i) Nα εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο την γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας.

Στην διάταξη του σχήµατος ) οι δύο κυκλικοί δίσκοι Δ, Δ έχουν την ιδια ακτίνα R και αντίστοιχες µάζες m, m µπορούν δε να κυλίωνται χωρίς ολίσθηση κατά µήκος δύο κεκλιµέ νων επιπέδων που είναι µεταξύ τους κάθετα. Η τροχαλία έχει µάζα Μ που θεωρείται συγκεντρωµένη στην περιφέρειά της και µπορεί να στρέφεται περί σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της, το δε νήµα που περιβάλλει το αυλάκι της τροχαλίας είναι αβαρές και µη εκτατό και οι άκρες του έχουν δεθεί µε τα κέντρα των δίσκων. Κάποια στιγµή που θεωρείται ως αρχή µέτρησης του χρόνου το σύστηµα αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί εκ της ηρεµίας. i) Nα εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο την γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας. ii) Εάν n είναι ο συνελεστής οριακής τριβής µεταξύ του κάθε κεκλι µένου επιπέδου και του αντίστοιχου δίσκου, να βρείτε τις αναγκαίες συνθήκες που εξασφαλίζουν την κύλιση των δίσκων. Δίνεται η επιτά χυνση g της βαρύτητας, οι ροπές αδράνειας m R /, m R / των δύο δίσκων ως προς τους άξονες περιστροφής τους, η γωνία κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα του ενός κεκλιµένου επιπέδου και ότι το νήµα δεν ολισθαίνει στο αυλάκι της τροχαλίας. ΛΥΣΗ: i) Ας δεχθούµε ότι ο δίσκος Δ ανέρχεται κυλιόµενος χωρίς ολίσθηση επί του κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσεως φ, ενώ ο δίσκος Δ κατέρχεται επίσης κυλιόµενος χωρίς ολίσθηση επί του κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσως θ=π/-φ. Ο δίσκος Δ δέχεται το βάρος του w που αναλύεται στην παράλληλη προς το αντίστοιχο κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα w ' και στην κάθετη προς αυτό συνιστώσα w '', την τάση Q του νήµατος και την δύναµη επαφής του κεκλιµένου επιπέδου που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην στατική τριβή T. Αντίστοιχες δυνάµεις w ', w '', Q, N, T δέχεται ο δίσκος Δ. Εφαρµόζοντας για την κίνηση του κέντρου µάζας του Δ τον δεύτε ρο νόµο του Νεύτωνα και για την περιστροφή του δίσκου περί το κέντρο µάζας του τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης, παίρνουµε τις σχέσεις: Q - w' -T = m a T R = m R ' / Q - m gµ - T = m a T = m R' / όπου a το κοινό µέτρο των επιταχύνσεων a, a των κέντρων µάζας των δύο )

δίσκων και ' η γωνιακή επιτάχυνση του Δ. Όµως λόγω της κύλισης του Δ ισχύει a=ω R, οπότε οι σχέσεις ) γράφονται: Q - m gµ - T T = m a / = m a Q - m gµ - m a / = m a Q = m gµ + 3m a / ) Σχήµα Εφαρµόζοντας τους ίδιους νόµους για τον δίσκο Δ παίρνουµε: w' - Q - T = m a T R = m R ' / m gµ - Q - T = m a T = m R' / m g - Q - T T = m a / = m a ' Q = m g - 3m a/ 3) Εξάλλου η τροχαλία δέχεται από το νήµα που περιβάλλει το αυλάκι της τις δυνάµεις Q ' και Q ' που είναι αντίθετες προς τις δυνάµεις Q και Q αντι στοίχως, διότι το νήµα θεωρείται µε ασήµαντη µάζα. Εφαρµόζοντας για την τροχαλία τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: Q' r - Q' r = Mr ' Q - Q = Mr' Q - Q = Ma 4) όπου r η ακτίνα της τροχαλίας και ' η γωνιακή της επιτάχυνση για την οποία ισχύει rω =a, διότι το µέτρο της επιτρόχιας επιτάχυνσης των σηµείων της περιφέρειας της τροχαλίας είναι ίσο µε a. Συνδυάζοντας την σχέση 4) µε τις ) και 3) έχουµε: m g - 3m a/ - m gµ + 3m a / ) = Ma

g m - m µ ) = a 3m + 3m + M) / a = g m - m µ ) 3m + 3m + M 5) Άρα το µέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της τροχαλίας θα είναι: '= a r 5) '= g r ' m - m µ ), 6) 3m + 3m + M + Παρατηρούµε από την 6) ότι το µέτρο της ' είναι σταθερό, δηλαδή η τροχαλία εκτελεί οµαλα επιταχυνόµενη περιστροφική κίνηση, οπότε το µέτρο της γωνια κής της ταχύτητας ύστερα από χρόνο t αφ ότου ξεκίνησε η περιστροφή της δί νεται από την σχέση: 6) = 't = g r ' ) m - m µ, t 7) 3m + 3m + M + Από τις σχέσεις 5) και 6) παρατηρούµε τα εξής: α) Αν m συνφ-m ηµφ> ή m συνφ>m ηµφ ή m /m >εφφ, τότε a> και ω >, δηλαδή η αρχική µας παραδοχή ότι ο δίσκος Δ ανέρχεται και ο Δ κατέρχεται είναι σωστή. Στην περίπτωση αυτή η τροχαλία στρεφεται δεξιόστροφα ω >). β) Αν m συνφ-m ηµφ< ή m συνφ<m ηµφ ή m /m <εφφ, τότε a< και ω <, που σηµαίνει ότι ο δίσκος Δ κατέρχεται και ο Δ ανέρχεται, η δε τροχαλία στρέφεται αριστερόστροφα ω <). γ) Αν m συνφ-m ηµφ= ή m συνφ=m ηµφ ή m /m =εφφ, τότε a= και ω = που σηµαίνει ότι το σύστηµα αν αφεθεί ελευθερο θα ισορροπεί. ii) Από τους προηγούµενους υπολογισµούς προκύπτει ότι τα µέτρα των στατι κών τριβών T, T είναι: T = m a / T =m a / 8) Όµως λόγω της κύλισης των δύο δίσκων τα µέτρα αυτά ικανοποιούν και τις σχέσεις: T nn T nn T nm g ' T nm g ) 8) m a / nm g ' m a / nm g )

m g m - m µ 3m + 3m + M m g m - m µ 3m + 3m + M nm g ) nm g' + m - m µ 3m + 3m + M m - m µ 3m + 3m + M n ' ) ) ) nµ ) ) m - m 3m + 3m + M n ' m - m 3m + 3m + M n ) 9) Οι σχέσεις 9) αποτελούν τις αναγκαίες συνθήκες για να κυλίωνται χωρίς ολίσ θηση οι δύο δίσκοι. P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος ) η διπλή τροχαλία έχει µάζα m και µπορεί να στρέφεται περί σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της, τα δε νήµατα που είναι περιτυλιγµένα στα αυλάκια της είναι αβαρή και µη εκτατά. Στις ελεύθερες άκρες των νηµάτων έχουν δεθεί τα σώµατα Σ, Σ µε αντίστοιχες µάζες 3m και m, το δε σύστηµα κρατείται ακίνητο ώστε το Σ να απέχει από το έδαφος απόσταση h, ενώ το Σ µόλις εφάπτεται του εδάφους. Κάποια στιγµή που θεωρεί ται ως αρχή µέτρησης του χρόνου το σύστηµα αφήνεται ελευθερο και το µεν σώµα Σ κατέρχεται ενώ το Σ ανέρχεται. i) Nα εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο την γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας κατά το στάδιο που το σώµα Σ ανέρχεται και να δώσε τε την γραφική παράσταση της σχέσεως που θα βρείτε. ii) Να βρείτε την ανοδική µετατόπιση του σώµατος Σ µετά την προσ γείωση του Σ στο έδαφος. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας, η ακτίνα αδράνειας k της τροχαλίας, οι ακτίνες της R και R, τα δε νή µατα δεν ολισθαίνουν στα αυλάκια της. ΛΥΣΗ: i) Eξετάζοντας το σύστηµα πριν το σώµα Σ προσγειωθεί στο έδαφος, παρατηρούµε ότι το Σ κατέρχεται υπό την επίδραση του βάρους του 3m g και της τάσεως T του νήµατος που το συγκρατεί, το δε σώµα Σ ανέρχεται υπό την επίδραση του βάρους του m g και της τάσεως T του αντίστοιχου νήµατος σχ. ). Εφαρµόζοντας για τα δύο σώµατα τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε τις σχέσεις: 3mg - T = 3ma T - mg = ma T = 3mg - 3ma T = ma + mg )

όπου a, a οι επιταχύνσεις των σωµάτων Σ και Σ αντιστοίχως. Εξάλλου η διπλή τροχαλία στρέφεται αριστερόστροφα περί τον σταθερό άξονά της υπό την επίδραση των ροπών των τάσεων T ', T ' που δέχεται από το νήµα που περι βάλλει τα αυλάκια της, oι οποίες είναι αντίθετες προς τις τάσεις T, T αντιστοί χως, διότι τα νήµατα θεωρούνται µε ασήµαντη µάζα. Εφαρµόζοντας για την τροχαλία τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα έχουµε: Σχήµα Σχήµα 3 T' R - T' R = mk ' T R - T R = mk ' ) όπου ' η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας. Συνδυάζοντας τις σχέσεις ) και ) παίρνουµε: 3mg - 3ma )R - ma + mg)r = mk ' 3) Όµως οι επιτρόχιες επιταχύνσεις των σηµείων επαφής των δύο νηµάτων µε τα αυλάκια ακτίνων R και R είναι ίσες µε τις επιταχύνσεις a, a αντιστοίχως, δηλαδή ισχύουν οι σχέσεις a =Rω π και a =Rω π, οπότε η 3) γράφεται: 3mg - 3mR' )R - mr' + mg)r = mk ' gr = 7R ' +k ' ' = gr 7R + k 4) Παρατηρούµε από την 4) ότι η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας είναι στα θερή, δηλαδή κατά το στάδιο αυτό η τροχαλία εκτελεί οµαλά επιταχυνόµενη περιστροφική κίνηση, που σηµαίνει ότι το µέτρο της γωνιακής της ταχύτητας ύστερα από χρόνο t αφ ότου αρχισε η περιστροφή της δίνεται από την σχέ ση: 4) grt = ' t = 7R + k µε t t όπου t ο χρόνος κίνησης του σώµατος Σ µέχρις ότου προσγειωθεί. Όµως ο χρό νος t ικανοποιεί την σχέση:

4) h = a t / = ' Rt / h = gr t 7R + k t = h g 7R + k R 5) Μετά την προσγείωση του Σ t t ), το νήµα µε το οποίο συνδέεται χαλαρώνει, ενώ η τροχαλία εξακολουθεί να περιστρέφεται υπό την επίδραση της ροπής της τάσεως T ' η οποία την επιβραδύνει, το δέ σώµα Σ συνεχίζει την ανοδική του κίνηση υπό την επίδραση των δυνάµεων m g και T, η οποία όµως κατά το στάδιο αυτό είναι επιβραδυνόµενη σχ. 3). Εφαρµόζοντας για την τροχαλία τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης και για το σώµα Σ τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε τις σχέσεις: -T' R = mk ' µ T - mg = ma -T R = mk ' µ T = ma + mg - ma + mg)r = mk ' µ ' µ R + g) R = k ' µ -gr = 4R ' µ +k ' µ ' µ = -gr 4R + k 6) όπου ' µ η νέα γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας. Tο αρνητικό πρόσηµο στην 6) δηλώνει ότι κατά το στάδιο αυτό η περιστροφή της τροχαλίας είναι οµαλά επιβραδυνόµενη, οπότε το µέτρο της γωνιακής της ταχύτητας µ θα δίνεται από την σχέση: 6) µ = + ' µ t - t ) µ = - gr t - t ) 4R + k 7) µε t t t + t, όπου t ο χρόνος της ανοδικής κίνησης του Σ µετά την προσ γείωση του Σ. Όµως την χρονική στιγµή t +t είναι ω µ = και η 7) δίνει: = - gr t + t - t ) 4R + k ) grt 4R + mk = t = 4R + k gr όπου η γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας την στιγµή t, για την οποία ισχύει: 4),5) = ' t = gr h 7R + k g Συνδυάζοντας τις σχέσεις 8) και 9) παίρνουµε: 7R + k R ' = 8) h g 7R + k 9)

t = h g 7R + k 4R + k ) gr = 4R + k R h g 7R + k ) ) Σχήµα 4 Mε βάση τα παραπάνω το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας της τροχαλίας θα µεταβάλλεται µε τον χρόνο t κατα την ανοδική κίνηση του σώµατος Σ σύµ φωνα µε την σχέση: grt 7R + k, t t = - gr t - t ), t 4R + k t t + t ) H γραφική παράσταση της ) φαίνεται στο σχήµα 4). ii) Έαν s είναι η µετατόπιση του σώµατος Σ µετά την προσγείωση του Σ δηλαδή κατά τον χρόνο t και Δφ η αντίστοιχη γωνία στροφής της τροχαλίας θα έχουµε: s = R = R + ' ) t = R t 9),) s = R h g 4R + k 7R + k R h g 7R + k ) 4R + k s = h 7R + k ) Παρατήρηση: Μπορούµε να υπολογίσουµε την µετατόπιση s κάνοντας χρήση του θεωρήµατος διατήρησης της µηχανικής ενέργειας τόσο κατα το στάδιο που και τα δύο σώµα τα κινούνται, όσο και κατα το στάδιο που κινείται µόνο το Σ ανερχόµενο. Εάν v, v είναι οι ταχύτητες των Σ και Σ την χρονική στιγµή t, τότε κατά το πρώτο στάδιο κίνησης του συστήµατος θα έχουµε την σχέση:

3mgh = 3mv + mv + mk + mgh' 3gh = 3v + v + k + gh' 3) όπου h η απόσταση του σώµατος Σ από το έδαφος την χρονική στιγµή t. Εάν Δφ είναι η γωνία στροφής της τροχαλίας στον χρόνο t, θα έχουµε: h = R h' = R :) h h' = h' = h οπότε η ) γράφεται: 3gh = 3v + v + k + gh gh = 3v + v + k Όµως για τα µέτρα των ταχυτήτων v, v έχουµε v =Rω και v =Rω και η 4) παίρνει την µορφή: 4) gh = 3R + 4R + k gh = 7R + k ) = gh 7R + k 5) Kατά το δεύτερο στάδιο που κινείται µόνο το σώµα Σ, θα έχουµε: mv + mgh' + mk = + mgh' +s) + 4R + k s = 4R + k ) g = gs s = 4R + k ) g 5) gh 7R + k s = h 4R + k 7R + k P.M. fysikos Στον λαιµό µιάς ελεύθερης τροχαλίας µάζας m και ακτίνας R, έχει περιτυλιχθεί ελαφρό αλλά ανθεκτικό νήµα. H τροχα λία εφάπτεται οριζοντίου δαπέδου, µε το οποίο παρουσιάζει συντελε στή οριακής τριβής n και κάποια στιγµή εξασκείται στο ελεύθερο άκρο του νήµατος σταθερή δύναµη F, της οποίας ο φορέας σχηµατίζει µε την οριζόντια διεύθυνση γωνία φ, που αναγκάζει την τροχαλία να κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στο οριζόντιο δάπεδο.

i) Εάν s είναι η µετατόπιση του κέντρου µάζας της τροχαλίας σε ορισ µένο χρόνο, να δείξετε ότι το αντίστοιχο έργο της F δίνεται από την σχέση: W F = F + ) s ii) Χρησιµοποιώντας την παραπάνω σχέση να δείξετε ότι, το µέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου µάζας της τροχαλίας δίνεται από την σχέση: a = F 3m + ) iii) Nα βρείτε τις επιτρεπτές τιµές του µέτρου της F, ώστε η τροχαλία να κυλίεται χωρίς ολίσθηση στο οριζόντιο δάπεδο. Δίνεται η ροπή αδράνειας I=mR / της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της και ότι το νήµα δεν ολισθαίνει στο αυλάκι της. ΛYΣH: i) Η χωρίς ολίσθηση κύλιση της τροχαλίας πάνω στο οριζόντιο δάπεδο µπορεί να θεωρήθει ως επαλληλία µιας οριζόντιας µεταφορικής κίνησης και µιας περιστροφικής κίνησης περί το κέντρο µάζας της και µάλιστα οι δύο αυτές κινήσεις διαπλέκονται έτσι ώστε, τα σηµεία επαφής της τροχαλίας µε το οριζόντιο δάπεδο να έχουν µηδενική ταχύτητα ως προς αυτό. Λόγω της περιστ ροφικής κίνησης το νήµα που περιβάλλει το αυλάκι της τροχαλίας ξετιλύγεται µε αποτέλεσµα το άκρο του Α να µετατοπίζεται κατά µήκος του νήµατος. Όµως το νήµα µετατοπίζεται και οριζόντια λόγω της µεταφορικής κίνησης της κυλιό Σχήµα 5 µενης τροχαλίας αφού η κλίση του ως προς το οριζόντιο δάπεδο παραµένει σταθερή, οπότε το άκρο Α έχει και οριζόντια µετατόπιση. Στον χρόνο t που το κέντρο µάζας της τροχαλίας µετατοπίζεται κατά s η αντίστοιχη µετατόπιση s του Α λόγω της περιστροφής της τροχαλίας θα σχηµατίζει γωνία φ µε την s και το µέτρο της θα είναι: s = R = Rs/R) = s ) όπου θ η γωνία στροφής της τροχαλίας στον χρόνο t, ίση µε s/r λόγω της κύλι

σης. Εξάλλου η αντίστοιχη µετατόπιση s του Α, λόγω της µεταφορικής κίνη σης της τροχαλίας θα είναι ίση µε s, οπότε η συνολική µετατόπιση s του Α σε χρόνο t θα είναι: s = s + s = s + s ) Το έργο W F της F σε χρόνο t υπολογίζεται από την σχέση: W ) s ) = F F = F s F [ + s ) ] = F W s ) + F s ) W F = Fs + Fs W F = Fs + Fs W F = F + ) s 3) ii) Eφαρµόζοντας για την τροχαλια το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου κατά τον χρόνο t παίρνουµε την σχέση: mv + I = W F mv + mr = Fs + ) 4 mv + mv = Fs + 4 ) v = 4F ) s 4) 3m + όπου έργο παράγει µόνο η δύναµη F, ένω τα έργα του βάρους της τροχαλίας, της στατικής τριβής και της κάθετης αντίδρασης που δέχεται από το δάπεδο είναι µηδενικά. Έστω ότι µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt η ταχύτητα του κέντρου µάζας αυξάνεται κατά dv dv ) και η µετατόπιση του κέν τρου µάζας κατά ds ds ). Σύµφωνα µε την 4) θα έχουµε: v +dv ) = 4F 3m + ) s + 4F = 4F 3m + ) s + ds) v + v dv + dv = 4) ) ds 3m + v dv + dv = 4F 3m + ) ds v + dv )dv = 4F 3m + ) ds Όµως η στοιχειώδης ποσότητα dv µπορεί να αµεληθεί ως προσθετέος στο άθροισµα v +dv και η προηγούµενη σχέση γράφεται: ) ds dv v dt = 4F 3m + dt v a = 4F 3m + ) v

a = F 3m + ) 5) όπου α το µέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου µάζας την χρονική στιγµή t, ίσο µε το διαφορικό πηλίκο dv /dt. iii) Eπί της κυλιόµενης τροχαλίας ενεργεί το βάρος της w, η δύναµη F στο άκρο A του νήµατος, η οποία αναλύεται στην οριζόντια συνιστώσα F x και στην κατακόρυφη συνιστώσα F y και η πλάγια αντίδραση του οριζόντιου δαπέδου, η οποία αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην στατική τριβή T, της οποίας η φορά έστω ότι είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα 5). Eφαρµόζοντας για την κίνηση του κέντρου µάζας της τροχαλίας τον δεύτερο νόµο του Nεύτω να παίρνουµε την σχέση: 5) F x + T = ma F + T = ma F + T = Fm 3m + ) T = F 3 + ) - F = F 3 - ) 6) Eπειδή η τριβή T είναι στατική το µέτρο της ικανοποιεί την σχέση: 6) T nn F - ) / 3 nmg - F y ) F -) 3nmg - Fµ) F - + 3nµ) 3nmg F 3nmg - + 3nµ 7) Η 7) καθορίζει, για δεδοµένη τιµή της γωνίας φ, τις επιτρεπτές τιµές του µέτ ρου της F, ώστε η τροχαλία να κυλίεται χωρίς ολίσθηση επί του οριζόντιου δαπέδου. P.M. fysikos Ένας οµογενής κυκλικός δίσκος, µάζας m και ακτίνας R, βρίσκεται ακίνητος στο µέσο ενός δοκαριού µήκους L και µάζας Μ, µε το επίπεδό του κατακόρυφο. Το δοκάρι εφάπτεται σε λειο οριζόντιο δάπεδο και κάποια στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή του χρόνου αρχίζει να κινείται µε εξωτερική επέµβαση πάνω στο δάπεδο κατά την διεύθυνσή του, µε σταθερή επιτάχυνση. i) Nα βρεθεί η µέγιστη τιµή της επιτάχυνσης του δοκαριού, ώστε ο δίσκος να κυλίεται χωρίς ολίσθηση κατά µήκος του δοκαριού.

ii) Nα βρεθεί στην περίπτωση αυτή η ενέργεια που πρέπει να προσ φερθεί στο δοκάρι µέχρι την στιγµή που ο δίσκος θα το εγκαταλείψει. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας, ο συντελεστής οριακής τριβής n µεταξύ δίσκου και δοκαριού, η δε ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό του και διερχόµενο από το κέντρο του είναι I =mr /. ΛYΣH: i) Με την έναρξη της κίνησης του δοκαριού αναπτύσσεται µεταξυ αυτού και του δίσκου τριβή, η οποία για µεν το δοκάρι είναι αντίρροπη της κίνησής του, για δε τον δίσκο, συµφωνα µε το άξίωµα της ισότητας δράσης-αντίδρασης είναι οµόρροπη της κίνησης του δοκαριού σχ. 6). H τριβή T επί του δίσκου είναι στατική τριβή, αφού θέλουµε να κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στο δοκάρι, αποτελεί δε την µοναδική δύναµη που προκαλεί την επιτάχυνση a της µετα φορικής κίνησης του τροχού, ενώ η ροπή της περί το κέντρο του τροχού, προ Σχήµα 6 καλεί την περιστροφή του περί άξονα που διέρχεται από το και είναι κάθε τος στο επίπεδό του, της οποίας η φορά φαίνεται στο σχήµα 6). Eφαρµόζοντας για την µεταφορική κίνηση του δίσκου τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα και για την περιστροφή του τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης, παίρνουµε: T = ma TR = I ' T = ma TR = mr '/ T = ma T = mr'/ όπου ' η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου. Συνδυάζοντας µεταξύ τους τις σχέ σεις 3), έχουµε: ma = mrω'/ Rω = a ) Εξάλλου για να κυλίεται ο δίσκος πάνω στο δοκάρι, πρέπει η σχετική ταχύτητα ως προς το δοκάρι του σηµείου επαφής Α του τροχού µε αυτό να είναι µηδε νική, δηλαδή πρέπει τα σηµείο αυτο να έχει στο σύστηµα αναφοράς του δαπέ δου ταχύτητα v A ίση µε την ταχύτητα v του δοκαριού, δηλαδή πρέπει να ισχύει η σχέση: v A = v v + v = v 3) όπου v η ταχύτητα του κέντρου του δίσκου και v η ταχύτητα του Α, λόγω της περιστροφής του τροχού. Εάν µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt οι )

ταχύτητες v, v, v µεταβάλλονται κατα d v, d v, d v αντιστοίχως, τότε από την ) προκύπτει: d v + d v = d v d v dt + d v dt = d v dt a + a = a 4) όπου a η λόγω της περιστροφής του δίσκου επιτρόχια επιτάχυνση του Α. Όµως η φορά της περιστροφικής κίνησης του δίσκου εγγυάται ότι, τα διανύσµατα a και a είναι οµόρροπα, οπότε τα µέτρα των διανυσµάτων της 4) θα ικανοποιούν την σχέση: ) a δ = a + a ε a δ = a + Rω a δ = a + a = 3a a = a δ /3 5) Σχήµα 7 Eπειδή η τριβή είναι στατική, ισχύει η σχέση: ) T nn 5) ma nmg a δ /3 ng a δ 3ng a δmax) = 3ng 6) Άρα η αντίστοιχη του κέντρου του δίσκου ου θα είναι: a max) = a max /3 6) a max) = ng 7) ii) Από τους προηγούµενους υπολογισµούς προκύπτει ότι στο σύστηµα αναφο ράς του δαπέδου η επιτάχυνση του δοκαριού είναι τριπλάσια της επιτάχυνσης του κέντρου του δίσκου, που σηµαίνει ότι σε δεδοµένο χρόνο η µετατόπιση s δ του δοκαριού είναι µεγαλύτερη της αντίστοιχης µετατόπισης s του κέντρου, δηλαδη κάποια στιγµή ο δίσκος θα βρεθεί στο πίσω άκρο του δοκαριού και τότε θα το εγκαταλείψει σχ. 7). Εφαρµόζοντας για τον δίσκο και το δοκάρι το θεώ ρηµα κινητικής ενέργειας-έργου κατά τον χρονο t που µεσολαβεί απο την εκκί νηση του δοκαριού µέχρις ότου ο δίσκος το εγκαταλείψει, θα έχουµε τις σχέ σεις: Mv / - = W + W - T x mv / + I / - = W T Mv / = -Ts + W x mv / + mr /4 = T s + R ) ' ' + )

Mv / + mv / + mr /4 = T s + R - s ) + W x 8) όπου v, v η ταχύτητα του δοκαριού και του κέντρου του δίσκου αντιστοίχως την χρονικη στιγµή t, η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου την στιγµή αυτή, s, s, η µετατόπιση του δοκαριού και του κέντρου αντιστοίχως στον χρόνο t, Δφ η γωνία στροφής του δίσκου στον χρόνο t και W x η αντίστοιχη ενέργεια που προσφέρθηκε στον δίσκο από το εξωτερικό του περιβάλλον. Όµως όλες οι παρουσιαζόµενες επιταχύν σεις είναι σταθερές οπότε για την ποσότητα s +RΔφ+s δ θα έχουµε: s + R - s = a t + R 't - a t s + R - s = t a + R'-a = ) = 9) διότι λόγω της κυλίσεως ισχύει a + R'-a =. Συνδυάζοντας τις 8) και 9) παίρνουµε: Mv / + mv / + mr /4 = W x ) Ακόµη έχουµε τις σχέσεις v δ =a δ t=3ngt, v =a t=ngt και ωr=ω Rt=α t ή ωr= ngt και έτσι η ) γράφεται: M 3ngt ) + m ngt ) + m 4 ngt ) = W x ngt) ) 9M + m + m) = W x 3 ngt Όµως ο χρόνος t θα βρεθεί από την σχέση: L = s - s = a t / - a t / L = 3ngt / - ngt / = ngt t = L/ng οπότε η ) γράφεται: 3 ngt) 3M + m) = W x ) 3M + m) = W x 3n g L 3M + m) = W ng x W x = 3ngL 3M + m) P.M. fysikos

Τροχός µάζας m και ακτίνας R, εφάπτεται στο άκρο Α ενός οριζόντιου δοκαριού µήκους L και µάζας Μ, που βρί σκεται πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Ο τροχός παρουσιάζει µε το δοκάρι αρκετά µεγάλο συντελεστή οριακής τριβής, ο οποίος επιτρέπει µόνο την κύλισή του πάνω στο δοκάρι. Eξασκούµε στο κέντρο του τροχού ορίζόντια σταθερή δύναµη F που τον θέτει σε κίνηση. i) Να βρεθεί σε πόσο χρόνο ο τροχός θα εγκαταλείψει το δοκάρι. ii) Nα βρεθεί το ολικό έργο των τριβών στον χρόνο αυτόν. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι =mr / του τροχού περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. ΛΥΣΗ: i) O τροχός δέχεται την δύναµη F, το βάρος του w και την αντίδραση του δοκαριού, η οποία αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην τριβή T, που είναι στατική τριβή, αφού ο τροχός έχει την δυνατότητα µόνο να κυλιθεί χωρίς ολίσθηση πάνω στο δοκάρι. Η τριβή T παρουσιάζει ροπή ως προς το κέν τρο µάζας του τροχού, µε αποτέλεσµα να προκαλεί περιστροφή αυτού περι άξονα που διέρχεται από το και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Εφαρµόζον τας για την κίνηση του κέντρου µάζας του τροχού τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα και για την περιστροφή του τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνη σης παίρνουµε τις σχέσεις: F - T = ma TR = I ' F - T = ma TR = mr '/ F - T)/m = a T / m = R' ) Σχήµα 8 όπου a η επιτάχυνση του κέντρου µάζας του τροχού και ' η γωνιακή του επιτάχυνση. Εξάλλου το δοκάρι τίθεται σε κίνηση πάνω στο λείο οριζόντιο δάπεδο υπό την επίδραση της δύναµης - T που δέχεται από τον τροχό, η οποία δύναµη είναι η αντίδραση της τριβής T. Εφαρµόζοντας για το δοκάρι τον δεύ τερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε: T = Ma a = T/ M ) όπου a η επιτάχυνση του δοκαριού. Επειδή ο τροχός κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στο δοκάρι, η σχετική ταχύτητα ως προς το δοκάρι του σηµείου επαφής του Α µε αυτό είναι µηδενική, δηλαδή το σηµείο αυτο στο σύστηµα αναφοράς

του δαπέδου έχει ταχύτητα v A ίση µε την ταχύτητα v του δοκαριού, δηλαδή ισχύει η σχέση: v A = v v + v = v 3) όπου v η ταχύτητα του κέντρου του δίσκου και v η ταχύτητα του Α, λόγω της περιστροφής του τροχού. Εάν µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt οι ταχύτητες v, v, v µεταβάλλονται κατα d v, d v, d v αντιστοίχως, τότε από την 3) προκύπτει: d v + d v = d v d v dt + d v dt = d v dt a + a = a 4) όπου a η λόγω της περιστροφής του τροχού επιτρόχια επιτάχυνση του Α. Όµως η φορά της περιστροφικής κίνησης του τροχού εγγυάται ότι, τα διανύσµατα a και a είναι αντίρροπα, οπότε τα µέτρα των διανυσµάτων της 4) θα ικανοποι ούν την σχέση: a δ = a - a ε a δ = a - Rω 5) Η 5) λόγω των ) και ) γράφεται: T M = F - T m - T m T M = F m - 3T m F m = T M + 3T m F m = T m + 3M T = mm MF m + 3M 6) H ) λόγω της 6) δίνει: a = MF m + 3M)M = F m + 3M 7) και η πρώτη εκ των ) λόγω της 6) δίνει: MF a = F - m + 3M ) m = F m + 3M - M m + 3M)m F M + m a = > m + 3M m F m + 3M 7) a > a 8) Από την 8) προκύπτει ότι στο σύστηµα αναφοράς του δαπέδου η επιτάχυνση του δοκαριού είναι µικρότερη της επιτάχυνσης του κέντρου του τροχού, που σηµαίνει ότι σε δεδοµένο χρόνο t η µετατόπιση s δ του δοκαριού είναι µικρότερη της αντίστοιχης µετατόπισης s του κέντρου, δηλαδη κάποια στιγµή ο τροχός θα βρεθεί στο µπροστινό άκρο του δοκαριού µε αποτέλεσµα να το εγκαταλείψει

σχ. 9). Εξάλλου, επειδή οι επιταχύνσεις a και a είναι σταθερές θα έχουµε για τις µετατοπίσεις s και s δ τις σχέσεις: Σχήµα 9 s = a t / s = a t / 7),8) ) ) t s = F M + m m m + 3M F s = ' m + 3M ) t + ) s - s = Ft M + m m m + 3M ' m + 3M ' ) - s - s = Ft M ' m m + 3M) ' Όµως η διαφορά s -s δ είναι ίση µε το µήκος L του δοκαριού σχ. 9), οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται: L = MFt ) m m + 3M t = m m + 3M)L MF 9) ii) Σε χρόνο t τo έργο W δ της τριβής που δέχεται το δοκάρι είναι: W = Ts = Ta t το δε αντίστοιχο έργο W τ της τριβής που δέχεται ο τροχός είναι: W ) = -T a t = -T s - R ' - R't ) = T R'- a )t To συνολικό έργο W oλ των τριβών σε χρόνο t είναι: W = W + W = Tt a + R'-a ) ) Όµως από 7), ) και 8) έχουµε: a + R'- a = ) F m + 3M + T m - F m + M m + 3M)m 6)

F a + R'- a = m + 3M + M m - M + m = ) m ' oπότε από την ) προκύπτει W oλ =. Παρατήρηση: H σχέση a +R'- a = προκύπτει και από το γεγονός ότι, ο τροχός κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στο δοκάρι βλέπε σχέση 5). P.M. fysikos Τροχός µάζας m και ακτίνας R, εφάπτεται στο άκρο Α ενός οριζόντιου δοκαριού µήκους L και µάζας m, που βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Εξασκούµε στον τροχό επί βραχύ χρονικό διάστηµα οριζόντια δύναµη που ο φορέας της διέρχε ται από το κέντρο του τροχού µε αποτέλεσµα αυτός να αποκτά αρχι κή ταχύτητα v. i) Εάν συνελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ του τροχού και του δοκα ριού είναι n, να βρεθεί η αναγκαία συνθήκη, ώστε την στιγµή που ο τροχός βρίσκεται στο µέσον του δοκαριού να αρχίσει η χωρίς ολίσθη ση κύλισή του πάνω στο δοκάρι. ii) Nα βρεθεί η θερµότητα που ελευθερώνεται από το σύστηµα, µέχρις ότου ο τροχός βρεθεί στο µέσον του δοκαριού. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας Ι=mR / του τροχού ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. ΛΥΣΗ: i) Την στιγµή t= ο τροχός βρίστεται περίπου στο άκρο Α του δοκα ριού έχοντας µεταφορική ταχύτητα v ως προς το ακίνητο δάπεδο, ενώ το δοκάρι την στιγµή αυτή έχει περίπου µηδενική ταχύτητα. Ο τροχός κινούµενος πάνω στο δοκάρι δέχεται το βάρος του w και την δύναµη επαφής από το δοκά Σχήµα ρι, η οποία αναλύεται στην τριβή ολίσησης T που είναι αντίρροπη της v και στην κάθετη αντίδραση N σχ. ). Η τριβή επιβραδύνει την µεταφορική κίνηση του τροχού και σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νευτωνα θα έχουµε την σχέση:

T = ma nn = ma nmg = ma a = ng ) όπου a η επιβράδυση του κέντρου µάζας του τροχού. Εξάλλου η τριβή T πα ρουσιάζει ροπή περί το κέντρο µάζας του τροχού που του προσδίνει περιστρο φική κίνηση µε γωνιακή επιτάχυνση ', της οποίας το µέτρο συµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης ικανοποιεί την σχέση: TR = I ' nmgr = mr '/ '= ng / R ) Εξετάζοντας στην συνέχεια το δοκάρι παρατηρούµε ότι δέχεται κατα την διεύ θυνση του x την αντίδραση - T της τριβής, η οποία του προσδίδει επιτάχυνση a για την οποία ισχύει η σχέση: T = ma nmg = ma a = ng / 3) Αν αναφερθούµε στο σηµείο επαφής Α του τροχού µε το δοκάρι το σηµείο αυτό ως σηµείο του τροχού έχει ταχύτητα της οποίας το µέτρο είναι v -ωr, όπου v η ταχύτητα του κέντρου τροχού και η γωνιακή του ταχύτητα, ενώ θεωρού µενο ως σηµείο του δοκαριού έχει την ταχύτητα v του δοκαριού. Αν δεχ θούµε ότι υπάρχει χρονική στιγµή t για την οποία ισχύει v -ωr=v Δ, τότε για t t o τροχός κυλίεται µε ολίσθηση, ενώ για t t η κύλιση είναι χωρίς ολίσθη ση. Για την χρονική στιγµη t θα έχουµε: v - a t - R't = a t η οποία λόγω των ), ) και 3) γράφεται: v - ngt - ngt = ngt / v = 7ngt / t = v / 7ng 4) Eάν s είναι η µετατόπιση του κέντρου τoυ τροχού ως προς το ακίνητο δάπε δο στον χρόνο t και s Δ η αντίστοιχη µετατόπιση του δοκαριού, θα έχουµε τις σχέσεις: s = v t - a t / s = a t / 5) Η αναγκαία συνθήκη για την έναρξη κύλισης χωρίς ολίσθηση του τροχού όταν αυτός βρίσκεται στο µέσον του δοκαριού είναι η διαφορά s -s Δ να είναι ίση µε το µισό µήκος L του δοκαριού σχ. ), δηλαδή αρκεί να ισχύει η σχέση: 5) s - s = L v t - a t / - a t / = L v t - t a + a ) / = L η οποία λόγω των ), ) και 4) γράφεται:

v 7ng - v ng + ng/ = L v 7ng 7ng - 3v 49ng = L v 49ng = L v = 49ngL 6) Σχήµα ii) Eάν Q είναι η θερµότητα που ελευθερώνεται στο περιβάλλον του συστηµα τος µέχρις ότου ο τροχός βρεθεί στο µέσον του δοκαριού, τότε σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ενέργειας θα ισχύει η σχέση: mv = mv + I + mv + Q Q = mv - mv - mr 4 - mv Q = m v - v - R - v 7) ' Όµως για τις ταχύτητες v, v Δ και για την γωνιακή ταχύτητα ω έχουµε: v = v - a t R = R't v = a t v = v - ngt R = ngt v = ngt / 4) v = v - v ng/7ng R = ngv /7ng v = ngv /7ng οπότε η 7) γράφεται: v = 5v /7 R = 4v /7 v = v /7 Q = m ' ) v ) - 5v 7-4v 7 - v 7, +,

Q = m v - 5v 49-8v 49 - v 49 = 6mv 49 6) Q = 6m 49 49ngL Q = 6mngL P.M. fysikos Ξύλινος κύλινδρος µάζας M και ακτίνας R, βρίσκεται ακίνητος πάνω σε οριζόντιο δάπεδο µε το οποίο παρουσιά ζει συντελεστή τριβής ολίσθησης n. Ένα βλήµα µάζας m<m/ κινού µενο µε οριζόντια ταχύτητα v, της οποίας ο φορέας είναι ασύµβατα κάθετος στον γεωµετρικό άξονα του κυλίνδρου σε απόσταση R/ από αυτόν, διαπερνά σχεδόν ακαριαία τον κύλινδρο και εξέρχεται από αυτόν µε ταχύτητα v /. i) Eάν το επίπεδο κίνησης του βλήµατος διέρχεται από το κέντρο του κυλίνδρου και είναι κάθετο στον γεωµετρικό του άξονα, να µελετηθεί η κίνηση του κυλίνδρου. ii) Nα βρείτε την θερµότητα που ελευθερώνεται κατά την κίνηση του κυλίνδρου στο οριζόντιο δάπεδο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτη τας και η ροπή αδράνειας I =MR / του κυλίνδρου ως προς τον γεω µετρικό του άξονα. ΛYΣH: i) Κατά τον πολύ µικρό χρόνo Δt Δt ) που διαρκεί το πέρασµα του βλήµατος µέσα από τον κύλινδρο η πεπερασµένη τριβή T που δέχεται ο κύλινδρος από το οριζόντιο δάπεδο προκαλεί ασήµαντη µεταβολή της ορµής του συστήµατος βλήµα-κυλινδρος η δε ροπή της τριβής περί τον άξονα του κυ Σχήµα Σχήµα 3 λίνδρου προκαλεί επίσης ασήµαντη µεταβολή της στροφορµής του συστήµατος περί τον άξονα αυτόν. Θα έχουµε εποµένως τις σχέσεις: mv = MV + mv / mv R / = I + mv R/4 mv / = MV mv R / 4 = MR /

V = v M/m R = v m/m όπου V η ταχύτητα του κέντρου µάζας του κυλίνδρου και η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής περί τον άξονά του αµέσως µετά το πέρασµα του βλήµα τος. Από τις σχέσεις ) προκύπτει: ) V - R = v M m - v m M = v M - 4m mm ) > ) H σχέση ) εγγυάται ότι, αµέσως µετά το πέρασµα του βλήµατος µέσα από τον κύλινδρο τα σηµεία επαφής του Α µε το δάπεδο θα έχουν ταχύτητα όµορροπη της V, που σηµαίνει ότι η τριβή T είναι τριβή ολίσθησης αντίρροπη της V σχ. 3). H τριβή T αποτελεί δύναµη που επιβραδύνει την µεταφορική κίνηση του κυλίνδρου, ενώ η ροπή της περί τον γεωµετρικό του άξονα επιταχύνει την περιστροφική κίνηση του κυλίνδρου. Eφαρµόζοντας για την µεταφορική κίνη ση του κυλίνδρου τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα και για την περιστροφι κή του κίνηση τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης, παίρνουµε τις σχέσεις: T = ma TR = I ' nn = Ma nnr = MR '/ nmg = Ma a = ng 3) nmgr = MR '/ '= ng/r όπου a η επιβράδυνση του κέντρου µάζας και ' η γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου την στιγµή που τον εξετάζουµε. Παρατηρούµε από τις σχέσεις 3) ότι τα µεγέθη a και ' είναι σταθερά, δηλαδή η µεταφορική κίνηση του κυλίνδρου είναι οµαλά επιβραδυνόµενη, η δε περιτροφική του κίνηση οµαλά επιταχυνόµενη. Εάν V είναι η ταχύτητα του κέντρου µάζας ύστερα από χρόνο t αφ ότου αρχισε η ολίσθηση του κυλίνδρου και η αντίστοιχη γωνια κή του ταχύτητα, θα έχουµε τις σχέσεις: V = V - a t = + 't 3) V = V - ngt = + ngt/r 4) Tην στιγµή t= ισχύει V >ωr, αλλά µε την πάροδο του χρόνου η ταχύτητα V µειώνεται ενώ η ποσότητα ωr αυξάνεται, θα υπάρξει εποµένως χρονική στιγµή t που θα συµβεί V =ωr, οπότε από την στιγµή αυτή και µετά ο κύλινδρος θα κυλίεται ισοταχώς χωρίς να ολισθαίνει πάνω στο οριζόντιο δάπεδο, η δε τριβή θα έχει µηδενιστεί διότι έχει µηδενιστεί η σχετική ταχύτητα των σηµείων επαφής του κυλίνδρου ως προς το οριζόντιο δάπεδο. Όσον αφορά τον χρόνο t αυτός θα προκύψει από την σχέση: V - ngt = R + ngt 3ngt = V - R

t = V - R 3ng ) t = v M - 4m ) 6ngmM 5) ii) Εάν Q είναι η ζητούµενη θερµότητα αυτή ελευθερώνεται στην διάρκεια του χρόνoυ t και οφείλεται στην τριβή. Eφαρµόζοντας για τον κύλινδρο την αρχή διατήρησης της ενέργειας κατά τον χρόνο t, παίρνουµε την σχέση: MV = MV + I + Q MV = MV + MR 4 + Q 6) όπου V η τελική ταχύτητα του κέντρου µάζας του κυλίνδρου και η τελική γωνιακή του ταχύτητα. Όµως ισχύει V =ω R, οπότε η 6) γράφεται: MV = MV + MV 4 + Q Q = MV - 3MV 4 Q = M V - 3V ) 4 Q = M Eξάλλου για το µέτρο της V ισχύει: 5) V = V - ngt V = v M m - v M - 4m ) 6mM ' v M ) m ) V = V - v M - 4m ) 6mM = v M + 4m ) 6mM - 3V, 4 +, Οι 7) και 8) επιτρέπουν τον υπολογισµό της θερµότητας Q. ) 7) 8) P.M. fysikos Λεπτή ράβδος ΑΒ µήκους L και µάζας m, απουµ πάει µε το άκρο της Α σε µια γωνία οριζόντιου τραπεζιού, όπως φαίνεται στο σχήµα 4) και κρατείται κατακόρυφη. Η ράβδος κάποια στιγµή δέχεται στο άκρο της Β ελαφρά οριζόντια ώθηση και όταν σχηµατίζει γωνία φ µε την κατακόρυφη διεύθυνση χάνει την επαφή της µε το τραπέζι. i) Nα υπολογιστεί η γωνία φ. ii) Nα καθοριστεί το είδος της κίνησης που θα εκτελέσει η ράβδος αφού εγκαταλείψει το τραπέζι και να βρεθεί µετά από πόσο χρόνο θα γίνει οριζόντια για πρώτη φορά. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι Α =ml /3 της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το άκρο της Α και είναι κάθετος σ αυτήν και η επιτά

χυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Την στιγµή που η ράβδος εγκαταλείπει το τραπέζι η µοναδική δύναµη που δέχεται είναι το βάρος της w, που αναλύεται στην συνιστώσα w κατά την διεύθυνση της ράβδου και στην κάθετο επί την ράβδο συνιστώσα w. Η w εκείνη τη στιγµή ενεργεί ως κεντροµόλος δύναµη για την κυκλική κίνηση που διαγράφει το κέντρο µάζας της ράβδου, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση: mv L/ = w mv L = w mv L = mg v = gl ) Σχήµα 4 όπου v η γραµµική ταχύτητα του κεντρου µάζας και η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου. Όµως ισχύει και η σχέση v =ωl/, όποτε η ) γράφεται: L 4 = gl = g L ) Εφαρµόζοντας εξάλλου το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου για το κέντρο µάζας από την αρχική του θέση στην θέση όπου εγκαταλείπει το τραπέζι, παίρνουµε την σχέση: I A - = W w ml 6 = mgl M) L 3 = g - ) 3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις ) και 3) έχουµε: g / 3 = g - ) = 3-3 = 3/5 4) ii) Η ράβδος αφού εγκαταλείψει το τραπέζι εκτελεί σύνθετη κίνηση, που αποτε λείται από µια οµαλή περιστροφική κίνηση περί ελεύθερο οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της, µε γωνιακή ταχύτητα και µια µεταφο

ρική καµπυλόγραµµη κίνηση κατά την οποία το κέντρο µάζας διαγράφει παραβολική τροχιά σχ. 5). Όταν η ράβδος γίνει οριζόντια για πρώτη φορά, θα Σχήµα 5 έχει στραφεί από την θέση που εγκατέλειψε το τραπέζι κατά γωνία π/-φ και αυτό θα συµβεί την χρονική στιγµή t για την οποία ισχύει: t = / - t = - ) t = 4) - g/l t = - ' 5L 6g P.M. fysikos Ένα σώµα κυβικού σχήµατος ακµής α και µάζας m ολισθαίνει χωρίς τριβή επί οριζοντίου επιπέδου εφαπτόµενο µε µια έδρα του και κάποια στιγµή συναντά ένα µικρό σταθερό εµπόδιο. i) Να βρεθεί η ταχύτητα του σώµατος, ώστε µετά την κρούση του µε το εµπόδιο να επίκειται η ανατροπή του. ii) Ποια είναι στην περίπτωση αυτή η ελάττωση της µηχανικής ενερ γειας του σώµατος λόγω της κρούσεώς του µε το εµπόδιο; Δίνεται η ροπή αδράνειας mα /3 του κύβου ως προς µία ακµή του και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. Nα δεχθείτε ότι το σώµα κατά την κρούση του µε το εµπόδιο δεν αναπηδά. ΛΥΣΗ: i) Κατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt που διαρκεί η κρούση του σώµατος µε το εµπόδιο, η ροπή του βάρους του περί την ακµή Ο του κύβου που εφάπτε ται του εµποδίου προκαλεί ασήµαντη µεταβολή της στροφορµής του περί την ακµή αυτή, η δε αντίστοιχη ροπή της δύναµής επαφής του κύβου µε το εµπόδιο είναι µηδενική. Μπορούµε λοιπόν να ισχυριστούµε ότι η στροφορµή του περί την ακµή Ο λίγο πριν την κρούση είναι ίση µε την αντίστοιχη στροφορµή του αµέσως µετά, δηλαδή ισχύει η σχέση:

mv = I mv O) = m 3 v = 4 3 ) όπου Ι Ο) η ροπή αδράνειας του κύβου ως προς την ακµή του Ο, v η ταχύτητα του σώµατος λίγο πριν συναντήσει το εµπόδιο και η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του περί την Ο, αµέσως µετά την κρούση. Για να επίκειται η ανατροπή του κυβικού σώµατος πρέπει, την στιγµή που η επιβατική ακτίνα του Σχήµα 6 κέντρου µάζας του ως προς την ακµή Ο γίνεται κατακόρυφη, να µηδενίζεται η γωνιακή του ταχύτητα, οπότε σύµφωνα µε το θεώρηµα διατήρησης της µηχανι κής ενέργειας θα ισχύει: I O) + mg = + mgoa) m 3 + mg = mg + 3g = 3 g = 3g - )/ = 3g - )/ ) Συνδυάζοντας τις σχέσεις ) και ) παίρνουµε: v = 4 3 3g - ) = 8 - )g 3 3) ii) Η µεταβολή ΔΕ µηχ της µηχανικής ενέργειας του σώµατος λόγω της κρούσε ώς του µε το εµπόδιο, είναι ίση µε την µηχανική του ενέργεια την στιγµή που µηδενίζεται η γωνιακή του ταχύτητα µείον την µηχανική του ενέργεια την στιγµή που συναντα το εµπόδιο, δηλαδή ισχύει:

µ = mg - mv 3) µ = mg - mg 8 - )g 3 µ = mg ' - 8 3 + ) 3 + = mg 6 3-8 + ) µ = mg 6-5 ) < 4) Η αρνητική τιµή της ΔΕ µηχ δηλώνει ότι, κατά την κρούση συµβαίνει µείωση της µηχανικής ενέργειας του σώµατος, δηλαδή η κρούση αυτή δεν είναι ελαστική. P.M. fysikos Λεπτή οµογενής ράβδος µήκους L και µάζας m, εκτελεί ελεύθερη πτώση σχηµατίζουσα µε την οριζόντια διεύθυνση γωνία φ. Tο άκρο A της ράβδου που φθάνει πρώτο στο οριζόντιο έδα φος συναντά µια υποδοχή και έτσι η ράβδος αρχίζει να περιστρέφε ται περί το A χωρίς ολίσθηση και χωρίς ανάκρουση του άκρου A. i) Eάν την στιγµή που το άκρο A συναντά το έδαφος η ταχύτητα της ράβδου είναι v, να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ράβ δου, αµέσως µετά την κρούση. Mεταβάλλεται η κινητική ενέργεια της ράβδου κατά την κρούση της µε το έδαφος; ii) Να βρεθεί η κατά την διεύθυνση της ράβδου συνιστώσα της δύνα µης που δέχεται η ράβδος από την υποδοχή αµέσως µετά την κρούση. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και ότι η ροπή αδράνειας της ράβδου, ως προς άξονα που διέρχεται από το ένα της άκρο και είναι κάθετος σ αυτήν είναι I=mL /3. ΛYΣH: Kατά το πολύ µικρό χρονικό διάστηµα Δt Δt ) της κρούσης του άκρου A της ράβδου µε την υποδοχή η ροπή του βάρους w της ράβδου περί το A ελάχιστα µεταβάλλει την στροφορµή της περί το σηµείο αυτό, η δε αντίστοι χη ροπή της δύναµης κρούσεως που δέχεται η ράβδος είναι µηδενική, οπότε σύµφωνα µε τον γενικευµένο νόµο της στροφικής κίνησης µπορούµε να ισχυρι στούµε ότι η στροφορµή της ράβδου περί το A, λίγο πρίν την κρούση είναι ίση µε την αντίστοιχη στροφορµή της αµέσως µετά την κρούση. Έτσι θα έχουµε την σχέση: L ' = L )µ+,- µ./ L ' = L )µ+,- µ./ L mv x = I mv L = ml 3 = 3v ) L όπου ω το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της ράβδου περί το

σταθερό άκρο της A, αµέσως µετά την κρούση της και v x η κάθετη προς την ράβδο συνιστώσα της v. Eξάλλου οι κινητικές ενέργειες της ράβδου λίγο πριν και αµέσως µετά την κρούση της, υπολογζονται από τις σχέσεις: Σχήµα 7 Σχήµα 8 K ' = mv / K )µ+,- µ./ = I / :) K ' = mv ) K )µ+,- µ./ I K ' K )µ+,- µ./ = mv ml /)3v / L) K ' K )µ+,- µ./ = 4 3 > που σηµαίνει ότι, κατά την κρούση της ράβδου επέρχεται µείωση της κινητικής της ενέργειας, δηλαδή η κρούση αυτή δεν µπορεί να είναι ελαστική. ii) Έστω F η συνιστώσα της δύναµης κρούσεως κατά την διεύθυνση της ράβ δου και w η αντίστοιχη συνιστώσα του βάρους της ράβδου. Εξετάζοντας την κίνηση του κέντρου µάζας της ράβδου µετά την κρούση της, παρατηρούµε ότι αυτό κινείται σε κυκλική τροχιά κέντρου Α και ακτίνας L/, που σηµαίνει ότι η συνισταµένη των F και w αποτελεί κεντροµόλο δύναµη για το αµέσως µετά την κρούση, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση: w - F = m L/ mgµ - F = m L/ - ' F = m gµ - 3v ) L /, +. / L F = m gµ - 9v ' ) 8L, ) + Από την ) παρατηρούµε τα εξής: α) Αν v = 8gLµ / = 8gL /, τότε F ρ =.

β) Αν v < 8gL /, τότε F ρ > και η F έχει την φορά που δεχθήκαµε στο σχήµα 8). γ) Αν v > 8gL /, τότε F ρ < και η F έχει την φορά αντίθετη αυτής που δεχθήκαµε στο σχήµα 8). P.M. fysikos