Πανεπιστήμιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών και Μηχανικών Περιβάλλοντος ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 1 η Άσκηση 6 η Σειρά Ασκήσεων Θεωρώντας ότι έχετε διαθέσιμα ΜΟΝΟ το μητρώο μάζας M και δυσκαμψίας Κ μιας κατασκευής, ζητείται να γράψετε πιο κάτω τις εντολές του Matlab που απαιτούνται για να υπολογίσετε και αποθηκεύσετε τις ιδιοσυχνότητες στο διάνυσμα Wn και τις ιδιομορφές, κανονικοποιημένες ως προς το μητρώο μάζας, στο μητρώο modes, με την κάθε Φn ιδιομορφή στην n στήλη του μητρώου modes. η Άσκηση Εάν το πιο κάτω κτίριο μπορεί να αναλυθεί θεωρώντας συμπεριφορά διατμητικού προβόλου υπό σεισμική διέγερση στη μια διεύθυνση, σχηματίστε τα μητρώα μάζας και δυσκαμψίας εάν το μέτρο ελαστικότητας του υλικού ισούται με 5 GPA. Τα γωνιακά υποστυλώματα είναι διαστάσεων 50/60, ενώ τα εσωτερικά είναι διαστάσεων 40/50 και έχουν αρθρώσεις στις βάσεις των άνω δύο ορόφων. 50 cm 40 cm 60 cm 50 cm 40 cm 60 cm 60 cm 50 cm 60 cm 50 cm 40 cm 40 cm 50 cm 75 tons 85 tons 100 tons u 3 u u 1 3. m 3.5 m 3.8 m Απαντήσεις: 388.88 193.6 0 K 193.6 446.9 53.3 MN m 0 35.3 53.3 100 0 0 M 0 85 0 tons 0 0 75 1/7
3 η Άσκηση Το πιο κάτω διώροφο πλαίσιο, το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ότι έχει συμπεριφορά διατμητικού προβόλου με δύο βαθμούς ελευθερίας, υποβάλλεται σε σεισμική διέγερση του εδάφους θεμελίωσης του. u ( t ) Η δυσκαμψία του 1 ου ορόφου είναι 10 ΜΝ/m και του ου ορόφου είναι 80 ΜΝ/m, ενώ οι μάζες τους είναι 70 και 40 τόνοι, αντίστοιχα. Οι ιδιοσυχνότητες και ιδιομορφές του πλαισίου είναι ως εξής: 9.77 / 0.571 1.0 1 1 63.45 / -1 1 Θεωρείστε ότι ο λόγος απόσβεσης είναι 5% για κάθε ιδιομορφή. T T g m =40 tons u x K =80 MN/m m 1 =70 tons u 1x k 1 =10 MN/m Σας δίνετε στο σχήμα της επόμενης σελίδας το φάσμα απόκρισης της συγκεκριμένης σεισμικής διέγερσης, για συγκεκριμένους λόγους απόσβεσης (%, 5%, και 15%), και ζητείται όπως εκτιμήσετε, για το σεισμό αυτό βαθμονομημένο ώστε η μέγιστη επιτάχυνση του εδάφους να είναι ίσης με 0.8g: (i) τη μέγιστη σχετική μετακίνηση μεταξύ των δύο ορόφων λόγω της κάθε ιδιομορφής. (iι) τη συνολικά μέγιστη σχετική μετακίνηση συνολικά μεταξύ των δύο ορόφων, λαμβάνοντας υπόψη και τις δύο ιδιομορφές. /7
Απαντήσεις: ω 1 9.77, ω 63.45 T1 T 0.146 Sd1 0.8 cm, 0.0933 Sd 0.3 cm 1.11 cm 1.95 u1 0.156 cm 0.156 u Δu 1.95 1.11 0.156 0.156 0.89 cm 9 mm 3/7
4 η Άσκηση Δίνεται η διώροφη κατασκευή του επόμενου σχήματος, η οποία μπορεί να θεωρηθεί ότι συμπεριφέρεται σαν διατμητικός πρόβολος με διαφραγματική λειτουργία των πλακών και ένα βαθμό ελευθερίας μετακίνησης (οριζόντια) για τον κάθε όροφο και τα φάσματα απόκρισης του σεισμού της Αθήνας (1999). Θεωρείστε ότι το μέτρο ελαστικότητας της κατασκευής Ε ισούται με 30 GN/m. Επίσης, θεωρείστε ότι το ποσοστό απόσβεσης είναι 5% για την 1 η ιδιομορφή και % για τη η ιδιομορφή. (α) Ζητείται να υπολογίσετε τις ιδιοπεριόδους, ιδιοσυχνότητες και κυκλικές ιδιοσυχνότητες της κατασκευής. (β) Ζητείται να υπολογίσετε και να σχεδιάσετε τις ιδιομορφές της κατασκευής. (γ) Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της υπέρθεσης των ιδιομορφών, εκτιμήστε τη μέγιστη σχετική μετακίνηση μεταξύ των δύο ορόφων, για την κάθε ιδιομορφή, αλλά και συνολικά, λαμβάνοντας υπόψη τη συνεισφορά όλων των ιδιομορφών βάσει του κανόνα SRSS. 300 τόνοι 3.5 μ 400 τόνοι.5 μ 3.0 μ 3.5 μ 40 x 40 60 x 40 80 x 40 4/7
Απαντήσεις: ω 1 17.7, ω 41. T1 T 0.355 Sd1 0.0 m, 0.15 Sd 0.01 m 0.575 φ1 1.00, φ u1 1.305 1.00 14.1 mm 4.5.95 mm.3 u Δu 4.5 14.1.3.95 11.6 mm 5/7
5 η Άσκηση ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ, 016 6 η Σειρά Ασκήσεων Μια τετραώροφη πλαισιακή κατασκευή μπορεί να θεωρηθεί ότι συμπεριφέρεται σαν διατμητικός πρόβολος με διαφραγματική λειτουργία των πλακών και ένα βαθμό ελευθερίας (οριζόντιας) μετακίνησης στον κάθε ένα από τους 4 ορόφους της. Η οριζόντια δυσκαμψία του κάθε ορόφου είναι 450 ΜΝ/m και η μάζα του κάθε ορόφου είναι 50 τόνοι, εκτός από τον τελευταίο που έχει μάζα 00 τόνους. (α) Υπολογίστε τις ιδιομορφές της κατασκευής και κανονικοποιήστε τις ώστε να είναι ορθογωνοκανονικοποιημένες ως προς το μητρώο μάζας. (β) Εάν θεωρήσετε ότι το ποσοστό απόσβεσης για την πρώτη ιδιοπερίοδο είναι 5% και για την τελευταία ιδιοπερίοδο είναι 3% υπολογίστε το μητρώο απόσβεσης C κατά Rayleigh καθώς και το ποσοστό απόσβεσης που αντιστοιχεί για την η ιδιοπερίοδο και 3 η ιδιοπερίοδο. (γ) Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της υπέρθεσης των ιδιομορφών και θεωρώντας ποσοστό απόσβεσης % για την 1 η ιδιομορφή και 5% για τις υπόλοιπες, εκτιμήστε τη μέγιστη τέμνουσα βάσης και τη μέγιστη σχετική μετακίνηση μεταξύ (διαδοχικών) ορόφων που προκύπτει για την κάθε ιδιομορφή, αλλά και συνολικά, λαμβάνοντας υπόψη τη συνεισφορά όλων των ιδιομορφών βάσει του κανόνα SRSS, για το σεισμό της Αθήνας (1999), του οποίου το φάσμα δίνεται στη συνέχεια: 6/7
Απαντήσεις: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ, 016 6 η Σειρά Ασκήσεων 0.0004867 0.000909 (α) φ1 0.001118 0.0013547 φ 3 0.001988 0.0005939 0.001073 0.00106363 (β) ξ1 % 0.00 ω1 15.404795 ξ4 5 % 0.005 ω4 80.3431557 φ 4 φ 0.00101 0.0011093 0.0001767 0.00175 0.0007959 0.001610 0.001011 0.0006437 α 1.4766 β.691194 10 4 (γ) T1 T T3 T4 6.114 1.11 0 0 1.11 6.114 1.11 0 C 10 0 1.11 6.114 1.11 0 0 1.11 1.11 ξ.3 % 0.003 ξ3 % 0.00 0.408, ξ1 % 0.143, ξ 5 % 0.094, ξ3 5 % 0.078, ξ4 5 % S 4.80 mm d1 d d3 d4 S 4.30 mm S 1.66 mm S 0.99 mm 5 N m 01 Δu 11. mm Δu 1 Δu 9.7 mm 3 Δu 7.1 mm b,1 V 5.013MN 34 Δu 3.5 mm b, V 0.649 MN b,3 V 0.18 MN b,4 V 0.00MN b b,1 b, b,3 b,4 V V V V V 5.06 MN 7/7