Τάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης

Transcript

1 Τάξη Β Θετική κι Τεχνολογική Κτεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίς κι πντήσεις πό το σχολικό ιλίο Κθηγητής: ΝΣ Μυρογιάννης Πότε δύο µη µηδενικά δινύσµτ AB κι Γ λέγοντι πράλληλ ή συγγρµµικά; Απάντηση: Ότν έχουν τον ίδιο ή πράλληλους φορείς Τι ονοµάζουµε γινόµενο του λ µε το ; Απάντηση: Εν διάνυσµ το οποίο είνι οµόρροπο του, ν λ > κι ντίρροπο του, ν λ < κι έχει µέτρο λ 3 Τι ονοµάζετι γρµµικός συνδυσµός δύο δινυσµάτων κι ; Απάντηση: Κάθε διάνυσµ της µορφής v = κ+ λ, όπου κ, λ R 4 N ποδείξετε ότι γι τη δινυσµτική κτίν ισχύει OA+ OB OM = Απάντηση: Γι τη δινυσµτική κτίν OM του µέσου Μ του τµήµτος ΑΒ OM του µέσου Μ του τµήµτος ΑΒ έχουµε: OM = OA+ AM κι OM = OB+ BM OA+ OB Εποµένως, OM = OA+ AM + OB+ BM = OA+ OB Άρ OM = 5 N ποδείξετε ότι κάθε διάνυσµ του επιπέδου γράφετι κτά µονδικό τρόπο στη µορφή = i + j Απάντηση: Έστω O έν σύστηµ συντετγµένων στο επίπεδο κι έν διάνυσµ του επιπέδου Με ρχή το σχεδιάζουµε το διάνυσµ OA = Αν A κι A είνι οι προολές του Α στους άξονες κι ντιστοίχως, έχουµε: OA = OA + OA () Αν, είνι οι συντετγµένες του A, τότε ισχύει OA = ι κι OA = j Εποµένως η ισότητ () γράφετι = i + j Α j a a A i A ΝΣ Μυρογιάννης wwwnsmavogiannisg

2 Αποδείξµε δηλδή ότι το είνι γρµµικός συνδυσµός των i κι j Στην πρπάνω κτσκευή οι ριθµοί κι είνι µονδικοί Θ ποδείξουµε τώρ ότι κι η έκφρση του ως γρµµικού συνδυσµού των i κι j είνι µονδική Πράγµτι, έστω ότι ισχύει κι = i + j Τότε θ έχουµε i + j = i + j ( ) i = ( ) j Αν υποθέσουµε ότι, δηλδή ότι, τότε θ ισχύει i = j Η σχέση υτή, όµως, δηλώνει ότι i // j, που είνι άτοπο, φού τ i κι j δεν είνι συγγρµµικά Εποµένως =, που συνεπάγετι ότι κι = 6 N ποδείξετε ότι, ) (, ) = ( +, + ) ( (, = (, + κι λ, ) = ( λ, λ ) Απάντηση: Αν = ) κι ), τότε έχουµε: + = ( i + j) + ( i + j) = ( + ) i+ ( + ) j λ = λ i + j) = ( λ ) i + ( ) j ( λ 7 N ποδείξετε ότι ν, ) ( Α ( κι Β (, ) είνι δύο σηµεί του κρτεσινού επιπέδου κι (, ) είνι οι συντετγµένες του µέσου Μ του ΑΒ τότε + = κι + = Απάντηση: Επειδή OM = ( OA+ OB ), κι OM = (, ), OA= (, ), OB= (, ), έχουµε + + (, ) = [(, ) + (, )] =, B(, ) Μ(,) A(, ) Εποµένως ισχύει + = κι + = 8 N ποδείξετε ότι οι συντετγµένες (, ) του δινύσµτος µε άκρ τ σηµεί A (, ) κι Β (, ) δίνοντι πό τις σχέσεις = κι = Απάντηση: Ας θεωρήσουµε δύο σηµεί Α (, ) Β (, ) κρτεσινού επιπέδου κι ς υποθέσουµε ότι (, ) είνι οι A(, ) B(, ) συντετγµένες του δινύσµτος AB Επειδή, AB OB OA =, AB= (, ), OB= (, ), κι OA= (, ) έχουµε: (, ) = (, ) (, ) = (, ) 9 N ποδείξετε ότι ν = (, ), τότε = + ΝΣ Μυρογιάννης wwwnsmavogiannisg

3 3 Απάντηση: Έστω = (, ) έν διάνυσµ του κρτεσινού επιπέδου κι Α το σηµείο µε δινυσµτική κτίν OA = Αν Α κι Α είνι οι προολές του Α στους άξονες κι ντιστοίχως, επειδή το σηµείο Α έχει τετµηµένη κι τετγµένη, θ ισχύει ( Α ) = κι ( Α ) = Έτσι θ έχουµε: = ( Α) = ( Α ) + ( Α Α) = ( Α ) + ( Α ) = + = + A Εποµένως: = + N ποδείξετε ότι η πόστση των σηµείων Α(, ) ) + ( ) ( ΑΒ) = ( κι Β, ) είνι ίση µε ( Απάντηση: Ας θεωρήσουµε τώρ δύο σηµεί Α(, ) κι Β (, ) του κρτεσινού επιπέδου Επειδή η πόστση (ΑΒ) των σηµείων Α κι Β είνι ίση µε το µέτρο του δινύσµτος AB =, ) τότε θ ισχύει ( ΑΒ) = ( ) + ( ( ) N ποδείξετε ότι ν τ δινύσµτ = (, ) = (, ) έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ κι λ ντιστοίχως τότε // λ = λ Απάντηση: Ας θεωρήσουµε δύο δινύσµτ = (, ) κι = (, ) µε συντελεστές διεύθυνσης λ κι λ ντιστοίχως Τότε έχουµε τις ισοδυνµίες: // = = = λ = λ Εποµένως, // λ = λ Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο µη µηδενικών δινυσµάτων κι ; Απάντηση: νοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο µη µηδενικών δινυσµάτων κι κι το συµολίζουµε µε τον πργµτικό ριθµό = συνφ, όπου φ η γωνί των δινυσµάτων κι Αν = ή =, τότε ορίζουµε = 3 Ν ποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο δύο δινυσµάτων είνι ίσο µε το άθροισµ των γινοµένων των οµώνυµων συντετγµένων τους Απάντηση: Εστω = (, ) κι = (, ) Με ρχή το πίρνουµε τ δινύσµτ = OA κι OB = Από το νόµο των συνηµιτόνων στο τρίγωνο ΑΒ Β( έχουµε την ισότητ, ) ( ΑΒ) = ( Α) + ( Β) ( Α)( Β) συναβ, Α A(,) θ a a Α(, ) ΝΣ Μυρογιάννης wwwnsmavogiannisg

4 4 η οποί ισχύει κι στην περίπτωση που τ σηµεί,α,β είνι συνευθεικά Όµως είνι ( ΑΒ) = ( ) + ( ), ( Α) = + κι ( Β) = + Εποµένως, έχουµε διδοχικά: ( ) + ( ) = ( Α)( Β) συνα Β = ( Α)( Β) συνα Β κι επειδή ( Α)( Β) συνα Β =, έχουµε τελικά: = + 4 Ν ποδείξετε ότι: ) λ = ( λ ) = λ( ), λ R ) ( + γ ) = + γ 3) λλ = όπου λ = λ κι λ = λ, (, // ) Απάντηση: Aν = (, ), = (, ) κι γ = ( 3, 3 ), τότε έχουµε: ) ( λ ) = ( λ, λ )(, ) ( λ ) ( λ ) λ( ) λ( = + = + = ) κι ( λ) = (, )( λ, λ ) = ( λ ) + ( λ ) = λ( + ) = λ( ) Άρ, ( λ) = ( λ) = λ( ) ) ( + γ ) = (, )( +, + ) = ( + ) + ( + ) = ( + 3) + ( + 3) = ( + ) + ( 3 + 3) = + γ 3) = + = = = λ λ = 5 Ν ποδείξετε ότι ν = (, ) κι = (, ) είνι δύο µη µηδενικά δινύσµτ + του επιπέδου που σχηµτίζουν γωνί θ τότε συνθ = + + Απάντηση: Ισχύει = συνθ κι εποµένως, συνθ = Είνι όµως = +, = + κι = + Εποµένως, + συνθ = + + ν = προ 6 Ν ποδείξετε ότι ν ΝΣ Μυρογιάννης wwwnsmavogiannisg

5 5, v δύο δινύσµτ του επιπέδου µε Απάντηση: Έστω M Με ρχή έν σηµείο πίρνουµε τ δινύσµτ OA = κι OM = ν Από το Μ φέρνουµε κάθετο στη διεύθυνση του OA v κι έστω M το ίχνος της κθέτου θ Είνι OM = προ ν Έχουµε: v = ( OM + M M = OM + M M = OM = προ ν ) 7 N ποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείς που διέρχετι πό το σηµείο, ) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είνι = λ ) ( A κι ( Απάντηση: Έστω ε η ευθει που διέρχετι πό το Α κι έχει συντελεστή διεύθυνσης λ Έν σηµείο M (, ) διφορετικό του A, ) νήκει στην ε, ν κι µόνο ν το διάνυσµ ( AM είνι πράλληλο στην ε, δηλδή ν κι µόνο ν το AM κι Α( η ε έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης Επειδή, ) AM = (, ), έχουµε λ = φ AM Εποµένως, το σηµείο M (, ) νήκει στην ε ν κι µόνο ν = λ ή = λ( ) Η τελευτί εξίσωση επληθεύετι κι πό το σηµείο A, ) Άρ η εξίσωση της ευθείς ε είνι: ( = λ( ) 8 N ποδείξετε ότι η ευθεί που διέρχετι πό τ σηµεί, ) εξίσωση = ( ) Απάντηση: Έστω ε η ευθεί που διέρχετι πό τ σηµεί A, ) κι B, ) ( ( Αν, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείς είνι λ = κι εποµένως η εξίσωση = λ( ) γίνετι = ( ) A κι B, ) έχει ( Ν ποδείξετε ότι κάθε ευθεί του επιπέδου έχει εξίσωση της µορφής A + B + Γ = µε A ή B () κι ντιστρόφως, κάθε εξίσωση της µορφής () πριστάνει ευθεί γρµµή ( Απάντηση:! Ευθύ: Έστω ε µι ευθεί στο κρτεσινό επίπεδο Αν η ευθεί ε τέµνει τον άξον στο σηµείο Σ (, ) κι έχει συντελεστή διεύθυνσης λ, τότε θ έχει εξίσωση = λ+, η οποί γράφετι λ+ ( ) + = M ε M(,) a ε Α(, ) A B(, ) ΝΣ Μυρογιάννης wwwnsmavogiannisg

6 6 Αν η ευθεί ε είνι κτκόρυφη κι διέρχετι πό το σηµείο P (, ), τότε θ έχει εξίσωση =, η οποί γράφετι ισοδύνµ + + ( ) = Βλέπουµε, δηλδή, ότι κι στις δύο περιπτώσεις η εξίσωση της ευθείς ε πίρνει τη µορφή A + B + Γ = µε A ή B! Αντίστροφού: Αντιστρόφως, έστω η εξίσωση A + B + Γ = µε A ή B A Αν B, τότε η εξίσωση γράφετι = B Γ B, που είνι εξίσωση ευθείς µε συντελεστή διεύθυνσης λ = A Γ κι η οποί τέµνει τον άξον στο σηµείο, B B Αν B =, τότε, λόγω της υπόθεσης, είνι A κι η εξίσωση γράφετι = Γ, που A Γ είνι εξίσωση ευθείς κάθετης στον άξον στο σηµείο του P, A Σε όλες λοιπόν τις περιπτώσεις η εξίσωση A + B + Γ = µε A ή B πριστάνει ευθεί Ν ποδείξετε ότι: ) Η ευθεί µε εξίσωση A + B + Γ = είνι πράλληλη στο διάνυσµ δ = ( B, ) Η ευθεί µε εξίσωση A + B + Γ = είνι πράλληλη στο διάνυσµ δ = ( B, Απάντηση: ) Έστω O έν σύστηµ συντετγµένων στο επίπεδο κι ε µι ευθεί του επιπέδου µε εξίσωση A + B+ Γ = Ξέρουµε ότι: A Αν B, τότε η ε έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = κι εποµένως είνι πράλληλη B προς το διάνυσµ δ = ( B, Αν B =, τότε η ε είνι πράλληλη προς τον άξον κι εποµένως πράλληλη κι πάλι προς το διάνυσµ δ = ( B, ) Το διάνυσµ δ = ( B, είνι κάθετο στο διάνυσµ n = ( A, B), φού δ n = ( B, ( A, B) = AB AB = Εποµένως φού το n είνι κάθετο στην ευθεί A + B + Γ = το δ θ είνι πράλληλο στην ευθεί Ν ποδείξετε ότι ο κύκλος µε κέντρο το σηµείο O(,) κι κτίν ρ έχει εξίσωση + = ρ Απάντηση: Έστω O έν σύστηµ συντετγµένων στο επίπεδο κι C ο κύκλος µε κέντρο το σηµείο O(,) κι κτίν ρ Γνωρίζουµε πό τη Γεωµετρί ότι έν σηµείο M (, ) νήκει στον κύκλο C, ν κι µόνο ν πέχει πό το κέντρο του πόστση ίση µε ρ, δηλδή, ν κι µόνο ν ισχύει: M(,) ρ ( OM ) = ρ () Όµως, ( OM) = + Εποµένως, η () γράφετι + = ρ ή, ισοδύνµ, ε (,) P(, ) C ΝΣ Μυρογιάννης wwwnsmavogiannisg

7 7 + = ρ () Πρτηρούµε, δηλδή, ότι οι συντετγµένες των σηµείων του κύκλου κι µόνο υτές επληθεύουν την εξίσωση () Άρ, ο κύκλος µε κέντρο το σηµείο O(,) κι κτίν ρ έχει εξίσωση + = ρ 3 Ν ποδείξετε ότι το σηµείο M (, ) νήκει στον κύκλο C : + = ρ ν κι µόνο ν = ρσυνφ κι = ρηµ φ, φ [,π ) Απάντηση: Έστω ο κύκλος C : + = ρ κι έν σηµείο M (, ) του κρτεσινού επιπέδου Αν το M (, ) νήκει στον κύκλο C κι φ [,π) είνι η γωνί που σχηµτίζει το διάνυσµ OM µε τον άξον, τότε, όπως γνωρίζουµε πό την Τριγωνοµετρί, θ ισχύουν οι σχέσεις: M(,) = ρσυνφ κι = ρηµ φ () φ Αντιστρόφως, ν γι τις συντετγµένες, του Μ ισχύουν οι σχέσεις (), τότε το σηµείο Μ θ νήκει στον κύκλο C, φού + = ρ συν φ+ ρ ηµ φ= ρ (συν φ+ ηµ φ) = ρ Εποµένως, οι συντετγµένες των σηµείων M (, ) του κύκλου C κι µόνον υτές ικνοποιούν τις εξισώσεις = ρσυνφ κι = ρηµ φ, φ [,π ) 4 Ν ποδείξετε ότι η εφπτοµένη του κύκλου C : + = ρ στο σηµείο του A (, ) έχει εξίσωση + = ρ Απάντηση: Έστω ε η εφπτοµένη του κύκλου C : + = ρ σε έν σηµείο του A (, ) Γνωρίζουµε πό τη Γεωµετρί ότι έν σηµείο M (, ) νήκει στην ε, ν κι µόνο ν Α ΑΜ, δηλδή, ν κι µόνο ν ισχύει OA AM = () Όµως OA= (, ) κι AM = (, ) Έτσι η () γράφετι διδοχικά ( ) + ( ) = + = + + = ρ, φού + = ρ Εποµένως, η εφπτοµένη του κύκλου + ρ στο σηµείο του (, ) = + = ρ Α(, ) M(,) A έχει εξίσωση ε 5 Ν ποδείξετε ότι ο κύκλος µε κέντρο K (, ) ( ) + ( ) = ρ κι κτίν ρ έχει εξίσωση Απάντηση: Έστω O έν σύστηµ συντετγµένων στο επίπεδο κι C ο κύκλος µε κέντρο K (, ) κι κτίν ρ Έν σηµείο M (, ) νήκει στον κύκλο C, ν κι µόνο ν πέχει πό το κέντρο του Κ πόστση ίση µε ρ, δηλδή, ν κι µόνο ν ισχύει ΝΣ Μυρογιάννης wwwnsmavogiannisg

8 8 ( KM ) = ρ () Όµως, ( KM) = ( ) + ( ) Εποµένως, η σχέση () γράφετι: ( ) + ( ) = ρ ( ) + ( ) = ρ ή, ισοδύνµ, Άρ, ο κύκλος µε κέντρο K (, ) κι κτίν ρ έχει εξίσωση: ( ) + ( ) = ρ () Κ(, ) ρ M(,) Ν ποδείξετε ότι κάθε κύκλος έχει εξίσωση της µορφής + + A + B + Γ =, µε A + B 4Γ > (Ι) κι ντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής (Ι) πριστάνει κύκλο Απάντηση: Έστω κύκλος µε κέντρο K (, ) κι κτίν ρ Γνωρίζουµε ότι θ έχει εξίσωση: ( ) + ( ) = ρ () Αν τώρ εκτελέσουµε τις πράξεις, η εξίσωση () γράφετι + + ( + ρ ) =, δηλδή πίρνει τη µορφή + + A + B + Γ =, (Ι) όπου A=, B = κι Γ = + ρ Αντιστρόφως, κάθε εξίσωση της µορφής (Ι) γράφετι διδοχικά: ( + A) + ( + B) = Γ Εποµένως ν A A A B B A B = Γ A B A B Γ = 4 A B + B 4Γ >, η εξίσωση (Ι) πριστάνει κύκλο µε κέντρο K, A + B 4Γ κι κτίν ρ = Τι ονοµάζετι προλή µε εστί το σηµείο Ε κι διευθετούσ την ευθεί δ που δεν διέρχετι πό το Ε; Απάντηση: Είνι ο γεωµετρικός τόπος C των σηµείων του επιπέδου τ οποί ισπέχουν πό την Ε κι τη δ Ν ποδείξετε ότι ο άξονς είνι άξονς συµµετρίς της προλής = p Απάντηση: Αν το σηµείο M(, ) είνι σηµείο της προλής, δηλδή, ν = p, τότε κι το σηµείο M (, ) θ είνι σηµείο της ίδις προλής, φού ( ) = p Αυτό σηµίνει ότι ο άξονς είνι άξονς συµµετρίς της προλής 3 Τι ονοµάζετι έλλειψη µε εστίες τ σηµεί E κι Ε; Απάντηση: γεωµετρικός τόπος C των σηµείων του επιπέδου των οποίων το άθροισµ των ποστάσεων πό τ E κι Ε είνι στθερό κι µεγλύτερο του EE ΝΣ Μυρογιάννης wwwnsmavogiannisg

9 9 4 Τι ονοµάζετι υπερολή µε εστίες τ σηµεί E κι Ε; Απάντηση: γεωµετρικός τόπος C των σηµείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιµή της διφοράς των ποστάσεων πό τ E κι Ε είνι στθερή κι µικρότερη του ( EE ) 5 Ν ποδείξετε ότι η ευθεί = λ έχει µε την υπερολή = δύο κοινά σηµεί, ν κι µόνο ν λ < Απάντηση: Έστω µι υπερολή C µε εξίσωση = κι µι ευθεί ε µε εξίσωση = λ, δηλδή µι ευθεί που περνάει πό την ρχή των ξόνων Η ευθεί ε έχει µε την υπερολή C κοινά σηµεί, ν κι µόνο ν το σύστηµ = κι = λ () έχει λύση Η πρώτη εξίσωση του συστήµτος (), λόγω της δεύτερης, γράφετι διδοχικά λ = λ = ( λ ) = () Έτσι το σύστηµ () έχει λύση, ν κι µόνο ν η () έχει λύση, δηλδή ν κι µόνο ν λ > ή, ισοδύνµ, ν κι µόνο ν λ < (3) Εποµένως, η ευθεί = λ έχει µε την υπερολή κοινά σηµεί, κι µάλιστ δύο, µόνο ότν λ < 6 Πότε λέµε ότι ο κέριος διιρεί τον κέριο ; Απάντηση: τν η διίρεση του µε τον είνι τέλει, δηλδή ότν υπάρχει κέριος κ, τέτοιος, ώστε = κ 7 Έστω,, γ κέριοι Ν ποδείξετε ότι: (i) Αν κι, τότε = ή = (ii) Αν κι γ, τότε γ (iii) Αν, τότε λ γι κάθε κέριο λ (iv) Αν κι γ, τότε ( + γ) (v) Αν κι, τότε Απάντηση: (i) Επειδή κι, υπάρχουν κέριοι κ, λ, τέτοιοι, ώστε = κ κι = λ, οπότε = κλ κι εποµένως, κλ =, που σηµίνει ότι κ = λ= ή κ = λ =, δηλδή ότι = ή = (ii) Επειδή κι γ, υπάρχουν κέριοι κ, λ, τέτοιοι, ώστε = κ κι γ= λ, οπότε γ = λκ κι άρ γ (iii) Επειδή υπάρχει κέριος κ, τέτοιος, ώστε = κ, οπότε λ = λκ κι άρ λ ΝΣ Μυρογιάννης wwwnsmavogiannisg

10 (iv) Επειδή κι γ, υπάρχουν κέριοι κ, λ, τέτοιοι, ώστε = κ κι γ = λ, οπότε + γ =( κ+ λ) κι άρ ( + γ) (v) Επειδή κι, υπάρχει κέριος κ µε = κ Εποµένως, = κ, φού κ 8 Έστω κι δύο κέριοι, πό τους οποίους ένς τουλάχιστον είνι διάφορος του µηδενός Α) Τι ονοµάζουµε µέγιστο κοινό διιρέτη των κι ; Β) Πότε οι, λέγοντι πρώτοι µετξύ τους; Απάντηση: Α) Το µεγλύτερο πό τους θετικούς κοινούς διιρέτες τους Β) Ότν ο µέγιστος κοινός διιρέτης τους είνι 9 Έστω δύο κέριοι κι, διφορετικοί πό το µηδέν Τι ονοµάζουµε ελάχιστο κοινό πολλπλάσιο των κι ; Απάντηση: Το µικρότερο πό τ θετικά κοινά πολλπλάσι των κι ΝΣ Μυρογιάννης wwwnsmavogiannisg