Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Επανάληψη Χριστουγέννων Αφού κάνετε μια επανάληψη στο πρώτο κεφάλαιο και θυμηθείτε όλους τους τύπους και τις μεθοδολογίες, να λύσετε τις παρακάτω ασκήσεις από την τράπεζα θεμάτων. Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.860.δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό συνδυασμό των και. β) Να δείξετε ότι τα διανύσματα και είναι παράλληλα..8604. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ε,Ζ σημεία τέτοια ώστε :, 5 7 α) Να γράψετε τα διανύσματα και ως γραμμικό συνδυασμό των και. β) Να αποδείξτε ότι τα σημεία B, Z και E είναι συνευθειακά..0054.θεωρούμε τα σημεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση: 5. α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά. β) Για τα παραπάνω σημεία Κ, Λ και Μ να δείξετε ότι ισχύει:, όπου Α και Β είναι σημεία του επιπέδου..58.θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α β 4γ και α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. 4.56.Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι ΑΔ και τη διαγώνιο ΑΓ αντίστοιχα, ώστε α) α β 8 α και β. Θεωρούμε σημεία Ε,Ζ στην και. Να αποδείξετε ότι: 4 4

β) α β και να υπολογίσετε με τη βοήθεια των α,β το. 4 γ) τα σημεία Ε,Ζ,Β είναι συνευθειακά. 5 Συντεταγμένες στο επίπεδο.8605.δίνονται τα διανύσματα i 4j, i j και 5i 5j, όπου i και j είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων xx και yy αντίστοιχα. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των και. β) Να εξετάσετε αν τα σημεία, και μπορεί να είναι κορυφές τριγώνου..0055.θεωρούμε τα σημεία α,, α,4 και Γ (-4, 5α+4), α. α) Να βρείτε τα διανύσματα AB και. 8 β) Να βρείτε για ποια τιμή του α, τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. γ) Αν α, να βρείτε αριθμό λ ώστε λ. 7.006.Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία Α(,), Γ(4, ) και Δ(, ). α) Να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών του ΑΒΓΔ. 9 β) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Κ των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ, καθώς και τις συντεταγμένες της κορυφής Β. 6.007.Θεωρούμε τα σημεία α, 4α και 5α, α, α. α) Να γράψετε το συναρτήσει του α και να βρείτε το α ώστε. β) Έστω α. Να βρείτε σημείο Μ του άξονα x x ώστε το τρίγωνο ΜΑΒ να είναι ισοσκελές με βάση την ΑΒ..007.Δίνονται τα σημεία,,,5 και, 4. α) Να αποδείξετε ότι σχηματίζουν τρίγωνο. 8 β) Να βρείτε το συμμετρικό Δ του Β ως προς το μέσο Μ της ΑΓ. γ) Τι σχήμα είναι το ΑΒΓΔ; Να αιτιολογήσετε τον ισχυρισμό σας. 7

.048.Δίνονται τα διανύσματα α i j, β i 5 j και γ 7,. α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα α, β, γ είναι συγγραμικά ανά δύο. β) Να γραφεί το διάνυσμα γ ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων α και β. Συντεταγμένες διανύσματος.50. Θεωρούμε τα σημεία Α,Β,Γ ώστε,4 και,6. α) Να αποδείξετε ότι σχηματίζουν τρίγωνο και να βρείτε αν η γωνία Α του τριγώνου είναι οξεία, ορθή ή αμβλεία. β) Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου. Εσωτερικό γινόμενο.8556.δίνονται τα διανύσματα α, β με α, β π και α, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο αβ. 8 β) Αν τα διανύσματα α β και κα β είναι κάθετα, να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος α β. 7.8558.Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι: AB 4, 6, A, 8. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος,όπου ΑΜ είναι η διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ. 7 β) Να αποδείξετε ότι η γωνία ˆ είναι οξεία. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(,), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. 8.858.Έστω τα διανύσματα α και β για τα οποία ισχύει : α β και α, β 60. α) Να αποδείξετε ότι α β

β) Να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων α β και α β.8598.δίνονται τα διανύσματα κ 6κ 9, κ και,6 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο. 8 β) Να βρείτε τις τιμές του κ, ώστε τα διανύσματα και 9 γ) Για κ = να βρείτε το διάνυσμα. 8 4, όπου κ. να είναι κάθετα..005.δίνονται τα διανύσματα α, β με β α 4 και α β 8. α) Να υπολογίσετε τη γωνία α, β. β) Να αποδείξετε ότι β α 0. 5π.0056.Έστω α και β δύο διανύσματα με α, β και (α, β) και u α β. 6 α) Να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα αβ και β u. 6 β) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος u. 9.0070.Έστω α, β δύο διανύσματα του επιπέδου για τα οποία ισχύουν: π α β 9, α β και α, β. α) Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων α, β και το εσωτερικό γινόμενο αβ. β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος uα β..0057.δίνονται τα διανύσματα α και β α, β π. Να υπολογίσετε τα εξής: α) το εσωτερικό γινόμενό των διανυσμάτων α και β και κατόπιν την τιμή της παράστασης: α α β και α, β. β) Το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων α β και β α.

.0058.Δίνονται τα διανύσματα α (, ) και β (, ). Να υπολογίσετε: α) τη γωνία α, β β) το διάνυσμα u α β (α β) α.0059.δίνονται τα διανύσματα α (,) και β (, ) α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος u α β ν x,x είναι β) Να βρείτε τον θετικό αριθμό x για τον οποίο τα διανύσματα u και κάθετα..505.δίνονται τα διανύσματα α,β και u α β, v5α 4β για τα οποία ισχύουν: u v και α β. α) Να αποδείξετε ότι αβ. β) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα u v και α β είναι αντίρροπα και ότι u v 4..57.Έστω δυο διανύσματα α,β για τα οποία ισχύουν: β, 7 και α 7β μ,7 μ, μ. α) Να γράψετε το διάνυσμα α ως συνάρτηση του μ. β) Αν μ=, τότε: i. να αποδείξετε ότι α, 4 και ότι το α είναι κάθετο στο α 7β. ii. να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων α,β 5.54. Έστω α, και β 5, δύο διανύσματα. α) Να βρείτε το αβ και να απλοποιήσετε την παράσταση α β. αβ β) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος α β. 5

.57. α) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε διανύσματα α,β ισχύει: α β α β α β. β) Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ με πλευρά ίση με τη μονάδα και α, β. Αν η διαγώνιος του ΑΓ έχει μήκος, να βρείτε το μήκος της διαγωνίου ΒΔ. 4.8606.Δίνονται τα διανύσματα O (4, ) και O (,), όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων. α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα και O είναι κάθετα. 4 β) Αν Γ (α, β) είναι σημείο της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β, τότε: i) να αποδείξετε ότι: (,4) και (α 4,β ) 5 ii) να αποδείξετε ότι: 4α + β = 6 iii) αν επιπλέον τα διανύσματα και είναι κάθετα, να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Γ. 4.866.Δίνονται τα διανύσματα a,β και γ για τα οποία ισχύουν: α, β, κ α,β 60 και γ α β, όπου κ. α) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο αβ β) Αν ισχύει β γ κ, τότε: i) να αποδείξετε ότι: κ = 6 ii) να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος γ 8 iii) να αποδείξετε ότι τα διανύσματα α γ και β γ είναι κάθετα. 8 4.868. α) Να εξετάσετε πότε ισχύει καθεμιά από τις ισότητες: u v u v και u v u v. β) Δίνονται τα διανύσματα α,β, γ για τα οποία ισχύουν: α β γ 0 και i) Να αποδείξετε ότι: α β και β γ 8 6 α β γ 4 7

ii) Να αποδείξετε ότι: 7α γ 0 7 Προβολή διανύσματος σε διάνυσμα.0050.δίνονται τα διανύσματα α,7 και β,4. α) Να βρεθεί η προβολή του α πάνω στο β. β) Να αναλύσετε το α σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες. από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο β..005.δίνονται τα διανύσματα α, β με α, α β β 7 και α β. α) Να υπολογίσετε τα α και β. 6 β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος α β. 9 γ) Να βρείτε την προβολή του α β στο διάνυσμα β..0069. Δίνονται τα διανύσματα α, και β,. α) Να βρείτε τη προβολή του α πάνω στο β. β) Να αναλύσετε το α σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη με το β..0050.δίνονται τα διανύσματα α,7 και β,4. α) Να βρεθεί η προβολή του α πάνω στο β. β) Να αναλύσετε το α σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες, από τις οποίες, η μία να είναι παράλληλη στο β. 7