3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ. Ορισμός Έλλειψης

Transcript

1 0 33 Η ΕΛΛΕΙΨΗ Ορισμός Έλλειψης Έστω E κι Ε δύο σημεί ενός επιπέδου Ονομάζετι έλλειψη με εστίες τ σημεί E κι Ε ο εωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμ των ποστάσεων πό τ E κι Ε είνι στθερό κι μελύτερο του E E Το στθερό υτό άθροισμ το συμολίζουμε, συνήθως, με κι την πόστση των εστιών E κι Ε με H πόστση E E ονομάζετι εστική πόστση της έλλειψης Σύμφων με τον πρπάνω ορισμό: M ) Έν σημείο Μ του επιπέδου είνι σημείο της έλλειψης, ν κι μόνο ν ( ME ) ( ME) E (Ε Ε) (ΜΕ )(ΜΕ) Ε ) Ισχύει ( E E) < ( ME ) ( ME ), δηλδή < οπότε < Αν 0, τότε τ σημεί E, E συμπίπτουν, οπότε η έλλειψη ίνετι κύκλος με κέντρο το Ε κι κτίν Μ ρ ρ Α ρ E Α E ρ Μ ρ ρ Κ Σ Λ a Γι ν ρούμε έν σημείο της έλλειψης C, ερζόμστε ως εξής:

2 03 Πίρνουμε έν τμήμ ΚΛ μήκους κι έν οποιοδήποτε σημείο του Σ Με κέντρ τ E κι Ε κι κτίνες ρ ( ΚΣ ) κι ρ ( ΛΣ ), ντιστοίχως, ράφουμε δύο κύκλους, οι οποίοι τέμνοντι στ σημεί Μ κι M Τ σημεί Μ κι M είνι σημεί της έλλειψης, ιτί ισχύει ( ME ) ( ME) ρ ρ κι ( ME ) ( ME ) ρ ρ Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε ν κτσκευάσουμε οσδήποτε σημεί της έλλειψης Πρκτικά μπορούμε ν σχεδιάσουμε την έλλειψη ως εξής: Πίρνουμε έν σχοινί μήκους κι στερεώνουμε τ άκρ του στις εστίες E κι Ε Αν τώρ με έν μολύι διτηρούμε το σχοινί τεντωμένο, τότε υτό, κτά την κίνησή του, θ διράψει την έλλειψη Εξίσωση Έλλειψης E M E Έστω μι έλλειψη C με εστίες E κι Ε Θ ρούμε την εξίσωση της έλλειψης ως προς σύστημ συντετμένων O με άξον των την ευθεί E E κι άξον των τη μεσοκάθετο του E E Αν M(, ) είνι έν σημείο της έλλειψης C, τότε θ ισχύει ( ME ) ( ME) () Επειδή ( EE ), οι εστίες E κι Ε θ έχουν συντετμένες (, 0 ) κι (, 0 ) ντιστοίχως Επομένως, A E (,0) O B B M (, ) E(,0) Α ) ( ) κι ( M E ( ME ) ( ) Έτσι, η σχέση () ράφετι πό την οποί έχουμε διδοχικά: ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) 4 ( ) 4 ( )

3 04 ) ( 4 4 ) ( () ) ( ) ( 4 ) ( ) ( (3) Επειδή, είνι 0, οπότε ν θέσουμε > >, η εξίσωση (3) πίρνει τη μορφή (4) Αποδεικνύετι κι το ντίστροφο, δηλδή ότι κάθε σημείο ), του οποίου οι συντετμένες επληθεύουν την εξίσωση (4), είνι σημείο της έλλειψης C, ( M Επομένως, η εξίσωση της έλλειψης C με εστίες τ σημεί ) (,0 E, E(, ) 0 κι στθερό άθροισμ είνι όπου, Γι πράδειμ, η εξίσωση της έλλειψης με εστίες τ σημεί ) (4,0 E, κι στθερό άθροισμ E(, ) 40 0 είνι, 3 5 φού 3 4 5

4 05 Αν τώρ πάρουμε σύστημ συντετμένων O με άξον των τη μεσοκάθετο του E E κι άξον των την ευθεί E E κι ερστούμε όπως πριν, θ ρούμε ότι η εξίσωση της έλλειψης C είνι Α E( 0, ), όπου Γι πράδειμ, η έλλειψη με εστίες E (, 0 4), E( 04,) κι στθερό άθροισμ 0 είνι B O Β E ( 0, ), 3 5 φού A Ιδιότητες Έλλειψης Έστω μι έλλειψη B M 3 M C :, όπου A A Αν M(, ) είνι έν σημείο της O έλλειψης C, τότε τ σημεί M(, ), M3(, ) κι M4(, ) νήκουν M 4 M στην C, φού οι συντετμένες τους B επληθεύουν την εξίσωσή της Αυτό σημίνει ότι η πρπάνω έλλειψη έχει τους άξονες κι άξονες συμμετρίς κι την ρχή των ξόνων κέντρο συμμετρίς Επομένως, η ευθεί που ενώνει τις εστίες E, E της έλλειψης κι η μεσοκάθετος του E E είνι άξονες συμμετρίς της έλλειψης, ενώ το μέσο Ο του E E είνι κέντρο συμμετρίς της Το σημείο Ο λέετι κέντρο της έλλειψης Από την εξίσωση της έλλειψης ι 0 ρίσκουμε ±, ενώ ι 0 ρίσκουμε ± Επομένως, η έλλειψη C τέμνει τον άξον στ σημεί A (,0) κι A (,0), ενώ τον άξον στ σημεί B ( 0, ) κι B ( 0, ) Τ σημεί A, A, B, B λέοντι κορυφές της έλλειψης, ενώ τ ευθύρμμ τμήμτ A A κι B B, τ οποί έχουν μήκη ( A A) κι ( B B), λέοντι μεάλος άξονς κι μικρός άξονς ντιστοίχως Το ευθύρμμο

5 06 τμήμ που ορίζουν δύο οποιδήποτε συμμετρικά ως προς Ο σημεί M κι M 4 της έλλειψης λέετι διάμετρος της έλλειψης Αποδεικνύετι ότι ( M M ), 4 δηλδή ότι κάθε διάμετρος της έλλειψης είνι μελύτερη ή ίση πό το μικρό άξον κι μικρότερη ή ίση πό το μεάλο άξον της έλλειψης Τέλος, πό την εξίσωση της έλλειψης, έχουμε οπότε 0 κι άρ Ομοίως Άρ, η έλλειψη περιέχετι στο ορθοώνιο που ορίζουν οι ευθείες κι,, Εκκεντρότητ Έλλειψης Μι πράμετρος που κθορίζει τη μορφή της έλλειψης είνι η εκκεντρότητ της έλλειψης Ονομάζουμε εκκεντρότητ της έλλειψης κι τη συμολίζουμε με ε, το λόο ε < Επειδή οπότε ε κι άρ, είνι ε, ε () Επομένως, όσο μελώνει η εκκεντρότητ τόσο μικρίνει ο λόος κι κτά συνέπει τόσο πιο επιμήκης ίνετι η έλλειψη (Σχ ) Ότν το ε τείνει στο μηδέν, τότε ο λόος τείνει στο κι επομένως η έλλειψη τείνει ν ίνει κύκλος Ότν, όμως, το ε τείνει στη μονάδ, τότε ο

6 07 λόος τείνει στο 0 κι επομένως η έλλειψη τείνει ν εκφυλιστεί σε ευθύρμμο τμήμ Οι ελλείψεις που έχουν την ίδι εκκεντρότητ, άρ ίδιο λόο, λέοντι όμοιες (Σχ ) () () Είνι νωστό πό την Αστρονομί ότι οι τροχιές των πλνητών ύρω πό τον Ήλιο είνι ελλείψεις, των οποίων τη μί εστί κτέχει ο Ήλιος Οι εκκεντρότητες των τροχιών υτών είνι οι εξής: Πλνήτης εκκεντρότητ Πλνήτης εκκεντρότητ Ερμής Αφροδίτη Γη Άρης Δίς 0,06 0,007 0,07 0,093 0,049 Κρόνος Ουρνός Ποσειδώνς Πλούτωνς 0,05 0,046 0,005 0,50 Πρμετρικές Εξισώσεις Έλλειψης Έστω η έλλειψη : C κι έν σημείο M (, ) του κρτεσινού επιπέδου Αν το M (, ) νήκει στην έλλειψη C, τότε θ ισχύει, οπότε θ έχουμε

7 08 Επομένως, το σημείο N, θ νήκει στο μονδιίο κύκλο, οπότε θ υπάρχει ωνί φ [ 0,π), τέτοι, ώστε συνφ κι ημφ, δηλδή συνφ κι ημφ () Αντιστρόφως, ν ισχύουν οι () ι κάποι ωνί φ [ 0,π), τότε το σημείο M (, ) θ νήκει στην έλλειψη C, φού συν φ ημ φ συν φ ημ φ Επομένως, οι συντετμένες των σημείων υτές ικνοποιούν τις εξισώσεις M(, ) συνφ κι ημφ, φ [ 0,π) της έλλειψης C κι μόνο Οι εξισώσεις υτές λέοντι πρμετρικές εξισώσεις της t έλλειψης C Σύμφων με τις M πρμετρικές εξισώσεις το σημείο B M ( συνφ, ημφ) της έλλειψης M(συνφ,ημφ) M προσδιορίζετι ως εξής: A φ Γράφουμε τους κύκλους C κι C O a A με κέντρο Ο κι κτίνες κι C ντιστοίχως κι φέρνουμε μι B C ημιευθεί Ot, έτσι ώστε (O, Ot ) φ C Αν η ημιευθεί Ot τέμνει τους C κι C στ σημεί M κι M ντιστοίχως κι οι πράλληλες πό τ M,M προς τους άξονες,, ντιστοίχως, τέμνοντι στο σημείο Μ, τότε το Μ θ νήκει στην έλλειψη C Πράμτι, το σημείο M θ έχει συντετμένες ( συνφ, ημφ), ενώ το M θ έχει συντετμένες ( συνφ, ημφ) Άρ, οι συντετμένες του Μ θ είνι ( συνφ, ημφ)

8 09 ΕΦΑΡΜΟΓΗ Έστω ο κύκλος a, a > 0 κι έν σημείο του M, του οποίου η ορθή προολή στον άξον είνι το σημείο Μ Πάνω στο ευθύρμμο τμήμ M M ( M M ) ορίζουμε έν σημείο Μ, τέτοιο, ώστε ν ισχύει, 0< <a ( M M ) Ν ποδειχτεί ότι ν το M κινείτι στον κύκλο, το Μ κινείτι στην έλλειψη a ΑΠΟΔΕΙΞΗ M (, ) Β Έστω (, ) οι συντετμένες του M κι M(,) (, ) οι συντετμένες του Μ Επειδή ( M M ) A Α, έχουμε, οπότε ( M M ) Ο M () Β Επειδή, επιπλέον η M M άξον θ ισχύει είνι κάθετη στον () Όμως, το σημείο M, ) νήκει στον κύκλο Επομένως, ισχύει (, οπότε, λόω των σχέσεων () κι (), έχουμε Άρ, το σημείο M(, ) νήκει στην έλλειψη

9 0 Εφπτομένη Έλλειψης Έστω μι έλλειψη C με εξίσωση κι έν σημείο της M(, ) Η εφπτομένη της έλλειψης C στο σημείο M(, ) ορίζετι με τρόπο νάλοο προς εκείνο με τον οποίο ορίστηκε η εφπτομένη της προλής κι ποδεικνύετι ότι έχει εξίσωση ε ζ Μ Ο Γι πράδειμ, η εφπτομένη της έλλειψης στο σημείο της 6 4 (, 3 M 3) έχει εξίσωση, η οποί ράφετι ισοδύνμ Αν μι έλλειψη έχει εξίσωση, τότε η εφπτομένη της στο σημείο M(, ) έχει εξίσωση Όπως η προλή έτσι κι η έλλειψη έχει νάλοη νκλστική ιδιότητ Συκεκριμέν: Η κάθετη στην εφπτομένη μις έλλειψης στο σημείο επφής Μ διχοτομεί τη ωνί E M E, όπου E, E οι εστίες της έλλειψης

10 M ε E E E E Σύμφων με την ιδιότητ υτή έν ηχητικό κύμ ή μι φωτεινή κτίν που ξεκινούν πό τη μί εστί μις έλλειψης, νκλώμεν σε υτήν, διέρχοντι πό την άλλη εστί Η ιδιότητ υτή χρησιμοποιείτι στο σχεδισμό ορισμένων τύπων οπτικών οράνων κι στην κτσκευή των λεόμενων στοών με ειδική κουστική Οι στοές υτές είνι ίθουσες με ελλειπτική οροφή, στις οποίες έν πρόσωπο που ψιθυρίζει στη μι εστί μπορεί ν κουστεί στην άλλη εστί Ακόμη, η νκλστική ιδιότητ της έλλειψης ρίσκει σπουδί εφρμοή σε μι ιτρική μέθοδο που λέετι λιθοθρυψί Η μέθοδος υτή εφρμόζετι ως εξής: Στη μι εστί της έλλειψης τοποθετείτι έν ηλεκτρόδιο εκπομπής υπερήχων, ενώ ο σθενής τοποθετείτι σε τέτοι θέση, ώστε το νεφρό του ν είνι στην άλλη εστί Τότε οι πέτρες του νεφρού κονιορτοποιούντι πό τους νκλώμενους υπερήχους E νεφρό πέτρ νεφρού E ηλεκτρόδιο ελλειπτικό κάτοπτρο ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Δίνοντι η έλλειψη : C κι ο κύκλος Αν C : M(, ) είνι έν σημείο της C κι M (, ) το σημείο του C με, ν ποδειχτεί ότι η εφπτομένη ε της έλλειψης C στο σημείο M κι η εφπτομένη ε του κύκλου C στο σημείο M τέμνοντι πάνω στον άξον

11 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Η εξίσωση της ε είνι () ε ε M κι της ε είνι M Γι () 0, πό την () ρίσκουμε ενώ πό τη () ρίσκουμε σημείο, το M,0, A Ο Άρ, κι η ε κι η ε τέμνουν τον στο ίδιο ΣΧΟΛΙΟ Σύμφων με την εφρμοή υτή, ι ν φέρουμε την εφπτομένη ε της έλλειψης C στο σημείο M, φέρνουμε την εφπτομένη ε του κύκλου C στο σημείο M κι στη συνέχει ενώνουμε το σημείο τομής Μ των ε κι με το σημείο Η MM είνι η ζητούμενη εφπτομένη M C C Α M Έστω C η έλλειψη με εστίες τ σημεί E (,0) κι E (,0) κι μεάλο άξον Ν ποδειχτεί ότι ο λόος των ποστάσεων οποιουδήποτε σημείου M (, ) της έλλειψης πό την εστί E(, 0 ) κι την ευθεί δ: είνι στθερός κι ίσος με την εκκεντρότητ της έλλειψης Ομοίως, ι την εστί Ε (,0) κι την ευθεί δ : ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή το M(, ) νήκει στην έλλειψη C, θ ισχύει ( ME ) ( ME) () Επομένως, όπως είδμε στην πόδειξη της εξίσωσης της έλλειψης, θ έχουμε ( ) ()

12 3 Η ισότητ υτή ράφετι διδοχικά: ( ) M(,) ( ) (3) E (-,0) O E(,0) Όμως, a ( ) d( M, E) κι d( M, δ) Επομένως, η (3) ράφετι d ( M, E) d( M, δ) ή ισοδύνμ d( M, E) ε< d( M, δ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Ν ρείτε την εξίσωση της έλλειψης σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: (i) Ότν έχει εστίες τ σημεί Ε (4,0) κι Ε (4,0) κι μεάλο άξον 0 (ii) Ότν έχει εστίες τ σημεί Ε ( 0, 5) κι Ε (0,5) κι μεάλο άξον 6 (iii) Ότν έχει εστίες τ σημεί Ε (,0) κι Ε (,0) κι εκκεντρότητ 3 (iv) Ότν έχει εστίες τ σημεί Ε (4,0) κι Ε (4,0) κι διέρχετι πό το σημείο 9 Μ 4, 5 (v) Ότν έχει εστίες στον άξον M, κι διέρχετι πό τ σημεί M (, ) κι Ν ρείτε τ μήκη των ξόνων, τις εστίες κι την εκκεντρότητ των ελλείψεων: (i) 4 4 (ii)

13 4 3 Ν εράψετε στην έλλειψη 4 4 τετράωνο με πλευρές πράλληλες προς τους άξονες 4 Αν E, E είνι οι εστίες κι Β Β ο μικρός άξονς της έλλειψης 4, ν ποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΒ Β Ε είνι τετράωνο 5 Ν ποδείξετε ότι οι εφπτόμενες μις έλλειψης στ άκρ μις διμέτρου της είνι πράλληλες (Διάμετρος μις έλλειψης λέετι το τμήμ που συνδέει δύο σημεί της έλλειψης κι διέρχετι πό την ρχή των ξόνων) 6 Ν ρεθούν οι εξισώσεις των εφπτομένων της έλλειψης 3 4, οι οποίες: (i) είνι πράλληλες προς την ευθεί 3 (ii) είνι κάθετες στην ευθεί (iii) διέρχοντι πό το σημείο Μ (0,4) 7 Ν ποδείξετε ότι οι εφπτόμενες της έλλειψης 4 00 στ σημεί της M (4 5, 5), M ( 4 5, 5), M 3 ( 4 5, 5) κι M 4 (4 5, 5) σχημτίζουν τετράωνο με διώνιες τους άξονες κι Β ΟΜΑΔΑΣ Ν ποδείξετε ότι το σημείο ι όλες τις τιμές του t R ( t ) t M, νήκει στην έλλειψη t t Ν ποδείξετε ότι το σημείο τομής των ευθειών λ( ) κι λ ( ), 0 < < νήκει στην έλλειψη * ι όλες τις τιμές του λ R 3 Αν M (, ) είνι έν σημείο της έλλειψης, ν ποδείξετε ότι ( M E ) ε κι ( ME) ε 4 Αν d, d είνι οι ποστάσεις των σημείων Γ ( 0, ) κι Γ ( 0, ) πό την εφπτο- μένη της έλλειψης σε έν σημείο της M (, ), ν ποδείξετε ότι d d

14 5 5 Έστω M (, ), M (, ) δύο σημεί της έλλειψης κι τ σημεί N ( ε,0) κι N ( ε,0) Ν ποδείξετε ότι M N ) ( M ) ( N 6 Έστω η έλλειψη κι έν σημείο της Μ Έστω επιπλέον, ο κύκλος κι το σημείο του Ν, που έχει την ίδι τετμημένη με το Μ Από το Μ φέρνουμε πράλληλη προς την ON, που τέμνει τους άξονες σημεί Γ κι Δ ντιστοίχως Ν ποδείξετε ότι ΜΓ κι ΜΔ κι στ 7 Έστω ε κι ε οι εφπτόμενες της έλλειψης C :, 0 < < στις κορυφές της Α (,0) κι Α (,0), ντιστοίχως, κι ζ η εφπτομένη της C σε έν σημείο της M (, ) Αν η ζ τέμνει τις ε κι ε στ σημεί Γ κι Γ, ντιστοίχως, ν ποδείξετε ότι: (i) ( ΑΓ )( Α Γ ) (ii) ο κύκλος με διάμετρο το Γ Γ διέρχετι πό τις εστίες της έλλειψης 8 Έστω η έλλειψη κι η εφπτομένη στο σημείο της M (, ) Αν η εφπτομένη τέμνει τους άξονες κι στ σημεί Γ ( p,0) κι Δ ( 0, q), ν ποδείξετε ότι q p