Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Πρόβλημα Μεταφοράς Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα
To Πρόβλημα Μεταφοράς Μαθηματική Διατύπωση Εύρεση Αρχικής Λύσης Προσδιορισμός Βέλτιστης Λύσης Ειδικές Περιπτώσεις Επίλυση με χρήση Solver 2
Το Πρόβλημα Μεταφοράς (Transportation Problem) Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού με ειδική δομή. Για την επίλυσή του έχουν αναπτυχθεί αποτελεσματικές τεχνικές (παραλλαγές της μεθόδου Simplex). Το πρόβλημα ήταν γνωστό από το 1941 (Hitchcock, 1941) και ως π.γ.π. θεμελιώθηκε και λύθηκε από τον Dantzig το 1951. Ανήκει στην κατηγορία των προβλημάτων δικτυωτής ανάλυσης. 3
Σκοπός του Προβλήματος Μεταφοράς Ο καθορισμός των ποσοτήτων που θα μεταφερθούν από τα σημεία παραγωγής ή αποθήκευσης προς τους προορισμούς έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το κόστος μεταφοράς. Δεδομένα του προβλήματος είναι: a. Το κόστος μεταφοράς από κάθε σημείο παραγωγής ή αποθήκευσης προς κάθε σημείο προορισμού b. Οι διαθέσιμες ποσότητες σε κάθε σημείο παραγωγής ή αποθήκευσης c. Η ζήτηση σε κάθε σημείο προορισμού 4
Η αναπαράσταση δικτύου για ένα πρόβλημα μεταφοράς με 2 πηγές και 3 προορισμούς 1 d 1 s 1 1 c 11 c 12 c 13 2 d 2 c 21 c 22 s 2 2 c 23 3 d 3 ΠΗΓΕΣ ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΙ
Διατύπωση Προβλημάτων Μεταφοράς- Παράδειγμα ΛΟΥΤΡΟΦΙΝ Η επιχείρηση παραγωγής πλακιδίων μπάνιου ΛΟΥΤΡΟΦΙΝ παράγει τα προϊόντα της σε 3 εργοστάσια που βρίσκονται στις πόλεις:, Βόλο και Θεσσαλονίκη Η διανομή των προϊόντων της στην υπόλοιπη χώρα γίνεται μέσω 4 κεντρικών αποθηκών που βρίσκονται στην Αθήνα, Ηράκλειο, Λάρισα και Ιωάννινα Τα εργοστάσια παράγουν μηνιαίως, 300 και 450 χιλ. πλακιδίων αντίστοιχα και η μηνιαία ζήτηση στις 4 πόλεις εκτιμάται σε 200, 300, 400 και 200 χιλ. Το μοναδιαίο κόστος μεταφοράς (σε ) από κάθε εργοστάσιο δίνεται στον πίνακα της επόμενης διαφάνειας Ζητείται να καθοριστεί το μηνιαίο πρόγραμμα μεταφοράς έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το κόστος 6
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Πίνακας Προβλήματος Μεταφοράς Κελί που αντιστοιχεί στη διαδρομή - Λάρισα Θεσ/νίκη ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ X 11 X 12 X 13 X 14 X 21 X 22 X 23 X 24 X 31 X 32 X 33 X 34 300 450 Διαθέσιμη Ποσότητα στο εργοστάσιο του Βόλου Ζήτηση 200 300 400 200 1100 Κόστος της διαδρομής Θεσ/νίκη-Ιωάννινα Ζήτηση της αποθήκης στην Αθήνα
Μαθηματική Διατύπωση-Πρόβλημα ΛΟΥΤΡΟΦΙΝ Min Z = 5 X 11 + 5 X 12 + 3 X 13 +9 X 14 + 6 X 21 + 3 X 22 + 4 X 23 +7 Χ 24 +5 X 31 + 4 X 32 + 6 X 33 + X 34 S.t. X 11 +X 12 +X 13 +X 14 = X 21 +X 22 +X 23 +X 24 =300 X 31 +X 32 +X 33 +X 34 =450 X 11 + X 21 + X 31 + =200 X 12 + X 22 + X 32 + =300 X 13 + X 23 + X 33 + =400 X 14 + X 24 + X 34 + =200 X 11, X 12, X 13, X 14, X 21, X 22,X 23, Χ 24, X 31, X 32, X 33, X 34 0 8
Ανάπτυξη του συστήματος των περιορισμών X 11 X 12,,, X 1n X 21 X 22. X 2n.. X m1 X m2. X mn 1 1. 1 1 1. 1. 1 1.. 1 1 1. 1 1 1.. 1... 1 1. 1. 9
Όλοι οι συντελεστές των μεταβλητών Χ ij στους περιορισμούς είναι 0 ή 1, ενώ κάθε μία από αυτές εμφανίζεται με συντελεστή 1 σε δύο ακριβώς από τους περιορισμούς, σ αυτόν που αντιστοιχεί στον σταθμό παραγωγής Α i και σ εκείνον που αντιστοιχεί στον σταθμό προορισμού Β j. Κάθε π.γ.π. που προσαρμόζεται σ αυτή την ειδική διαμόρφωση είναι πρόβλημα μεταφοράς, άσχετα από το φυσικό του πλαίσιο. 10
Γενική Μαθηματική Διατύπωση i=1,2..,m : σημεία παραγωγής j=1,2, n: σημεία προορισμού Α i : Οι διαθέσιμες ποσότητες στα σημεία παραγωγής Β j : Η ζήτηση στα σημεία προορισμού C ij : το κόστος μεταφοράς μιας μονάδας προϊόντος ή αγαθού από το σημείο παραγωγής i στο σημείο προορισμού Χ ij : Οι άγνωστες ποσότητες που θα μεταφερθούν από την πηγή i στον προορισμό j. m n Ai B j, i 1,2,..., m, j 1,2,..., n i 1 j 1 Ελαχιστοποίηση Κόστους Μεταφοράς n j 1 m i 1 X A, i 1,2,..., m ( ά ) ij i X B, j 1,2,..., n ( ή ) ij j X 0, i, j ( ό ) ij min Περιορισμοί: m n C ij X i 1 j 1 ij 11
Δύο Τύποι Προβλημάτων Μεταφοράς Ισορροπημένο Πρόβλημα Μεταφοράς Συνολική Ζήτηση= Συνολική Διαθέσιμη Ποσότητα m n A B, i 1,2,..., m, j 1,2,..., n i i 1 j 1 j Αναγκαία Συνθήκη για την ύπαρξη λύσης Μη-ισορροπημένο Πρόβλημα Μεταφοράς Συνολική Ζήτηση Συνολική Διαθέσιμη Ποσότητα 12
Ο αριθμός των περιορισμός του προβλήματος Οι m+n περιορισμοί δεν είναι όλοι ανεξάρτητοι μεταξύ τους Υπόθεση ισορροπημένου προβλήματος: m n A B, i 1,2,..., m, j 1,2,..., n i i 1 j 1 j Επομένως, το πλήθος των ανεξάρτητων περιορισμών είναι m n 1 13
Ο αριθμός των διαδρομών που χρησιμοποιούνται στη βέλτιστη λύση Στη μέθοδο Simplex: Αριθμός Βασικών Μεταβλητών = Αριθμός Περιορισμών Επομένως, το πλήθος των βασικών μεταβλητών δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος από m n 1 14
Επίλυση Προβλήματος Μεταφορών Το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με τη μέθοδο SIMPLEX Υπάρχουν διαθέσιμες μέθοδοι απλούστερες και ταχύτερες για την επίλυση του Προβλήματος Μεταφοράς Η διαφορά με την κλασική εφαρμογή της μεθόδου Simplex, είναι ότι στα προβλήματα μεταφοράς είναι αναγκαίο να προσδιοριστεί μια αρχική βασική λύση 15
Επίλυση Προβλήματος Μεταφορών (συνέχεια) Έλεγχος ισχύος της βασικής γενικής προϋπόθεσης του ΠΜ: Σε κάθε ΠΜ θα πρέπει να ισχύει η βασική γενική προϋπόθεση του ΠΜ, δηλαδή m n Ai B j, i 1,2,..., m, j 1,2,..., n i 1 j 1 Για το παράδειγμα της ΛΟΥΤΡΟΦΙΝ, 3 i 1 4 j 1 A B i j 300 450 1100 200 300 400 200 1100 Άρα ισχύει 16
Φάσεις Επίλυσης Προβλήματος Μεταφορών Φάση Ι: Εύρεση μιας Αρχικής Βασικής Λύσης Μέθοδος Βορειοδυτικής Γωνίας Μέθοδος Ελαχίστου Κόστους Μέθοδος Vogel (VAM) Φάση ΙΙ: Εύρεση της Βέλτιστης Βασικής Λύσης Μέθοδος Αναθεωρημένης Εκχώρησης (Modified Distribution-MODI) Μέθοδος Stepping Stone 17
Φάση Ι: Εύρεση μιας Αρχικής Βασικής Λύσης Η μέθοδος της Βορειοδυτικής Γωνίας (Northwest-Corner method) Ξεκινούμε επιλέγοντας το κελί (διαδρομή) που βρίσκεται στην πάνω αριστερή γωνία του πίνακα ακολουθώντας τους εξής απλούς κανόνες: 1. Σε κάθε κελί (διαδρομή) εκχωρούμε τη μέγιστη δυνατή ποσότητα, έτσι ώστε να μηδενιστεί η διαθέσιμη ποσότητα της αντίστοιχης γραμμής ή η ζητούμενη ποσότητα της αντίστοιχης στήλης 2. Συνεχίζουμε με το επόμενο κελί της ίδιας γραμμής έως ότου εξαντληθεί ολόκληρη η ποσότητα της γραμμής ("πηγής") 3. Όταν εξαντληθεί η διαθέσιμη ποσότητα μίας γραμμής συνεχίζουμε με το κελί της ίδιας στήλης στην επόμενη γραμμή του πίνακα Η μέθοδος της ΒΔ Γωνίας 18
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Δεδομένα Προβλήματος ΛΟΥΤΡΟΦΙΝ ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ 300 Θεσ/νίκη 450 Ζήτηση 200 300 400 200 1100 Η μέθοδος της ΒΔ Γωνίας
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εκχώρηση 200 μονάδων στο πλέον βορειοδυτικό κελί <-Ιωάννινα> ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ 200 150 300 Θεσ/νίκη 450 Ζήτηση 0 300 400 200 1100 Η μέθοδος της ΒΔ Γωνίας
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Ικανοποιήθηκε η ζήτηση των Ιωαννίνων ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ 200 150 300 Θεσ/νίκη 450 Ζήτηση 0 300 400 200 1100 Η μέθοδος της ΒΔ Γωνίας
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εκχώρηση 150 μονάδων στο πλέον βορειοδυτικό κελί <-Λάρισα> ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ 200 150 0 300 Θεσ/νίκη 450 Ζήτηση 0 150 400 200 1100 Η μέθοδος της ΒΔ Γωνίας
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εξαντλήθηκε η προσφορά της ς ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ 200 150 0 300 Θεσ/νίκη 450 Ζήτηση 0 150 400 200 1100 Η μέθοδος της ΒΔ Γωνίας
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εκχώρηση 150 μονάδων στο πλέον βορειοδυτικό κελί <-Λάρισα> ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη 200 150 150 0 150 450 Ζήτηση 0 0 400 200 1100 Η μέθοδος της ΒΔ Γωνίας
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Ικανοποιήθηκε η ζήτηση της Λάρισας ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη 200 150 150 0 150 450 Ζήτηση 0 0 400 200 1100 Η μέθοδος της ΒΔ Γωνίας
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εκχώρηση 150 μονάδων στο πλέον βορειοδυτικό κελί <- Αθήνα> ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη 200 150 150 150 0 0 450 Ζήτηση 0 0 250 200 1100 Η μέθοδος της ΒΔ Γωνίας
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εξαντλήθηκε η προσφορά του Βόλου ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη 200 150 150 150 0 0 450 Ζήτηση 0 0 250 200 1100 Η μέθοδος της ΒΔ Γωνίας
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εκχώρηση 250 μονάδων στο πλέον βορειοδυτικό κελί <Θεσσαλονίκη-Αθήνα> ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη 200 150 150 150 250 0 0 200 Ζήτηση 0 0 0 200 1100 Η μέθοδος της ΒΔ Γωνίας
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Ικανοποιήθηκε η ζήτηση της Αθήνας ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη 200 150 150 150 250 0 0 200 Ζήτηση 0 0 0 200 1100 Η μέθοδος της ΒΔ Γωνίας
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εκχώρηση 200 μονάδων στο πλέον βορειοδυτικό κελί <Θεσσαλονίκη- Ηράκλειο> ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη 200 150 150 150 250 200 0 0 0 Ζήτηση 0 0 0 0 1100 Η μέθοδος της ΒΔ Γωνίας
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Ικανοποιήθηκε η ζήτηση του Ηρακλείου Εξαντλήθηκε η προσφορά της Θεσ/νίκης ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη 200 150 150 150 250 200 0 0 0 Ζήτηση 0 0 0 0 1100 Η μέθοδος της ΒΔ Γωνίας
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Αρχική λύση για το πρόβλημα μεταφοράς- Μέθοδος ΒΔ γωνίας ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη 200 150 150 150 250 200 300 450 Ζήτηση 200 300 400 200 1100 Η μέθοδος της ΒΔ Γωνίας
Αρχική λύση για το πρόβλημα μεταφοράς- Μέθοδος ΒΔ γωνίας Χ 11 =200, Χ 12 =150, Χ 22 =150, Χ 23 =150, Χ 33 =250, Χ 34 =200 Ελάχιστο κόστος Z=5*200+5*150+3*150+4*150+6*250+8*200=5.900 H αναμενόμενη ποιότητα των λύσεων που προκύπτουν (σε σχέση πάντα με το πόσο προσεγγίζουν το βέλτιστο κόστος μεταφοράς) δεν είναι γενικώς καλή Παρατηρούμε ότι στο συγκεκριμένο παράδειγμα με 3 πηγές προέλευσης και 4 προορισμούς έχουν επιλεγεί 6 (4+3-1) διαδρομές όπως εξηγήθηκε προηγουμένως των προορισμών
Φάση Ι: Εύρεση μιας Αρχικής Βασικής Λύσης Η μέθοδος του «ελάχιστου κόστους» 1. Ξεκινούμε από τη διαδρομή με το μικρότερο συντελεστή κόστους (σε περίπτωση δύο ή περισσότερων διαδρομών με το ίδιο ελάχιστο κόστος επιλέγουμε μία από αυτές τυχαία). Στη διαδρομή αυτή εκχωρούμε το μέγιστο δυνατό φορτίο, έτσι ώστε είτε να εξαντληθεί η ποσότητα της ''πηγής προέλευσης" είτε να ικανοποιηθεί η ζήτηση στο συγκεκριμένο "προορισμό 2. Διαγράφουμε την πηγή προέλευσης (αν έχει εξαντληθεί η ποσότητα της πηγής) ή τον προορισμό (αν έχει ικανοποιηθεί η ζήτηση) από τα περαιτέρω βήματα 3. Επαναλαμβάνουμε τα βήματα 1 και 2, επιλέγοντας την επόμενη διαδρομή, με βάση το μικρότερο κόστος από τις απομένουσες διαδρομές, έως ότου εξαντληθούν τις οι ποσότητες της πηγές προέλευσης και η ζήτηση 34
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Δεδομένα Προβλήματος ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ 300 Θεσ/νίκη 450 Ζήτηση 200 300 400 200 1100 Η μέθοδος του «ελάχιστου κόστους»
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εκχώρηση μονάδων στο κελί με το μικρότερο κόστος μεταφοράς <- Αθήνα> ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ 0 300 Θεσ/νίκη 450 Ζήτηση 200 300 50 200 1100 Η μέθοδος του «ελάχιστου κόστους»
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εξαντλήθηκε η προσφορά της ς ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ 0 300 Θεσ/νίκη 450 Ζήτηση 200 300 50 200 1100 Η μέθοδος του «ελάχιστου κόστους»
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εκχώρηση 300 μονάδων στο κελί με το μικρότερο κόστος μεταφοράς <- Λάρισα> ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη 300 0 0 450 Ζήτηση 200 0 50 200 1100 Η μέθοδος του «ελάχιστου κόστους»
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Ικανοποιήθηκε η ζήτηση στη Λάρισα Εξαντλήθηκε η προσφορά του Βόλου ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη 300 0 0 450 Ζήτηση 200 0 50 200 1100 Η μέθοδος του «ελάχιστου κόστους»
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εκχώρηση 200 μονάδων στο κελί με το μικρότερο κόστος μεταφοράς <Θεσ/νίκη-Ιωάννινα> ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη 200 300 0 0 250 Ζήτηση 0 0 50 200 1100 Η μέθοδος του «ελάχιστου κόστους»
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Ικανοποιήθηκε η ζήτηση στα Ιωάννινα ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη 200 300 0 0 250 Ζήτηση 0 0 50 200 1100 Η μέθοδος του «ελάχιστου κόστους»
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εκχώρηση 50 μονάδων στο κελί με το μικρότερο κόστος μεταφοράς <Θεσ/νίκη- Αθήνα> ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη 300 200 50 0 0 200 Ζήτηση 0 0 0 200 1100 Η μέθοδος του «ελάχιστου κόστους»
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Ικανοποιήθηκε η ζήτηση της Αθήνας ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη 300 200 50 0 0 200 Ζήτηση 0 0 0 200 1100 Η μέθοδος του «ελάχιστου κόστους»
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εκχώρηση 200 μονάδων στο κελί με το μικρότερο κόστος μεταφοράς <Θεσ/νίκη- Ηράκλειο> ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη 300 200 50 200 0 0 0 Ζήτηση 0 0 0 0 1100 Η μέθοδος του «ελάχιστου κόστους»
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Ικανοποιήθηκε η ζήτηση του Ηρακλείου Εξαντλήθηκε η προσφορά της Θεσ/νίκης ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη 300 200 50 200 0 0 0 Ζήτηση 0 0 0 0 1100 Η μέθοδος του «ελάχιστου κόστους»
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Αρχική Λύση- Μέθοδος «ελάχιστου κόστους» ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη 300 200 50 200 300 450 Ζήτηση 200 300 400 200 1100 Η μέθοδος του «ελάχιστου κόστους»
Αρχική λύση για το πρόβλημα μεταφοράς- Μέθοδος «ελάχιστου κόστους» Χ 13 =, Χ 22 =300, Χ 31 =200, Χ 33 =50, Χ 34 =200 Ελάχιστο κόστος: Z=3*+3*300+5*200+6*50+8*200=4.850 το κόστος που υπολογίζει η μέθοδος είναι μικρότερο σχετικά με την μέθοδο ΒΔ γωνίας εξαιτίας του γεγονότος πως η επιλογή έγινε με βάση το κόστος μεταφοράς. η μέθοδος δεν εγγυάται την βέλτιστη λύση. Υπάρχει περίπτωση να προκύψει λύση με λιγότερες από m+n-1 διαδρομές (εκφυλισμένη λύση) όταν σε κάποια εκχώρηση εξαντλείται η προσφορά και ικανοποιείται η ζήτηση ταυτόχρονα (όπως στην περίπτωση του παραδείγματος). μειονέκτημα της μεθόδου είναι η μυωπική επιλογή των διαδρομών καθώς δεν εξετάζει το κόστος ευκαιρίας από την επόμενη επιλογή, δηλαδή αγνοεί το τι θα συμβεί μετά από μια κίνηση.
Φάση Ι: Εύρεση μιας Αρχικής Βασικής Λύσης- Η μέθοδος «Vogel» Είναι μια άλλη μέθοδος προσδιορισμού μιας αρχικής λύσης σε προβλήματα μεταφοράς Είναι μια πιο πολύπλοκη μέθοδος σε σχέση με τις προηγούμενες, αλλά δίνει κατά κανόνα πολύ καλύτερες λύσεις που είναι πλησιέστερες στη βέλτιστη λύση, ή σε αρκετές περιπτώσεις και αυτή ακόμη τη βέλτιστη λύση Λαμβάνει υπ' όψη το κόστος των διαδρομών, αλλά όχι το απόλυτο κόστος κάθε διαδρομής, όπως στη μέθοδο του Ελάχιστου Κόστους Αντίθετα, η μέθοδος Vogel λαμβάνει υπ' όψη για κάθε πηγή και κάθε προορισμό την αύξηση κόστους που θα προέκυπτε αν αντί της πιο οικονομικής διαδρομής, επιλέγαμε τη δεύτερη πιο οικονομική 48
Βήματα μεθόδου «Vogel» 1. Για κάθε «πηγή προέλευσης» όπως και για κάθε «προορισμό» υπολογίζουμε τη διαφορά μεταξύ του μικρότερου και του αμέσως μικρότερου κόστους των διαδρομών κάθε γραμμής και κάθε στήλης («δείκτη ποινής» ) 2. Επιλέγουμε πηγή ή προορισμό με τη μεγαλύτερη διαφορά και εκχωρούμε τη μεγαλύτερη δυνατή ποσότητα στη διαδρομή με το μικρότερο κόστος. Αφαιρούμε από τις αντίστοιχες ποσότητες (διαθέσιμες και ζήτησης) αντίστοιχα. 3. Διαγράφουμε γραμμή ή στήλη που έχει εξαντληθεί ή καλυφθεί η ποσότητα 4. Υπολογίζουμε ξανά δείκτες ποινής και επαναλαμβάνουμε μέχρι την πλήρη εκχώρηση. Η μέθοδος «Vogel» 49
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Δεδομένα Προβλήματος ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ 300 Θεσ/νίκη 450 Ζήτηση 200 300 400 200 1100 Η μέθοδος «Vogel»
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Υπολογίζουμε για κάθε γραμμή και κάθε στήλη τη διαφορά ανάμεσα στα δύο μικρότερα κόστη μεταφοράς ανά μονάδα προϊόντος και διαλέγουμε την μεγαλύτερη ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Ποινές Γραμμών 2 300 1 Θεσ/νίκη 450 1 Ζήτηση 200 300 400 200 1100 Ποινές Στηλών 0 1 1 1 Η μέθοδος «Vogel»
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εκχώρηση μονάδων στο κελί με το μικρότερο κόστος μεταφοράς στην επιλεγμένη γραμμή <-Αθήνα> ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Ποινές Γραμμών 0 2 300 1 Θεσ/νίκη 450 1 Ζήτηση 200 300 50 200 1100 Ποινές Στηλών 0 1 1 1 Η μέθοδος «Vogel»
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εξαντλήθηκε η προσφορά της ς ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Ποινές Γραμμών 0 2 300 1 Θεσ/νίκη 450 1 Ζήτηση 200 300 50 200 1100 Ποινές Στηλών 0 1 1 1 Η μέθοδος «Vogel»
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Υπολογίζουμε για κάθε γραμμή και κάθε στήλη τους δείκτες ποινής και επιλέγουμε τη μεγαλύτερη ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Ποινές Γραμμών 0 2 300 1 Θεσ/νίκη 450 1 Ζήτηση 200 300 50 200 1100 Ποινές Στηλών 1 1 2 1 Η μέθοδος «Vogel»
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εκχώρηση 50 μονάδων στο κελί με το μικρότερο κόστος μεταφοράς στην επιλεγμένη γραμμή <-Αθήνα> ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Ποινές Γραμμών Θεσ/νίκη 50 0 2 250 1 450 1 Ζήτηση 200 300 0 200 1100 Ποινές Στηλών 1 1 2 1 Η μέθοδος «Vogel»
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Ικανοποιήθηκε η ζήτηση της Αθήνας ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Ποινές Γραμμών Θεσ/νίκη 50 0 2 250 1 450 1 Ζήτηση 200 300 0 200 1100 Ποινές Στηλών 1 1 2 1 Η μέθοδος «Vogel»
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Υπολογίζουμε για κάθε γραμμή και κάθε στήλη τις ποινές και επιλέγουμε τη μεγαλύτερη ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Ποινές Γραμμών Θεσ/νίκη 50 0 2 250 3 450 1 Ζήτηση 200 300 0 200 1100 Ποινές Στηλών 1 1 2 1 Η μέθοδος «Vogel»
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εκχωρούμε 250 μονάδες στη διαδρομή «- Λάρισα» ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Ποινές Γραμμών Θεσ/νίκη 250 50 0 2 0 3 450 1 Ζήτηση 200 50 0 200 1100 Ποινές Στηλών 1 1 2 1 Η μέθοδος «Vogel»
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Εξαντλήθηκε η προσφορά του Βόλου ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Ποινές Γραμμών Θεσ/νίκη 250 50 0 2 0 3 450 1 Ζήτηση 200 50 0 200 1100 Ποινές Στηλών 1 1 2 1 Η μέθοδος «Vogel»
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Η απομένουσα ζήτηση θα ικανοποιηθεί από τη Θεσσαλονίκη: Κατανέμουμε την ποσότητα της τελευταίας γραμμής στις στήλες ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ 0 250 50 0 Θεσ/νίκη 200 50 200 0 Ζήτηση 0 0 0 0 1100 Η μέθοδος «Vogel»
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Αρχική Βασική Λύση- Μέθοδος «Vogel» ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ 250 50 300 Θεσ/νίκη 200 50 200 450 Ζήτηση 200 300 400 200 1100 Η μέθοδος «Vogel»
Αρχική λύση για το πρόβλημα μεταφοράς- Μέθοδος «Vogel» Χ 13 =, Χ 22 =250, Χ 23 =50, Χ 31 =200, Χ 32 =50, Χ 34 =200 Ελάχιστο κόστος: Z=3*+3*250+4*50+5*200 0+4*50 +8*200=4.800 Η Μέθοδος «Vogel» παράγει γενικώς καλύτερες λύσεις Η μέθοδος «Vogel»
Φάση ΙΙ: Εύρεση της Βέλτιστης Βασικής Λύσης Μέθοδος αναθεωρημένης εκχώρησης (Modified Distribution-MODI) H μέθοδος MODI είναι μία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισμό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβλημα μεταφοράς. Τα βήματα της επαναληπτικής μεθόδου MODI είναι αντίστοιχα με τα βήματα της μεθόδου Simplex Σε κάθε βήμα της μεθόδου MODI, εξετάζεται η δυνατότητα εύρεσης μιας καλύτερης λύσης με αλλαγή μίας εκ των διαδρομών που χρησιμοποιούνται (βασική μεταβλητή) με μία από αυτές που δεν χρησιμοποιούνται (μη-βασική μεταβλητή) Οι υπολογισμοί στη μέθοδο MODI είναι πιο απλοί, λόγω του ότι οι συντελεστές των μεταβλητών στους περιορισμούς (τεχνολογικοί συντελεστές) είναι όλοι είτε μοναδιαίοι είτε μηδενικοί 63
Φάση ΙΙ: Εύρεση της Βέλτιστης Βασικής Λύσης Μέθοδος αναθεωρημένης εκχώρησης (Modified Distribution-MODI) Βήμα 1. Έλεγχος κριτηρίου βελτιστοποίησης Βήμα 2. Επιλογή από τις μη βασικές μεταβλητές της μεταβλητής που θα γίνει βασική (εισερχόμενη μεταβλητή) Βήμα 3. Επιλογή της βασικής μεταβλητής που θα αντικατασταθεί (εξερχόμενη μεταβλητή) Βήμα 4. Υπολογισμός νέας βελτιωμένης λύσης και επιστροφή στο βήμα 1 64
Μέθοδος Αναθεωρημένης Εκχώρησης (MODI) Βήμα 1. Έλεγχος κριτηρίου βελτιστοποίησης 1. Ορίζουμε τις μεταβλητές: u i = η δυϊκή μεταβλητή που αντιστοιχεί στη γραμμή i v j = η δυϊκή μεταβλητή που αντιστοιχεί στη στήλη j c ij = το κόστος της αντίστοιχης διαδρομή 2. Υπολογίζουμε τα στοιχεία u i και v j : Από το σύστημα των εξισώσεων c ij = u i + v j για κάθε βασικό δρομολόγιο (i,j) Σύστημα m+n-1 εξισώσεων με m+n αγνώστους. Επιλύεται θέτοντας u 1 =0. 3. Υπολογίζουμε για κάθε κενό κελί (μη βασική μεταβλητή) το αντίστοιχο κόστος ευκαιρίας i, i=1,,m από τη σχέση e ij =c ij u i v j. Αν όλα τα e ij είναι μη-αρνητικά, έχουμε βέλτιστη λύση (κριτήριο τερματισμού). 65
Μέθοδος Αναθεωρημένης Εκχώρησης (MODI) Βήμα 2. Επιλογή εισερχόμενης μεταβλητής Προσδιορίζουμε την εισερχόμενη μεταβλητή ως εξής: Επιλέγουμε το μικρότερο αρνητικό e ij κατά απόλυτη τιμή. Το κελί στο οποίο βρίσκεται, αντιστοιχεί στην εισερχόμενη μεταβλητή. Σε περίπτωση που υπάρχουν ισοδύναμες επιλογές, τότε η επιλογή είναι αυθαίρετη 66
Μεθόδος Αναθεωρημένης Εκχώρησης (MODI) Βήμα 3. Επιλογή εξερχόμενης μεταβλητής Προσδιορίζουμε την εξερχόμενη μεταβλητή ως εξής: Ξεκινάμε από το κελί που έχει επιλεγεί να εισέλθει στη λύση. Κατασκευάζουμε ένα κλειστό μονοπάτι που ξεκινά από το εισερχόμενο και καταλήγει πίσω σ αυτό πραγματοποιώντας άλματα μόνο πάνω σε κατειλημμένα κελιά, κάνοντας μία μόνο στάση σε κάθε γραμμή ή στήλη που επιλέγουμε. Δίνουμε διαδοχικά θετικά και αρνητικά πρόσημα στα διάφορα κελιά του μονοπατιού ξεκινώντας με + για το εισερχόμενο Επιλέγουμε ως εξερχόμενο το κελί με τη μικρότερη τρέχουσα εκχώρηση μεταξύ των κελιών που έχουν -. Το κελί αυτό θα δώσει όλη την ποσότητά του στο εισερχόμενο. Σε ισοδύναμες επιλογές, η επιλογή είναι αυθαίρετη. Βήμα 4. Υπολογισμός νέας βελτιωμένης λύσης Στα κελιά του μονοπατιού με θετικό πρόσημο προσθέτουμε την ποσότητα του εξερχόμενου κελιού και αντίστοιχα την αφαιρούμε από τα κελιά με αρνητικό πρόσημο. Η λύση που προκύπτει είναι η νέα τρέχουσα. Επιστροφή στο βήμα 1. 67
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI Θα επιλύσουμε το Παράδειγμα της ΛΟΥΤΡΟΦΙΝ χρησιμοποιώντας την Αρχική Βασική Λύση που υπολογίσαμε με τη μέθοδος ΒΔ γωνίας. Υπενθυμίζεται ο Πίνακας της Α.Β.Λ. Θεσ/νίκη ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ 200 150 150 150 250 200 300 450 Ζήτηση 200 300 400 0 1100 Κόστος: Ζ=5900
Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI Ο τροποποιημένος (επαυξημένος) Πίνακας με βάση τη μέθοδο MODI είναι ο ακόλουθος: u 1 u 2 u 3 ΠΡΟΣ: ΑΠΟ: Θεσ/νίκη 200 150 150 150 300 250 200 450 Ζήτηση 200 300 400 0 1100
Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI Εφαρμόζοντας την c ij = u i + v j για κάθε μη κενό κελί, προκύπτουν οι ακόλουθες εξισώσεις : u1+v1=5 u1+v2=5 u2+v2=3 u2+v3=4 u3+v3=6 u3+v4=8 Έχουμε 6 εξισώσεις με 7 αγνώστους. Θέτοντας u1 = 0, επιλύουμε το σύστημα και βρίσκουμε v1=5 v2=5 u2=2 v3=2 u3=4 v4=4 Συμπληρώνουμε τον επαυξημένο Πίνακα με τις τιμές των ui και vj
Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI- 1 η επανάληψη Επαυξημένος Πίνακας με υπολογισμένες τις τιμές u i και v j u 1 =0 u 2 =-2 v 1 =5 v 2 =5 v 3 =6 v 4 =8 ΠΡΟΣ: ΑΠΟ: 200 150 150 150 300 u 3 =0 Θεσ/νίκη 250 200 450 Ζήτηση 200 300 400 200 1100
Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI- 1 η επανάληψη Υπολογίζουμε για κάθε κενό κελί (μη βασική μεταβλητή) το αντίστοιχο κόστος ευκαιρίας e ij, i=1,,m από τη σχέση e ij =c ij u i v j. Βλέπουμε πως η x 13 επιφέρει τη μεγαλύτερη μείωση στην αντικειμενική συνάρτηση αν εισέλθει στη βάση u 1 =0 u 2 =-2 ΠΡΟΣ: ΑΠΟ: v 1 =5 v 2 =5 v 3 =6 v 4 =8 5 5-3 3 1 9 200 150 3 6 3 4 1 7 150 150 300 u 3 =0 Θεσ/νίκη 0 5-1 4 6 8 450 250 200 Ζήτηση 200 300 400 200 1100
Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI- 1 η επανάληψη Μονοπάτι διαδρομής - Αθήνα (κελί (1,3)) v 1 =5 v 2 =5 v 3 =6 v 4 =8 ΠΡΟΣ: ΑΠΟ: 5-5 + 3 9 200 150 6 + 3-4 7 150 150 300 u 3 =0 Θεσ/νίκη 250 200 450 u 1 =0 u 2 =-2 Ζήτηση 200 300 400 200 1100 Φορτίο που θα εκχωρηθεί στη νέα διαδρομή: min(150,150)=150
Ποιο είναι το νόημα του κλειστού μονοπατιού και της τοποθέτησης των σημείων + και - Καταρχήν πρέπει να θυμηθούμε ότι θέλουμε να ελέγξουμε τη μεταβολή που θα προκύψει στο κόστος μεταφοράς αν χρησιμοποιηθεί η διαδρομή -Αθήνα αντί μιας άλλης από αυτές που έχουν ήδη επιλεγεί. Επομένως, αν εκχωρήσουμε φορτίο 1 μονάδος στη διαδρομή -Αθήνα, θα πρέπει αυτό να αφαιρεθεί από κάποια άλλη διαδρομή που έχει σαν προορισμό την Αθήνα έτσι ώστε το συνολικό φορτίο που θα μεταφερθεί στην Αθήνα να παραμείνει στα 400 τεμάχια, όσο η συνολική ζήτηση Οι δύο άλλες διαδρομές με προορισμό την Αθήνα είναι οι -Αθήνα και Θεσσαλονίκη-Αθήνα Επιλέγουμε τη διαδρομή -Αθήνα και τοποθετούμε το σημείο - σε αυτή τη διαδρομή (εάν επιλέξουμε τη διαδρομή Θεσσαλονίκη-Αθήνα θα φθάναμε σε αδιέξοδο) Εφόσον όμως θα μειώσουμε το φορτίο στη διαδρομή -Αθήνα, θα πρέπει να αυξήσουμε αντίστοιχα το φορτίο στη διαδρομή -Λάρισα, έτσι ώστε να μην μεταβληθεί η μεταφερόμενη από το Βόλο ποσότητα. Τοποθετούμε το σημείο + στη διαδρομή -Λάρισα Αντίστοιχα, θα πρέπει να μειωθεί το αρχικά εκχωρηθέν φορτίο στη διαδρομή - Λάρισα, ώστε το συνολικό φορτίο με προορισμό τη Λάρισα να παραμείνει το ίδιο Με αυτό τον τρόπο κλείνει το μονοπάτι και υπάρχει ισορροπία των + και - σε κάθε σειρά και σε κάθε στήλη του πίνακα 74
Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI- 1 η επανάληψη Εκχώρηση φορτίου u 1 = u 2 = ΑΠΟ: v 1 = v 2 = V 3 = v 4 = ΠΡΟΣ: 200 150-150 =0 150 150+150 =300 150-150 =0 u 3 = Θεσ/νίκη 250 200 300 450 Ζήτηση 200 300 400 200 1100
Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI- 1 η επανάληψη Νέα Βελτιωμένη Λύση v 1 = v 2 = V 3 = v 4 = ΠΡΟΣ: ΑΠΟ: u 1 = 200 150 u 2 = 300 300 u 3 = Θεσ/νίκη 250 200 450 Ζήτηση 200 300 400 200 1100 Κόστος: Z=5*200+3*150+3*300+6*250+8*200= 5450
Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI: 2 η Επανάληψη Η πρώτη επανάληψη της μεθόδου MODI έδωσε τη λύση της προηγούμενης διαφάνειας Στη λύση αυτή χρησιμοποιούνται μόνο 5 διαδρομές, ενώ 7 διαδρομές δεν χρησιμοποιούνται Η περίπτωση που χρησιμοποιούνται λιγότερες από m+n-1 διαδρομές Στην περίπτωση που οι διαδρομές στη λύση είναι λιγότερες από m+n-1 (δηλαδή 6 στη συγκεκριμένη περίπτωση), μία από τις διαδρομές με μηδενικό φορτίο, από αυτές που μηδενίστηκαν ταυτόχρονα σε κάποια συγκεκριμένη εκχώρηση, θεωρείται για την δημιουργία των κλειστών μονοπατιών ως διαδρομή που έχει επιλεγεί με φορτίο 0. Στην περίπτωση του παραδείγματος μπορούμε να θεωρήσουμε τη διαδρομή - Αθήνα ως επιλεγείσα. 77
Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI- 2 η επανάληψη Υπολογίζουμε εκ νέου τα u i και v j από τη σχέση c ij = u i + v j για κάθε μη κενό κελί v 1 =5 v 2 =2 V 3 =3 v 4 =5 ΠΡΟΣ: ΑΠΟ: u 1 =0 200 150 u 2 =1 300 0 300 u 3 =3 Θεσ/νίκη 250 200 450 Ζήτηση 200 300 400 200 1100
Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI- 2 η επανάληψη Υπολογίζουμε για κάθε κενό κελί (μη βασική μεταβλητή) το αντίστοιχο κόστος ευκαιρίας e ij, i=1,,m από τη σχέση e ij =c ij u i v j. Βλέπουμε πως η x 31 επιφέρει μείωση στην αντικειμενική συνάρτηση αν εισέλθει στη βάση u 1 =0 u 2 =1 ΠΡΟΣ: ΑΠΟ: v 1 =5 v 2 =2 V 3 =3 v 4 =5 5 3 5 3 4 9 200 150 0 6 3 4 1 7 300 0 300 u 3 =3 Θεσ/νίκη -3 5-1 4 6 8 450 250 200 Ζήτηση 200 300 400 200 1100
Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI- 2 η επανάληψη Μονοπάτι διαδρομής Θεσ/νίκη- Ιωάννινα (κελί (3,1)) Φορτίο εκχώρησης min (250,200)=200 v 1 =5 v 2 =2 V 3 =3 v 4 =5 ΠΡΟΣ: ΑΠΟ: u 1 =0-5 5 + 3 9 200 150 u 2 =1 300 0 300 u 3 =3 Θεσ/νίκη 5 4-6 8 + 250 200 450 Ζήτηση 200 300 400 200 1100
Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI- 2 η επανάληψη Εκχώρηση φορτίου u 1 =0 u 2 =1 ΠΡΟΣ: ΑΠΟ: u 3 =3 Θεσ/νίκη v 1 =5 v 2 =2 V 3 =3 v 4 =5 200-200 150+200 300 0 200 250-200 200 300 450 Ζήτηση 200 300 400 200 1100
Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI- 2 η επανάληψη Νέα βελτιωμένη Λύση u 1 =0 u 2 =1 ΠΡΟΣ: ΑΠΟ: u 3 =3 Θεσ/νίκη Κόστος Ζ=4850 v 1 =5 v 2 =2 V 3 =3 v 4 =5 300 0 300 200 50 200 450 Ζήτηση 200 300 400 200 1100
Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI- 3 η επανάληψη Υπολογίζουμε εκ νέου τα u i και v j από τη σχέση c ij = u i + v j για κάθε μη κενό κελί u 1 =0 u 2 =1 ΠΡΟΣ: ΑΠΟ: u 3 =3 Θεσ/νίκη v 1 =2 v 2 =2 V 3 =3 v 4 =5 300 0 300 200 50 200 450 Ζήτηση 200 300 400 200 1100
Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI- 3 η επανάληψη Υπολογίζουμε για κάθε κενό κελί (μη βασική μεταβλητή) το αντίστοιχο κόστος ευκαιρίας e ij, i=1,,m από τη σχέση e ij =c ij u i v j. Βλέπουμε πως η x 32 επιφέρει την μεγαλύτερη μείωση στην αντικειμενική συνάρτηση. u 1 =0 u 2 =1 ΠΡΟΣ: ΑΠΟ: u 3 =3 Θεσ/νίκη v 1 =2 v 2 =2 V 3 =3 v 4 =5 3 5 3 5 3 4 9 3 6 3 4 1 7 300 0 300 5-1 4 6 8 200 50 200 450 Ζήτηση 200 300 400 200 1100
Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI- 3 η επανάληψη u 1 =0 u 2 =1 ΠΡΟΣ: ΑΠΟ: u 3 =3 Θεσ/νίκη Μονοπάτι διαδρομής Θεσ/νίκη-Λάρισα (x 32 ) v 1 =2 v 2 =2 V 3 =3 v 4 =5 6-3 + 4 7 300 0 300 5 + 4-6 8 200 50 200 450 Ζήτηση 200 300 400 200 1100 Φορτίο εκχώρησης: min(300,50)=50
Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI- 3 η επανάληψη u 1 =0 u 2 =1 ΠΡΟΣ: ΑΠΟ: u 3 =3 Θεσ/νίκη Κόστος: Ζ=4800 Νέα βελτιωμένη Λύση v 1 =2 v 2 =2 V 3 =3 v 4 =5 250 50 300 200 50 200 450 Ζήτηση 200 300 400 200 1100
Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI- 4 η επανάληψη Υπολογίζουμε εκ νέου τα u i και v j και τα e ij. Βλέπουμε όλα τα e ij είναι μηαρνητικά. Άρα η λύση είναι βέλτιστη. u 1 =0 u 2 =1 ΑΠΟ: ΠΡΟΣ: u 3 =2 Θεσ/νίκη v 1 =3 v 2 =2 V 3 =3 v 4 =6 2 5 3 5 3 3 9 2 6 3 4 0 7 250 50 5 4 1 6 8 200 50 200 300 450 Ζήτηση 200 300 400 200 1100
Επίλυση ΠΜ- Μέθοδος MODI Βέλτιστη Λύση v 1 = v 2 = V 3 = v 4 = ΠΡΟΣ: ΑΠΟ: u 1 = u 2 = 250 50 300 u 3 = Θεσ/νίκη 200 50 200 450 Ζήτηση 200 300 400 200 1100 Κόστος Ζ=4800. Παρατηρούμε ότι είναι η αρχική λύση που έδωσε η μέθοδος Vogel.
Επισημάνσεις Οι τιμές των e ij που εμφανίζονται στα κενά κελιά του βέλτιστου ταμπλό μεταφοράς, αντιστοιχούν στην επιβάρυνση για το συνολικό κόστος, αν μια μονάδα του προϊόντος μεταφερθεί μ αυτό τον τρόπο. Ο προσδιορισμός του μονοπατιού ανακατανομής είναι το πιο δύσκολο στάδιο στην επίλυση του προβλήματος μεταφοράς: ο βρόχος που δημιουργείται δεν είναι πάντοτε εμφανής. Για την εύρεσή του έχουν αναπτυχθεί ιδιαίτεροι, αποκλειστικοί αλγόριθμοι. Σ ένα ταμπλό μικρού μεγέθους όμως, μπορούμε να εντοπίσουμε αυτό το μονοπάτι με μια διαδικασία της μορφής «δοκιμής και λάθους». Αν στο ταμπλό της βέλτιστης λύσης του προβλήματος μεταφοράς υπάρχει μη βασικό τετράγωνο (i, j) με e ij =0, τότε το πρόβλημα έχει εναλλακτική βέλτιστη λύση που βρίσκεται κάνοντας βασικό το τετράγωνο (i, j). 89
Εναλλακτική Βέλτιστη Λύση για το Πρόβλημα ΛΟΥΤΡΟΦΙΝ (1) u 1 =0 u 2 =1 ΠΡΟΣ: ΑΠΟ: u 3 =2 Θεσ/νίκη v 1 =3 v 2 =2 v 3 =3 v 4 =6 2 5 3 5 3 3 9 2 6 3 4 0 7 250-50 + 300 5 4 1 6-8 200 50 + 200 450 Ζήτηση 200 300 400 200 1100
Εναλλακτική Βέλτιστη Λύση για το Πρόβλημα ΛΟΥΤΡΟΦΙΝ (2) u 1 = u 2 = ΠΡΟΣ: ΑΠΟ: u 3 = Θεσ/νίκη v 1 = v 2 = v 3 = v 4 = 50 50 200 300 200 250 450 Ζήτηση 200 300 400 200 1100 Κόστος: Ζ=3*+3*50+4*50+7*200+5*200+4*250=4800
Ειδικές Περιπτώσεις ΠΜ Εκφυλισμένη Λύση Μη-ισορροπημένο Πρόβλημα Μεταφοράς Ζήτηση μικρότερη της ς Ζήτηση μεγαλύτερη της ς Αδυναμία χρησιμοποίησης ορισμένων διαδρομών Πρόβλημα Μεγιστοποίησης 92
Εκφυλισμένη Λύση Η λύση της οποίας μία ή περισσότερες από τις m+n-1 βασικές μεταβλητές παίρνει την τιμή 0, ονομάζεται εκφυλισμένη λύση Προκύπτει όταν σε κάποια εκχώρηση εξαντλείται η προσφορά και ικανοποιείται η ζήτηση ταυτόχρονα Προβλήματα στη μετάβαση στο επόμενο στάδιο Αντιμετώπιση: θεωρούμε μια από τις μη- χρησιμοποιούμενες διαδρομές (κενά κελιά) ως διαδρομή που έχει επιλεγεί με φορτίο 0 Το κελί που επιλέγεται πρέπει να είναι σε τέτοια θέση ώστε να μπορούν να υπολογισθούν τα u i και v j 93
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Αρχική Λύση- Μέθοδος «ελάχιστου κόστους» ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Θεσ/νίκη 300 0 200 50 200 300 450 Ζήτηση 200 300 400 200 1100
Ζήτηση μικρότερη της ς n B m j j 1 i 1 A i Θεωρούμε ένα «τεχνητό προορισμό» n+1 με ζήτηση m b A B n 1 i j i 1 j 1 n δηλαδή ίση με την πλεονάζουσα παραγωγή που δεν μπορεί να διατεθεί στους n προορισμούς Τα αντίστοιχα (υποθετικά) μοναδιαία κόστη μεταφοράς προς τον πλασματικό αυτό προορισμό εξαρτώνται πάλι από τα δεδομένα του ΠΜ (π.χ. μπορεί να εκφράζουν κόστος παραμονής προϊόντος στην πηγή). Εάν δεν υπάρχουν σχετικές επιβαρύνσεις (από την μη- διάθεση της παραγωγής) τα μοναδιαία κόστη μεταφοράς στον προορισμό n+1 θα είναι c i,n+1 = 0, για j = 1, 2,, m 95
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Τροποποιημένο παράδειγμα ΛΟΥΤΡΟΦΙΝ ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ 450 400 Θεσ/νίκη 450 Ζήτηση 200 300 400 200 1100<1300 Η μέθοδος της ΒΔ Γωνίας
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Τροποποιημένος πίνακας ΛΟΥΤΡΟΦΙΝ ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Τεχνητός Προορισμός 0 450 0 400 Θεσ/νίκη 0 450 Ζήτηση 200 300 400 200 200 1300
Ζήτηση μεγαλύτερη της ς n B m j j 1 i 1 A i Θεωρούμε μια «τεχνητή πηγή» m+1 με προσφορά n m a B A m 1 j i j 1 i 1 δηλαδή ίση με την πλεονάζουσα ζήτηση που δεν μπορεί να ικανοποιηθεί από τις m πηγές Τα αντίστοιχα (υποθετικά) μοναδιαία κόστη μεταφοράς προς τον πλασματικό αυτό προορισμό εξαρτώνται πάλι από τα δεδομένα του ΠΜ ((π.χ. Μπορεί να εκφράζουν την αποζημίωση που δίνεται σε κάποιο προορισμό για την μηαποστολή μιας μονάδας προϊόντος). Εάν δεν υπάρχουν σχετικές επιβαρύνσεις (από την μη- ικανοποίηση της ζήτησης των προορισμών από τις πηγές) τα μοναδιαία κόστη μεταφοράς από την Πηγή m+1 θα είναι c m+1,j = 0, για j = 1, 2,, n 98
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Τροποποιημένο παράδειγμα ΛΟΥΤΡΟΦΙΝ (II) ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ 300 Θεσ/νίκη 450 Ζήτηση 200 300 400 300 1200>1100
ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ Τροποποιημένο παράδειγμα ΛΟΥΤΡΟΦΙΝ (II) ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ 300 Θεσ/νίκη 450 Τεχνητή Πηγή 0 0 0 0 100 Ζήτηση 200 300 400 300 1200
Αδυναμία χρησιμοποίησης ορισμένων διαδρομών Εάν δεν είναι δυνατή η μεταφορά προϊόντων από κάποια Πηγή i σε κάποιο Προορισμό j (π.χ. απεργία, φυσικό φαινόμενο): Τότε θεωρούμε νέο πρόβλημα (όπως το αρχικό) στο οποίο μπορεί μεν να γίνει μεταφορά από την Πηγή i στον Προορισμό j, αλλά το αντίστοιχο μοναδιαίο κόστος μεταφοράς c ij είναι ίσο με Μ, όπου Μ αυθαίρετα πολύ μεγάλος αριθμός (Big M). Εφόσον ζητείται η ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους μεταφοράς είναι προφανές ότι : Εάν στη βέλτιστη λύση του νέου προβλήματος έχουμε x ij = 0, τότε η λύση αυτή είναι βέλτιστη και για το αρχικό. Εάν όμως x ij > 0, αυτό σημαίνει ότι το αρχικό δεν έχει δυνατές λύσεις. 101
Επίλυση Προβλημάτων Μεγιστοποίησης Σε περιπτώσεις όπου τα cij εκφράζουν κέρδος ή άλλο μέτρο θετικής συνεισφοράς Παρόμοια μεθοδολογία Αλλάζει ο κανόνας τερματισμού στο κριτήριο βελτιστοποίησης: Πρέπει όλα τα e ij να είναι μη-θετικά Αλλάζει η «λογική» στις δύο μεθόδους εύρεσης αρχικής λύσης: «μέθοδος μεγίστου κέρδους», μέθοδος Vogel 102
Επίλυση ΠΜ με χρήση του Solver 103