ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας Επικοινωνιών, Ηεκτρονικής & Συστημάτων Πηροφορικής Εργαστήριο Διαχείρισης και Βέτιστου Σχεδιασμού Δικτύων - NETMODE Ηρώων Πουτεχνείου 9, Ζωγράφου, 157 80, Τη: 210.772.250, Fax: 210.772.1452 URL http://www.netmode.ntua.gr/ Γραπτή Εξέταση στο Μάθημα "ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ" 6ο Εξάμηνο Ηεκτροόγων Μηχ. & Μηχ. Υποογιστών 10.06.2016 Θέμα 1 ο 1) Θέματα και Λύσεις Θεωρείστε την ουρά άπειρης χωρητικότητας με δύο εξυπηρετητές του σχήματος με εισόδους Poisson ρυθμού =1 πακέτα/sec και εκθετικούς ρυθμούς =1 πακέτα/sec και =2 πακέτα/sec. Όταν και οι δύο εξυπηρετητές είναι ανενεργοί, το πακέτο δρομοογείται πάντα στον δεύτερο εξυπηρετητή. Ένας εξυπηρετητής δεν παραμένει ανενεργός αν υπάρχει πακέτο στην ουρά αναμονής. γ 1 γ 2 Α) Σχεδιάστε το διάγραμμα καταστάσεων του συστήματος. 1α 0 2 1b + + Β) Βρείτε τις εργοδικές πιθανότητες καταστάσεων. Οι εξισώσεις ισορροπίας μεταβάσεων μεταξύ καταστάσεων στο διάγραμμα δίνουν:
P(0) = P(1b) + P(1a) (1) [P(1b) + P(1a)] = ( + ) P(2) (2) P(0) + P(2) = ( + ) P(1b) () P(n) = ( + ) P(n + 1), n = 2,, (4) Από τις εξισώσεις (1) έως () με = 1, = 1, = 2 πακέτα/sec προκύπτει ότι: 2P(1b) + P(1a) + P(2) = P(1b) P(1a) + P(2) = P(1b) (5) P(1a) + P(1a) + P(2) = P(2) P(1a) = P(2) (6) P(1b) = 2P(2) (7) P(0) = 5P(2) (8) Επιπρόσθετα από την (4): P(2) = P(), P() = P(4) κ.ο.κ. (9) Επίσης ισχύει: P(0) + P(1a) + P(1b) + P(2) + = 1 (10) Η εξίσωση (10) ως προς P(2) είναι: 5P(2) + P(2) + 2P(2) + P(2) [1 + 1 2 + (1 ) + ( 1 ) + ] = 1 Σημείωση: ( 1 n=0 )n = 1 1 1 = 2 Τεικά: P(2) = 2 10, P(0) =, P(1a) = 2, P(1b) = 4 19 19 19 19 Γ) Βρείτε τους μέσους ρυθμούς εξόδου γ 1 και γ 2, και τον μέσο χρόνο παραμονής πακέτου στο σύστημα (Sojourn Time). γ 1 = (1 P(0) P(1b)) = 5/19 πακέτα/sec γ 2 = (1 P(0) P(1a)) = 14/19 πακέτα/sec Παρατηρούμε πως ισχύει ότι γ 1 + γ 2 = όπως ήταν αναμενόμενο. E(N) = 0P(0) + 1(P(1a) + P(1b)) + 2P(2) + P() + E(N) = P(1a) + P(1b) + P(2)[2 + 1 + 4 (1 )2 + 5 ( 1 ) + ] E(N) = P(1a) + P(1b) + 9 P(2) [ 1 + n n=1 (1 )n ] = 27 πακέτα 8
Σημείωση: n ( 1 n=1 )n = 1 (1 1 )2 = 4 E(T) = E(N) = 27 = 0,71 sec 8 2) Εναακτικά, θεωρείστε το σύστημα του παρακάτω σχήματος με 2 παράηες ουρές και παραμέτρους,, όπως στο προηγούμενο ερώτημα. Οι ρυθμοί εισόδου στις ουρές διαμορφώνονται με τυχαία επιογή ώστε οι μέσοι ρυθμοί εξόδου να παραμένουν ίδιοι με τους αντίστοιχους του προηγούμενου ερωτήματος. Q 1 γ 1 γ 2 Q 2 Βρείτε το μέσο χρόνο παραμονής και συγκρίνετε με τον αντίστοιχο της 1ης περίπτωσης. γ 1 = 5 19 πακέτα/sec, γ 2 = 14 19 πακέτα/sec, Ε(Τ i) = 1 μ i γ i (Τύπος Μ/Μ/1) E(T 1 ) = 19 14 sec, E(T 2) = 19 24 sec, E(T) = 5 19 E(T 1) + 14 19 E(T 2) = 0,94sec Παρατηρούμε πως το σύστημα Μ/Μ/2 έχει καύτερη επίδοση από δυο ανεξάρτητες ουρές Μ/Μ/1 για την ίδια δρομοόγηση πακέτων σε δυο εναακτικές διαδρομές. Θέμα 2 ο Θεωρείστε το δίκτυο μεταγωγής πακέτου στο σχήμα. Τα πακέτα έχουν εκθετικό μήκος με μέσο όρο 1000 bits. Οι ταχύτητες των γραμμών του δικτύου C AB =C BD =1 Gbit/sec, και C AC =C CD =2 Gbits/sec. Θέουμε να προωθήσουμε ροή πακέτων με ρυθμό AD = 1,5x10 6 πακέτα/sec από τον κόμβο A στον κόμβο D εαχιστοποιώντας το μέσο χρόνο καθυστέρησης πακέτου στο σύστημα. Υποθέτουμε ότι ποσοστό x των πακέτων δρομοογείται από το μονοπάτι ABD και ποσοστό 1- x δρομοογείται από το μονοπάτι ACD. Θεωρείστε πως δεν υπάρχουν άες ροές πακέτων πην της AD και πως το δίκτυο δεν έχει απώειες.
B A D C Α) Τι παραδοχές απαιτούνται ώστε το δίκτυο να αναύεται σαν δίκτυο ανεξαρτήτων ουρών Μ/Μ/1 Τυχαίες εξωτερικές αφίξεις Poisson Τυχαία δρομοόγηση πακέτων βάσει των πιθανοτήτων x, 1 x Ανεξάρτητες εκθετικές εξυπηρετήσεις πακέτων, παραδοχή ανεξαρτησίας Kleinrock Άπειρες ουρές FIFO, χωρίς απώειες, B) Με τις παραδοχές του (Α) βρείτε την τιμή του x που εαχιστοποιεί τον μέσο χρόνο καθυστέρησης τυχαίου πακέτου από άκρο σε άκρο στο σύστημα και υποογίστε την τιμή του. μ AB = μ BD = C AB E(L) = 106 πακέτα/sec, ρ 1 = ρ 2 = x AD μ AB = 1,5x 106 10 6 = 1,5x μ AC = μ CD = C AC = 2 E(L) 106 πακέτα/sec, ρ = ρ 4 = (1 x) AD = 1,5(1 x)106 = (1 x) μ AC 2 10 6 4 E(n i ) = ρ i 1 ρ i (τύπος Μ/Μ/1) E(n 1 ) = E(n 2 ) = x 2 x, E(n (1 ) = E(n 4 ) = 4 x) 1 = x 4 (1 x) 1 + x E[T AD (x)] = 2 [( x x ) + ( 2 x 1 + x )] AD Θέουμε να βρούμε το x ώστε de[t AD(x)] dx = 0 d [( x x 2 x ) + ( 1 + x )] = 0 9x 2 0x + 7 = 0 x dx 1,2 = 5 ± 2 Επειδή 0 x 1 προκύπτει x = 5 2 0,252 Τεικά ο μέσος χρόνος καθυστέρησης είναι: E(T AD ) = 2,515 10 6 sec
Παρατίθεται γράφημα που δείχνει την μεταβοή του E(T AD ) συναρτήσει του x Εικόνα 1 E(T AD ) συναρτήσει του x Θέμα ο Θεωρείστε υποογιστικό σύστημα το οποίο εξυπηρετεί εντοές και αποτεείται από μια μονάδα επεξεργασίας (CPU) και από μια μονάδα I/O. Η CPU αναπαρίσταται από ουρά αναμονής Q1. Κάθε εντοή εξυπηρετείται κατά μέσο όρο σε κύκους μέχρι να βγει από τη CPU. Σε επόμενο στάδιο μεταβαίνει στο υποσύστημα I/O που αναπαρίσταται από ουρά αναμονής Q2 Κάθε κύκος στην CPU απαιτεί 1 msec εξυπηρέτησης κατά μέσο όρο. Αντίστοιχα για κάθε κήση στο υποσύστημα Ι/Ο απαιτούνται 5 msec εξυπηρέτησης. Θεωρείστε πως οι εξυπηρετήσεις στις 2 ουρές είναι ανεξάρτητες εκθετικές τυχαίες μεταβητές.
Α εντοές CPU I/O Q 1 Q 2 γ p Β Α) Ορίστε την κατάσταση του συστήματος και σχεδιάστε το διάγραμμα καταστάσεων στην σταθερή κατάσταση: Κάθε εντοή κάνει κατά μέσο όρο Ν κύκους μέχρι να βγει από το υποσύστημα CPU. Αν p είναι η πιθανότητα η εντοή να επιστρέψει στο υποσύστημα CPU και 1 p η πιθανότητα η εντοή να συνεχίσει στο υποσύστημα Ι/Ο τότε p = N N+1. Με Ν = : p = 4, 1 p = 1 4 Οι καταστάσεις ορίζονται σαν ζεύγη (n CPU, n I/O ) όπου n CPU + n I/O =. Το διάγραμμα καταστάσεων στην σταθερή κατάσταση είναι: 0, 1,2 2,1,0 /4 /4 /4 Β) Υποογίστε τις εργοδικές πιθανότητες καταστάσεων του συστήματος: Οι εξισώσεις ισορροπίας μεταβάσεων στο διάγραμμα δίνουν: P(0,) = 4 P(1,2) P(1,2) = 4 P(2,1) P(2,1) = 4 P(,0)
Επίσης ισχύει P(0,) + P(1,2) + P(2,1) + P(,0) = 1 Αντικαθιστώντας ως προς P(0,) και αμβάνοντας υπ όψιν τις τιμές των, έχουμε: P(0,) = 125 69 100 80 64, P(1,2) =, P(2,1) =, P(,0) = 69 69 69 Γ) Βρείτε το υποσύστημα που αποτεεί στενωπό (bottleneck): Η χρησιμοποίηση της CPU είναι: 1 P(0,) = 244 69 και του I/O: 1 P(,0) = 05 69 Η στενωπός είναι το υποσύστημα που έχει την μεγαύτερη χρησιμοποίηση, δηαδή το υποσύστημα I/O. Δ) Υποογίστε το μέσο αριθμό πεατών στο σύστημα επεξεργασίας CPU και στο σύστημα I/O: Ε(n 1 ) = 0 P(0,) + 1 P(1,2) + 2 P(2,1) + P(,0) = 452 1,225 πεάτες E(n 2 ) = N E(n 1 ) 1,775 πεάτες Ε) Υποογίστε τη μέση ρυθμαπόδοση (throughput) γ του συστήματος και το μέσο χρόνο παραμονής μιας εντοής στο σύστημα (Sojourn Time) από το σημείο Α στο Β : γ = (1 P(,0) 165,1 πεάτες/sec E(T) = N = 0,018 sec γ γ 69