ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο : α) Τι λέγετε μονώνυμο και τι πολυώνυμο ; β) Πότε δύο ή περισσότερα μονώνυμα λέγονται όμοια ; Τι είναι το άθροισμα όμοιων μονωνύμων ; ΘΕΜΑ ο : Στο διπλανό σχήμα είναι y M(x,y) ΟΜ = ρ και x O M = ω B α) Να ορίσετε τα : ημω, συνω, εφω ρ με βάση τις συντεταγμένες x, y του Μ ω και την απόσταση ΟΜ = ρ x x β) Να αποδείξετε ότι : Α Ο ι) ημ ω + συν ω = 1 y ημω ιι) εφω = συνω ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ο : Δίνονται τα πολυώνυμα : Α = ( x + ) + ( x + 1) (x 1) 5( x + 1) B = - (x + 1) + (1 x)(1 + x) ( 1 x) α) Να δειχτεί ότι : Α = - και Β = - 4x. β) Να λυθεί η εξίσωση : A B = x + 1. 3x + y x + 1 ΘΕΜΑ ο = : Να λυθεί το σύστημα : 5 15 3x + y = 6 ΘΕΜΑ 3 ο : Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο είναι ΜΒ = ΜΔ, και ΔΕ = 4 α) Να δειχτεί ότι τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΔΜΕ είναι όμοια και να γραφούν οι ίσοι λόγοι που προκύπτουν από την ομοιότητα β) Να βρεθεί ο λόγος ομοιότητας. γ) Να υπολογιστεί η πλευρά ΑΒ. x 1 3 (Να απαντήσετε σε 1 θέμα θεωρίας και ασκήσεις.το σχήμα να γίνει στην κόλλα σας )
Γραπτές απολυτήριες εξετάσεις περιόδου Μαΐου Ιουνίου στα Μαθηματικά ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1 ο : Διατυπώστε τα κριτήρια ισότητας δύο τριγώνων. Θέμα ο : α) Τι λέγεται ταυτότητα; β) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ταυτότητες: (α-β) =.. (α+β) (α-β) = γ) Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α-β) 3 =α 3-3α β+3αβ -β 3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Θέμα 1 ο x 3 y + 1 : Να λυθεί το σύστημα : = 3 χ+3(y-)=-8 Θέμα ο : Δίνονται τα πολυώνυμα : Α=1-4χ Β= χ+4χ a. Να παραγοντοποιηθούν b. Να απλοποιηθεί το κλάσμα B A c. Να λυθεί η εξίσωση B A = χ Θέμα 3 ο : Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ. Φέρνουμε ΒΔ κάθετη στη ΒΓ Και ΓΕ κάθετη στη ΒΓ στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς τη ΒΓ, ώστε τα κάθετα τμήματα ΒΔ και ΓΕ να είναι ίσα. Να δείξετε ^ ^ ότι : Α Δ Ε= Α Ε Δ
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Α. Να αποδείξετε ότι: (α+β)(α-β) = α - β Β. Να μεταφέρετε τα παρακάτω στο φύλο απαντήσεων και να συμπληρώσετε τα κενά: i) (α+β) =.. ii) (α-β) =... iii) (α+β) 3 =.. iv) (α-β) 3 =α 3 +3αβ... Α. Να γράψετε τα τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων. Β. Να γράψετε το θεώρημα του Θαλή. Να κάνετε σχήμα. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Α. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 4χ - 16χ = 0 β) χ + 49 = 0 γ) χ + χ - 6 = 0 Β. Να λυθεί η εξίσωση: x 3 = + 3x 3x x x 4 9. Α. Να λυθεί το σύστημα : x y = 4 3x + y = 13 Β. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(-1,-1) και Β(1,5). 3. Α. Να υπολογίσετε το γινόμενο: (1+εφ180 ο ) (1-ημ0 ο ) συν30 ο ημ45 ο εφ60 ο = Β. Να δείξετε ότι: ημχ συν ω + ημχ ημ ω = εφχ συνχ (Να απαντήσετε σε ένα από τα δύο θέματα θεωρίας και σε δύο από τα τρία θέματα των ασκήσεων)
ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο : Α. Τι ονομάζουμε ταυτότητα; B. Γράψτε συμπληρωμένες τις παρακάτω ταυτότητες a + β =... i) ( ) ii) ( α+ β)( α β ) =... iii) ( α β ) 3 =... Γ. Αποδείξτε την ταυτότητα ( ) α β = α αβ + β ΘΕΜΑ ο : Δίνεται η συνάρτηση y = ax, a > 0. Α. Πως λέγεται η γραφική της παράσταση; B. Ποιες ιδιότητες έχει; Γ. Κάντε μια πρόχειρη γραφική παράσταση. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η : Α. Να αναλύσετε σε γινόμενο παραγόντων τις παραστάσεις: x x, x 4, 3x 6, x 4x + 4 Β. Να απλοποιήσετε τα κλάσματα: x x 3x 6 A =, B = x 4 x 4x+ 4 Γ. Να λύσετε την εξίσωση A B = 0 ΑΣΚΗΣΗ η : Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και Δ, Ε, Ζ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ αντίστοιχα. Α. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΔΒΖ, ΕΖΓ είναι ίσα. Β. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισοσκελές. Γ. Αν AB = 8cm και BΓ = 4cm, να βρεθεί η περίμετρος του τριγώνου ΔΕΖ. x y 5 + = 6. x+ 1 + y = x + y + 1 ΑΣΚΗΣΗ 3 η : Δίνεται το σύστημα ( ) ( )
Α. Κάνοντας πράξεις σε κάθε εξίσωση να αποδείξετε ότι έρχεται στην απλούστερη μορφή: 3x + y = 15. x y= 3x y 15 Β. Να λύσετε το σύστημα: + = x y= Σημείωση: Πρέπει να απαντήσετε σε ένα από τα δυο θέματα θεωρίας, και σε δύο από τις τρεις ασκήσεις. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ... Α ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Να συμπληρώστε τις παρακάτω ισότητες ώστε να προκύψουν οι γνωστές ταυτότητες (α + β ) (α -β ) =... = 3 (α + β )... 3 (α -β ) =... Να αποδείξετε την παρακάτω ταυτότητα ( α β ) =α αβ+β ΘΕΜΑ ο Να γράψετε τα κύρια στοιχεία και 3 από τα δευτερεύοντα στοιχεία ενός τρίγωνου Να γράψετε τα τρία κριτήρια ισότητας δυο τριγώνων Β ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Δίνονται τα πολυώνυμα,, 3 Α= x + 4x + 4x Β= x 4 Να αποδείξετε ότι Α= x(x + ) Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα Να λύσετε την εξίσωση: 1 1 + = Α Β Γ Γ = Β και Γ x x ΑΣΚΗΣΗ η Δίνεται το σύστημα:
3x - 4y = α-β x+y = 3α-5β Αν το σύστημα έχει λύση την (x,y) = (,1) Να αποδείξετε ότι Να βρείτε τα ΑΣΚΗΣΗ 3 η Αν και Να αποδείξετε ότι: α, β α-β = 3α-5β = 4 x= 3 ημω y = 3 συνω x + y = 9 και 4 4 x y = 9 (x y ) Να βρεθεί η μεγίστη και η ελάχιστη τιμή της παράστασης Α= x+ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Να απαντήσετε : σε ένα (1) από τα δύο () θέματα θεωρίας και σε δύο () από τις τρείς (3) ασκήσεις. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
ΤΑΞΗ Γ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 Ο α) Να αναφέρετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων β) Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δυο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και το μισό αυτής. ΘΕΜΑ Ο α) Αν πάρουμε οποιοδήποτε σημείο Μ( χ, ψ ) του επιπέδου και γωνία Χ Ο Μ = ω Να διατυπώσετε τους τύπους των τριγωνομετρικών αριθμών ημω, συνω και εφω β) Να αποδείξετε ότι ημ ω + συν ω =1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3a + β a 3β 1) Να λυθεί το σύστημα = 3 a 1 1 4β = 0 3 7 ) Μια μεταλλική πλάκα που έχει σχήμα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές 30cm και 40cm θερμαίνεται και από τη διαστολή αυξάνεται κάθε πλευρά κατά 10%. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο θα παραμείνει ορθογώνιο. 3) Συναντήθηκαν ορισμένοι φίλοι και αντάλλαξαν χειραψία με όλους τους άλλους. Αν έγιναν 15 χειραψίες πόσοι ήταν οι φίλοι; Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και δυο ασκήσεις. (κατ επιλογή)
Γραπτών απολυτήριων εξετάσεων Περιόδου Μαΐου Ιουνίου 007 ΤΑΞΗ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ον α) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες ι) (α+β)3 = ιι) (α-β) 3 = ιιι) α -β = β) Να αποδείξετε τις ταυτοτητες ι) χ +(α+β)χ+αβ=(χ+α)(χ+β) ιι) (α+β) =α +αβ+ ΘΕΜΑ ον α) Να συμπληρώσετε τους τύπους που ισχύουν για παραπληρωματικές γωνίες ι) ημ(180 ο -ω)= ιι) συν(180 ο -ω)= ιιι) εφ(180 ο -ω)= β)να αποδείξετε ότι για κάθε γωνία ημ ω+συν ω=1 χομ=ω ισχύει ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ον Δίδεται το συνω=1/3,με 0 ο <ω<180 ο Να υπολογίσετε το ημω και εφω ΘΕΜΑ ον Να λύσετε τις εξίσωσεις α) χ -χ - =0 β)/(-χ) 1/(χ+1)=5/(χ -χ-) ΘΕΜΑ 3 ον Να λύσετε τα συστήματα α) χ+y=7 β)χ+4y=1 x-y=-1 χ +y =8
Α.- Θ Ε Ω Ρ Ι Α ΘΕΜΑ 1 ο α)να αποδείξετε την ταυτότητα (α+β) 3 =α 3 +3α β+3αβ +β 3 β)να συμπληρώσετε τι ταυτότητες (α-β)=. (α+β).(α-β)= γ)αν ισχύει (α+β) 3 =α 3 +β 3, τα ι συμπεραίνετε για τα α και β? ΘΕΜΑ ο α)να γράψετε τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων που αναφέρονται σε μια πλευρά και μια οξεία γωνία. β)ομοίως τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων που αναφέρονται σε πλευρές. γ)αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μια κάθετη πλευρά και μία οξεία γωνία ίσες είναι πάντοτε ίσα. Β)Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να λυθεί το σύστημα 3χ + ψ χ 5ψ 10 = 3 3 χ ψ = (3χ + ψ ) 9 ΑΣΚΗΣΗ η α)να γίνουν γινόμενο παραγόντων οι παραστάσεις Α=χ -χ, Β=χ -3χ+ Β β)να λυθεί η εξίσωση: = Α χ 1 ΑΣΚΗΣΗ 3 η ημα Σ ένα οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει α Να αποδείξετε ότι: 4γ α i) ημβ = γ α ii) συνβ = και γ iii) β=γ = 4γ βγ α Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και σε δύο ασκήσεις.
ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α/ Να διατυπώσεις τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. Β/ Δύο όμοια τρίγωνα είναι και ίσα; Γ/ Δύο ίσα τρίγωνα είναι και όμοια; ΘΕΜΑ ο 3 3 3 Α/ Να αποδείξεις την ταυτότητα ( α β) = α 3α β + 3αβ β Β/ Να συμπληρώσεις τις ταυτότητες: i/ (α-β) = ii/ (α+β)(α-β) = ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται ότι Α=χ 3 +4χ +4χ, Β = χ - 4, Γ = χ χ. Α/ Να κάνετε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων τις παραστάσεις Α, Β, Γ. 1 1 Β/ Να λύσετε την εξίσωση : + = Α Β Γ ΘΕΜΑ ο Δίνονται τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ με γωνία Α=100 ο, γωνία Β=30 ο, γωνία Δ=30 ο, γωνία Ε=50 ο, ΑΓ=, ΕΖ=5. α/ Να αποδείξεις ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι όμοια και να βρεις τον λόγο ομοιότητας του ΔΕΖ προς το ΑΒΓ. ΘΕΜΑ 3 ο Να λυθεί το σύστημα : χ 1 ψ 1 χ = + 1 3 4 3χ ψ = 1 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Να γράψεις ένα από τα θέματα θεωρίας και δύο από τα θέματα των ασκήσεων
ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1ο 3 3 3 Α/ Να αποδείξεις την ταυτότητα ( α + β ) = α + 3α β + 3αβ + β Β/ Να συμπληρώσεις τις ταυτότητες: i/ (α+β) = ii/ (α+β)(α-β) = ΘΕΜΑ ο Α/ Να αποδείξεις ότι : ημ ω + συν ω=1, όπου ω : τυχαία γωνία. Β/ Να συμπληρώσεις τις ισότητες : i/ συν ( 180 ω ) =... ii/ ημ (90 ω ) =... ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ο χ 3ψ χ ψ = χ 1 Α/Να λυθεί το σύστημα 5 ( χ ψ ) + 3ψ = 3 Β/ Αν (χ,ψ) η λύση του συστήματος να αποδειχθεί ότι: (3χ+ψ) 007 +( 10χ+11ψ) 008 =χ-ψ ΘΕΜΑ ο Δίνονται τα πολυώνυμα Α= χ +4χ 1, Β = 4 χ. Α/ Να παραγοντοποιηθούν τα πολυώνυμα Α, Β. Β Να λυθεί η εξίσωση Α + Β = 0. ΘΕΜΑ 3 ο Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ευθεία (ε) παράλληλη προς την πλευρά ΒΓ που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. Αν ΑΔ=4, ΔΒ= και ΑΕ = 6 Α/ Να υπολογίσεις το ευθύγραμμο τμήμα ΕΓ Β/ Να αποδείξεις ότι τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΒΓ είναι όμοια και να υπολογίσεις τον λόγο ομοιότητας ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Να γράψεις ένα από τα θέματα θεωρίας και δύο από τα θέματα των ασκήσεων
Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 007 Σχ. Έτος 006-007 ΤΑΞΗ Γ ΘΕΩΡΙΑ 1. α.) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες : 3 ( α + β ) = ( β ) = α 3 3 3 β.) Να αποδείξετε ότι: ( ) α + β = α + 3α β + 3αβ + β. Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Για ποια τιμή του κ, το σημείο (κ-1, κ) ανήκει στη γραφική παράσταση της παραβολής y = x 5x + 6 ;. α.) Να γίνουν γινόμενο παραγόντων οι παραστάσεις : 3 Α = x 9x + x 9 Β = x 3x β.) Να απλοποιηθεί το κλάσμα: Α Β 3. Να λυθεί το σύστημα: x y = 3 x + xy y = 4 Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και σε δυο ασκήσεις.
Γραπτές Απολυτήριες Εξετάσεις Περιόδου Μαΐου Ιουνίου 007 στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ ΘΕΩΡΙΑ 1 ο ΘΕΜΑ: α) Τι ιδιότητα έχει το ευθύγραμμο τμήμα που φέρουμε από το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου, παράλληλο προς μία άλλη πλευρά του; β) Τι ιδιότητα έχει το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου; γ) Να διατυπώσετε το θεώρημα του «ΘΑΛΗ». ο ΘΕΜΑ: α) Να δώσετε τους ορισμούς ημω =, συνω =, εφω =. για οποιαδήποτε γωνία ω (σχήμα ) y ημω Μ( x,y) β) Να αποδείξετε ότι: εφω = συνω ρ ω γ) Αν φ και ( 180 φ ) είναι παραπληρωματικές γωνίες, x / να συμπληρωθούν οι παρακάτω ισότητες: ημ (180-φ) =. συν ( 180 φ ) =, εφ ( 180 φ ) = ΑΣΚΗΣΕΙΣ y / x 1 η : Να λυθεί η εξίσωση: x + x 1 + x x + 1 = 13 6 η : α) Να γίνει γινόμενο πρωτοβαθμίων παραγόντων η παρακάτω παράσταση: ( χ+ ). ( χ- 3 ) 9. ( χ + ) =.. β) Να γίνει γινόμενο το: χ χ 4 =... 3 η : Να λυθεί το σύστημα : χ 3y = 1 χ + 1 = -y ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Απαντάτε σε 1 θέμα θεωρίας και λύνετε ασκήσεις.
ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο α) Να συμπληρώσετε τα αναπτύγματα των ταυτοτήτων i) ( α + β ) =... ιι) ( α β ) =... ιιι) ( α + β ) 3 =... ιv) ( α β ) 3 =... v) ( α + β )( α β ) =... β) Να αποδείξετε την ταυτότητα ( α + β ) 3 =... ΘΕΜΑ ο Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. Σε κάθε κριτήριο να κάνετε το αντίστοιχο σχήμα. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ο α) Να γίνουν οι πράξεις: A = x( x 5) 3( x 1)( x + 1) 3 x 4x β) Να απλοποιηθεί το κλάσμα 3 x + x 6x ΘΕΜΑ ο Να λύσετε το σύστημα x + 3ψ = 1 χ + 3 ψ + 1 17 = 3 6 Κατόπιν να εξετάσετε αν οι λύσεις του συστήματος (χ ο, ψ ο ) είναι συγχρόνως και λύσεις της εξίσωσης α α = 0 ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Προεκτείνουμε τις ίσες πλευρές ΑΒ και ΑΓ κατά ίσα τμήματα ΒΔ=ΓΕ αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι ΒΕ=ΓΔ β) Αν ΔΖ και ΕΗ είναι κάθετες στην ευθεία της ΒΓ να αποδείξετε ότι ΔΖ =ΕΗ
ΣΧ. Έτος 006-007 ΤΑΞΗ Γ Θέματα απολυτήριων εξετάσεων περιόδου Μαΐου- Ιουνίου στα Μαθηματικά ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1. α) Διατυπώστε τον νόμο των συνημιτόνων για την πλευρά α ενός τριγώνου ΑΒΓ (τύπος). β) Να λύσετε τον παραπάνω νόμο (τύπο) ως προς συνα γ) Πώς γίνεται ο νόμος των συνημιτόνων για την πλευρά α, όταν Α = 90. Θέμα. α) Τι ονομάζουμε μονώνυμο, τι πολυώνυμο; (γράψτε από ένα παράδειγμα) β) Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια και πότε αντίθετα; (γράψτε από ένα παράδειγμα) γ) Να συμπληρώσετε την ισότητα (α-β) 3 = και να την αποδείξετε. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. α) Να κάνετε τις πράξεις στις παραστάσεις Α, Β εφαρμόζοντας ταυτότητες όπου υπάρχουν: = Α ( Χ + 3) Χ ( Χ 5) 1 Β = ( Χ ) ( Χ + ) ( Χ ) β) Να υπολογίσετε την παράσταση Α Β και στη συνέχεια την αριθμητική τιμή, όταν Χ = 1.. Να λυθεί στο R η εξίσωση: Χ 3 + = Χ + 4 Χ 1 Χ 3. Να λυθεί το σύστημα: 0 + 3Χ 4 ( Χ Υ) = Χ 3Υ 3 ( Χ + Υ) = 4Χ + Υ 3 +
Γραπτές απολυτήριες εξετάσεις περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 007 Μαθηματικά γ Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ (Προσοχή από τα δύο θέματα θεωρίας θα απαντήσετε μόνο στο ένα) ΘΕΜΑ 1 ο : α) Να αποδείξετε την ταυτότητα: ( ) α+β =α +αβ+β β) Να γράψετε στην κόλλα σας συμπληρωμένες τις ταυτότητες: ( ) α-β =... ( α+β ).( α-β ) =... ( ) ΘΕΜΑ ο : Δίνεται η γωνία x ΟΜ = ω του σχήματος α) Να γράψετε στην κόλλα σας συμπληρωμένες τις ισότητες ημω= συνω= εφω= M(x,y) 3 α+β =... ρ y β) Να αποδείξετε ότι ημω εφω= συνω x Ο ω x ΑΣΚΗΣΕΙΣ (Προσοχή από τις τρεις ασκήσεις θα απαντήσετε μόνο στις δύο) x- x +3x ΑΣΚΗΣΗ 1 η Α= α) Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις 3 x -5x +6x και Β= x - 9 Α 1 β) Να βρεθεί η τιμή της παράστασης Β όταν x= 007 3 1 - = ΑΣΚΗΣΗ η α) Να λυθεί η εξίσωση 3 x - 4x x - 4 x+ ( ) ( ) Π= x-. x +x+4 x β) Να βρεθεί η τιμή της παράστασης όπου είναι η δεκτή ρίζα της παραπάνω εξίσωσης. ΑΣΚΗΣΗ 3 η Στο σχήμα είναι ε //ε //ε 1 3. α) Να υπολογίσετε το x β) Να υπολογίσετε το μήκος των τμημάτων ΔΕ και ΕΖ. Γ Β 6cm Α cm Δ x +1 y Ε ε 1 4x -1 ε Ζ ε 3
Α. ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1 ο i. Τι ονομάζουμε ταυτότητα; ii. Να συμπληρώσετε τα δεύτερα μέλη των ισοτήτων ώστε να είναι ταυτότητες : α) (α + β) * (α β) =, β) (α β) 3 = iii. Να αποδείξετε την ταυτότητα : χ + (α + β) * χ + α*β = (χ + α) * (χ + β) Θέμα ο i. Να διατυπώσετε το Θεώρημα του Θαλή ii. Να συμπληρώσετε τα κενά στις διαδοχικές ισότητες, με ευθύγραμμα τμήματα, ώστε να εκφράζουν το παραπάνω θεώρημα AB... ΒΔ... ΑΔ = = = =... ΖΗ... ΗΘ... αν ε 1 //ε //ε 3 //ε 4. ε ε ε 1 Α Ε ε Β Ζ ε 3 Γ Η ε 4 Δ Θ Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η : Να αποδείξετε την ταυτότητα : 1 1 + = 1 ημχ 1+ ημχ συν χ η : i. Να επιλύσετε το σύστημα : 6χ ψ = -3 3χ + 6ψ = 16 1 5 [Απάντηση : (χ, ψ) = (, )] 3 ii. Για τις τιμές αυτές των χ και ψ να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης ( χ + ψ ) *( χ ψ ) Α= χ ψ 3 η : Αν Α= x x 7x + 6 36 και Β= x + 7x + 6 x 1 i. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις Α και Β. ii. Να λύσετε την εξίσωση Α = Β. iii. Να αποδείξετε ότι : (Α + Β) (Α Β) = 4
Α. ΘΕΩΡΙΑ ΤΑΞΗ Γ ΘΕΜΑ 1 ο : α) Να αποδείξετε την ταυτότητα: ( α β ) = α αβ + β β) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες: ( α + β ) =... ( α + β ) ( α β ) =... ( α + β ) 3 =... ΘΕΜΑ ο : α) Να γράψετε τις σχέσεις που συνδέουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των συμπληρωματικών γωνιών. β) Να γράψετε τις σχέσεις που συνδέουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των παραπληρωματικών γωνιών. Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ γ) Να γράψετε τα πρόσημα των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας αν 1 η : Να λύσετε την εξίσωση: i) Η γωνία βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο και ii) Η γωνία βρίσκεται στο τέταρτο τεταρτημόριο. 1 x 9 = x x + 3 1 x 3 η : α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από τα σημεία Α (-,-1) και Β (1,5) β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία τέμνει τους άξονες x x και y y η γραφική παράσταση της ευθείας του α ερωτήματος. Α 3 η : Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Παίρνουμε στη βάση ΒΓ τμήματα ΒΔ=ΓΕ και φέρνουμε ΔΖ κάθετη στην ΑΒ και ΕΗ κάθετη στην ΑΓ. α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΒΔΖ και ΓΕΗ είναι ίσα. β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές. Ζ Η Γ Β Δ Ε Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και σε δύο ασκήσεις.
ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ τάξη ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ : 1. α) Τι ονομάζουμε ταυτότητα; β) Να συμπληρώσετε τα αναπτύγματα στα παρακάτω i) (α β) =. ii) (α β) 3 =.. γ) Να αποδείξετε τη ταυτότητα : (α + β) 3 = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3. Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων xoy δίνεται η γωνία x OM = ω. Να δείξετε ότι : α) ημ ω + συν ω = 1 β) ημω εφω =, συνω 0. συνω ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Από το μέσο Μ του ΒΓ φέρνουμε τις αποστάσεις ΜΕ και ΜΖ από τις ΑΒ και ΑΓ αντιστοίχως. Να δείξετε ότι ΜΕ = ΜΖ.. Να λύσετε το σύστημα : 3x y + = 6 5 x + y - 3 - = 4 6 3. Να λύσετε την εξίσωση 10 - x x + 4 = x - 5 Να απαντήσετε σε ένα από τα θέματα θεωρίας και σε δύο από τα θέματα των ασκήσεων. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!!
Ονοματεπώνυμο Προαγωγικές εξετάσεις περιόδου Μαίου- Ιουνίου 007 Στa Μαθηματικά της Γ Γυμνασίου ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Α. Για την γωνία xom=ω του διπλανού σχήματος ημω να αποδείξετε ότι: εφω = συνω Β. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: ημ(90-ω)=. ημ ω+συν ω=.. ημ(180-ω)= εφ(180-ω)=.. Γ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω προτάσεις και δίπλα να την χαρακτηρίσετε Σωστή ή Λάθος. Π 1 : Δυο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν τις τρεις πλευρές τους ίσες Π : Δυο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν τις τρεις γωνίες τους ίσες μία προς μία Π 3 : Δυο τρίγωνα είναι ίσα όταν δυο γωνίες τους και δυο πλευρές τους ίσες μία προς μία Π 4 : Δυο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν δυο γωνίες τους ίσες μία προς μία και η μια πλευρά του ενός είναι ίση με μια πλευρά του άλλου ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Α) Να συμπληρώσετε τις ισότητες: i) (α+β) =. Iιi) (α-β) =. Iiii) (α+β) 3 =. Iiv) (α-β) 3 =. B) Επιλέξτε τη σωστή πρόταση: Mια εξίσωση ου βαθμού μπορεί να έχει: Α: Μια λύση Β: Το πολύ δυο λύσεις Γ: Καμία λύση Δ: Τουλάχιστον δύο λύσεις Γ) Για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ=3χ, επιλέξτε τη σωστή πρόταση: i) διέρχεται από την αρχή των αξόνων ii) Είναι καμπύλη που διέρχεται από την αρχή των αξόνων iii) Είναι ευθεία παράλληλη στον άξονα χ χ iv) Είναι ευθεία παράλληλη στον άξονα ψ ψ ΑΣΚΗΣΗ 1
i) Να μετατρέψετε σε γινόμενα τις παρακάτω παραστάσεις: Α = α (α-)-3(α -α) B = x -6x+9 ii) Να απλοποιήσετε τις αλγεβρικές παραστάσεις: 3( x + 1) a( a ) + 3( a ) Α= Β= 3 6( x + 1) a 4 ΑΣΚΗΣΗ Α. Να λυθούν οι εξισώσεις : i) 4x x -x-5=0 ii) + =- x ΑΣΚΗΣΗ 3 1 Αν x+ =5, να υπολογίσετε τις αριθμητικές τιμές των παραστάσεων: x α) x 1 + x β) x 3 1 + x 3 Να απαντήσετε σε μια από τις δυο ερωτήσεις θεωρίας και σε δυο από τις τρεις ασκήσεις. Καλή επιτυχία
Α ΘΕΩΡΙΑ: ΘΕΜΑ 1 ο : Να διατυπώσετε το νόμο των συνημιτόνων. Σχήμα απαραίτητο. ΘΕΜΑ ο : Για ένα σύστημα () εξισώσεων 1 ου βαθμού, με δύο άγνωστους, εξηγήστε τι σημαίνει γραμμική λύση και τι αλγεβρική λύση. Δώστε ένα παράδειγμα. Β ΑΣΚΗΣΕΙΣ : ΑΣΚΗΣΗ 1 η : Να λυθεί η εξίσωση : 10 x x + 4 = x 5 ΑΣΚΗΣΗ η : Να βρείτε ποιες από τις ευθείες είναι παράλληλες : y=3x+4, y=4x+4, y=3x+3, y=4x-3, y=4x+3, y=x+4 ΑΣΚΗΣΗ 3 η : Στο διπλανό τρίγωνο να υπολογίσετε τα τμήματα ΚΒ και ΚΗ (προσέγγιση εκατοστού) ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ο ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ
ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ ΤΑΞΗ: Γ Γυμνασίου. ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά.. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Α. Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α + β) = α + αβ + β. Β. Να συμπληρώσετε τα αναπτύγματα στις παρακάτω ταυτότητες: α) (α - β) = β) (α + β) (α - β)= γ) (α + β) 3 =... δ) (α - β) 3 =. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: x + 10 (x + 1) = -x -.. Δίνεται γωνία ω με 90 0 <ω<180 0 και ημω = 5 4. α) Να βρείτε το συνω και την εφω. 0-0 - 0 - β) Να βρείτε το ημ(180 ω), το συν(180 ω) και την εφ(180 ω). γ) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = συν ω (1 + εφ ω). x+ψ= 7 3. α) Να λυθεί το σύστημα:. x + 3ψ = 11 β) Για τις τιμές των x και ψ που βρήκατε στο (α) ερώτημα, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = (x x + ψ ψ + x) x - x 4 - x. ------------------------------------------------------------------------------------------------------ Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και δύο θέματα ασκήσεων. Όλα τα θέματα είναι βαθμολογικά ισοδύναμα. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ. Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ο ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ
Θεωρία Γραπτές απολυτήριες εξετάσεις περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 007 στα Μαθηματικά τάξη Γ' 1 ο ) α. να αποδείξετε ότι (α+β)^=α^+αβ+β^ β. να συμπληρώσετε τις ισότητες: Ι) α^-β^=.. ΙΙ) (α-β)^3= ο ) Α. Να συμπληρώσετε τις ισότητες Ι) ημ(180 ο -ω)= ΙΙ) συν(180 ο -ω)=. ΙΙΙ) εφ(180 ο -ω)= Β. Να βάλετε το κατάλληλο σύμβολο (<, >, =) στα εξής: Αν 0 ο <x <180 ο τότε ημx..0 Αν 90 ο <x <180 ο τότε συνx.0 Ασκήσεις 1 η ) Να λυθεί η εξίσωση η ) Αν Α=x^+x^ψ-x-ψ και Β=x^-ψ^ τότε α. να γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις Α και Β β. να απλοποιήσετε το κλάσμα 3 η )Να λυθεί το σύστημα:
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ 1 ο. Ν αποδείξετε την ταυτότητα : (α+β) 3 = α 3 + 3α β+ 3αβ + β 3 Να συμπληρώσετε τα κενά : (-α+β) =., (α+β) =.., (α-β). (α+β) = ΘΕΜΑ ο. Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων ΑΣΚΗΣΕΙΣ χ 3 0 1. Να λυθεί εξίσωση : + = χ+4 χ-1 χ +3χ-4. Να λυθεί το σύστημα: χ+ψ χ-ψ = 5 3 χ+ψ χ-ψ ψ+ - = 3 5 3. Αν ημω = - και 70 ο < ω < 360 ο, να βρεθούν το συνω και εφω 13 Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και σε δύο ασκήσεις
ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ- ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α: ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 α) Τι ονομάζουμε μονώνυμο; β) Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια; γ) Να συμπληρώσετε τις ισότητες: (α-β) =.. (α+β) 3 =.. ΘΕΜΑ α) Να αποδείξετε ότι για κάθε γωνία ω ισχύει: ημ ω+συν ω=1 β) Να συμπληρώσετε τις ισότητες: συν(90 o -ω)= o ημ(180 -ω)= εφ(180 o -ω)= Β: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 χ 18 ίνεται το κλάσμα: χ + χ 1 α) Να παραγοντοποιηθούν οι όροι του β) Για ποιες τιμές του χ ορίζεται το κλάσμα αυτό γ) Να γίνει απλοποίηση του κλάσματος ΘΕΜΑ χ + 1 ψ Να λυθούν τα συστήματα: α) 3 χ + 7ψ = β) = 1 3 4 6 χ + 14ψ = 3 χ + ψ = 5 4 ΘΕΜΑ 3 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ=αχ+β διέρχεται από τα σημεία Μ και Ν με συντεταγμένες Μ(1,-3) και Ν(-1,-9). α) Να βρεθούν τα α και β β) Να βρεθούν τα σημεία που η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τους άξονες χχ και ψψ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και σε δύο θέματα ασκήσεων ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!
Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 Ο : Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας των τριγώνων. ΘΕΜΑ Ο : Δίνεται η γωνία x OM = ω του σχήματος Μ(x,ψ) y ρ ω x Ο α) Να συμπληρώσετε τις ισότητες ημω =.. συνω =. εφω =. ημω β) Να αποδείξετε ότι εφω =. συνω ΑΣΚΗΣΗ 1 η Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1
Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 4(x² + x + 1) = 3x² + 1 x 1 β) 5 = x 1 x 1 ΑΣΚΗΣΗ η Να λύσετε τα συστήματα α) x 3y = β) 3x 7y = 1 x + 5y = 7 x + 3 7 y = 4 ΑΣΚΗΣΗ 3 η Δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ έχουν ΑΒ = 4 cm, ΒΓ = 6 cm, ΓΑ =8 cm, ΕΖ =10 cm, ZΔ = 15 cm και ΔΕ = 0cm. α) Να δείξετε ότι είναι όμοια και να βρείτε το λόγο ομοιότητάς τους. β) Να γράψετε τις ίσες γωνίες που προκύπτουν από την ομοιότητα. Δ Α 4 15 Β Ζ 8 6 0 10 Γ Ε
ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1 Να συμπληρωθούν οι παρακάτω ταυτότητες : (α + β) = (α - β) = (α + β) 3 = (α - β) 3 = (α + β) (α - β) = ΘΕΜΑΤΑ και να αποδειχθεί η πρώτη και η τελευταία ταυτότητα Θέμα Να γραφτούν τα κριτήρια ισότητας τριγώνων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Θέμα 1 Να λύσετε τις εξισώσεις ι) χ + 7χ + 6 = 0 ιι) 9χ + 1χ + 4 = 0 ιιι) χ + χ + 6 = 0 Θέμα Να κάνετε τις πράξεις Α= x 49 x + 6. x 36 x + 7 χ + ψ Β= ω 16 : χ ψ ω + 4 Θέμα 3 Να λυθεί το σύστημα των εξισώσεων 3χ + ψ = -1 5χ + 4ψ = 1
Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 007 στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α.ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να συμπληρωθούν οι ισότητες: ( ( ( a β) =... a β) 3 =... +β) 3 α =... =... β) Να αποδειχθεί η ταυτότητα: ( α β a+ β) = α + αβ + β ΘΕΜΑ. Να διατυπώσετε: α )Τα κριτήρια ισότητας τυχαίων τριγώνων. β) Τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων. Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1. Nα λυθεί το σύστημα: χ+3ψ=1 3χ+ψ=1 ΘΕΜΑ. Να λυθεί η εξίσωση: x = + 1 x 4 5x ΘΕΜΑ 3. Δ Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στην πλευρά ΑΒ παίρνουμε σημείο Κ και στην πλευρά ΑΓ σημείο Λ ώστε ΑΚ=ΑΛ. Αν Μ είναι το μέσο της βάσης ΒΓ να δείξετε ότι: Δ Δ Δ Δ α) Τα τρίγωνα ΚΒΜ και ΜΛΓ είναι ίσα. ( ΚΒΜ = ΜΛΓ ) Δ β) Το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισοσκελές. 10 + x x + 1
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ- ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1: α)τι ονομάζεται μονώνυμο; β) Τι ονομάζεται συντελεστής και τι κύριο μέρος μονωνύμου; γ)πότε δυο μονώνυμα λέγονται όμοια;(παράδειγμα) ΘΕΩΡΙΑ: Για τη γωνία χομ=ω του παρακάτω σχήματος να αποδείξετε ότι: i) ημ ω + συν ω = 1 M(χ,ψ) ψ ημω ii) εφω = ( συνω 0) ω συνω χ Ο χ ψ ΑΣΚΗΣΗ1:Να λύσετε το παρακάτω σύστημα δυο γραμμικών εξισώσεων: 11χ-ψ=1 χ+ψ=7 ΑΣΚΗΣΗ:α)Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα: χ + χ, χ + 4χ + 4 και χ 8 χ 8 χ + χ β)αν A = και B = να βρείτε για ποιες τιμές του χ δεν ορίζεται χ χ + 4χ + 4 η αριθμητική τιμή της παράστασης A B γ)να απλοποιήσετε την παράσταση A B ΑΣΚΗΣΗ3:Στο παρακάτω σχήμα είνα ΔΕ ΒΓ και ΑΔ=3χ+1, ΔΒ=χ-1,ΑΕ=χ+7 και ΕΓ=χ-. Α Να υπολογίσετε το χ. 3χ+1 χ+7 Δ Ε χ-1 χ- Β Γ (ΕΠΙΛΕΓΕΤΕ 1 ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ)
ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1) α) Τι λέγεται ταυτότητα; β) Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά. (α+β) =. (α-β) 3 =.. γ) Να αποδειχθεί η ταυτότητα (α-β) =α -αβ+β ) α) Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς Μ(χ,ψ) ψ αριθμούς της τυχαίας γωνίας ω ρ ω από το διπλανό σχήμα. ημω χ χ β)να αποδείξετε ότι εφω= συνω ψ 1) Να λυθεί το σύστημα Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 3(χ+1)-(ψ-1)=1 x + ψ + 1 = 3 3 ) Να λυθεί η κλασματική εξίσωση x x = x 1 1 x 3) Να γίνουν οι πράξεις και να απλοποιηθεί η παράσταση x 4 x + 3 15 Α= x 9 x x 3x (Από τις δύο θεωρίες να κάνετε τη μία και από τις τρεις ασκήσεις τις δύο )
ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1.α)Να αποδείξετε ότι ( α + β ) = α +αβ + β β) Να συμπληρώσετε τις ισότητες ( β ) =, 3 ( α + β ) = α + ( α + β ) ( ) α β =. α)να αποδείξετε ότι εφω = ημω συνω β)να συμπληρώσετε τις ισότητες ημ (180 0 ω) =, συν (180 0 ω) = 0 εφ(180 ω) = ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 4 1. Να λυθεί η εξίσωση 1- = 0 χ χ χ. Σαράντα τέσσερις μαθητές της Γ Τάκης του Γυμνασίου πήγαν εκδρομή και διανυκτέρευσαν στο Βόλο. Στο ξενοδοχείο ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ χρησιμοποιήθηκαν 18 δίκλινα και τρίκλινα δωμάτια. Πόσα δίκλινα και τρίκλινα χρησιμοποιήθηκαν αν κάθε μαθητής είχε το κρεβάτι του. 3. Σε τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ να φέρετε τα ύψη ΑΔ και ΓΕ. Αυτά τέμνονται στο σημείο Ζ. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΕΖ και ΓΔΖ είναι όμοια. Μετά να γράψετε τις αναλογίες των πλευρών. Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και σε δύο θέματα ασκήσεων
ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡ. ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α)ΘΕΩΡΙΑ 1)α)Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων ΧΟΨ παίρνουμε ένα σημείο Μ(χ,ψ) τέτοιο,ώστε ΧΟΜ=ω.Να γράψετε τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας ω (να κάνετε και σχήμα) β)ποιο είναι το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας ω, όταν 90 0 <ω<180 0 γ)ποιες σχέσεις ισχύουν για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς δύο παραπληρωματικών γωνιών ω και 180 0 -ω; )α)τι είναι η γραφική παράσταση των συναρτήσεων i) ψ=αχ και ii)ψ=αχ+β β)να σχεδιάσετε τις ευθείες ψ= και χ=3.από τις δύο αυτές ευθείες ποια είναι γραφική παράσταση συνάρτησης και γιατί ; Β)ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1)α)Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο 3x 3 5x + β)να λύσετε την εξίσωση 3x 3 5x +x=0 )Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(-1,) και Β(4,-1) 3)Να σχεδιάσετε ένα ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ με βάσεις ΑΒ,ΓΔ και ΑΒ>ΓΔ. Να φέρετε τα ύψη ΔΕ και ΓΖ του τραπεζίου α)να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΔΑΕ και ΓΒΖ β)να συγκρίνετε τα τμήματα ΑΕ και ΒΖ AB ΓΔ γ)να δείξετε ότι ΑΕ= ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΣΕ ΕΝΑ ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΣΕ ΔΥΟ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 Ο Α. Πως προσθέτουμε δυο όμοια μονώνυμα, πως πολλαπλασιάζουμε δυο μονώνυμα. Β. Να συμπληρώσετε την ισότητα (α-β) 3 =.. ΘΕΜΑ Ο Α. Γράψτε τις 3 περιπτώσεις ισότητας τριγώνων Β. Πότε πολύγωνα είναι ιόμοια, πότε τρίγωνα είναι όμοια ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Να λυθεί η εξίσωση (χ-8) =(χ+8) -χ -4χ-7 ΘΕΜΑ Ο Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ Α Β Γ είναι όμοια με λόγο ομοιότητας λ, να δείξετε ότι και ο λόγος δ των διχοτόμων ΑΔ και Α Δ = λ δ ' ΘΕΜΑ 3 Ο Να λυθεί το σύστημα χ y = 7 3 x y = 13
ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΘΕΩΡΙΑ 1. α) Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α+β) = α +αβ+β β) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες: (α-β) =. (α+β) (α-β)=. (α+β) 3 =. (α-β) 3 =.. α) Να αποδείξετε ότι εφω = ημω συνω β) Να συμπληρώσετε τις ισότητες: ημ(180-ω)=. συν(180-ω)=. εφ(180-ω)=. ημ(90-ω)=. συν(90-ω)=. ημ ω+συν ω=. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να λυθούν η εξισώσεις: α) x -x-3=0 β) (3x + x) (x -1) (x +)=0. α) Να λυθεί το σύστημα: x + ψ x ψ = 8 4x + 3ψ = β) Αν (x 0, ψ 0 ) είναι η λύση του συστήματος, να βρεθεί το α ώστε η ευθεία ψ=αx-4 να διέρχεται από το σημείο (x 0, ψ 0 ). 1
3. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Φέρνουμε ΓΔ κάθετη στην ΑΓ και ΒΕ κάθετη στην ΑΒ και παίρνουμε ΒΕ=ΓΔ. Από Ε και Δ φέρνουμε τις κάθετες στην ΒΓ, ΕΖ και ΔΗ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓΔ είναι ίσα β) τα τρίγωνα ΒΕΖ και ΓΔΗ είναι ίσα. Α Ε Δ Ζ Β Γ Η
ΘΕΜΑΤΑ Γραπτών ανακεφαλαιωτικών προαγωγικών εξετάσεων περιόδου Μαΐου- Ιουνίου στα Μαθηματικά ΘΕΩΡΙΑ 1. Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες ( α + β ) =., ( α + β )( α β ) =..., 3 ( α β ) = 3 3 3 Β. Να αποδειχτεί η ταυτότητα ( ). Να αποδείξετε ότι για κάθε γωνία ω ισχύει, Α. ημ ω + συν ω = 1 ημω Β. εφω = για συνω 0 συνω α + β = α + 3α β + 3αβ + β ΑΣΚΗΣΕΙΣ χ 4 1. Δίνεται η εξίσωση = χ 1 χ 1 χ + 1 Α. Να βρείτε για ποιες τιμές του χ μηδενίζονται οι παρονομαστές της παραπάνω εξίσωσης Β Να λυθεί η παραπάνω εξίσωση. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΔΕ // ΒΓ και ΕΖ // ΑΒ, ΑΔ=7cm, A ΕΓ=6cm, ΑΕ=χ, ΕΖ=3cm. 7 Να υπολογίσετε το χ. x x y = 3 3. Αν τα συστήματα (Σ 1 ): x + y = 9 λύση, να βρείτε τους αριθμούς α,β. και (Σ ): (Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και σε δυο ασκήσεις ) Καλή Επιτυχία B Ζ 3 Ε x + ay = β έχουν την ίδια 3x β y = a 6 Γ
ΤΑΞΗ Γ Γυμνασίου Θέματα γραπτών απολυτήριων εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 007 ΘΕΩΡΙΑ 1. Να αντιγράψετε στην κόλα σας τον πίνακα () και να τον συμπληρώσετε, αντιστοιχίζοντας σε κάθε παράσταση της 1 ης στήλης, το ανάπτυγμα της ης στήλης του πίνακα (1) Πίνακας (1) 1 η Στήλη η Στήλη Πίνακας () i. (α-β) 1. α 3 -β 3 ii. (α+β)(β-α). α +αβ+β i. ii. iii. iv. iii. (α-β) 3 3. α 3 -β 3-3αβ(α-β) iv. (α+β) 4. α -β 5. β +α -αβ 6. β - α. Να σημειώσετε σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) σε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις, αντιγράφοντας στην κόλα σας μόνο το νούμερο της πρότασης: i) Δύο τρίγωνα με ίσες γωνίες είναι ίσα. ii) Δύο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν τις υποτείνουσες και από μία οξεία γωνία ίσες, είναι ίσα. iii) Δύο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν από μία οξεία γωνία ίση είναι όμοια. iv) Δύο ισοσκελή τρίγωνα που έχουν ίσες τις βάσεις και τις γωνίες που περιέχονται στις ίσες πλευρές ίσες, είναι ίσα. v) Α Ζ Ο Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ=ΖΕ και Α = Ε. Άρα τα τρίγωνα ΑΒΟ=ΖΕΟ. Β Ε vi) Α Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ//ΚΛ. Άρα τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΓΚΛ είναι όμοία. Κ Β Λ Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να λύσετε τους παρακάτω τύπους: l 1 1 1 α) R = ρ, ως προς S. β) = + S R R1 R, ως προς R. 1 1 α γ) = +, ως προς α. δ) S =, ως προς λ β α γ 1 λ. Αν ισχύει χ = ψ 1, να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης: 4χ 6χψ + ψ Α = χ + ψ 3. Από ένα σταθμό διοδίων πέρασαν 945 αυτοκίνητα και μοτοσικλέτες και εισπράχτηκαν 1810. Αν ο οδηγός κάθε αυτοκινήτου πλήρωσε και ο οδηγός κάθε μοτοσικλέτας πλήρωσε 1,, να βρείτε πόσα ήταν τα αυτοκίνητα και πόσες οι μοτοσικλέτες. ( Από τα δύο θέματα θεωρίας γράφετε το ένα, από τις τρεις ασκήσεις γράφετε τις δύο και όλα τα θέματα είναι ισοδύναμα).
ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1.α.Να διατυπώσετε το Θεώρημα του Θαλή. β. Τι γνωρίζετε για το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου ; ΘΕΜΑ α. Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων χοψ δίνεται σημείο Μ(χ,ψ). Αν η Γωνία ΧΟΜ=ω και ΟΜ=ρ να συμπληρώσετε τις ισότητες: ημω=. συνω=.. εφω= β.να αποδείξετε ότι ημ ω+συν ω =1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ (3x + 5) 16 ΘΕΜΑ 1 Δίνετε η παράσταση Α= x 9 α. Για ποιες τιμές του χ από το R έχει νόημα η παράσταση; β. Να απλοποιηθεί η παράσταση Α. γ. Να λυθεί η εξίσωση Α=3 ΘΕΜΑ Αν για την γωνία ω ισχύουν : ημω= και 0<ω<90 α. Να υπολογίσετε το συνω. β. Να υπολογίσετε την εφω. γ. Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της παράστασης: Α=-3εφω.συνχ+συν ω. Όπου χ τυχαία γωνία. ΘΕΜΑ 3 Να υπολογίσετε τα α, β αν γνωρίζετε ότι οι αριθμοί και 3 είναι λύσεις της εξίσωσης: χ -(α+1)χ+β=0 Από τα δύο θέματα θεωρίας γράφετε το ένα και από τα τρία θέματα ασκήσεων γράφετε τα δύο. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Να συμπληρωθούν οι ταυτότητες: α) α+β) (α-β)=.. β) (α-β) =. γ) (α+β) 3 = δ) Να αποδείξετε την ταυτότητα (α+β) 3 ΘΕΜΑ Ο Να συμπληρώσετε της ιδιότητες: α) ημ ω+..=1 β) γ =β +α -.. γ).. συνω.. δ) ημ (90 ο -ω)= ε) συν (180 ο ω)= ζ) εφω=.. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η. Να λύσετε την εξίσωση : (χ+3) = χ+6 ΑΣΚΗΣΗ η.να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(,5), Β(1,3) ΑΣΚΗΣΗ 3 η. Δίνεται κύκλος (Ο,ρ) και χορδή του ΑΒ η οποία δεν περνάει από το κέντρο Ο. Φέρνουμε την ΟΚ ΑΒ η οποία τέμνει τον κύκλο στο Μ. Φέρνουμε την ΜΝ ΑΟ. Να δείξετε ότι ΜΝ = ΑΒ
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΈΜΑ 1 Ο : ι) Nα αποδειχθεί η ταυτότητα (α+β) 3 = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3 ιι) Να συμπληρωθούν οι ισότητες γράφοντας τα αναπτύγματα των παρακάτω ταυτοτήτων (α+β) (α - β) =.. (α - β) =. (α - β) 3 =. ΘΕΜΑ Ο : Να διατυπώσετε τα τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων. ΘΕΜΑ 1 Ο : ΑΣΚΗΣΕΙΣ Στο παρακάτω σχήμα ΔΕ// ΒΓ. Αν ΑΔ= ψ, ΑΕ=3, ΔΒ= ψ+1, ΕΓ= 4ψ-1 να υπολογιστεί η τιμή του ψ. Α ψ 3 Δ Ε ψ+1 4ψ-1 Β Γ ΘΕΜΑ Ο : ι) Να υπολογιστεί η παράσταση: 0 0 0 ημ110 συν 80 εφ135 0 0 συν100 ημ70
ιι) Να αποδειχθεί οι παρακάτω ισότητα: (ημχ + συνχ) + )+ (ημχ - συνχ) = ΘΕΜΑ 3 Ο : Να λυθεί το σύστημα: χ ψ + 4 = 1 3 6 (3χ-5) - 4(ψ-1) = 34 ΑΠΟ ΤΙΣ ΔΥΟ ΘΕΩΡΙΕΣ ΝΑ ΓΡΑΦΕΙ Η ΜΙΑ ΚΑΙ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΙ ΔΥΟ. ΤΡΕΙΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 Ο : α) Να αποδείξετε την ταυτότητα ( α + β ) ( α β ) = α β β)να συμπληρώσετε τις παρακάτω ταυτότητες: α + β ( ) = ( α β ) = 3 ( α β ) = ΘΕΜΑ Ο : Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή και να το εφαρμόσετε στο διπλανό σχήμα. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 Ο α) Αν 0 0 <ω<90 0 4 και ημω = να υπολογισθούν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί 5 της γωνίας ω. β) Να υπολογισθεί η τιμή της παραστασης: Α = ημ(180 0 ω) + 3 ημ 90 ω + 3 εφ 180 ω ( ) ( )
ΘΕΜΑ Ο Να λυθεί το σύστημα: 13 7 3 = = ψ χ ψ χ ΘΕΜΑ 3 Ο α) Να απλοποιηθούν τα κλάσματα: 8 6 3 Α = χ χ χ 6 + Β = χ χ χ β) Να λύσετε την εξίσωση Α=Β, όπου Α,Β είναι οι παραστάσεις που θα προκύψουν από τις απλοποιήσεις του πρώτου και του δευτέρου κλάσματος αντίστοιχα. ΠΡΟΣΟΧΗ :Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και σε δύο θέματα ασκήσεων.
ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 Ο : α)να συμπληρώσετε τις ταυτότητες: (α+β) =. (α β) =. (α+β)σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης.σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης.σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης..(α β) =. β)να αποδείξετε ότι: (α+β) 3 = α 3 +3α β+3αβ +β 3 ΘΕΜΑ Ο : α)να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. β)πότε δυο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα; ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Β ( x + 3) ( x : Δίνεται η εξίσωση Γ = Α x 3 3 5 4 x x Β = x 4x + 36 και Γ = 6 x + 9) όπου Α = x 4 81, α)να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις Α και Β. β)να απλοποιήσετε την παράσταση Γ και την κλασματική παράσταση Α Β γ)με δεδομένο ότι x 0 και x ± 3 να λύσετε την παραπάνω εξίσωση. ΘΕΜΑ Ο : ε 1 Στο διπλανό σχήμα είναι ε 1 //ε //ε 3. α)να γράψετε την ισότητα x 33 των λόγων που προκύπτει ε από το θεώρημα του Θαλή. 7 x 10 β)να υπολογίσετε το x. ε 3 ΘΕΜΑ 3 Ο x 4 3ψ : Να λύσετε το σύστημα: = 3 5 ( x + 1) ( x 4) ( x ) + 1ψ = 1 ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΣΕ ΕΝΑ (ΟΠΟΙΟ ΘΕΛΕΤΕ) ΑΠΟ ΤΑ ΔΥΟ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΣΕ ΔΥΟ (ΟΠΟΙΑ ΘΕΛΕΤΕ) ΑΠΟ ΤΑ ΤΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
ΘΕΩΡΙΑ ΖΗΤΗΜΑ 1ο Να γράψετε τα τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων. ΖΗΤΗΜΑ ο α) Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων xoy να πάρετε ένα σημείο Μ(x, y) στο δεύτερο τεταρτημόριο. Να ονομάσετε ω τη γωνία xom και ρ το μήκος ΟΜ. Να γράψετε τους τύπους που δίνουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω χρησιμοποιώντας τα μεγέθη x, y, ρ. β) Χρησιμοποιώντας τους παραπάνω τύπους να αποδείξετε ότι ημ ω + συν ω = 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΖΗΤΗΜΑ 1ο Να λύσετε το σύστημα x 1 y + 1 + = 5 3 y + 5 x + 1 = 3 3 4 ΖΗΤΗΜΑ ο Έστω η ευθεία 3x - y = - 6 α) Να βρεθούν οι συντεταγμένες των σημείων Α και Β στα οποία η ευθεία τέμνει τους άξονες xx και yy αντίστοιχα. β) Αν Ο η αρχή των αξόνων να υπολογίσετε το εμβαδό του τριγώνου ΟΑΒ. ΖΗΤΗΜΑ 3ο α) Αναπτύξτε τις ταυτότητες Α= ( x + ) 3 Β= ( x 1) β) Για τα Α και Β του α) ερωτήματος, να λύσετε την εξίσωση 5x + Ax + B = 0 Να απαντήσετε σε ένα ζήτημα από τη θεωρία και σε δύο ζητήματα από τις ασκήσεις Καλή επιτυχία
ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Τι λέγεται μονώνυμο; Β) Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια; Γ) Ποια μονώνυμα λέγονται αντίθετα; ΘΕΜΑ ο Να συμπληρωθούν οι ισότητες : i. (α+β) =. ii. (α+β) (α-β)=. iii. (α+β) 3 = ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 η i. Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα : χ -4= χ 3-4χ= χ +χ= ii. Να λύσετε την εξίσωση: Άσκηση η Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει περίμετρο 0m και εμβαδόν 1m. Να βρεθούν οι διαστάσεις αυτού. Άσκηση 3 η Να αποδειχθεί ότι : (ημχ+3συνχ) +(3ημχ-συνχ) =13 Να απαντήσετε σ ένα θέμα θεωρίας και σε δύο ασκήσεις.
ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 006-007 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1) Α) Τι ονομάζεται μονώνυμο;πότε δύο μονώνυμα θα λέγονται όμοια ; ( Να αναφέρεται σε κ άθε περίπτωση και από ένα παράδειγμα ) Β) Να διατυπώσετε τον Νόμο των Ημιτόνων ) A) Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή.( να γίνει και σχήμα ) Β)Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο γραπτό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση 1. Δύο ισοσκελή τρίγωνα με μία γωνία ίση είναι όμοια.. ημ ( 180 ω) + συν ω= 1 3. Δύο κανονικά πολύγωνα με ίδιο αριθμό πλευρών είναι πάντα όμοια. 4. Δύο ορθογώνια τρίγωνα με δύο πλευρές ίσες είναι ίσα. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) Να αποδειχθεί η ταυτότητα : ( α β ) + ( αβ ) = ( α +β ) ) Να λυθεί η εξίσωση : 1 + 1 = x 1 x 1 3) Να λυθεί το σύστημα : x + 4y = 1 x y+ 3= 0 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!! ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Από τα δύο θέματα θεωρίας να απαντηθεί μόνο το ένα και από τις τρεις ασκήσεις μόνο οι δύο
ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 Ο Α) Να αποδείξετε την ταυτότητα : (α+β) =α +αβ+β Β) Να χαρακτηρίσετε ως Σωστή ή Λάθος καθεμία από τις επόμενες ισότητες: i) (α-β) = α +αβ-β ii) (α-β)(α+β) = α -β iii) (α-β) 3 = α 3 -β 3-3α β+3αβ ΘΕΜΑ Ο Α) Δίνεται η γωνία xom ˆ = ω του σχήματος. Να αποδείξετε ότι : ημω εφω = συνω x Μ(x,y) y ω O x y Β) Να χαρακτηρίσετε ως Σωστή ή Λάθος καθεμία από τις επόμενες ισότητες: i) ημ(180 ο - ω) = ημω ii) συν(180 ο - ω) = - συνω iii) συν(90 ο ω) = - ημω ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να λύσετε το σύστημα : x + y = 6 3 x 3y = 10 ΑΣΚΗΣΗ η 6x 5 13 6x 5 Να λύσετε την εξίσωση: = x+ 3 x x + x 6 ΑΣΚΗΣΗ 3 η Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ. Αν ΒΔ,ΓΕ είναι τα ύψη του και Η το σημείο τομής τους. Να αποδείξετε ότι : Α i) ΒΔ=ΓΕ ii) Το τρίγωνο ΑΕΔ είναι ισοσκελές. iii) Τα τρίγωνα ΒΗΕ και ΓΗΔ είναι ίσα. Ε Η Β Γ Nα απαντήσετε σε ένα από τα δυο θέματα θεωρίας και σε δυο από τις τρεις ασκήσεις.
ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ ΟΝΟΜΑ: ---------------------------------------------- Από τα δυο θέματα θεωρία να κάνετε ένα και από τις τρεις ακήσεις τις δυο. Όλα τα θέματα να απαντηθούν στο γραπτό σας. ΘΕΜΑ 1 ο α) Τι ονομάζεται ταυτότητα: ΘΕΩΡΙΑ β) Να αποδείξετε την ταυτότητα (α+β) =α +αβ+β γ) Να συμπληρωθούν οι ταυτότητες (α+β)(α-β)= (α+β) 3 = ΘΕΜΑ ο Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας δυο τρίγωνων. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Να δείξετε ότι : (ημω +συνω) +(ημω-συνω) = Β) Αν ημχ= 5 3 και 90 0 χ 180 0 να υπολογιστούν: i) το συνχ ιι) η εφχ ΘΕΜΑ ο Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : α) x + 4x = 0, 5x 64 = 0 β) 3-χ+χ =0, χ+5χ-6=0
γ) ( x 1) ( x 3)( x + 3) = 9x ΘΕΜΑ 3 ο α) Δίνεται η ευθεία ε 1 με εξίσωση χ-3ψ=6.να αντιγράψετε και να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών κατόπιν την γραφική παράσταση της ε 1. της ε 1 στο γραπτό σας.να κάνετε χ 0 ψ 0 β) Δίνεται και η ευθεία ε με εξίσωση ψ=3χ+1.να λυθεί το σύστημα χ 3ψ = 6. Τέμνονται οι ευθείες ε 1, ε και αν ναι,σε ποιο σημείο; ψ = 3χ + 1 γ) Αν χ, ψ είναι η λύση του συστήματος να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 006 007 Γ = 007 006 Χ Ψ
ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 Ο Α. Να αποδείξετε την ταυτότητα : ( α + β ) = α + aβ + β Β. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω αξιοσημείωτες ταυτότητες: α. ( + β ) ( β ) =... ( ) α a β. α β = γ.... ( α + β ) 3 =... Γ. Να παραγοντοποιήσετε τις επόμενες αλγεβρικές παραστάσεις, γράφοντας πρώτα τη μέθοδο που θα χρησιμοποιήσετε: α. μα+ μβ μγ β. αx+ αy+ βx+ βy γ. α β ΘΕΜΑ Ο Α. α. Σε ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων xoy, να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας xo δ = ω. Αν Μ ( x, y) σημείο της Οδ και ΟΜ=ρ y O ω Μ(χ,ψ) δ x β. Αν συνω 0, να αποδείξετε τον τύπο: εϕω = ημω συνω Β. Να συμπληρώσετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω ισότητες: ( 180 o ) =... ( 180 o ) =... εϕ( ω) α. ημ ω β. συν ω γ. 180 o =... Γ. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα με τα κατάλληλα πρόσημα των τριγωνομετρικών αριθμών ανάλογα με το τεταρτημόριο στο οποίο καταλήγουν οι αντίστοιχες γωνίες. 1 0 τεταρτημόριο 0 τεταρτημόριο 3 0 τεταρτημόριο 4 0 τεταρτημόριο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ημω συνω εφω
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 3 Ο Να λυθούν οι εξισώσεις: α. 4x 7x+ 3 = 0 3x 1 5 + x β. = + x + 3 x ΘΕΜΑ 4 Ο Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Αν ΑΒΓ ένα τρίγωνο με ΒΓ=1cm και Μ, Ν τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, τότε ισχύει η ισότητα : α. ΜΝ=1cm β. ΜΝ=4cm γ. ΜΝ=6cm δ. ΜΝ=4cm Β. Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΔΕ//ΒΓ και ΑΔ=6cm, ΔΒ=cm, ΑΕ= 9cm και ΒΓ=0cm. α. Να υπολογίσετε το ΕΓ. Α β. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι όμοια. γ. Να υπολογίσετε το ΔΕ. 6 9 Δ Ε χ Β Γ 0 ΘΕΜΑ 5 Ο Τα ημερήσια κέρδη ενός ελεύθερου επαγγελματία κατά τη διάρκεια ενός μήνα φαίνονται στο διπλανό πίνακα. α. Να συμπληρώσετε τον πίνακα με τη στήλη των αθροιστικών συχνοτήτων Ν. β. Να συμπληρώσετε τον πίνακα με τη στήλη των σχετικών συχνοτήτων f %. γ. Να παρασταθεί η κατανομή συχνοτήτων με ραβδόγραμμα. _ δ. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή x της κατανομής. ε. Να βρείτε πόσες ημέρες ο επαγγελματίας έχει κέρδη μέχρι και 10 Κέρδος σε x Αριθμός ημερών ν (συχνότητα) 90 6 100 4 10 3 130 5 160 7 Σύνολο 5 ΑΠΟ ΤΑ ΔΥΟ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΘΕΙ ΜΟΝΟ ΤΟ ΕΝΑ ΚΑΙ ΑΠΟ ΤΑ ΤΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΘΟΥΝ ΜΟΝΟ ΤΑ ΔΥΟ
ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑÏΟΥ- ΙΟΥΝΙΟΥ ΤΑΞΗ Γ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1 η Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες : α) (α+β) = β) α -β = γ) Να αποδείξετε ότι : 3 3 3 ( α + β ) = α + 3 α β + 3 α β + β ΘΕΩΡΙΑ η α) Να διατυπώσετε το Θεώρημα του Θαλή. β) Τι γνωρίζετε για το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου; (να κάνετε σχήμα) ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να λύσετε και να επαληθεύσετε το σύστημα: { χ 5 ψ = 7 5 χ + 4ψ χ ψ = 1 3 5 ΑΣΚΗΣΗ η Να λύσετε την εξίσωση: x + 11 4 + x + 8 16 x = x 5 x 8 ΑΣΚΗΣΗ 3 η 0 0 Αν είναι 70 φ 360 και και την εφφ. 4 συνφ =, να υπολογίσετε το ημφ 5 (Απαντήστε σε ένα θέμα θεωρίας και σε δύο ασκήσεις) ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α.ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1o α)ποια ισότητα λέγεται ταυτότητα; β)να αποδείξετε την ταυτότητα:(α+β).(α-β)=α β ΘΕΜΑ o Μ(x,ψ) ψ Δίνεται η γωνία xom =ω του διπλανού σχήματος α)αν ΟΜ=ρ να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες με τις οποίες ορίζονται οι τριγωνομετρικοί της αριθμοί......... ημω=, συνω=, εφω=......... β)να αποδείξετε ότι: ημω εφω = συνω B.ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η α)να παραγοντοποιήσετε την παράσταση x x β) Να λύσετε την εξίσωση x x = 0 γ) Να λύσετε την εξίσωση x Ο ψ ω x x x = + x x 4 x ΑΣΚΗΣΗ η Σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων να τοποθετήσετε τα σημεία Α(5,0),Β(5,3) Γ(0,6),Δ(-3,3) και να σχεδιάσετε τις ευθείες ΑΒ,ΓΔ. α)να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΑΒ και να δικαιολογήσετε ότι η ευθεία αυτή δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης. β)να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΓΔ.
ΑΣΚΗΣΗ 3 η Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι ΑΒ=10cm,ΑΔ=8cm και η γωνία ΒΑΔ=10 ο. α) Να εξηγήσετε γιατί η γωνία ΑΒΓ =60 ο. Δ β)nα υπολογίσετε το μήκος της διαγωνίου ΑΓ. γ) Αν ΑΓ= 84 9, να υπολογίσετε το ημίτονο της γωνίας ΓΑΒ. Δίνονται:συν60 ο =0,5 και ημ60 ο 0,8. Γ Α ΟΔΗΓΙΑ: Εχετε στην διάθεση σας τετραγωνισμένο χαρτί για την η ΑΣΚΗΣΗ. Να απαντήσετε σε ένα από τα θέματα της θεωρίας και σε δύο από τα θέματα των ασκήσεων. Β
ΘΕΩΡΙΑ: ΘΕΜΑ 1 Ο α. Συμπληρώστε τις παρακάτω ταυτότητες: (α+β) =.. (α+β) ( α β ) = (α-β) 3 = β. Να συμπληρωθεί η ταυτότητα (α+β) 3 =.. και να αποδειχθεί η ταυτότητα (α+β) 3 ΘΕΜΑ Ο α. Να αποδείξετε ότι ημ ω + συν ω =1. ημω β. Να αποδείξετε ότι εφω= συνω ΑΣΚΗΣΕΙΣ: 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις : α) x - gx + 8 = 0 4 1 x β) = x + x x 4. Να λυθεί το σύστημα: x 1 y + = 3 6 ( x + ) 3( x + y) = 3 y 3. α) Να βρείτε σε ποια σημεία τέμνει τους άξονες xx και yy η ευθεία y=x+8 β) Δίνεται ότι η η ευθεία y=κx+5 διέρχεται από το σημείο Α(1,13). Να βρείτε την τιμή του κ.
Θ Ε Μ Α Τ Α Θ Ε Ω Ρ Ι Α Θ Ε Μ Α 1 0 α) Nα αποδειχθεί η ταυτότητα : (α-β) = α -αβ+β. β) Nα συμπληρωθουν οι ισοτητες 1) (α+β) = ) α - β = 3) (α-β) 3 =. Θ Ε Μ Α 0 α) Να αναφέρετε κριτήρια ισότητας τυχαίων τριγώνων. β) Να απαντήσετε με σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) στις πιο κάτω προτάσεις : Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα, όταν έχουν : (i) αντίστοιχες πλευρές ίσες. (ii) τις οξείες γωνίες τους ίσες. (iii) 1 πλευρά και 1 γωνία ίση. Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α 1 0 Δίνονται οι παραστάσεις : Θ Ε Μ Α 0 1 Αν συνω = - 13 Α = χ 4χ + 4, Β = χ χ, Γ = χ 1 α) Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις Α, Β, Γ. Α + Β β) Να απλοποιηθεί το κλάσμα :. Γ και 90 0 < ω <180 0, να υπολογισθούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί : ημω, εφω. Θ Ε Μ Α 3 0 Δίνεται το σύστημα : κ λ = κ + 3λ = -1 α) Να λυθεί το σύστημα αυτό. β) Να λυθεί η εξίσωση : χ κχ + λ = 0, όπου κ και λ είναι οι λύσεις του πιο πάνω συστήματος. ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΣΕ 1 ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. «ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ»
ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Γ ΘΕΩΡΙΑ 1. α) Να διατυπώσετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων και να εξηγήσετε με σχήμα. β) Σε ένα τρίγωνο, τι γνωρίζετε για το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών; Διατυπώστε το σχετικό θεώρημα και εξηγήστε με σχήμα.. α) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ταυτότητες: ( ) 3 =... α + β... α αβ + β =... β) Να συμπληρώσετε και να αποδείξετε τις ταυτότητες: ( α β ) ( α + β ) =... ( α + β ) =... ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση x 10x 8 = 0 με όποιον τρόπο επιθυμείτε. β) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες δεν ορίζεται η παρακάτω παράσταση, δικαιολογώντας την απάντησή σας. Α = α + 1 ( α + 1 14 ) ( α 5α ). Δίνονται ημ76 ο = 0,970 και εφ76 ο = 4,011. Να βρείτε: α) Πόσες μοίρες είναι η συμπληρωματική και η παραπληρωματική της γωνία, β) Το συνημίτονο των 76 ο, γ) Όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της συμπληρωματικής και της παραπληρωματικής της γωνίας. Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. 3. Να λύσετε το παρακάτω σύστημα με όποια μέθοδο επιθυμείτε και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το αποτέλεσμά σας (δηλ. ποια η σχετική θέση των δύο ευθειών). { 1 7 x + y = 1 8 x y = Όλα τα θέματα είναι ισοδύναμα. Να απαντήσετε σε 1 από τα θέματα θεωρίας και σε από τις 3 ασκήσεις. Η ΔΙΕΥΘΥΝΤΡΙΑ Η ΕΙΣΗΓΗΤΡΙΑ
ΘΕΜΑΤΑ Γραπτών απολυτηρίων εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης. Θεωρία 1 η. α) Να αποδείξετε ότι : (α-β) =α αβ+β και (α+β) 3 =α 3 + 3α β+3αβ +β 3. β)να αναπτύξετε τις ταυτότητες: (α+β), α -β, (α-β) 3. Θεωρία η. Να διατυπώσετε τα τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων. Άσκηση 1 η Δίνεται η παράσταση : Α=(χ-) (χ-3).(χ+3)+(χ+3).(χ-1)-χ.(χ+1) α) Να γίνουν οι πράξεις β)να λυθεί η εξίσωση Α=5 Άσκηση η.να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της παράστασης: Α= 3ημχ+συνχ+5. x y Άσκηση 3 η.να λυθεί το σύστημα: = 1 3-5χ+8y=4
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΩΡΙΑ 1 η α) Τι ονομάζουμε ταυτότητα; β) Να αποδείξετε την ταυτότητα (α+β) 3 =α 3 +3α β+3αβ +β 3. γ) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες: (α+β) = (α-β) = (α+β) (α-β) = (α-β) 3 = ΘΕΩΡΙΑ η α) Να αποδείξετε ότι ημ ω+συν ω=1. β) Να συμπληρώσετε τις ισότητες: ημ(90 ο -ω)= συν(90 ο -ω)= ημ(180 ο -ω)= συν(180 ο -ω)= εφ(180 ο -ω)= ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η α) Nα λυθεί η εξίσωση: x -5x+3=0 x 4 β) Nα λυθεί η εξίσωση: = x x x x ΑΣΚΗΣΗ η Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ φέρουμε την διχοτόμο Α και πάνω σε αυτή παίρνουμε τυχαίο σημείο Μ. Να αποδείξετε ότι : α) ΒΜ=ΓΜ β)γωνία ΒΜΑ=Γωνία ΓΜΑ γ)η Μ είναι διάμεσος του τριγώνου ΒΜΓ ΑΣΚΗΣΗ 3 η α) Να λυθεί το σύστημα: x+ψ=3 x -3xψ= β) Να βρείτε ποια λύση του συστήματος είναι σημείο της ευθείας x+ψ=9 Να απαντήσετε σε μια (1) θεωρία και δυο () ασκήσεις. Η ΔΙΕΥΘΥΝΤΡΙΑ Ο ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΡΟΣ Α: ΘΕΩΡΙΕΣ Θεωρία 1 η i) Να δώσετε τον ορισμό της ταυτότητας στα μαθηματικά α + β = α + αβ + ii) Να αποδείξετε ότι ( ) β (μονάδες 1) (μονάδες ) iii) Να αντιγράψετε συμπληρωμένες στην κόλλα εξετάσεων (χωρίς απόδειξη) τις ισότητες a) ( α β) =... b) ( α + β) 3 =... iv) Να υπολογίσετε την παράσταση ( x ψ) 3 = (μονάδες 1,66) (μονάδες ) Θεωρία η i) Να δώσετε τον ορισμό της ισότητας δύο τριγώνων ii) Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας των τριγώνων (μονάδες ) (μονάδες 4,66) Άσκηση 1 η Να λυθεί το σύστημα ψ x = 1 x + xψ ψ ΜΕΡΟΣ Β: ΑΣΚΗΣΕΙΣ = 1 (μονάδες 6,66) 1
Άσκηση η < x < 70 0 0 Αν 180 και A ημx 6συνx = εφx συνx 3 = να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Άσκηση 3 η i) Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις : A = x 4x + 3, B x 4x + 4 και ii) = Γ = x 4 1 Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ορίζεται η παράσταση απλοποιηθεί Δ Α Β Γ (μονάδες 6,66) (μονάδες 3,66) = και στη συνέχεια να (μονάδες 3) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Να επιλέξετε ένα (μόνο) θέμα από το ΜΕΡΟΣ Α: ΘΕΩΡΙΕΣ (από τις δύο που υπάρχουν στη σελίδα 1) και να επιλέξετε δύο (μόνο) θέματα από το ΜΕΡΟΣ Β: ΑΣΚΗΣΕΙΣ (από τις τρεις που υπάρχουν στη σελίδα ) Κ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α
Γραπτές απολυτήριες εξετάσεις στα Μαθηματικά περιόδου Μαΐου-Ιουνίου ΟΝΟΜ/ΜΟ Α.ΘΕΩΡΙΑ(Απαντήστε σε ένα από τα δύο θέματα) ΘΕΜΑ 1 ο ) α)να αποδείξετε την ταυτότητα (α+β) =α +αβ+β β)να συμπληρώσετε τις ισότητες: i)(α-β) = ii) (α+β) (α-β)= ΘΕΜΑ ο )Αν από το μέσο Μ της πλευράς ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε παράλληλη ΜΝ προς την πλευρά του ΒΓ να αποδείξετε ότι διέρχεται από το μέσο Ν της τρίτης πλευράς ΑΓ. Α Μ Ν Β Γ Β.ΑΣΚΗΣΕΙΣ (Απαντήστε σε δύο από τα τρία θέματα) ΘΕΜΑ 1 ο x x 4 4 x Να εξετάσετε αν έχουν τις ίδιες λύσεις οι εξισώσεις = και = x 4 4 x x ΘΕΜΑ ο Έστω η παράσταση Α=(x-1) + (x +1) - 3x -4 i )Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης Α για x=1 ii)να λυθεί η εξίσωση Α=0 ΘΕΜΑ3 ο Σε ένα σχολείο συμμετέχουν στην παρέλαση της 5 ης Μαρτίου 5 συνολικά μαθητές συντεταγμένοι σε δύο τμήματα, το ένα σε τετράδες και το άλλο σε τριάδες. Αν το σύνολο των σειρών είναι 15 να βρείτε πόσες τετράδες και πόσες τριάδες έχουμε.
ΘΕΜΑ 1 ο α) Τι ονομάζουμε ταυτότητα; ΘΕΩΡΙΑ β) Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α β =. (α +β) 3 =. γ) Να αποδείξετε ότι: (α β) = α αβ+β. ΘΕΜΑ ο α) Τι τιμές παίρνουν το ημίτονο και το συνημίτονο μιας γωνίας ω; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. β) Να συμπληρώσετε τις ισότητες: ημ(180 0 -ω)=, συν(180 0 -ω)=, και εφ(180 0 -ω)=. γ) Να αποδείξετε ότι: ημ ω + συν ω=1. ΑΣΚΗΣΗ 1 η ΑΣΚΗΣΕΙΣ α) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: x + 8 =... 16 x =... x 8 =... β) Να λύσετε την εξίσωση: x + 5 1 + x + 8 16 x = x 5 x 8 ΑΣΚΗΣΗ η Να λύσετε το σύστημα: x 1 y + 6 + = 3 3 3y + 16 x = 5 ΑΣΚΗΣΗ 3 η A Αν ΔΕ//ΒΓ, να υπολογίσετε το x, όταν ΑΔ=3cm, ΔΒ=cm, ΑΕ=x, ΕΓ=3cm. Ε B Γ Ο ιευθυντής Οι Εισηγητές