότια τη ψυχή του κι εξακολουθεί με πίστη, με πείσμα α κυηγάει το αδύατο, τότε γίεται το θάμα, που ποτέ ο αφτέρουγος κοιός ους δε θα μπορούσε α το ματέψει: το αδύατο γίεται δυατό Νίκος Καζατζάκης (Από το πρόλογο του Καπετά Μιχάλη )

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Πρόταση στα μαθηματικά είαι κάθε έκφραση που μπορεί α χαρακτηριστεί αληθής ή ψευδής Πχ Η έκφραση «σήμερα είαι Τετάρτη» θεωρείται πρόταση στα Μαθηματικά, εώ η έκφραση «φέρε μου έα ποτήρι ερό» όχι, αφού η πρώτη μπορεί α χαρακτηριστεί ως αληθής ή ψευδής, εώ η δεύτερη όχι Συεπαγωγή και ισοδυαμία: Α η αλήθεια μιας πρότασης Π εξασφαλίζει σε κάθε περίπτωση, τη αλήθεια μιας άλλης πρότασης Π λέμε ότι έχουμε συεπαγωγή Γράφουμε: «Α Π τότε Π» ή «η Π συεπάγεται τη Π» και συμβολίζουμε «Π Π» Πχ Π : Η Μαρία είαι κάτοικος Αθήας Π : Η Μαρία είαι κάτοικος Ελλάδας Α η Π είαι αληθής, τότε είαι και Π, αφού α η Μαρία είαι κάτοικος Αθήας τότε είαι βέβαιο ότι είαι και κάτοικος Ελλάδας Άρα η Π συεπάγεται τη Π, δηλαδή η «Π Π» είαι αληθής Ατίθετα η «Π Π» είαι ψευδής αφού α η Μαρία είαι κάτοικος Ελλάδας δε είαι βέβαιο ότι σε κάθε περίπτωση είαι και κάτοικος Αθήας Θεωρούμε τώρα τις προτάσεις: Π :Το τρίγωο ΑΒΓ έχει δύο πλευρές ίσες και Π : Το τρίγωο ΑΒΓ έχει δύο γωίες ίσες Εδώ η συεπαγωγή «Π Π» είαι αληθής πρόταση, αλλά και η συεπαγωγή «Π Π» είαι αληθής πρόταση, αφού α το τρίγωο έχει δύο ίσες πλευρές θα έχει και δύο ίσες γωίες και ατίστροφα Σ αυτή τη περίπτωση λέμε ότι έχουμε ισοδυαμία Διαβάζουμε: «η Π είαι ισοδύαμη με τη Π» και συμβολίζουμε «Π Π» Άρηση μιας πρότασης: Α έχω μια πρόταση και σχηματίσω τη ίδια πρόταση αλλά με έα από τα αρητικά μόρια, δε ή όχι ή μη τότε έχω τη άρησή της Α μια πρόταση είαι αληθής τότε η άρησή της είαι υποχρεωτικά ψευδής, εώ α η πρόταση είαι ψευδής, η άρησή της είαι υποχρεωτικά αληθής Πχ Π : ο αριθμός είαι άρτιος ( αληθής) Άρηση : ο αριθμός δε είαι άρτιος ( ψευδής) Π : Η Αίγυπτος αήκει στη Ευρώπη (ψευδής) Άρηση : Η Αίγυπτος δε αήκει στη Ευρώπη (αληθής) Οι σύδεσμοι «και» και «ή»: Η πρόταση «Π και Π» είαι αληθής μόο στη περίπτωση που και οι δύο προτάσεις Π, Π είαι αληθείς Πχ Το είαι πολλαπλάσιο του 4 και του 5 είαι ψευδής αφού η πρόταση «το είαι πολλαπλάσιο του 5» είαι ψευδής Εώ η πρόταση «Το τετράγωο είαι ορθογώιο και ρόμβος» είαι αληθής αφού και οι δύο προτάσεις που τη συθέτου είαι αληθείς

Α Π,Π είαι δύο προτάσεις, τότε η πρόταση «Π ή Π» είαι αληθής ότα μία τουλάχιστο από τις δύο είαι αληθής Πχ Έας ακέραιος αριθμός είαι άρτιος ή περιττός Δύο διαφορετικές ευθείες είαι παράλληλες ή τέμοται Ορισμός μιας μαθηματικής έοιας είαι η περιγραφή της με σαφήεια Πχ Άρτιος λέγεται κάθε ακέραιος που είαι πολλαπλάσιο του Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέατι πλευρές του παράλληλες Υπάρχου όμως και έοιες που δε περιγράφοται με απλούστερες Αυτές λέγοται αρχικές έοιες, όπως το σημείο, η ευθεία, το επίπεδο Απόδειξη μιας πρότασης είαι μία διαδικασία που με μια σειρά από λογικούς συλλογισμούς διαπιστώουμε, πέρα από κάθε αμφιβολία, τη αλήθεια της πρότασης Αξίωμα είαι μία πρόταση που δεχόμαστε ότι είαι αληθιή, χωρίς όμως α μπορεί α αποδειχθεί Πχ Από δύο διαφορετικά σημεία διέρχεται μόο μία ευθεία Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς αβισχύει:, α+β=β+α Θεώρημα είαι μία πρόταση που η αλήθεια της μπορεί α αποδειχθεί Πχ Το πυθαγόρειο Θεώρημα Το άθροισμα τω γωιώ οποιουδήποτε τριγώου είαι 80 ο Πόρισμα είαι θεώρημα που προκύπτει ως άμεσο συμπέρασμα κάποιου άλλου θεωρήματος Πχ Στο ισόπλευρο τρίγωο κάθε γωία του είαι 60 ο Προκύπτει από το δεύτερο Θεώρημα που γράψαμε παραπάω Μέθοδοι απόδειξης Ευθεία απόδειξη: Ξεκιάμε από τα δεδομέα (υπόθεση) και με σωστούς συλλογισμούς που βασίζοται σε γωστά θεωρήματα ή αξιώματα ή ορισμούς φτάουμε στο συμπέρασμα Πχ Αποδείξτε ότι α προσθέσουμε δύο άρτιους το αποτέλεσμα είαι άρτιος ακέραιος ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Α αβ, άρτιοι, τότε είαι α = κ και β = λ ( γιατί είαι πολλαπλάσια του ) Άρα: α+β= κ+ λ= ( κ+λ ), δηλαδή ο α+β είαι και αυτός πολλαπλάσιο του, άρα είαι άρτιος Απαγωγή σε άτοπο: Υποθέτουμε ότι δε ισχύει το συμπέρασμα που πρέπει α αποδείξουμε, δηλαδή δεχόμαστε τη άρηση της αποδεικτέας πρότασης και με μία σειρά ορθώ συλλογισμώ οδηγούμαστε σε συμπέρασμα που έρχεται σε ατίθεση με τη λογική (άτοπο) Πχ Αποδείξτε ότι η εξίσωση + = 0 δε έχει ρίζα το ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Έστω ότι το είαι ρίζα της, άρα τη επαληθεύει, δηλαδή + = 0 = 0 άτοπο Άρα το δε είαι ρίζα της εξίσωσης

Aλγεβρα Α Λυκείου Μαθηματικά Α' Λυκείου Ταυτότητες - Παραγοτοποίηση Δυάμεις Α Ορισμός: Β Ιδιότητες: α =α α α α µ +µ α α =α α α µ ( - φορές) = α µ µ µ α α ( α ) =α = β β α = α =α α ( α β ) =α β α β 0 α = β = α Σημείωση: + = εώ = Ταυτότητες ( α+β ) =α + αβ+β και α β = α β α+β ( α+β ) =α + α β+ αβ +β και α +β = ( α+β)( α αβ+β ) και ( ) α+β+γ ( α β ) = α αβ + β ( )( ) ( α β ) =α α β+ αβ β α β = ( α β)( α +αβ+β ) =α +β +γ + αβ+ βγ+ γα Α α+β+γ= 0 ή α=β=γ τότε: α + β + γ = αβγ (ταυτότητα Euler) Χρήσιμο είαι α θυμόμαστε ότι: + + = ( + ) + 4+ 4 = ( + ) + 6+ 9 = ( + ) 4 + 4+ = (+ ) + + = 4 + = ( )( + + ) + = ( ) 4+ 4 = ( ) 6+ 9 = ( ) 4 4+ = ( ) + = 4 + = ( + )( + )

Aλγεβρα Α Λυκείου Είαι: Πράγματι: και τελικά: µ µ α =α για κάθε α> 0 και µ, θετικούς ακεραίους α = α µ µ µ µ µ α =α α =α µ µ α =α άρα Ταυτότητες - Παραγοτοποίηση µ µ α = α Kαόας Παραγοτοποίησης Για α παραγοτοποιήσω μια αλγεβρική παράσταση κάω με τη σειρά τις εξής εέργειες: Βλέπω μήπως από όλους τους όρους βγαίει κοιός παράγοτας Πχ α +αy α=α ( + y ) Βλέπω μήπως γίεται ομαδοποίηση Πχ α +α y+ + y =α ( + y) + ( + y) = ( + y)( α+ ) Βλέπω μήπως ολόκληρη η παράσταση είαι μία ταυτότητα Πχ 4 5y = ( ) ( 5y) = ( 5y)( + 5y) Βλέπω μήπως έα μέρος της παράστασης είαι ταυτότητα Πχ α + αβ+β = ( α+β) = ( α+β )( α+β+ ) Βλέπω μήπως προσθέτοτας και αφαιρώτας κάποιο κατάλληλο όρο ή διασπώτας κάποιο από τους υπάρχοτες όρους δημιουργείται κάποια ταυτότητα α + αβ β =α + αβ+β β β = ( α+β) 4β = ( α+β) ( β ) = Πχ = ( α+β β)( α+β+ β ) = ( α β)( α+ β) Πχ ( ) ( ) ( )( ) ( ) = + = + = + + = = ( )( + + ) = ( )( + ) Bλέπω μήπως η παράσταση είαι τριώυμο, δηλαδή έχει τη μορφή +α +β, οπότε γράφεται ( + ) ( + ) όπου, είαι δύο αριθμοί με γιόμεο β και άθροισμα α Πχ + = ( )( ) Βρήκα δύο αριθμούς με γιόμεο και άθροισμα - Α δε συμβαίει τίποτα από τα παραπάω, τότε ααπτύσσω τις ταυτότητες, κάω τις επιμεριστικές, κάω τις ααγωγές τω ομοίω όρω και ξεκιώ τη διαδικασία από τη αρχή

Aλγεβρα Α Λυκείου β Α α 0 έχω τη λύση: = α Λύση της εξίσωσης α =β Ταυτότητες - Παραγοτοποίηση Α α= 0 η εξίσωση γίεται: 0 = β οπότε: α β 0 η εξισωση ειαι Α ΥΝΑΤΗ α β = 0 η εξισωση γιεται 0 = 0 και ειαι ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ (Αδύατη σημαίει ότι δε έχει καμία λύση, εώ ταυτότητα σημαίει ότι έχει λύσεις όλους τους πραγματικούς αριθμούς)

ΔΙΑΤΑΞΗ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΘΕΩΡΙΑ) Eίαι: α>β α β> 0 Γεικά: Α α β> 0 τότε α>β Α α β< 0 τότε α<β Α α β= 0 τότε α=β Ιδιότητες α<β α+γ<β+γ και α<β α γ<β γ Α προσθέσω ή αφαιρέσω και στα τα δύο μέλη μιας αισότητας το ίδιο αριθμό δε αλλάζει η φορά της α<β α γ<β γ α γ> 0 ή α<β α γ>β γ α γ< 0 α β α β και α<β < α γ> 0 ή α<β > α γ< 0 γ γ γ γ Α πολλαπλασιάσω ή διαιρέσω και τα δύο μέλη μιας αισότητας με έα θετικό αριθμό τότε η αισότητα δε αλλάζει η φορά της Α όμως πολλαπλασιάσω ή διαιρέσω και τα δύο μέλη μιας αισότητας με έα αρητικό αριθμό τότε η αισότητα αλλάζει φορά α<β Α τότε: α+γ<β+δ γ<δ Μπορώ α προσθέτω κατά μέλη δύο αισότητες της ίδιας φοράς Ατίθετα δε μπορώ α αφαιρώ κατά μέλη αισότητες Α α<β γ<δ τότε: α γ <β δ, μόο α αβγδ,,, θετικοί αριθμοί Μπορώ α πολλαπλασιάζω κατά μέλη δύο αισότητες της ίδιας φοράς υπό τη προϋπόθεση ότι όλα τα μέλη τους είαι θετικά Ατίθετα δε μπορώ α διαιρώ κατά μέλη αισότητες A α<β και β<γ τότε: α<γ (μεταβατική ιδιότητα) Α αβ, θετικοί τότε: α+β> 0 Α αβαρητικοί, τότε: α+β< 0 α Α αβ, ομόσημοι τότε αβ > 0 και > 0 β

α Α αβ, ετερόσημοι τότε αβ < 0 και < 0 β Α αβ, θετικοί, τότε: α<β α <β (Διατηρείται η φορά) Α αβ, αρητικοί, τότε: α<β α >β (Αλλάζει η φορά) Α αβ, θετικοί, τότε: α<β α < β (Διατηρείται η φορά) Α αβ, αρητικοί, τότε: α<β α > β (Αλλάζει η φορά) Α αβ, ομόσημοι τότε: α<β > α β (Αλλάζει η φορά) Α αβ, μη αρητικοί, τότε: α<β α< β (Διατηρείται η φορά) Α αβ, θετικοί, τότε: α<β α <β για κάθε Α περιττός τότε για κάθε αβ, ισχύει: α<β α <β

Άλγεβρα Α Λυκείου Ταυτότητες Παραγοτοποίηση- Διάταξη Ταυτότητες Παραγοτοποίηση " Αυτοί που θα δου καθαρά τη αλήθεια τω μαθηματικώ, θα μπορέσου α θαυμάσου το μεγαλείο και τη δύαμη της φύσης, σ' αυτή τη διπλή απειρία που μας περιτριγυρίζει από πατού και α μάθου από αυτή τη θαυμαστή θεώρηση πώς α γωρίσου το εαυτό τους, βλέποτάς το τοποθετημέο αάμεσα σε μια απειρία και έα τίποτα κίησης, αάμεσα σε μια απειρία και έα τίποτα χρόου Έτσι θα μπορέσου α μάθου α αξιολογού δίκαια το εαυτό τους και α σχηματίζου συλλογισμούς που α αξίζου ε τέλει περισσότερο από όλες τις μαθηματικές γώσεις Blaise Pascal ΑΑ/0 Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: Α) ( ) 5 : Β) ( ) ( ) Γ) ( ) Δ) ( y ) : ( y ) ( ) 4 ( y ) Ε) ΣΤ) α β ( y ) α β α β α γ 4 α β α β Ζ) Η) α β γ β ΑΑ/0Να γίου οι πράξεις: α) ( 5) ( )(+ ) β) ( ) ( ) γ) ( )( + + ) ( ) δ) ( ) ( ) + ε) ( ) ΑΑ/0Δείξτε ότι : Α) ( α ) ( α )( α+ ) + ( α+ ) = 4 Β) ( ) α β ( α β)( α+β ) + ( α+β ) = 4β Γ) ( k + ) ( k + ) = 5( k + )( k ) Δ) ( α+β ) + ( α β) α = 6αβ ΑΑ/04Δείξτε ότι : Α) ( ) ( ) + = ( + ) Β) ( α β) α( α+β ) + 5 α β=β ( α β ) α+β α β Γ) = αβ : 7 9 : α β 5 4

Άλγεβρα Α Λυκείου Δ) ( ) ( ) α 9 + ( α ) = ( α ) ΑΑ/05 Δείξτε ότι : A) B) ( 5α+ 4) ( 4α+ 5) = 9( α )( α+ ) ΑΑ/06Α ( α β ) = ( α +β ) ( αβ ) Ταυτότητες Παραγοτοποίηση- Διάταξη α+β= και αβ =, α υπολογίστε τις παραστάσεις: α) α +β β) α +β ΑΑ/07Α α+β+γ= 0 αποδείξτε ότι : ΑΑ/08Δείξτε ότι : ( ) ( )( ) ( ) ΑΑ/09Δείξτε ότι : α + β = γ αβ λ+ + λ+ 6 λ + 6 λ = 64 ( ) α+β ( α β ) + ( α β)( α+β ) =α( β+α ) +β( α β ) ΑΑ/0Δείξτε ότι α ( ) ΑΑ/Α) Α Β) Α y + y = ( + y) τότε = y 4 + 4= 0 δείξτε ότι y = ή y = + 4 5 6 9 0 α αβ+ β β+ = βρείτε τα, α β Να παραγοτοποιηθού οι παραστάσεις: ΑΑ/ Α) 4 + 0y Β) y + 6y+ y Γ) ( + y) α+ ( + y) β Δ) 5 α( y) + β( y ) ΑΑ/ Α) 8+ 8y+α +α y Β) Γ) α +α y+β +β y+γ +γ y Δ) ΑΑ/4 Α) α +αβ+α+β α +α y +β +β y αy α + y Β) 5 + 0 Γ) 6 + λ + 8λ + 4λ Δ) 5 y + 0y + 5 y 4y y ΑΑ/5 Α) Γ) 4y Β) 4 4 Δ) ΑΑ/6 Α) yz 4 9y 6 6 49y Β) (5 6) 6y Γ) ( ) 5 Δ) α 5α y ΑΑ/7 Α) Γ) 4 α 0α+ 5 Β) 9α 6α+ 4 + 4 Δ) 4 y y + 9 ΑΑ/8 Α) 4+ 4 y Β) y + y α

Άλγεβρα Α Λυκείου Γ) Ταυτότητες Παραγοτοποίηση- Διάταξη + + (4α 4α+ ) Δ) 6α + 6 9 ΑΑ/9 Α) Γ) 7 Β) 8 α Δ) ΑΑ/0 Α) Γ) 9 6 + y + y Β) y + 4y Δ) ΑΑ/ Α) Γ) y α + β αβ Β) 8y 6 ( + ) 8 y + α + αβ + β y + y 4 + Δ) αβ ( + y ) + y( α + β ) ΑΑ/ Α) + y y Β) y y Γ) α +β αy β y Δ) ( + 9) 6 ΑΑ/Α) Δ) Ζ) 5+ 4 B) + Γ) 8 Ε) ΣΤ) + 8 4 y y α + y α y + Η) ( ) ( ) Θ)( α + ) ( + 4) ( α + 6) Ι) ( ) ΑΑ/4Α) ( ) (6 5 ) ( 5) Β) ( y ) ( y ) ( 4 y) Γ) ( y) ( y) ( y ) Δ) ( ) ( + ) + ( ) α +β γ 4α β + + (με ταυτότητα Euler) + + + + + + + + + α y = ΑΑ/5 Απλοποιήστε τις παραστάσεις: 5 + Α) Β) 5 + 4+ + Δ) 9 Ε) ( ) ΑΑ/6 Να γίου οι πράξεις: Α) + + Β) α αβ β α +β Δ) ( α β ) + αβ Γ) ΣΤ) 8 7 49 + 9 6+ 9 y + y + y 9 Γ) α α α α+ α α Ε) α β : α β + α+β α β α β α+β

Άλγεβρα Α Λυκείου Ταυτότητες Παραγοτοποίηση- Διάταξη +α Ζ) : Η) y y α +α y ΑΑ/7 Να γίου οι πράξεις: Α) + + : y y y y + Β) Γ) + + + 4 6 + 4 Δ) + Ε) + + + + ΣΤ) + + ( α β)( β γ) ( β γ)( γ α) ( γ α)( α β ) Διάταξη ΑΑ/8Να δείξετε ότι α >α α+ α α> ΑΑ/9Να δείξετε ότι: Α) για κάθε + α β Β) α+ για κάθε α> 0 Γ) + για κάθε αβ, ομόσημους α β α ΑΑ/0Να δείξετε ότι α 6α+ 0 > 0 και 4α 4α+ > 0 ΑΑ/Να δείξετε ότι α α+ > 0 και 0α 6α+ > 0 ΑΑ/ Να δείξετε ότι: A) α + β αβ + α + 0 Β) α +β + 8 4( α β ) Γ) α +β + α+β Δ) ( ) ( ) α+ + α>α( α+ 5) Ε) α +α+ > 0 ΣΤ) α α+ > 0 Ζ) Να δείξετε ότι α +β +γ +αβ+βγ+γα 0 (Πολλαπλασιάστε με το ) αβ α + β ΑΑ/Να δείξετε ότι α+β 4 α α+β> 0 α+ β+ ΑΑ/4Να δείξετε ότι < α β α α>β> 0 ΑΑ/5Nα δείξετε ότι: Α) + 4 α β α+β α αβ>, 0

Άλγεβρα Α Λυκείου ( + Β) ) 4 Ταυτότητες Παραγοτοποίηση- Διάταξη > + Γ) ( ) ( ) ( ) ΑΑ/6A) Α > α αποδείξετε ότι B) A α β= 4 δείξτε ότι: α +β β α β α β + < α +β 8 ΑΑ/7Α) Α α< <β α αποδείξετε ότι αβ + 4< ( α + β ) Β) Α α> και β> δείξτε ότι αβ + > α + β ΑΑ/8Α) Α β α αποδείξετε ότι β β β Β) Α α> >β δείξτε ότι α + β > + αβ Γ) Α α δείξτε ότι α + α +α ΑΑ/9Α α> δείξτε ότι : ΑΑ/40Α α+ β> 0 δείξτε ότι : α+ + α+ α + β αβ 8 α+ β ΑΑ/4Α)Δείξτε ότι + y + 0 Β) Α + y + = 0 βρείτε τους y, Δ) Α y y 8 + + 7 0 βρείτε τους y, ΑΑ/4Α)Δείξτε ότι Β) Α Γ) Α α +β α+ β+ α +β α+ 4β+ 5= 0 βρείτε τους, 4 5 0 α β 9α 6α+β β+ 0 βρείτε τους α, β ΑΑ/4Αποδείξτε ότι α +β α+β ΑΑ/44 Αποδείξτε ότι ( α +β ) ( + y ) ( α +β y) ΑΑ/45Α) Α 0 αβ < α συγκρίετε τους αριθμούς: α 4 4 Α= + β αβ και 4 β 4 Β= α αβ Β) Α α<β α συγκρίετε τους αριθμούς: ΑΑ/46 Α α β α δείξετε ότι α β αβ βα Α=α β και ΑΑ/47Α < < μεταξύ ποιω αριθμώ βρίσκοται οι: Β = αβ α β

Άλγεβρα Α Λυκείου Α) Β) 4 Γ) ΑΑ/48Α Ταυτότητες Παραγοτοποίηση- Διάταξη + Δ) < < και < y < μεταξύ ποιώ αριθμώ βρίσκοται οι: Α) + y Β) y Γ) + y Δ) y Ε) + y ΑΑ/49 Α < < και 0< y < μεταξύ ποιώ αριθμώ βρίσκοται οι: y y Α) + y Β) y Γ) + Δ) Ε) y +

AΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ (ΘΕΩΡΙΑ) α, α α 0 Ορισμός (Αλγεβρικός): α= α, α α < 0 Δηλαδή η απόλυτη τιμή εός πραγματικού αριθμού είαι ο εαυτός του α είαι θετικός ή μηδέ, ή ο ατίθετός του α είαι αρητικός Ορισμός (Γεωμετρικός) Οομάζουμε απόλυτη τιμή εός πραγματικού αριθμού α τη απόστασή του από τη αρχή Ο του άξοα τω πραγματικώ αριθμώ (Για τη ακρίβεια τη απόσταση του σημείου που ατιστοιχεί στο α από το σημείο που ατιστοιχεί στο μηδέ) Δηλαδή: α = ( ΟΑ ) O(0) A(α) Ιδιότητες α 0 για κάθε α (Η απόλυτη τιμή είαι μη αρητικός αριθμός) α α και α α για κάθε α α =α για κάθε α α = α για κάθε α Α θ> 0 είαι: = θ = θ ή= θ = α = α ή= α α+β α + β, για κάθε α, β (Το ίσο ισχύει α τα αβ, είαι ομόσημοι) α β = α β, για κάθε α, β α α = β β, για κάθε α, β Α θ> 0 είαι: >θ >θ ή< θ Α θ> 0 είαι: <θ θ< <θ Η απόλυτη τιμή της διαφοράς δύο πραγματικώ αριθμώ εκφράζει τη απόστασή τους στο άξοα τω πραγματικώ αριθμώ, δηλαδή: d, = ( )

Αποδείξεις Α) α β = α β, για κάθε α, β Απόδειξη: ( ) ( ) α β = α β α β = α β α β = α β α β = α β που ισχύει Αάλογα αποδεικύεται και η ιδιότητα: α α = β β Β) Α θ> 0 είαι: <θ θ< <θ Απόδειξη: <θ <θ <θ θ < 0 ( θ )( +θ ) < 0, Άρα οι θ, +θ είαι ετερόσημοι και επειδή θ< +θ θα είαι: θ< 0 και +θ> 0, δηλαδή: <θ και > θ και τελικά: θ < < θ Γ) Α θ> 0 είαι: >θ >θ ή< θ Απόδειξη: Η αίσωση: >θ με θ> 0, αληθεύει εκεί που δε αληθεύει η αίσωση θ, δηλαδή δε αληθεύει στο διάστημα [ θ, θ ] Άρα αληθεύει για >θ ή < θ Δ) α+β α + β, για κάθε α, β Απόδειξη: α+β α + β α+β α + β α+β α + αβ + β ( ) ( ) α + αβ + β α + αβ + β αβ αβ αβ αβ που ισχύει

Άλγεβρα Α Λυκείου Παγίδες στα απόλυτα = ΑΔΥΝΑΤΗ ΠΑΓΙΔΕΣ ΣΤΑ ΑΠΟΛΥΤΑ Μου δίου έα απόλυτο α ισούται με έα αρητικό αριθμό Αυτό όμως είαι αδύατο αφού η απόλυτη τιμή είαι μη αρητικός αριθμός + y = 0 = 0 και y = 0 = και y = Μου δίου το άθροισμα δύο μη αρητικώ αριθμώ α είαι μηδέ Αυτό μπορεί α γίει μόο α και οι δύο είαι μηδέ = y+ = 0 και y+ = 0 = και y = Μου δίου έα αριθμό μεγαλύτερο ή ίσο του μηδεός α ισούται με έα αριθμό μικρότερο ή ίσο του μηδεός Αυτό είαι δυατό μόο α και οι δύο είαι μηδέ (Θα μπορούσα α τα περάσω όλα στο πρώτο μέλος και α έχω τη προηγούμεη περίπτωση) < 0 ΑΔΥΝΑΤΗ < ΑΔΥΝΑΤΗ Μου δίου μια απόλυτη τιμή α είαι μικρότερη από το μηδέ ή από έα αρητικό αριθμό Αυτό όμως είαι αδύατο αφού η απόλυτη τιμή είαι αριθμός μη αρητικός + 0 Ισχύει για κάθε 4 > Ισχύει για κάθε Μου δίου μια απόλυτη τιμή α είαι μεγαλύτερη ή ίση με το μηδέ ή μεγαλύτερη από έα αρητικό αριθμό Αυτό όμως ισχύει πάτα αφού η απόλυτη τιμή οποιουδήποτε αριθμού είαι αριθμός μη αρητικός 0 = 0 = Μου δίου μια απόλυτη τιμή α είαι μικρότερη ή ίση με το μηδέ Όμως η απόλυτη τιμή δε μπορεί α είαι μικρότερη από το μηδέ Άρα το μόο που μέει είαι α είαι ίση με το μηδέ > 0 ισχύει για κάθε 0 Μου δίου μια απόλυτη τιμή μεγαλύτερη από το μηδέ Αυτό ισχύει για κάθε αριθμό εκτός από το μηδέ

Άλγεβρα Α Λυκείου Σ-Λ στα απόλυτα ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λάθος (Λ) α+β α + β για κάθε α, β Α + y = 0 τότε = y = 0 H αίσωση 0 είαι αδύατη 4 Ισχύει α β = β α για κάθε α, β 5 6 7 α α = β β για κάθε, α β α =α για κάθε α + = + για κάθε 8 Ισχύει: < για κάθε 9 α+β α β για κάθε α, β 0 Α + 0 τότε = Υπάρχει ώστε = + Α + y = 0 τότε = και y = Είαι: (, ) d = + 4 Α = τότε > 5 Ισχύει 6 =, για κάθε + = + + για κάθε 7 α 0 τότε α< 8 Η ισχύει μόο α = 0 9 Α αβ = αβ τότε αβ, ετερόσημοι 0 Α > τότε < < Α α+β = α + β τότε αβ, ομόσημοι Α α +α= 0 τότε α> 0 Α α<β τότε α<β για κάθε α, β 4 Α α<β τότε α<β για κάθε α, β 5 Ισχύει α = α α και μόο α α= 0 6 Ισχύει α α 0 για κάθε α

Άλγεβρα Α Λυκείου Σ-Λ στα απόλυτα 7 Α = α τότε = α 8 Α < τότε = 0 Α α=β τότε α=β για κάθε α, β Α < τότε < = για κάθε α α =α για κάθε α 4 ( α ) =α για κάθε α 0 α+β = α+ β για κάθε α + ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ Συμπληρώστε τις παρακάτω σχέσεις θέτοτας έα από τα σύμβολα: =, <, >, +, -,,, ± α=α α α 0 A α β 0 τότε α β Α α +α= 0 τότε α 0 4 α α για κάθε πραγματικό α 5 Α τότε 6 Α = 0 τότε 7 =θ = θ ( θ> 0) 8 θ θ < < θ ( θ> 0) 9 α+β α + β για οποιουσδήποτε α, β 0 = τότε για κάθε α α για κάθε πραγματικό α Α ή τότε 4 θ θ ή θ ( θ> 0) 5 y y

Άλγεβρα Α Λυκείου Σ-Λ στα απόλυτα 6 Α y = y τότε y 7 + + 8 αβ α β για οποιουσδήποτε α, β 9 αβ = αβ α αβ, ετερόσημοι 0 α <β α β H ΠΟΔΗΛΑΤΙΣΣΑ Το δρόμο πλάι στη θάλασσα περπάτησα που 'καε κάθε μέρα η ποδηλάτισσα Βρήκα τα φρούτα που 'χε το παέρι της το δαχτυλίδι που 'πεσε απ' το χέρι της Βρήκα το κουδουάκι και το σάλι της τις ρόδες το τιμόι το πετάλι της Βρήκα τη ζώη της βρήκα σε μια άκρη μια πέτρα διάφαη που 'μοιαζε δάκρυ Τα μάζεψα έα έα και τα κράτησα κι έλεγα που 'αι που 'αι η ποδηλάτισσα Τη είδα α περά πάω απ' τα κύματα τη άλλη μέρα πάω από τα μήματα Τη Τρίτη ύχτωσ' έχασα τ' αχάρια της στους ουραούς αάψα τα φαάρια της Οδυσσέας Ελύτης

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΙΣ ΡΙΖΕΣ Τετραγωική ρίζα οστή ρίζα Ορισμός: Οομάζω τετραγωική ρίζα εός μη αρητικού αριθμού α, και συμβολίζω α, έα άλλο μη αρητικό αριθμό που α υψωθεί στο τετράγωο α μου δίει το α, δηλ α = = α, µε α 0, 0 Ορισμός: Οομάζω οστή ρίζα εός μη αρητικού αριθμού α, και συμβολίζω α, έα άλλο μη αρητικό αριθμό που α υψωθεί εις τη -στή δύαμη α μου δίει το α, δηλ α = = α, µε α 0, 0 Μέθοδος: Για α βρω τη -οστή ρίζα εός θετικού αριθμού α σκέπτομαι: «Ποιος θετικός αριθμός υψώεται εις τη -οστή δύαμη και μου δίει α ;» Εαλλακτικός ορισμός: Εαλλακτικός ορισμός: Α α 0, η α παριστάει τη μη Α α 0, η α παριστάει τη μη αρητική λύση της εξίσωσης: = α αρητική λύση της εξίσωσης: = α Σηματική σημείωση: Ό,τι είαι κάτω από ρίζα και ό,τι είαι αποτέλεσμα ρίζας πρέπει α είαι μη αρητικό Έτσι α έχω α= πρέπει α 0 και 0 Ιδιότητες Α α 0, β 0, ( α ) = α αλλα α β = α β και α = α α = β ε ισχύει : α+β = α+ β α<β α< β α β Ιδιότητες Α α 0, β 0, ( ) α =α α β = α β ε ισχύει : αλλα α = α α β και = α β α+β = α+ β α<β α< β Επιπλέο ιδιότητες Α α 0 και µ, θετικοί ακέραιοι, τότε: µ α= µ α και Α αβ, 0 και, α = α και κ κ θετικοί ακέραιοι: ( ) κ ρ µρ µ α = α α β = α Λύση της εξίσωσης: = α Α άρτιος και α θετικός Α άρτιος και α αρητικός =α =± α =α Αδύατη Α περιττός και α θετικός Α περιττός και α αρητικός =α = α =α = α v Α περιττός, τότε: =α =α Α άρτιος, τότε: = α = ±α µ µ µ α = α v µ, α α 0 εώ α = α, α α< 0 β

Άλγεβρα Α Λυκείου Aπόλυτες τιμές Απόλυτες τιμές-ρίζες "έας παράγοτας που μέει σταθερός παρ' όλες τις καμπές της ιστορίας της φυσικής επιστήμης είαι η αποφασιστική σημασία της μαθηματικής φατασίας" Freeman Dyson ΑB/0 Βρείτε τις τιμές που παίρει ο α: Α) = Β) = Γ) = 4 ΑB/0Α) Α < < απλοποιήστε τις παρακάτω παραστάσεις αφού βγάλετε τα απόλυτα: Α= +, Β= +, Γ= 4 Β) Α 0< < απλοποιήστε τη παράσταση: Ζ= + Γ) Α 0 <α<β<γ απλοποιήστε τις παραστάσεις: Α= α β + γ β, Β= α β + α+β, Γ= α β + β γ + γ α, = α β α+, Ε= α( α β) β+ ΑB/0 Απλοποιήστε (γράψτε χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής) τις παρακάτω παραστάσεις: Α= + +, Β= +, Γ= +, = +, Ε= +, Ζ= + +, Η= +, ΑB/04 A) Bρείτε τα, Θ= y α + y 4 = 0 + B) Bρείτε τα y, α + y 4 + y 5 = 0 ΑB/05 Α) Α 4 μεταξύ ποιω αριθμώ βρίσκοται το και το + ; Β) Α 5 μεταξύ ποιω αριθμώ βρίσκοται το και το + ; Γ) Α μεταξύ ποιώ αριθμώ βρίσκεται ο + ; ΑB/06 Δείξτε ότι για 0 ισχύει: ΑB/07 Α α 0 δείξτε ότι : ΑB/08 A) Α α+ 4 α+ = α+ α δείξτε ότι : α= + = +

Άλγεβρα Α Λυκείου B) Α 9 = ΑB/09 A) A δείξτε ότι : = = τότε = 4 Β) Δείξτε ότι: > < Γ) Α 6 = δείξτε ότι: = Δ) Α 6+ < + 4 δείξτε ότι < α ΑB/0 Δείξτε ότι : α + Απόλυτες τιμές-ρίζες ΑB/ Α α< και α+β β<, δείξτε ότι : < + αβ ΑB/ Δείξτε ότι = = = ΑB/ Nα λυθεί η εξίσωση: ΑB/4 Nα λυθεί η αίσωση: + < + και η: ΑB/5 Λύστε τις αισώσεις: Α) + < < +, Β) < y+ω y y ω ΑΒ/6 Υπολογίστε τη παράσταση: Α= + + y ω y ω y Εξισώσεις με απόλυτα ΑΒ/7Να λυθού οι εξισώσεις: Α) 6= 0 Β) = 5 Γ) = Δ) = ΑΒ/8Όμοια τις εξισώσεις: Α) = +, Β) = 4, Γ) + = Γ) d(,5) = 0 ΑΒ/9Όμοια τις εξισώσεις: Α) 7 4 5 ΑΒ/0Όμοια τις εξισώσεις: = + Β) + + = 5

Άλγεβρα Α Λυκείου Απόλυτες τιμές-ρίζες Α) + = Β) + + + = 5 0 + + + 4 4 Γ) = Δ) + = 5 0 6 Ε) 4 + = + ΣΤ) = Z) + = Να λυθού οι παρακάτω εξισώσεις: ΑΒ/Α) 5 ΑΒ/Α) 4 + = Β) + = 5 + = + Β) + 5= 0 Γ) + + 5 = Δ) 4 + = Ε) d( ) d( ), +, = ΣΤ) + + = 5 Z) + = H) + = Θ) = Ι) 6+ 9 = ΑΒ/Α) 4 = Β) + = ΑΒ/4Α) ΑΒ/5Α) + = Β) = ( )( ) Γ) + = 7 4 = Β) = (Διακρίω περιπτώσεις για το ) + ΑΒ/6Α) 4 + = + Β) + = Γ) = Αισώσεις με απόλυτα Να λύσετε τις αισώσεις: ΑΒ/7Α) < 4 Β) Γ) 9 ΑΒ/8 Α) < Β) Γ) + 0 ΑΒ/9Α) ΑΒ/0Α) ( 4) 5 + > Δ) 0 < < Β) < + < 5 Γ) + < Β) + < Γ) = + Β) + 0 5 4 ΑΒ/Α) 7 4 5

Άλγεβρα Α Λυκείου ΑΒ/ Α) 8 Β) Απόλυτες τιμές-ρίζες < + + + + 4 4 Γ) + > 5 0 6 < Β) 4 7 + > 4 5 0 + > Δ) 4 < Γ) + < 4 4 ΑΒ/ Α) 6 Γ) ΑΒ/4 Α) < <, Β) < < 5 Γ) < < Δ), Ε) 5 < ΣΤ) 4 < ΑB/5 Nα αποδειχθεί ότι: Α) Αποδεικτικές + y + y (Υψώστε στο τετράγωο) Β) αβ + αβ α β + α β (Περάστε τα μπροστά και παραγοτοποιήστε) Γ) Δείξτε ότι αβ α β α α Δ) Δείξτε ότι α + α αα +α ΑB/6 Α) Α α+ β < α+ β δείξτε ότι: α>β Β) Α α+ < α+ δείξτε ότι: α< Γ) Α α β < β α α δείξετε ότι β<α ΑB/7 A αβ, 0 τότε: Α) Α α+β = α + β δείξτε ότι αβ, ομόσημοι Β) Α α+β = α β δείξτε ότι αβ, ετερόσημοι ΑB/8 Α και y α αποδείξετε ότι: Α) + 4 Β) + y 8 Γ) 4 y 0 Δ) y 7 + + Ε) + y 7 α ΑB/9 Δείξτε ότι: Α) α { } για, και Γ) για κάθε α 0 Β) 6 + 5 για { 0,} + ΑB/40 Α α β και β γ δείξτε ότι : α γ

Άλγεβρα Α Λυκείου ΑB/4 Δείξτε ότι: y y αισότητα) ΑB/4 Δείξτε ότι: + Απόλυτες τιμές-ρίζες + (Χρησιμοποιήστε τριγωική y + y + y Ρίζες (Με τριγωική αισότητα) "Όσοι δε γωρίζου μαθηματικά είαι δύσκολο α ιώσου τη ουσία και τη ομορφιά, τη βαθύτερη ομορφιά της φύσης " Richard Feynman ΑB/4 Για ποιες τιμές του ορίζοται οι παραστάσεις Α= 4 + Β= 6 0 Γ= + ΑB/44 Α) Δείξτε ότι: ο 5 = + + είαι η τετραγωική ρίζα του + 4 5 Β) Δείξτε ότι: ο + είαι η κυβική ρίζα του 7+ 5 4α 4 ΑB/45 Απλοποιήστε τις παραστάσεις: Α) ( 9α ) Β) 5 Γ) ( α ) 6 Δ) ( α ) 8 Ε) 4 6 ΣΤ) y ΑB/46 Βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ορίζoται οι παραστάσεις: Α= + +, Β= + Γ= + ΑB/47 Απλοποιήστε τη: Α= ΑB/48 Απλοποιήστε τη Α= 4 5 = 5 + 6 + 9 6 + 9 + ( ) 4+ 4 α < α < < ΑB/49 Υπολογίστε τις παραστάσεις: Α= 8 + Β= 4 7 4+ 7 Γ= 5 8 4 8 + 4 ΑB/50Απλοποιήστε τις παραστάσεις: Α) 4 6 + 5 7 8 8 Β) ( 0 5) ( ) + Γ) 4 9 + 6

Άλγεβρα Α Λυκείου ΑB/5 Υπολογίστε τις ( + ) και ( ) παράσταση: Α= 9 + 6 + 9 6 ΑΒ/5Να λυθεί η εξίσωση: Όμοια η + + 4 + 4 + = 4 ΑΒ/5Να λύσετε τις εξισώσεις: Απόλυτες τιμές-ρίζες και απλοποιήστε τη 6 + 9 + + 4 + 4 = 7 Α) + = και Β) 6+ 9 = AB/54 Να τραπού οι παρακάτω παραστάσεις σε ισοδύαμες χωρίς ρίζες στο παροομαστή (ρητοποίηση παροομαστή) 7 4 Α) Β) Γ) Δ) Ε) 5 + ΣΤ) Ζ) Η), ρητός + + + + 7 4 7 5 ΑB/55 Δείξτε ότι: + = 7 7 + Όμοια δείξτε ότι + = 0 5 6 5+ 6 ΑB/56 Nα γίου οι πράξεις: 7 Α) + + + Β) ( ) ( ) ΑB/57 Γράψτε με τη μορφή μιάς ρίζας τις παραστάσεις: Α) Β) 4 Γ) ΑB/58 Βρείτε τα εξαγόμεα: Α) 6 Β) 4 Γ) ΑB/59 Να λυθεί η εξίσωση: ( ) ( ) 0 Δ) 5 5 5 7 0 5 α α α + = α+β ΑB/60 Δείξτε ότι : A), α, β> 0 Β) αβ + Γ) + με > 0 Δ) +α α με α> 0 Ε) + y + y με y 0

Άλγεβρα Α Λυκείου Απόλυτες τιμές-ρίζες ΑB/6 Να συγκρίετε τους αριθμούς: Α) και 5, Β) 5 και +, Γ) 7 + και +, Δ) 5 6 και 7 8 α β ΑB/6Να αποδείξετε ότι : = α+ β α β ΑB/6 Να υπολογίσετε τη παράσταση: Α= 6 4 + ΑB/64 Να λυθού οι εξισώσεις: Α) 6+ 9 = και Β) 4+ 4 = ΑB/65 Α 4 7 4 7 = + : Α) Δείξτε ότι < 0, Β) Υπολογίστε το και Γ) Υπολογίστε το 0 8 + ΑB/66 Απλοποιήστε τη παράσταση: Α= 45 8 + 7

Άλγεβρα Α Λυκείου Εξισώσεις Ασκήσεις στις εξισώσεις Καμιά αθρώπιη έρευα δε μπορεί α οομαστεί αληθιή επιστήμη α δε περά μέσα από μαθηματικές αποδείξεις Leonardo da Vinci Eξισώσεις ου βαθμού Nα λυθού οι παρακάτω εξισώσεις: + + 0 4 + 4 ΑΓ/0Α) = Β) = 6 4 4 ΑΓ/0Α) 5 6 + + 8 = Β) ( ) + 8 = 0 6 4 + 4 ΑΓ/0 Α) = 0 Β) = 5 4 + ΑΓ/04 Α) + = Β) + = + 4 + 5 7 ΑΓ/05 Α) + = Β) + = + + + + + 4 5 ΑΓ/06 Α) = Β) + = + ( + )( ) + ΑΓ/07 Α) + = 0 Β) + = + + 0 ΑΓ/08 Α) Παραμετρικές εξισώσεις λ + = +λ, λ B) ΑΓ/09Α)( ) ( ) ΑΓ/0 ( ) 7 ( 5) λ λ =λ, λ α = α+ α+, α B) λ + 5= λ+, λ λ λ= +, λ ΑΓ/Α) 4 ΑΓ/Α) λ = +λ, λ Β) k k 9 k = +, k k+ = k ( + ), k Β) ( λ 4) = λ λ,λ Γ) λ( λ )( ) = λ+ +, λ +λ +λ Δ) =, λ λ ΑΓ/ Α) ΑΓ/4Α) λ +λ=µ +µ, λ, µ Β) λ + µ=µ + λ, λ =α β, α, β Β) m ( + ) 5m = ( ), m α β

Άλγεβρα Α Λυκείου Εξισώσεις λ λ 4 λ Γ) = 0, λ Δ) = +, λ + 6 ΑΓ/5Να λυθού με τη βοήθεια της ταυτότητας Euler 4 0 + + + = 0 A) ( ) + ( ) + ( ) = B) ( ) ( ) Γ) ( 5 ) + ( ) = 8 ΑΓ/6Α) Να λυθεί η εξίσωση: + = Β) Να λυθεί η εξίσωση: α β α β + = β α,, ΑΓ/7Να λυθεί η εξίσωση: ΑΓ/8Βρείτε το λ ώστε η α είαι αδύατη = λ+ + λ, α, β α β, λ λ ( ) 7λ= (+ 5) ΑΓ/9Βρείτε το λ ώστε η ( λ ) = ( λ )( λ+ ) α έχει μοαδική λύση το ΑΓ/0Α) Α η εξίσωση ( ) 0 α β+ +α+β= έχει περισσότερες από μία λύσεις βρείτε τα α, β Β) Για ποιες τιμές τω λ, µ η εξίσωση ( ) 8 4 8 4( ) ( ) ΑΓ/Α) Α η εξίσωση ( λ +λ ) 004 00 δείξετε ότι η ( ) + λ + + λ = λ µ + µ είαι ταυτότητα; Β) Α η εξίσωση ( ) λ =λ είαι αδύατη εξίσωση ( ) =λ + λ+ είαι αόριστη, α λ + µ= + 5 είαι ταυτότητα δείξτε ότι η λ+µ µ= 0 λ είαι αδύατη ΑΓ/A) Α η εξίσωση ( λ ) 4 =λ λ είαι ταυτότητα, α βρείτε το λ B) Α η εξίσωση ( κ µ ) =κ είαι ταυτότητα, α βρείτε τα κ, µ και α λύσετε τη εξίσωση: λ( κ ) =µ ( +λ) 6, λ Γ) Α η εξίσωση ( λ ) τη εξίσωση: ( ) 9 =λ λ, λ είαι ταυτότητα α λύσετε λ+µ 4 =µ µ, µ

Άλγεβρα Α Λυκείου H εξίσωση ΑΓ/Να λύσετε τις εξισώσεις: A) 5 6 Γ) + = 0, Δ) 5 0 ΣΤ) ( ) 5 0 v = α 4 6 = 0, B) + =, Ε) ( ) 8= 0, + + =, Ζ) ( ) 4 6 = 0, H) ( ) 4 Θ) ( ) 4 5 56 Εξισώσεις 64 = 0, 4 + 8 = 0, 4 4 = Ι) + 7 = 0 ΙΑ) ( + ) 8( + ) = 0 5 9 5 4 ΙΒ) ( + ) = 6+ 48 ΙΓ) 6 + 6 = 0 Δευτεροβάθμιες εξισώσεις ΑΓ/4Να λυθού οι εξισώσεις: α) 6 = 0 β) 5= 0 γ) + = 0 δ) + = 0 ε) + = 0 στ) + 6+ 9= 0 ζ) + = 0 η) 7+ = 0 θ) 5+ 7= 0 ι) 4 + + 9 = 0 ια) 5+ 5= 0 ιβ) = 0 ΑΓ/5Α) ΑΓ/6Α) 4 + 4 + ( ) = 0 Β) + = + ΑΓ/7Α) = 4 + = + 8 + = + 4 8 + = 0 + 4 8 Γ) + = + 4 ΑΓ/8 Α) 7 5 5 ΑΓ/9 Α) ΑΓ/0 Α) ( )( + ) = 4 4 + Β) + = + Β) = + + + + + 4 Β) + = + 4 + + 4 Β) + = 9 B) + = 9 + 4 + 5 Δ) + = ( + ) ( ) ΑΓ/Να λυθού οι εξισώσεις: α) + 4 = ( )( ) β) ( )( + ) 4= ( ) + γ) ( + ) + ( ) = ( ) ( + + ) δ) ( + ) 6 = ( ) +

Άλγεβρα Α Λυκείου Εξισώσεις ε) 0 = στ) + + = 6 4 6 ΑΓ/Να λυθού οι εξισώσεις: α) 8 = 0 β) = 0 γ) + ( + ) + 6 = 0 δ) ( )(+ ) = 6 ΑΓ/ Να λυθού οι εξισώσεις: α) 4α + α = 0, α 0 β) + α +α β = 0 γ) ( α 9 β) αβ= 0 δ) αβ + α β = 0 ΑΓ/4Να βρεθεί ο λ α η εξίσωση λύση το ΑΓ/5Nα λυθεί η εξίσωση k k ( λ + ) + ( λ+ ) = 0 έχει ( + ) + = 0 ΑΓ/6A) Να αποδείξετε ότι για κάθε λ η εξίσωση ( λ ) +λ λ+ = 0 έχει μια διπλή ρίζα B) Bρείτε το λ α η εξίσωση +λ = 0 έχει διπλή ρίζα τη οποία και α βρείτε ΑΓ/7 Α) Για ποιες τιμές του k η εξίσωση είαι δευτεροβάθμια; Β) Για ποιες τιμές του k η εξίσωση k ( k ) + k = 0 έχει μια διπλή ρίζα; Γ) Bρείτε το λ α η εξίσωση + ( λ ) +λ = 0 έχει διπλή ρίζα ΑΓ/8 Α) Για ποιες τιμές του k η εξίσωση είαι δευτεροβάθμια; Β) Βρείτε το λ ώστε η εξίσωση (λ+ ) ( λ+ ) +λ+ = 0 α έχει μία διπλή ρίζα η οποία και α βρεθεί Γ) Βρείτε το λ ώστε η εξίσωση + λ = 0 α είαι αδύατη ΑΓ/9Α) Βρείτε τα, α β ώστε η εξίσωση ( α+β ) +α+ = 0 α έχει μοαδική ρίζα το Β) Βρείτε τα α, β ώστε η εξίσωση + 8α 4+ 5β 0 = 0 α έχει μοαδική ρίζα το μηδέ ΑΓ/40 Βρείτε το λ με λ ώστε η εξίσωση : ( λ ) + +λ+ 4 = 0 α έχει διπλή ρίζα η οποία και α βρεθεί ΑΓ/4 Α) Βρείτε τα, α β ώστε η εξίσωση α έχει μοαδική ρίζα το ( β+ ) +α = 0

Άλγεβρα Α Λυκείου Β) Βρείτε το λ α η εξίσωση ( ) άισες ρίζες Εξισώσεις + λ+ +λ λ+ = 0 έχει δύο ΑΓ/4 Βρείτε τις τιμές του λ α η εξίσωση 0 + λ+ +λ=, έχει δύο άισες ρίζες Για τις παραπάω τιμές του λ βρείτε τη τιμή της παράστασης: Α= λ + 6λ+ 9 + λ λ+ ΑΓ/4 Δίεται η εξίσωση ( λ ) + λ= 0 (), όπου λ Α) Να βρείτε για ποια τιμή του λ η εξίσωση () έχει ρίζα το Β) Να βρείτε για ποιές τιμές του λ η εξίσωση () έχει δυο άισες πραγματικές ρίζες, Γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ ισχύει + > ΑΓ/44 Α, οι ρίζες της εξίσωσης + 0 = 0, α υπολογιστού οι παραστάσεις: A) S = + B) P= Γ) + Δ) ( ) Ε) + ΣΤ) + ΑΓ/45 Α, οι ρίζες της εξίσωσης + k = 0 βρείτε το k ώστε αισχύει: + = ΑΓ/46 Bρείτε το λ ώστε για τις ρίζες της εξίσωσης : 5λ +λ+ = 0 α ισχύει: + = 0 ΑΓ/47 Bρείτε το λ ώστε για τις ρίζες της εξίσωσης : ( λ ) +λ= 0 α ισχύει: + = ΑΓ/48 Προσδιορίστε τις τιμές του α ώστε οι ρίζες της εξίσωσης ( α ) ( α+ ) = 0 α έχου άθροισμα τετραγώω ίσο με 9 ΑΓ/49 Βρείτε το 0 k α στη εξίσωση k ( + k) + k + = 0 το άθροισμα τω λύσεώ της είαι διπλάσιο από το γιόμεο τους ΑΓ/50Βρείτε τη εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες : α) = και = β) = και = + γ) =α+β και =α β

Άλγεβρα Α Λυκείου ΑΓ/5 Α, οι ρίζες της εξίσωσης εξίσωση με ρίζες τους αριθμούς: α) Εξισώσεις 5 7 = 0 α βρεθεί και β) και ΑΓ/5 Βρείτε το k ώστε η εξίσωση 5k + 0 = 7 α έχει ρίζες ατίθετες ΑΓ/5 Βρείτε το k ώστε η ( k + ) (7k + ) + 4k + = 0 α έχει ρίζες ατίστροφες ΑΓ/54 Θεωρούμε τη εξίσωση: ( λ ) +λ = 0, λ Α) Δείξτε ότι έχει πραγματικές ρίζες για κάθε λ Β) Υπολογίστε το άθροισμα S και το γιόμεο P τω ριζώ της Γ) Βρείτε τα λ ώστε + = 0 4 Δ) Βρείτε τα λ ώστε + = 5 ΑΓ/55 Θεωρούμε τη εξίσωση: ( λ+ ) + λ +λ = 0, λ Α) Βρείτε το λ ώστε α έχει πραγματικές ρίζες Β) Υπολογίστε το άθροισμα S και το γιόμεο P τω ριζώ της Γ) Βρείτε τα λ ώστε + = ΑΓ/56 Bρείτε το λ ώστε για τις ρίζες, της εξίσωσης ( λ ) + λ+ = 0 α ισχύει: + + = 7 ΑΓ/57 Bρείτε το λ ώστε η διαφορά τω ριζώ της εξίσωσης : λ +λ+ = 0 α ισούται με ΑΓ/58 Bρείτε το λ ώστε η διαφορά τω ριζώ της εξίσωσης : ( λ+ ) + λ= 0 α ισούται με ΑΓ/59 Θεωρώ τη εξίσωση: ( λ ) +λ = 0, λ Α) Δείξτε ότι η εξίσωση έχει δύο άισες ρίζες για λ Β) Α, οι ρίζες της υπολογίστε τα S = + και P= 4 Γ) Α, οι ρίζες της βρείτε το λ ώστε + = 5 ΑΓ/60 Θεωρώ τη εξίσωση: ( λ+ ) +λ 5 = 0, λ Α) Δείξτε ότι για λ η εξίσωση έχει πάτα δύο άισες ρίζες Β) Α, οι ρίζες της υπολογίστε τα S = + και P= Γ) Α, οι ρίζες της βρείτε το λ ώστε ( ) + ( ) = 0

Άλγεβρα Α Λυκείου Εξισώσεις ΑΓ/6 Θεωρώ τη εξίσωση: λ λ= 0, λ> 0 Α) Δείξτε ότι η εξίσωση έχει πάτα δύο άισες ρίζες Β) Α, οι ρίζες της βρείτε το λ ώστε + = Γ) Βρείτε τη δευτεροβάθμια εξίσωση που έχει ρίζες ρ, ρ ώστε α ισχύου: ρ +ρ = 7+ και ( +ρ ) +ρ ( +ρ ) = 5 ΑΓ/6 Bρείτε τη δευτεροβάθμια εξίσωση που έχει ρίζες, ώστε α ισχύου: = και + = 7 ΑΓ/6 Θεωρούμε τη εξίσωση: + + λ+ = 0 Α) Βρείτε τις τιμές του λ ώστε η εξίσωση α έχει πραγματικές ρίζες Β) Α έχει δύο άισες ρίζες βρείτε το άθροισμά τους και το γιόμεό τους καθώς και το πρόσημο τω ριζώ Γ) Βρείτε το λ α η μία ρίζα είαι τριπλάσια της άλλης Να λυθού οι παρακάτω εξισώσεις: ΑΓ/64Α) ΑΓ/65Α) 0 = 0 Β) 0 + = Β) ΑΓ/66Α) (4 ) + (4 ) 4 = 0 4 ΑΓ/67Α) 7 0 0 Γ) Β) = ( ) + = 4 4 4 + = 0 + + = Β) 5 + 6= 0 4 = Δ) = +

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α +β +γ= Για α λύσουμε τη δευτεροβάθμια εξίσωση: α +β +γ= 0, α 0 υπολογίζουμε τη διακρίουσα: = β 4αγ Α > 0 η εξίσωση έχει δύο άισες πραγματικές ρίζες που δίοται β ± από το τύπο: = α β Α = 0 η εξίσωση έχει μια διπλή πραγματική ρίζα = α (Μπορούμε ισοδύαμα α πούμε ότι έχει δύο ίσες ρίζες) Α < 0 η εξίσωση δε έχει πραγματικές ρίζες (ΑΔΥΝΑΤΗ) 0 ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ Α β= 0 η εξίσωση γίεται: α +γ= 0 οπότε έχουμε: γ = α Τότε: γ Α > 0 α (Πχ τότε έχουμε τις λύσεις: 8 0 4 4 γ Α < 0 α (Πχ = = =± =± ) 9 0 γ =± α τότε η εξίσωση είαι αδύατη + = = που είαι αδύατη) Α γ= 0 η εξίσωση γίεται: ( ) 0 0 (Πχ α +β = 0 οπότε έχουμε: α +β = = ή α +β= 0 = 0 ή β = α + 4 = 0 ( + 4) = 0 = 0 ή + 4= 0 = 0 ή = 4) ΜΕΘΟΔΟΣ Για α έχει η εξίσωση α +β +γ= 0 : Δύο ρίζες πραγματικές και άισες πρέπει: > 0 Μία ρίζα πραγματική διπλή πρέπει = 0 Για α μη έχει πραγματικές ρίζες πρέπει < 0

ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (ΤΥΠΟΙ VIETA) A, ρίζες της εξίσωσης: α +β +γ= 0 με α 0 τότε χωρίς α λύσουμε τη εξίσωση γωρίζουμε το άθροισμα και το γιόμεο τω ριζώ της Συγκεκριμέα: Άθροισμα ριζώ: β S = + = α Γιόμεο ριζώ: γ P= = α β + Απόδειξη: Οι ρίζες είαι: = α β + S = + = β β β = = α α α β και =, οπότε: α ( ) β + β ( β) β β P = = = = = α α 4α 4α β + 4αγ 4 α γ = 4α 4α γ = α ΜΕΘΟΔΟΣ: Α μου δίου τις ρίζες, μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης και μου ζητού τη ίδια τη εξίσωση υπολογίζω το άθροισμα S = + και το γιόμεο P=, οπότε η ζητούμεη εξίσωση είαι: S + P = 0 β γ Πράγματι: α +β +γ = 0 + + = 0 S + P = 0 α α (Πχ Για α βρούμε τη εξίσωση που έχει ρίζες και 5, βρίσκουμε τα S = + 5= 7 και P = 5 = 0 Η ζητούμεη εξίσωση είαι η: S + P = 0 7 + 0 = 0) ΜΕΘΟΔΟΣ Α γωρίζουμε το άθροισμα και το γιόμεο τω ριζώ μπορούμε α υπολογίζουμε διάφορες συμμετρικές παραστάσεις τω ριζώ αυτώ, δηλαδή παραστάσεις που παραμέου ίδιες α ατιμεταθέσουμε τα, Έτσι: ( ) + = + = S P ( ) ( ) + = + + = S PS + S + = = P + S P + = = κτλ P

Θεωρώ τη εξίσωση: α +β +γ= 0 Για α έχει δύο ατίθετες ρίζες πρέπει: > 0 και S = 0 Για α έχει δύο ατίστροφες ρίζες πρέπει: > 0 και P = Για α έχει δύο ομόσημες ρίζες πρέπει: > 0 και P > 0 Για α έχει δύο ετερόσημες ρίζες πρέπει: > 0 και P < 0 Για α έχει δύο θετικές ρίζες πρέπει: > 0, P > 0 και S > 0 Για α έχει δύο αρητικές ρίζες πρέπει: > 0, P > 0 και S < 0 MC Escher

Μαθηματικά Α Λυκείου Αισώσεις ου βαθμού Αισώσεις ΑΔ/0Να λυθού οι αισώσεις: Α) ( ) > + 5 Β) (+ ) ( ) Γ) + + < Δ) 5 0 ΑΔ/0Να βρείτε τις κοιές λύσεις τω αισώσεω Α) ( ) > ( + ) και < 4 4 Β) (4 ) > και > 8 4 4 + 5 5( ) Γ) > και + > 4 6 Μορφές τριωύμου ΑΔ/0Nα παραγοτοποιηθού οι παραστάσεις: A) 7+ 6 Β) + 5+ 7 Γ) + Δ) 6 Ε) + + ΣΤ) 6 7+ Ζ) 5+ Η) 9 6+ Θ) k k Ι) α +α β 4 ΙΑ) 5 + 4 ΙΒ) 4α + α ΙΓ) ( ) α α + +α + α α ΙΔ) ( ) ΑΔ/04Να απλοποιηθού οι παραστάσεις: + Α) Β) + Γ) 4 4+ 6 5+ 6 Δ) Ε) 4 6 ΣΤ) + k k ( λ ) λ Ζ) Η) k k ( λ+ ) +λ Θ) + α +α Ι) α α α αβ β ΙΓ) 4 α + αβ ΙΑ) ΙΔ) α + α +α α 4µ + 4µ +µ 6µ 9 6 + 5+ λ 6λ 7λ + λ α +β αβ ΙΒ) β +β α ΙΕ) 5α + α

Μαθηματικά Α Λυκείου Aισώσεις ου βαθμού Αισώσεις ΑΔ/05Να βρείτε το πρόσημο τω τριωύμω Α) Β) + 5 Γ) 4+ 4 Δ) 4 + 4 Ε) + + ΣΤ) + Ζ) 9 Η) + 4 Θ) 5 ΑΔ/06Να λυθού οι αισώσεις: Α) + 5 < 0 Β) + 9+ 6> 0 Γ) 9< 0 Δ) + + 0 > 0 Ε) + 4 5> 0 ΣΤ) (+ ) < + 4 ΑΔ/07 Λύστε τις αισώσεις: Α) 5 < 0 Β) + 4 0 Γ) 4 < 0 Δ) + + > 0 Ε) + + < 0 ΣΤ) 6+ 9 0 Ζ) 0 Η) < 0 Θ) 5 + 6< 0 Ι) + 0 ΑΔ/08Bρείτε το αριθμό λύσεω της λ ( λ+ ) λ = 0 για τις διάφορες τιμές του λ ΑΔ/09 Προσδιορίστε το λ ώστε η αίσωση + ( λ+ ) + 4 > 0 α ισχύει για κάθε ΑΔ/0 Βρείτε το λ ώστε η εξίσωση λ + ( λ ) +λ= 0 λ 0 α μη έχει πραγματικές ρίζες ΑΔ/ Για τις διάφορες τιμές του λ εξετάστε α έχει ρίζες και πόσες η εξίσωση ( λ ) + ( λ ) +λ+ 4 = 0 ΑΔ/ Βρείτε τις τιμές του λ ώστε α είαι αδύατη η εξίσωση: ( λ ) +λ = 0 ΑΔ/ A) Βρείτε το λ ώστε η εξίσωση ( λ ) λ +λ = 0 α έχει πραγματικές ρίζες Β) Βρείτε το λ ώστε η εξίσωση ( λ ) λ+ 4 = 0, λ α έχει δύο ετερόσημες πραγματικές ρίζες ΑΔ/4 Α α (,) α δείξετε ότι δε υπάρχει πραγματικός αριθμός + ώστε : α= + Να λυθού οι αισώσεις: ΑΔ/5 Α) ΑΔ/6 A) + < Β) ( )( 0+ )( ) < 0 ( 4)(9 )( ) 0 ( ) ( + )( + 5) < 0

Μαθηματικά Α Λυκείου Αισώσεις 5 B) ( ) ( 7+ 6) ( ) < 0 Γ) Δ) ( ) 4 ( ) ( 6 4) 0 Ε) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( 6)( ) 0 + < 0 ΑΔ/7 Να λυθού τα συστήματα: > 0 > 0 < 0 Α) Β) 6 5 0 + + > Γ) > 0 + 5 6 < 0 9 > 0 < 0 < 0 Δ) > 0 Ε) + + > 0 ΣΤ) 7+ 6> 0 < 0 5+ > 0 < 0 ΑΔ/8 Να λυθού οι αισώσεις: Α) 8+ 6 9 Β) < < 5 Γ) < 4< + Δ) < Ε) < ΣΤ) ( ) 4 + 0 ΑΔ/9 Να λυθού οι εξισώσεις: Α) + + = 4 Β) + = Γ) + + = ΑΔ/0 Για ποιες τιμές του λ το τριώυμο: f( ) = ( λ ) 4+λ+ διατηρεί το ίδιο πρόσημο για κάθε ; ΑΔ/A) Bρείτε το λ για το οποίο η εξίσωση : λ + ( λ ) +λ= 0 α έχει δύο ρίζες θετικές B) Bρείτε το λ για το οποίο η εξίσωση : ( λ ) +λ = 0 α μη έχει ρίζες Γ) Βρείτε το λ ώστε η εξίσωση: ( λ ) + ( λ ) + λ= 0 α έχει δύο ρίζες ετερόσημες Δ) Βρείτε το λ ώστε η εξίσωση: ( λ ) + ( λ ) + λ= 0 α έχει δύο ρίζες θετικές ΑΔ/ Θεωρώ το τριώυμο: ( ) f( ) = λ+ +λ + 4λ+, λ Α) Δείξτε ότι το τριώυμο έχει πάτα δύο άισες ρίζες Β) Α, οι ρίζες του βρείτε τα λ ώστε οι, α είαι θετικές

Μαθηματικά Α Λυκείου Γ) Βρείτε τα λ ώστε 9 + + 4 ΑΔ/ Θεωρούμε τη εξίσωση: ( ) 0 Αισώσεις λ+ +λ= Α) Δείξτε ότι η εξίσωση έχει δύο άισες ρίζες για κάθε λ Β) Βρείτε το λ ώστε + < 4 + 6 ΑΔ/4 Θεωρούμε τη εξίσωση: ( λ+ ) +λ = 0, λ Α) Δείξτε ότι έχει πραγματικές ρίζες για κάθε λ Β) Υπολογίστε το άθροισμα S και το γιόμεο P τω ριζώ της Γ) Βρείτε τα λ ώστε < + + + + < 9 ΑΔ/5 Θεωρούμε τη εξίσωση: ( ) 6 0 λ+ +λ+ = Α) Βρείτε το λ ώστε η εξίσωση α έχει πραγματικές και άισες ρίζες Β) Α, οι ρίζες της βρείτε το άθροισμα και το γιόμεό τους και τη τιμή του λ για τη οποία ισχύει: + = Γ) Βρείτε τα λ ώστε + < 4 ΑΔ/6 Θεωρούμε το τριώυμο f( ) =λ 5+ 4 Α) Βρείτε το λ α το τριώυμο έχει διπλή λύση Β) Βρείτε το λ α έχει δύο άισες ρίζες με άθροισμα 5 Γ) Για λ= λύστε τη αίσωση: f( ) < 0 Δ) Λύστε τη αίσωση: f ( ) < 0 Άθη της πέτρας μπροστά στη πράσιη θάλασσα με φλέβες που μου θύμιζα άλλες αγάπες γυαλίζοτας στ αργό ψιχάλισμα, άθη της πέτρας φυσιογωμίες που ήρθα ότα καέας δε μιλούσε και μου μίλησα που μ άφησα α τις αγγίξω ύστερ από τη σιωπή μέσα σε πεύκα σε πικροδάφες και σε πλατάια Γιώργος Σεφέρης

Άλγεβρα Β Λυκείου Πρόοδοι Πρόοδοι "Τα μαθηματικά σωστά ιδωμέα, κατέχου όχι μόο αλήθεια αλλά και εξαιρετική ομορφιά, μια ομορφιά ψυχρή και αυστηρή, όμοια γλυπτού που δε γοητεύει το αδύατο μέρος της φύσης μας, χωρίς τις υπέροχες παγίδες της ζωγραφικής και τις μουσικής, όμως εξαίσια και καθαρή και ικαή για αυστηρή τελειότητα, τέτοια που μόο η μέγιστη τέχη μπορεί α μας προσφέρει" Bertand Russel ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΙΣ ΠΡΟΟΔΟΥΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Μια ακολουθία λέγεται αριθμητική πρόοδος, α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούμεο του με πρόσθεση του ίδιου πάτα αριθμού Δηλαδή: α + =α +ω ή ισοδύαμα: α+ α =ω Ο ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ -ΟΣΤΟΥ ΟΡΟΥ Ο -οστός όρος μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο α και διαφορά ω είαι : α =α + ( ) ω ΑΠΟΔΕΙΞΗ: α =α α =α +ω α =α +ω Οπότε προσθέτοτας κατά μέλη και διαγράφοτας α =α +ω έχουμε: α =α + ( ) ω ΣΥΝΘΗΚΗ ΓΙΑ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΟΙ αβγ,, ΔΙΑΔΟΧΙΚΟΙ ΟΡΟΙ ΑΠ Οι αβγ,, είαι διαδοχικοί όροι ΑΠ με διαφορά ω α και μόο α: α+γ β= ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Α αβγ,, διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε: β=α+ω οπότε αφαιρώτας κατά μέλη έχουμε: γ=β+ω α+γ β γ=α β β=α+γ β= Ατίστροφα: Α α+γ β= τότε: β=α+γ β γ=α β που σημαίει ότι οι αβγ,, είαι διαδοχικοί όροι ΑΠ

Άλγεβρα Β Λυκείου Πρόοδοι ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Μια ακολουθία λέγεται γεωμετρική πρόοδος, α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούμεο του με πολλαπλασιασμό επί το ίδιο πάτοτε μη μηδεικό αριθμό + Δηλαδή: α + =α λ ή ισοδύαμα: α α = λ Ο ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ -ΟΣΤΟΥ ΟΡΟΥ Ο -οστός όρος μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο α και λόγο λ είαι : α =α λ ΑΠΟΔΕΙΞΗ: α =α α =α λ α =α λ Οπότε πολλαπλασιάζοτας κατά μέλη και διαγράφοτας α =α λ έχουμε: α =α λ ΣΥΝΘΗΚΗ ΓΙΑ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΟΙ αβγ,, ΔΙΑΔΟΧΙΚΟΙ ΟΡΟΙ ΓΠ Οι αβγ,, είαι διαδοχικοί όροι ΓΠ με λόγο λ α και μόο α: β = αγ ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Α αβγ,, διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε: β=α λ β α οπότε διαιρώτας κατά μέλη έχουμε: = β = αγ γ =β λ γ β Ατίστροφα: Α διαδοχικοί όροι ΓΠ β = αγ τότε: β = α γ β που σημαίει ότι οι αβγ,, είαι AΘΡΟΙΣΜΑ ΟΡΩΝ ΓΠ Το άθροισμα τω πρώτω όρω ΓΠ με ο όρο α και λόγο λ είαι: λ S = α λ ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Είαι Sv =α +α + +α οπότε:

Άλγεβρα Β Λυκείου S v λ S v =α +αλ+αλ + +αλ και πολλαπλασιάζοτας με λ: =αλ+αλ +αλ + +αλ οπότε αφαιρώτας κατά μέλη: Πρόοδοι λ λs S =αλ α ( λ ) S =α( λ ) S =α για λ λ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΑΠΕΙΡΩΝ ΟΡΩΝ ΓΠ Το άθροισμα τω απείρω όρω ΓΠ που έχει ο όρο α και λόγο λ με α λ< είαι: S =, όπου: λ S =α +α + +α + Σ Λ στις προόδους ) Α οι αβγ,, είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου τότε: αγ = β ) Το άθροισμα τω πρώτω όρω γεωμετρικής προόδου με πρώτο λ όρο α και λόγο λ είαι S v = α v λ ) Ο -στός όρος μιας αριθμητικής προόδου με ο όρο α και διαφορά ω δίεται από το τύπο α = α + ω α+ 4) Η ακολουθία α είαι αριθμητική πρόοδος α το πηλίκο α είαι σταθερό για κάθε θετικό ακέραιο 5) Το άθροισμα πρώτω όρω αριθμητικής προόδου με ο όρο α και διαφορά ω δίεται από το τύπο: S = [ α + ( ) ω ] Αριθμητική Πρόοδος ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΡ/0 Δίεται η ακολουθία,5,8,,4, Δικαιολογήστε γιατί είαι αριθμητική πρόοδος, βρείτε το τύπο του -οστού όρου της και το α 7 ΑΡ/0Δίεται η ακολουθία,,5,, Δικαιολογήστε γιατί είαι αριθμ πρόοδος και βρείτε το -στό και το 9 ο όρο της ΑΡ/0 Α) Bρείτε το -στό και το 4-στό όρο της αριθμητικής προόδου,,5,8,

Άλγεβρα Β Λυκείου Πρόοδοι Β) Bρείτε το -στό και το εικοστό έκτο όρο της αριθμητικής προόδου,9,6,, ΑΡ/04 Α ο 0 ος 7β όρος της αριθμητικής προόδου β,,5 β, ισούται με 5 βρείτε το α 0 και το S ΑΡ/05 A) Βρείτε τη αριθμητική πρόοδο α α α = 5 και α 7 = B) Βρείτε τη αριθμητική πρόοδο α α α 7 = 9 και α 0 = 8 Γ) Βρείτε τη αριθμητική πρόοδο α α α 7 = και α = ΑΡ/06 Α) Α σε μια αριθμητική πρόοδο είαι 7 α = και α 6 = 6 βρείτε το ο όρο το άθροισμα τω πρώτω όρω καθώς και το άθροισμα: S =α 5 +α 6 + +α Β) Α για μια αριθμητική πρόοδο έχω: α9 α 4 = 5 και α 7 = 4α βρείτε α το ΑΡ/07Α) A σε μια αριθμητική πρόοδο είαι 7 5 α = και α =, α βρείτε το ο όρο της και το άθροισμα τω πρώτω όρω της Β) A σε μια αριθμητική πρόοδο είαι α 9 = 5 και S = 65, α βρείτε το 7 ο όρο της και το άθροισμα τω 5 πρώτω όρω της Γ) A σε μια αριθμητική πρόοδο είαι α +α 5 = και α +α 6 =, α βρείτε το ο όρο της και τη διαφορά της, το 7 ο όρο της το άθροισμα τω 7 πρώτω όρω της και το S =α +α + +α 7 ΑΡ/08 Α) Α σε μια αριθμητική πρόοδο είαι 5 4 α = και α = 5, α βρείτε το α 0, το S 0 και το S =α +α + +α 4 Β) Α σε μια αριθμητική πρόοδο είαι α = 7 και α 7 = ποιος όρος της ισούται με 59; ΑΡ/09Α σε μια αριθμητική πρόοδο είαι 6 9 α +α = και α +α 4 = 6, α βρείτε το α, το ω και τα α 0, α και το S =α +α + +α ΑΡ/0Βρείτε τη αριθμητική πρόοδο στη οποία το άθροισμα του 4 ου και ου όρου της είαι 70, εώ η διαφορά του ου από το 8 ο είαι 4 ΑΡ/ Για ποια τιμή του o αριθμητικός μέσος τω 5 είαι ο ; ΑΡ/Για ποια τιμή του oι 5 4 αριθμητικής προόδου; + και, 7, είαι διαδοχικοί όροι

Άλγεβρα Β Λυκείου ΑΡ/Δείξτε ότι για κάθε α, β, γ οι αριθμοί ( α β ) είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ΑΡ/4A σε ΑΠ είαι ( α+β ), Πρόοδοι α +β και α =, α = 4 και α = : Α) Δείξτε ότι = Β) Βρείτε τα α, α και τα S, S Γ) Υπολογίστε το S =α +α 4 + +α Δ) Δείξτε ότι δε υπάρχει όρος της προόδου που α ισούται με 04 ΑΡ/5A) Ο γεικός όρος μιας ακολουθίας είαι α = 4 Να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είαι αριθμητική πρόοδος και α βρείτε το ο όρο και τη διαφορά της B) Ο γεικός όρος μιας ακολουθίας είαι α = Δείξτε ότι η ακολουθία αυτή είαι αριθμ πρόοδος και α βρείτε τα α, ωα, 7 και S ΑΡ/6Ο -οστός όρος μιας ακολουθίας είαι α = 4+ α) Αποδείξτε ότι η ακολουθία είαι αριθμητική πρόοδος β) Υπολογίστε το S 5 και βρείτε ποιος όρος ισούται με 59 ΑΡ/7 Σε έα γυμαστήριο με 0 σειρές καθίσματα η πρώτη σειρά έχει 0 καθίσματα και κάθε σειρά έχει 0 καθίσματα περισσότερα από τη προηγούμεη Α) Να εκφράσετε με μια αριθμητική πρόοδο το πλήθος τω καθισμάτω της -οστής σειράς Β) Πόσα καθίσματα έχει η τελευταία σειρά Γ) Πόσα καθίσματα έχει το γυμαστήριο ΑΡ/8Έας χτίστης κατασκευάζει έα τοίχο από τούβλα Στη η σειρά κάτω βάζει κ τούβλα και στη συέχεια χτίζει άλλες 7 σειρές που κάθε μια τους έχει τούβλο λιγότερο από τη προηγούμεή της Α η 8 η σειρά έχει 0 τούβλα, βρείτε το κ Ο χτίστης είχε αγοράσει 600 τούβλα Του έφτασα για α ολοκληρώσει το έργο του; ΑΡ/9 Σ' έα δρόμο υπάρχου 0 σήματα τοποθετημέα σε ευθεία γραμμή Το πρώτο απέχει από τη αρχή του Α του δρόμου m, το δεύτερο 4m,το τρίτο 7m κοκ Έας υπάλληλος είαι υποχρεωμέος ξεκιώτας από το Α α πάρει έα σήμα κάθε φορά και α το μεταφέρει πάλι στο Α Ποια είαι η συολική απόσταση που θα διαύσει ο υπάλληλος;

Άλγεβρα Β Λυκείου ΑΡ/0Α Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού για τις Πρόοδοι οποίες οι αριθμοί 4, + 4, 4 είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου Β Α ο αριθμός + 4 είαι ο έκτος όρος της αριθμητικής προόδου του (Α) ερωτήματος, α βρείτε το πρώτο όρο της Γ Να βρείτε το άθροισμα τω 0 πρώτω όρω της αριθμητικής προόδου του (Α) ερωτήματος ( ο θέμα Παελλαδικώ Σεπτεμβρίου 000) ΑΡ/Διαθέτουμε 9999 όμοια ατικείμεα τα οποία θέλουμε α συσκευάσουμε σε δέματα έτσι, ώστε το πρώτο δέμα α περιέχει ατικείμεα, το δεύτερο 5, το τρίτο 7 και γεικά κάθε δέμα α περιέχει ατικείμεα περισσότερα από το προηγούμεό του Α Πόσα δέματα θα δημιουργηθού; Β Α η συσκευασία του ου δέματος κοστίζει 00 δρχ του ου 0 και γεικά α η συσκευασία κάθε δέματος κοστίζει 0 δρχ περισσότερο από το κόστος της συσκευασίας του προηγούμεου δέματος, τότε α βρείτε πόσο θα κοστίσει η συσκευασία του δέματος που περιέχει τα περισσότερα ατικείμεα (4 ο θέμα Παελλαδικώ Σεπτεμβρίου 999) Γεωμετρική Πρόοδος ΑΡ/Nα βρείτε το πρώτο όρο μιας γεωμετρικής προόδου, α ο 4 ος 6 όρος της είαι και ο λόγος της 5 ΑΡ/Να βρείτε το λόγο μιας γεωμετρικής προόδου, α ο 4 ος όρος της είαι 4 και ο 7 ος 9 ΑΡ/4 Α) A σε μια γεωμετρική πρόοδο είαι α = και = βρείτε το όρο α 6 Β) Θεωρώ τη γεωμ πρόοδο: 8,4,, Βρείτε το 7 Γ) Θεωρώ τη γεωμ πρόοδο:,,4, 8, Βρείτε το 8 ΑΡ/5 Α) Α σε γεωμ πρόοδο α έχω α = 6 και 5 λ α α και το S 0 α και το S 9 α = βρείτε τα α, λα, 8 Β)Α μια γεωμετρική πρόοδος έχει α = 6 και α 5 = 44, βρείτε α, λα, 6 ΑΡ/6A) Βρείτε τη γεωμ πρόοδο που έχει α 4 = 6 και α 8 = 7

Άλγεβρα Β Λυκείου Πρόοδοι B) A σε γεωμ πρόοδο είαι α = και α 6 = 96 βρείτε τα α 9 και S 8 Γ) Α,6,8,54, ΓΠ, βρείτε το α 5 και S 5 ΑΡ/7Βρείτε το πλήθος τω όρω της γεωμετρικής προόδου,,9,7, μέχρι και το όρο που ισούται με 4 ΑΡ/8Ποιος όρος της ΓΠ με α =, και λ= ισούται με 8 ; ΑΡ/9Βρείτε το πραγματικό, ώστε οι αριθμοί, + και + 9 α αποτελού διαδοχικούς όρους γεωμ προόδου ΑΡ/0Βρείτε το ώστε οι αριθμοί, +, 8 α αποτελού διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου ΑΡ/ Αποδείξτε ότι η ακολουθία α = είαι γεωμ πρόοδος και βρείτε το 5 ο της όρο και το άθροισμα τω 7 πρώτω της όρω ΑΡ/ Α) Υπολογίστε το άθροισμα 4 8 5 S = + + + + + Β)Υπολογίστε το άθροισμα S = + 4 8 + + 64 8 ΑΡ/Α)Βρείτε τη γεωμ πρόοδο για τη οποία ισχύου: α +α 5 = 54 και α +α 6 = 08 Β)Να βρείτε το άθροισμα τω δέκα πρώτω όρω της γεωμετρικής προόδου στη οποία είαι α +α 6 = 7 και α +α 7 = 4 ΑΡ/4Δίεται η ακολουθία με γεικό όρο α = Α) Δείξτε ότι η παραπάω ακολουθία είαι γεωμ πρόοδος της οποίας α βρείτε το λόγο της λ και το πρώτο όρο της Β) Bρείτε το 5 ο όρο της και το άθροισμα τω 7 πρώτω όρω της ΑΡ/5Δίεται η ακολουθία με γεικό όρο α = Α) Δείξτε ότι η παραπάω ακολουθία είαι γεωμ πρόοδος της οποίας α βρείτε το λόγο της λ και το πρώτο όρο της Β) Ποιος όρος της προόδου ισούται με 458 ; ΑΡ/6Α) A αρχικά υπάρχου 4 βακτήρια σε έα οργαισμό και κάθε ώρα διπλασιάζοται πόσα θα είαι σε 8 ώρες; Β) A αρχικά υπάρχου 4 βακτήρια σε έα οργαισμό και κάθε ώρα από κάθε βακτήριο γειούται, χωρίς αυτό που τα γέησε α πεθαίει, πόσα θα είαι σε 8 ώρες; ΑΡ/7Έας πληθυσμός βακτηριδίω τριπλασιάζεται σε αριθμό κάθε ώρα

Άλγεβρα Β Λυκείου Πρόοδοι Α Α αρχικά υπάρχου 0 βακτηρίδια, α βρείτε το πλήθος τω βακτηριδίω ύστερα από 6 ώρες Β Στο τέλος της έκτης ώρας ο πληθυσμός τω βακτηριδίω ψεκάζεται με μια ουσία, πού σταματά το πολλαπλασιασμό τους και συγχρόως προκαλεί τη καταστροφή 0 βακτηριδίω κάθε ώρα Β Να βρείτε το πλήθος τω βακτηριδίω που απομέου 0 ώρες μετά το ψεκασμό Β Μετά από πόσες ώρες από τη στιγμή του ψεκασμού θα καταστραφού όλα τα βακτηρίδια; (4 ο θέμα Παελλαδικώ 000) ΑΡ/8 Έα αυτοκίητο αρχίζει α φρεάρει 40 μέτρα πρι από έα τοίχο Στο ο δευτερόλεπτο διαύει 0 μέτρα, στο ο 0 μέτρα και σε κάθε επόμεο δευτερόλεπτο το μισό της απόστασης που είχε διαύσει στο προηγούμεο Θα χτυπήσει τελικά στο τοίχο;

Άλγεβρα Α Λυκείου Συαρτήσεις Συαρτήσεις "Συχά λέω ότι ότα μπορείς α μετρήσεις αυτό για το οποίο μιλάς και α το εκφράσεις με αριθμούς ξέρεις κάτι γι' αυτό Αλλά ότα δε μπορείς α το μετρήσεις, ότα δε μπορείς α το εκφράσεις με αριθμούς, η γώση σου είαι πειχρή και μη ικαοποιητική Μπορεί α είαι το ξεκίημα της γώσης, αλλά έχεις μόλις και μετά βίας προχωρήσει στο στάδιο της επιστήμης " Lord Kelvin ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Για α αήκει το σημείο Μ (, y) στη γραφική παράσταση της συάρτησης y = f( ) πρέπει α τη επαληθεύει, δηλαδή θέτοτας στο τύπο της f όπου το και όπου y το y, α προκύπτει αληθής πρόταση Πχ Εξετάστε α τα σημεία Α (,) και Β (,5) αήκου στη γραφική παράσταση της συάρτησης y = + Για το Α έχω: = + = 5 ψευδής, άρα το Α δε αήκει στο γράφημα της f Για το Β έχω : 5= + 5= 5 αληθής, άρα το B αήκει στο γράφημα της f Β Για α βρω που η γραφική παράσταση της συάρτησης y = f( ) = 0 τέμει το άξοα yy λύω το σύστημα : εώ για α βρω y = f( ) y = 0 που τέμει το λύω ατίστοιχα το σύστημα: y = f( ) Πχ Βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συάρτησης y = 4 με τους άξοες = 0 = 0 = 0 Για το yy : άρα τέμει το yy y = 4 y = 0 4 y = 4 στο σημείο Α(0, 4) y = 0 y = 0 y = 0 y = 0 Για το : άρα τέμει y = 4 0= 4 = 4 = το στο σημείο Β (,0)

Άλγεβρα Α Λυκείου Συαρτήσεις Γ Για α βρω που τέμοται οι γραφικές παραστάσεις δύο συαρτήσεω λύω το σύστημα που συγκροτού Πχ Βρείτε το σημείο τομής τω ευθειώ ε : y = + και ε : y = y = + + = = Είαι: y = y = y = = = Άρα τέμοται στο σημείο Α (, 5) y = y = 5 Δ Η γραφική παράσταση της συάρτησης y = α+ β είαι μια ευθεία γραμμή που ε σχηματίζει με το άξοα γωία θ τέτοια που εϕθ = α θ Ο αριθμός α λέγεται συτελεστής διεύθυσης της ευθείας ε Ειδικές περιπτώσεις: Η γραφική παράσταση της y = α είαι ευθεία που διέρχεται από τη αρχή τω αξόω Η γραφική παράσταση της y = β είαι ευθεία παράλληλη στο Ε Δύο ευθείες είαι παράλληλες α έχου το ίδιο συτελεστή διεύθυσης Δηλαδή α ε: y = α+ β και ε : y = α+ β τότε ε// ε α = α Πχ Βρείτε το λ α οι ευθείες : λ ε y =, ε : y = ( λ+ ) είαι παράλληλες λ Είαι : ε // ε = λ+ λ = λ+ λ = λ = Χρήσιμες προτάσεις για τη μοοτοία συάρτησης Α, θετικοί, τότε: < < (Διατηρείται η φορά) Α, αρητικοί, τότε: < > (Αλλάζει η φορά) Α, ομόσημοι τότε: < > (Αλλάζει η φορά) Α, θετικοί, τότε: < < (Διατηρείται η φορά) Α, αρητικοί, τότε: < > (Αλλάζει η φορά) Α, μη αρητικοί, τότε: < < (Διατηρείται η φορά)

Άλγεβρα Α Λυκείου ΑΕ/0Α ( ), ( (0)) ΑΣΚΗΣΕΙΣ Συαρτήσεις f( ) = υπολογίστε τα f(0), f( ), f ( α + ), f f f ΑΕ/0Βρείτε τα πεδία ορισμού τω συαρτήσεω: Α) f( ) = Β) f( ) = Γ) f( ) = + Δ) f( ) = Ε) f( ) = ΣΤ) f( ) = Ζ) f( ) = + 5 Η) f( ) = + 9 Θ) f( ) = IΑ) IΓ) Ι) f( ) = f( ) = 5+ IΒ) f( ) = + + 6 IΔ) IΕ) f( ) = 5 4 IΣΤ) f( ) = + 4 f = ( ) f ( ) = + 5 + 4 + 9 ΑΕ/0Bρείτε το k ώστε στις παρακάτω περιπτώσεις το σημείο α αήκει στη γραφική παράσταση της συάρτησης f Α) Το Α (,k ) στη Β) Το ( k, k ) Β + στη Γ) Το Γ (, ) στη Δ) Το (,) στη f = ( ) f( ) = 4 f( ) = + k f( ) = + + k ΑΕ/04Α) Βρείτε ποια από τα σημεία Α(,), Β (,), Γ(4,), (, ) αήκου στη γραφική παράσταση της συάρτησης f( ) = + 4 και ποια στη γραφική παράσταση της g ( ) = Β) Βρείτε το k ώστε το σημείο Α, α αήκει στη γραφική παράσταση της συάρτησης f( ) = + k ΑΕ/05Α) Βρείτε το α ώστε το σημείο (,5) Αα α αήκει στη γραφική παράσταση της συάρτησης f( ) = + α

Άλγεβρα Α Λυκείου Συαρτήσεις Β)Βρείτε το k ώστε το σημείο Α( k, k) α αήκει στη γραφική παράσταση της συάρτησης: y = ΑΕ/06Έστω η συάρτηση f : για τη οποία ισχύει: f( ) f( ) =, για κάθε Να βρείτε τα f(0), f () ΑΕ/07 A τα σημεία Α(, y) και ( y, ) Β + είαι συμμετρικά με άξοα συμμετρίας τη διχοτόμο της γωίας Ο y βρείτε τα y, ΑΕ/08Να βρείτε τα σημεία στα οποία τέμου τους άξοες οι γραφικές παραστάσεις τω συαρτήσεω : Α) f( ) = 6 Β) y = 4 Γ) f( ) = + Δ) y = Ε) y ( 9) = ΣΤ) y = Ζ) f( ) = 9 Η) y = + 4 ΑΕ/09 Βρείτε τα σημεία τομής τω γραφημάτω τω συαρτήσεω: Α) f( ) = και g ( ) = + Β) f( ) = και g ( ) = + 6 Γ) f( ) = και g ( ) = + 5 Δ) f( ) = και g ( ) = + Ε) f( ) = και g ( ) 6 = + ΣΤ) f( ) = και g ( ) = + 4 ΑΕ/0Βρείτε τα πεδία ορισμού και τα διαστήματα που η C f βρίσκεται πάω από το άξοα Α) f( ) = 4 Β) f( ) = + Γ) f( ) = + Δ) f( ) = 4 4+ Ε) f( ) = + 5 ΣΤ) f( ) = 4 Ζ) f( ) = + Η) f( ) = ΑΕ/Βρείτε τα διαστήματα που η Α) f( ) = και g ( ) = + Β) Γ) f( ) = και C f βρίσκεται πάω από τη f( ) C g α: = και g ( ) = + 6 g ( ) = + + Δ) f( ) = και g ( ) = 4+ ΑΕ/Α η γραφ παράσταση της f( ) =α β +α β τέμει το ' στο Α (,0) και το yy ' στο Β(0, ), α βρείτε τα αβ, ΑΕ/Α Α(,6), Β(, ) και ( ΑΒ ) = 0 βρείτε το ΑΕ/4Αποδείξτε ότι το τρίγωο ΑΒΓ με Α (, ), Β(, ) και Γ (, ) είαι ορθογώιο και ισοσκελές ΑΕ/5Δίοται τα σημεία Α (, ), Β (, 4) Προσδιορίστε σημείο Μ της ευθείας y = ώστε το τρίγωο ΑΜΒ α είαι ισοσκελές με ίσες πλευρές ΜΑ, ΜΒ

Άλγεβρα Α Λυκείου Συαρτήσεις ΑΕ/6Βρείτε τη εξίσωση της ευθείας που έχει συτελεστή διεύθυσης λ= και διέρχεται από το σημείο Α(, ) ΑΕ/7Βρείτε τη εξίσωση της ευθείας που είαι παράλληλη στη η : y = και διέρχεται από το σημείο Α (,) ΑΕ/8Βρείτε τη εξίσωση της ευθείας που είαι παράλληλη στη η : y = και διέρχεται από το σημείο Α (,) ΑΕ/9Βρείτε τη εξίσωση της ευθείας που είαι παράλληλη στο άξοα ' και διέρχεται από το σημείο Α (,) ΑΕ/0Βρείτε τη εξίσωση της ευθείας που είαι παράλληλη στη η : y = και διέρχεται από το σημείο Α (, ) ΑΕ/Βρείτε τη εξίσωση της ευθείας που είαι παράλληλη στη η : y = και διέρχεται από το σημείο Α (,) ΑΕ/A) Βρείτε τη εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α (0,) και Β (,4) ΑΕ/Βρείτε τη εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α (0,) και Β (, 4) ΑΕ/4 Βρείτε τη εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α (,) και Β (,4) ΑΕ/5Βρείτε τη εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α (,4) και Β(, ) ΑΕ/6Βρείτε το λ ώστε η ευθεία y ( ) παράλληλη στο άξοα ' ε : = λ +λ α είαι ΑΕ/7A) Βρείτε το λ ώστε α είαι παράλληλες οι ευθείες: ε : y = λ + λ 5 και η: y = λ + 0 ( ) B) Όμοια για τις ευθείες: y ( ) ε : = λ + και η : y = + ΑΕ/8Α) Βρείτε το λ ώστε α είαι παράλληλες οι ευθείες: : y = + η: y = λ + 5 ε ( λ ) και ( ) Β) Όμοια για τις ευθείες: ε : y = λ+ και η : y = λ + 4 Γ) Όμοια για τις ευθείες: : y ( 5 ) ε = λ λ λ και : 4 η y = +λ

Άλγεβρα Α Λυκείου Συαρτήσεις ΑΕ/9Α) Βρείτε το λ ώστε α είαι παράλληλες οι ευθείες: +λ( ) λ+ λ ε : y = και η : y = 8 Β) Όμοια για τις : y η : y = 5λ 4 ΑΕ/0A) Βρείτε το ( 0, + ) ( ) ε =λ λ+ και ( ) λ ώστε α είαι παράλληλες οι ευθείες: ( ε ): y = λ 6 5 και ( η ) : y =λ + 0 Για τη τιμή του λ που βρήκατε προσδιορίστε τα σημεία στα οποία η ( ε ) τέμει τους άξοες καθώς και το εμβαδό του τριγώου που σχηματίζεται ΑΕ/ Βρείτε τη εξίσωση της ευθείας που έχει συτελεστή διεύθυσης - και διέρχεται από το σημείο Α(, ) ΑΕ/Α) Α f( ) = και g ( ) = 5 9: Α) Να βρείτε τα σημεία τομής τω γραφικώ παραστάσεώ τους Β) Α ε : y = + μια ευθεία βρείτε τα σημεία τομής της με τη C f Γ) Βρείτε τα σημεία τομής της C g με τους άξοες καθώς και το εμβαδό του τριγώου που σχηματίζει με τους άξοες ΑΕ/Δίεται η συάρτηση: f( ) = 9 Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Βρείτε που τέμει τους άξοες Γ) Λύστε τη εξίσωση: f( ) = 5 AΕ/4 Αφού βρείτε το πεδίο ορισμού εξετάστε α οι παρακάτω συαρτήσεις είαι άρτιες ή περιττές f( ) =, g ( ) =, h ( ) = +, c ( ) = +, ϕ ( ) = 4 + 4 k ( ) =, ϕ ( ) =, s ( ) = + +, σ ( ) = 4 +, + AΕ/5 Eξετάστε α οι παρακάτω συαρτήσεις είαι άρτιες ή περιττές

Άλγεβρα Α Λυκείου Συαρτήσεις ΑΕ/6 Αφού βρείτε το πεδίο ορισμού εξετάστε τη μοοτοία τω συαρτήσεω: f( ) =, g ( ) = + 5, h ( ) = +, c( ) = + 7,, k( ) = 5, ϕ ( ) = + +, s = + στα διαστήματα ( ) (,0] και [0, + ), σ ( ) = + 4 AΕ/7 Αφού βρείτε το πεδίο ορισμού εξετάστε τη μοοτοία τω συαρτήσεω: f( ) = +, g ( ) = + 5, h ( ) = 4, c( ) = + 5, k( ) = 5, ϕ ( ) = +, s ( ) = 7 στα διαστήματα (,0] και [0, + ), σ ( ) = + 4 4 AΕ/8 Βρείτε τα διαστήματα μοοτοίας τω συαρτήσεω: ΑΕ/9 Να γίου οι γραφικές παραστάσεις τω συαρτήσεω: A f( ) = + + B g ( ) = +, < Γ h ( ) = +, < 4 ΑΕ/40 Έστω f( ) = + k, k Α) Βρείτε το k ώστε το σημείο Α(, ) α αήκει στη γραφική παράσταση της f Β) Βρείτε πού η γραφική παράσταση της f τέμει τους άξοες

Άλγεβρα Α Λυκείου Συαρτήσεις 4 ΑΕ/4 Θεωρώ τη συάρτηση f( ) = + k, k Α) Α η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α (, ) δείξτε ότι k = Β) Βρείτε το πεδίο ορισμού της f Γ) Βρείτε που η γραφική παράσταση της f τέμει τους άξοες ΑΕ/4 Θεωρώ τη συάρτηση f( ) = + k, k Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της f 5 Β) Βρείτε το k α το σημείο Α, αήκει στη γραφική παράσταση της f Γ) Βρείτε που η γραφ παράσταση της f τέμει τους άξοες Δ) Να σχεδιάσετε τη γραφ παράσταση της f ΑΕ/4 Θεωρώ τη συάρτηση f( ) = + A) Bρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Βρείτε το f (5) και λύστε τη αίσωση f( ) > 7 καθώς και τη f ( ) > 7 Γ) Λύστε τη αίσωση ( ) f < 8 ΑE/44 Α f( ) = + A) Βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Βρείτε τις τιμές f ( ) και f ( 5) Γ) Λύστε τη εξίσωση f( ) = ΑE/45 Α f( ) = + 6+ 9: A) Βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Δείξτε ότι: f( ) = Γ) Βρείτε τα f (0) και f ( ) Δ) Βρείτε που η γραφική της παράσταση τέμει το ' Ε) Α (,) δείξτε ότι f( ) = 4, κατασκευάστε πίακα τιμώ, κάετε γραφική παράσταση και υπολογίστε το εμβαδό του τριγώου που σχηματίζει η C f με τους άξοες ΑΕ/46 Θεωρώ τη συάρτηση f( ) = 4 4+ 4+ 4 Α) Απλοποιήστε το τύπο της f Β) Βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξοες Γ) Βρείτε τα διαστήματα όπου η C f βρίσκεται πάω από το

Άλγεβρα Α Λυκείου Συαρτήσεις Δ) Βρείτε το τύπο της f α,, κατασκευάστε πίακα τιμώ, κάετε γραφική παράσταση και υπολογίστε το εμβαδό του τριγώου που σχηματίζει η C με τους άξοες f ΑE/47 Α ( ) 4 6 f = α + : Α) Βρείτε το α α το σημείο Μ (7,) αήκει στη γραφική της παράσταση Β) Βρείτε που η γραφική της παράσταση τέμει τους άξοες ΑE/48 Έστω ( ) : y ( k ) ε = + και ( δ ) : y= ( k ) + k δύο παράλληλες ευθείες Α) Βρείτε το k Β) Βρείτε τα σημεία στα οποία η δ τέμει τους άξοες Γ) Βρείτε τη ευθεία ( η ) που είαι παράλληλη στη ( ε ) και διέρχεται από το σημείο Α (,) ΑE/49 Έστω y ( ε ): =λ +λ και ( δ ) : y = ( λ ) +λ δύο παράλληλες ευθείες Α) Βρείτε το λ + Β) Βρείτε τα σημεία στα οποία η ( ε ) τέμει τους άξοες Γ) Βρείτε τη γωία που η ( ε ) σχηματίζει με το άξοα ' Δ) Βρείτε τη ευθεία ( η ) που είαι παράλληλη στη ( δ ) και διέρχεται από το σημείο Α, ΑE/50 Α) Βρείτε τη ευθεία ( ) ε που διέρχεται από το Α (,) και σχηματίζει με το ' γωία 45 Β) Βρείτε τα σημεία στα οποία η ( ε ) τέμει τους άξοες Γ) Βρείτε που η ( ε ) τέμει τη ευθεία ( η ): y = Δ) Βρείτε που η ( ε ) τέμει τη καμπύλη C : y = ΑE/5 Α f( ) 9 = Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Βρείτε που η γραφική της παράσταση τέμει τους άξοες Α,k αήκει στη γραφική Γ) Βρείτε το k α το σημείο ( ) παράσταση της f + k ΑE/5 Α f( ) = Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της

Άλγεβρα Α Λυκείου Β) Βρείτε το k α το σημείο (,4 ) Συαρτήσεις Α αήκει στη γραφική παράσταση της f Γ) Βρείτε που η γραφική της παράσταση τέμει τους άξοες Δ) Λύστε τη εξίσωση f( ) = f() ΑE/5 Α f( ) = + 6+ 9 Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Απλοποιήστε το τύπο της Γ) Βρείτε που η γραφική της παράσταση τέμει τους άξοες Δ) Να κάετε τη γραφική της παράσταση Ε) Λύστε τη αίσωση f( ) > ΑE/54 Α f( ) = + Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Απλοποιήστε το τύπο της Γ) Βρείτε που η γραφική της παράσταση τέμει τους άξοες Δ) Να κάετε τη γραφική της παράσταση Ε) Λύστε τη αίσωση f( ) > 0 ΑE/55 Α η συάρτηση f( ) = 5+α διέρχεται από το σημείο Α(, ) : Α) Βρείτε το α και τα σημεία τομής της C f με τους άξοες Β) Βρείτε τα διαστήματα στα οποία η C f βρίσκεται πάω από το ΑE/56 Α η συάρτηση f( ) = α +β διέρχεται από τα σημεία Α(0, ) και Β (, ) : Α) Βρείτε τα α, β και τα σημεία τομής της C f με τους άξοες Β) Βρείτε τα διαστήματα στα οποία η C f βρίσκεται πάω από το ΑΕ/57 Η ευθεία ( ):y ε =α +β είαι παράλληλη στη ( η ): y = και διέρχεται από το σημείο Α (, 6) Α) Βρείτε τα αβ, Β) Βρείτε τα σημεία τομής της ( ε ) με τους άξοες Γ) Κατασκευάστε πίακα τιμώ, κάετε γραφική παράσταση και υπολογίστε το εμβαδό του τριγώου που σχηματίζει η C με τους άξοες ΑΕ/58 Βρείτε τη ευθεία ( ) ε που είαι παράλληλη με τη ( η ): y = + και διέρχεται από το σημείο Α (,) Βρείτε επίσης τα σημεία τομής της με τους άξοες, κατασκευάστε πίακα τιμώ, κάετε γραφική παράσταση και υπολογίστε το εμβαδό του τριγώου που σχηματίζει η C με τους άξοες f f

Άλγεβρα Α Λυκείου Συαρτήσεις ΑΕ/59 Βρείτε τη ευθεία που είαι παράλληλη με τη ( η ): y = και διέρχεται από το σημείο Α (,) Κατασκευάστε επίσης πίακα τιμώ, κάετε γραφική παράσταση και υπολογίστε το εμβαδό του τριγώου που σχηματίζει η C f με τους άξοες ΑE/60 Α η συάρτηση f( ) = +α +β διέρχεται από τα σημεία Α(0, ) και Β (,) : Α) Βρείτε τα α, β και τα σημεία τομής της C f με τους άξοες Β) Βρείτε τα διαστήματα στα οποία η C f βρίσκεται πάω από το Γ) Κατασκευάστε πίακα τιμώ, κάετε γραφική παράσταση και υπολογίστε το εμβαδό του τριγώου που σχηματίζει η C με τους άξοες ΑΕ/6 Βρείτε τη ευθεία που είαι παράλληλη με τη ( η ): y = + και σχηματίζει με τους άξοες τρίγωο εμβαδού 4 τετρ μοάδω ΑΕ/6 Βρείτε τη ευθεία που είαι παράλληλη με τη ( η ): y = + και σχηματίζει με τους άξοες τρίγωο εμβαδού τετρ μοάδω κ + 4 ΑΕ/6 Α η ευθεία ( ε ): y = κ 7 σχηματίζει με το άξοα γωία 45, βρείτε το αριθμό κ ΑΕ/64 Η ευθεία ( ε ): y =λ είαι παράλληλη στη ( η ) : y = (6 λ ) + 8 λ 0, + Α) Βρείτε το ( ) Β) Βρείτε τα σημεία τομής της ( ε ) με τους άξοες Γ) Κατασκευάστε πίακα τιμώ, κάετε γραφική παράσταση και υπολογίστε το εμβαδό του τριγώου που σχηματίζει η C f με τους άξοες Δ) Βρείτε το κ α το σημείο Α( κ, κ+ ) αήκει στη ( ε ) ΑΕ/65 Η ευθεία ( ): y ε = κ+ σχηματίζει με το άξοα γωία 45 Βρείτε το αριθμό κ ΑΕ/66 Δίεται η συάρτηση f( ) =α, για τη οποία ισχύει ότι f() f(6) = 4 Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και α δείξετε ότι α= Β) Να δείξετε ότι η C f δε τέμει το άξοα yy Γ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συάρτησης g ( ) = f( ) f

ο Λύκειο Αιγάλεω Ασκήσεις Επαάληψης Ασκήσεις Επαάληψης ΑN/0 Βρείτε τα λ ώστε η εξίσωση: λ + ( λ ) +λ= 0 α έχει δύο ρίζες θετικές ΑN/0 Θεωρώ το τριώυμο: f( ) = λ +λ, λ Α) Δείξτε ότι το τριώυμο έχει πραγματικές ρίζες για κάθε λ Β) Α, οι ρίζες του βρείτε τα λ ώστε = Γ) Βρείτε τα λ ώστε ΑN/0 A) Έστω, + + > οι ρίζες της εξίσωσης α +β +γ= 0, α 0 β γ Να αποδείξετε ότι: + = και = α α Β Α, οι ρίζες της εξίσωσης παραστάσεις: +,, 6 5 0 =, α υπολογίσετε τις +, + ΑN/04 Χαρακτηρίστε τις ακόλουθες προτάσεις ως σωστές ή λάθος Α β>α, τότε β α =α β Α στη εξίσωση α +β +γ= 0, α 0 οι αγ, είαι ετερόσημοι, τότε έχει πάτοτε πραγματικές ρίζες Α οι ευθείες ε : y=α +β και ε : y=α +β είαι παράλληλες τότε α =α 4 Α μια εξίσωση δευτέρου βαθμού δε έχει πραγματικές ρίζες τότε η διακρίουσα της Δ είαι μεγαλύτερη του 5 Η εξίσωση 5 = είαι αδύατη 6 Η + + = 0 έχει δύο ρίζες με άθροισμα και γιόμεο 7 Α + y = 0 τότε: = και y = 8 Η συάρτηση f( ) = + έχει πεδίο ορισμού το Α= { } 9 Η εξίσωση k + = 0 μπορεί α έχει λύσεις του αριθμούς,

ο Λύκειο Αιγάλεω Ασκήσεις Επαάληψης 0 Η εξίσωση k = 0 έχει δύο άισες ρίζες Οι ευθείες ( ε ) : y = ( κ + ) και ( η ) : y = + μπορεί α είαι παράλληλες για κάποια τιμή του κ Η ευθεία ( ε ): y = 4 σχηματίζει με το άξοα ' γωία 45 d(, 5) = 5 4 Η εξίσωση α = 0 έχει μοαδική λύση = 0 για οποιοδήποτε α 5 Α θ τότε θ θ, θ> 0 6 =, 7 Οι ευθείες y = +β και y = α είαι παράλληλες ( ) + ΑN/05 Να λύσετε τη εξίσωση: + ( ) = + + 4 ΑN/06 Α) Να λυθού οι εξισώσεις: 7+ = 0, + + 4= 0 και + 5= 0 5 + + 4 7+ 0 Β) Να λυθεί η αίσωση: ( )( )( ) ΑN/07 Bρείτε το λ ώστε η ευθεία ( ) y με τη ( ) : (5 6) 85 ε : 5 =λ + α είαι παράλληλη ΑN/08 Δίεται η εξίσωση: ( λ ) + λ= 0, με λ Α) Υπολογίστε τη διακρίουσα Δ Β) Βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει διπλή ρίζα Γ) Βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο άισες ρίζες, για τις οποίες α ισχύει; + > ΑN/09 Δίεται η εξίσωση: ( λ ) +λ = 0, με λ Α) Υπολογίστε τη διακρίουσα Δ Β) Aποδείξτε ότι για κάθε λ η εξίσωση έχει δύο πραγματικές και άισες ρίζες Γ) Α, οι άισες ρίζες βρείτε το άθροισμά τους S και το γιόμεό τους P και υπολογίστε τη παράσταση: Α= + Δ) Βρείτε τα λ ώστε α έχει δύο θετικές ρίζες ( P> 0, S > 0 ) Ε) Βρείτε τις τιμές του λ ώστε για τις θετικές τιμές ρ, ρ α ισχύει: + < ρ ρ

ο Λύκειο Αιγάλεω Ασκήσεις Επαάληψης ΑN/0 Δίεται η εξίσωση: λ +λ + λ= 0, με λ Α) Υπολογίστε τη διακρίουσα Δ Β) Βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο άισες ρίζες Γ) Α, οι άισες ρίζες βρείτε το άθροισμά τους S και το γιόμεό τους P Δ) Α P S = δείξτε ότι λ= 4 Ε) Για λ= 4 υπολογίστε τα S = + και P = ΣΤ) Για λ= 4 βρείτε τη εξίσωση που έχει ρίζες: ρ = και ρ = ΑN/Θεωρώ τις ευθείες: y ( ) ( ε ): = λ + +, η y = ( λ ) + λ και y ( ) ( ): 5 ( δ ): = λ Α) Βρείτε το λ ώστε οι ευθείες ( ε ) και ( η ) α είαι παράλληλες Β) Για λ= γράψτε τη εξίσωση της ευθείας ( η ) και βρείτε τα σημεία Α και Β που αυτή τέμει τους άξοες και yy ατίστοιχα Γ) Να βρεθεί το εμβαδό του τριγώου που σχηματίζει η (η) με τους άξοες ΑN/ Δίεται η εξίσωση ( λ+ ) +λ= 0, λ Α) Υπολογίστε τη διακρίουσα Δ Β) Δείξτε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε λ Γ) Αποδείξτε ότι + + + 0 ΑN/ Δίεται η εξίσωση ( λ+ ) ( λ ) = 0, με λ Α) Υπολογίστε τη διακρίουσα Δ Β) Δείξτε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές και άισες ρίζες, για κάθε λ Γ) Βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες οι ρίζες, είαι ετερόσημες Δ) Βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες ισχύει: + = ΑN/4 Δίεται η εξίσωση (λ+ ) +λ + λ+ = 0, λ Α) Υπολογίστε τη διακρίουσα Δ Β) Βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει πραγματικές και άισες ρίζες,

ο Λύκειο Αιγάλεω Ασκήσεις Επαάληψης Γ) Βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο ρίζες ατίστροφες Δ) Βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο πραγματικές και άισες ρίζες, για τις οποίες ισχύει: + < + 6 ΑN/5 Δίεται η εξίσωση + ( λ+ ) +λ+ 6 = 0, λ Α) Υπολογίστε τη διακρίουσα Δ Β) Βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει πραγματικές και άισες ρίζες, Γ) Βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει πραγματικές και άισες ρίζες, για τις οποίες ισχύει: + < 4 ΑN/6 ( ) Δίοται οι ευθείες με εξισώσεις ε : y = λ + 5, λ ( ε ) : y = λ Α) Να βρείτε τη τιμή του λ για τη οποία είαι παράλληλες Β) Για λ= α βρείτε τα σημεία τομής της εμε τους άξοες Γ) Για λ= α βρείτε τη γωία που σχηματίζου οι ευθείες με το άξοα Δ) Βρείτε το εμβαδό του τριγώου που σχηματίζει η ( ) ε με τους άξοες ΑN/7 Δίεται η εξίσωση: λ +λ = 0, λ Α) Αποδείξτε ότι για κάθε λ έχει πραγματικές ρίζες Β) Α, είαι οι ρίζες της, α βρεθού το άθροισμα S και το γιόμεό τους P + Γ) Βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες ισχύει: + < + + 4 ΑΝ/8 Θεωρούμε τη εξίσωση: ( ) 0 λ = A) Δείξτε ότι έχει δύο πραγματικές και άισες ρίζες για κάθε λ Β) Βρείτε τη ελάχιστη τιμή της παράστασης: + Γ) Λύστε τη αίσωση: + + <λ ΑΝ/9 Θεωρούμε τη εξίσωση: ( ) 0 λ+ +λ= A) Δείξτε ότι έχει πραγματικές ρίζες για κάθε λ B) Βρείτε το άθροισμα S και το γιόμεο P τω ριζώ της Γ) Βρείτε το λ ώστε η μία ρίζα της α είαι διπλάσια από τη άλλη ΑΝ/0 Θεωρούμε τη εξίσωση: ( ) 0 λ + λ =

ο Λύκειο Αιγάλεω Ασκήσεις Επαάληψης A) Δείξτε ότι έχει πραγματικές ρίζες για κάθε λ Β) Βρείτε το άθροισμα S και το γιόμεο P τω ριζώ της Γ) Βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες ισχύει: + =, όπου, οι ρίζες της εξίσωσης ΑΝ/ Θεωρούμε τη εξίσωση: ( ) 0 λ +λ = A) Δείξτε ότι έχει πραγματικές και άισες ρίζες για κάθε λ Β) Βρείτε το άθροισμα S και το γιόμεο P τω ριζώ της,, καθώς και τη παράσταση: + Γ) Βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες ισχύει: + = ΑΝ/ Θεωρούμε τη εξίσωση: ( λ+ ) + λ +λ = 0 Α) Βρείτε το λ ώστε η εξίσωση α έχει πραγματικές και άισες ρίζες Β) Βρείτε το άθροισμα S και το γιόμεο P τω ριζώ της,, καθώς και τη παράσταση: + Γ) Βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες ισχύει: + = Δ) Βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες ισχύει: + < ΑΝ/ Θεωρούμε τη εξίσωση: 5λ +λ = 0 Α) Δείξτε ότι έχει πραγματικές και άισες ρίζες για κάθε λ Β) Βρείτε το άθροισμα S και το γιόμεο P τω ριζώ της,, καθώς και τη παράσταση: + 5 Γ) Βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες ισχύει: + = Δ) Βρείτε τη δευτεροβάθμια εξίσωση που έχει ρίζες: +, + ΑΝ/4 Να λυθεί η εξίσωση: ( ) + = 0, καθώς και η αίσωση: ( ) + < 0 ΑΝ/5 Δίεται το τριώυμο: f ( ) = k + k, που έχει δύο άισες ρίζες με γιόμεο

ο Λύκειο Αιγάλεω Ασκήσεις Επαάληψης Α) Δείξτε ότι k = 4 Β) Για k = 4, βρείτε τις ρίζες του τριωύμου Γ) Για k = 4, λύστε τη αίσωση: f( ) < 0 Δ) Α η μικρότερη από τις ρίζες είαι ο πρώτος όρος, ( α ), αριθμητικής Προόδου ( α ), και η μεγαλύτερη η διαφορά της,( ω ): α και το άθροισμα τω 9 πρώτω όρω της Δ Βρείτε το 9 ο όρο της ( ) 9 ( S 9 ) Δ Ποιος όρος της αριθμητικής προόδου ισούται με 99; ΑΝ/6 Α σε μια αριθμητική πρόοδο ( ) α είαι : α = 7 και α 5 = : Α Δείξτε ότι ο α = και ω= Β Βρείτε τους α και α 7 Γ Λύστε τη αίσωση: α + ( α4 7) < 0 Δ Υπολογίστε το άθροισμα τω 7 πρώτω όρω της προόδου ΑΝ/7 Α οι ευθείες ( ε ) y =λ +λ και ( ) : ε : y = ( λ ) +λ είαι παράλληλες: Α) Βρείτε το λ καθώς και τις ευθείες ε τέμει τους άξοες Β) Βρείτε που η ευθεία ( ) Γ) Βρείτε μια ευθεία παράλληλη στη ( ) Α, ΑΝ/8 Έστω η συάρτηση ε που α διέρχεται από το σημείο 4 f( ) = Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Απλοποιήστε το τύπο της Γ) Λύστε τη αίσωση: f( ) > ΑΝ/9 Α) Α α+ = α+ δείξτε ότι Β) Α α+ < α+ δείξτε ότι α< Γ) Α 4α+ < α+ 4 δείξτε ότι α< Δ) Α α+ β < α+ β δείξτε ότι α>β ΑΝ/0 Αποδείξτε ότι: Α) Γ) 5α + β ( α + β) αβ 4 α+ 4 α α= Β) 4 4 α+ β+ 6 α β

ο Λύκειο Αιγάλεω Ασκήσεις Επαάληψης y+ + y z ΑΝ/ Απλοποιήστε τη παράσταση: Α= + + y z y ΑΝ/ Α Α) Βρείτε τα α, β α +β + α β = : 5 0 5 α β Β) Υπολογίστε τη παράσταση: + ( β α) ΑΝ/ Δείξτε ότι: Α) α+ 6 α+ 4, Β) 4α+ 9β α+ β ΑΝ/4 Α = 4 7 4+ 7 : Α) Δείξτε ότι < 0 Β) Βρείτε το ΑΝ/5 Α 9 7 9 7 = + : Α) Δείξτε ότι > 0 Β) Βρείτε το ΑΝ/6 Α ( )( ) Α= + + + : Α) Για ποιες τιμές του ορίζεται η Α; Β) Απλοποιήστε τη Α Γ) Βρείτε τη ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της Α ΑΝ/7 Α < < 4 λύστε τη εξίσωση: = + + 8+ 6 ΑΝ/8 Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της συάρτησης Β) Λύστε τη εξίσωση: f( ) = + 9 Γ) Βρείτε τα λ ώστε η εξίσωση άισες ρίζες ΑΝ/9 Α f ( ) 8 Γ) Βρείτε το Γ) Βρείτε το f( ) = 6 = +λ α έχει δύο f( ) = 5+ : Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της συάρτησης Β) Λύστε τη εξίσωση: f( ) = Γ) Βρείτε τα λ ώστε η εξίσωση f( ) = λ α έχει δύο άισες ρίζες ΑΝ/40 Α και y δείξτε ότι: Α) + y Β) + y+ 9 και Γ) y+

ο Λύκειο Αιγάλεω Ασκήσεις Επαάληψης ΑΝ/4 Απλοποιήστε τις παραστάσεις: + Α= +, Β= + και + + 9 δείξτε ότι = και + 6 ΑΝ/4 Α α+ β = α + β δείξτε ότι αβ, ομόσημοι ΑΝ/4 Α) Α α+β= και, Β) Α α+β= 4 δείξτε ότι αβ 4 και ΑΝ/44 Α ΑΝ/45 Α) Α αβ θετικοί δείξτε ότι + 4 α β α +β 8 < < υπολογίστε τη παράσταση: Α= d(,) + d(,) < < και < y < βρείτε μεταξύ ποιω αριθμώ + 4 βρίσκοται οι: ( + )( y+ ) και y + + y Β) Α < y α δείξετε ότι < < y 5 + 5 ΑΝ/46 Α) Α < απλοποιήστε τη: Α= Β) Α d(,) < απλοποιήστε τη Α= + 4 + + Γ) Α α β και β γ δείξτε ότι α γ ΑΝ/47 Α) Α η εξίσωση λ +λ+ = 0 με λ> 0 έχει διπλή ρίζα, λύστε τη εξίσωση λ= 0 Β) Α η εξίσωση ( α β ) +β = 0 με λ> 0 έχει διπλή ρίζα το -, λύστε τη εξίσωση + ( α+β ) +β= 0 ΑΝ/48 Δίεται η εξίσωση: +κ= 0, κ Α) Βρείτε το κ ώστε α έχει δύο άισες ρίζες, Β) Βρείτε το κ ώστε α ισχύει + = Γ) Βρείτε τη εξίσωση που έχει ρίζες ρ =, ρ = ΑΝ/49 Δίεται η εξίσωση: 5+ λ= 0, λ Α) Βρείτε τα λ ώστε α έχει δύο άισες ρίζες,

ο Λύκειο Αιγάλεω Ασκήσεις Επαάληψης Β) Βρείτε το λ ώστε ( ) = Γ) Βρείτε τη εξίσωση που έχει ρίζες ρ =, ρ = ΑΝ/50 Δίεται η εξίσωση: κ +κ κ+ = 0, κ Α) Βρείτε τα κ ώστε α έχει δύο άισες ρίζες, 5 Β) Βρείτε το κ ώστε + + = ΑΝ/5 Δίεται η εξίσωση: λ +λ λ = 0, λ Α) Βρείτε τα λ ώστε α έχει δύο άισες ρίζες, Β) Βρείτε το λ ώστε α έχει δύο ατίστροφες ρίζες Γ) Βρείτε το λ ώστε α ισχύει: + = + 6 ΑΝ/5 Δίεται η εξίσωση: + ( λ+ ) +λ = 0, λ Α) Βρείτε τα λ ώστε α έχει δύο άισες ρίζες, Β) Βρείτε το λ ώστε α ισχύει: + Γ) Βρείτε το λ ώστε α έχει δύο ετερόσημες ρίζες Β) Βρείτε το λ ώστε α έχει δύο ατίστροφες ρίζες ΑΝ/5 Δίεται η εξίσωση: ( κ+ ) +κ+ 5 = 0, κ Α) Βρείτε τα κ ώστε α έχει δύο άισες ρίζες, Β) Βρείτε τη εξίσωση που έχει ρίζες ρ = και ρ = + = Γ) Βρείτε το κ ώστε α ισχύει: ΑΝ/54 Δίεται η εξίσωση: ( λ+ ) λ 4 = 0, λ Α) Δείξτε ότι έχει πραγματικές ρίζες για κάθε λ Β) Βρείτε το λ ώστε α έχει δύο άισες ρίζες Γ) Βρείτε το λ ώστε α ισχύει: + = Δ) Βρείτε τη εξίσωση που έχει ρίζες ρ = και ρ = ΑΝ/55 Δίεται η εξίσωση: ( µ ) +µ = 0, µ Α) Δείξτε ότι έχει πραγματικές ρίζες για κάθε µ Β) Βρείτε το µ ώστε α έχει δύο ατίστροφες ρίζες Γ) Βρείτε το μ ώστε α ισχύει: 5+ 5= 4

ο Λύκειο Αιγάλεω Ασκήσεις Επαάληψης Δ) Βρείτε το μ ώστε α ισχύει: 5 + > ΑΝ/56 Δίεται η εξίσωση: ( ) λ λ 6) + ( λ+ ) = 0, λ Α) Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση είαι δευτεροβάθμια; Β) Α η εξίσωση έχει διπλή ρίζα βρείτε το λ και τη διπλή ρίζα Γ) Λύστε τη αίσωση: λ λ λ Γ) Λύστε τη αίσωση: λ +λ λ ΑΝ/57 Δίεται το τριώυμο: Τ ( ) =λ 4λ +λ, λ Α) Βρείτε το λ ώστε α διατηρεί στο σταθερό πρόσημο Β) Βρείτε το λ ώστε α είαι θετικό για κάθε λ ΑΝ/58 Α) Έστω η ευθεία y ( ) ( ε ) : = κ κ + κ+ Βρείτε το κ ώστε η ευθεία (ε) α σχηματίζει με το άξοα αμβλεία γωία κ κ Β) Όμοια για τη ευθεία: ( η ): y = + + κ+ ΑΝ/59 Α) Έστω η ευθεία y ( ) ( ε ): = κ κ 6 +κ Βρείτε το κ ώστε η ευθεία (ε) α σχηματίζει με το άξοα οξεία γωία κ+ κ+ Β) Όμοια για τη ευθεία: ( η ) : y = + + 8 4 α + ΑΝ/60 Βρείτε το α α οι ευθείες: ( ε ) : y = 07 α και ( ε ) : y = + α είαι παράλληλες ΑΝ/6 Α) Βρείτε τη εξίσωση της ευθείας ( ) ε που διέρχεται από τα σημεία Α (0,) και Β (,5) Β) Βρείτε τη γωία που σχηματίζει η ( ε ) με το άξοα Γ) Βρείτε τα σημεία όπου η ( ε ) τέμει το άξοα Δ) Βρείτε το εμβαδό του τριγώου που σχηματίζει η ( ε ) με τους άξοες Ε) Βρείτε τα σημεία στα οποία η ( ε ) τέμει τη καμπύλη ΑΝ/6 Α) Βρείτε τη εξίσωση μιας ευθείας ( ) C: y = ε παράλληλης στη ( η ): y = + 6 που α διέρχεται από σημείο Α (, 4)

ο Λύκειο Αιγάλεω Ασκήσεις Επαάληψης Β) Βρείτε τη γωία που σχηματίζει η ( ε ) με το άξοα Γ) Βρείτε τα σημεία τομής της ( ε ) με τους άξοες Δ) Βρείτε το εμβαδό του τριγώου που σχηματίζει η ( ε ) με τους άξοες Ε) Βρείτε τα σημεία τομής της ( η ) με τη καμπύλη ΑΝ/6 Α για το τριώυμο f( ) C: y = =α +β +γ ισχύει α< 0 και α+β+γ> 0 δείξτε ότι: Α) Το τριώυμο έχει δύο άισες ρίζες, (α γ> 0, > 0 εώ α γ< 0 είαι β > α γ β > ( α+γ) Β) Α < δείξτε ότι < < ( f ( )( ) ) () = α+β+γ α > 0 ) ΑΝ/64 Α) Βρείτε τη ευθεία ( η ) που σχηματίζει με το άξοα γωία 45 και διέρχεται από το σημείο Α (,) Β) Βρείτε ευθεία ( ε ) παράλληλη στη ( η ) που α διέρχεται από το σημείο Β (,5) Γ) Βρείτε τα σημεία τομής της ( η ) με τους άξοες και το εμβαδό του τριγώου που σχηματίζεται Δ) Βρείτε τα σημεία τομής της ( ε ) με τη καμπύλη C: y = ΑΝ/65 Α το σημείο (,) Α αήκει στη ευθεία ( ε ): y = κ κ : Α) Δείξτε ότι κ= Β) Βρείτε τη ευθεία ( η ) που διέρχεται από το Β (, ) και είαι παράλληλη στη ( ε ) Γ) Βρείτε το εμβαδό του τριγώου που σχηματίζει η ( η ) με τους άξοες Δ) Βρείτε τα σημεία τομής της ( ε ) με τη καμπύλη ΑΝ/66 Α οι ευθείες ( ) y ( ) είαι παράλληλες: λ,0 : C: y = ε = λ + + και ( ) y ( ) Α) Βρείτε το ( ) Β) Βρείτε τα σημεία τομής της ( ε ) με τους άξοες Γ) Βρείτε το κ α το σημείο (, ) ε : = λ+ Α κ κ+ αήκει στη ( ) ε Δ) Βρείτε τη ευθεία ( η ) που διέρχεται από το Α και το Ο (0,0) Ε) Βρείτε το σημείο τομής τω ευθειώ ( ε ) και ( η ) ΑΝ/67 Δίεται η εξίσωση: ( λ+ ) +λ= 0 ()

ο Λύκειο Αιγάλεω Ασκήσεις Επαάληψης A) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει πραγματικές ρίζες, για κάθε λ B) Να αποδείξετε ότι: + + + 0 για κάθε λ Γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ ισχύει: + + ΑΝ/68 Δίεται το τριώυμο f( ) = (λ+ ) +λ + λ 4, λ Α) Δείξτε ότι το τριώυμο έχει πραγματικές και άισες ρίζες, Β) Βρείτε το λ ώστε το α είαι ρίζα της εξίσωσης Γ) Βρείτε το λ ώστε α ισχύει: + =6 Δ) Για τη τιμή του λ που βρήκατε στο Γ) λύστε τη αίσωση: f( ) < 50 ΑΝ/69 Δίεται το τριώυμο f( ) = ( λ ) + λ, λ, Α) Βρείτε τις τιμές του λ ώστε η εξίσωση α έχει πραγματικές ρίζες Β) Για ποιες τιμές του λ το τριώυμο έχει διπλή ρίζα; Γ) Βρείτε το άθροισμα S και το γιόμεο P τω ριζώ της εξίσωσης Δ) Να λύσετε τη αίσωση: S 4 P < +α ΑΝ/70 Δίεται η συάρτηση f( ) =, α 5+ 4 Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Βρείτε το α α η C f διέρχεται από το σημείο Α(, 7) Α α= : Γ) Απλοποιήστε το τύπο της συάρτησης Δ) Βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξοες + ΑΝ/7 Δίεται η συάρτηση f( ) = Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της με μορφή διαστημάτω Β) Να βρείτε τα σημεία τομής της συάρτησης f με το άξοα και με το άξοα yy Γ) Αφού απλοποιήσετε το τύπο της παραπάω συάρτησης, α δικαιολογήσετε γιατί παριστάει ευθεία γραμμή ( ε ) από τη οποία εξαιρείται έα σημείο Ποιο είαι αυτό; Δ) Βρείτε τη γωία που σχηματίζει η ευθεία ( ε ) με το άξοα Ε) Βρείτε το εμβαδό του τριγώου που σχηματίζει η ( ε ) με τους άξοες

ο Λύκειο Αιγάλεω Ασκήσεις Επαάληψης ΑΝ/7 Δίεται η συάρτηση f( )= +β +γ, β, γ της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται, από τα σημεία Μ(, 8) και Ν(4, 5) Α) Να βρείτε τις τιμές τω β και γ Β) Α β= 4 και γ= 5,α βρείτε: Γ) Τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξοες Δ) Τα διαστήματα στα οποία η C f βρίσκεται πάω από το άξοα Ε) Τη σχετική θέση της C f ως προς τη ευθεία y = 9 ΑΝ/7 Δίοται οι συαρτήσεις f( ) = + 6 + 7 και g ( ) = + και έστω ( ε ) η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α(, f ()) και Β(, g () ) Α) Να βρείτε τη εξίσωση της ευθείας ( ε ) Έστω Γ και Δ τα σημεία της ευθείας ( ε ) με τεταγμέες - και 5 ατίστοιχα Να βρείτε: Β) τις τετμημέες τω Γ και Δ, Γ) Τα συμμετρικά τω Γ και Δ ως προς τη διχοτόμο της ης και ης γωίας τω αξόω Δ) Nα βρείτε το κοιό σημείο τω γραφικώ παραστάσεω τω f και g Ε) Nα βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της g ΑΝ/74 Δίοται οι συαρτήσεις ( ) = f και g ( ) = + Α) Να βρεθού τα πεδία ορισμού τω παραπάω συαρτήσεω Β) Να λύσετε τη εξίσωση g ( ) = 4 Γ) Να λύσετε τη εξίσωση f( ) = g ( ), ΑΝ/75 Δίεται η συάρτηση f( ) = + 6, > Α) Να βρείτε τα: f(), f( ), f( f ()) Β) Να κάετε τη γραφική της παράσταση Γ) Να λύσετε τη εξίσωση f( ) = Δ) Να λύσετε τη αίσωση f( ) > ΑΝ/76 Δίεται η συάρτηση f( ) = + 6 Α) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της συάρτησης τέμει το άξοα

ο Λύκειο Αιγάλεω Ασκήσεις Επαάληψης Β) Βρείτε το διάστημα στο οποίο η C f βρίσκεται κάτω από το άξοα Γ) Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε η εξίσωση f( ) = +λ α μη έχει πραγματικές ρίζες f + = 6 Δ) Να λύσετε τη εξίσωση: ( ) ΑΝ/77 Α η ευθεία ( ε ): =λ + y με λ< 0, διέρχεται από το σημείο Α( λ+,λ+ 5) α βρείτε: Α) Το αριθμό λ Β) Τη ευθεία ( η ) που είαι παράλληλη στη ( ε ) και διέρχεται από το σημείο Β (, ) Γ) Τα σημεία στα οποία η ( η ) τέμει τους άξοες Δ) Το εμβαδό του τριγώου που σχηματίζει η ( η ) με τους άξοες ΑΝ/78 Δίοται οι ευθείες: ( ) ( ε ) y = α + ε : y = α+ + και : 0 Α) Να βρείτε για ποιες τιμές του α, οι ευθείες ( ε ) και ( ε ) είαι παράλληλες Για τη μεγαλύτερη από τις παραπάω τιμές του α, α βρείτε: ε με το yy Β) Το σημείο τομής Α της ( ) Γ) Τα σημεία τομής Β, Γ της ( ) ε με τους άξοες Δ) Τη εφαπτομέη της γωίας που σχηματίζει η ( ) ε με το άξοα Ε) Το εμβαδό του τριγώου που σχηματίζει η ( ε ) με τους άξοες ΑΝ/79 Έστω Α,Β εδεχόμεα δειγματικού χώρου Ω και ΡΑ ( ), ( ) ΡΒ οι πιθαότητές τους, ατίστοιχα Α ΡΑ ( ) 4 ΡΑ ( ) + 9= 0 και το 5 ΡΒ ( ) είαι ρίζα της εξίσωσης 4 9 + = 0 και Ρ( Α Β ) =, τότε: Α) Να βρείτε το ΡΑ ( ) Β) Να βρείτε το ΡΒ ( ) Γ) Να βρείτε τη πιθαότητα α πραγματοποιηθού ταυτόχροα τα Α και Β Δ) Να λύσετε τη αίσωση: ΡΑ ( ) + 9 ΡΑ ( ) > 0 ΑΝ/80 Δίεται η ευθεία ( ε ): = ΡΑ ( ) + εός εδεχομέου Α και το σημείο της Β(,) Α) Να βρείτε το ΡΑ ( ) y, όπου ΡΑη ( ) πιθαότητα

ο Λύκειο Αιγάλεω Ασκήσεις Επαάληψης Β) Α η τετμημέη του σημείου τομής της (ε) με τη ευθεία ( δ ): y = + είαι η πιθαότητα ΡΒ ( ) εός εδεχομέου B και τα εδεχόμεα Α, Β είαι ασυμβίβαστα α βρείτε τη πιθαότητα α πραγματοποιηθεί έα τουλάχιστο από τα εδεχόμεα Α, Β Γ) Α ΡΒ ( ) = και Ρ( Β Α ) =, α βρείτε τη πιθαότητα α πραγματοποιηθεί έα τουλάχιστο από τα εδεχόμεα Α, Β ΑΝ/8 Δίεται η παράσταση Α=λ λ +λ Α) Να τη παραγοτοποιήσετε Β) Α λ> α δείξετε ότι Α> 0 Γ) Α Α= 0 α λυθεί η αίσωση <λ ΑΝ/8 Δίοται οι παραστάσεις: (,4) Β= + 5 5 και Α=d, Γ= + ( ) ( ) Α) Να αποδείξετε ότι Β= Β) Να αποδείξετε ότι Γ= 8 Γ) Να λύσετε τη εξίσωση Α=Β Δ) Να λύσετε τη αίσωση Α Γ ΑΝ/8 Δίεται ο αριθμός: α= + Α) Να βρείτε το αριθμό α 4 Α α=5: Β) Να λύσετε τη εξίσωση: ( ) α( ) + 4 = 0 Γ) Να λύσετε τη αίσωση: α 6 4 α + 9 ΑΝ/84 Δίεται η συάρτηση: f( ) = + Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και α απλοποιήσετε το τύπο της f (0) Β) Nα μετατρέψετε το κλάσμα Α= σε ισοδύαμο με ρητό f(6) f(5) παροομαστή Γ) Να λύσετε τη αίσωση: ( ) 0 f() + f(0) 0 0

ο Λύκειο Αιγάλεω Ασκήσεις Επαάληψης ΑΝ/85 Δίοται οι παραστάσεις Α= Α 4 5 Α Α) Να λύσετε τη εξίσωση: + < Β) Να λύσετε τη εξίσωση Α=Β Γ) Α = 0, α μετατρέψετε τη παράσταση παροομαστή και Β= σε ισοδύαμη με ρητό Β Α Δ) Να αποδείξετε ότι Α Α= Α ΑΝ/86 Θεωρούμε τη συάρτηση: f( ) = +γ, καθώς και τη ευθεία ( ε ) που διέρχεται από τα σημεία Α (, ), Β (4,) και από τo σημείο Γ(, f () ) Α) Να βρείτε τη εξίσωση της ευθείας ( ε ) Β) Να αποδείξετε ότι γ= 6 Γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η C f βρίσκεται πάω από τη ευθεία ( ε ) Δ) Να λύσετε τη εξίσωση: f( ) = 5 ΑΝ/87 Δίεται η συάρτηση: f( ) = 4 +λ Να βρείτε τη τιμή του πραγματικού αριθμού λ για τη οποία η εξίσωση f( ) = 0 έχει: Α) Ρίζα το Β) Δύο ρίζες πραγματικές και άισες Γ) Ρίζες ετερόσημες Δ) Α λ= α βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από το άξοα Ε) Α λ= α λύσετε τη εξίσωση f( ) + 4 = 4 ΑΝ/88 Έστω η συάρτηση f( ) = ( κ+ ) +κ, κ Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f( ) = 0 έχει πραγματικές ρίζες για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού κ Β) Να βρείτε τη τιμή του κ, α είαι γωστό ότι για τις ρίζες,, της εξίσωσης f( ) = 0 ισχύει ότι: + = 5

ο Λύκειο Αιγάλεω Ασκήσεις Επαάληψης Γ) Α κ=, α βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με το άξοα Δ) Α κ=, α λύσετε τη αίσωση f( ) 0 Ε) Α κ=, α λύσετε τη αίσωση f( ) 6 ΑΝ/89 Δίεται η συάρτηση: f( ) = ( λ+ ) +λ + 4λ, λ Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f( ) = 0 έχει δύο άισες ρίζες,, για κάθε λ Β) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες οι ρίζες,, είαι θετικές Α λ=, τότε: Γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της C f με τους άξοες Δ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η C f βρίσκεται πάω από το άξοα Ε) Να βρείτε τη εξίσωση δευτέρου βαθμού που έχει ρίζες +, + ΑΝ/90 Δίεται η συάρτηση f( ) = +λ Α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, για τις οποίες η συάρτηση έχει πεδίο ορισμού το Α λ=, τότε: Β) Να λύσετε τη αίσωση f() < f (0) Γ) Να αποδείξετε ότι α + 9 f (0) 6 α Δ) Να λύσετε τη εξίσωση: f (0) = ΑΝ/9 Δίεται η συάρτηση: f( ) = 4+ 4 + 6 Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β) Να βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξοες Μ Γ) Να εξετάσετε α η f C διέρχεται από το σημείο ( 8,6 4 ) Δ) Να αποδείξετε ότι f(7) + f (6) = ΑΝ/9 Δίεται η εξίσωση ( λ+ ) + (λ+ ) +λ = 0, λ Α) Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση είαι δευτεροβάθμια; Α λ : Β) Δείξτε ότι η διακρίουσα της είαι = λ+ 5

ο Λύκειο Αιγάλεω Ασκήσεις Επαάληψης Γ) Βρείτε τις τιμές του λ, ώστε η εξίσωση α έχει δύο ρίζες πραγματικές και άισες, Δ) Βρείτε τα S = + και Ρ= και υπολογίστε τη παράσταση: Α= + + Ε) Να εξετάσετε α υπάρχει τιμή του λ ώστε για τις ρίζες, της εξίσωσης α ισχύει η σχέση: ( ) ( ) ΑΝ/9 Δίεται η συάρτηση f( ) 9 + + + = 0 = + Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της C f με τους άξοες Γ) Να λύσετε τη αίσωση: + 5 f() ΑΝ/94 Δίεται η συάρτηση f( ) = Α) Να γράψετε το τύπο της συάρτησης f, χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής Β) Να κάετε τη γραφική της παράσταση Γ) Να λύσετε τη εξίσωση f( ) = Δ) Να λύσετε τη αίσωση f( ) > Ε) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τη γραφική παράσταση της συάρτησης g ( ) = 5 ΑΝ/95 Δίεται η συάρτηση f( ) = λ +λ Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f( ) = 0 έχει πραγματικές ρίζες για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού λ Β) Έστω, οι ρίζες της εξίσωσης f( ) = 0 Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε: = 4 Γ) Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε: + < Δ) Για λ= α βρείτε τις τιμές του για τις οποίες αληθεύει η σχέση f( ) 6 ΑΝ/96 Δίεται η συάρτηση f( ) = + + + Α) Να αποδείξετε ότι f( ) =,

ο Λύκειο Αιγάλεω Ασκήσεις Επαάληψης Β) Να λύσετε τη εξίσωση f( ) = 0 Γ) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ισχύει: f( ) 0 f( ) Δ) Απλοποιήστε τη παράσταση Α= 5+ 6 ΑΝ/97 Έστω Ρ(Α) και Ρ(Β) οι πιθαότητες τω εδεχομέω Α και Β εός δειγματικού χώρου Ω Για το αριθμό Ρ(Α) ισχύει: + ΡΑ ( ) ΡΑ ( ) = εώ ο αριθμός Ρ(Β) είαι ρίζα της εξίσωσης: 6 = 0 Α) Να βρείτε τους αριθμούς Ρ(Α) και Ρ(Β) Α ΡΑ ( ) = και ΡΒ ( ) = και η πιθαότητα α συμβού ταυτόχροα τα εδεχόμεα Α και Β είαι, α υπολογίσετε: 6 Β) Τη πιθαότητα α συμβεί τουλάχιστο έα από τα Α και Β Γ) Τη πιθαότητα α συμβεί το πολύ έα από τα εδεχόμεα Α και Β Δ) Τη πιθαότητα α συμβεί μόο έα από τα εδεχόμεα Α και Β ΑΝ/98 Δίεται η εξίσωση + (λ ) +λ = 0, λ Α) Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές; Β) Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και ατίστροφες; Γ) Α, είαι οι δυο πραγματικές ρίζες της εξίσωσης α βρεθού τα λ ώστε α ισχύει + + + 4 Δ) Α, και είαι οι δυο πραγματικές ρίζες της εξίσωσης α βρεθεί η εξίσωση που έχει ρίζες ρ = και ρ = ΑΝ/99 Δίοται οι παραστάσεις 4 A) Να αποδειχτεί ότι Α +Β = 8 + Β) Α < < α αποδειχτεί ότι Α+Β= 8 Γ) Να δείξετε ότι Α +Β 48 ΑΝ/00 Δίοται οι παραστάσεις 4 Α= + και Β= d(,4) Α= + και Β= d(,4) A) Να λύσετε τη αίσωση: Α +Β + 8 Β) Α < < α λύσετε τη εξίσωση ( Α+Β) 9= 0

ο Λύκειο Αιγάλεω Ασκήσεις Επαάληψης Γ) Να δείξετε ότι Α +Β 6 Δ) Α f( ) =Α+Β δείξτε ότι f( ) = f( ) ΑΝ/0 Δίοται οι παραστάσεις: Α= 0 5 και 0 5 Να αποδειχτεί ότι: Α) Α +Β = 70 Β) 0 0 6 και Γ) + = Α Β 5 ΑΝ/0 Α για τους αριθμούς, y ισχύει: Α) Να δείξετε ότι = 5 και y = Β= + 5 Α Β= 5 + 0 + + 6 = 0 y y Β) Να δείξετε ότι οι αριθμοί + y και y είαι ατίστροφοι Γ) Να δείξετε ότι: y+ y = ΑΝ/0 Α για τους αριθμούς αβ, ισχύει: α+ = α+ και β + 4 = β: Α) Βρείτε τους θετικούς αριθμούς αβ, Β) Βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συάρτησης f( ) = ( α+ ) β βρίσκεται κάτω από το άξοα ΑΝ/04 Δίεται η εξίσωση κ +κ = 0 που έχει δύο άισες ρίζες με γιόμεο Α) Δείξτε ότι κ= 4 Β) Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης Γ) Λύστε τη αίσωση: κ +κ < κ Α η μικρότερη από τις ρίζες είαι ο ος όρος ΑΠ και η μεγαλύτερη η διαφορά της προόδου: Δ) Βρείτε το 9 ο όρο και το άθροισμα τω 9 πρώτω όρω Ποιος όρος της προόδου ισούται με 00; ΑΝ/05 Δίοται οι πραγματικοί αριθμοί α και β Α) Να αποδείξετε ότι: α + β + 0α αβ + 5 Β) Α α + β + 0α αβ + α αποδείξετε ότι α= 5 και 5 β= Β) Να λύσετε τις αισώσεις +β 6< 0 και +α Β) Να βρείτε τις κοιές λύσεις τω αισώσεω του προηγούμεου ερωτήματος 5

ο Λύκειο Αιγάλεω Ασκήσεις Επαάληψης ΑΝ/06 Δίεται το τριώυμο f( ) = + Α) Να λύσετε τη αίσωση f( ) < 0 () Β) Να βρείτε τις κοιές λύσης της () με τη αίσωση Γ) Να εξετάσετε α οι αριθμοί και είαι λύσεις της () 98 98 Δ) Να βρείτε το πρόσημο της παράστασης Α= + 99 99 ΑΝ/07 Δίεται το τριώυμο f( ) = Α) Να βρείτε για ποιες τιμές του ισχύει f( ) 0 5 Β) Να εξετάσετε ποιες από τις λύσεις της εξίσωσης 6= 0 είαι λύσεις και της αίσωσης f( ) 0 Γ) Για τις τιμές του που βρήκατε στο ερώτημα Α) α δείξετε ότι η παράσταση Κ = + + + είαι σταθερή και αεξάρτητη του ΑΝ/08 Δίεται η συάρτηση f( ) = + 0 Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και στη συέχεια το σημείο που τέμει το άξοα yy Β) Να βρείτε το πρόσημο του τριωύμου 50 Γ) Α k = α βρείτε το πρόσημο της παράστασης Α= k + k 0 00 f = 0 Δ) Να λύσετε τη εξίσωση ( ) ΑΝ/09 Δίεται η εξίσωση 0+ 4 λ= 0 () και ο αριθμός + 5 = + + Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει δυο πραγματικές και άισες ρίζες για κάθε λ Β) Να δείξετε ότι = 5 Γ) Α ο αριθμός είαι η μία ρίζα της εξίσωσης (), α βρείτε τη άλλη ρίζα της και το αριθμό λ

ο Λύκειο Αιγάλεω Ασκήσεις Επαάληψης ΑΝ/0 Η εξίσωση α +β + 8= 0, κ, λ έχει ρίζες τους αριθμούς και για τους οποίους ισχύει + = 6 και = 4 Α) Να αποδείξετε ότι α= και β= Β) Να αποδείξετε ότι = + 5 και = 5 Γ) Να βρείτε τη τιμή της παράστασης Α= + ΑΝ/ Δίοται οι συαρτήσεις f( ) = 4+α και g ( ) =α 5, με α, για τις οποίες ισχύει ότι f() = g() Α) Να δείξετε ότι α= Β) Να λύσετε τη εξίσωση f( ) = g() µ Γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του µ, το σημείο Μ, αήκει στη 4 γραφική παράσταση της συάρτησης f Δ) Να λύσετε τη εξίσωση f( ) g ( ) = f( ) g ( ) ΑΝ/ Δ Δίεται η συάρτηση f( ) = 5 + 6 Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f Β) Αφού παραγοτοποιήσετε το αριθμητή α δείξετε ότι για κάθε Α η f γράφεται f( ) = Γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξοες Δ) Να λύσετε τη εξίσωση ( ) ΑΝ/ Δίοται οι αριθμοί, f( ) + 4 f( ) 5 = f() και 4, όπου, που με τη σειρά που δίοται είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου Α) Να δείξετε ότι = και α βρείτε τη διαφορά ω της προόδου Β) Α το είαι ο 5 ος όρος αυτής της αριθμητικής προόδου α βρείτε το πρώτο όρο της α και στη συέχεια το ο όρο της α Γ) Να βρείτε ποιος όρος της προόδου είαι ίσος με 8 Δ) Να βρείτε το άθροισμα τω πρώτω 0 όρω της προόδου ΑΝ/4 Δίεται η ακολουθία ( ) Α) Να δείξετε ότι η ακολουθία ( ) και α = 9 α με γεικό όρο α = α είαι αριθμητική πρόοδος με ω=

ο Λύκειο Αιγάλεω Ασκήσεις Επαάληψης Β) Να βρείτε τα αθροίσματα S 7, S 5 και S =α 8 +α 9 + +α 5 Γ) Να αποδείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης = είαι διαδοχικοί όροι της παραπάω αριθμητικής προόδου ΑΝ/5 Δίοται οι ευθείες y ( ) ( ε ): = µ 4µ + και ( δ ) : y = κ+ + 08 Α) Α η ευθεία ( ε ) διέρχεται από το σημείο Α(, ) α δείξετε ότι µ= Β) Να βρείτε τις τιμές του κ ώστε οι ευθείες α είαι παράλληλες Γ) Να βρείτε το εμβαδό που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τους άξοες ΑΝ/6 Δίεται η συάρτηση f( ) = 5 4α β, για τη οποία ισχύει ότι f( α ) + f( β ) = 9 Α) Να δείξετε ότι α= 6 και β= Β) Να λύσετε τη εξίσωση f( ) = f(0) + 6 Γ) Να λύσετε τη εξίσωση ( ) f = 9 ΑΝ/7 Δίεται η εξίσωση ( ) λ λ + 5 = 0, () όπου λ Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει δυο άισες πραγματικές ρίζες, για κάθε λ Β) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ ισχύει ( )( ) = 4 Γ) Για λ= α κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς και ΑΝ/8 Δίεται η εξίσωση ( ) =λ(4 ), () όπου λ Α) Να γράψετε τη εξίσωση () στη μορφή α +β +γ= 0 Β) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση () έχει δυο άισες πραγματικές ρίζες Γ) Α, οι ρίζες της (), α αποδείξετε ότι η παράσταση Α= 4 4 είαι σταθερή και αεξάρτητη του ( )( ) ΑΝ/9 Δίεται η συάρτηση f( ) 4 = Α) Να λύσετε τη εξίσωση f( ) = f( + ) Β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συάρτησης f, βρίσκεται κάτω από τη ευθεία y =

ο Λύκειο Αιγάλεω Ασκήσεις Επαάληψης Γ) Να λύσετε τη αίσωση f( ) f ( f(0) ) Δ) Να γράψετε τη συάρτηση f χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής ΑΝ/0 Δίοται οι συαρτήσεις f( ) = και g ( ) =λ + λ με, λ Α) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις τω συαρτήσεω f και g έχου τουλάχιστο έα κοιό σημείο για κάθε λ Β) Να βρείτε για ποια τιμή του λ οι C f και C g έχου ακριβώς έα κοιό σημείο, το οποίο και α προσδιορίσετε Γ) Α επιπλέο λ και, οι τετμημέες τω κοιώ σημείω τω C f και C g, α βρείτε το αριθμό λ, ώστε α ισχύει ( ) d( ) + =, + ΑΝ/ Δίεται η συάρτηση f( ) = +α +, όπου α φυσικός αριθμός, για τη οποία ισχύει ότι οι αριθμοί f (0), f ( ), f ( ) με τη α σειρά που δίοται είαι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου ( ) Α) Να δείξετε ότι α= Β) Α επιπλέο ο αριθμός (0) f είαι ο 4 ος όρος της γεωμετρικής προόδου ( α ), α βρείτε το πρώτο όρο της α και στη συέχεια το πρώτο όρο της που είαι μεγαλύτερος του 5 Γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάω από τη ευθεία y = 8 Δ) Α, οι ρίζες της εξίσωσης f( ) = 5, α βρείτε τη τιμή της παράστασης Α= + Μ' αρέσει α ταξιδεύω, ' αλλάζω χώρες Να είμαι πάτα άλλος, Ψυχή χωρίς ρίζες, Να ζω έξω από αυτά που βλέπω Να μη αήκω σε καέα Ούτε στο εαυτό μου Να πηγαίω μπροστά, ξοπίσω α παίρω Τη απουσία κάθε σκοπού Και τη επιθυμία μου α το πετύχω Αυτό είαι για μέα το ταξίδι Αλλά εκτός από το όειρο για το ταξίδι Τίποτα από μέα δε υπάρχει σ' αυτό Όλα τα άλλα, γη είαι κι ουραός Fernando Pessoa

o Λύκειο Αιγάλεω 00 Past Papers Past papers ΘΕΜΑ ο Αα) Για οποιουσδήποτε αβ, αποδείξτε ότι αβ = α β (μο0) β) Α < 0 και y > 0 τότε θετικός είαι ο αριθμός: Ι y ΙΙ y ΙΙΙ y ΙV y V y (Επιλέξτε τη σωστή απάτηση) (μο 5) Β α) Να δώσετε το ορισμό της συάρτησης β) Η συάρτηση f( ) = 4 έχει πεδίο ορισμού το: (μο5) I (,) II III [,] IV (, ] [, + ) V (, ) (, + ) (Επιλέξτε τη σωστή απάτηση) (μο 5) ΘΕΜΑ ο Συμπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις αφού τις ατιγράψετε στη κόλλα σας Α Α, ρίζες της εξίσωσης + β + γ = 0, τότε: S = + και = = P = (μο 5) Β Α, ρίζες της εξίσωσης 5 + = 0 τότε : + = (μο 5) Γράψτε στη κόλλα σας τη σωστή απάτηση στις παρακάτω προτάσεις Γ Α οι ρίζες της εξίσωσης 4 + γ = 0 είαι ατίστροφoι αριθμοί τότε: α) γ = β) γ = γ) γ = 0 δ) γ = ε) = Δ Για α έχει η εξίσωση a + β + γ = 0 με, a 0, δύο άισες πραγματικές ρίζες, πρέπει: α) = 0 β) 0 γ) < 0 δ) 0 ε) > 0 (μο 5) Ε Α το - είαι ρίζα της εξίσωσης + λ = 0 γ (μο5) τότε: α) λ = 0 β) λ = γ) λ = 6 δ) λ = ε) = λ (μο 5) K Aδαμόπουλος

o Λύκειο Αιγάλεω ΘΕΜΑ ο Δίοται οι ευθείες : ε y ( λ ) λ ε Past papers : = : y= ( λ ) + 5 ε : y ( λ ) = + + με λ Α) Αποδείξτε ότι το σημείο Α(, ) αήκει στη ευθεία ε για κάθε τιμή του λ (μο 8) Β) Για ποιες τιμές του λ οι ε και ε είαι παράλληλες; (μο 9) Γ) Αποδείξτε ότι δε υπάρχει τιμή του λ τέτοια που οι ε και εα είαι παράλληλες (μο 8) ΘΕΜΑ 4 ο λ+ 5y= 5 Θεωρούμε το σύστημα: + ( λ + 4) y = 5, λ Α) Να υπολογιστού οι ορίζουσες: DD,, D (μο 8) Β) Για ποιες τιμές του λ το σύστημα έχει μοαδική λύση; (μο5) Γ) Α το σύστημα έχει μοαδική λύση (, ) y y βρείτε τη (μο 7) Δ) Για ποιες τιμές του λ ισχύει 0 + y o > ; (μο 5) 0 0 00 ΘΕΜΑ ο Α Α θ > 0, τότε δείξτε ότι < θ θ < < θ Μοάδες 5 Β Λύστε τη αίσωση: + < Μοάδες 0 5 ΘΕΜΑ ο Συμπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις αφού τις ατιγράψετε στη κόλλα σας Α Α, ρίζες της εξίσωσης + β+ γ = 0, τότε: S = + = και P= = Μοάδες 5 Β Α, ρίζες της εξίσωσης 4+ = 0 τότε : + = Μοάδες 5 K Aδαμόπουλος

o Λύκειο Αιγάλεω Past papers Γράψτε στη κόλλα σας τη σωστή απάτηση στις παρακάτω προτάσεις Γ Α οι ευθείες ε : y = ( λ ) και δ : y = είαι παράλληλες, τότε το λ ισούται με: α) λ = β) λ = γ) λ = 0 δ) λ = 4 ε) λ = Μοάδες 5 Δ Για α έχει η εξίσωση α + β+ γ = 0 με, α 0, δύο άισες πραγματικές ρίζες, πρέπει: α) = 0 β) 0 γ) < 0 δ) 0 ε) > 0 Ε Το κλάσμα ισούται με: α) β) γ) Δίεται το σύστημα: ΘΕΜΑ ο λ+ y = λ+ 4+ λ y = Α Υπολογίστε τις ορίζουσες: D, D, Μοάδες 5 δ) ε) Μοάδες 5, λ D y Μοάδες 8 Β Βρείτε τη λύση του συστήματος α λ ± Μοάδες 6 Γ Βρείτε τις λύσεις του συστήματος α λ = Μοάδες 4 Δ Βρείτε τις λύσεις του συστήματος α λ = Μοάδες 4 Ε Βρείτε τις λύσεις του συστήματος α λ = Μοάδες ΘΕΜΑ 4 ο Α Βρείτε το πρόσημο του τριωύμου: 4+ Μοάδες 7 Β Βρείτε το πρόσημο του τριωύμου 4 Μοάδες 6 4+ Γ Να λύσετε τη αίσωση: 0 < 4 Δ Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συάρτησης : f( ) = 4+ 4 Μοάδες 6 Μοάδες 6 K Aδαμόπουλος

o Λύκειο Αιγάλεω 00 ΘΕΜΑ ο Past papers Α Α θ > 0, τότε δείξτε ότι < θ θ < < θ Μοάδες 5 Β Λύστε τη αίσωση: + Μοάδες 0 5 ΘΕΜΑ ο Συμπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις αφού τις ατιγράψετε στη κόλλα σας Α Α, ρίζες της εξίσωσης + = 0, τότε: S = + = και P= = Μοάδες 5 Β Α 0 τότε = Μοάδες 5 Γράψτε στη κόλλα σας τη σωστή απάτηση στις παρακάτω προτάσεις Γ Α οι ευθείες ε : y = ( λ+ ) και δ : y = λ είαι παράλληλες, τότε το λ ισούται με: α) λ = β) λ = γ) λ = 0 δ) λ = 4 ε) λ = Μοάδες 5 Δ Για α έχει η εξίσωση α + β+ γ = 0 με, α 0, δύο άισες πραγματικές ρίζες, πρέπει: α) = 0 β) 0 γ) < 0 δ) 0 ε) > 0 Ε Η παράσταση ( ) ισούται με : Μοάδες 5 α) 0 β) γ) δ) ε) + Μοάδες 5 Δίεται το σύστημα: ΘΕΜΑ ο ( λ ) + y = λ λ+ y = λ+ 4 Α Υπολογίστε τις ορίζουσες: D, D,, λ D y Μοάδες 7 Β Για ποιες τιμές του λ το σύστημα έχει μοαδική λύση; Για αυτές τις τιμές βρείτε αυτή τη μοαδική λύση Μοάδες 4+4 K Aδαμόπουλος

o Λύκειο Αιγάλεω Γ Για ποια τιμή του λ το σύστημα είαι αόριστο; Past papers Σ αυτή τη περίπτωση βρείτε τις άπειρες λύσεις Μοάδες +4 Δ Υπάρχει τιμή του λ τέτοια που το σύστημα α είαι αδύατο; Δίεται το τριώυμο: ΘΕΜΑ 4 ο f( ) λ ( λ ) λ Μοάδες = +, λ 0 Α Βρείτε τη διακρίουσα Δ του τριωύμου Μοάδες 6 Β Για ποιές τιμές του λ το τριώυμο έχει δύο άισες ρίζες; Μοάδες 6 Γ Για ποια τιμή του λ το τριώυμο έχει διπλή ρίζα ; Μοάδες 6 Δ Για λ = βρείτε τις ρίζες του τριωύμου Μοάδες 6 004 ΘΕΜΑ ο Α i) Δώστε το ορισμό της απόλυτης τιμής πραγματικού αριθμού μο 5 ii)α θ > 0, τότε δείξτε ότι < θ θ < < θ μο 0 Β Γράψτε στη κόλλα σας το γράμμα που ατιστοιχεί στη κάθε πρόταση και δίπλα το γράμμα Σ α είαι σωστή ή το γράμμα Λ α είαι λάθος α) Για κάθε ισχύει: 4 = μο β) d(,) = = μο γ) Α + y = 0 τότε = και y = μο Ατιγράψτε στη κόλλα σας και συμπληρώστε τα κεά τω παρακάτω προτάσεω: δ) α + β α + β μο ε) α = β α = μο v στ) Για α 0, 0 και v, v, α = = μο ζ) α > β α β0 μο ΘΕΜΑ ο K Aδαμόπουλος

o Λύκειο Αιγάλεω Past papers Συμπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις αφού τις ατιγράψετε στη κόλλα σας Α Α, ρίζες της εξίσωσης + β+ γ = 0, τότε: S = + = και P= = μο 5 Β Α, ρίζες της εξίσωσης 5+ = 0 τότε : + = μο 5 Γράψτε στη κόλλα σας τη σωστή απάτηση στις παρακάτω προτάσεις Γ Α οι ευθείες ε : y = ( λ ) και δ : y = είαι παράλληλες, τότε το λ ισούται με: α) λ = β) λ = γ) λ = 0 δ) λ = 4 ε) λ = μο5 Δ Για α έχει η εξίσωση α + β+ γ = 0 με, α 0, δύο άισες πραγματικές ρίζες, πρέπει: α) = 0 β) 0 γ) < 0 δ) 0 ε) > 0 μο 5 Ε Το κλάσμα ισούται με: α) β) γ) δ) ε) μο 5 Δίεται το σύστημα: ΘΕΜΑ ο λ+ y = λ+ + λ y = Α Υπολογίστε τις ορίζουσες: D, D,, λ D y μο 8 Β Βρείτε τη λύση του συστήματος για τις διάφορες τιμές του λ μο 8 Γ Βρείτε τις λύσεις του συστήματος α λ = μο Δ Βρείτε τις λύσεις του συστήματος α λ = μο Ε Βρείτε τις λύσεις του συστήματος α λ = μο ΘΕΜΑ 4 ο Δίοται οι συαρτήσεις f, g με τύπους f( ) = + 8 και g ( ) = 5 Α Βρείτε για ποιες τιμές του επαληθεύεται η f( ) 0 μο 5 K Aδαμόπουλος

o Λύκειο Αιγάλεω Β Βρείτε για ποιες τιμές του επαληθεύεται η g ( ) 0 μο 5 Γ Bρείτε τις κοιές λύσεις τω παραπάω αισώσεω μο Δ Βρείτε το τύπο της συάρτησης h ( ) f( ) = μο g ( ) Ε Βρείτε το πεδίο ορισμού της συάρτησης h μο 6 ΣΤ Υπολογίστε το h (6) μο 005 Past papers ΘΕΜΑ ο Α i) Α, οι ρίζες της εξίσωσης α + β+ γ = 0 ( α 0) αποδείξτε ότι : β γ Α) + = Β) = μο 5 α α ii) Α, οι ρίζες της εξίσωσης ( λ ) + λ+ = 0 α υπολογίσετε τα : S = +, P= μο 5 και υπολόγισε το λ α οι ευθείες ε : y = S + και ε : y = P είαι παράλληλες μο 5 ΘΕΜΑ ο Α Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος αφού τις ατιγράψετε στο τετράδιό σας ) α + β α + β για κάθε αβ, μο,5 ) α = α για κάθε α μο,5 ) θ θ θ με θ > 0 μο,5 4) Α α = β τότε α = β για κάθε αβ, μο,5 5) Α α = β τότε α = β = 0 μο,5 6) α + β = α + β για κάθε αβ, μο,5 7) α = α για κάθε α μο,5 α, α α 0 8) Η σχέση : α = α, α α < 0 είαι ο ορισμός της απόλυτης τιμής πραγματικού αριθμού μο,5 Β Να λυθεί η εξίσωση: + = μο K Aδαμόπουλος

o Λύκειο Αιγάλεω Past papers ΘΕΜΑ ο λ+ y = Έστω το σύστημα, λ + λy = λ Α) Να υπολογίσετε τις ορίζουσες DD,, D y μο 0 Β) Να λύσετε το σύστημα για τις διάφορες τιμές του λ μο 5 ΘΕΜΑ 4 ο Α) Λύστε τη αίσωση : > 0 μο 7 ( )( ) Β) Λύστε τη αίσωση : < 0 ( ) μο Γ) Βρείτε το πεδίο ορισμού της συάρτησης : f( ) = ( )( ) ( ) μο 7 006 ΘΕΜΑ ο Α Δώστε το ορισμό της απόλυτης τιμής πραγματικού αριθμού (μόρια 5) Β Α θ > 0, τότε δείξτε ότι < θ θ < < θ (μόρια 0) Γ Γράψτε στη κόλλα σας το γράμμα που ατιστοιχεί στη κάθε πρόταση και δίπλα το γράμμα Σ α είαι σωστή ή το γράμμα Λ α είαι λάθος ) Η εξίσωση α + β+ γ = 0 ( α 0) δε έχει πραγματικές ρίζες α Δ<0 ) α + β = α + β για κάθε αβ, ) α = α για κάθε α 4) Οι ευθείες ε : y = ( λ ) 4 και η : y = είαι παράλληλες α λ = 4 5) α + β = α + β για κάθε αβ, (μόρια 5=0) K Aδαμόπουλος

o Λύκειο Αιγάλεω Past papers ΘΕΜΑ ο A Να λυθεί η εξίσωση: = (μόρια ) Β Να λυθεί η εξίσωση: Γ Να λυθεί η αίσωση: + 7 + = 6 (μόρια 9 ) + 7 + < 6 (μόρια 9) Δ Να λυθεί η εξίσωση: ( ) 6 + 9 + + = 7 (μόρια 4) ΘΕΜΑ ο λ+ y = Έστω το σύστημα, λ 4+ λy = λ+ Α Να υπολογίσετε τις ορίζουσες DD,, D (μόρια 7) Β Α D 0 βρείτε τις λύσεις του συστήματος (μόρια 7) Γ Α D = 0 βρείτε τις τιμές του λ και αποδείξτε ότι για μια από αυτές το σύστημα είαι αδύατο εώ για τη άλλη αόριστο (μόρια 7) y,, Δ Για τη τιμή του λ για τη οποία το σύστημα έχει άπειρες λύσεις ( ) προσδιορίστε τη λύση (, y ) για τη οποία ισχύει : 0 + y0 = 0 0 0 Α Λύστε τη εξίσωση : Β Βρείτε το πρόσημο του τριωύμου : Γ Βρείτε το πρόσημο του τριωύμου : ( 4) + Δ Λύστε τη αίσωση : 6 y (μόρια 4) ΘΕΜΑ 4 ο 6= 0 (μόρια 5) 6 (μόρια 5) + (μόρια 5) ( ) Ε Βρείτε το πεδίο ορισμού της συάρτησης : (μόρια 4) < 0 f( ) = (μόρια 6) ( 4)( ) + 6 007 ΘΕΜΑ o Α Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις σημειώοτας στη κόλα σας το αριθμό της πρότασης και πλάι σ αυτό το γράμμα (Σ),α η πρόταση είαι Σωστή ή το γράμμα (Λ) α αυτή είαι Λάθος (μοάδες 0) K Aδαμόπουλος

o Λύκειο Αιγάλεω α/α ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Η εξίσωση (λ-)χ=λ - για λ=, έχει άπειρες λύσεις Α αβ>0 τότε και (α/β)>0 Α χ = α χ=α ή χ=-α 4 Η απόσταση τω αριθμώ και - είαι (μια) μοάδα 5 Είαι χ = χ για κάθε χ R 6 Οι ευθείες με εξισώσεις ψ=χ+ και ψ=χ- είαι κάθετες 7 Η λύση του συστήματος { χ-ψ=4 και χ+ψ=} είαι η (,-) 8 Α στή εξίσωση αχ +βχ+γ=0 είαι αγ<0 τότε αυτή έχει λύσεις πραγματικές και άισες 9 Το άθροισμα τω ριζώ της εξίσωσης χ -5χ+=0 είαι 0 χ= είαι μια λύση της αίσωσης χ -χ+ >0 Past papers Β α) Τι λέγεται συάρτηση (05 μοάδες ) β) Τι λέγεται αεξάρτητη και τι εξαρτημέη μεταβλητή; (05 μοάδες ) γ) Να βρείτε το πεδίο ΟΡΙΣΜΟΥ της συάρτησης: (05 μοάδες ) f() = ΘΕΜΑ ο Α Σε κάθε γραμμή του παρακάτω πίακα περιέχεται μια ερώτηση που ακολουθείται από πέτε απατήσεις (Α,Β,Γ,Δ,Ε) εκ τω οποίω μια μόο είαι σωστή Να μεταφέρετε στη κόλα σας το αριθμό της ερώτησης και δίπλα απ αυτό α σημειώσετε το γράμμα που ατιστοιχεί στη σωστή απάτηση (πχ -Γ=στη ερώτηση είαι σωστή η απάτηση Α) (μοάδες ) α/α 4 5 Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Η εξίσωση (λ-)χ=λ -4 είαι αόριστη ότα το λ πάρει τη τιμή: Α -, Β -, Γ 0, Δ, Ε (μοάδες ) Α χ- < τότε : Α -<χ<, Β -<χ<, Γ χ> ή χ<-, Δ -<χ<, Ε -<χ< (μοάδες ) Η συάρτηση f() + = παίρει τη τιμή για χ= Α -, Β -, Γ 0, Δ, Ε (μοάδες ) Η ορίζουσα Κ= ισούται με : Α -, Β -, Γ 0, Δ, Ε (μοάδες ) Η διακρίουσα της εξίσωσης : χ +λχ-=0 είαι : Α λ -4, Β Πάτοτε θετική, Γ 4-λ, K Aδαμόπουλος

o Λύκειο Αιγάλεω Past papers Δ Πάτοτε αρητική Ε 0, ότα λ= (μοάδες ) Β Να δείξετε ότι : Α θ>0 τότε χ <θ -θ<χ<θ (μοάδες 6) Να λύσετε τη εξίσωση : χ- = (μοάδες 6) ΘΕΜΑ ο Δίεται εξίσωση χ -(μ-)χ+μ- =0 μ Να υπολογίσετε τη διακρίουσα συαρτήσει του μ (μοάδες 5) Να δείξετε ότι η παραπάω εξίσωση έχει ρίζες άισες για κάθε μ (μοάδες 8) Να υπολογίσετε το άθροισμα S=χ +χ και το γιόμεο P= χ χ τω ριζώ συαρτήσει του μ (μοάδες 5) 4 Να υπολογίσετε τις τιμές του μ ώστε χ +χ + χ χ < (μοάδες 7) ΘΕΜΑ 4 ο Δίεται το σύστημα τω εξισώσεω : λχ+(λ+)ψ=λ (λ+)χ + 4λψ = Να υπολογιστού οι ορίζουσες D, D, D ψ (μοάδες 7) Να βρεθού οι τιμές του λ ώστε το σύστημα α έχει μοαδική λύση (μοάδες 7) Να δείξετε ότι α (χ 0,ψ 0 ) είαι η μοαδική λύση τότε : χ 0 = 4 λ+ λ, ψ 0 = (μοάδες 4) λ+ λ+ 008 4 Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε χ 0 +ψ 0 > (μοάδες 7) ΘΕΜΑ ο Α α Α χ,χ οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης αχ +βχ+γ=0,α 0, α συμπληρώσετε τις ισότητες χ +χ = και χ χ = ΜΟΡΙΑ 5 β Αποδείξτε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α και β ισχύει: αβ = α β ΜΟΡΙΑ 0 Β Να χαρακτηρίσετε αληθείς (Σ) ή ψευδείς (Λ) Α β 4αγ > 0 τότε η εξίσωση α + β+ γ = 0 είαι αδύατη K Aδαμόπουλος

o Λύκειο Αιγάλεω Ισχύει: < θ θ < < θ όπου θ > 0 Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει, y 4 Η απόσταση τω σημείω Α ( ) και ( ) ( ) ( y y ) ΑΒ = + Past papers α =α Β, y δίεται από το τύπο 5 Α η συάρτηση f( ) =α +β +γ, α 0 έχει δύο ρίζες, τότε f( ) =α ΜΟΡΙΑ 0 ισχύει: ( ) ( ) ΘΕΜΑ ο Α) Nα λυθεί η εξίσωση: + = 4 μο 0 Β) Λύστε τη αίσωση: + < 4 μο 0 Γ) Βρείτε το πεδίο ορισμού της συάρτησης: f( ) = + 4 μο 5 ΘΕΜΑ ο y = λ Δίεται το σύστημα:, λ + 5y 7=λ i Να δείξετε ότι το σύστημα έχει μοαδική λύση για κάθε πραγματική τιμή του λ (8 μοάδες) ii Να βρείτε τη μοαδική λύση ( o, y o ) του συστήματος (9 μοάδες) iii Να βρείτε τη τιμή του λ για τη οποία είαι o +y o =λ +79 (8 μοάδες) ΘΕΜΑ 4 ο Οι αριθμοί, είαι ρίζες της εξίσωσης 6 ρ 0, ρ ισχύει: = 0 τότε Α Να αποδείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης είαι και 8 ( 0 μο ) Β Να βρείτε το αριθμό ρ ( 8 μο ) Γ Να βρείτε για ποιες τιμές του ισχύει ότι 4< + ρ (7 μο) = και K Aδαμόπουλος

o Λύκειο Αιγάλεω 009 ΘΕΜΑ ο Past papers Α) Δώστε το ορισμό της απόλυτης τιμής πραγματικού αριθμού μο 5/00 B) Α, οι ρίζες της εξίσωσης α + β+ γ = 0 ( α 0) αποδείξτε ότι : β γ + = και = α α μ 0/00 Γ) Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος αφού τις ατιγράψετε στο τετράδιό σας ) Α αγ, ετερόσημοι πραγματικοί αριθμοί τότε η α + β+ γ = 0 έχει δύο άισες ρίζες μ /00 ) Η εξίσωση α + β+ γ = 0 δε έχει ρίζες α < 0 μ /00 β ) Α = 0 η εξίσωση α + β+ γ = 0 έχει διπλή ρίζα = α μ /00 4) Α ρ διπλή ρίζα του τριωύμου α + β+ γ = 0 τότε ( ) α +β +γ=α ρ μ /00 5) α+β = α+ β μ /00 ΘΕΜΑ ο t t Α) Λύστε τη αίσωση: + < μ 5/00 t t Β) Α ( ε ) : y = 7 και ( ε ) : y = + δύο ευθείες, βρείτε τις τιμές του t ώστε οι ευθείες α είαι παράλληλες μ 0/00 ΘΕΜΑ ο Θεωρούμε τη εξίσωση: ( λ ) λ + λ= 0, με λ Α) Βρείτε τις τιμές του λ ώστε η εξίσωση α έχει διπλή ρίζα μ 8/00 Β) Βρείτε τις τιμές του λ ώστε η εξίσωση α έχει δύο ρίζες πραγματικές και άισες μ 9/00 Γ) Α, οι άισες ρίζες της εξίσωσης βρείτε τις τιμές του λ ώστε α ισχύει: ( + ) + = μ 8/00 K Aδαμόπουλος

o Λύκειο Αιγάλεω ΘΕΜΑ 4 ο Past papers ( λ ) y = Δίεται το σύστημα: (Σ):, λ λ + ( λ ) y = Α) Δείξτε ότι D = ( λ )( λ+ ), D = ( λ ) και D = ( λ ) y μ 7/00 Β) Βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες το σύστημα έχει μοαδική λύση ( 0, y 0) τη οποία και α βρείτε μ 0/00 Γ) Βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες το σύστημα έχει μοαδική λύση (, y ) για τη οποία ισχύει: 0 > y0 μ 8/00 0 0 00 ΘΕΜΑ ο Α) Τι λέμε συάρτηση από έα σύολο Α σε έα σύολο Β; (μ 5/00) Β) Για κάθε α, β αποδείξτε ότι: α β = α β (μ 0/00) Γ) Να χαρακτηρίσετε ως Σωστές ή Λάθος τις προτάσεις: Για κάθε α ισχύει: α =α Α, οι ρίζες του τριωύμου f( ) =α +β +γ, τότε αυτό γράφεται ως γιόμεο παραγότω στη μορφή f( ) =α( )( ) Α μια δευτεροβάθμια εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές, τότε είαι Δ 0 4 Η γραφική παράσταση της συάρτησης y =α +β τέμει το άξοα ' στο σημείο Σ(0, β ) α +β y =γ 5 Α το σύστημα έχει D=0, τότε είαι πάτα α +β y =γ αδύατο (μ 5=0/00) Α) α) Α ΘΕΜΑ ο α< <β α απλοποιήσετε τη παράσταση: Α= β-α + α- + β (μ 5/00) 4 β) Να λύσετε τη εξίσωση: 8 (μ 0/00) 4 γ) Να λύσετε τη αίσωση: 8 6 (μ 0/00) K Aδαμόπουλος

o Λύκειο Αιγάλεω Past papers ΘΕΜΑ ο ( λ ) +λ y = λ Δίεται το σύστημα:, λ + ( λ+ ) y = Α)Δείξτε ότι D = ( λ 4)( λ+ ), D = λ( λ 4) και D = 6( λ 4) y (μ 5/00) Β) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε το σύστημα α έχει μοαδική λύση, y ( 0 0) Γ) Να βρείτε τη μοαδική λύση (, ) 0 0 (μ 8/00) y (μ 7/00) Δ) Α ( ε ): y = D + 5 και ( η ): y = D + δύο ευθείες, προσδιορίστε τις τιμές του λ ώστε α είαι παράλληλες (μ 5/00) ΘΕΜΑ 4 ο ( λ ) +λ = 0, με λ Δίεται η εξίσωση: Α) Υπολογίστε τη διακρίουσα Δ (μ 5/00) Β) Aποδείξτε ότι για κάθε λ η εξίσωση έχει δύο πραγματικές και άισες ρίζες (μ 5/00) Γ) Α, οι άισες ρίζες βρείτε το άθροισμά τους S και το γιόμεό τους P και υπολογίστε τη παράσταση: Α= + (μ 7/00) + Δ) Βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες ισχύει: (μ 8/00) 0 ΘΕΜΑ ο Α) Δώστε το ορισμό της απόλυτης τιμής πραγματικού αριθμού (μο 5) Β) Α α, β, τότε δείξτε ότι α β = α β (μο 8) Γ) Γράψτε στη κόλλα σας το γράμμα που ατιστοιχεί στη κάθε πρόταση και δίπλα το γράμμα Σ α είαι σωστή ή το γράμμα Λ α είαι λάθος ) Η εξίσωση α +β +γ= 0 ( α 0) δε έχει πραγματικές ρίζες α Δ<0 ) Α αγ, ετερόσημοι η εξίσωση: α +β +γ= 0 έχει δύο άισες ρίζες ) Το σημείο Α (,) αήκει στη ευθεία ε : y = 4) Α α=β τότε α=β για κάθε α, β 5) Α, οι ρίζες της α +β +γ= 0, ( 0) 6) Ισχύει: α+β = α + β για κάθε α, β y γ α, τότε = α (μο 6=) ΘΕΜΑ ο Α) Να λυθεί η αίσωση: 0 (μο 4) K Aδαμόπουλος

o Λύκειο Αιγάλεω Β) Να λυθεί η εξίσωση: Γ) Να λυθεί η αίσωση: Δ) Βρείτε το πεδίο ορισμού της συάρτησης: ΘΕΜΑ ο Α) Στο διπλαό σχήμα σας δίεται η γραφική παράσταση C f μιας συάρτησης f Α) Σε ποιά διαστήματα η C f είαι γησίως αύξουσα και σε ποιά γησίως φθίουσα; (μο6) Α) Σε ποιό σημείο η συάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο και ποιό είαι αυτό; (μο 5) Α) Λύστε τη εξίσωση: f( ) = 0(μο ) Α4) Λύστε τη αίσωση: f( ) > 0 (μο ) Β) Στο διπλαό σχήμα σας δίoται οι γραφικές παραστάσεις C f και C g δύο συαρτήσεω f και g Με βάση το σχήμα: Β) Σε ποιό σημείο η συάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο; (μο ) Β) Λύστε τη εξίσωση: f( ) = g ( ) (μο ) Β) Να λύσετε τη αίσωση: f( ) > g ( ) (μο ) Β) Να λύσετε τη αίσωση: g ( ) < 0 (μο ) Past papers + = 5 (μο 8) 4 + 0 5 (μο 0) 4 f( ) = + 5 (μο ) ΘΕΜΑ 4 ο Δίεται η εξίσωση: ( λ ) λ= 0 (), με λ Α) Αποδείξτε ότι η () έχει δύο ρίζες πραγματικές και άισες για κάθε (μο7) Β) Α, οι άισες ρίζες της (): Β) Βρείτε τις τιμές τω παραστάσεω: S = +, P= και δείξτε ότι: + =λ 6λ+ 4 (μο6) Β) Για ποια τιμή του λ το + γίεται ελάχιστο και ποια είαι η ελάχιστη τιμή του; (μο6) Β) Βρείτε τα λ για τα οποία ισχύει: + + (μο6) K Aδαμόπουλος

o Λύκειο Αιγάλεω 0 ΘΕΜΑ Ο Past papers Α Δίεται η εξίσωση α +β +γ= 0, με α 0 και > 0 β γ Να δείξετε ότι : + = και = α α (Μ0) Β Πότε λέμε ότι μία ακολουθία είαι αριθμητική πρόοδος (Μ7) Γ Να χαρακτηρίσετε ως Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις: Γ α+β = α + β, για κάθε α, β Γ ( ) =, για κάθε Γ Α 0 τότε = Γ4 Η εξίσωση κάθε k + k 4= 0 έχει δύο πραγματικές και άισες ρίζες για (Μ8) ΘΕΜΑ Ο Α + Να λύσετε τη εξίσωση: + = (Μ0) Β + Να λύσετε τη αίσωση: + < (Μ0) Γ Α οι ευθείες : y λ + λ + 4 ε = + 8 και η : y = + 9 είαι παράλληλες α βρείτε τις τιμές του λ (Μ5) ΘΕΜΑ Ο f ( ) k k Δίεται το τριώυμο: = +, που έχει δύο (άισες) ρίζες με γιόμεο Α Δείξτε ότι k = 4 (Μ5) Β Για k = 4, βρείτε τις ρίζες του τριωύμου (Μ5) Γ Για k = 4, λύστε τη αίσωση: f( ) < 0 (Μ5) Δ Α μια αριθμητική πρόοδος ( α ) έχει ως ο όρο ( α ) τη μικρότερη από τις ρίζες που βρήκατε και ως διαφορά ( ω ) τη μεγαλύτερη από αυτές: S Δ Βρείτε το ο όρο ( ) α και το άθροισμα τω πρώτω όρω ( ) (Μ5) Δ Ποιος όρος της αριθμητικής προόδου ισούται με 64; (Μ5) K Aδαμόπουλος

o Λύκειο Αιγάλεω ΘΕΜΑ 4 Ο Past papers k Δίεται η συάρτηση f( ) =, με k 5 Α Βρείτε το πεδίο ορισμού της συάρτησης (Μ5) Β Α η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α (,), δείξτε ότι k = (Μ6) Γ Για k =, βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξοες (Μ8) Δ Για k =, βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τη οριζότια ευθεία y = (Μ6) 0 ΘΕΜΑ ο Α)Πότε μια ακολουθία (α ) λέγεται αριθμητική πρόοδος; (μ 5/00) Β) Α, είαι οι ρίζες της εξίσωσης α +β+γ=0 με α,β,γ R και α 0, α αποδείξετε ότι: α) + = - β και β) = γ (μ 0/00) α α Γ) Να χαρακτηρίσετε ως Σωστές ή Λάθος τις προτάσεις: 6 Για κάθε πραγματικό αριθμό α,β,γ ισχύει α γ>β γ α>β 7 Α α είαι πραγματικός αριθμός και ισχύει α =α, τότε α 0, τότε α=β=0 8 Α α +β =0, για α,β R 9 Α =θ τότε: =θ και = -θ 0 Α οι πραγματικοί αριθμοί α,β,γ είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε β =α γ α) Να λύσετε τη εξίσωση: β) Να λύσετε τη αίσωση: (μ 5=0/00) ΘΕΜΑ ο - - -4 -= + (μ /00) + - -8 - + (μ /00) 6 ΘΕΜΑ ο Στο διπλαό σχήμα δίεται η γραφική παράσταση της συάρτησης f που είαι ορισμέη σε όλο το R α) Να βρείτε τη εξίσωση της ευθείας (ε ) που διέρχεται από τα σημεία Α(-,0) και Β(0,,5) (μ 4/00) K Aδαμόπουλος

o Λύκειο Αιγάλεω β) Να λύσετε τις εξισώσεις f()=0, f()= f()=0,5+,5 και τις αισώσεις f()>0, f() γ) Η ευθεία (ε ) έχει εξίσωση y= λ - +5 Για ποιες τιμές του λ R είαι η ε //ε ; (μ 6/00) δ) Σε αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο α τη κλίση της ευθείας y=0,5+,5 και α 6 =0,5,α βρείτε τη διαφορά ω (μ 5/00) Past papers ΘΕΜΑ 4 ο Δίεται η εξίσωση: +(λ+)+λ+6=0 (), με λ R α)για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικούς αριθμούς; (μ 0/00) β)να υπολογίσετε το λ α γωρίζετε ότι + =,όπου, οι ρίζες της εξίσωσης (μ 0/00) γ)α ο αριθμητικός μέσος τω ριζώ της εξίσωσης () είαι -5,α υπολογίσετε τις ρίζες, (μ 5/00) 04 ΘΕΜΑ Α Χαρακτηρίστε ως Σωστές ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις: Α Η εξίσωση: α +β +γ= 0, με α 0, έχει δύο άισες ρίζες α για τη διακρίουσα Δ ισχύει: < 0 Α Για δύο εδεχόμεα Α,Β εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: ΡΑ Β ( ) =ΡΑ+ΡΒ ΡΑ Β ( ) ( ) ( ) Α Οι ευθείες ε : y=α +β και ε : y=α +β είαι παράλληλες α α =α και β β Α4 Α α=β τότε α=β ή α = β Α5 Α, οι ρίζες της εξίσωσης α +β +γ= 0 τότε είαι: β γ + = και = (Μοάδες 0) α α Β Να αποδείξετε ότι α αβ, 0, τότε ισχύει: α β = α β (Μοάδες 5) ΘΕΜΑ Δίεται το τριώυμο ( ) + + K Aδαμόπουλος

o Λύκειο Αιγάλεω α) Να αποδείξετε ότι η διακρίουσα του τριωύμου είαι: = ( + ) (Μοάδες ) β) Να παραγοτοποιήσετε το τριώυμο (Μοάδες ) Past papers ΘΕΜΑ ΓΝα λύσετε τη εξίσωση: = (Μοάδες 0) + Γ Να λύσετε τη αίσωση: + < (Μοάδες 0) λ + ΓΒρείτε τις τιμές του λ α οι ευθείες ( ε ): y = + 8 και λ + 4 ( η ): y = + 9 είαι παράλληλες (Μοάδες 5) ΘΕΜΑ 4 Για τη τύπωση επαγγελματικής κάρτας επιλέγεται τετράγωο χαρτόι πλευράς cm (5 0), στο οποίο η περιοχή τύπωσης περιβάλλεται από περιθώρια cm στο πάω και στο κάτω μέρος της και cm δεξιά και αριστερά (όπως στο σχήμα) α) Να δείξετε ότι το εμβαδό Ε της περιοχής τύπωσης τω επαγγελματικώ στοιχείω εκφράζεται από τη συάρτηση: E()= -6+8 (Μοάδες 8) β) Να βρεθεί το η τιμή του ώστε το εμβαδό της περιοχής τύπωσης τω επαγγελματικώ στοιχείω α είαι 4 cm (Μοάδες 7) γ) Α το εμβαδό της περιοχής τύπωσης τω επαγγελματικώ στοιχείω είαι το πολύ 5 cm, α βρεθού οι τιμές που μπορεί α πάρει η πλευρά του τετραγώου (Μοάδες 0) K Aδαμόπουλος

2025 © DocPlayer.gr Πολιτική Απορρήτου | Όροι Χρήσης | Σχόλια