1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Transcript

1 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν, μάθμε ότι: ΟΡΙΣΜΟΣ Μι συνάρτηση f λέγετι : γνησίως ύξουσ σ έν δ ι ά σ τ η μ Δ του πεδίου ορισμού της, ότν γι οποιδήποτε Δ με < ισχύει:, f < f Σχ γνησίως φθίνουσ σ έν δ ι ά σ τ η μ Δ του πεδίου ορισμού της, ό- τν γι οποιδήποτε, Δ με < ισχύει: f > f Σχ β f f f f 5 Ο Δ a Ο Δ Γι ν δηλώσουμε ότι η f είνι γνησίως ύξουσ ντιστοίχως γνησίως φθίνουσ σε έν διάστημ Δ, γράφουμε f Δ ντιστοίχως f Δ β Μι συνάρτηση f λέγετι, πλώς,: ύξουσ σ έν διάστημ Δ, ότν γι οποιδήποτε Δ με < ισχύει f f, φθίνουσ σ έν διάστημ Δ, ότν γι οποιδήποτε Δ με < ισχύει f f,

2 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 53 Γι πράδειγμ, η συνάρτηση f = : είνι γνησίως ύξουσ στο [ 0, +, φού γι 0 < έχουμε <, δηλδή 6 f < f είνι γνησίως φθίνουσ στο,0], φού = γι < 0 έχουμε 0 <, οπότε 0 <, δηλδή O f > f Αν μι συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ σ έν διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της, τότε λέμε ότι η f είνι γνησίως μονότονη στο Δ Στην περίπτωση που το πεδίο ορισμού της f είνι έν διάστημ Δ κι η f είνι γνησίως μονότονη σ υτό, τότε θ λέμε, πλώς, ότι η f είνι γνησίως μονότονη Ακρόττ συνάρτησης Οι έννοιες μέγιστο, ελάχιστο, συνάρτησης είνι κι υτές γνωστές πό προηγούμενες τάξεις Συγκεκριμέν μάθμε ότι: ΟΡΙΣΜΟΣ Μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι: Προυσιάζει στο A ολικό μέγιστο, το f, ότν 0 0 f f γι κάθε A 0 Σχ 7 Προυσιάζει στο A ολικό ελάχιστο, το f, ότν 0 0 f f γι κάθε A 0 Σχ 7β 7 f 0 f f C f O 0 f 0 O 0 a C f β

3 54 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Γι πράδειγμ: Η συνάρτηση f = + Σχ 8 προυσιάζει μέγιστο στο 0 = 0, το f 0 =, φού f f 0 γι κάθε Η συνάρτηση f = Σχ 8β προυσιάζει ελάχιστο στο 0 =, το f = 0, φού f f γι κάθε = + = 8 O O γ δ Η συνάρτηση f = ημ Σχ 9 προυσιάζει μέγιστο, το =, σε κθέν πό τ σημεί πό τ σημεί π π kπ +, k κι ελάχιστο, το =, σε κθέν kπ, k, φού ημ γι κάθε 3 Η συνάρτηση f = Σχ 9β δεν προυσιάζει ούτε μέγιστο, ούτε ελάχιστο, φού είνι γνησίως ύξουσ 9 =ημ = 3 π/ O π/ π ε 3π/ π 5π/ O στ Όπως είδμε κι στ προηγούμεν πρδείγμτ, άλλες συνρτήσεις προυσιάζουν μόνο μέγιστο, άλλες μόνο ελάχιστο, άλλες κι μέγιστο κι ελάχιστο κι άλλες ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο Το ολικό μέγιστο κι το ολικό ελάχιστο μις συνάρτησης f λέγοντι ολικά κρόττ της f Συνάρτηση

4 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 55 Έστω η συνάρτηση ισχύει η συνεπγω- γι οποιδήποτε γή: Aν που σημίνει ότι: f = Πρτηρούμε ότι 0,, τότε f f, Τ διφορετικά στοιχεί, D f έχουν πάντοτε διφορετικές εικόνες Λόγω της τελευτίς ιδιότητς η συνάρτηση έν προς έν Γενικά: ΟΡΙΣΜΟΣ f f = 30 O f = λέγετι συνάρτηση Μι συνάρτηση f : A λέγετι συνάρτηση, ότν γι οποιδήποτε A ισχύει η συνεπγωγή:, ν, τότε f f Με πγωγή σε άτοπο ποδεικνύετι ότι: Μι συνάρτηση f : A είνι συνάρτηση, ν κι μόνο ν γι οποιδήποτε A ισχύει η συνεπγωγή:, ν f = f, τότε = Έτσι γι πράδειγμ: Η συνάρτηση f = + β, με 0 είνι συνάρτηση Σχ 3, β f f f f β 3 O O O a β φού, ν υποθέσουμε ότι f = f, τότε έχουμε διδοχικά: γ β = + β +

5 56 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ = = Η συνάρτηση f = β δεν είνι συνάρτηση - Σχ 3γ, φού f = f = β γι οποιδήποτε,, = 3 Η συνάρτηση f = Σχ 3 δεν είνι συνάρτηση, φού f = f = ν κι είνι ΣΧΟΛΙΑ O Από τον πρπάνω ορισμό προκύπτει ότι μι συνάρτηση f είνι, ν κι μόνο ν: Γι κάθε στοιχείο του συνόλου τιμών της η εξίσωση f = έχει κριβώς μι λύση ως προς Δεν υπάρχουν σημεί της γρφικής της πράστσης με την ίδι τετγμένη Αυτό σημίνει ότι κάθε οριζόντι ευθεί τέμνει τη γρφική πράστση της f το πολύ σε έν σημείο Σχ A B O συνάρτηση - O συνάρτηση όχι - Αν μι συνάρτηση είνι γνησίως μονότονη, τότε προφνώς, είνι συνάρτηση " " Έτσι, οι συνρτήσεις f = + β, 0, 3 f =, 0, f =, 3 0 < κι f 4 = log, 0 <, είνι συνρτήσεις Υπάρχουν, όμως, συνρτήσεις που είνι λλά δεν είνι γνησίως μονότονες, όπως γι πράδειγμ η συνάρτηση =g 34 O

6 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 57, 0 g = Σχ 34, > 0 Αντίστροφη συνάρτηση Έστω μι συνάρτηση f : A Αν υποθέσουμε ότι υτή είνι, τότε γι κάθε στοιχείο του συνόλου τιμών, f A, της f υπάρχει μονδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α γι το οποίο ισχύει f = Επομένως ορίζετι μι συνάρτηση g : f A με την οποί κάθε μονδικό A f A γι το οποίο ισχύει ντιστοιχίζετι στο f = Από τον τρόπο που ορίστηκε η g προκύπτει ότι: έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών f A της f, έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της f κι ισχύει η ισοδυνμί: f = g = =f O 35 Αυτό σημίνει ότι, ν η f ντιστοιχίζει το στο, τότε η g ντιστοιχίζει το στο κι ντιστρόφως Δηλδή η g είνι η ντίστροφη διδικσί της f Γι το λόγο υτό η g λέγετι ντίστροφη συνάρτηση της f κι συμβολίζετι με f Επομένως έχουμε A g= f g fa =f 36a f = f = οπότε f f =, A κι f f =, f A Γι πράδειγμ, έστω η εκθετική συνάρτηση f = Όπως είνι γνωστό η συνάρτηση υτή είνι με πεδίο ορισμού το κι σύνολο τιμών το 0, + Επομένως ορίζετι η log a = f 0,+ =a 36β ντίστροφη συνάρτηση f της f Η συνάρτηση υτή, σύμφων με όσ είπμε προηγουμένως, f -

7 58 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ έχει πεδίο ορισμού το 0, + έχει σύνολο τιμών το κι ντιστοιχίζει κάθε 0, + στο μονάδικό γι το οποίο ισχύει = Επειδή όμως θ είνι f = log = = log Επομένως, η ντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης f =, 0 <, είνι η λογριθμική συνάρτηση g = log Συνεπώς log log = κι =, 0, +, Ας πάρουμε τώρ μι συνάρτηση f M,β 37 κι ς θεωρήσουμε τις γρφικές πρστάσεις C κι C των f κι της f στο ίδιο σύστημ ξόνων Σχ 37 Επειδή M β, C f = f =, O ν έν σημείο M, β νήκει στη γρφική C πράστση C της f, τότε το σημείο Μ β, θ νήκει στη γρφική πράστση = C της f κι ντιστρόφως Τ σημεί, όμως, υτά είνι συμμετρικά ως προς την ευθεί που διχοτομεί τις γωνίες O κι O Επομένως: Οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι f είνι συμμετρικές ως προς την ευθεί = που διχοτομεί τις γωνίες O κι O Έτσι, οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f = κι g = log, 0 <, είνι συμμετρικές ως προς την ευθεί = ΕΦΑΡΜΟΓΗ Ν ποδειχτεί ότι η συνάρτηση 3 f = e + είνι κι ν βρεθεί η ντίστροφή της ΛΥΣΗ Έστω, με f = f Θ δείξουμε ότι = Πράγμτι έχουμε διδοχικά: f = f

8 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 59 3 e e e 3 + = e 3 = e = e 3 = 3 3 = 3 = Γι ν βρούμε την ντίστροφη της f θέτουμε = f κι λύνουμε ως προς Έχουμε λοιπόν: + f = e 3 + = 3 e = 3 e = 3 = ln, > 3 = ln +, > = ln +, > 3 3 Επομένως, f = ln +, >, οπότε η ντίστροφη της f είνι η συ- 3 3 f = ln +, > 3 3 νάρτηση ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ N βρείτε ποιες πό τις πρκάτω συνρτήσεις είνι γνησίως ύξουσες κι ποιες γνησίως φθίνουσες i f = ii f = ln iii f = 3e + iv f =,

9 60 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ν βρείτε ποιες πό τις πρκάτω συνρτήσεις είνι " " κι γι κθεμί π υτές ν βρείτε την ντίστροφή της i f = 3 v f = ln ii f = + vi f = e + iii f = + vii e f = e + iv f = 3 viii f = 3 Δίνοντι οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f, g, φ κι ψ =f =g O O =φ =ψ O O Ν βρείτε ποιες πό τις συνρτήσεις f, g, φ,ψ έχουν ντίστροφη κι γι κθεμί π υτές ν χράξετε τη γρφική πράστση της ντίστροφής της 4 Ν δείξετε ότι: i Αν μι συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ σε έν διάστημ Δ, τότε η συνάρτηση f είνι γνησίως φθίνουσ στο Δ ii Αν δύο συνρτήσεις f, g είνι γνησίως ύξουσες σε έν διάστημ Δ, τότε η συνάρτηση f + g είνι γνησίως ύξουσ στο Δ iii Αν δύο συνρτήσεις f, g είνι γνησίως ύξουσες σε έν διάστημ Δ κι ισχύει f 0 κι g 0 γι κάθε Δ, τότε η συνάρτηση fg είνι γνησίως ύξουσ στο Δ

10 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6 είνι γνησίως φθί- Ανάλογ συμπεράσμτ διτυπώνοντι, ν οι νουσες σε έν διάστημ Δ f, g