ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Γι ν μη μετινηθεί το σώμ χρειάζετι ν εφρμοστεί δύνμη B F F F F F5 Σ F F F 5 F F Β i Έχουμε διδοχιά: γ δ δ γ BA Άρ το τετράπευρο ΑΒΓΔ είνι πρηόγρμμο Α Β a Δ Γ Ο ii Έχουμε διδοχιά: γ δ A B A B Άρ το τετράπευρο ΑΒΓΔ έχει ίσες διγώνιες iii Από τ ερωτήμτ i ι ii προύπτει ότι το τετράπευρο ΑΒΓΔ είνι πρηόγρμμο με ίσες διγώνιες άρ είνι ορθογώνιο
8 i ii γ iii ζ ε δ γ Έχουμε διδοχιά: AB A A AE AB A AE A E B Άρ το τετράπευρο ΒΔΓΕ είνι πρηόγρμμο 5 Έχουμε: AB OBOA O O OBOAO O OB OAO O OBO 6 Έστω Ο το έντρο του εξγώνου Γνωρίζουμε ότι οι πευρές του νονιού εξγώνου είνι ίσες με την τίν του Επομένως AB B OA OB O O ι άρ τ τετράπευρ ΟΑΒΓ ι ΟΒΓΔ είνι ρόμοι Έτσι έχουμε Ζ Α Ο a Β Γ O O B AB Ε Δ 7 Αν Ο είνι έν σημείο νφοράς έχουμε: P P P P P5 P P6 P5 P P6 P P OP OP OP OP OP5 OP OP6 OP OP OP5 OP OP6
9 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ Α ΟΜΑΔΑΣ Το διάνυσμ είνι γινόμενο του θετιού ριθμού με το επομένως είνι ομόρροπο με το ι έχει μέτρο ίσο με i Έχουμε διδοχιά: ii Έχουμε διδοχιά: 7 7 Έχουμε διδοχιά: BM M AM A AB AM γ γ γ γ
i Προφνώς είνι B Έχουμε διδοχιά: E EBB EB EBB B EB EB B Άρ EB Έχουμε: BB Έχουμε διδοχιά: E EB AE A AB AE A AB AE AE Έχουμε διδοχιά: AE AB A AE AE E EB E B E E B E E B E E E E
ii Έχουμε E ι AE επομένως E AE ι άρ τ ΑΕ ι Γ είνι συνευθειά 5 Έχουμε A ι E Επομένως E A ι άρ τ ΑΓ ι Ε είνι συνευθειά 6 Με σημείο νφοράς έν πό τ Κ Λ Μ γι πράδειγμ το Κ η ισότητ γράφετι διδοχιά: KAKB KA KB K KB KM KA KAKBKAKB K KBKM KA K KM Άρ τ Κ Λ Μ είνι συνευθειά 7 Έχουμε AB BA A A B B A BEZ AB A B BA AB 8 Έχουμε OA OB O O OM OBO O OAOAOB OK OAOBO 9 Έχουμε AB AB AB A B N AN AN N NA N
NM MN Έχουμε AB BA μ AB AB μ AB Ώστε AB μ AB ι επομένως μ Έχουμε E AE A AB A AB A AB A AB A B Άρ E// B B Β ΟΜΑΔΑΣ i Έχουμε y y y Αν υποθέσουμε ότι τότε θ είνι οπότε θ έχουμε // που είνι άτοπο Επομένως οπότε y ι άρ y ii Έχουμε y y y y Επομένως σύμφων με το προηγούμενο ερώτημ ι y y οπότε ι y y
iii Τ ι είνι συγγρμμιά ν ι μόνο ν δηδή ή ισοδύνμ Σύμφων όμως με το i ερώτημ υτό συμίνει ν ι μόνο ν ι δηδή / ι Έχουμε EZ AZ AE AB A Επειδή έχουμε Πρτηρούμε ότι συνευθειά E A AE AB A A AB A AB EZ επομένως A ι E EZ Άρ E AB A E // EZ οπότε τ Ε Γ Ζ είνι Έστω KA y KB z K ι y z Τότε έχουμε AK y BK z K y z K A y B z A y B z Ομοίως ποδεινύετι ι ότι: ν τότε KA y KB z K A y B z ι y z Έστω KA y KB z K ι A y B z Τότε έχουμε KA y KB z K A y B z KAA y KBB z K K y K z K y z K ι επειδή K έχουμε y z
Έχουμε άρ Έχουμε MA MB OA OM OB OM OA OM OBOM OA OB OM OAOB OM r MA MB ι ομοίως ρίσουμε ότι r G 5 Αρεί ν δείξουμε ότι G// Αν Ο είνι έν σημείο νφοράς τότε έχουμε: G OGO OAOBO O G OG O O OEOZ O OKO O O OM O O OK O OM O OK O OM O OG O G Α Σ Ζ B M G G K Λ E Γ Δ Επομένως G // G ι άρ τ Σ G ι G είνι συνευθειά
6 Αν πάρουμε ως σημείο νφοράς μι ορυφή του τετρπεύρου γι πράδειγμ την Α τότε έχουμε: 5 MN A B AN AM A A AB AB A A A A AB Α Ν Μ Β AB A A A A AB AB A A AB A AB B A B Άρ το ΑΒΓΔ είνι πρηόγρμμο Δ Γ 7 Αν Ο είνι έν σημείο νφοράς τότε έχουμε: AA BB OAOAOBOBO O OA OB O OAOBO OGOG GOG GG O 8 Με σημείο νφοράς το Α έχουμε: 5 5 MA MB M AM AB AM A AM 5 5 AM AM AM AB A A 5 AB που είνι στθερό διάνυσμ 9 Έχουμε ι r OB BE y AB y r O E 5 5 5 Επομένως y 5 5 y y 55
6 Επειδή τ δινύσμτ ι δεν είνι συγγρμμιά η τεευτί ισότητ ηθεύει μόνο ν y ι y 55 Έτσι έχουμε το σύστημ y πό το οποίο ρίσουμε ι y 5 y 55 Επομένως r 5 δηδή r 5 6 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Α ΟΜΑΔΑΣ y i ή - O y ii - O y i y y ή y O - y y=- y= i y y ή y O
Η πόστση ενός σημείου K μ ν πό τους άξονες ι ι μ ντιστοίχως Έτσι έχουμε: Γι το Α : ι Γι το Β : ι Γι το Γ : 6 ι 5 Γι το Δ : ι Γι το Μ : y ι y ν O μ 7 y y είνι ν μ Kμν i Γι ν είνι ρεί ι οπότε ii Γι ν είνι ι // ρεί ι οπότε Γι ν είνι ρεί ν είνι 5 6 ι 7 Έτσι έχουμε το σύστημ οπότε 5 5 Έχουμε // ή Γι είνι ι δηδή Γι είνι ι δηδή Άρ η ζητούμενη τιμή του είνι η 6 Έν διάνυσμ συγγρμμιό με το θ έχει τη μορφή ι φού θ έχει ι διπάσιο μέτρο πρέπει Επομένως Άρ οπότε Άρ το ζητούμενο διάνυσμ είνι ή το 68 ή το -6-8 7 O i OH i j O i j OE i j OZ j OK i j
8 i j KA i j ZA i j KZ i j H i K i j H i 8 i Έστω M το σημείο του άξον που ισπέχει πό τ σημεί Α ι Β Τότε έχουμε: MA MB MA MB MA MB MA MB 6 9 68 Άρ το ζητούμενο σημείο είνι το M ii Έστω N y το σημείο του άξον y y που ισπέχει πό τ Α ι Β Με νάογο τρόπο όπως στο i ρίσουμε y ι άρ το ζητούμενο σημείο είνι το N Β ΟΜΑΔΑΣ Αν A y B y y y ι E 5 y5 είνι οι ορυφές του πεντγώνου τότε έχουμε τ συστήμτ y y 5 6 y y 7 : 8 ι : y y 5 6 5 y y5 5 y5 y Με πρόσθεση των εξισώσεων του τά μέη ρίσουμε 5 Όμως 6 ι 6 επομένως άρ ι 5 διδοχιά ρίσουμε 5 Με νάογο τρόπο επιύουμε το σύστημ ι ρίσουμε y y y y y 5 Επομένως οι ορυφές του πεντγώνου είνι τ σημεί A B ι E
Αν A y ι B y είνι τ σημεί τότε τ ι είνι οι ρίζες της εξίσωσης 7 Η τετμημένη του μέσου του τμήμτος ΑΒ είνι ίση με 5 ι άρ 5 ή ι 9 επομένως Τ σημεί M M M ι M είνι μέσ διδοχιών πευρών τετρπεύρου όχι τνάγη υρτού ν ι μόνο ν Πράγμτι Αν τ M M M M είνι μέσ διδοχιών πευρών τετρπεύρου τότε το M M θ είνι πρηόγρμμο M M M οπότε θ ισχύει M M M Αντιστρόφως ν M M M M τότε M M M M τ M M M M θ είνι μέσ διδοχιών πευρών τετρπεύρου Γ Πράγμτι έστω Α έν σημείο ετός της ευθείς M M Β το συμμετριό του Α ως προς το M Γ το συμμετριό του Β ως προς το M ι Δ το συμμετριό του Γ ως προς το M Αν δείξουμε ότι το M είνι το μέσο του ΔΑ τότε το ζητούμενο τετράπευρο θ είνι το ΑΒΓΔ Ας υποθέσουμε ότι M είνι το μέσο της πευράς ΑΔ Τότε όπως είδμε πριν θ ισχύει M M M M θ συμπίπτουν Έχουμε τώρ: οπότε θ έχουμε M M M M M M M ι άρ τ M ι M M Επομένως ζητούμενη συνθήη είνι: ι ι Δ M M Α M B M Θεωρούμε τ σημεί A B ι y Από την τριγωνιή νισότητ έχουμε:
A B AB y y 5 Σχεδιάζουμε τ ι r με οινή ρχή Ο ι έστω OA OB ι OP r A Από το πέρς Ρ του r φέρνουμε πράηες προς Δ P τους φορείς των OA ι OB ι r σχημτίζουμε το πρηόγρμμο ΟΓΡΔ Θ είνι O OA O Γ Β ι O y OB y όπου yr Από τον νόν του πρηόγρμμου έχουμε OP OO δηδή r y που είνι ι η ζητούμενη έφρση Θ ποδείξουμε ότι οι ριθμοί ι y είνι μονδιοί Έστω ότι ισχύει ι r y Τότε έχουμε διδοχιά: y y y y y y Αν ήτν δηδή τότε που σημίνει ότι // που είνι άτοπο Επομένως οπότε ι y y Άρ το r εφράζετι τά μονδιό τρόπο ως γρμμιός συνδυσμός των ι 5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Α ΟΜΑΔΑΣ i Έχουμε 55 6 678 69 5 5
ii Έχουμε 5 5 Τ δινύσμτ είνι άθετ στο ι μετξύ τους συγγρμμιά Έχουμε 6 6 56 6 7 7 7 w w 5 5 w 8 6 8 8 8 w w w 5 5 w w i Πρέπει Έχουμε Επομένως ii Ομοίως Έστω y το διάνυσμ που ζητάμε Τότε θ ισχύει: y y Από τη ύση του συστήμτος ρίσουμε y ή y 5 Έχουμε 6 9 6 6 i Έχουμε ii Έχουμε
συν π 5 6 8 5 Υψώνουμε τ μέη της τεευτίς εξίσωσης στο τετράγωνο ι ρίσουμε 7 8 7 ι έχουμε 7 / ή 7 Από τις τιμές υτές του μόνο η 7 / επηθεύει την εξίσωση Άρ 7 / iii // 7 Αν φ είνι η γωνί των δινυσμάτων ι τότε συν φ Όμως είνι 6 6 6 6 οπότε οπότε Επομένως συν φ άρ π φ 8 Έχουμε συν συν 9 Έχουμε
Έχουμε i Έχουμε Επομένως AB 6 ι 5 AB 66 ii Επειδή AB τ δινύσμτ AB ι είνι άθετ Έστω p όπου p Έχουμε διδοχιά p 8 5 6 6 9 5 9 Επομένως p 5 Τειά 9 9 p 85 5 5 5 5 9 5 5 5 Η μι διγώνιος του πρηόγρμμου θ έχει μήος ίσο με 5 ι η άη ίσο με 5 Έχουμε 5 6 οπότε 6 6 6 6 συν5 68 9 8879 5 οπότε 6 5 Ομοίως ρίσουμε ότι 5 5 59
Έχουμε A AB A AB AB A AB 5 5 Προ AB A A τρόπος: 5 5 A AB AB A AB 5 i συν συν ii συν συν Β ΟΜΑΔΑΣ Έχουμε μ μ μ που ισχύει Το " " ισχύει ν ι μόνο ν μ ή ισοδύνμ μ Αν τότε μ οπότε // που είνι άτοπο
5 Επομένως οπότε μ ι άρ μ Άρ το " " ισχύει ν ι μόνο ν μ i Έχουμε ii Έχουμε i Αν ω είνι η γωνί των ι ι το σχημτίζει με το γωνί φ ι με το γωνί φ τότε έχουμε: ω φ συν συν συν συν ω φ συν συν ω φ Ομοίως έχουμε: συν συν ω φ συν συν ω φ συν συν ω φ Από τις ι έχουμε συν συν φ φ άρ φ φ ii
6 Επομένως ι επειδή ο φορές των διχοτομεί τη γωνί των ι ο φορές των διχοτομεί την πρπηρωμτιή γωνί των ι Έχουμε διδοχιά: γ γ γ 9 Αν εργστούμε νόγως ρίσουμε ότι: γ ι γ 6 Έτσι όγω των ι έχουμε γ γ 65 5 τρόπος: Επειδή έχουμε οπότε μ ν Επειδή τ μέτρ των ι είνι ίσ με τη μονάδ έχουμε ι μ ν Ισχύει όμως η τυτότητ: μ ν μ ν ν μ η οποί όγω των ι γίνετι ν μ ν μ τρόπος: Έχουμε [ ] συν ν μ ν μ όπου ω είνι η γωνί των δινυσμάτων ι ν μ ν μ ω συν ω
7 Όμως τ δινύσμτ ι ν μ είνι πράη φού μ ν Επομένως θ είνι συν ω ι έτσι θ έχουμε ν μ ν μ 6 Θεωρούμε τ δινύσμτ γ δ Έχουμε συν γ δ συν ι γ δ Επομένως συν γ δ γ δ γ δ έχουμε γ δ ι επειδή -συν 7 i Έχουμε ii Έχουμε MA OA OM ι Αφού έχουμε Γεωμετριά υτό σημίνει ότι η γωνί η εγγεγρμμένη σε ημιύιο είνι ορθή 8 i AB HB HA γ ι γ ii Έχουμε γ γ γ που ισχύει φού Επίσης γ γ που επίσης ισχύει φού iii Η ισότητ γ γράφετι διδοχιά: γ γ
8 Επομένως Αποδείξμε οιπόν ότι: οι φορείς των υψών ενός τριγώνου διέρχοντι πό το ίδιο σημείο Το σημείο υτό έγετι ορθόεντρο 9 Έχουμε γ ι γ Επομένως γ γ γ γ γ γ γ γ γ συν ZA συν γ συν π συν συν συν Άρ Αν φέρουμε τη διάμετρο τότε οι γωνίες B είνι ορθές Επομένως A BΠρο ι ρο οπότε Προ Προ Προ Προ Αν είνι το ντιδιμετριό του Β τότε 9 ι επομένως Προ Είνι Α B B O B Α Δ Γ Α ρ O Μ Δ B Γ
9 MA MBMBMAMBMB OBOM OBOM OBOM OB OM Μ Α OBOM OM OB B O B OM OB που είνι στθερό ρ OM ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Γι ν είνι τ τρί σημεί Α Β ι Γ συνευθειά ρεί ν ποδείξουμε ότι τ δινύσμτ AB ι A είνι συγγρμμιά Από τη σχέση μ προύπτει ότι ένς τουάχιστον πό τους μ γι πράδειγμ ο είνι διάφορος του μηδενός Έχουμε διδοχιά: μ A μ μ μ μ Επομένως τ δινύσμτ ι σημεί Α Β ι Γ είνι συνευθειά μ μ είνι συγγρμμιά ι άρ τ Αντιστρόφως Αν τ σημεί Α Β ι Γ είνι συνευθειά τότε υπάρχει πργμτιός ριθμός ρ τέτοιος ώστε ρ Επομένως ρ
ρ ρ ρ ρ Η τεευτί σχέση ν θέσουμε ρ ι ρ μ γράφετι μ με μ ρ ρ ι με ένν τουάχιστον πό τους ι μ διάφορο του μηδενός εδώ Αρεί ν ποδείξουμε ότι Έχουμε Ώστε μ μ μ μ μ μ ή ισοδύνμ μ μ Επειδή όμως τ δινύσμτ ι δεν είνι συγγρμμιά η τεευτί ισότητ ισχύει μόνο ότν μ ι μ επομένως μ Άρ που σημίνει ότι το Μ είνι το μέσον της πευράς ΒΓ Με σημείο νφοράς το Α η δοθείσ σχέση γράφετι διδοχιά: 7 7 7 7 7
97 Από την τεευτί ισότητ προύπτει ότι το Μ πέχει πό το στθερό σημείο Α στθερή πόστση ίση με Άρ το Μ ινείτι σε ύο με έντρο το Α ι τίν ρ τρόπος: Το εμδόν του πρηόγρμμου ΟΑΓΒ είνι ίσο με υ δηδή ίσο με ημω όπου ω η γωνί των δινυσμάτων ι Αρεί οιπόν ν ποδείξουμε ότι ημω ημω Ο ω Β υ a Α Γ Από τη δοθείσ σχέση έχουμε: Η τεευτί εξίσωση είνι ου θμού ως προς ι σύμφων με την εφώνηση έχει ύση Άρ η διρίνουσ Δ της εξίσωσης υτής είνι μεγύτερη ή ίση του μηδενός Δηδή έχουμε συν ω συν ω ημ ω ημ ω ημω φού ημω
τρόπος Το εμδόν του πρηογράμμου ΟΑΓΒ είνι ίσο με Σ Όμως είνι ι Επομένως όγω της ισότητς έχουμε Β Ο a Α Γ Δ 5 i Γι ν είνι το Η το ορθόεντρο του τριγώνου ρεί ν δείξουμε ότι Α ι Έχουμε: γ γ γ γ γ B Η G O Γ Ομοίως δείχνουμε ι ότι ι ii Γι το ρύεντρο G γνωρίζουμε ότι GA GB G Επομένως OAOGOBOGO OG OG OAOBO OG γ iii Έχουμε γ ι G γ Επομένως G OH OG OG GH OG OG GH που σημίνει ότι τ O G ι Η είνι συνευθειά σημεί ι ότι το G διιρεί το τμήμ ΟΗ σε όγο /
6 i Επειδή γ έχουμε γ γ γ γ ii Επειδή διιρούμε τ μέη της με ι πίρνουμε γ γ Έτσι πό τη δοθείσ σχέση έχουμε γ οπότε γ είνι γ 7 i Έχουμε EK EB E ι E EA E Γι τη δινυσμτιή τίν του σημείου Μ έχουμε: EM EZ E Z φού Z// A ι EM EZ EB BZ y φού BZ // B Επομένως y y y Επειδή τ ι δεν είνι συγγρμμιά γι ν ηθεύει η τεευτί ισότητ πρέπει y ι y Από τη ύση του συστήμτος των δύο υτών εξισώσεων προύπτει ότι ι EM ii Από το προηγούμενο ερώτημ έχουμε y Επομένως
ή ι ή K E EK K KM EM EK KM Επομένως KM K συνευθειά που σημίνει ότι τ σημεί Κ Λ ι Μ είνι 8 Σύμφων με την άσηση της Β ομάδς στη σείδ 8 ν γ είνι οι Δ δινυσμτιές τίνες των ορυφών Α Β ι Γ ντιστοίχως του AB ι δ ε ζ είνι οι δινυσμτιές τίνες των ορυφών Δ Ε ι Ζ ντιστοίχως του Δ ως προς την ίδι ρχή Ο τότε έχουμε: ν μγ δ μν νγ μ ε μν ι ν μ ζ μν Το έντρο άρους G του Δ AB έχει δινυσμτιή τίν την OG γ Επίσης το έντρο άρους G του τριγώνου G Επομένως OG O ν μγ νγ μ ν μ OG μν μν μν μν γ γ μν Δ έχει δινυσμτιή τίν που σημίνει ότι τ G ι G συμπίπτουν