KΕΦΑΛΑΙΟ 6 Γραµµικός Προγραµµατισµός 6. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο γραµµικός προγραµµατισµός (Γ.Π.) είναι µια µέθοδος βελτιστοποίησης που εφαρµόζεται για την επίλυση προβληµάτων στα οποία η αντικειµενική συνάρτηση και οι περιορισµοί είναι γραµµικές συναρτήσεις των µεταβλητών απόφασης. Η αναγνώριση προβληµάτων αυτής της κατηγορίας τοποθετείται στη δεκαετία του 930 από οικονοµολόγους που αναζητούσαν µεθόδους για τον βέλτιστο καταµερισµό εξαντλήσιµων πόρων. O Dantzig το 947, εργαζόµενος για την αεροπορία των Η.Π.Α., επινόησε τη µέθοδο Simplex για τη λύση του γενικού προβλήµατος Γ.Π. Από τότε οι εφαρµογές Γ.Π. είναι αναρίθµητες. Από τις πλέον αποδοτικές αφορούν το µίγµα υποπροϊόντων σε διϋλιστήρια πετρελαίου και γενικότερα τη χηµική βιοµηχανία, έλεγχο αποθεµάτων σε βιοµηχανίες παραγωγής καταναλωτικών προϊόντων, δίκτυα διανοµής τροφίµων από τα εργοστάσια παραγωγής σε αποθήκες, δίκτυα τηλεπικοινωνιών κ.ά. Το γενικό πρόβληµα Γ.Π. διατυπώνεται στην ακόλουθη µορφή: Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν τη γραµµική αντικειµενική συνάρτηση x n minf(x) = c x x R n j= κάτω από ένα σύνολο m γραµµικών περιορισµών n a ijx j = j= b i j j i =, 2,, m x j 0 j =, 2,, n Το πρόβληµα έχει ενδιαφέρον µόνον όταν m < n, αλλιώς ανάγεται στην αναζήτηση λύσης ενός συστήµατος n εξισώσεων µε n αγνώστους. Εναλλακτικά η διατύπωση του προβλήµατος µε µορφή πινάκων έχει ως εξής: T min f(x) = c x x R n κάτω από x Α x = b A(m,n) b R m x 0
Οι παραδοχές που γίνονται στο γενικό πρόβληµα Γ.Π. είναι: ) ελαχιστοποίηση της γραµµικής αντικειµενικής συνάρτησης 2) οι περιορισµοί έχουν τη µορφή ισοτήτων 3) οι µεταβλητές απόφασης είναι µη αρνητικές Οι παραδοχές αυτές δεν επιφέρουν απώλεια της γενικότητας της µεθόδου, διότι οποιοδήποτε πρόβληµα Γ.Π. µπορεί να διατυπωθεί στην παραπάνω µορφή µε τους παρακάτω µετασχηµατισµούς: ) µεγιστοποίηση µιας συνάρτησης ισοδυναµεί µε ελαχιστοποίηση της ίδιας συνάρτησης µε αρνητικό πρόσηµο 2) περιορισµοί µε τη µορφή ανισοτήτων του τύπου «µικρότερο ή ίσο» ή «µεγαλύτερο ή ίσο» µπορεί να µετατραπούν σε ισότητες µε την προσθήκη µιας νέας µη αρνητικής συµπληρωµατικής (slack) ή πλεονασµατικής (surplus) µεταβλητής αντίστοιχα (µεταβλητές απόκλισης) 3) µια µεταβλητή µε µη καθορισµένο πρόσηµο µπορεί να γραφεί σαν διαφορά δύο νέων µη αρνητικών µεταβλητών. 6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Γ.Π. Στη περίπτωση µόνο δύο µεταβλητών απόφασης είναι δυνατόν να µελετηθεί το πρόβληµα Γ.Π. µε µια απλή γραφική µέθοδο, η οποία παρέχει και τη γεωµετρική ερµηνεία της γενικής λύσης, δηλαδή εξηγεί τις περιπτώσεις µοναδικής και πεπερασµένης βέλτιστης λύσης άπειρος αριθµός βέλτιστων λύσεων µη φραγµένη λύση καµιά λύση µοναδικό εφικτό σηµείο Επίσης η γραφική µέθοδος εξηγεί ότι η εφικτή περιοχή είναι κυρτό πολύγωνο η βέλτιστη λύση αν υπάρχει είναι σε µια κορυφή της εφικτής περιοχής Παράδειγµα 6. Αρδευτικό έργο Σε µια περιοχή το νερό που είναι διαθέσιµο ετησίως είναι 800 acre-ft. Η απαίτηση νερού των µοναδικών δύο καλλιεργειών Α και Β είναι 3 και 2 acreft/acre αντίστοιχα. Για να σταθεροποιηθούν οι τιµές στην αγορά επιβάλλεται να περιοριστούν οι καλλιέργειες Α και Β σε 400 και 600 acres αντίστοιχα, οπότε το κέρδος που προκύπτει είναι $300/acre για την Α και $500/acre για τη
Β. Ζητείται να καθοριστεί η έκταση που θα αποδοθεί σε κάθε καλλιέργεια ώστε να µεγιστοποιείται το κέρδος. Ορίζοντας σαν µεταβλητές απόφασης x και x 2 την έκταση σε acres που θα αποδοθεί στις καλλιέργειες Α και Β αντίστοιχα, το πρόβληµα διατυπώνεται ως εξής 3 max f(x, x 2 ) = 300 x + 500 x 2 κάτω από x 400 () x 2 600 (2) 3 x + 2 x 2 800 (3) x 0 (4) x 2 0 (5) Οι περιορισµοί ορίζουν το σύνολο των εφικτών λύσεων που όπως φαίνεται στο Σχήµα 6. είναι κυρτό. Μετατοπίζοντας την ευθεία που αναπαριστά την αντικειµενική συνάρτηση παράλληλα στον εαυτό της προς τα δεξιά, η τιµή της αυξάνει και µεγιστοποιείται στο σηµείο (200,600). Παράδειγµα Γ.Π. 000 3 Χ + 2 Χ2 = 800 X2 = 600 X = 400 f = 300 X + 500 X2 900 800 700 600 Χ2 500 400 300 200 00 0 0 00 200 300 400 500 600 700 Χ Σχήµα 6.. Γραφική λύση προβλήµατος Γ.Π.
Παρατηρήσεις ) Καθώς µετατοπίζεται η αντικειµενική συνάρτηση f, το µέγιστο επιτυγχάνεται όταν η ευθεία στην πιο απόµακρη θέση της έχει τουλάχιστον ένα κοινό σηµείο µε την εφικτή περιοχή 2) η βέλτιστη τιµή επιτυγχάνεται στην κορυφή x = 200, x 2 = 600 µε τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης f = $360,000 3) η αντικειµενική συνάρτηση f θα µπορούσε να ταυτίζεται µε το σύνορο της εφικτής περιοχής 3 x + 2 x 2 = 800 άπειρος αριθµός βέλτιστων λύσεων 4) η εφικτή περιοχή µπορεί να µην είναι κλειστό πολύγωνο µη φραγµένη λύση 5) η εφικτή περιοχή µπορεί να είναι το κενό σύνολο ασυνέπεια στους περιορισµούς 6) η εφικτή περιοχή µπορεί να είναι ένα µοναδικό σηµείο Ερµηνεία µε βάση τους πολλαπλασιαστές Lagrange Εξετάζεται ποιοι περιορισµοί είναι ενεργοί στο βέλτιστο σηµείο x = 200 < 400 ανενεργός λ = 0 x 2 = 600 = 600 ενεργός λ 0 3 x + 2 x 2 = 800 ενεργός λ 0 Επειδή έχει αποδειχθεί ότι ο πολλαπλασιαστής Lagrange εκφράζει την οριακή µεταβολή της αντικειµενικής συνάρτησης για µια µεταβολή του επιπέδου του f περιορισµού ήλ= b i x Είναι προφανές ότι στο παράδειγµα µπορεί να µεταβληθεί το επίπεδο του περιορισµού () αυξητικά χωρίς να επηρεαστεί η βέλτιστη τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης. Λύση µε το MS Excel Το πρόγραµµα φύλων εργασίας MS Excel έχει τη δυνατότητα να επιλύει προβλήµατα Γ.Π. Τα δεδοµένα και οι εξισώσεις του παραδείγµατος διατάσσονται όπως φαίνεται στον πίνακα: Α B C D E F Obj Function Cost Coeff Variables Solution Constraints Constants 4 =B4D4+B5D5 300 x= =D4 400 5 500 x2= =D5 600 6 =3D4+2D5 800 7 =D4 0 8 =D5 0
Ακολουθώντας τις οδηγίες χρήσης του πρόσθετου προκύπτει η λύση όπως φαίνεται παρακάτω (µε πλάγια γραφή εµφανίζονται τιµές που υπολογίζει το πρόγραµµα επίλυσης): 5 Α B C D E F Obj Function Cost Coeff Variables Solution Constraints Constants 4 360000 300 x= 200 200 400 5 500 x2= 600 600 600 6 800 800 7 200 0 8 600 0 6.3 ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ. Υπερεπίπεδο. Στον n-διάστατο χώρο το σύνολο των σηµείων x (διανύσµατα) που ικανοποιούν τη γραµµική εξίσωση a T x = b ονοµάζεται υπερεπίπεδο. Ένα υπερεπίπεδο χωρίζει το n-διάστατο χώρο R n σε δύο κλειστούς ηµιχώρους Η + = {x a T x b} και Η - = {x a T x b}, κλειστούς διότι περιλαµβάνουν και το υπερεπίπεδο («ή ίσο» στις ανισότητες). 2. Κυρτό σύνολο. Το σύνολο S των σηµείων τέτοιων ώστε αν x και x 2 είναι οποιαδήποτε δύο σηµεία του συνόλου, το ευθύγραµµο τµήµα που τα ενώνει ανήκει επίσης στο σύνολο ή S κυρτό σύνολο εάν x, x 2 S τότε τα σηµεία x = α x + ( α) x 2 S α [0, ] 3. Κορυφή (ακραίο σηµείο). Είναι ένα σηµείο σε ένα κυρτό σύνολο που δεν ανήκει στο ευθύγραµµο τµήµα που συνδέει δύο άλλα σηµεία του συνόλου. 4. Κυρτό πολύεδρο. Ένα σύνολο σηµείων που είναι κοινά σε έναν ή περισσότερους ηµιχώρους (είναι κυρτό µε βάση το Θεώρηµα ). 5. Εφικτή λύση. Στο πρόβληµα Γ.Π. κάθε λύση που ικανοποιεί τους περιορισµούς Α x = b, x 0. 6. Βασική λύση. Μια λύση του Α x = b στην οποία n m µεταβλητές είναι ίσες µε µηδέν. 7. Βάση. Το σύνολο των m µεταβλητών που δεν είναι µηδέν σε µια βασική λύση (όχι οι τιµές τους). 8. Βασική εφικτή λύση. Μια βασική λύση που ικανοποιεί x 0
9. Μη εκφυλισµένη βασική εφικτή λύση. Μια βασική εφικτή λύση µε ακριβώς m µεταβλητές x i > 0. 0. Βέλτιστη λύση. Μια εφικτή λύση που βελτιστοποιεί την αντικειµενική συνάρτηση.. Βέλτιστη βασική λύση. Μια βασική εφικτή λύση που βελτιστοποιεί την αντικειµενική συνάρτηση. Θεώρηµα : Η τοµή οποιουδήποτε αριθµού κυρτών συνόλων είναι επίσης κυρτό σύνολο. Εάν R i i =, 2,, k κυρτά σύνολα R = k R i i= x, x 2 R τότε τα σηµεία x = α x + ( α) x 2 R α [0, ] Θεώρηµα 2: Η εφικτή περιοχή του προβλήµατος Γ.Π. είναι κυρτή. S = {x Α x = b, x 0} x S: Α x = b x 0 x 2 S: Α x 2 = b x 2 0 Α [λ x + ( λ) x 2 ] = λ b + ( λ) b = b Άρα το σηµείο x = λ x + ( λ) x 2 ικανοποιεί τον περιορισµό Α x = b και λ [0, ], x 0. Άρα η εφικτή περιοχή S είναι κυρτό σύνολο. Θεώρηµα 3: Ένα τοπικό ελάχιστο που ανήκει σε ένα κυρτό σύνολο είναι απόλυτο ελάχιστο. Αν το Α είναι το τοπικό ελάχιστο και το Β είναι το απόλυτο ελάχιστο, όλα τα σηµεία στο ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ είναι στην εφικτή περιοχή και εκείνα που είναι κοντά στο Α θα δίνουν τιµές στην αντικειµενική συνάρτηση µικρότερες της f A. Πόρισµα: Ένα τοπικό ελάχιστο για ένα πρόβληµα Γ.Π. είναι απόλυτο ελάχιστο. Θεώρηµα 4: Κάθε βασική εφικτή λύση είναι ακραίο σηµείο του κυρτού συνόλου των εφικτών λύσεων. Έστω x = [b b 2 b m 0 0 0 ] T 0 µια βασική εφικτή λύση. Για να είναι το x ακραίο σηµείο (κορυφή) χρειάζεται να δειχτεί ότι δεν υπάρχει εφικτή λύση y, z ώστε x = λ y + (-λ) z 0 λ Αν αυτό ίσχυε, τότε x j = λ y j + (-λ) z j = 0 για j = m+,, n y j = z j = 0 Επειδή x, y, z είναι εφικτές λύσεις Αx = Αy = Αz = b. Άρα x = y = z και το σηµείο x δεν µπορεί να είναι γραµµικός συνδυασµός δύο λύσεων y, z διαφορετικών από το x.
7 Θεώρηµα 5 (Karatheodoris): Έστω S ένα κλειστό, φραγµένο πολύεδρο µε x ie, i =,, p το σύνολο των κορυφών του. Τότε κάθε διάνυσµα x S µπορεί να γραφεί σαν γραµµικός συνδυασµός των κορυφών p e x = λ i x i λ i 0 µε λ i = i= p i= Θεώρηµα 6: Έστω S ένα κλειστό κυρτό πολύεδρο. Τότε το ελάχιστο µιας γραµµικής συνάρτησης στο S επιτυγχάνεται σε µια κορυφή του S. Έστω το ελάχιστο x x i e c T x < c T x i e, i =,, p p T T e T T λi c x < λi c xi c x λi < c i= p i= Από το Θεώρηµα 5, µπορεί να επιλεγούν τα λ i ώστε το ελάχιστο να γραφεί ως p x e = λ i xi λ i 0 µε λ i = οπότε i= T T c x < c x άτοπο. p i= 6.4 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ m ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ n ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ (m < n) Περιστροφή είναι η πράξη απαλοιφής της µεταβλητής x i από n- εξισώσεις ενώ στην εξίσωση n ο συντελεστής της µεταβλητής x i είναι a ij =. Για ένα συνεπές σύστηµα (που έχει τουλάχιστον µια λύση) Α x = b, διαδοχικές περιστροφές οδηγούν το σύστηµα στην κανονική µορφή µε µεταβλητές περιστροφής x, x 2,, x m.. x + 0. x 2 + 0. x m + a,m+ x m+ +. + a,n x n = b 0. x +. x 2 + 0. x m + a 2,m+ x m+ +. + a 2,n x n = b 2 0. x + 0. x 2 +. x m + a m,m+ x m+ +. + a m,n x n = b m µεταβλητές περιστροφής µεταβλητές χωρίς περιστροφή (ανεξάρτητες) σταθερές Το κανονικό σύστηµα έχει την προφανή λύση x i = b i i =,, m (βασικές µεταβλητές) x i = 0 i = m+,, n (µη βασικές µεταβλητές) Η λύση αυτή είναι βασική λύση γιατί έχει n m µεταβλητές ίσες µε µηδέν. Αν επιπλέον ισχύει b i 0 είναι βασική εφικτή λύση. Είναι δυνατόν να βρεθούν άλλες βασικές λύσεις από την παραπάνω µορφή κανονικού συστήµατος εκτελώντας περιστροφή γύρω από τον (µη µηδενικό) συντελεστή µιας από τις p i= p i= λ i x e i
µη βασικές µεταβλητές. Η πράξη αυτή θα µεταβάλλει τον συντελεστή και µιας βασικής µεταβλητής και θα την καταστήσει µη βασική. Παράδειγµα 6.2 2 x + 3 x 2-2 x 3-7 x 4 = x + x 2 + x 3 + 3 x 4 = 6 x - x 2 + x 3 + 5 x 4 = 4 Περιστροφή γύρω από το a = 2 x + 3/2 x 2 - x 3-7/2 x 4 = /2 0 - /2 x 2 + 2 x 3 + 3/2 x 4 = /2 0-5/2 x 2 + 2 x 3 + 7/2 x 4 = 7/2 Περιστροφή γύρω από το a 22 = - /2 x + 0 +5 x 3 +6 x 4 = 7 0 + x 2-4 x 3-3 x 4 = - 0 + 0-8 x 3-24 x 4 = - 24 Περιστροφή γύρω από το a 33 = - 8 x + 0 + 0 + x 4 = 2 0 + x 2 + 0 - x 4 = 0 + 0 + x 3 +3 x 4 = 3 Το σύστηµα είναι σε κανονική µορφή και έχει την προφανή λύση x 4 = 0 x = 2 x 2 = x 3 = 3 (βασική εφικτή λύση) βάση {x, x 2, x 3 } Περιστροφή γύρω από το a 34 = 3 x + 0 - /3 x 3 + 0 = 0 + x 2 +/3 x 3 + 0 = 2 0 + 0 +/3 x 3 + x 4 = Το σύστηµα είναι σε κανονική µορφή και έχει την προφανή λύση x 3 = 0 x = x 2 = 2 x 4 = (βασική εφικτή λύση) βάση {x, x 2, x 4 } Περιστροφή γύρω από το a 23 = /3 x + x 2 + 0 + 0 = 3 0 + 3 x 2 + x 3 + 0 = 6 0 - x 2 + 0 + x 4 = - Το σύστηµα είναι σε κανονική µορφή και έχει την προφανή λύση x 2 = 0 x = 3 x 3 = 6 x 4 = - (βασική λύση, µη εφικτή) βάση {x, x 3, x 4 }
Περιστροφή γύρω από το a 2 = x + x 2 + 0 + 0 = 3-3 x + 0 + x 3 + 0 = -3 x + 0 + 0 + x 4 = 2 Το σύστηµα είναι σε κανονική µορφή και έχει την προφανή λύση x = 0 x 2 = 3 x 3 = -3 x 4 = 2 (βασική λύση, µη εφικτή) βάση {x 2, x 3, x 4 } 9 εδοµένου ότι οι βασικές λύσεις είναι οι κορυφές της εφικτής περιοχής και ότι η λύση του προβλήµατος Γ.Π. είναι πάνω σε µια από τις κορυφές, µπορούµε να δηµιουργήσουµε όλες τις βασικές λύσεις και να διαλέξουµε εκείνη που είναι εφικτή και ελαχιστοποιεί την αντικειµενική συνάρτηση. Μια και για κάθε βασική λύση θέτουµε n-m µεταβλητές ίσες µε το µηδέν από τις n µεταβλητές απόφασης, ο αριθµός των βασικών λύσεων είναι ίσος µε τον αριθµό των συνδυασµών m από n, δηλαδή n n! = m (n m)! m! Το πλήθος των βασικών λύσεων για n = 0, m = 5 προκύπτει ότι είναι 252, ενώ για n = 20, m = 0 είναι 84,700. Εποµένως χρειάζεται ένα υπολογιστικό σχήµα που θα οργανώσει την εξέταση των βασικών λύσεων πιο αποτελεσµατικά έτσι ώστε να βελτιώνεται η αντικειµενική συνάρτηση σε κάθε νέα δοκιµή. Αυτός είναι ο ρόλος της µεθόδου Simplex που αναπτύσσεται στη συνέχεια. Η µέθοδος αυτή βρίσκει σε κάθε δοκιµή µια νέα βασική εφικτή λύση που δίνει στην αντικειµενική συνάρτηση µικρότερη ή ίση τιµή. Έτσι εντοπίζει γρήγορα την κορυφή που αντιστοιχεί στο ελάχιστο σε πεπερασµένο αριθµό βηµάτων. 6.5 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX Η περιγραφή του αλγόριθµου Simplex προϋποθέτει καταρχήν ότι µια βασική εφικτή λύση είναι διαθέσιµη. Σε επόµενη ενότητα θα εξηγηθεί πως αυτό µπορεί να επιτυγχάνεται πάντοτε. Έστω ότι µε µια σειρά περιστροφών το πρόβληµα έχει αναχθεί σε κανονική µορφή που περιλαµβάνει και την αντικειµενική συνάρτηση, όπου η f λαµβάνεται σαν βασική µεταβλητή. x + 0. x 2 + 0. x m + a,m+ x m+ +. + a,n x n = b 0. x +. x 2 + 0. x m + a 2,m+ x m+ +. + a 2,n x n = b 2 0. x + 0. x 2 +. x m + a m,m+ x m+ +. + a m,n x n = b m - f + c m+ x m+ +. + c m x n = - f 0
Υπάρχει η προφανής βασική λύση x i = b i i =,, m x j = 0 j = m+,, n f = f 0 Αν επιπλέον ισχύει b i 0 η λύση αυτή είναι επίσης βασική εφικτή λύση. Θεώρηµα: Μια βασική εφικτή λύση είναι βέλτιστη αν όλοι οι συντελεστές κόστους των µη βασικών µεταβλητών c j, j = m+,, n είναι µη αρνητικοί. n + j = j= m+ Απόδειξη: Η αντικειµενική συνάρτηση έχει τη µορφή f" c " x j f0" Επειδή x j = 0, j = m+,, n στη βασική λύση και µπορεί να λάβουν µόνο µη αρνητικές τιµές, αν κάποιος συντελεστής c j > 0 η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης δεν µπορεί να µειωθεί θέτοντας x j > 0 (αντί για µηδέν), δηλαδή αλλάζοντας τη µη βασική µεταβλητή x j σε βασική. Επίσης, αν κάποιος συντελεστής c j = 0, η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης δεν αλλάζει όταν x j > 0, δηλαδή η αντίστοιχη µη βασική µεταβλητή x j γίνει βασική (υπάρχουν πολλαπλές βέλτιστες λύσεις). Εποµένως, αν οι συντελεστές c j είναι µη αρνητικοί, η βασική εφικτή λύση είναι η µοναδική βέλτιστη λύση για το σύνολο των µη βασικών µεταβλητών x j, j = m+,, n. Βελτίωση της αντικειµενικής συνάρτησης Περιλαµβάνοντας τις βασικές και µη βασικές µεταβλητές η αντικειµενική συνάρτηση έχει τη µορφή f" + ci " xi+ c j" x j = f0" m i= n j= m+ Αν τουλάχιστον ένας συντελεστής κόστους µη βασικής µεταβλητής είναι αρνητικός, c j < 0, η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης µπορεί να βελτιωθεί θέτοντας x j > 0 (αντί για µηδέν), δηλαδή αλλάζοντας τη µη βασική µεταβλητή x j σε βασική και προσθέτοντας αντίστοιχα µια από τις βασικές µεταβλητές στις µη βασικές. Αν υπάρχουν περισσότερα από ένα c j < 0, επιλέγεται c s = min {c j }< 0 Πως αλλάζουν οι βασικές µεταβλητές; x = b a,s x s b 0. x m = b m a m,s x s b m 0 f = f 0 + c s x s c s < 0 Αυξάνοντας την τιµή της µεταβλητής x s > 0, (επειδή c s < 0) θα µειώσει την f σηµαντικά, αλλά ταυτόχρονα, αν κάποιο a i,s > 0, θα επιφέρει x i < 0, παραβιάζοντας τον περιορισµό x i 0.
Προφανώς ) αν a i,s 0 i =, 2,, m η x s µπορεί να πάρει άπειρα µεγάλη τιµή µη φραγµένη λύση 2) αν a i,s > 0 για κάποιο i =, 2,, m η µεγαλύτερη τιµή της x s που δεν κάνει το x i < 0 είναι b i" x = s min a i,s " > 0 a is" 3) αν a i,s > 0 και b i = 0 εκφυλισµένη λύση (οι µη βασικές µεταβλητές είναι περισσότερες από n-m), η f δεν µπορεί να βελτιωθεί, οι x i και x s είναι µηδενικές. Πρόταση: b i" Χρησιµοποιώντας το κριτήριο x = s min δεν αποφέρει αρνητικό b i. a i,s " > 0 ais" b2 b Έστω b, b 2 > 0 και a, a 2 > 0 και. a 2 a Περιστροφή στο a 2 δίνει b = b b 2 / a 2. a b 2 b Αν b < 0 b b 2 / a 2. a < 0 > άτοπο η νέα λύση είναι πάντοτε a 2 a βασική εφικτή λύση. Παράδειγµα 6.3 - Μοναδική λύση Να επιλυθεί το Παράδειγµα 6. µε τη µέθοδο Simplex max f = 300 x + 500 x 2 min z = - 300 x - 500 x 2 κ.α. x 400 κ.α. x 400 x 2 600 x 2 600 3 x + 2 x 2 800 3 x + 2 x 2 800 x 0, x 2 0 x 0, x 2 0 Με εισαγωγή πλεονασµατικών µεταβλητών x 3, x 4, x 5 0 διατυπώνεται σε κανονική µορφή: x + x 3 = 400 x 2 + x 4 = 600 3 x + 2 x 2 + x 5 = 800-300 x - 500 x 2 - z = 0
επειδή όλα τα b j είναι θετικά, υπάρχει άµεσα διαθέσιµη µια βασική εφικτή λύση. Απλά θέτουµε τις αρχικές µεταβλητές απόφασης x = x 2 = 0 και χρησιµοποιούµε σαν βασικές µεταβλητές τις πλεονασµατικές µεταβλητές οπότε x 3 = 400, x 4 = 600, x 5 = 800 (ικανοποιείται ο περιορισµός x i 0). Εισάγουµε τον ακόλουθο πίνακα. όπου η βασική εφικτή λύση είναι προφανής x x 2 x 3 x 4 x 5 b j b j /a i x 3 0 0 0 400 x 4 0 0 0 600 600 x 5 3 2 0 0 800 900 - z -300-500 0 0 0 0 πλέον αρνητικός συντελεστής κόστους το x 2 εισέρχεται στην επόµενη βάση µικρότερο το x 4 αποµακρύνεται από την υπάρχουσα βάση () έλεγχος συντελ. κόστους c i < 0 για να βρεθεί ποιά µη βασική µεταβλητή εισέρχεται στην επόµενη βάση (2) αποφασίζεται ποιά µεταβλητή αποµακρύνεται από την υπάρχουσα βάση υπολογίζοντας για a i > 0 τον ελάχιστο λόγο b j /a i = min (3) περιστροφή στην εντοπισθείσα µεταβλητή της υπάρχουσας βάσης, δηλαδή διαίρεση της εξίσωσης περιστροφής δια του συντελεστού περιστροφής και πολλαπλασιασµός της εξίσωσης περιστροφής κατάλληλα και πρόσθεση για να µηδενιστεί ο συντελεστής της µεταβλητής που εισέρχεται στη βάση x x 2 x 3 x 4 x 5 b j b j /a i x 3 0 0 0 400 400 x 2 0 0 0 600 x 5 3 0 0-2 600 200 - z -300 0 0 500 0 300000 πλέον αρνητικός συντελεστής κόστους το x εισέρχεται στην επόµενη βάση µικρότερο το x 5 αποµακρύνεται από την υπάρχουσα βάση
3 x x 2 x 3 x 4 x 5 b j x 3 0 0 2/3 -/3 200 x 2 0 0 0 600 x 0 0-2/3 /3 200 - z 0 0 0 300 00 360000 οι συντελεστές κόστους των µη βασικών µεταβλητών x 4, x 5 είναι θετικοί βρέθηκε µοναδική βέλτιστη λύση x 4 = x 5 = 0 x = 200 x 2 = 600 x 3 = 200 -z = f = 360000 Παράδειγµα 6.4 - Μοναδική λύση max f = x + 2 x 2 + x 3 min z = - x - 2 x 2 - x 3 κ.α. 2 x + x 2 - x 3 2 κ.α. 2 x + x 2 - x 3 2-2 x + x 2-5 x 3-6 2 x - x 2 + 5 x 3 6 4 x + x 2 + x 3 6 4 x + x 2 + x 3 6 x i 0 x i 0 Με εισαγωγή πλεονασµατικών µεταβλητών x 4, x 5, x 6 0 διατυπώνεται σε κανονική µορφή: 2 x + x 2 - x 3 + x 4 = 2 2 x - x 2 + 5 x 3 + x 5 = 6 4 x + x 2 + x 3 + x 6 = 6 - x - 2 x 2 - x 3 - z = 0 Επειδή όλα τα b j είναι θετικά, υπάρχει άµεσα διαθέσιµη µια βασική εφικτή λύση. Απλά θέτουµε τις αρχικές µεταβλητές απόφασης = 0 και χρησιµοποιούµε σαν βασικές µεταβλητές τις πλεονασµατικές µεταβλητές (ικανοποιείται ο περιορισµός x i 0). ιαµορφώνουµε τον ακόλουθο πίνακα. x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b j b j /a i x 4 2-0 0 2 2 x 5 2-5 0 0 6 x 6 4 0 0 6 6 - z - -2-0 0 0 0 πλέον αρνητικός συντελεστής κόστους το x 2 εισέρχεται στην επόµενη βάση µικρότερο το x 4 αποµακρύνεται από την υπάρχουσα βάση
x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b j b j /a i x 2 2-0 0 2 x 5 4 0 4 0 8 2 x 6 2 0 2-0 4 2 - z 3 0-3 2 0 0 4 πλέον αρνητικός συντελεστής κόστους το x 3 εισέρχεται στην επόµενη βάση ισοπαλία επιλέγεται κάποιο αυθαίρετα το x 5 αποµακρύνεται από την υπάρχουσα βάση x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b j b j /a i x 2 3 0 5/4 /4 0 4 x 3 0 /4 /4 0 2 x 6 0 0 0-3/2 -/2 0 - z 6 0 0 2 3/4 3/4 0 0 όλοι οι συντελεστές κόστους είναι θετικοί βέλτιστη λύση x = x 4 = x 5 = 0 x 2 = 4 x 3 = 2 x 6 = 0 f = -z = 0 Παράδειγµα 6.5 - Μη φραγµένη λύση max f = 3 x + 2 x 2 min z = -3 x - 2 x 2 κ.α. x - x 2 κ.α. x - x 2 + x 3 = 3 x - 2 x 2 6 3 x -2 x 2 + x 4 = 6 x i 0 x i 0 Με εισαγωγή πλεονασµατικών µεταβλητών x 3, x 4 0 το πρόβληµα διατυπώνεται σε κανονική µορφή: x - x 2 + x 3 = 3 x - 2 x 2 + x 4 = 6-3x - 2 x 2 - z = 0 Επειδή όλα τα b j είναι θετικά, έχουµε βασική εφικτή λύση θέτοντας τις αρχικές µεταβλητές απόφασης = 0 και χρησιµοποιώντας σαν βασικές µεταβλητές τις πλεονασµατικές µεταβλητές (ικανοποιείται ο περιορισµός x i 0). Όταν υπάρχει διαθέσιµη µια βασική εφικτή λύση λέµε ότι αρχίζει η Φάση ΙΙ της µεθόδου Simplex. ιαµορφώνουµε τον ακόλουθο πίνακα
5 x x 2 x 3 x 4 b j b j /a i x 3-0 x 4 3-2 0 6 2 - z -3-2 0 0 0 πλέον αρνητικός συντελεστής κόστους το x εισέρχεται στην επόµενη βάση µικρότερο το x 3 αποµακρύνεται από την υπάρχουσα βάση x x 2 x 3 x 4 b j b j /a i x - 0 x 4 0-3 3 3 - z 0-5 3 0 3 πλέον αρνητικός συντελεστής κόστους το x 2 εισέρχεται στην επόµενη βάση το x 4 αποµακρύνεται από την υπάρχουσα βάση x x 2 x 3 x 4 b j b j /a i x 0-2 4 x 2 0-3 3 - z 0 0-2 5 8 το x 3 έχει αρνητικό συντελεστή κόστους, αλλά όλα τα a i είναι επίσης αρνητικά η z µπορεί να µειώνεται άπειρα για x 3 > 0 Αν όλα τα a i είναι αρνητικά ή µηδέν µη φραγµένη λύση Παράδειγµα 6.6 - Άπειρες λύσεις max f = 40 x + 00 x 2 min z = - 40 x - 00 x 2 κ.α. 0 x + 5 x 2 2500 4 x + 0 x 2 2000 2 x + 3 x 2 900 x i 0 Με εισαγωγή πλεονασµατικών µεταβλητών x 3, x 4, x 5 0 το πρόβληµα διατυπώνεται σε κανονική µορφή: 0 x + 5 x 2 + x 3 = 2500 4 x + 0 x 2 + x 4 = 2000 2 x + 3 x 2 + x 5 = 900-40 x - 00 x 2 - z = 0
Επειδή όλα τα b j είναι θετικά, και πάλι χρησιµοποιούµε σαν βασικές µεταβλητές τις πλεονασµατικές µεταβλητές. x x 2 x 3 x 4 x 5 b j b j /a i x 3 0 5 0 0 2500 500 x 4 4 0 0 0 2000 200 x 5 2 3 0 0 900 300 - z -40-00 0 0 0 0 πλέον αρνητικός συντελεστής κόστους το x 2 εισέρχεται στην επόµενη βάση µικρότερο το x 4 αποµακρύνεται από την υπάρχουσα βάση x x 2 x 3 x 4 x 5 b j b j /a i x 3 8 0 -/2 0 500 80 x 2 4/0 0 /0 0 200 500 x 5 8/0 0 0-3/0 300 350 - z 0 0 0 0 0 20000 Η βασική λύση είναι x = x 4 = 0 x 2 = 200 x 3 = 500 x 5 = 300 f = -z = 20000 Επειδή η µη βασική µεταβλητή x έχει µηδενικό συντελεστή κόστους, µπορεί να γίνει βασική (> 0) χωρίς να αλλάξει η τιµή της f. x x 2 x 3 x 4 x 5 b j x 0 /8 -/6 0 500/8 x 2 0 -/20 5/40 0 000/8 x 5 0 0 -/0-5/20 50 - f 0 0 0 0 0 20000 Η βασική λύση είναι x 3 = x 4 = 0 x = 500/8 x 2 = 25 x 5 = 50 f = -z = 20000 Έστω x και x 2 οι δύο λύσεις µε f = c T x = c T x 2 Κάθε γραµµικός συνδυασµός των δύο λύσεων x 3 = λ x + (-λ) x 2 είναι επίσης λύση: c T x 3 = λ c T x + (-λ) c T x 2 = λ f + (-λ) f = f Άρα το πρόβληµα έχει άπειρες λύσεις.
6.6 Η ΜΕΘΟ ΟΣ SIMPLEX ΥΟ ΦΑΣΕΩΝ Η βασική εφικτή λύση µπορεί να υπάρχει ή όχι και, αν υπάρχει, µπορεί να µην είναι άµεσα διαθέσιµη, όπως υποθέσαµε µέχρι τώρα. Π.χ. έστω ο περιορισµός x - x 2 5 - x + x 2-5 - x + x 2 + x 3 = -5 x, x 2, x 3 > 0 Τώρα δεν µπορεί να τεθεί x = x 2 = 0 και να χρησιµοποιηθεί στη βάση η συµπληρωµατική µεταβλητή x 3 επειδή έχει αρνητική τιµή x 3 = -5. Φάση Ι: ελέγχει αν το πρόβληµα έχει µια εφικτή λύση µε χρήση του αλγόριθµου Simplex και κατόπιν παράγει τη βασική εφικτή λύση σε κανονική µορφή. Φάση ΙΙ: ελέγχει αν το πρόβληµα έχει ένα φραγµένο βέλτιστο και κατόπιν βρίσκει τη βασική εφικτή λύση που είναι βέλτιστη. Βήµατα της Φάσης Ι () διαµόρφωση του αρχικού συστήµατος ώστε όλα τα b j 0 και Ax = b, x 0 περιλαµβανοµένων των συµπληρωµατικών ή πλεονασµατικών µεταβλητών, π.χ. x - x 2 - x 3 = 5 (2) εισαγωγή τεχνητών µεταβλητών y, y m 0 ώστε Ax + Ι mm y = b, b 0 (3) εισαγωγή της µεταβλητής ανεφικτότητας w = y + y 2 + + y m (w 0) w = b - a x -. - a n x n + b 2 a 2 x -. a 2n x n + + b m a m x -. a mn x n w = (b + b 2 + + b m ) (a + a 2 +.+ a m ) x - - (a n + a 2n +. + a mn ) x n w = w 0 + d x + + d n x n Ας εξεταστεί το πρόβληµα Γ.Π. T min w(x) = w + d x x R n κάτω από x 0 Α x + Ι mm y = b A(n,m) b R m c T x f = 0 x 0 y 0 Είναι προφανές ότι έχει την κανονική µορφή a x + a 2 x 2 + a n x n + y = b a 2 x + + a 2n x n + y 2 = b 2 7 a m x +... + a mn x n + y m = b m c x +... + c n x n - f = 0 d x +... + d n x n - w = - w 0
για την οποία η βασική εφικτή λύση είναι προφανής: x = 0, y = b 0 που δίδει τις τιµές f = 0 και w = w 0 0. Εποµένως µπορεί να χρησιµοποιηθεί ο αλγόριθµος Simplex και να βελτιωθεί η βασική εφικτή λύση ώστε να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση w. Έλεγχος () αν w > 0 δεν υπάρχει εφικτή λύση (κάποιο y i 0, Ax b) (2) αν w = 0 όλα τα y i = 0 και ο πίνακας είναι σε κανονική µορφή, και µια βασική εφικτή λύση του αρχικού προβλήµατος είναι διαθέσιµη. Η Φάση Ι συνοψίζεται ως εξής: x = 0 x 0 y 0 y = 0 w = w 0 w = 0 f = 0 f = c T x I y = b A x = b Βήµατα της Φάσης IΙ Παραλείπεται η w και οι µεταβλητές y i και βελτιώνεται η λύση για να βρεθεί η βέλτιστη, αν υπάρχει. Παράδειγµα 6.7 Μέθοδος Simplex δύο φάσεων min f = 2 x + 3 x 2 + 2 x 3 - x 4 + x 5 κ.α. 3 x - 3 x 2 + 4 x 3 + 2 x 4 - x 5 = 0 x + x 2 + x 3 + 3 x 4 + x 5 = 2 x i 0 Σε αναζήτηση µιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης κάποιος θα µπορούσε να δοκιµάσει θέτοντας x = x 2 = x 3 = 0, οπότε x 4 = 2/5 και x 5 = 4/5. Η λύση αυτή είναι ότι χρειάζεται για να αρχίσει η Φάση ΙΙ, και µάλιστα, όπως θα δειχθεί, είναι και η βέλτιστη λύση του προβλήµατος. Όµως η λύση βρέθηκε από σύµπτωση. Με εισαγωγή πλεονασµατικών µεταβλητών y, y 2 0 το πρόβληµα διατυπώνεται σε κανονική µορφή: 3 x -3 x 2 +4 x 3 +2 x 4 - x 5 + y = 0 x + x 2 + x 3 +3 x 4 + x 5 + y 2 = 2 2 x +3 x 2 +2 x 3 - x 4 + x 5 - f = 0 Είναι σαφές ότι η λύση x i = 0, y i = b i 0 είναι µια βασική εφικτή λύση (όπου y = 0, y 2 = 2). Το άθροισµα των τεχνητών µεταβλητών είναι: w = y + y 2 = 2-4 x + 2 x 2-5 x 3-5 x 4 + 0 x 5
Φάση Ι x x 2 x 3 x 4 x 5 y y 2 b j b j /a i y 3-3 4 2-0 0 0 y 2 3 0 2 2/3 - f 2 3 2-0 0 0 - w -4 2-5 -5 0 0 0-2 9 πλέον αρνητικός συντελεστής κόστους το x 4 εισέρχεται στην επόµενη βάση µικρότερο το y αποµακρύνεται από την υπάρχουσα βάση X x 2 x 3 x 4 x 5 y y 2 b j b j /a i x 4 3/2-3/2 2 -/2 /2 0 0 y 2-7/2 /2-5 0 5/2-3/2 2 4/ - f 7/2 3/2 4 0 /2 /2 0 0 - w 7/2 -/2 5 0-5/2 5/2 0-2 πλέον αρνητικός συντελεστής κόστους το x 2 εισέρχεται στην επόµενη βάση µικρότερο το y 2 αποµακρύνεται από την υπάρχουσα βάση x x 2 x 3 x 4 x 5 y y 2 b j x 4 6/ 0 7/ 2/ / 3/ 6/ x 2-7/ -0/ 0 5/ -3/ 2/ 4/ - f 98/22 0 8/22 0-4/22 20/22-6/22-2/22 - w 0 0 0 0 0 0 η βασική λύση που εντοπίστηκε είναι x = x 3 = x 5 = 0 x 4 = 6/ x 2 = 4/ µε f = 2/22 και w = 0 (ώστε y = y 2 = 0) τέλος της Φάσης Ι Φάση ΙΙ ιαµορφώνουµε τον νέο πίνακα παραλείποντας τις στήλες µε τις τεχνητές µεταβλητές y, y 2 και τη γραµµή µε τη µεταβλητή ανεφικτότητας w. x x 2 x 3 x 4 x 5 b j b j /a i x 4 6/ 0 7/ 2/ 6/ 3 x 2-7/ -0/ 0 5/ 4/ 4/5 - f 98/22 0 8/22 0-4/22-2/22 πλέον αρνητικός συντελεστής κόστους το x 5 εισέρχεται στην επόµενη βάση µικρότερο το x 2 αποµακρύνεται από την υπάρχουσα βάση
x x 2 x 3 x 4 x 5 b j x 4 4/5-2/5 0 2/5 x 5-7/5 /5-2 0 4/5 - f 2/5 2/5 5 0 0-2/5 όλοι οι συντελεστές κόστους είναι θετικοί βέλτιστη λύση x = x 2 = x 3 = 0 x 4 = 2/5 x 5 = 4/5 f = 2/5 6.7 Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΟΥ ΜΕΓΑΛΟΥ Μ Όπως στην Ενότητα 6.6, αν δεν µπορεί να βρεθεί άµεσα µια βασική εφικτή λύση απλά προσθέτοντας πλεονασµατικές µεταβλητές π.χ. x - x 2 5 x - x 2 - x 3 = 5, x i 0 (οπότε δεν µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε x = x 2 = 0, x 3 = -5 < 0), µπορούµε να εισάγουµε µια τεχνητή µεταβλητή y 0, έτσι ώστε x - x 2 - x 3 + y = 5, x i 0, y 0 και να χρησιµοποιήσουµε x = x 2 = x 3 = 0, y = 5 για να δηµιουργηθεί µια βασική εφικτή λύση. Επειδή η y είναι τεχνητή µεταβλητή, ο µόνος τρόπος για να ικανοποιηθούν οι περιορισµοί είναι να υποχρεώνεται το y να πάρει τιµή 0 µετά την επίλυση του προβλήµατος µε τη µέθοδο Simplex. Αυτό επιτυγχάνεται θέτοντας max f = c T x - M y όπου το Μ είναι ένας µεγάλος αριθµός >> c i. Για να βελτιώσει τη λύση η µέθοδος Simplex θα υποχρεώσει το y να είναι 0, ώστε να µη µειώνεται η f. Για πρόβληµα ελαχιστοποίησης γράφουµε αντίστοιχα min f = c T x + M y. Παράδειγµα 6.8 Μέθοδος µεγάλου Μ Επιλύεται το πρόβληµα έργου άρδευσης του Παραδείγµατος 6. µε τον πρόσθετο περιορισµό ότι πρέπει να αποδοθούν στις καλλιέργειες τουλάχιστον 200 acre. max f = 300 x + 500 x 2 min z = -300 x - 500 x 2 + 0000 y κ.α. x 400 κ.α. x + x 3 = 400 x 2 600 x 2 + x 4 = 600 3 x + 2 x 2 800 3 x + 2 x 2 + x 5 = 800 x + x 2 200 x + x 2 - x 6 + y = 200 x i 0 x i 0, y 0 x + x 3 = 400 x 2 + x 4 = 600 3 x +2 x 2 + x 5 = 800 x + x 2 - x 6 + y = 200-300 x - 500 x 2 +0000 y - z = 0
επειδή όλα τα b j είναι θετικά, και χρησιµοποιούµε σαν βασικές µεταβλητές τις πλεονασµατικές µεταβλητές x 3, x 4, x 5 και την y. x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 y b j b j /a i x 3 0 0 0 0 0 400 x 4 0 0 0 0 0 600 600 x 5 3 2 0 0 0 0 800 900 y 0 0 0-200 200 - z -300-500 0 0 0 0 0000 0 Επειδή η y είναι βασική µεταβλητή πρέπει να µηδενιστεί ο συντελεστής 0000 στη στήλη της. x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 y b j b j /a i x 3 0 0 0 0 0 400 x 4 0 0 0 0 0 600 600 x 5 3 2 0 0 0 0 800 900 y 0 0 0-200 200 - z -0300-0500 0 0 0 0000 0-2000000 πλέον αρνητικός συντελεστής κόστους το x 2 εισέρχεται στην επόµενη βάση µικρότερο το y αποµακρύνεται από την υπάρχουσα βάση x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 y b j b j /a i x 3 0 0 0 0 0 400 x 4-0 0 0-400 400 x 5 0 0 0 2-2 400 700 x 2 0 0 0-200 - z 200 0 0 0 0-500 0500 00000 πλέον αρνητικός συντελεστής κόστους το x 6 εισέρχεται στην επόµενη βάση µικρότερο το x 4 αποµακρύνεται από την υπάρχουσα βάση 2
x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 y b j b j /a i x 3 0 0 0 0 0 400 400 x 6-0 0 0-400 x 5 3 0 0-2 0 0 600 200 x 2 0 0 0 0 0 600 - z -300 0 0 500 0 0 0000 300000 πλέον αρνητικός συντελεστής κόστους το x εισέρχεται στην επόµενη βάση µικρότερο το x 5 αποµακρύνεται από την υπάρχουσα βάση x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 y b j b j /a i x 3 0 0-2/3 -/3 0 0 200 x 6 0 0 0 /3 /3-600 x 0 0-2/3 /3 0 0 200 x 2 0 0 0 0 0 600 - z 0 0 0 300 00 0 0000 360000 όλοι οι συντελεστές κόστους είναι θετικοί βέλτιστη λύση x = 200 x 2 = 600 x 3 = 200 x 4 = 0 x 5 = 0 x 6 = 600 y = 0 z = -360000 => max f = 360000 ιαπιστώνεται ότι η λύση είναι ίδια µε εκείνη του Προβλήµατος 6. παρά τη χρήση ενός επιπλέον περιορισµού. Αυτό εξηγείται εύκολα αν απεικονιστεί ο περιορισµός x + x 2 200 στο Σχήµα 6. και διαπιστωθεί ότι δεν είναι ενεργός και άρα δεν επηρεάζει τη βέλτιστη λύση (200, 600). Όµως η επίλυση µε τη µέθοδο Simplex κατέστη περισσότερο πολύπλοκη και απαίτησε υπολογισµό τεσσάρων πινάκων (αντί για δύο). 6.8 ΥΪΣΜΟΣ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE Στην Ενότητα 4.2 διατυπώθηκαν οι συνθήκες Kuhn-Tucker για το πρόβληµα του γραµµικού προγραµµατισµού (γραµµική αντικειµενική συνάρτηση και γραµµικοί περιορισµοί) και παρατηρήθηκε ότι υπάρχει µια ιδιάζουσα σχέση µεταξύ του αρχικού προβλήµατος και των συνθηκών Κ-Τ. Στη γενική περίπτωση η σχέση αυτή συνοψίζεται ως εξής:
πρωτότυπο πρόβληµα δυϊκό πρόβληµα min f = c T x max f = b T y κάτω από κάτω από Α x = b Α T y = c x 0 y 0 x R n y R m X Y µεταβλητές απόφασης N m αριθµός µεταβλητών απόφασης M n αριθµός περιορισµών C B συντελεστές κόστους A A T πίνακας συντελεστών τύπος περιορισµών Min Max τύπος προβλήµατος 23 Η κατάστρωση του δυϊκού προβλήµατος () είναι πολύ χρήσιµη για προβλήµατα µε πολλές µεταβλητές απόφασης και λίγους περιορισµούς (το δυϊκό είναι απλούστερο να λυθεί γιατί έχει λίγες µεταβλητές απόφασης) (2) έχει εφαρµογή στις αναλύσεις ευαισθησίας (3) έχει µια φυσική ερµηνεία όταν το πρόβληµα Γ.Π. προέρχεται από την περιοχή της οικονοµίας ή εξετάζεται υπό το πρίσµα της θεωρίας παιγνίων Η συνάρτηση Lagrange του πρωτότυπου προβλήµατος είναι: n m n L( x) = ci xi+ λ j aij xi b j () i= j= i= L m m = ci+ λ j aij = 0 ci = xi j= j= L n = a x b 0 ή Ax ij i j = = λ j i= n = i= (3), () L(x ) c x = c x = f(x ) i i T λ j b a ij ή c= - A T λ (2) (3) βέλτιστη λύση πρωτότυπου (), (2) n m m n m L(x) = T ' λ a j ij xi + λ j aij xi b j = λ j ( b j) = - b λ = f (λ ) i= j= j= i= j= βέλτιστη λύση δυϊκού
Θεώρηµα: Αν το δυϊκό και το πρωτότυπο έχουν βέλτιστες λύσεις f = f f b ' λ = = = f b y η λύση του δυϊκού δίνει την ευαισθησία των µεταβλητών της αντικειµενικής συνάρτησης σε αλλαγές στα επίπεδα των περιορισµών του πρωτοτύπου. Παράδειγµα 6.9 - Οικονοµική ερµηνεία του δυϊκού προβλήµατος Ένα εργοστάσιο παράγει δύο είδη υφάσµατος και 2 που χρησιµοποιούν διαφορετική αναλογία των υλικών (βαµβάκι, µετάξι, µαλλί) και πωλούνται µε διαφορετική τιµή. Τα υλικά είναι διαθέσιµα σε περιορισµένες ποσότητες όπως δείχνει ο πίνακας: βαµβάκι µετάξι Μαλλί τιµή ύφασµα x 2 30 ύφασµα 2 x 2 2 40 διαθέσιµο 8 0 4 Πρωτότυπο πρόβληµα Γ.Π. Ο στόχος του παραγωγού είναι να µεγιστοποιήσει το όφελός του max f = 30 x + 40 x 2 κ.α. 2 x + x 2 8 x + x 2 0 x + 2 x 2 4 x i 0 Έστω ότι κάποιος θέλει να αγοράσει το εργοστάσιο και τα υλικά και έστω y, y 2, y 3 οι τιµές που θέλει να πληρώσει για βαµβάκι, µετάξι, και µαλλί. ηλαδή, ο στόχος του αγοραστή είναι να ελαχιστοποιήσει το κόστος του min f = 8 y + 0 y 2 + 4 y 3 Για να αποδεχθεί την προσφορά το εργοστάσιο πρέπει να κερδίζει περισσότερα από το να πωλήσει τα υλικά, παρά από το να τα χρησιµοποιήσει για να παράγει προϊόντα προς πώληση. ηλαδή 2 y + y 2 + y 3 30 y + y 2 + 2 y 3 40 y i 0 Έτσι προκύπτει ακριβώς το δυϊκό του πρωτότυπου προβλήµατος Γ.Π.
Λύση πρωτότυπου Λύση δυϊκού x = 6 y = 0 x 2 = 4 y 2 = 20 y 3 = 0 f = 340 f = 340 25 Παρατηρήσεις Επειδή 2. 6 + 4 = 6 8 6 + 4 = 0 = 0 6 + 2. 4 = 4 = 4 οι περιορισµοί που καθορίζουν τη λύση είναι για το µετάξι και το µαλλί. Το βαµβάκι µένει αχρησιµοποίητο και έτσι η τιµή του στο δυϊκό είναι µηδέν. Η ερµηνεία στο γράφηµα είναι: η ευθεία του περιορισµού για το βαµβάκι µπορεί να µετακινηθεί λίγο δεξιά ή αριστερά χωρίς να αλλάξει η βέλτιστη λύση. Οι τιµές των µεταβλητών του δυϊκού προβλήµατος εκφράζει την αλλαγή στην αντικειµενική συνάρτηση ανά µονάδα αλλαγής του διαθέσιµου πόρου. Εδώ προκύπτει y = 0, δηλαδή µια επιπλέον µονάδα βαµβάκι δεν αλλάζει την αντικειµενική συνάρτηση. Αυτή είναι ακριβώς η σηµασία των πολλαπλασιαστών Lagrange λ j = y j f = b j 6.9 ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ Έστω το πρόβληµα Γ.Π. T min f(x) = c x x R n x κάτω από Α x = b A(n,m) b R m x 0 και έστω ότι µετά την εφαρµογή του αλγόριθµου Simplex έχει βρεθεί µια βασική εφικτή λύση x B : B x B = b Έστω ότι υπάρχει µια µοναδιαία µεταβολή στο επίπεδο του περιορισµού k και έστω e k = [0 0.. 0] T το διάνυσµα µεταβολών των περιορισµών. Τότε b = b + e k και B x B = b + e k x B = B - b + B - e k = x B + λ k
0 λ M όπου λ k = B - e k = B - λ = στήλη k του πίνακα B - = M 0 λ xb+ λk x B2+ λ2k x B = M xbm + λmk Η µεταβολή της αντικειµενικής συνάρτησης είναι T f = c B λ k = m i= c Biλ ik = c B T B - e k = r k k 2k mk ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ 6. Να επιλυθεί το Παράδειγµα.2 - Στατικά Ορισµένο ικτύωµα Ελάχιστου Βάρους, δηλαδή να βρεθούν οι βέλτιστες διατοµές για τα στοιχεία του δικτυώµατος, µε τη γραφική µέθοδο. 6.2 Ένας εργολάβος εξετάζει δύο λατοµεία για να προµηθευτεί υλικά για ένα έργο. Το µοναδιαίο κόστος για φόρτωση και µεταφορά του υλικού στο εργοτάξιο είναι $5/m 3 από το λατοµείο και $7/m 3 από το λατοµείο 2. Πρέπει να µεταφέρει τουλάχιστον 0,000 m 3 στο εργοτάξιο. Το µίγµα που µεταφέρει πρέπει να αποτελείται από τουλάχιστον 50% άµµο, όχι περισσότερο από 60% χαλίκι, και όχι περισσότερο από 8% άργιλο. Το υλικό από το λατοµείο αποτελείται από 30% άµµο και 70% χαλίκι, ενώ το υλικό από το λατοµείο 2 αποτελείται από 60% άµµο, 30% χαλίκι και 0% άργιλο. (α) ιαµορφώστε ένα υπόδειγµα ελαχίστου κόστους. (β) Προσδιορίστε τη βέλτιστη λύση µε τη γραφική µέθοδο. (γ) Προσδιορίστε τους ενεργούς και ανενεργούς περιορισµούς. (δ) Προσδιορίστε την αναλογία άµµου, χαλικιού και αργίλου στη βέλτιστη λύση. Επίλυση (α) Το υλικό από το λατοµείο είναι φθηνότερο αλλά δεν µπορεί να χρησιµοποιηθεί µόνο του, επειδή δεν περιέχει το απαιτούµενο ποσοστό άµµου. Χρειάζεται να αναµιχθεί υλικό και από τα δύο λατοµεία. Έτσι οι µεταβλητές απόφασης ορίζονται ως
x = όγκος υλικού από το λατοµείο (m 3 ) x 2 = όγκος υλικού από το λατοµείο 2 (m 3 ) Η συνάρτηση κόστους είναι c = 5 x + 7 x 2 Περιορισµοί. ) ελάχιστος απαιτούµενος όγκος x + x 2 0,000 2) τουλάχιστον 50% άµµο 0.3 x + 0.6 x 2 0.5 (x + x 2 ) 3) όχι περισσότερο 60% χαλίκι 0.7 x + 0.3 x 2 0.6 (x + x 2 ) 4) όχι περισσότερο 8% άργιλο 0. x 2 0.08 (x + x 2 ) 27 Μαθηµατικό υπόδειγµα. Η κατάστρωση του προβλήµατος έχει ολοκληρωθεί. Συνοψίζοντας έχουµε: Min z = 5 x + 7 x 2 κάτω από τους περιορισµούς x + x 2 0,000 x + x 2 0,000 () 0.3 x + 0.6 x 2 0.5 (x + x 2 ) - 2 x + x 2 0 (2) 0.7 x + 0.3 x 2 0.6 (x + x 2 ) ή - x + 3 x 2 0 (3) 0. x 2 0.08 (x + x 2 ) 4 x - x 2 0 (4) x, x 2 0 x, x 2 0 (5) Η γραφική λύση δίνει x = 3,300 m 3, x 2 = 6,700 m 3. Ενεργοί περιορισµοί οι () και (2). Ο (3) πάντα ανενεργός. Το βέλτιστο µίγµα έχει 50.% άµµο, 43.2% χαλίκι και 6.7% άργιλο και κόστος $63,400. 6.3 Μια τεχνική εταιρεία έχει σύµβαση για την εκσκαφή δύο τάφρων πλάτους 2 και 6 m. εν µπορεί να µεταφέρει πάνω από 0,000 m 3 τη µέρα λόγω περιορισµένου αριθµού φορτηγών οχηµάτων. Σύµφωνα µε το πρόγραµµα πρέπει να σκάβονται,600 m 3 τη µέρα από την τάφρο των 2 m και 3,000 m 3 τη µέρα από την τάφρο των 6 m. Η εταιρεία έχει 2 χειριστές εκσκαπτικών που µπορεί να διατεθούν σε εκσκαπτικά του 0.5 m 3 ή του 2.5 m 3 τα οποία έχουν τα εξής χαρακτηριστικά απόδοσης και κόστους: Εκσκαπτικό Λειτουργικό κόστος Ηµερήσια απόδοση 0.5 m 3 $394 µηχάνηµα-µέρα 200 m 3 /µέρα για την τάφρο των 2 m 2.5 m 3 $,0 µηχάνηµα-µέρα,000 m 3 /µέρα για την τάφρο των 6 m (α) ιαµορφώστε ένα υπόδειγµα ελαχίστου κόστους. (β) Υποθέστε ότι 8 και 4 χειριστές διατίθενται στο εκσκαπτικό των 0.5 και 2.5 m 3 αντίστοιχα. Προσδιορίστε τους ενεργούς και ανενεργούς περιορισµούς και τις τιµές των µεταβλητών απόκλισης.
Επίλυση (α) Οι µεταβλητές απόφασης ορίζονται ως x = αριθµός χειριστών που διατίθενται στο εκσκαπτικό των 0.5 m 3 x 2 = αριθµός χειριστών που διατίθενται στο εκσκαπτικό των 2.5 m 3 Η συνάρτηση κόστους είναι c = 394 x + 0 x 2 Περιορισµοί. ) µέγιστος µεταφερόµενος όγκος 200 x +000 x 2 0,000 2) απαίτηση εκσκαφής (τάφρος 2 m) 200 x 600 3) απαίτηση εκσκαφής (τάφρος 6 m) 000 x 2 3000 4) διαθέσιµοι χειριστές x + x 2 2 5) x, x 2 0 6.4 Ένας εργολάβος εξετάζει δύο λατοµεία για να προµηθευτεί υλικά για ένα έργο. Το µοναδιαίο κόστος για φόρτωση και µεταφορά του υλικού στο εργοτάξιο είναι $5/m 3 από το λατοµείο και $7/m 3 από το λατοµείο 2. Πρέπει να µεταφέρει τουλάχιστον 0,000 m 3 στο εργοτάξιο. Το υλικό από το λατοµείο αποτελείται από 30% άµµο και 70% χαλίκι, ενώ το υλικό από το λατοµείο 2 αποτελείται από 60% άµµο και 40% χαλίκι. Το µίγµα που µεταφέρει πρέπει να αποτελείται από τουλάχιστον 5,000 m 3 άµµο και όχι περισσότερο από 6,000 m 3 χαλίκι. (α) ιαµορφώστε ένα υπόδειγµα ελαχίστου κόστους. (β) Γράψτε το πρόβληµα σε κανονική µορφή χρησιµοποιώντας µεταβλητές απόκλισης. (γ) Προσδιορίστε µια βασική λύση και ελέγξτε αν είναι εφικτή. (δ) Με κατάλληλες περιστροφές προσδιορίστε και άλλη µια βασική λύση. (ε) Πόσες βασικές λύσεις πρέπει να υπολογιστούν για να εντοπιστεί η βέλτιστη λύση; Επίλυση (α) Όπως στο πρόβληµα 4.2 οι µεταβλητές απόφασης ορίζονται ως x = όγκος υλικού από το λατοµείο (m 3 ) x 2 = όγκος υλικού από το λατοµείο 2 (m 3 ) Μαθηµατικό υπόδειγµα. Min z = 5 x + 7 x 2 κάτω από τους περιορισµούς x + x 2 0,000 () 0.3 x + 0.6 x 2 5,000 (2) 0.7 x + 0.3 x 2 6,000 (3)
x, x 2 0 (4) (β) και (γ) x + x 2 - x 3 = 0,000 0.3 x + 0.6 x 2 - x 4 = 5,000 0.7 x + 0.3 x 2 + x 5 = 6,000 29 Το σύστηµα είναι σε κανονική µορφή και έχει την προφανή λύση x = 0 x 2 = 0 x 3 = -0,000 x 4 = -5,000 x 5 = 6,000 (βασική µη εφικτή λύση) (δ) Περιστροφή γύρω από το a = x + x 2 - x 3 = 0,000 0 + 0.3 x 2 + 0.3 x 3 - x 4 = 2,000 0-0.4 x 2-0.7 x 3 + x 5 = -,000 Το σύστηµα είναι σε κανονική µορφή και έχει την προφανή λύση x = 0,000 x 2 = 0 x 3 = 0 x 4 = -2,000 x 5 = -,000 (βασική µη εφικτή λύση) κ.λπ. 6.5 Να λυθεί το πρόβληµα µεγιστοποίησης µε τη µέθοδο Simplex. max z = 3 x + x 2 κάτω από τους περιορισµούς x 2 x 2 0 () 2 x + x 2 24 (2) x - x 2 5 (3) x, x 2 0 (4) Υποδείξτε τη διαδροµή προς τη βέλτιστη λύση σε ένα γράφηµα. 6.6 Να λυθεί το πρόβληµα µεγιστοποίησης µε τη µέθοδο Simplex δύο φάσεων. min z = x 2 κάτω από τους περιορισµούς 3 x + 4 x 2 9 () 5 x + 2 x 2 8 (2) 3 x - x 2 0 (3) x, x 2 0 (4) Υποδείξτε τη διαδροµή προς τη βέλτιστη λύση σε ένα γράφηµα. 6.7 (Stark Nicholls) Μια εταιρεία ετοίµου σκυροδέµατος εµπορεύεται δύο µίγµατα Α και Β. Η εταιρεία µπορεί να παράγει µέχρι 4 φορτία ανά ώρα του µίγµατος Α ή µέχρι 7 φορτία ανά ώρα του µίγµατος Β. Τα διαθέσιµα φορτηγά µπορούν να
µεταφέρουν µέχρι 7 φορτία ανά ώρα του µίγµατος Α ή µέχρι 2 φορτία ανά ώρα του µίγµατος Β, εξαιτίας της διαφοράς των αποστάσεων µεταφοράς. Η εγκατάσταση φόρτωσης δεν µπορεί να εξυπηρετήσει πάνω από 8 φορτία ανά ώρα, ανεξάρτητα από το µίγµα. Η εταιρεία αναµένει κέρδος $5 ανά φορτίο του µίγµατος Α και $0 ανά φορτίο του µίγµατος Β. (α) ιαµορφώστε ένα υπόδειγµα µεγίστου κέρδους. (β) Γράψτε το πρόβληµα σε κανονική µορφή χρησιµοποιώντας µεταβλητές απόκλισης. (γ) Προσδιορίστε τον αριθµό των βασικών µεταβλητών και τον αριθµό των βασικών λύσεων που πρέπει να υπολογιστούν για να εντοπιστεί η βέλτιστη λύση. Συµπληρώστε έναν πίνακα µε όλες τις βασικές λύσεις. (δ) ηµιουργείστε τη γραφική απεικόνιση του προβλήµατος και υποδείξτε όσες βασικές λύσεις εµφανίζονται στο γράφηµα (ε) Προσδιορίστε µε τη γραφική µέθοδο τον αριθµό των φορτίων ανά ώρα για κάθε µίγµα που πρέπει να παράγει η εταιρεία. (στ) Προσδιορίστε τους ενεργούς και ανενεργούς περιορισµούς. Επίλυση (α) Οι µεταβλητές απόφασης ορίζονται ως x = φορτία ανά ώρα του µίγµατος Α x 2 = φορτία ανά ώρα του µίγµατος Β Η συνάρτηση κέρδους είναι Max c = 5 x + 0 x 2 Περιορισµοί. ) παραγωγή σε µια ώρα (/4) x + (/7) x 2 2) µεταφορά σε µια ώρα (/7) x + (/2) x 2 3) φόρτωση x + x 2 8 4) µη αρνητικές µεταβλητές x, x 2 0 (β) (/4) x + (/7) x 2 + x 3 = (/7) x + (/2) x 2 + x 4 = x + x 2 + x 5 = 8 Υπάρχουν n = 5 µεταβλητές απόφασης και m = 3 περιορισµοί, εποµένως οι βασικές µεταβλητές είναι m=3 και οι µη βασικές είναι n-m = 2. (γ) και (δ) Θέτοντας κάθε φορά 2 µεταβλητές ίσες µε µηδέν συµπληρώνεται ο πίνακας (οι συνδυασµοί είναι 5!/(3! 2!) = 0):
2 3 4 5 6 7 8 9 0 x 0 0 0 0 4 7 8 70/7 2 28/5 x 2 0 7 2 8 0 0 0 84/7 6 2/5 x 3 0-5/7 -/7 0 /2 3/7 0 0 9/35 x 4 5/2 0 /3-0 -/7 0 3/4 0 x 5 8-4 0-6 0-8/7 0 0 Σηµείο Α Ε Β Ε Πέντε βασικές λύσεις αντιστοιχούν στις κορυφές της εφικτής περιοχής και οι υπόλοιπες πέντε παραβιάζουν τον περιορισµό για µη αρνητικές τιµές. (ε) Η αντικειµενική συνάρτηση είναι παράλληλη µε τον περιορισµό (), οπότε όλα τα σηµεία στο τµήµα Ε αποτελούν βέλτιστη λύση. (στ) Ενεργός είναι µόνο ο (), εκτός από το σηµείο Ε, όπου είναι ενεργός και ο (3). 3