ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΩΝ Εργαστηριακή Άσκηση 1 Προσδιορισμός Τεχνικών Παραμέτρων Ταλαντωτή Ενός Βαθμού Ελευθερίας Ονοματεπώνυμο: Παριανού Θεοδώρα Όνομα Πατρός: Απόστολος Αριθμός μητρώου: 1000107 Ημερομηνία Διεξαγωγής: 14/11/11 Ημερομηνία Παράδοσης: /11/11 Τμήμα/Ομάδα: Ε4 Βαθμός: Δεδομένα Εργασίας: Α Β Γ Δ 8 16 1 7 ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2011
ΣΚΟΠΟΣ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΣ Ο σκοπός της πειραματικής διατάξεως αφορά τον προσδιορισμό της ταλάντωσης ταλαντωτή ενός βαθμού ελευθερίας με βάση ορισμένες μεταβολές που προκαλούμε και ορισμένες συνθήκες που δημιουργούμε. ΔΙΕΚΠΕΡΑΙΩΣΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ Ξεκινώντας την υλοποίηση της πειραματικής διάταξης πάιρνουμε ένα νήμα το οποίο στο ένα άκρο του φέρει μάζα και στο άλλο άκρο του συνδέεται σε ένα ελατήριο και στο μέσον περίπου διέρχεται από μία μικρή τροχαλία η οποία αποτελεί και τον αισθητήρα μέτρησης ταλάντωσης. Θέτωντας μία αρχική μετατόπιση στο νήμα το αφήνουμε να ταλαντώνεται χωρίς καμία άλλη παρεμβολή εώς ότου αυτό έρθει σε κατάσταση ηρεμίας εξαιτίας των ελαστικών του ιδιοτήτων. Με αυτόν τον τρόπο λέμε πως ταλαντώνεται με ένα βαθμό ελευθερίας. Μετά το πέρας της ταλάντωσης έχουν καταγραφεί κάποια μεγέθη που πρωτύτερα εμείς έχουμε ορίσει με την βοήθεια του υπολογιστή καθώς και οι τιμές αυτών. Στην συκγεκριμένη διάταξη αυτά είναι η ταλάντωση και δύο μέγιστες διαδοχικές κορυφές που προέκυψαν από την μετατόπιση της μάζας. Αύτα είναι αρκετά ώστε με την κατάλληλη επεξεργασία τους να πάρουμε τις τιμές των ζητούμενων μεγεθών ορισμένων αυτών ως 1. Στιβαρότητα 2. Ιδιοσυχνότητα χωρίς απόσβεση 3. Μέτρο απόσβεσης ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ (ΠΙΝΑΚΕΣ) Συγκεντρωτικά τα δεδομένα τα γνωστά δεδομένα της άσκησης είναι : Μάζα : m [gr] (απαραίτητη μετατροπή σε κιλά) Ταλάντωση : Td [sec] Μέγιση τιμή μετατόπισης της μάζας : X 1 [mm]»»»»»»»» : X 2 [mm] και μαζί με τις τιμές τους προκύπτει ο παρακάτω πίνακας
ΔΙΑΤΑΞΗ 1 2 3 M [kg] 0,48 0,38 0,264 Td [sec] 7,6 5,92 5,04 X 1 [mm] 80 88 96 X 2 [mm] 4,8 5,2 5,6 Για να βρέθουν τα ζητούμενα της άσκησης πρέπει να ακολουθηθεί μια όχι τόσο άμμεση διαδικασία, αντιθέτως βήμα βήμα θα φτάσουμε στα αποτελέσματα μέσα από μια σειρά πράξεων. Αρχικά παίρνουμε τον τύπο της ταλάντωσης εφόσον η τιμή της είναι γνωστή σε μας σε κάθε μία από τις τρεις διατάξεις. Συνεπώς Td = (2π/Wd) (α) Td 1 = (2Π/ωd 1 ) 7,6 = (2*3,14/ωd 1 ) ωd 1 = 0,82 [Hz] Td 2 = (2Π/ωd 2 ) 5,92 = (2*3,14/ωd 2 ) ωd2 = 1,06 [Hz] Td 3 = (2Π/ωd 3 ) 5,04 = (2*3,14/ωd 3 ) ωd3 = 1,24 [Hz] Με αυτούς τους υπολογισμούς χρειάζεται να γίνει μία προσθήκη στον πίνακα ακόμα μίας γραμμής για το μέγεθος της ιδιοσυχνότητας με απόσβεση ΔΙΑΤΑΞΗ 1 2 3 M [kg] 0,480 0,376 0,264 Td [sec] 7,6 5,92 5,04 X 1 [mm] 80 88 96 X 2 [mm] 4,8 5,2 5,6 ωd [Hz] 0,82 1,06 1,24 Λ 2,94 2,82 2,84 ζ 0,06 0,05 0,05 ω 0 0,82 1,07 1,26 k 0,32 0,42 0,41
Εξαντλώντας ακόμα περισσότερο τα δεδομένα μας εκμεταλλευόμαστε τα X 1 και X 2 και υπολογίζουμε την λογαριθμική μείωση από τον τύπο Λ = ln (X 1 /X 2 ) (β) αντικαθιστώντας τις τιμές Λ 1 = ln (X 1 /X 2 ) Λ 1 = ln (80/4,8) Λ 1 = 2,94 Λ 2 = ln (X 1 /X 2 ) Λ 2 = ln (88/5,2) Λ 2 = 2,82 Λ 3 = ln (X 1 /X 2 ) Λ 3 = ln (96/5,6) Λ 3 = 2,84 Τα αποτελέσματα που βρήκαμε για το Λ είναι αυτά που θα μας βοηθήσουν στην εύρεση ενός ακόμα αγνώστου, συγκεκριμένα του ζ άρα ζ = Λ/ 4π 2 +Λ 2 (γ) Για κάθε διάταξη ξεχωριστά έχουμε : ζ 1 = 2,94/ 4*3,14 2 + 2,94 2 ζ 1 = 0,06 [αδιάστατο] ζ 2 = 2,82/ 4*3,14 2 + 2,82 2 ζ 2 = 0,05 [αδιάστατο] ζ 3 = 2,84/ 4*3,14 2 + 2,84 2 ζ 3 = 0,05 [αδιάστατο] Μέσα από το ζ οδηγούμαστε στην εξίσωση για να βρεθεί η ιδιοσυχνότητα χωρίς απόσβεση ως εξής : ωd = ω (1-ζ 2 ) (δ) ωd 1 = ω 1 (1-ζ 1 2 ) 0,82 = ω 1 (1-0,06 2 ) ω 1 = 0,82 [Hz] ωd 2 = ω 2 (1-ζ 2 2 ) 1,06 = ω 2 (1-0,05 2 ) ω 2 = 1,07 [Hz] ωd 3 = ω 3 (1-ζ 3 2 ) 1,24 = ω 3 (1-0,05 2 ) ω 3 = 1,25 [Hz] Έχοντας υπολογίσει τα δύο από τα τρία μεγέθη και έχοντας επαρκείς γνωστούς όρους υπολογίζεται και η τιμή της στιβαρότητας ω = (k/m) (ε) ω 1 = (k/m 1 ) 0,82 = (k/0,480) k = 0,32 ω 2 = (k/m 2 ) 1,07 = (k/0,376) k = 0,42 ω 3 = (k/m 3 ) 1,24 = (k/0,264) k = 0,41. Η ίδια διαδικασία ισχύει και για τις πραγματικές μετρήσεις που παίρνουμε από την υλοποίηση του πειράματος.
Οι μετρήσεις παίρνουν τις εξής τιμές: m 1 = 50g m 2 = 80g X 1 = 0,062 mm X 2 = 0,058 mm Td 1 = 0,870-0,320=0,55 [s] Td 2 = 1,040-0,370=0,67 [s] * ΣΗΜΕΙΩΣΗ : Η ένδειξη της περιόδου που μας παρέχει ο μετρητής δεν είναι ουσιαστικά η πραγματική. Αλλά η διπλάσια είναι αυτή που ανταποκρίνεται στην πραγματικότητα έτσι για Td 1 = 0,55*2 = 1,1 [s] και για Td 2 = 0,67*2 = 1,34 [s]. Κάνοντας ένα πίνακα τιμών έχουμε : ΔΙΑΤΑΞΗ 1 2 M [kg] 0,05 0,08 X 1 [mm] 0,062 0,214 X 2 [mm] 0,058 0,203 Td [sec] 1,1 1,34 Ωd [Hz] 5,7 4,68 Λ 0,06 0,05 ζ 0,0096 0,0080 Ω 0 [Hz] 5,75 4,66 K 1,65 1,73 Η σειρά των πράξεων εξακολουθεί να είναι η ίδια με την θεωρητική άσκηση παίρνωντας και πάλι τους ίδιους τύπους όπως παραπάνω. Αναλυτικά Td = (2π/Wd) (α) Td 1 = (2Π/ωd 1 ) 1,1 = (2*3,14/ωd 1 ) ωd 1 = 5,70 [Hz] Td 2 = (2Π/ωd 2 ) 1,34 = (2*3,14/ωd 2 ) ωd2 = 4,68 [Hz]
Λ = ln (X 1 /X 2 ) (β) Λ 1 = ln (X 1 /X 2 ) Λ 1 = ln (0,062/0,058) Λ 1 = 0,06 Λ 2 = ln (X 1 /X 2 ) Λ 2 = ln (0,214/0,203) Λ 2 = 0,05 ζ = Λ/ 4π 2 +Λ 2 (γ) Για κάθε διάταξη ξεχωριστά έχουμε : ζ 1 = 0,06/ 4*3,14 2 +0,06 2 ζ 1 = 0,0096 [αδιάστατο] ζ 2 = 0,05/ 4*3,14 2 +0,05 2 ζ 2 = 0,0080 [αδιάστατο] ωd = ω (1-ζ 2 ) (δ) ωd 1 = ω 1 (1-ζ 2 1 ) 5,70 = ω 1 (1-0,0096 2 ) ω 1 = 5,75 ωd 2 = ω 2 (1-ζ 2 2 ) 4,68 = ω 2 (1-0,0080 2 ) ω 2 = 4,66 [Hz] [Hz] ω = (k/m) (ε) ω 1 = (k/m 1 ) 5,75 = (k/0,050) k = 1,65 ω 2 = (k/m 2 ) 4,66 = (k/0,080) k = 1,73 ΣΧΟΛΙΑΣΜΟΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Κατά τον σχολιασμό των αποτελεσμάτων θα μπορούσαμε να παρατηρήσουμε τα εξής φαινόμενα. Καθώς αυξάνεται η μάζα από m1 σε m2 συμβαίνουν τρία πράγματα, το μέτρο της στιβαρότητας του ελατηρίου μεγαλώνει, συνεπάγεται ότι η παραμόρφωση που αυτό υφίσταται είναι μικρότερη. Ακόμα ιδιοσυχνότητα χωρίς απόσβεση μικραίνει με την σειρά της και τέλος ελλατώνεται και το μέτρο της απόσβεσης, πιο αναλυτικά η ταλάντωση που υφίσταται το ελατήριο τείνει να εξαφανίζεται και το σώμα για να έρθει σε κατάσταση ηρεμίας χρειάζεται περίσσοτερο χρόνο. Έτσι τα μεγέθη είναι αντιστρόφως ανάλογα με την μάζα πλην αυτό της στιβαρότητας διότι όταν αυτή αυξάνεται, εκείνα μειώνονται σε αντιδιαστολή με το k που αυξάνεται καθώς αυξάνεται η μάζα.