3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής

Transcript

1 6 3. Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ορισμός Υπερολής Έστω E κι Ε δύο σημεί ενός επιπέδου. Ονομάζετι υπερολή με εστίες τ σημεί E κι Ε ο εωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων πό τ E κι Ε είνι στθερή κι μικρότερη του EE. Την πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων κάθε σημείου της υπερολής πό τις εστίες την πριστάνουμε συνήθως με, ενώ την πόστση των εστιών με. Η πόστση E E ονομάζετι εστική πόστση της υπερολής. Σύμφων με τον ορισμό υτό: Έν σημείο Μ είνι σημείο της υπερολής, ν κι μόνο ν M E ME. Ισχύει ME ME < E E δηλδή <, οπότε <. Γι ν ρούμε σημεί της υπερολής C, ερζόμστε ως εξής: Πίρνουμε έν ευθύρμμο τμήμ ΚΛ μήκους κι έν οποιοδήποτε σημείο Σ της ημιευθείς ΚΛ εκτός του ευθύρμμου τμήμτος ΚΛ. Με κέντρ E κι Ε κι κτίνες ρ ΚΣ κι ρ Λ Σ, ντιστοίχως, ράφουμε κύκλους οι οποίοι τέμνοντι στ σημεί Μ κι M. Τ σημεί Μ κι M είνι σημεί της υπερολής, ιτί ισχύει ME ME ΚΣ ΛΣ ΚΛ. Με τον τρόπο υτό μπορούμε ν κτσκευάσουμε οσδήποτε σημεί της υπερολής. Ε Ε Ε MΕ ME a ρ 678 Κ Λ { Σ ρ Ε M Ε M Μ Ε

2 7 Εξίσωση Υπερολής Έστω C μι υπερολή με εστίες E κι Ε. Θ ρούμε την εξίσωση της C ως προς σύστημ συντετμένων O με άξον των την ευθεί E E κι άξον των τη μεσοκάθετη του E E. Ε,0 Α Α Ο Ε -,0 Μ, Αν είνι έν σημείο της υπερολής C, τότε θ ισχύει M,, ME E M Επειδή E E, οι εστίες E κι Ε θ έχουν συντετμένες κι ντιστοίχως. Επομένως,,0 0, E M κι ME Έτσι η σχέση ράφετι πό την οποί έχουμε διδοχικά: ] [ ] ] [ [. Επειδή, είνι 0, οπότε, ν θέσουμε > >, η εξίσωση πίρνει τη μορφή

3 8. Αποδεικνύετι κι το ντίστροφο, δηλδή ότι κάθε σημείο M, του οποίου οι συντετμένες επληθεύουν την εξίσωση είνι σημείο της υπερολής C. Επομένως, η εξίσωση της υπερολής C με εστίες τ σημεί E,0, E,0, κι στθερή διφορά είνι, όπου Γι πράδειμ, η εξίσωση της υπερολής με εστίες τ σημεί E3,0 κι στθερή διφορά είνι E 3, Αν τώρ πάρουμε σύστημ συντετμένων O με άξον των την ευθεί E E κι άξον των τη μεσοκάθετο του E E κι ερστούμε E0, όπως πριν, θ ρούμε ότι η εξίσωση της υπερολής C είνι: Α, όπου. Ο Α Ε 0,- Γι πράδειμ, η εξίσωση της υπερολής με εστίες τ σημεί E0,3 κι στθερή διφορά, είνι E 0, 3 5, φού 3 5. Τέλος, ν είνι, τότε η υπερολή λέετι ισοσκελής κι η εξίσωσή της ράφετι: a.

4 9 Ιδιότητες Υπερολής Έστω μι υπερολή C, η οποί ως προς έν σύστημ συντετμένων εξίσωση, όπου. O έχει Αν M, είνι έν σημείο της υπερολής C, τότε κι τ σημεί M,, M3, κι M, νήκουν στην C, φού οι συντετμένες τους επληθεύουν την εξίσωσή της. Αυτό M 3 M σημίνει ότι η υπερολή C έχει τους άξονες κι άξονες συμμετρίς κι την O ρχή των ξόνων κέντρο συμμετρίς. Επομένως, η ευθεί που ενώνει τις εστίες M M E, E της υπερολής κι η μεσοκάθετη του -a a E E είνι άξονες συμμετρίς της υπερολής, ενώ το μέσο Ο του E E είνι κέντρο συμμετρίς της. Το σημείο Ο λέετι κέντρο της υπερολής. Από την εξίσωση της υπερολής ι 0 ρίσκουμε ±. Συνεπώς, η υπερολή τέμνει τον άξον στ σημεί A, 0, κι A, 0. Τ σημεί υτά λέοντι κορυφές της υπερολής. Από την ίδι εξίσωση ι 0 προκύπτει η εξίσωση, η οποί είνι δύντη στο R. Επομένως, η υπερολή C δεν τέμνει τον άξον. Τέλος, πό την εξίσωση της υπερολής, έχουμε οπότε κι άρ, 0 ή. Επομένως, τ σημεί της υπερολής C ρίσκοντι έξω πό την τινί των ευθειών κι, πράμ που σημίνει ότι η υπερολή ποτελείτι πό δύο χωριστούς κλάδους.

5 0 Ασύμπτωτες Υπερολής Έστω μι υπερολή C με εξίσωση ε: λ O κι μι ευθεί ε με εξίσωση λ, a a δηλδή μι ευθεί που περνάει πό την ρχή των ξόνων. Η ευθεί ε έχει με την υπερολή C κοινά σημεί, ν κι μόνο ν το σύστημ κι λ έχει λύση. Η πρώτη εξίσωση του συστήμτος, λόω της δεύτερης, ράφετι διδοχικά λ λ λ. Έτσι το σύστημ έχει λύση, ν κι μόνο ν η έχει λύση, δηλδή ν κι μόνο ν λ > 0 ή, ισοδύνμ, ν κι μόνο ν Επομένως, η ευθεί λ λ <. 3 έχει με την υπερολή κοινά σημεί, κι μάλιστ δύο, μόνο ότν λ <. Άρ, όλ τ σημεί της υπερολής C θ περιέχοντι στις ωνίες των ευθειών κι,

6 στις οποίες ρίσκετι ο άξονς. Ας θεωρήσουμε τώρ έν σημείο M, της υπερολής με > 0 κι > 0. Αποδεικνύετι ότι ότν το υξάνει περιόριστ, η πόστση ΜΡ του Μ πό την ευθεί τείνει O P Μ προς το μηδέν. Έτσι, το άνω τετρτημόριο του δεξιού κλάδου της υπερολής πλησιάζει όλο κι a a περισσότερο την ευθεί, χωρίς ποτέ ν συμπέσει με υτή. Γι υτό την ευθεί τη λέμε σύμπτωτο του δεξιού κλάδου της υπερολής. Λόω συμμετρίς της υπερολής ως προς τον άξον, ο δεξιός κλάδος της θ έχει σύμπτωτο κι την ευθεί, οπότε, λόω συμμετρίς της υπερολής κι ως προς τον άξον, ο ριστερός κλάδος της θ έχει σύμπτωτες τις ίδιες ευθείες. Άρ, οι σύμπτωτες της υπερολής, είνι οι ευθείες Είνι φνερό ότι οι σύμπτωτες της υπερολής είνι οι διώνιες του ορθοώνιου ΚΛΜΝ με κορυφές τ σημεί K,, Λ,, M, κι N,. Το ορθοώνιο υτό λέετι ορθοώνιο άσης της υπερολής. Γι πράδειμ, οι σύμπτωτες της υπερολής κι. είνι οι ευθείες

7 a a Αν η υπερολή C έχει εξίσωση, τότε οι σύμπτωτες της είνι ευθείες: κι. Ν Κ Α Α Ο Μ Λ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Ένς μνημονικός κνόνς ι ν ρίσκουμε κάθε φορά τις σύμπτωτες μις υπερολής είνι ο εξής: Προντοποιούμε το πρώτο μέλος της εξίσωσης της υπερολής κι εξισώνουμε κάθε πράοντ με μηδέν. Γι πράδειμ, έστω η υπερολή. Επειδή. οι σύμπτωτες της υπερολής είνι οι ευθείες 0 κι 0, δηλδή οι κι. Εκκεντρότητ Υπερολής Όπως στην έλλειψη έτσι κι στην υπερολή μί πράμετρος που κθορίζει το σχήμ της είνι η εκκεντρότητ. Ονομάζουμε εκκεντρότητ της υπερολής, κι τη συμολίζουμε με ε, το λόο ε >. Επειδή, είνι ε, οπότε ε κι άρ, ε.

8 3 Επομένως, η εκκεντρότητ ε προσδιορίζει το συντελεστή διεύθυνσης της συμπτώτου της, δηλδή χρκτηρίζει το ορθοώνιο άσης, άρ τη μορφή της ίδις της υπερολής. Όσο η εκκεντρότητ μικρίνει κι τείνει ν ίνει ίση με, ο λόος, άρ κι το, μικρίνει κι τείνει ν ίνει ίσο με 0. Κτά συνέπει, όσο πιο μικρή είνι η εκκεντρότητ της υπερολής τόσο πιο επίμηκες είνι το ορθοώνιο άσης κι κτά συνέπει τόσο πιο κλειστή είνι η υπερολή. Στην περίπτωση της ισοσκελούς υπερολής είνι, οπότε ε. A Ο A Εφπτομένη Υπερολής Έστω μι υπερολή με εξίσωση ζ ε Μ, κι έν σημείο M, υτής. Η εφπτομένη της υπερολής στο O σημείο M, ορίζετι με τρόπο νάλοο προς εκείνο με τον οποίο ορίστηκε η εφπτομένη της έλλειψης κι ποδεικνύετι ότι έχει εξίσωση Έτσι, ι πράδειμ, η εφπτομένη της υπερολής στο σημείο M, 3 έχει εξίσωση 3, η οποί ράφετι ισοδύνμ Αν μι υπερολή έχει εξίσωση,

9 τότε η εφπτομένη της στο σημείο M, θ έχει εξίσωση. Όπως η έλλειψη έτσι κι η υπερολή έχει νάλοη νκλστική ιδιότητ. Συκεκριμέν: Η εφπτομένη μις υπερολής σε έν σημείο της Μ διχοτομεί τη ωνί E ME, όπου E, E οι εστίες της υπερολής. ω M ω ω Ε Ο Ε E Ε C C Επομένως, μι φωτεινή κτίν, κτευθυνόμενη προς τη μί εστί της υπερολής, ότν νκλάτι στην επιφάνει υτής, διέρχετι πό την άλλη εστί, όπως φίνετι στο σχήμ. Η ιδιότητ υτή της υπερολής σε συνδυσμό με τις ντίστοιχες ιδιότητες των άλλων κωνικών τομών ρίσκει εφρμοή στην κτσκευή των νκλστικών τηλεσκοπίων, κθώς κι στη νυσιπλοΐ ι τον προσδιορισμό του στίμτος των πλοίων. ΕΦΑΡΜΟΓΗ Ν ποδειχτεί ότι το ινόμενο των ποστάσεων ενός σημείου υπερολής πό τις σύμπτωτες είνι στθερό. M, της

10 5 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω M, έν σημείο της υπερολής. Τότε θ ισχύει ισοδύνμ, ή,. Οι σύμπτωτες κι ε της υπερολής έχουν εξισώσεις ισοδύνμ ε κι, ή 0 κι 0 ντιστοίχως. Επομένως, το ινόμενο των ποστάσεων του M πό τις ε, ε είνι ίσο με d M, ε d M, ε, που είνι στθερό. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Ν ρείτε την εξίσωση της υπερολής σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: i Ότν έχει εστίες τ σημεί Ε 3,0, Ε 3,0 κι κορυφές τ σημεί Α 5,0 κι Α 5,0 5 ii Ότν έχει εστίες τ σημεί Ε 0, 0, Ε 0,0 κι εκκεντρότητ 3 iii Ότν έχει εστίες τ σημεί Ε 5,0, Ε 5,0 κι διέρχετι πό το σημείο M,

11 6 iv Ότν έχει σύμπτωτες τις ευθείες σημείο M 3,. κι κι διέρχετι πό το 3 3. Ν ρείτε τις εστίες, την εκκεντρότητ κι τις σύμπτωτες της υπερολής: i 9 6, ii, iii Ν ρείτε την εκκεντρότητ της υπερολής, της οποίς η σύμπτωτη 0 σχημτίζει με τον άξον ωνί 30.. Αν η εφπτομένη της υπερολής στην κορυφή Α,0 τέμνει την σύμπτωτη στο σημείο Γ, ν ποδείξετε ότι ΟΕ ΟΓ. 5. Έστω η υπερολή C :, ε η εφπτομένη της σε έν σημείο Μ, κι ζ η κάθετη της ε στο M. Αν η ε διέρχετι πό το σημείο M 0, κι η ζ διέρχετι πό το σημείο M 3,0, ν ποδείξετε ότι η εκκεντρότητ της υπερολής είνι ίση με. 6. Ν ποδείξετε ότι κάθε ευθεί που είνι πράλληλη προς μι πό τις σύμπτωτες της υπερολής τέμνει την υπερολή σε έν μόνο σημείο. Ποιο είνι το σημείο τομής της ευθείς κι της υπερολής ; 7. Ν ρείτε τις εξισώσεις των εφπτομένων της υπερολής οι οποίες: i είνι πράλληλες προς την ευθεί ii είνι κάθετες στην ευθεί 3 iii διέρχοντι πό το σημείο M 3,0

12 7 Β ΟΜΑΔΑΣ. Αν Ε είνι η προολή της εστίς Ε της υπερολής σύμπτωτη, ν ποδείξετε ότι i OE, ii EE. πάνω στην. Έστω ε κι ε οι εφπτόμενες της υπερολής στις κορυφές της Α κι Α. Αν Γ κι Γ είνι τ σημεί στ οποί μι τρίτη εφπτομένη της υπερολής τέμνει τις ε κι ε, ντιστοίχως, ν ποδείξετε ότι i ΑΓ Α Γ κι iii ο κύκλος με διάμετρο το Γ Γ διέρχετι πό τις εστίες της υπερολής. 3. Έστω Μ, κι Μ, δύο σημεί του δεξιού κλάδου της υπερολής. Αν η ευθεί Μ Μ τέμνει τις σύμπτωτες στ σημεί κι Μ,, ν ποδείξετε ότι Μ Μ Μ. 3 Μ Μ 3 3, 3. Από έν σημείο Μ, της υπερολής φέρνουμε πράλληλες προς τις σύμπτωτες. Ν ποδείξετε ότι το εμδόν του σχημτιζόμενου πρλληλόρμμου είνι στθερό. 5. Ν ποδείξετε ότι το συνημίτονο μις πό τις ωνίες των συμπτώτων της ε υπερολής δίνετι πό τον τύπο συνφ. ε 6. Έστω οι υπερολές C : κι C :, ρ ρ>. Αν Α, Α κι Α,Α είνι οι κορυφές των C κι C ντιστοίχως, ν ποδείξετε ότι πό το Α δεν άοντι εφπτόμενες στη C, ενώ πό το Α άοντι εφπτόμενες της. C