Η εξίσωση κίνησης ενός γραµµικού αρµονικού ταλαντωτή µε απόσβεση, έχει την µορφή: x = x e-bt/m "(t + µε εφφ =-b/mω ( όπου x η αρχική του αποµάκρυνση από την θέση αναφοράς x=, b η σταθερά απόσβεσής του, m η µάζα του, ω η γωνιακή ιδιοσυχνότητα της ελεύθερης και αµείωτης ταλάντωσής του και ω η γωνιακή ψευδοσυχνότητά του, για την οποία ισχύει: = - (b/m i Nα δείξετε ότι η στιγµιαία του ταχύτητα δίνεται από την σχέση: v = - x e-bt/m "µt ii Nα δείξετε την σχέση: + " ( e -bt/m µ "tdt = " " - " ΛYΣH: i H στιγµιαία ταχύτητα (αλγεβρική τιµή του ταλαντωτή είναι κάθε στιγµή η πρώτη παράγωγος της αποµάκρυνσής του x, ως προς το χρόνο t, δηλα δή ισχύει η σχέση: v = dx dt ( v = d x dt ( e-bt/m "(t + + v = x - b m e-bt/m "(t + - e -bt/m µ (t +, ( + b v = -x e -bt/m "(t + +µ (t + ( m, + Όµως ισχύει εφφ=-b/mω, οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται:
v = -x e -bt/m [-" (t + +(µ(t + ] v = - x [ " e-bt/m -µ "(t + +"µ (t + ] v = - x " e-bt/m µ (t + - = - x " e-bt/m µt ( Aκόµα ισχύει η τριγωνοµετρική ταυτότητα: " = + = + (b/m = + (b/m = µε αποτέλεσµα η σχέση ( να γράφεται: v = - x e -bt/m "µt v = - x e-bt/m "µt (3 ii H ισχύς απωλειών P απωλ του ταλαντωτή είναι κάθε στιγµή ίση µε την ισχύ της δύναµης τριβής F=- bv, δηλαδή ισχύει: (3 P απωλ = Fv = -bv P " = - bx 4 e -bt/m µ t (4 Η απώλεια µηχανικής ενέργειας του ταλαντωτή µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt είναι: (4 dw " = P " dt dw " = - bx 4 e -bt/m µ tdt οπότε η συνολική απώλεια W απωλ µηχανικής ενέργειας θα προκύψει µε ολοκλή ρωση της προηγούµενης σχέσεως, όπου τα όρια ολοκλήρωσης είναι το µηδέν και άπειρο, δηλαδή ισχύει: + W " = dw " = - bx e -bt/m µ tdt = - bx e -bt/m µ tdt (5 + 4 4 + Όµως η συνολική απώλεια µηχανικής ενέργειας του ταλαντωτη είναι αντίθετη της µηχανικής του ενέργειας την χρονική στιγµή t=, δηλαδή ισχύει η σχέση: W " = -K( - U( = - mv ( - Dx ( (,( W " = - - D x ( +, -. = - D x ( ( = - Dx (6
όπου D η σταθερά επαναφοράς του ταλαντωτή ίση µε mω. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5 και (6 παίρνουµε: + bx 4 e -bt/m "µ tdt = Dx + 4 b e -bt/m "µ tdt = m + e -bt/m µ "tdt = m" b" = " ( " ( b / m + " ( e -bt/m µ "tdt = " " - " P.M. fysikos Θεωρούµε τον γραµµικό αρµονικό ταλαντωτή µε απόσβεση, του προηγούµενου προβλήµατος. i Χρησιµοποιώντας την σχέση ταχύτητας-χρόνου του ταλαντωτή, να δείξετε ότι η συνάρτηση v=v(t παρουσιάζει τοπικά ακρότατα και να βρείτε την σχέση που επιτρέπει να καθοριστούν οι χρονικές στιγµές που αντιστοιχούν στα ακρότατα αυτά. ii Nα δείξετε ότι το διάγραµµα της σχέσεως v=f(t φράσσεται προς τα άνω και προς τα κάτω από δύο περιβάλλουσες, οι οποίες είναι συµ µετρικές µεταξύ τους, ως προς τον άξονα των χρόνων, τα δε σηµεία επαφής του διαγράµµατος µε τις περιβάλλουσες αυτές είναι διαφορε τικά από τα σηµεία που αντιστοιχούν στα τοπικά ακρότατα. iii Να δείξετε ότι, αν η σταθερά απόσβεσης του ταλαντωτή ικανοπο ιεί την σχέση b/m<<ω, δηλαδή η ταλάντωση φθίνει πολύ αργά, τοτε τα τοπικά ακρότατα τείνουν να συµπέσουν µε τα σηµεία επαφής του διαγράµµατος της v=f(t και των περιβαλλουσών της. ΛΥΣΗ: i Στο προηγούµενο πρόβληµα αποδείχθηκε ότι, αν η εξίσωση της απο µάκρυνσης ενός γραµµικού αρµονικού ταλαντωτη µε απόσβεση έχει την µορφή: x = x e-bt/m "(t + µε εφφ = b/mω ( τότε η ταχύτητά του (αλγεβρική τιµή µεταβάλλεται µε τον χρόνο t, σύµφωνα µε την σχέση: v = - x e-bt/m "µt (
Εάν η συνάρτηση ( παρουσιάζει τοπικά ακρότατα θα πρέπει να υπάρχουν χρονικές στιγµές που µηδενίζουν την πρώτη παράγωγό της, δηλαδή που ικανο ποιούν την σχέση: dv dt = d dt - x e-bt/m "µt( = - x -b ( m e-bt/m "µt + e -bt/m t+ = -b -x e -bt/m ( m "µt + t+ = -b "µt + t = -"µt + (t = m - µ" µt + t = -µ"µt + "t = " "(t + = t + " = k t = k - " (3 Σχήµα όπου k ακέραιος που δεσµεύεται µε την σχέση k>φ/π. Από την όλη ανάλυση προκύπτει ότι υπάρχουν χρονικές στιγµές που η αλγεβρική τιµή της ταχύτη τας του ταλαντωτή παρουσιάζει ακρότατα και µάλιστα αποδεικνύεται ότι τα ακρότατα αυτά είναι εναλλασσόµενα ελάχιστα και µέγιστα (σχήµα. ii Κατά την εξέλιξη της φθίνουσας ταλάντωσης ισχύει η σχέση: - "µt + - x e-bt/m " x e-bt/m µt " x e-bt/m
- x e-bt/m "- v" x e-bt/m - x e-bt/m "v" x e-bt/m (4 Aπό την (4 γίνεται φανερό ότι η ταχύτητα του ταλαντωτή φράσσεται προς τα άνω από την συνάρτηση: f (t = x e-bt/m = Ve -bt/m (5 και προς τα κάτω από την συνάρτηση: f (t = - x e-bt/m = -Ve -bt/m (6 µε V=x ω /ω>. Αυτό σηµαίνει ότι οι συναρτήσεις f (t και f (t αποτελούν περιβάλλουσες της ταχύτητας v και µάλιστα τα διαγράµµατά τους είναι δύο εκθετικές καµπύλες συµµετρικές µεταξύ τους ως προς τον άξονα των χρόνων (σχήµα. Αν θεωρήσουµε τα σηµεία επαφής της f (t και της v=v(t, αυτά αντι στοιχούν στις χρονικές στιγµές t που ικανοποιούν την σχέση: x e-bt /m = x e-bt /m "µt µ"t = Παραγωγίζοντας εξάλλου την ( ως προς τον χρόνο t, παίρνουµε: dv(t dt = d dt - x e-bt/m "µt ( =- x -b m e-bt/m "µt+e -bt/m +t( dv(t dt =- x -b e-bt/m ( m "µt+t + (7 Για t=t η (7 δίνει: dv(t dt e-bt /m" -b m + = x " b e -bt /m > (8 m =- x H (8 δηλώνει ότι κατά τις χρονικές στιγµές t η ταχύτητα του ταλαντωτη δεν παρουσιάζει ακρότατο, δηλαδή τα ακρότατα της v=v(t δεν ανήκουν στην περι βάλλουσα f (t. Mε τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται ότι τα ακρότατα της ταχύτη τας δεν ανήκουν στην περιβάλλουσα f (t (σχήµα. iii Αν δεχθούµε ότι ο συντελεστής απόσβεσης b του ταλαντωτή ικανοποιεί την σχέση b/m<<ω, τότε θα είναι ω ω και η σχέση ( παίρνει την προσεγγιστι κή µορφή: v = - x e -bt/m "µ t = -x e -bt/m "µ t
οι δε περιβάλλουσές της θα προσεγγίζονται από τις εκθετικές συναρτήσεις: f (t = x e -bt/m και f (t = -x e -bt/m που τα διαγράµµατά τους είναι οι εστιγµένες καµπύλες του σχήµατος (. Θεω ρώντας πάλι τα σηµεία επαφής της f (t και της v=v(t, αυτά αντιστοιχούν τις χρονικές στιγµές t που ικανοποιούν την σχέση: x e -bt /m = x e -bt /m "µt µ"t = Παραγωγίζοντας την (9 ως προς τον χρόνο t, παίρνουµε: dv(t dt = d dt -x -b ( e-bt/m "µ t=- x ( m e-bt/m "µ t+ e -bt/m t+ Η πιο πάνω σχέση για t=t δίνει: dv(t " -b =- x dt e -bt /m m + " b = x e -bt /m m dv(t = x dt " e -bt /m ( Όµως η γωνία φ ικανοποιεί την σχέση: " = / " / = " οπότε η ( δίνει: dv(t / dt Σχήµα
που σηµαίνει ότι τις χρονικές στιγµές t η ταχύτητα προσεγγίζει τις ακρότατες τιµές της, δηλαδή τα τοπικά ακρότατα του διαγράµµατός της βρίσκονται περί που πάνω στις δύο περιβάλλουσές του (σχήµα. P.M. fysikos Ένας γραµµικός αρµονικός ταλαντωτής µε απόσβε ση εκτρέπεται κατά x από την θέση ισορροπίας του, στην συνέχεια αφήνεται ελεύθερος και τότε εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση µε γωνια κή συχνότητα ω. i Να εκφράσετε την κινητική και την δυναµική ενέργεια του ταλαν τωτή σε συνάρτηση µε τον χρόνο και να δείξετε ότι υπάρχουν χρονι κές στιγµές που οι ενέργειες αυτές παρουσιάζουν ακρότατα. ii Να δείξετε ότι τα διαγράµµατα των συναρτήσεων Κ=Κ(t και U=U(t παρουσιάζουν τις ίδιες περιβάλλουσες. iii Eάν η φθίνουσα ταλάντωση είναι βραδεία (b/m<<ω, να δείξετε ότι η ενέργεια απωλειών του ταλαντωτή σε δεδοµένο χρόνο είναι ανά λογη του χρόνου αυτού. ΛΥΣΗ: i Για τη αποµάκρυνση x και την ταχύτητα v του ταλαντωτή ισχύουν οι σχέσεις: και x = x e-bt/m "(t + µε " = / ( v = - x e-bt/m "µt ( όπου ω η γωνιακή ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή, m η µάζα του και b ο συντε λεστής αποσβέσεώς του. Η κινητική ενέργεια Κ του ταλαντωτή την χρονική στιγµή t δίνεται από την σχέση: K = mv ( K = m " x e -bt/m (µ t = mx " e -bt/m (µ t Όµως η ποσότητα mx ω / αποτελεί την δυναµική ενέργεια του ταλαντωτή την χρονική στιγµή t= που όµως εκφράζει και την ολική του ενέργεια Ε, αφου την στιγµή αυτή η ταχύτητα του ταλαντωτή είναι µηδενική. Έτσι η προη γούµενη σχέση παίρνει την µορφή: " K = E e -bt/m (µ t µε t< + (3 Εξάλλου η δυναµική ενέργεια U του ταλαντωτή την χρονική στιγµή t είναι:
U = m ( x U = m " x e -bt/m ( (t + + U = m x " U = E " e -bt/m ( (t + + e -bt/m ( (t + + µε t< + (4 Σύµφωνα µε την σχέση ( τις χρονικές στιγµές που ισχύει ηµωt= είναι v=, που σηµαίνει ότι τις στιγµές αυτές η Κ είναι µηδέν, δηλαδή παίρνει την ελάχι στή τιµή της Κ min =. Όµως τις ίδιες στιγµές η αποµάκρυνση x παρουσιάζει ακρότατα (µεγιστα και ελάχιστα, που σηµαίνει ότι η δυναµική ενέργεια U ως ανάλογη του τετραγώνου του x θα παρουσιάζει τοπικά µέγιστα που είναι διαφο ρετικά µεταξύ τους. Εξάλλου, σύµφωνα µε την σχέση ( τις χρονικές στιγµές που ισχύει συν(ωt+φ= είναι x=, που σηµαίνει ότι τις στιγµές αυτές η δυναµική ενέργεια του ταλαντωτή µηδενίζεται, δηλαδή παίρνει την ελάχιστη τι µή της U min =. Όµως στο προηγούµενο θέµα αποδείχθηκε ότι για συν(ωt+φ= µηδενίζεται η πρώτη παράγωγος της ταχύτητας v, δηλαδή στις αντίστοιχες χρονικές στιγµές η κίνητική ενέργεια Κ παρουσιάζει τοπικά ακρότατα (µέγιστα και ελάχιστα και επειδή η Κ είναι ανάλογή του τετραγώνου της v, θα παίρνει µέγιστες τιµές που είναι διαφορετκές µεταξύ τους. ii Κατά την εξέλιξη της φθίνουσας ταλάντωσης ισχύει η σχέση: " "µ t E ( " " K E ( " " e -bt/m µ "t E ( " (3 e -bt/m e -bt/m (5 Aπό την (5 γίνεται φανερό ότι η κινητική ενέργεια του ταλαντωτή φράσσεται προς τα άνω από την συνάρτηση: " f (t= E " e -bt/m = E e -bt/m µε E = E και προς τα κάτω από την συνάρτηση f (t=. Aκόµη στην διάρκεια της φθίνου σας ταλάντωσης ισχύει: " (t + " E ( " " e -bt/m + ("t +, E ( " (4 e -bt/m
" U E ( " e -bt/m (6 Η (6 δηλώνει ότι η δυναµική ενέργεια του ταλαντωτή φράσσεται προς τα άνω από την συνάρτηση: " f (t= E " e -bt/m = E e -bt/m µε E = E Σχήµα 3 και προς τα κάτω από την συνάρτηση f (t=. Στο σχήµα (3 φαίνονται τα διαγ ράµµατα των συναρτήσεων Κ=Κ(t και U=U(t, καθώς και οι κοινές περιβάλ λουσες των δύο διαγραµµάτων. iii Στην περίπτωση που ο συντελεστής αποσβέσεως b του ταλαντωτή ικανο ποιεί την σχέση b/m<<ω, τότε θα είναι ω ω και συνφ, δηλαδή φ, οπότε οι σχέσεις (3 και (4 γράφονται: K E e -bt/m "µ t και U E e -bt/m " t Η ολική ενέργεια Ε του ταλαντωτή την χρονική στιγµή t είναι: E = K + U E e -bt/m "µ t + E e -bt/m t E E e -bt/m ("µ t + t E E e -bt/m (7 H σχέση (7 εφαρµοζόµενη τις χρονικές στιγµές t και t, µε t >t, δίνει τις αντίστοιχες ολικές ενέργειες Ε και Ε του ταλαντωτή, δηλαδή θα έχουµε: E E e -bt /m και E E e -bt /m Αναπτύσσοντας σε σειρά ΜacLaurin τους εκθετικούς όρους και παραλείποντας ως αµελητέους τους όρους που περιέχουν τον συντελεστή αποσβέσεως b σε δύναµη µεγαλύτερη ή ίση του δύο, παίρνουµε τις σχέσεις: " E E - bt + b t - b3 t 3 3 " +... E - bt
και " E E - bt + b t - b3 t 3 3 3 " +... E - bt Η ενέργεια απωλειών ΔΕ του ταλαντωτή σε χρόνο Δt=t -t είναι: E = E - E " E ( - bt - E ( - bt E " E b( t - t = E bt δηλαδή στην περίπτωση βραδείας φθίνουσας ταλάντωσης η απώλεια µηχανικής ενέργειας του ταλαντωτη σε ορισµένο χρόνο είναι προσεγγιστικά ανάλογη προς τον χρόνο αυτόν. P.M. fysikos Σφαιρίδιο µάζας m εκτελεί εξαναγκασµένη ταλάν τωση πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο κατά µήκος ενός άξονα x x στε ρεωµένο στο ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=m, του οποί ου το άλλο άκρο είναι ακλόνητο. Το σφαιρίδιο δέχεται δύναµη τριβής R, της οποίας η αλγεβρική τιµή έχει την µορφή R=-mλv, ενώ η δύναµη F που εξασκεί ο διεγέρτης έχει φορέα που συµπίπτει µε την ευθεία ταλάντωσής του, η δε αλγεβρική της τιµή µεταβάλλεται µε τον χρόνο t σύµφωνα µε την σχέση: F=F συνωt όπου v η αλγεβρική τιµή της ταχύτητας του σφαιριδίου και F, λ, ω, ω θετικές και σταθερές ποσότητες. i Υποθέτοντας ότι στο µόνιµο στάδιο ταλάντωσης του σφαιριδίου η αποµάκρυνσή του από την θέση αναφοράς Ο µεταβάλλεται µε τον χρό νο t, σύµφωνα µε τη σχέση: x = Aηµωt + Bσυνωt να βρεθούν οι συντελεστές Α και Β. Τι συµβαίνει για ω=ω ; ii Nα δείξετε ότι η µέση ισχύς απωλειών P " της ταλάντωσης δίνε ται από την σχέση: P " = - m ( A +B iii Να δείξετε ότι κατά την κίνηση του σφαιριδίου ο µέσος ρυθµός προσφοράς ενέργειας σ αυτό, µέσω του έργου της δύναµης F, είναι ίσος µε το µέσο ρυθµό της παραγόµενης θερµότητας, λόγω τριβής.
iv Να δείξετε ότι η µέση ολική ενέργεια E του του ταλαντωτή για χρόνο ίσο µε την περιοδό του, δίνεται από την σχέση: E = m ( 4 w +w ( A +B ΛΥΣΗ: i Εφαρµόζοντας για το σφαιρίδιο τον δευτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατά µια στιγµή t που η αποµάκρυνση του είναι x (αλγεβρική τιµή παίρνουµε την σχέση: m d x d t = -kx - mv + F "t m d x d t = -m x - m" dx dt + F t d x dt + dx dt + " x = F "t ( m Σύµφωνα µε τα δεδοµένα του προβλήµατος η διαφορική εξίσωση ( δέχεται λύση της µορφής: x = Aµ"t + B"t dx dt = A"t - Bµt d x dt = -A "µt - B "µt οπότε η ( γράφεται: -A "µt - B "µt + (At - B"µt + + (A"µt + Bt = (F / mt -B ( + "A - F / m + B t + -A ( - "B + A µt = ( Για να ισχύει η ( για κάθε t πρέπει: -B + "A - F / m + B = -A - "B + A = B( - + "A = F / m "B = A( - [ ] = "F A " (" - " + A" = F m A ( - + " m οπότε A= "F m[(" - " + " ]
B= ( - F m[( - + " ] Όταν ω=ω, τότε οι παραπάνω σχέσεις δίνουν: A= " F m " = F m" και Β= οπότε η εξίσωση της αποµακρύνσεως παίρνει την µορφή: x = F m" µ" t ii H µέση ισχύς απωλειών P " του ταλαντούµενου σφαιριδίου είναι ίση µε την µέση ισχύ απωλειών της δύναµης τριβής, δηλαδή ισχύει: P " = Rvdt P " = -mv dt P " = -m dx( + dt dt P " = -m ( At - B(µt dt P " = -m ( A t + B (µ t - AB(µtt dt P " = -m ( A dt + (B - A µ tdt - AB µtdt, +, P " = -m, +, A + (B - A - ( - tdt - AB (µ tdt/./ P " = -m A + (B - A ( P " = -m (A + B (3 iii Ο µέσος ρυθµός προσφοράς ενέργειας στο σφαιρίδιο, µέσω του έργου της δύναµης F είναι ουσιαστικά η µέση ισχύς της F, για την οποία ισχύει: P F = Fvdt P F = F "t(a"t - Bµtdt P F = F A " tdt - B µt"tdt, ( +,
P F = F A ( + "tdt - B ( µ tdt, +, P F = F " A = F A (4 Εξάλλου ο µέσος ρυθµός q της εκλυόµενης θερµότητας, λόγω τριβής, είναι ίσος µε την απόλυτη τιµή της µέσης ισχύος απωλειών, δηλαδή ισχύει: (3 q = P " q = m" (A + B (5 Aντικαθιστώντας στην (5 τις τιµές των Α και Β του πρώτου ερωτήµατος, παίρ νουµε: q = m" " + (" - " F [(" - " + " ] m ( q = F "F m[( - + " ] = F A (6 Aπό τις (4 και (5 προκύπτει q = P F. iv Η µέση ολική ενέργεια E του σφαιριδίου για χρόνο µιας περιόδου Τ της εξαναγκασµένης ταλάντωσής του είναι ίση µε το άθροισµα της αντίστοιχης µέσης κινητικής του ενέργειας K και της αντίστοιχης µέσης δυναµικής του ενέργειας U, δηλαδή ισχύει: E = K + U (7 Για την K ισχύει: K = (mv / dt K = m (A"t - Bµt dt K = m (A " t + B µ t - ABµt"dt K = m ( A (+"tdt + B (-"tdt-ab µtdt, +, K = m " A + B = m 4 ( A + B (8
Για την K ισχύει: U = " (m x / dt U = m (A"µt + Bt dt K = m (A "µ t + B t + AB"µtdt U = m ( A (-"tdt + B (+ "tdt+ab µtdt, +, U = m " A + B = m 4 Συνδυάζοντας τις σχέσεις (7, (8 και (9 παίρνουµε: E = m ( A + B + m 4 4 ( A + B (9 ( A + B E = m 4 ( + ( A + B ( Όταν ω=ω, τότε Α=F /mλω και Β=, οπότε η ( γράφεται: ( E = m 4 F ( m" = F m" P.M. fysikos Ένας αρµονικός ταλαντωτής εκτελεί αµείωτη εξα ναγκασµένη ταλάντωση υπό την επίδραση εξωτερικής περιοδικής δύναµης, η οποία έχει την µορφή: F = F ηµωt όπου F, ω θετικές και σταθερές ποσότητες i Nα εκφράσετε την µέση ισχύ P της δύναµης αυτής, σε συνάρτηση µε την γωνιακή της συχνότητα ω καί να σχεδιάσετε µε ελεύθερη εκτί µηση την γραφική παράσταση της σχέσεως που θα βρείτε. ii Eάν ω είναι η τιµή της ω που καθιστά το πλάτος της εξαναγκασ µένης ταλάντωσης µέγιστο καί ω η τιµή της ω γιά την οποία η P γί νεται µέγιστη, να δείξετε τη σχέση:
- = b /m όπου m η µάζα του αρµονικού ταλαντωτή καί b η σταθερά απόσβέ σεώς του. iii Eάν Δω είναι το εύρος των τιµών της ω που ικανοποιούν τη σχέ ση P P max /, να δείξετε ότι: " = b/m ΛYΣH: i H εξίσωση της απόµάκρυνσης x του αρµονικού ταλαντωτή έχει την µορφή: x = x ηµ(ωt + φ ( µε x = F m ( - + b και " = b - όπου ω η κυκλική ιδιοσυχνότητα της ελεύθερης και αµείωτης ταλάντωσης του ταλαντωτή. Παραγωγίζοντας την ( ως πρός το χρόνο t παίρνουµε την εξίσω ση της ταχύτητας v του αρµονικού ταλαντωτή, οπότε θα έχουµε: v = dx dt = x "(t + = v "(t + ( µε v = F m ( - + b = F Z (3 όπου Z= m ( - +b. H µέση ισχύς P της εξωτερικής περιοδικής δύνα µης, γιά χρόνο ίσο πρός την περίοδο της αµείωτης εξαναγκασµένης ταλάντω σης του αρµονικού ταλαντωτή, υπολογίζεται µέσω της σχέσεως: P = (Pdt = (Fvdt = F "µt v (t + dt P = F v µ"t ("t + µ"tµdt P = F v " (µt"tdt + F v µ (µ tdt P = F v " (µtdt + F v µ ( - "tdt
P = F v " + F v µ = F v µ (4 Γιά τον υπολογισµό του ηµφ θεωρούµε το ορθογώνιο τρίγωνο του σχήµατος (4, του οποίου οι δύο κάθετες πλευρές έχουν µήκη m(ω -ω καί bω, οπότε το µήκος της υποτείνουσας του θα είναι ίσο µε Z, ενώ η οξεία γωνία που βρίσκε ται απέναντι από την πλευρά bω θα είναι ίση µε φ, αφού για την γωνία αυτή ισχύει εφφ=bω/ω -ω. Aπό το βοηθητικό αυτό τρίγωνο παίρνουµε ηµφ= bω/z, οπότε η σχέση (4 γράφεται: P = F v b Z (3 P = F F Z Z b = F b Z P = F b m ( - + b P = F b / [m( - /] + b (5 Σχήµα 4 Σχήµα 5 Aπό την (5 παρατηρούµε ότι, η µέση ισχύς P γίνεται µέγιστη όταν η ποσό τητα [m( - /] +b γίνει ελάχιστη, δηλαδή όταν: [m( - /] = οπότε θα έχουµε: P max = F b b = F b (6 Aυτό συµβαίνει όταν η κυκλική συχνότητα ω του διεγέρτη είναι ίση µε ω. Eξάλλου, από τη σχέση (5 προκύπτουν τα εξής: Γιά ω έχουµε P Γιά ω = ω έχουµε P = F /b = max Γιά ω + έχουµε P
H γραφική λοιπόν παράσταση της συνάρτησης P=f(ω έχει την µορφή του σχή µατος (5. ii Προηγούµενα δείξαµε ότι, η P γίνεται µέγιστη όταν ω=ω, οπότε η κυκλι κή συχνότητα ω είναι ίση µε ω. Eξάλλου η τιµή της ω γιά την οποία το πλά τος x της εξαναγκασµένης ταλάντωσης του ταλαντωτή γίνεται µέγιστο είναι: = - b /m = - b /m = - b /m - = b /m (7 iii Aς αναζητήσουµε τώρα τις τιµές της ω γιά τις οποίες ισχύει η σχέση: P = P (5 max (6 F b / [m( - /] + b = F 4b b = m ( - + b m( - = ± b - = ± b/m + b/m - = " - b/m - = Oι δύο αυτές δευτεροβάθµιες ως πρός ω εξισώσεις έχουν την ίδια διακρίνουσα Δ = (b/m + 4ω οι δε θετικές τους ρίζες είναι: = - b/m + " / = b/m + " / (8 ο εύρος Δω των τιµών της ω, που ικανοποιούν τη σχέση P P max / είναι: (8 " = "- " " = b/m + b/m = b/m P.M. fysikos Μικρό σώµα µάζας m, βρίσκεται πάνω σε λείο ορι ζόντιο επίπεδο και έχει στερεωθεί στο ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητο, όπως φαίνεται στο σχήµα (6. Τη στιγµή t= το σώµα είναι ακίνητο στη θέση ισορ ροπίας του και ασκείται σ αυτό σταθερή οριζόντια δύναµη F επί χρό νο τ. Να βρεθεί η εξίσωση κίνησης του σώµατος. ΛΥΣΗ: Διακρίνουµε δύο στάδια κίνησης του σώµατος. Κατά το πρώτο στάδιο ( tτ το σώµα δέχεται το βάρος του w, που εξουδετερώνεται από την κατα κόρυφη αντίδραση A του λείου οριζόντιου επίπεδου, την δύναµη F " από το ελαστικά παραµορφωµένο ελατήριο και την οριζόντια σταθερή δύναµη F.
Εφαρµόζοντας για το σώµα τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατά την χρονική στιγµή t που η αποµάκρυνσή του είναι x, παίρνουµε την σχέση: m d x dt = -kx + F d x dt + k m x = F m d x dt + x = F m µε = k/m ( H ( είναι µια µη οµογενής διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται µερική λύση της µορφής x =F /k. Η λύση της αντίστοιχης οµογενούς εξίσωσης έχει την µορφή: x = Aµ("t + ( Σχήµα 6 όπου Α, φ σταθερές ποσότητες που θα καθορισθούν από τις αρχικές συνθήκες κίνησης του σώµατος. Η γενική λύση της ( είναι το άθροισµα x +x, δηλαδή ισχύει: x(t = x + x = Aµ("t + + F /k (3 Παραγωγίζοντας την (3 παίρνουµε: dx /dt = A"(t + (4 Εφαρµόζοντας τις σχέσεις (3 και (4 την χρονική στιγµή t= παίρνουµε: = Aµ" + F/k ( = A" A = -F/kµ" " = ( A = -F/k = "/ Άρα η τελική µορφή της εξίσωσης κίνησης του σώµατος είναι: x(t= - F k µ "t + + F ( k x(t= F ( - "t (5 k Κατά το δεύτερο στάδιο κίνησης του σώµατος (t τ η δύναµη F παύει να ενεργεί σ αυτό, οπότε η διαφορική εξίσωση που διέπει την κίνησή του έχει την µορφή:
d x dt + x = (6 Για τη λύση της (6 πραγµατοποιούµε αλλαγή της µεταβλητής t, µέσω του µετασχηµατισµού t =t-τ, οπότε θα έχουµε t και dt=dt µε αποτέλεσµα η (6 να γράφεται: d x dt + x = (7 Η (7 δέχεται λύση της µορφής: x(t= Aµ("t+ (8 η οποία µε παραγώγιση ως προς t δίνει: dx/dt= A"(t+ (9 Οι σταθερές Α, φ θα προκύψουν από τις συνθήκες κίνησης του σώµατος κατά τη χρονική στιγµή t=τ, οπότε τη στιγµή θα έχουµε t = καθώς και τις οριακές συνθήκες: x(t= = Aµ" ( (dx/dt t= = A" ( Όµως ισχύουν ακόµη οι σχέσεις: x(t= = x(t= = (F /k( - " (dx /dt t= = (dx/dt t= = (F /kµ ( ( Aµ"= (F /k( - ( A"= (F /kµ µ"µ="-" µ"µ +" = " "( - = " " -= = " / Άρα για την σταθερά Α θα έχουµε: A" ( +,µ-= F k,µ A" ( + = F "( +,µ ( + k A= F k " µ ( Έτσι η σχέση (8 γράφεται:
x(t = F k " µ µ "t+ " = F ( ( k " µ ( µ" t+ ( x(t = F k " µ ( µ" t - + = F ( k " µ ( µ" t - ( H ζητούµενη εποµένως εξίσωση κίνησης του σώµατος έχει την µορφή:, F k µ "t (, t. x(t = -. F " µ k (µ" t - (, t + /. Δύο µικρά σφαιρίδια Σ και Σ µε αντίστοιχες µά ζες και m συνδέονται µεταξύ τους µε ιδανικό ελατήριο, σταθεράς k και φυσικού µήκους L. Αρχικώς το σύστηµα κρατείται ακίνητο, ώστε το ελατήριο να είναι κατακόρυφο και το σφαιρίδιο Σ να αιωρεί ται, κάποια δε στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή µέτρησης του χρόνου αφήνουµε ελεύθερο το σφαιρίδιο Σ. i Να µελετηθεί η κίνηση κάθε σφαιριδίου στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας του, καθώς και στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. ii Nα εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο την απόσταση των δύο σφαιριδίων. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i o κέντρο µάζας C του συστήµατος των δύο σφαιριδίων κινείται ως προς το ακίνητο έδαφος µε επιτάχυνση g, που σηµαίνει ότι το σύστηµα αναφο ράς του κέντρου µάζας είναι ένα µη αδρανειακό σύστηµα αναφοράς. Τα δύο σφαιρίδια εξεταζόµενα από το σύστηµα αυτό βρίσκονται σε κατάσταση έλλειψης βαρύτητας, διότι τα βάρη τους εξουδετερώνονται από τις αντίστοιχες αδρανει ακές δυνάµεις - g και -m g, που σηµαίνει ότι οι δυνάµεις που επηρεάζουν την κίνηση των δύο σφαιριδίων στο σύστηµα του κέντρου µάζας είναι οι ελαστι κές δυνάµεις F και F από το ελατήριο. Μπορούµε να ισχυριστούµε ότι οι δυνάµεις αυτές εξασκούνται στα σφαιρίδια από δύο αυτοτελή ελατήρια που έχουν κοινό άκρο το ακίνητο κέντρο µάζας C, οι δε σταθερές τους k και k είναι αντίστροφα ανάλογες προς τα φυσικά τους µήκη L και L, δηλαδή ισχύει: k /k = L / L ( Όµως από βασική ιδιότητα του κέντρου µάζας τα µήκη L και L ικανοποιούν και την σχέση L =m L, οπότε η ( δίνει: k /k = /m (
ην στιγµή που το σύστηµα αφήνεται ελεύθερο το ελατήριο είναι τεντωµένο µε αποτέλεσµα τα σφαιρίδια Σ και Σ να εκτελούν στο σύστηµα αναφοράς του Σχήµα 7 κέντρου µάζας αρµονική ταλαντωση µε αντίστοιχες γωνιακές συχνότητες ω, ω για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις: = k / " = k /m (: = m ( k k = m m = Ακόµη έχουµε: k L = kl k = k L = k L + L = k + L L L " L (,( k = k + m " m k = k + m = k + m " " m m " = k m + m m Η κοινή εποµένως κυκλική ιδιοσύχνότητα ταλάντωσης των δύο σφαιριδίων στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας είναι: = k( + m m (3 Αν x, x είναι οι αποµακρύνσεις των σφαιριδίων Σ, Σ ως προς τις αντίστοι χες θέσεις ισορροπίας τους Ο και Ο, ύστερα από χρόνο t αφότου το σύστηµα αφέθηκε ελευθερο, θα ισχύει για τις αλγεβρικές τους τιµές οι σχέσεις: x = A µ ("t + x = A µ ("t + (4
όπου Α, Α φ, φ σταθερές που θα προσδιορισθούν από τις αρχικές συνθήκες κίνησης των δύο σφαιριδίων. Εξάλλου οι αλγεβρικές τιµές των ταχυτήτων v, v των σφαιριδίων δίνονται από τις σχέσεις: v = A "(t + v = A "(t + ( (5 Eφαρµόζοντας τις σχέσεις ( την στιγµή t= παίρνουµε: = A " = A " ( " = " = = " / = "/ (6 Eξάλλου οι σχέσεις (4 για t= δίνoυν: -x, = A µ" x, = A µ" (6 A = -x, /µ(" / = -x, A = x, /µ (" / = x, (7 όπου x, και x, οι αποστάσεις των σφαιριδίων Σ και Σ αντιστοίχως από τις θέςσεις ισορροπιας τους Ο και Ο στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας τους, Με βάση τις (6 και (7 οι σχέσεις (6 γράφονται: x = -x, µ ("t + / x = x, µ("t + / x = -x, "t x = x, "t Εξάλλου οι αλγεβρικές τιµές των αποµακρύνσεων x και x των σφαιριδίων θεωρουµένων µε αρχή το κέντρο µάζας C, δίνονται από τις σχέσεις: (8 x = -L + x x = L + x " (8 x = -L - x, "t x = L + x, "t (9 Υπολογισµός των x, και x, Για τα µήκη L και L ισχύουν οι σχέσεις: L = m L + m και L = L + m ( Επειδή την χρονική στιγµή t= το ελατήριο είναι τεντωµένο από την φυσική του κατάσταση κατά m g/k οι αντίστοιχες αποστάσεις των σφαιριδίων από το C κατ αναλογία µε τις προηγούµενες σχέσεις θα είναι: L + x, = m (L + m g/k + m και L + x, = (L + m g/k + m ( Συνδυάζοντας τις σχέσεις ( και ( έχουµε:
m L + m + x, = m (L + m g/k + m x, = m " + m m g k ( και m L + m + x, = (L + m g/k + m x, = " + m m g k (3 Οι σχέσεις (9 µε βάση τις ( και (3 γράφονται: m x = - L m - + m " + m x = L m + + m " + m m g k m g k (t + - -, (t -.- x = x = m L + m g + m k + m L + m g k "t ( + - -, "t ( -.- (4 Οι σχέσεις (4 αποτελουν τις εξισώσεις κίνησης των σφαιριδίων στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας τους. Αν X C είναι η µετατόπιση του κέντρου µάζας C την χρονική στιγµή t στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους, τότε οι αντίστοιχες αλγεβρικές τιµές των µετατοπίσεων X, X των δύο σφαιριδίων θα είναι: και (9 X = x + X C (9 X = x + X C m X = - L + m g + m k X = L + m g + m k "t ( + gt "t ( + gt ii Η απόσταση S(t των δύο σφαιριδίων την χρονική στιγµή t είναι: (4 S(t= x +x m S(t= L + m g + m k "t ( + m + L + m g + m k "t ( S(t = L + m g k "t P.M. fysikos
α σώµατα Σ και Σ του σχήµατος (8 έχουν αντί στοιχες µάζες, m και είναι στερεωµένα στις άκρες ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, το οποίο κρατείται συσπειρωµένο κατά α από την φυσική του κατάσταση, µε τη βοήθεια νήµατος. Κάποια στιγµή που θεωρείται ως αρχή του χρόνου κόβουµε το νήµα. Να δείξετε ότι κάθε σώµα εκτελεί περιοδική κίνηση πάνω στο λείο οριζόντιο επίπε δο µε την ίδια περίοδο, της οποίας να προσδιορίσετε την τιµή. ΛΥΣΗ: i Εξετάζουµε το σύστηµα κατά µια στυχαία χρονική στιγµή t που τα διανύσµατα θέσεως των σωµάτων Σ και Σ ως προς τις αρχικές τους θέσεις Ο, Ο είναι x, x αντιστοίχως. Την στιγµή αυτή το ελατήριο είναι συσπειρωµένο κατά α-x +x όπου x, x οι αλγεβρικές τιµές των διανυσµάτων x, x. Εφαρµόζοντας για τα σώµατα τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνου µε τις σχέσεις: (d x /dt = F " m (d x /dt = F (d x /dt = -k( - x + x " m (d x /dt = k( - x + x d x /dt = -k( - x + x / " d x /dt = k( - x + x / m (" d x dt - d x " = -k + " - k(x dt - x + m m d (x - x + k dt µ (x - x = - k µ ( Σχήµα 8 όπου µ η λεγόµενη ανηγµένη µάζα των δύο σωµάτων για την οποία ισχύει η σχέση /µ=/ +/m. Θέτοντας k/µ=ω και x -x =y η ( µετασχηµατίζεται σε µια διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστές, που έχει τη µορφή: d y dt + y = - k" µ ( Η ( δέχεται λύση της µορφής:
y =- +C "µt+c t x - x = - + C "µt + C t (3 όπου C, C σταθερές ολοκλήρωσης που θα προσδιορισθουν από τις αρχικές συνθήκες κίνησης των δύο σωµάτων. Παραγωγίζοντας την σχέση (3 ως προς τον χρόνο έχουµε: dx dt - dx dt = C "t-c µt (4 Όµως για t= είναι x =x = και dx /dt=dx /dt=, οπότε αυτή τη στιγµή οι σχέσεις (3 και (4 δίνουν: = - + C + C = "C - C C = " C = Έτσι οι σχέσεις (3 και (4 παίρνουν την τελική τους µορφή: και x - x = - + "t = ("t - (5 dx /dt - dx / dt = -"µ"t (6 Εξάλλου η ορµή του συστήµατος των δύο σωµάτων διατηρείται σταθερή στην διάρκεια της κίνησής τους και ίση µε µηδέν, οπότε θα ισχύει: dx dt + m dx dt = dx dt = - dx m dt Έτσι η σχέση (6 γράφεται: dx dt + dx m dt = -"µ"t + m dx = -(µ(tdt " m dx = - "m + m µ"tdt (7 Ολοκληρώνοντας την (7 παίρνουµε την σχέση: " m x = (+t+ C (8 + m όπου η σταθερά ολοκλήρωσης C θα προκύψει από το γεγονός ότι για t= είναι x =, οπότε η (8 δίνει: = m + m + C C = - H τελική λοιπόν µορφή της (8 είναι: m + m
" m x = (+t- + m m + m x = Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5 και (9 παίρνουµε: m + m ("t - (9 m + m ("t - - x = ("t - " m " m - (+t + - = x + m + m - m "t + = x + m + m x = + m ( - "t ( Παρατηρούµε από τις σχέσεις (9 και ( ότι οι µετατοπίσεις των σωµάτων από τις αρχικές τους θέσεις είναι περιοδικές συναρτήσεις του χρόνου, µε κοινή περίοδο Τ, η οποία υπολογίζεται από την σχέση: = " = k/µ = µ k = m k( + m P.M. fysikos