ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΛΙΟ 0ο ΕΜ ΕΠΙΜΕΛΕΙ ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 57
ΚΕΦΛΙΟ 0ο ΕΜ Πολυγωνικά χωρία - Πολυγωνικές επιφάνειες. Τι καλούμαι πολυγωνικό χωρίο και πως ονομάζεται αυτό ; Πότε δύο πολυγωνικά χωρία λέγονται ίσα και τι καλείται πολυγωνική επιφάνεια; ς θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα ένα πεντάγωνο Ε.Το πολύγωνο μαζί με τα εσωτερικά του σημεία αποτελούν ένα χωρίο, που λέγεται πολυγωνικό χωρίο που ορίζεται από το Ε. Ένα πολυγωνικό χωρίο που ορίζεται από τρίγωνο, τετράπλευρο,..., ν-γωνο λέγεται αντίστοιχα τριγωνικό, τετραπλευρικό,..., ν-γωνικό. Επίσης, δύο πολυγωνικά χωρία λέγονται ίσα όταν τα αντίστοιχα πολύγωνα είναι ίσα Τέλος ένα σχήμα που αποτελείται από πεπερασμένο πλήθος πολυγωνικών χωρίων, που ανά δύο δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία, λέγεται πολυγωνική επιφάνεια.. Τι καλείται εμβαδόν πολυγωνικού χωρίου και πως συμβολίζεται αυτό ; Έστω, λοιπόν ένα πολυγωνικό χωρίο S. Όπως και στα ευθύγραμμα τμήματα, μέτρηση του χωρίου S λέμε τη σύγκρισή του με ένα άλλο επίπεδο χωρίο σ, το οποίο επιλέγουμε ως μονάδα. Η σύγκριση αυτή οδηγεί σε μια σχέση της μορφής: S = λ σ, όπου λ θετικός αριθμός. 58
Ο θετικός αριθμός λ λέγεται εμβαδόν του πολυγωνικού χωρίου S και συμβολίζεται με (S). (Στην περίπτωση μας είναι λ = 7,5 δηλαδή S= 7.5 σ ). Πολλές φορές το εμβαδόν ενός πολυγωνικού χωρίου ή μιας πολυγωνικής επιφάνειας θα το συμβολίζουμε απλά με το γράμμα Ε. Επίσης, στα επόμενα, θα λέμε εμβαδόν τριγώνου, τετραπλεύρου και γενικά πολυγώνου και θα εννοούμε το εμβαδόν του αντίστοιχου πολυγωνικού χωρίου. 3. Ποιες ιδιότητες (αξιώματα) δεχόμαστε ότι ισχύουν για το εμβαδόν ; Τι προκύπτει από τα αξιώματα αυτά ; Τι ονομάζουμε ισοδύναμα σχήματα και ποιο θεώρημα ισχύει για το εμβαδόν του τετραγώνου ; ια το εμβαδόν δεχόμαστε ότι ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες (αξιώματα): Ίσα πολυγωνικά χωρία έχουν ίσα εμβαδά. ν ένα πολυγωνικό χωρίο (ή μια πολυγωνική επιφάνεια) χωρίζεται σε πεπερασμένου πλήθους πολυγωνικά χωρία, που δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία, τότε το εμβαδόν του ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των επιμέρους πολυγωνικών χωρίων. ια παράδειγμα, για το εμβαδόν του πολυγωνικού χωρίου ΕΖ του (σχ. 5) έχουμε: (ΕΖ) = () + (Ζ) + (ΖΕ) Επίσης δεχόμαστε ότι: Το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς είναι. πό τα παραπάνω αξιώματα προκύπτει ότι: ν ένα πολύγωνο Ρ περιέχεται στο εσωτερικό ενός άλλου πολυγώνου Π, τότε το εμβαδόν του Ρ είναι μικρότερο του εμβαδού του Π. Είδαμε παραπάνω ότι αν δύο πολυγωνικά χωρία είναι ίσα, τότε έχουν ίσα εμβαδά. Το αντίστροφο είναι φανερό ότι δεν ισχύει. ύο σχήματα που έχουν το ίδιο εμβαδόν λέγονται ισοδύναμα ή ισεμβαδικά. Έτσι σχήματα που δεν είναι ίσα μπορούν να συγκρίνονται ως προς το εμβαδόν τους. 59
Θεώρημα: Το εμβαδόν Ε ενός τετραγώνου πλευράς α είναι α, δηλαδή: Ε = α. 4. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα που ισχύει για το εμβαδόν ορθογωνίου. Θεώρημα Ι Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου ισούται με το γινόμενο των πλευρών του. ηλαδή αν α, β, οι πλευρές και Ε το εμβαδόν είναι: πόδειξη Έστω ένα ορθογώνιο, με = α και = β. Προεκτείνουμε την πλευρά κατά τμήμα Ε=α, την κατά Ι=β και σχηματίζουμε το τετράγωνο ΙΗΕ, το οποίο είναι φανερό ότι έχει πλευρά α+β και επομένως είναι: (ΙΗΕ) = (α + β) (). Προεκτείνοντας τις και σχηματίζονται τα τετράγωνα ΖΕ, ΙΘ με πλευρές α, β αντίστοιχα και το ορθογώνιο ΘΗΖ που είναι ίσο με το. Έτσι έχουμε (ΖΕ)=α, (ΙΘ) = β και (ΘΗΖ) = () () Είναι φανερό όμως ότι (ΙΗΕ) = () + (ΘΗΖ) + (ΙΘ) + (ΖΕ), από την οποία με τη βοήθεια των () και () προκύπτει ότι: (α + β) = () + α + β. πό αυτή μετά τις πράξεις καταλήγουμε στη σχέση () = α β. 5. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα που ισχύει για το εμβαδόν παραλληλογράμμου. Θεώρημα ΙI Το εμβαδόν Ε ενός παραλληλογράμμου ισούται με το γινόμενο μιας πλευράς του επί το ύψος που αντιστοιχεί σε αυτή. όπου α, β οι πλευρές και υ α, υ β τα αντίστοιχα ύψη. πόδειξη ς θεωρήσουμε ένα παραλληλόγραμμο και ας φέρουμε το ύψος Ζ που αντιστοιχεί στη. Θα αποδείξουμε ότι ()= Ζ. 60
πό το φέρουμε Η κάθετη στην προέκταση της. Τότε τα τρίγωνα Ζ και Η είναι ίσα (Z = H= 90, = και = ), οπότε: (Ζ) = (Η) (). πό το σχήμα όμως έχουμε ότι () = (ABZ) + (Ζ), οπότε σύμφωνα με την () προκύπτει ότι () = (Ζ) + (Η) = (ΖΗ). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα I έχουμε ()=(ΖΗ)= Ζ= Ζ, που είναι το ζητούμενο. 6. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα που ισχύει για το εμβαδόν τριγώνου. Θεώρημα IΙI Το εμβαδόν Ε ενός τριγώνου είναι ίσο με το ημιγινόμενο μιας πλευράς επί το αντίστοιχο ύψος. πόδειξη Με πλευρές και σχηματίζουμε το παραλληλόγραμμο, το εμβαδόν του οποίου είναι () = α υ α (). Όμως τα τρίγωνα και είναι ίσα, οπότε: () = () (). πό το σχήμα έχουμε ότι () = ()+ () η οποία, σύμφωνα με τις () και (), μετατρέπεται στην α υ α = () ή () = α υ α. 7. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα που ισχύει για το εμβαδόν τραπεζίου, ποιο πόρισμα προκύπτει από το θεώρημα αυτό ; Θεώρημα IV Το εμβαδόν τραπεζίου ισούται με το γινόμενο του ημιαθροίσματος των βάσεών του επί το ύψος του όπου, β οι βάσεις του τραπεζίου και υ το ύψος του. 6
πόδειξη Θεωρούμε τραπέζιο (//) με βάσεις =, = β και ύψος υ. Φέρουμε τη διαγώνιο. Τότε έχουμε Ε = () = () + () (). λλά τα δύο τρίγωνα και έχουν το ίδιο ύψος υ και βάσεις, β αντίστοιχα και επομένως: () = υ και () = β υ (), Με αντικατάσταση των σχέσεων () στην () προκύπτει ότι δηλαδή το ζητούμενο. ΠΟΡΙΣΜ Το εμβαδόν τραπεζίου ισούται με το γινόμενο της διαμέσου επί το ύψος του. πόδειξη φού για την διάμεσος δ ενός τραπεζίου ισχύει δ= τότε Ε = υ = δ υ. 8. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν Ε ενός ισόπλευρου τριγώνου πλευράς α είναι ίσο με πόδειξη Φέρουμε το ύψος το οποίο είναι και διάμεσος. πό το ορθογώνιο τρίγωνο, σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, έχουμε 9. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν ρόμβου ισούται με το ημιγινόμενο των διαγωνίων του. πόδειξη Είναι φανερό (σχ.) ότι () = () + () (). Επειδή οι διαγώνιοι του ρόμβου είναι κάθετες και διχοτομούνται έχουμε: Με αντικατάσταση των () στην () προκύπτει ότι Ε = δ δ ΠΡΤΗΡΗΣΗ Ο προηγούμενος τύπος ισχύει και στην περίπτωση οποιουδήποτε κυρτού ή μη κυρτού, τετραπλεύρου με κάθετες διαγωνίους. 6
Πράγματι () = () + () = Ο + Ο = (Ο + Ο) =. 0. Έστω τρίγωνο. ν Μ διάμεσος του τριγώνου να αποδείξετε ότι : (Μ) = (Μ). πό την κορυφή να φέρετε τρεις ευθείες που να χωρίζουν το τρίγωνο σε τέσσερα ισοδύναμα τρίγωνα. i) Φέρουμε το ύψος του τριγώνου (σχ. 5). Το είναι και ύψος στα τρίγωνα Μ και Μ, οπότε έχουμε αφού το Μ είναι μέσο του. ii) πό το προηγούμενο ερώτημα προκύπτει ότι οι ζητούμενες ευθείες είναι οι φορείς των διαμέσων Μ, Κ και Λ των τριγώνων, Μ και Μ αντίστοιχα. 63
σκήσεις σχολικού βιβλίου Ερωτήσεις κατανόησης.να γράψετε τους τύπους υπολογισμού του εμβαδού i) Τετραγώνου ii) Ορθογωνίου iii) Παραλληλογράμμου iν) Τριγώνου ν) Τραπεζίου πάντηση i) Ε = α ii) Ε = α β iii) Ε = β υ iν) Ε = β υ v) Ε = ( ) υ. Ένα τετράγωνο έχει περίμετρο 6, πόσο είναι το εμβαδόν του; Η πλευρά του τετραγώνου α είναι : α = 4, άρα Ε =6 3. Ένα ορθογώνιο έχει διαστάσεις α = 9, β = 4 και είναι ισοδύναμο με τετράγωνο πλευρά x. Να βρεθεί το x x = 36 x = 6 4. Σε ένα τρίγωνο είναι α < β. Με ποια ανισοτική σχέση συνδέονται τα υ α και υ β ; Είναι α υ α = β υ β αφού α < β άρα υ β < υ α. 5. ν ένας ρόμβος έχει μήκη διαγωνίων 4 και 5, με τι ισούται το γινόμενο μίας πλευράς του επί το αντίστοιχο ύψος; ν α είναι η πλευρά του ρόμβου και υ το αντίστοιχο σ αυτή ύψος τότε είναι Ε = = α υ όπου δ, δ οι διαγώνιοι του ρόμβου. Οπότε α υ = 0 6. Ένας χωρικός αντάλλαξε έναν αγρό που είχε σχήμα τετραγώνου πλευράς 60 m με έναν άλλο σχήματος ορθογωνίου με πλάτος 40 και περίμετρο ίση με την περίμετρο του τετραγώνου. Έχασε ή κέρδισε ο χωρικός από αυτή την ανταλλαγή ; ιτιολογήστε την απάντηση. Η περίμετρος του τετραγώνου είναι 40m. Το μήκος του ορθογωνίου είναι 40 80 = 80. Το εμβαδόν του τετραγώνου είναι Ε = 60 = 3600m και του ορθογωνίου είναι Ε = 40 80 = 300m Άρα ο χωρικός έχασε από την ανταλλαγή. 64
σκήσεις Εμπέδωσης. Στο εσωτερικό τετραγώνου πλευράς α = 4 κατασκευάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο Ζ. Να υπολογισθεί το εμβαδόν των, Ζ, Ζ και Ζ. α Κ Μ Ζ () = = 4 = 6 Τρ.Ζ ισόπλευρο πλευράς α 3 4 3 (Ζ) = = = 6 3 = 4 3 4 4 4 Φέρουμε ΖΚ και ΖΜ. Τότε ΖΚ = Μ = (Ζ) =. ΖΚ = 4 = 4 = 4 (Ζ) = () (Ζ) (Ζ) (Ζ) = 6. 4 4 3 = 6 8 4 3 = 8 4 3. ν Μ τυχαίο σημείο της πλευράς = 0 τετραγώνου, τότε το άθροισμα (Μ) + (Μ) είναι : 5, B: 40, : 50, : 75, E: 00. Κυκλώστε το γράμμα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντησή σας. Μ Φέρουμε ΜΚ (Μ) =. ΜΚ = 0. 0 = 50, 0 επειδή όμως () = 0 = 00 Κ (Μ) + (Μ) = 50. 3. ίνεται τρίγωνο με = 6, = 8 και ˆ = 60 ο. Να βρεθούν: i) το ύψος, ii) το εμβαδόν (), iii) το ύψος. 6 60 0 Ε 8 = ˆ = 60 ο ˆ = Πυθαγόρειο στο τρ.ε: 6 3 = 36 9 = 7 = 3 3 0 30 Ε = = 3. 65
ii) (AB) =. Ε = 8. 3 3 = 3 iii) Ε = 8 3 = 5 Πυθαγόρειο στο τρ.ε: (AB) = 3 = + = 3. = 3 3. = 3 = 3 3 = = 5 3 3 39 3 = 5 + 7 = 5 4. Ένα ορθογώνιο έχει περίμετρο 4 και διαγώνιο 5. Να βρείτε το εμβαδόν του. Έστω x, y οι διαστάσεις του ορθογωνίου. Τότε x + y = 7, οπότε y = 7 x και (Πυθαγόρειο): x y 5 x 7 x 5 x 49 4x x 5 x 4x 4 0 x 7x 0 x = 3 ή x = 4 ια x = 3 η εξίσωση y = 7 x y = 4 Άρα το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι Ε = x y = 3. 4 = 5. ίνεται παραλληλόγραμμο με = 0 και αντίστοιχο προς αυτήν ύψος υ = 5. Πάνω στις πλευρές και παίρνουμε τα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα, ώστε Ε = Ζ. i) Να βρείτε το εμβαδόν του. ii) φού πρώτα συγκρίνετε τα εμβαδά των τραπεζίων ΕΖ και ΕΖ να βρείτε το εμβαδόν καθενός από αυτά. Ε i) () = 0. 5 = 50 Ζ ii) (ΕΖ) = (ΕΖ) αφού έχουν ίσες βάσεις και ίδιο ύψος. Άρα 5 το καθένα. 66
6. Ένα οικόπεδο έχει σχήμα τραπεζίου ( ) με Aˆ Bˆ, = 5m, = 0m και = m. Ένας καινούργιος δρόμος περνάει παράλληλα προς τη και αποκόπτει μία λωρίδα πλάτους 3m. Πόσα τετραγωνικά μέτρα είναι το οικόπεδο που απομένει; 5 0 K 3 Λ Πυθαγόρειο στο τρ.η: Η = 5 Άρα (ΚΛ) =. 3 = 3. 3 = 39 Έστω ΚΛ παραλληλόγραμμο ο καινούργιος δρόμος. ια να υπολογίσουμε την πλευρά του, φέρουμε Η A. Τότε Η = = και Η = Η = = 0 5 = 5. = 44 + 5 = 69 = 0 5 Όμως () = = 35. 6 = 0 Άρα (ΛΚ) = 0 39 = 7 m. 3 = 3. 67
ποδεικτικές σκήσεις. ν Σ είναι σημείο μιας πλευράς παραλληλογράμμου, να αποδείξετε ότι (Σ) + (Σ) = (). Σ ρκεί να αποδείξουμε ότι (Σ) = (Σ). Τούτο συμβαίνει διότι έχουν ίδια βάση Σ και αντίστοιχα ύψη ίσα, αφού Σ.. ν οι διάμεσοι και Ε τριγώνου τέμνονται στο Θ, να αποδείξετε ότι: i) (Ε) = (Ε), ii) (Θ) = (ΕΘ) iii) (Θ) = (ΘΕ). Θ Ε i) Έχουν ίσες βάσεις Ε = Ε και ίδιο ύψος από το ii) Θυμόμαστε ότι Κάθε διάμεσος τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεμβαδικά τρίγωνα Έτσι (Ε) = () και () = (), οπότε (Ε) = (). φαιρούμε, από τα δύο μέλη, το (Θ). Τότε (ΕΘ) = (Θ) iii) Ομοίως είναι () = (Ε) = (). φαιρούμε, από τα δύο πρώτα μέλη, το (Θ). 3. ίνεται τρίγωνο και το βαρύκεντρό του Θ. πό σημείο Σ της διαμέσου φέρουμε τις κάθετες ΣΕ, ΣΖ στις, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: i) (Σ) = (Σ) ii). ΣΖ =. ΣΕ και iii) (Θ) = (Θ) = 3 () 68
i) διάμεσος του τρ. () = () Σ διάμεσος του τρ.σ (Σ) = (Σ) Σ φαιρούμε κατά μέλη Ζ Σ Ε ii) (i) (Σ) = (Σ). ΣΖ =. ΣΕ. ΣΖ =. ΣΕ Θ iii) Κατά το ii) έχουμε (Θ) = (Θ) και ομοίως = (Θ). Άρα το καθένα = 3 () 4.ίνεται τραπέζιο (//). ν Μ το μέσο της πλευράς του, να αποδείξετε ότι () = (Μ). Έστω ΚΜΛ το ύψος του τραπεζίου. Λ () = ( + ).ΚΛ Μ = K K + Κ =. ΜΚ +. ΜΛ = (. ΜΚ +. ΜΛ ) =. Άρα και () = (Μ). 5.Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν ενός τραπεζίου είναι ίσο με το γινόμενο της μίας από τις μη παράλληλες πλευρές του επί την απόσταση του μέσου της άλλης από αυτή. Η Μ Θ Κ Έστω το τραπέζιο, Μ το μέσο της και ΜΚ η απόσταση του Μ από τη. Θα αποδείξουμε ότι () =. ΜΚ 69
Ε Θ Κ πό το Μ φέρουμε //, που τέμνει τις, στα Η, Θ αντίστοιχα. Τότε τρ.μθ = τρ.μη άρα και ισεμβαδικά και ΗΘ παραλληλόγραμμο. Έχουμε () = (ΘΜ) + (ΜΘ) = (ΘΜ) + (ΜΗ) = (ΗΘ) = β.υ =. ΜΚ 6. ίνεται τρίγωνο με =, = και ˆ = 0 ο. Με πλευρές τις και κατασκευάζουμε εξωτερικά του τριγώνου τα τετράγωνα Ε και ΖΘ αντίστοιχα. Τότε: i) να υπολογίσετε το τμήμα ΕΘ ii) να αποδείξετε ότι τα, Ε, Θ είναι συνευθειακά και iii) να αποδείξετε ότι το εμβαδόν της πολυγωνικής επιφάνειας ΖΘΕ είναι 5 + 3 Ζ i) ˆ = 0 ο ˆ = 60 ο Νόμος συνημιτόνων στο τρ.εθ 0.. 60 = + 4 4 = 5 = 3 Άρα ΕΘ = 3 ii) Εύκολα διαπιστώνουμε ότι, στο τρίγωνο ΕΘ ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα, άρα είναι ορθογώνιο στο Ε. Άρα τα, Ε, Θ είναι συνευθειακά iii) ια το εμβαδόν του τριγώνου, φέρουμε το ύψος του Κ. ˆ = 0 ο ˆ = 30 ο Κ = Πυθαγόρειο στο τρίγωνο Κ () =. Κ = 3 = 3 (ΕΘ) = ΕΘ. Ε = 3 3 = (Ε) = (ΖΘ) = = 4 = 3 Άρα Κ = 3 () () = (3) = 4 (4) () + () + (3) + (4) (ΖΘΕ) = 3 + 3 + + 4 = 5 + 3 70
7. ν ω είναι η γωνία των διαγωνίων και κυρτού τετραπλεύρου, να αποδείξετε ότι () =. ημω. () = () + () =. +. B Ε =. ( + ) =. (Ε. ημω + Ε. ημω) =. (Ε + Ε)ημω =. ημω 8. Ο ιδιοκτήτης ενός οικοπέδου σχήματος ορθογωνίου, του οποίου το μήκος είναι κατά 8m μεγαλύτερο του πλάτους, θέλει να σχηματίσει, γύρω από το οικόπεδο και εξωτερικά αυτού, μια δενδροστοιχία πλάτους,5m. Έτσι αναγκάζεται να αγοράσει από τους γείτονές του 695 m. διαστάσεις του οικοπέδου. Ν K x x + 3 x + 8 Λ x + 5 Μ Έστω το αρχικό οικόπεδο με Να βρεθούν οι πλάτος = x και μήκος = x + 8, και ΚΛΜΝ το οικόπεδο μετά την επέκταση με ΛΜ = x + 5 και ΚΛ = x + 3. Είναι (ΚΛΜΝ) () = 695 (x + 3) (x +5) (x + 8) x = 695 x 5x 3x 5 x 8x 695 0 x = 580 x = 58 το πλάτος και 58 + 8 = 76 το μήκος. 7
Σύνθετα Θέματα. Θεωρούμε κυρτό τετράπλευρο. Στις προεκτάσεις των ημιευθειών,, και παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία Ζ, Η, Θ και Ι, ώστε Ζ =, Η =, Θ = και Ι =. Να αποδείξετε ότι: i) (ΙΘ) = (Θ) = () ii) (ΙΘ) + (ΖΗ) = () και iii) (ΙΖΗΘ) = 5() Θυμίζουμε ότι: Κάθε διάμεσος τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεμβαδικά τρίγωνα. i) Θ διάμεσος του τριγώνου ΘΙ (ΙΘ) = (Θ) διάμεσος του τριγώνου Θ (Θ) = () Θ Ι Ζ Η ii) i) (ΙΘ) = () και ομοίως (ΖΗ) = () Προσθέτουμε κατά μέλη (ΙΘ) + (ΖΗ) = () (ΙΘ) + (ΖΗ) = iii) Σύμφωνα με το ii) θα έχουμε (ΘΗ) + (ΙΖ) = () Άρα (ΙΖΗΘ) = (ΙΘ) + (ΖΗ) + (ΙΘ) + (ΖΗ) + () = () + () + () = 5().. Σε τρίγωνο παίρνουμε το μέσο Μ της διαμέσου, το μέσο Ν του Μ και το μέσο Ρ του Ν. Να αποδείξετε ότι (ΜΝΡ) = 8 (). Φέρουμε το τμήμα Μ. ΜΡ διάμεσος του τριγώνου ΜΝ Μ Ρ Ν (ΜΝΡ) = (ΜΝ) () Ν διάμεσος του τριγώνου Μ (ΜΝ) = (Μ) () () (ΜΝΡ) = (Μ) 7
= 4 (Μ) = 4 MB (3) Μ διάμεσος του τριγώνου (Μ) = () και Μ διάμεσος του τριγώνου (Μ) = () (3) (ΜΝΡ) = 4 = 4 = 8 (). 3. Στις πλευρές και τετραγώνου πλευράς α παίρνουμε τα σημεία Ζ και Η αντίστοιχα, ώστε Ζ = Η = 4. i) Να αποδείξετε ότι τα τμήματα Ζ και Η τέμνονται κάθετα σε σημείο Κ. ii) Να υπολογισθούν τα μήκη των τμημάτων Κ, Η και ΚΗ. iii) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΚΗ. τρ.ζ = τρ.η αφού είναι ορθογώνια με = και Ζ = Η = 3 4 Κ ˆ = ˆ λλά από το ορθ. τρίγωνο Ζ είναι Ζ ˆ + ˆ = 90 ο, άρα ˆ + ˆ = 90 ο Έτσι, στο τρίγωνο ΚΖ είναι ˆ = 90 ο. Η ii ) Πυθαγόρειο στο τρ.ζ: = + = + Άρα 3 4 = 9 + 6 = 5 6 Ζ = 5 4 Στο τρ.ζ με ύψος Κ: = Ζ. Κ = 5 4. Κ Κ= 4 5 Πυθαγόρειο στο τρ.η: Πυθαγόρειο στο τρ.κη: = Άρα Η = = + 7 4 = = + 4 = + 7 6 4 5 7 = 6 6 5 7 6 6 = 73
Φέρουμε το ύψος ΚΟΛ. K Ο Ο = 45 56 6.5 = Άρα ΚΗ = 3 0 iii) (ΚΗ) = (ΚΗ) + (Η) = Κ. ΚΗ +. Η = 5 5 5 77 = = = 00 8 00 00 00 69 6.5 4 5 3 0 + 4 4.Θεωρούμε παραλληλόγραμμο και σημείο Ο στο εσωτερικό του τριγώνου. Να αποδείξετε ότι i) (Ο) + (Ο) = () και ii) (Ο) + (Ο) = (Ο) (Ο) + (Ο) =.ΟΚ +. ΟΛ = = (ΟΚ + ΟΛ) = Λ =. ΚΛ = () () λλά, κάθε διαγώνιος παραλληλογράμμου χωρίζει το παραλληλόγραμμο σε δύο ίσα και, κατά συνέπεια ισεμβαδικά τρίγωνα. ηλαδή () = () () (), () (Ο) + (Ο) = () ii) Στα δύο μέλη της αποδεικτέας ισότητας προσθέτουμε το (Ο), οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι (Ο) + (Ο) + (Ο) = (Ο) + (Ο), ή αρκεί () = (Ο) + (Ο), που ισχύει από το i). 5.ν και ΚΛΜΝ είναι ρόμβος πλευράς α και τετράγωνο πλευράς α αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι () (ΚΛΜΝ) Έστω, οι διαγώνιοι του ρόμβου και Ο το κέντρο του. ρκεί να αποδείξουμε ότι, ή αρκεί Πυθαγόρειο στο τρ.ο: 4 + 4 = + + = =. () 74
πό την (), αρκεί να αποδείξουμε ότι ή αρκεί ή αρκεί 0 + - ή αρκεί 0, που ισχύει. 75
ΕΜ Άλλοι τύποι για το εμβαδόν τριγώνου. Ποιοι τύποι προκύπτουν με τη βοήθεια του βασικού τύπου για το εμβαδόν ενός τριγώνου, με τη βοήθεια του τ, όπου τ η ημιπερίμετρος του τριγώνου δηλαδή τ = και των δύο κύκλων που συνοδεύουν το κάθε τρίγωνο δηλαδή του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο με ακτίνα R και του εγγεγραμμένου στο τρίγωνο κύκλου με ακτίνα ρ. Με τη βοήθεια του βασικού τύπου για το εμβαδόν ενός τριγώνου, με μήκη πλευρών α, β, γ, προκύπτουν και οι επόμενοι τύποι: όπου τ η ημιπερίμετρος του τριγώνου., όπου ρ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. όπου R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. πόδειξη (i) ποδείξαμε ότι (ii) Έστω τρίγωνο και ο εγγεγραμμένος κύκλος του (Ι, ρ). Φέρουμε τα τμήματα Ι, Ι και Ι και έτσι το τρίγωνο χωρίζεται στα τρίγωνα Ι, Ι και Ι που έχουν το ίδιο ύψος ρ και δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία, οπότε έχουμε: (iii) 76
Θεωρούμε τη διάμετρο. Τα τρίγωνα Η και είναι όμοια, αφού B = H = και = ως εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο. Επομένως είναι Η/ = / ή βγ = Rυ α οπότε έχουμε ότι υ α = τύπο Ε = αυ α προκύπτει το ζητούμενο. και με αντικατάσταση στον. Ποιος είναι ο τριγωνομετρικός τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου ; Το εμβαδόν Ε ενός τριγώνου δίνεται και από τον (τριγωνομετρικό) τύπο: πόδειξη ν A β= γ ημ. ν A >, πάλι από το ορθογώνιο τρίγωνο προκύπτει ότι: υ β = γ ημ εξ = γ ημ(80 - ) = γ ημ. Έτσι και στις δύο περιπτώσεις έχουμε υ β =γ ημ οπότε Όταν A =, τότε υ β = γ, επομένως πάλι ο τύπος ισχύει. Όμοια αποδεικνύονται και οι υπόλοιποι τύποι. 3. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί ο νόμος των ημιτόνων. Νόμος των ημιτόνων Σε κάθε τρίγωνο να αποδειχθεί ότι = = = R. πόδειξη ή ημ = ή = R. Όμοια προκύπτει = R, = R, από τις οποίες συμπεραίνουμε το ζητούμενο. 4. ίνεται τρίγωνο με α = 3, β = 4 και γ = 5 (σχ.8). Να υπολογίσετε: (i) το εμβαδόν του, (ii) τα ύψη του, 77
(iii) τις ακτίνες του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου, (iv) το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές τα μέσα των πλευρών του. πόδειξη 78
σκήσεις σχολικού βιβλίου Ερωτήσεις κατανόησης.με την βοήθεια του τύπου Ε = βγημ, να αποδείξετε ότι Ε βγ Ε = β γ ημ βγ = βγ Η ισότητα ισχύει όταν ημ =, δηλαδή ˆ = 90 ο, δηλαδή σε ορθογώνιο τρίγωνο.σε τρίγωνο είναι () = 9 και ρ =,5. Ποια είναι η περίμετρος του τριγώνου; Ε = τ ρ 9 =,5 τ τ = 6 τ = 3.Ποιοι είναι οι τύποι υπολογισμού του εμβαδού ενός τριγώνου; πάντηση i) Ε = α υ α = β υ β = υ γ ii) Ε = β γ ημ = α γ ημ = β α ημ iii) Ε = τ ρ iν) Ε = 4R ν) Ε= ( )( )( ) 79
σκήσεις Εμπέδωσης.Σε παραλληλόγραμμο είναι = 8, = 0 και = 34. Να βρείτε το εμβαδόν του. Με τον τύπο Ε = βρίσκουμε το εμβαδόν (). τ = (α + β + γ) = (0 + 34 + 8) = 36 τ α = 36 0 = 6 τ β = 36 34 = τ γ = 36 8 = 8 () = 36.6..8 = 36.6.36 = 6. 4. 6 = 44. () = () =. 44 = 88.. ίνεται τραπέζιο ( ) με = 5, =, = 3 και = 5. Να βρείτε το εμβαδόν του και το ύψος του. 3 3 Λ 5 Κ 4 5 Με τον τύπο τρίγωνο Λ α = Λ = 4, β = = 5, γ = Λ = 3 τ = (4 + 5 + 3) = 4 = τ α = 4 = 7 τ β = 5 = 6 τ γ = 3 = 8 Κ =.7.6.8 4 = 3.7.7..3. 3 7 Φέρουμε Λ και το ύψος Κ. Τότε Λ παρ/μμο. Άρα Λ = = 3 και = Λ = Λ = 5 5 = 4. 4.3.7 7 υπολογίζουμε το ύψος Κ στο =.3.7 7 () = ( + ). Κ = (5 + ). = 36. 6 = 6. = 80
3.ίνεται τρίγωνο με = 4, = 7 και ˆ = 60 ο. Να βρείτε το εμβαδόν του. Ε = β γ ημ = 7. 4 ημ60ο = 7.. 3 = 7 3. 4.ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ = ) με = 6 και = 8. Να βρείτε i) το εμβαδόν ii) το ύψος iii) την ακτίνα ρ του εγγεγραμμένου κύκλου. i) Ε =. = 6.8 = 4 ii) Πυθαγόρειο: = + = Ε = 4. = 4 iii) τ = (0 + 8 + 6) = 4 = 6 8 = 36 + 64 = 00 = 0 0 = 4 = 4 5 Ε = τρ ρ = ρ = 4 =. 8
σκήσεις ποδεικτικές.ν σε τρίγωνο ισχύει βγ = α, να αποδείξετε ότι ˆ =. Είναι Ε = βγημ και Ε = α βγημ = α ημ = ˆ =..ν Ε το εμβαδόν του τριγώνου με πλευρές α, β, γ, να αποδείξετε ότι: i) E < τ(τ α) < ii) E = τ(τ α) = iii) E > τ(τ α) > i) E < τ(τ α) < τ(τ α) < < βγ < τγ + τβ τα βγ < τ (β + γ α) βγ < (α +β + γ) (β + γ α) ii) όμοια με = iii) όμοια με < βγ < αβ + αγ < + + < + βγ βα + γβ + γα 3.ν δύο τρίγωνα και είναι εγγεγραμμένα στον ίδιο κύκλο, να αποδείξετε ότι E πό τον τύπο Ε = έχουμε 4R 4R E 4R 8
4.Σε τρίγωνο με ˆ φέρουμε τα ύψη Ζ και Η. Να αποδείξετε ότι (ΖΗ) = () Όταν ˆ. (ΖΗ) = Η. Ζ.ημ () Στο ορθογώνιο τρίγωνο Η είναι Η = β συν και στο ορθογώνιο τρίγωνο Ζ είναι Ζ = γ συν () (ΖΗ) = β συν γ συν ημ = βγ ημ () H γ Z β λλά () = βγ ημ () (ΖΗ) = () Όταν ˆ > (ΖΗ) = Η. Ζ.ημ (3) Στο ορθογώνιο τρίγωνο Η είναι Η = β συν και στο ορθογώνιο τρίγωνο Ζ είναι Ζ = γ συν Ζ (3) (ΖΗ) = β συν γ συν ημ = βγ ημ (4) γ Η β λλά () = βγ ημ και συν = συν (4) (ΖΗ) = () = () 5.Σε τρίγωνο να αποδείξετε ότι: Είναι Ε =. E =. + + = + + = + + = = και κυκλικά. Άρα = = = 83
ε x M A O K B N y Σύνθετα Θέματα.i) ίνεται γωνία xoy ˆ και σταθερό σημείο Κ στο εσωτερικό αυτής. πό το Κ φέρουμε μεταβλητή ευθεία ε, που τέμνει τις πλευρές Ox, Oy στα σημεία Μ, Ν αντίστοιχα. Να ποδείξετε ότι το άθροισμα OKM είναι σταθερό. ii) Θεωρούμε τρίγωνο, σημείο Κ στο εσωτερικό του και τα τμήματα, και που διέρχονται από το Κ. ν,,..., είναι 6 αντίστοιχα τα εμβαδά των τριγώνων Κ, Κ, Κ, Κ, Κ, να αποδείξετε ότι + + = + +. 3 5 4 6 Κ και i) Κατ αρχήν, με οριακές θέσεις της ευθείας ε μπορούμε να εντοπίσουμε την ποσότητα του αθροίσματος. Μια οριακή θέση της ε είναι να γίνει Κ Oy. Τότε το εμβαδόν (ΟΚΜ) γίνεται (ΟΚ) και το (ΟΚΝ) απειρίζεται, οπότε το μηδενίζεται, αφού το Ν εξαφανίζεται στο άπειρο. ντίστοιχα σκεπτόμαστε, όταν η ε γίνει Κ Ox. Εδώ να παρατηρήσουμε ότι το ΟΚ είναι παρ/μμο, άρα (ΟΚ) = (ΟΚ) Θα αποδείξουμε, λοιπόν, ότι OKM OKM = = Τα τρίγωνα ΟΚ, ΟΚΜ έχουν κοινό ύψος από το Κ, άρα = = = Ομοίως Άρα OKM = = = = + ή ότι = = 84
ii) πό το i), με τέμνουσα Κ, έχουμε + = c 5 6 και με τέμνουσα Κ, έχουμε 6 Κ 5 + = c 6 3 4 Άρα + = + 5 6 6 Κυκλικά ανά δεύτερο δείκτη είναι + = + 3 3 4 και + = + 5 3 4 4 5 6 () + () + (3) + + = + +. 3 5 4 6 3.ν,, είναι οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων τριγώνου, να αποδείξετε ότι () = = =. () = ( ) + ( ) ( ) = + () () (3) ρ α ρ α = (γ + β α). () λλά α + β + γ = τ α + β + γ α = τ α γ + β α = (τ α) ρ α Ι α () () = (τ α) = Ομοίως οι άλλες δύο ισότητες. 4.Έστω τετράπλευρο εγγράψιμο σε κύκλο. ν θέσουμε = α, = β, = γ και = δ, να αποδείξετε ότι ( ο Θεώρημα Πτολεμαίου) α δ γ β 85 Έστω R η ακτίνα του κύκλου. Εφαρμόζοντας τον τύπο Ε = έχουμε 4R () = () + () =
.. = () 4R 4R 4R () = () + () =.. = () 4R 4R 4R () και () (αδ + βγ) = (αβ + γδ) 86
ΕΜ Εμβαδόν και ομοιότητα. Να αποδείξετε ότι : αν δύο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις, τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το λόγο των αντίστοιχων υψών, ενώ αν έχουν ίσα ύψη, τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το λόγο των αντίστοιχων βάσεων. πόδειξη ς θεωρήσουμε δύο τρίγωνα και '' με εμβαδά Ε και Ε' αντίστοιχα. Τότε είναι Ε = αυ α και Ε' = α υ α, οπότε =. πό την ισότητα αυτή προκύπτει άμεσα ότι: ν α = α, τότε = ν υ α = υ α, τότε =. Ποιο θεώρημα ισχύει για τον λόγο των εμβαδών στην περίπτωση που τα τρίγωνα και ''' είναι όμοια ; Να γίνει η απόδειξη του θεωρήματος αυτού. Θεώρημα Ι ν δυο τρίγωνα είναι όμοια τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας. πόδειξη Έστω δύο όμοια τρίγωνα και ''' με A = A' και = B'. Τότε = = λ (), όπου λ ο λόγος ομοιότητας. λλά, όπως και παραπάνω, είναι = () πό τις () και () προκύπτει ότι = λ. 87
3. Ποιο θεώρημα ισχύει για τον λόγο των εμβαδών ομοίων πολυγώνων ; Να γίνει η απόδειξη του θεωρήματος αυτού. Θεώρημα ΙΙ Ο λόγος των εμβαδών δύο όμοιων πολυγώνων είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητάς τους. πόδειξη ς θεωρήσουμε δυο όμοια πολύγωνα π.χ. τα πεντάγωνα Ε και ''''Ε' με λόγο ομοιότητας: Φέρουμε τις διαγωνίους των πολυγώνων από τις κορυφές και ', οπότε αυτά χωρίζονται σε ισάριθμα τρίγωνα όμοια μεταξύ τους. ν Ε, Ε, Ε 3 και Ε', Ε', Ε' 3 είναι τα εμβαδά των αντίστοιχων τριγώνων, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα και τη σχέση (), θα έχουμε: 4. Ποιο θεώρημα ισχύει για το λόγο των εμβαδών τριγώνων με δύο γωνίες ίσες ή παραπληρωματικές ; Να αποδειχθεί το θεώρημα αυτό. Θεώρημα ΙIΙ ν μία γωνία ενός τριγώνου είναι ίση ή παραπληρωματική με μια γωνία ενός άλλου τριγώνου, τότε ο λόγος των εμβαδών των δύο τριγώνων είναι ίσος με το λόγο των γινομένων των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές. 88
πόδειξη Θεωρούμε τα τρίγωνα και ''' με A = A' ή A + A' = 80 Τότε και στις δύο περιπτώσεις θα ισχύει ημ = ημ', οπότε από τις ισότητες Ε = β γ ημ και Ε' = β' γ'ημ'. με διαίρεση κατά μέλη προκύπτει ότι = που είναι το ζητούμενο. ίνεται τρίγωνο και ευθεία ε που διέρχεται από το και είναι παράλληλη προς την πλευρά. ν Μ σημείο της ε, να αποδείξετε ότι (Μ) = (). πόδειξη Φέρουμε τα ύψη και ΜΖ των τριγώνων και Μ αντίστοιχα. Επειδή η ε είναι παράλληλη προς τη, προκύπτει ότι = ΜΖ και επομένως τα τρίγωνα και Μ είναι ισεμβαδικά, επειδή έχουν κοινή βάση και ίσα ύψη. Θεωρούμε τραπέζιο με βάσεις και και έστω Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. Να αποδείξετε ότι: πόδειξη (i) Είναι (Ο) = () - (Ο) = () - (Ο) = (Ο). (ii) Τα τρίγωνα Ο και Ο είναι όμοια (Ô = Ô, = A ) με λόγο ομοιότητας A και επομένως (OA)/(Ο) = A / (iii) Τα τρίγωνα Ο και Ο έχουν κοινή κορυφή και κοινό το ύψος από αυτήν, επομένως (OA)/(Ο) = Ο/Ο. πό την ομοιότητα όμως των τριγώνων Ο και Ο έχουμε τι Ο/Ο = /, οπότε (OA)/(Ο) = /. 89
σκήσεις σχολικού βιβλίου Ερωτήσεις κατανόησης. ύο τρίγωνα και έχουν υ β = υ β και ( ) 3. ( ) ποιος είναι ο λόγος : : 3 : 3 5 4 : 9 4 Ε: 4 9 Κυκλώστε το γράμμα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. ( ) ( ) 3.ύο ρόμβοι και έχουν ˆ 4 ˆ και. 5 Να υπολογιστεί λόγος ( ) ( ) φού ˆ ˆ οι γωνίες των ρόμβων θα είναι ίσες και επειδή επιπλέον ισχύει 4 5 οπότε ( ) 6 ( ) 5 οι ρόμβοι είναι όμοιοι με λόγο ομοιότητας λ = 4 5 3.Ένα ισοσκελές τρίγωνο ( = ) είναι ισοδύναμο με ένα τρίγωνο που έχει =36. ν είναι ˆ ˆ, ποιο είναι το μήκος των ίσων πλευρών του ισοσκελούς ; ˆ ( ) ˆ = = 6 ( ) 36 σκήσεις Εμπέδωσης 90
3.ύο τρίγωνα και έχουν α = α και. ν το εμβαδόν του είναι 30 m, να βρείτε το εμβαδόν του. = = 3 ( ) = 3 () ( ) = 3 30 ( ) =0 m.ίνεται παραλληλόγραμμο με εμβαδόν 0 m. ν Μ σημείο στην προέκταση της τέτοιο ώστε = Μ, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου Μ. Μ Φέρουμε τη διαγώνιο. Τα τρίγωνα Μ, έχουν ίδιο ύψος. Άρα (Μ) = () = () = 4 0 = 5 m 3.ίνεται τρίγωνο και τα σημεία και Ζ των προεκτάσεων των και, ώστε = 3 και Ζ =. ν το εμβαδόν του τριγώνου είναι 30 m, να βρείτε το εμβαδόν του Ζ. ˆ ˆ Ζ.. 3.. 3 (Ζ) = 3 () = 3 30 = 0 m 9
4.Ένα τρίγωνο έχει εμβαδόν 75 m. Έστω σημείο της πλευράς και Μ σημείο του τέτοιο, ώστε AM M = 3. πό το Μ φέρουμε παράλληλο προς την πλευρά, που τέμνει τις και στα Ε και Ζ αντίστοιχα. Να βρείτε το εμβαδόν του τραπεζίου ΕΖ. AM M = 3 AMM = 3 3 AM = 3 5 Ε M Ζ τρ.εζ όμοιο του τρ. και με Θ. Θαλή 3 9 5 5 A = 3 5 (ΕΖ) = 9 5 () (ΕΖ) = 9 75 = 7 m 5 Άρα (ΕΖ) = () (ΕΖ) = 75 7 = 48 m. 5.ύο τρίγωνα και έχουν ˆ ˆ και ˆ ˆ =. αποδείξετε ότι α β = α β. ˆ ˆ ˆ ˆ = Άρα = = = = Να 9
Ζ Λ Ρ Κ Ε ποδεικτικές σκήσεις.ίνεται τρίγωνο και εσωτερικό του σημείο Ρ. ν οι Ρ, Ρ και Ρ τέμνουν τις, και στα, Ε και Ζ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι i) =, ii) + + = και iii) + + = i) Φέρουμε τα ύψη ΡΚ, Λ των τριγώνων Ρ, αντίστοιχα και επειδή έχουν κοινή βάση, θα είναι = () + () + (3) Τρ.ΡΚ όμοιο του Λ Άρα ii) Ομοίως και + + = = + + = + + = = = = + + + + = () () (3) iii) = ομοίως = = =. = Προσθέτουμε κατά μέλη και + + = 3 + + = 3 = 93
.ίνεται τρίγωνο με ˆ, ˆ και το ύψος του. Στο ημιεπίπεδο (,) φέρουμε x και y. Πάνω στις x, y παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία Ε και Ζ, ώστε να έιναι Ε = Ζ =. ν Μ, Ν είναι τα μέσα των και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι (ΕΜ) + (ΖΝ) = (). Ε x Ν Ζ y Μ ˆ ˆ.. (ΕΜ) = () Ομοίως (ΖΝ) = () Προσθέτουμε (ΕΜ) + (ΖΝ) = (). 3.ίνεται κύκλος κέντρου Ο και δύο κάθετες χορδές και. Να αποδείξετε ότι (Ο) = (Ο). O Κ ˆ = = = ˆ ˆ.. (Ο) = (Ο). 4.ίνεται τρίγωνο. Ευθεία παράλληλη προς τη τέμνει την στο και την στο Ε. Να αποδείξετε ότι. ρκεί να αποδείξουμε ότι AB AB Ε Τα τρίγωνα Ε, Ε έχουν ίδιο ύψος από το Ε, άρα AB () Τα τρίγωνα, Ε έχουν ίδιο ύψος από το, άρα AB = () 94
(), (), (3) AB = AB Θ.Θαλή = (3) 5.Πάνω στις πλευρές κυρτού τετραπλεύρου κατασκευάζουμε εξωτερικά αυτού τα τετράγωνα ΕΖ, ΗΘ, ΙΚ και ΛΜ. Να αποδείξετε ότι Λ Μ Ζ (ΜΖ) + (ΗΚ) = (ΘΕ) + (ΙΛ) Ε Θ Η Φέρουμε τη διαγώνιο. ˆ ˆ = =.. = (ΜΖ) = () και ομοίως (ΗΚ) = () Άρα (ΜΖ) + (ΗΚ) = () Ι Κ Ομοίως (ΘΕ) + (ΙΛ) = () Άρα (ΜΖ) + (ΗΚ) = (ΘΕ) + (ΙΛ) 6.Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ = ) και τρία πολύγωνα, και όμοια μεταξύ τους, που έχουν ως ομόλογες πλευρές, και 3 αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ( ) + ( ) = ( ), όπου ( ), ( ) και ( ) 3 3 τα εμβαδά τους. ρκεί να αποδείξουμε ότι Πολύγωνο όμοιο του Ομοίως Οπότε, αρκεί να αποδείξουμε ότι + 3 3 = + = = = = =, ή που ισχύει. 95
E E 4 O E E3 Σύνθετα Θέματα.Θεωρούμε τετράπλευρο και έστω Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. ν,, και είναι τα εμβαδά των τριγώνων Ο, Ο, Ο 3 4 και Ο αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι 3 =. ν υποθέσουμε ότι η 4 είναι παράλληλη προς τη, τότε να αποδείξετε ότι i) =, 3 ii) =, iii) E, όπου Ε = () 4 4 ρκεί να αποδείξουμε ότι = 4 Τα τρίγωνα Ο, Ο έχουν κοινό ύψος από το άρα = και ομοίως 4 = Άρα = 4 i) ρκεί να αποδείξουμε ότι + = +, δηλαδή ότι () = (), 3 το οποίο συμβαίνει αφού. 3 3 3 ii) φού =, η ισότητα 3 3 = γίνεται 4 iii) 4 E 4 E = 4 4 + + + 3 4 + (αφού = ) 4 3 EE + (αφού 4 4 4 4 E E 4 4 0 4 E + + E 4 4 E + E 4 4 0 E E 4, που ισχύει. = 4 = ) 4 96
. πό εσωτερικό σημείο Σ τριγώνου φέρουμε παράλληλες προς τις πλευρές του. ν,, είναι τα εμβαδά των τριών τριγώνων που 3 σχηματίζονται, να αποδείξετε ότι i) καθένα από τα τρίγωνα εμβαδών,, είναι όμοιο με το 3 ii) E + E + E = 3 E, όπου Ε = () i) Λόγω των παραλλήλων, είναι προφανές ότι καθένα από τα τρία τρίγωνα έχει ίσες γωνίες με το τρίγωνο ii) Ι Θ Ε 3 Ε Κ Σ Ε Ζ Η ρκεί να δειχθεί ότι Τρ.ΣΖ όμοιο E + E E + E3 E = E E E E E = Ομοίως Άρα E E = = E + E E + E3 E E και E 3 E = = = + + = = = 3.Σε τρίγωνο φέρουμε τις διχοτόμους, Ε και Ζ. Να αποδείξετε ότι () i) (ΕΖ) = ii) (ΕΖ) 4 () Ζ Ε i) Τα τρίγωνα ΖΕ, έχουν ˆ κοινή ( ) ( ) =. (ΖΕ) = () (ΖΕ) = () και κυκλικά ( )( ) 97
(Ζ) = ( )( ) (Ε) = ( )( ) () () (ΕΖ) = () (ΖΕ) (Ζ) (Ε) = = () ( )( () ) ( )( ) () ( )( ) = ( ( )( ) ( )( ) ( )( ) ) () () = () = πράξεις στον αριθμητή.. = ii) (ΕΖ) 4 () () 4 () 8 8 0 6 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) που ισχύει. () 4.ίνεται τρίγωνο και σημεία Κ, Λ των πλευρών, αντίστοιχα. πό τα Κ, Λ να φέρετε δύο ευθείες που να χωρίζουν το τρίγωνο σε τρία ισοδύναμα μέρη. K Η Ζ Λ νάλυση Έστω ΚΖ η μία από τις ζητούμενες ευθείες. Τότε (ΚΖ) = 3 () = 3 () ρκεί να υπολογίσουμε το τμήμα Ζ συναρτήσει γνωστών τμημάτων. 98
Τα τρίγωνα ΚΖ, έχουν κοινή τη γωνία ˆ (), ().. = 3 =.. 3Κ. Ζ =. Ζ =. 3 Σύνθεση. Πάνω στην τοποθετούμε σημείο Ζ τέτοιο, ώστε Ζ = και φέρουμε 3 την ΚΖ. Με τον ίδιο τρόπο κατασκευάζουμε και τη δεύτερη ζητούμενη ευθεία ΛΗ. () 99
ενικές 0 ου Κεφαλαίου.Θεωρούμε τρίγωνο και ευθεία ε, που τέμνει τις πλευρές και στα και Ε αντίστοιχα.. Να αποδείξετε ότι: i) (Ε) = (Ε) ii) (Ε) = () iii) (BAE) + () = () με την επί πλέον υπόθεση ότι τα, Ε είναι μέσα των, αντίστοιχα. Ε i) Έχουν ίδια βάση και ίσα αντίστοιχα ύψη αφού Ε iii) ρκεί να δειχθεί ότι (BAE) + () = (Ε) + (Ε), ή ii) Στα δύο μέλη της ισότητας του i) προσθέτουμε το (Ε) () = (Ε) Επειδή διάμεσος του τριγώνου () = () και επειδή Ε Άρα () = (Ε) () = (Ε).Θεωρούμε τρίγωνο και σημείο της πλευράς του, ώστε =, λ > 0. Να αποδείξετε ότι: 4 i) () = 4 () ii) (AB) 4 () iii) () 3 4 () i) Tα τρίγωνα, έχουν ίδιο ύψος από το = πό την υπόθεση, όμως έχουμε = 4 00
Άρα = 4 () = 4 () ii) (AB) 4 () 4 iii) () 3 4 () 4 4 4 4 0 4 4 0 που ισχύει () () 3 4 () () 4 () 3 4 () 3 4 4 3 4 4 4 4 4 4 4 4 0 0 που ισχύει 3.Έστω τρίγωνο και η διχοτόμος του. Με τη θεωρία του εμβαδού να αποδείξετε ότι = (Θεώρημα διχοτόμου). ˆ ˆ =.. = () Tα τρίγωνα, έχουν ίδιο ύψος από το = () (), () = 0
4.ίνεται τρίγωνο με β = 3γ, μία διχοτόμος του και Ε μία διάμεσός του. Να αποδείξετε ότι: i) (A) = 3 () ii) ().(Ε) = ().(Ε) iii) (Ε) = 3 8 () γ β=3γ Ε i) ˆ ˆ =.. = 3 3 ii) ρκεί να αποδείξουμε ότι Στο i) αποδείχθηκε ότι = 3 = () Τα τρίγωνα Ε, Ε έχουν ίδιο ύψος από το Ε λλά, από Θ. ιχοτόμου, έχουμε = 3 3 Άρα = () 3 πό () και () iii) ρκεί να αποδείξουμε ότι = = 3 8 υτά τα τρίγωνα έχουν ˆ κοινή. =. = = 3 3 = (A) = 3 () 3 3 = = 3 4 = 3 8 5.ίνεται ισοσκελές τρίγωνο με = = 6cm και ˆ = 0 ο. i) Να βρεθεί το εμβαδόν του. 0
ii) ν Ε είναι σημείο της τέτοιο, ώστε Ε = και το ύψος του 3 τριγώνου, να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου Ε. iii) ν η παράλληλη από το προς τη τέμνει την προέκταση της Ε στο Ζ, να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΕΖ. Ε Ζ i) () =. = 6. 6 ημ 0 0 = 8 3 = 9 3. ii) Τα τρίγωνα Ε, έχουν κοινή τη γωνία ˆ.. 3 άρα (Ε) = 3 () αλλά () = () = 9 3 άρα (Ε) = 3 9 3 = 3 3 iii) Το τρίγωνο ΕΖ είναι όμοιο του Ε Άρα (ΕΖ) = 4 (Ε) (ΕΖ) = 4 3 3 = 3 3 4 4 6.Θεωρούμε τραπέζιο (//) και τα μέσα Κ, Λ των, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: i) (ΛΚ) = (ΚΛ) ii) (Μ) = (Μ), γι οποιοδήποτε σημείο Μ του ΚΛ. Κ Μ Λ i) Τα δύο τραπέζια είναι ισοδύναμα, αφού έχουν ίσες βάσεις και ίδιο ύψος. ii) ΜΚ διάμεσος του τριγώνου Μ 03
(ΜΚ) = (ΜΚ) () ΜΛ διάμεσος του τριγώνου Μ (ΜΛ) = (ΜΛ) () πό το i) έχουμε (ΛΚ) = (ΚΛ) (3) (3) () () (Μ) = (Μ) 7.Θεωρούμε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ( ˆ = ) με = γ. ιαιρούμε την πλευρά σε ν ίσα τμήματα (ν φυσικός, ν ) και από τα σημεία διαίρεσης φέρουμε παράλληλες προς την. i) Να υπολογισθούν ως συνάρτηση του γ τα εμβαδά των ν σχημάτων στα οποία διαιρέθηκε το τρίγωνο. ii) Χρησιμοποιώντας το (i) να αποδείξετε ότι + 3 + 5 +... + (ν ) = i) Ρ λ Ε λ Ρ λ- Κ λ Κ λ- Κ Κ Έστω, λ =,,..., ν τα σημεία διαίρεσης και οι παράλληλες στην. Θα είναι και = = λ =. = =. για λ =,,..., ν. ii)... = ()... +. +... +. + 3 +... + = + 3 + 5 +... + (ν ) =. =. 8.ύο τετράγωνα και ΕΖΗ έχουν κοινή την κορυφή και εμβαδόν 36 το καθένα. ν οι πλευρές και ΕΖ έχουν κοινό μέσο Μ, να βρεθεί το εμβαδόν του σχήματος ΜΖΗ. 04
Το κάθε τετράγωνο έχει πλευρά 6, αφού έχει εμβαδόν 36. (ΜΖΗ) = (Μ) + (ΜΖΗ) () Ε M Η 6 3 (Μ) = = 6 = 7 (ΜΖΗ) = = 7 Ζ () (ΜΖΗ) = 54 9.Τρία τετράγωνα, των οποίων τα μήκη των πλευρών είναι ακέραιοι αριθμοί, έχουν κοινή κορυφή και είναι τοποθετημένα το να πάνω στο άλλο, όπως δείχνει το σχήμα. ν = και η γραμμοσκιασμένη περιοχή έχει εμβαδόν 7, να βρεθεί το εμβαδόν του μικρότερου και του μεγαλύτερου τετραγώνου. B y x x 7 Θέτουμε = y ακέραιος και = x = με = y + x ακέραιο, άρα και x ακέραιος. Η διαφορά των εμβαδών μεσαίου-μικρού τετραγώνου είναι 7, άρα y x y = 7 y xy x y = 7 x y x = 7 () Επειδή x, y θετικοί ακέραιοι, θα είναι και ο y+x θετικός ακέραιος με y + x > x () x = και y + x = 7 y + = 7 y = 8 Εμβαδόν του μικρότερου τετραγώνου = y 8 = 64 Εμβαδόν του μεγαλύτερου τετραγώνου = y x 8. 0 00. 0.ίνεται τρίγωνο και τρεις θετικοί αριθμοί λ, μ, ν. Να φέρετε δύο ευθείες παράλληλες προς τη, που να χωρίζουν το τρίγωνο σε τρία μέρη ανάλογα των αριθμών λ, μ, ν. ν Ε, ΖΗ είναι οι ζητούμενες, θα είναι Ε Ζ Η 05 ()
τρ.ε όμοιο του τρ. () () = (αλγεβρική λύση) ια τη γεωμετρική λύση, πρέπει το τμήμα να κατασκευασθεί. () Κατασκευή του. Σε ευθεία θεωρούμε τμήμα ΤΣ με μέτρο λ και τμήμα ΡΤ με μέτρο λ + μ + ν. Ρ λ+μ+ν Τ λ Σ Με διάμετρο ΡΣ γράφουμε ημικύκλιο. Φέρουμε Τ ΡΣ. Πάνω στην Ρ θεωρούμε τμήμα. πό το φέρουμε παράλληλη στη ΡΣ, που τέμνει την Σ στο. Το είναι το ζητούμενο. πόδειξη Τρίγωνο ΣΡ ορθογώνιο με ύψος Τ Θ. Θαλή (), () () (). i) Έστω τρίγωνο και εσωτερικό του σημείο Μ. ν η Μ τέμνει τη στο, να αποδείξετε ότι: α) Μ β) = ii) Έστω τρίγωνο και εσωτερικό του σημείο Μ. ν οι ευθείες Μ, Μ και Μ τέμνουν τις πλευρές, και στα, Ε και Ζ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι να αποδείξετε ότι + = i) α) 06 Επειδή τα τρίγωνα, που μας ενδιαφέρουν, έχουν ίδια βάση Μ, φέρουμε τα αντίστοιχα ύψη τους,.
i) β) ii) Ζ Μ Μ Μ Ε i)α) Άρα Τότε = () Τρ. όμοιο με το τρ. Η () = = Επειδή τα τρίγωνα, που μας ενδιαφέρουν, έχουν ίδια βάση, φέρουμε τα αντίστοιχα ύψη τους ΜΜ, Τότε = () Τρ,ΜΜ όμοιο με το τρ. Η () = + = = και = + = = ( ) = = = = 07