Θεωρία 1 Αποδείξτε ότι η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α+βi και γ+δi είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους.

Transcript

1 Θεωρί - Αποδείξεις Θεωρί Αποδείξτε ότι η δινσμτική κτίν το θροίσμτος των μιδικών κι δ είνι το άθροισμ των δινσμτικών κτίνων τος. Αν Μ κι Μ δ είνι οι εικόνες των κι δ ντιστοίχως στο μιδικό επίπεδο τότε το άθροισμ δδ πριστάνετι με το σημείο Μ δ. Επομένως ΟΜ ΟΜ ΟΜ. ΘΕΩΡΙΑ Αποδείξτε ότι η δινσμτική κτίν της διφοράς των μιδικών κι δ είνι η διφορά των δινσμτικών κτίνων τος. Αν Μ κι Μ δ είνι οι εικόνες των κι δ ντιστοίχως στο μιδικό επίπεδο τότε η διφορά δ δ πριστάνετι με το σημείο Ν δ. Επομένως ΟN ΟΜ ΟΜ ΘΕΩΡΙΑ 3 Πως εκφράζετι το πηλίκο όπο δ στη μορφή μιδικού ριθμού; δ Γι ν εκφράσομε το πηλίκο όπο δ στη μορφή κλ πολλπλσιάζομε τος όρος δ το κλάσμτος με την σζή το προνομστή κι έχομε: δ δ δ δ δ δ δ δ δ. δ δ Δηλδή δ δ δ δ δ

2 Θεωρί - Αποδείξεις ΘΕΩΡΙΑ 4 Πως πολοίζομε τη δύνμη με ν φσικό; Γι ν πολοίσομε σκεκριμένη δύνμη το ράφομε τον εκθέτη ν στη μορφή ν4ρ όπο ρ είνι το πηλίκο κι το πόλοιπο της εκλείδεις διίρεσης το ν με το 4 οπότε έχομε: ν ν ν ν ρ ρ ρ ρ ΘΕΩΡΙΑ 5 Αποδείξτε ότι όπο μιδικοί ριθμοί. Αν κι δ έχομε:. δ δ δ δ ΘΕΩΡΙΑ 6 Ν ρείτε τον τύπο πο δίνει τις λύσεις της εξίσωσης με πρμτικούς κι. Κάθε εξίσωση δεύτερο θμού με πρμτικούς σντελεστές έχει πάντ λύση στο σύνολο C. Πράμτι έστω η εξίσωση μ πρμτικούς κι. Τη μετσχημτίζομε με τη μέθοδο σμπλήρωσης τετρώνων στη μορφή: 4 όπο Δ 4 είνι η δικρίνοσ της εξίσωσης. Έτσι έχομε τις εξής περιπτώσεις: Αν Δ>. Τότε η εξίσωση έχει δύο πρμτικές λύσεις: ± Αν Δ. Τότε έχει μι διπλή πρμτική λύση: Αν Δ<. Τότε επειδή 4 4 η εξίσωση ± ±. Άρ οι λύσεις της είνι: ±

3 Θεωρί - Αποδείξεις ΘΕΩΡΙΑ 7 Αποδείξτε ότι όπο μιδικοί ριθμοί. Έχομε: ρχική. κι επειδή η τελετί ισότητ ισχύει θ ισχύει κι η ισοδύνμη ΘΕΩΡΙΑ 8 Αποδείξτε ότι όπο μιδικοί ριθμοί κι ότι το μέτρο της διφοράς δύο μιδικών είνι ίσο με την πόστση των εικόνων τος. Από την τριωνική νισότητ κι πό τη εωμετρική ερμηνεί το θροίσμτος κι της διφοράς δύο μιδικών σύμφων με το διπλνό σχήμ προκύπτει ότι: ΟΜ Μ Μ ΟΜ ΟΜ Μ Μ δηλδή Επίσης είνι φνερό ότι το μέτρο το δινύσμτος ON είνι ίσο με το μέτρο το δινύσμτος M M φού το ΟΝΜ Μ είνι πρλληλόρμμο. Δηλδή: Μ Μ ΘΕΩΡΙΑ Έστω μι σνάρτηση η οποί είνι ορισμένη σε έν κλειστό διάστημ []. Αν: η είνι σνεχής στο [] κι Αποδείξτε ότι ι κάθε ριθμό η μετξύ των κι πάρχει ένς τολάχιστον ο τέτοιος ώστε ο η 3

4 Θεωρί - Αποδείξεις Ας ποθέσομε χωρίς λάη της ενικότητς ότι <. Τότε θ ισχύει <η< λ. σχήμ. Αν θεωρήσομε τη σνάρτηση g η [] πρτηρούμε ότι: η g είνι σνεχής στο [] κι gg< Αφού g η< κι g η>. Επομένως σύμφων με το θεώρημ το Bolano πάρχει έν τολάχιστον ο τέτοιο ώστε g o ο η οπότε ο η. ΘΕΩΡΙΑ Αν μι σνάρτηση είνι πρωίσιμη σ έν σημείο το πεδίο ορισμού της τότε είνι κι σνεχής σ έν σημείο τι προκύπτει ι την πρωισιμότητ της στο ; Γι έχομε οπότε lm [ ] lm lm lm φού η είνι πρωίσιμη στο. Επομένως lm φού η είνι πρωίσιμη στο. Αν μι σνάρτηση δεν είνι σνεχής σ έν σημείο τότε σύμφων με το προηούμενο θεώρημ δεν μπορεί ν είνι πρωίσιμη στο. ΘΕΩΡΙΑ Έστω η στθερή σνάρτηση c cєr. Αποδείξτε ότι η σνάρτηση είνι πρωίσιμη στο R κι ισχύει δηλδή c Αν είνι έν τχίο στοιχείο το R τότε ι ισχύει: c c Επομένως 4

5 Θεωρί - Αποδείξεις 5 lm δηλδή c. ΘΕΩΡΙΑ 3 Έστω η σνάρτηση. Αποδείξτε ότι η σνάρτηση είνι πρωίσιμη στο R κι ισχύει δηλδή Αν είνι έν τχίο στοιχείο το R τότε ι ισχύει: Επομένως lm lm δηλδή. ΘΕΩΡΙΑ 4 Έστω η σνάρτηση ν νєn {}. Αποδείξτε ότι η σνάρτηση είνι πρωίσιμη στο R κι ισχύει ν ν δηλδή ν ν ν Αν είνι έν τχίο στοιχείο το R τότε ι ισχύει: Οπότε lm lm ν Δηλδή. ΘΕΩΡΙΑ 5 Έστω η σνάρτηση. Αποδείξτε ότι η σνάρτηση είνι πρωίσιμη στο κι ισχύει δηλδή Αν είνι έν τχίο στοιχείο το τότε ι ισχύει: οπότε lm lm

6 Θεωρί - Αποδείξεις δηλδή. ΘΕΩΡΙΑ 6 Έστω σνάρτηση ημ. Αποδείξτε ότι η σνάρτηση είνι πρωίσιμη στο R κι ισχύει σν δηλδή ημ σν Γι κάθε R κι ισχύει: ηµ ηµ ηµ σν σν ηµ ηµ σν ηµ ηµ σν. Επειδή ηµ σν lm κι lm έχομε lm ηµ σν σν Δηλδή ημ σν. ΘΕΩΡΙΑ 7 Έστω η σνάρτηση σν. Η σνάρτηση είνι πρωίσιμη στο R κι ισχύει ημ δηλδή σν ημ Γι κάθε R κι ισχύει: σν σν σν σν ηµ ηµ σν σν ηµ σν ηµ. οπότε lm Δηλδή σν ημ. σν lm σν ηµ lm ηµ σν ηµ ηµ. ΘΕΩΡΙΑ 8 Αν οι σνρτήσεις g είνι πρωίσιμες στο τότε η σνάρτηση g είνι πρωίσιμη στο κι ισχύει: g g Γι ισχύει: 6

7 Θεωρί - Αποδείξεις g g Επειδή οι σνρτήσεις g είνι πρωίσιμες στο έχομε: g g g g g g g g lm lm lm g Δηλδή g g.. ΘΕΩΡΙΑ 9 Έστω η σνάρτηση N *. Αποδείξτε ότι η σνάρτηση είνι πρωίσιμη στο R * κι ισχύει δηλδή Γι κάθε R * έχομε: ΘΕΩΡΙΑ Αποδείξτε ότι κ κ κ με k Z {} κι R * Από την ερώτηση 4 κι 9 προκύπτει ότι ν k Z {} τότε κ κ κ. Πράμτι ν κι θετικός κέριος ισχύει όπο κ ν ν Ν {}. Αν κι ρνητικός κέριος ισχύει: ν ν όπο κ ν ν Ν {}. ΘΕΩΡΙΑ Έστω η σνάρτηση εφ. Αποδείξτε ότι η σνάρτηση είνι πρωίσιμη στο R R {/σν} κι ισχύει δηλδή εφ σν σν Πράμτι ι κάθε R έχομε: ηµ ηµ σν ηµ σν σν σν ηµ ηµ σν ηµ εφ. σν σν σν σν σν ΘΕΩΡΙΑ Αποδείξτε ότι η σνάρτηση R Z είνι πρωίσιμη στο κι ισχύει δηλδή Πράμτι ν y e ln κι θέσομε u ln τότε έχομε ye u. Επομένως 7

8 Θεωρί - Αποδείξεις y e u e u u e ln. ΘΕΩΡΙΑ 3 Αποδείξτε ότι η σνάρτηση > είνι πρωίσιμη στο R κι ισχύει ln δηλδή ln Πράμτι ν y e ln κι θέσομε uln τότε έχομε ye u. Επομένως y e u e u u e ln ln ln. ΘΕΩΡΙΑ 4 Αποδείξτε ότι η σνάρτηση ln R * είνι πρωίσιμη στο R * κι ισχύει: ln Δικρίνομε τις περιπτώσεις: Αν > τότε ln ln Αν < τότε ln ln οπότε yln κι ν θέσομε u έχομε ylnu. Επομένως y ln u u u Άρ σε κάθε περίπτωση ισχύει: ln. ΘΕΩΡΙΑ 5 Διτπώστε το θεώρημ Rolle κι δώστε τη εωμετρική το ερμηνεί. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αν μι σνάρτηση είνι: σνεχής στο κλειστό διάστημ [ ] πρωίσιμη στο νοικτό διάστημ κι Τότε πάρχει έν τολάχιστον ξ τέτοιο ώστε: ξ Γεωμετρικά τό σημίνει ότι πάρχει έν τολάχιστον ξ τέτοιο ώστε η εφπτομένη της C στο Μξξ ν είνι πράλληλη στον άξον των. 8

9 Θεωρί - Αποδείξεις ΘΕΩΡΙΑ 6 Διτπώστε το θεώρημ μέσης τιμής κι δώστε τη εωμετρική το ερμηνεί. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αν μι σνάρτηση είνι: σνεχής στο κλειστό διάστημ [] κι πρωίσιμη στο νοικτό διάστημ Τότε πάρχει έν τολάχιστον ξ τέτοιο ώστε: ξ Γεωμετρικά τό σημίνει ότι πάρχει έν τολάχιστον ξ τέτοιο ώστε η εφπτομένη της ρφικής πράστσης της στο σημείο Μξξ ν είνι πράλληλη της εθείς ΑΒ. ΘΕΩΡΙΑ 7 Έστω μι σνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ. Αν η είνι σνεχής στο Δ κι ι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο το Δ τότε ποδείξτε ότι η είνι στθερή σε όλο το διάστημ Δ. Αρκεί ν ποδείξομε ότι ι οποιδήποτε Δ ισχύει. Πράμτι Αν τότε προφνώς. Αν < τότε στο διάστημ [ ] η ικνοποιεί τις ποθέσεις το θεωρήμτος μέσης τιμής. Επομένως πάρχει ξ τέτοιο ώστε ξ Επειδή το ξ είνι εσωτερικό σημείο το Δ ισχύει ξ οπότε λόω της είνι. Αν < τότε ομοίως ποδεικνύει ότι. Σε όλες λοιπόν τις περιπτώσεις είνι. ΘΕΩΡΙΑ 8 Έστω δο σνρτήσεις g ορισμένες σε έν διάστημ Δ. Αν οι g είνι σνεχείς στο Δ κι g ι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο το Δ τότε πάρχει στθερά c τέτοι ώστε ι κάθε Δ ν ισχύει: gc 9

10 Θεωρί - Αποδείξεις Η σνάρτηση g είνι σνεχής στο Δ κι ι κάθε εσωτερικό σημείο Δ ισχύει g g. Επομένως σύμφων με το πρπάνω θεώρημ η σνάρτηση g είνι στθερή στο Δ. Άρ πάρχει στθερά c τέτοι ώστε ι κάθε Δ ν ισχύει gc οπότε gc. ΘΕΩΡΙΑ 9 Έστω μι σνάρτηση η οποί είνι σνεχής σε έν διάστημ Δ. Αν > σε κάθε εσωτερικό σημείο το Δ τότε η είνι νησίως ύξοσ σε όλο το Δ. Αν < σε κάθε εσωτερικό σημείο το Δ τότε η είνι νησίως φθίνοσ σε όλο το Δ. Ισχύει το ντίστροφο; Δώστε έν πράδειμ. Έστω > κι Δ με <. Θ δείξομε ότι <. Στο διάστημ [ ] η ικνοποιεί τις προϋποθέσεις το Θ.Μ.Τ. Επομένως πάρχει ξ τέτοιο ώστε ξ οπότε έχομε ξ Επειδή ξ> κι > έχομε > οπότε <. To ντίστροφο το πρπάνω θεωρήμτος δεν ισχύει. Δηλδή ν η είνι νησίως ύξοσ ντιστοίχως νησίως φθίνοσ στο Δ η πράωος της δεν είνι ποχρεωτικά θετική ντιστοίχως ρνητική στο εσωτερικό το Δ. Γι πράδειμ η σνάρτηση 3 ν κι είνι νησίως ύξοσ στο R έχει πράωο 3 η οποί δεν είνι θετική σε όλο το R φού. Ισχύει όμως ι κάθε R. ΘΕΩΡΙΑ Έστω μι σνάρτηση ορισμένη σ έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο το Δ. Αν η προσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πρωίσιμη στο σημείο τό τότε:

11 Θεωρί - Αποδείξεις Ας ποθέσομε ότι η προσιάζει στο τοπικό μέιστο. Επειδή το είνι εσωτερικό σημείο το Δ κι η προσιάζει σ τό τοπικό μέιστο πάρχει δ> τέτοιο ώστε δ δ Δ κι ι κάθε δ δ. Επειδή επιπλέον η είνι πρωίσιμη στο ισχύει lm lm. Επομένως ν δ τότε λόω της θ είνι οπότε θ έχομε lm Αν δ τότε λόω της θ είνι οπότε θ έχομε Από τις κι 3 προκύπτει. lm. 3 ΘΕΩΡΙΑ Έστω μι σνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ. Αν F είνι μι πράοσ της στο Δ τότε: όλες οι σνρτήσεις της μορφής GFc c R είνι πράοσες της στο Δ κι κάθε άλλη πράοσ G της στο Δ πίρνει τη μορφή GFc c R. Κάθε σνάρτηση της μορφής G Fc F ι κάθε R είνι μι πράοσ της στο Δ διότι: G Fc F ι κάθε Δ.

12 Θεωρί - Αποδείξεις Έστω G μι άλλη πράοσ της στο Δ. Τότε ι κάθε Δ ισχύον F κι G οπότε G F ι κάθε Δ. Άρ σύμφων με νωστό πόρισμ πάρχει στθερά c τέτοι ώστε GFc ι κάθε Δ. ΘΕΩΡΙΑ Αν κι << κι η είνι σνεχής σε διάστημ Δ κι Δ τότε ισχύει: d d d. Πως ερμηνεύετι εωμετρικά η πρπάνω ιδιότητ; Η πρπάνω ιδιότητ δηλώνει ότι: ΕΩΕΩ ΕΩ Αφού d E Ω E Ω d κι E Ω d. ΘΕΩΡΙΑ 3 Αν είνι μι σνεχής σνάρτηση σε έν διάστημ Δ κι είνι έν σημείο το Δ τότε η σνάρτηση F t dt είνι μι πράοσ της στο Δ. Δηλδή ισχύει: ' t dt ι κάθε Δ. Δώστε μι εποπτική ερμηνεί το πρπάνω θεωρήμτος. Εποπτικά το σμπέρσμ το πρπάνω θεωρήμτος προκύπτει λ. σχήμ ως εξής: F F t dt Εμδόν το χωρίο Ω. ι μικρά >. Άρ ι μικρά > είνι F F οπότε F F F lm

13 Θεωρί - Αποδείξεις ΘΕΩΡΙΑ 4 Αποδείξτε ότι t dt g g με την προϋπόθεση ότι τ χρησιμοποιούμεν σύμολ έχον νόημ Αν θέσομε F t dt τ ό τε F F κι F g F g g g g Δηλδή: F g t dt g g. ΘΕΩΡΙΑ 5 Έστω μι σνεχής σνάρτηση σ έν διάστημ []. Αν G είνι μι πράοσ της στο [] τότε t dt G G Η σνάρτηση F t dt είνι μι πράοσ της στο []. Επειδή κι η G είνι μι πράοσ της στο [] θ πάρχει c R τέτοιος ώστε ν ισχύει: G Fc Από την ι έχομε: G F c t dt c c οπότε c G. Επομένως Από την ι έχομε: G FG G F G t dt G Άρ t dt G G. ΘΕΩΡΙΑ 6 Έστω τώρ δο σνρτήσεις κι g σνεχείς στο διάστημ [] με g ι κάθε χ [] κι Ω το χωρίο πο περικλείετι πό τις ρφικές πρστάσεις των g κι τις εθείες κι. Αποδείξτε ότι E Ω g d 3

14 Θεωρί - Αποδείξεις Πρτηρούμε ότι Ε Ω Ε Ω Ε Ω d g d Ε Ω g d. g d. Επομένως ΘΕΩΡΙΑ 7 Έστω τώρ δο σνρτήσεις κι g σνεχείς στο διάστημ [] με g ι κάθε [] κι Ω το χωρίο πο περικλείετι πό τις ρφικές πρστάσεις των g κι τις εθείες κι. Αποδείξτε ότι Ε Ω g d. Πράμτι επειδή οι σνρτήσεις g είνι σνεχείς στο [] θ πάρχει ριθμός c R * τέτοιος ώστε: c gc ι κάθε []. Είνι φνερό ότι το χωρίο Ω σχήμ έχει το ίδιο εμδόν με το χωρίο Ω σχήμ. Επομένως έχομε: Ε Ω Ε Ω [ c g c ] d g d. ΘΕΩΡΙΑ 8 Αποδείξτε ότι το εμδόν το χωρίο Ω πο περικλείετι πό τον άξον τη ρφική πράστση μις σνάρτησης g με g ι κάθε [] κι τις εθείες κι δίνετι πό τον τύπο Ε Ω g d. Επειδή ο άξονς είνι η ρφική πράστση της σνάρτησης έχομε Ε Ω g d [ g ] d g d Επομένως ν ι μι σνάρτησης g ισχύει g ι κάθε [] τότε: Ε Ω g d 4

15 Θεωρί - Αποδείξεις ΘΕΩΡΙΑ 9 Ότν η διφορά g δεν διτηρεί στθερό πρόσημο στο [] όπως στο επόμενο σχήμ ποδείξτε ότι το εμδόν το χωρίο Ω πο περικλείετι πό τις ρφικές πρστάσεις των g κι τις εθείες κι είνι ίσο με Ε Ω g d. Ε Ω Ε Ω Ε Ω Ε Ω 3 Είνι δ g d g d g d g d g d Επομένως Ε Ω g d. δ g d δ δ g d 5