ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL Το πακέτο Excel είναι ένα πρόγραμμα φύλλου εργασίας (spreadsheet) με το οποίο μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς και διαγράμματα που είναι χρήσιμοι στα οικονομικά. Στο Excel το φύλλο εργασίας χωρίζεται σε γραμμές και στήλες. Οι στήλες έχουν τα ονόματα A, B, C,..., και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3, Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής. Στην συνέχεια μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το εικονίδιο «οδηγός γραφημάτων» για να κατασκευάσουμε ένα διάγραμμα. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να παραστήσουμε τις δυο σειρές στο ίδιο διάγραμμα. Αρχίζουμε μαρκάροντας και τις δυο σειρές με το mouse και από τον οδηγό γραφημάτων εμφανίζονται οι ακόλουθες επιλογές. 1
Είναι δυνατόν όπως φαίνεται να έχουμε μια σειρά από διαγράμματα, όπως πχ γραμμές, ράβδοι, διασπορά κλπ. Επιλέγουμε Γραμμές και στην συνέχεια εμφανίζονται οι διαφορετικοί τύποι αυτού του διαγράμματος. Μπορούμε να επιλέξουμε τον τύπο που φαίνεται παραπάνω ώστε να εμφανίζονται οι σειρές και στο κάθε σημείο να υπάρχει ένα τετραγωνάκι. Με την επιλογή Επόμενο φαίνεται μια προεπισκόπηση του διαγράμματος. 2
Με τις επιλογές Επόμενο και Τίτλοι μπορούμε να ορίσουμε τα ονόματα που θέλουμε να έχουμε στους άξονες, έναν τίτλο για το διάγραμμα κοκ. Δίνουμε λοιπόν τα ακόλουθα στοιχεία. 3
Με την επιλογή Τέλος το διάγραμμα εμφανίζεται στο φύλλο εργασίας μας. 4
Τα μαύρα τετραγωνάκια που εμφανίζονται γύρω από το διάγραμμα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να αλλάξουμε τις διαστάσεις τους, να το μετακινήσουμε σε οποιοδήποτε σημείο του φύλλου εργασίας κλπ. Με την επιλογή Επεξεργασία και Αντιγραφή μπορούμε να αντιγράψουμε το διάγραμμα, στην συνέχεια να πάμε στο Word και να ενσωματώσουμε το διάγραμμα σε ένα υπάρχον κείμενο ή σε ένα νέο αρχείο. Το ίδιο μπορεί να γίνει και σε οποιοδήποτε άλλο πρόγραμμα των Windows. Ένας άλλος χρήσιμος τύπος διαγράμματος είναι η Διασπορά (ΧΥ) η οποία μας επιτρέπει να παραστήσουμε διαγραμματικά την μια σειρά σε σχέση με την άλλη. Μπορούμε να κάνουμε ένα κλικ στο διάγραμμα που ήδη υπάρχει στο φύλλο εργασίας και να πατήσουμε το πλήκτρο Del(ete) για να διαγραφεί. Στην συνέχεια μαρκάρουμε και πάλι τις σειρές, χρησιμοποιούμε τον «Οδηγό Γραφημάτων» και επιλέγουμε «Διασπορά (ΧΥ)» οπότε εμφανίζεται η ακόλουθη οθόνη επιλογών. Μαρκάρουμε την επιλογή που φαίνεται και πατώντας «Επόμενο» βλέπουμε την ακόλουθη προεπισκόπηση. 5
Στην συνέχεια μπορούμε να επιλέξουμε «Τέλος» και να έχουμε την τελική μορφή του διαγράμματος στο φύλλο εργασίας μας. 6
Μια άλλη χρήσιμη μορφή διαγράμματος μπορεί να είναι οι πίτες δεδομένων. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να εμφανίζουμε την πρώτη σειρά σε διάγραμμα πίτας. Μαρκάρουμε την σειρά αυτή και από τον «Οδηγό Γραφημάτων» επιλέγουμε «Πίτα» με τον ακόλουθο τύπο διαγράμματος. Στην συνέχεια επιλέγουμε «Επόμενο» δυο φορές, «Ετικέτες δεδομένων» και έχουμε την εξής κατάσταση. Ε 7
Με την επιλογή «Τέλος» έχουμε το τελικό διάγραμμα ως εξής. Μπορείτε να εξοικειωθείτε με τους υπόλοιπους τύπους διαγραμμάτων και να επιλέξετε εύκολα εκείνους που θα είναι πιο κατάλληλοι για την εφαρμογή σας. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΜΕΤΡΩΝ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε βασικά στατιστικά μέτρα όπως πχ ο μέσος και η διακύμανση ή τυπική απόκλιση της πρώτης σειράς, ο συντελεστής συσχέτισης των δυο σειρών κλπ. Καταρχήν πρέπει να επιλέξουμε την θέση στην οποία θα εμφανισθεί ο μέσος αριθμητικός όπως φαίνεται πχ στην επόμενη οθόνη. 8
Στην συνέχεια μαρκάρουμε την πρώτη σειρά με το mouse και χρησιμοποιούμε το πλήκτρο «fx» ή «Επικόλληση συνάρτησης» από την γραμμή εργαλείων. Πολλές συναρτήσεις είναι διαθέσιμες στο πακέτο, πράγμα που το κάνει πολύ χρήσιμο σε στατιστικές και άλλες αναλύσεις. Μετά την επιλογή έχουμε την ακόλουθη οθόνη. 9
αφού επιλέξουμε τις «Στατιστικές» συναρτήσεις και την συνάρτηση «AVERAGE» για την οποία εμφανίζεται και βοήθεια στο κάτω μέρος της οθόνης. Επιλέγοντας ΟΚ έχουμε την επόμενη οθόνη. 10
Στην οθόνη αυτή μας ζητείται να προσδιορίσουμε την σειρά για την οποία θέλουμε να υπολογίσουμε τον μέσο. Καταρχήν απομακρύνουμε τον πίνακα από την μέση κάνοντας ένα κλικ στο εσωτερικό του και τραβώντας το mouse προς την θέση στην οποία θέλουμε να μεταφερθεί ο πίνακας. 11
Στην συνέχεια μαρκάρουμε την σειρά που θέλουμε και αφήνουμε το mouse όταν έχουμε επιλέξει τα κελιά που μας ενδιαφέρουν οπότε εμφανίζονται στον πίνακα τα κελιά που επιλέξαμε. 12
Αυτά είναι τα κελιά Α1 έως Α5 όπως πρέπει. Το αποτέλεσμα είναι 18,6 όπως φαίνεται στην προεπισκόπηση και αν επιλέξουμε ΟΚ θα δούμε ότι μεταφέρεται στην θέση που θέλουμε με αποτέλεσμα να έχουμε την ακόλουθη οθόνη. 13
Ας υποθέσουμε ότι ακριβώς από κάτω θέλουμε να εμφανίσουμε την τιμή της τυπικής απόκλισης. Η συνάρτηση που θέλουμε είναι η STDEV (standard deviation) όπως στην παρακάτω οθόνη. 14
Αν ακολουθήσουμε την ίδια διαδικασία όπως και στην περίπτωση του μέσου έχουμε το εξής αποτέλεσμα. 15
Για να υπολογίσουμε τον συντελεστή συσχέτισης ακριβώς από κάτω πρέπει να χτησιμοποιήσουμε την συνάρτηση CORREL όπως στην επόμενη οθόνη. 16
Αν επιλέξουμε ΟΚ εμφανίζεται ένας πίνακας στον οποίο πρέπει να ορίσουμε ποιες δυο σειρές πρέπει να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό. Στην θέση «Array1» μαρκάρουμε την πρώτη σειρά και στην θέση «Array2» μαρκάρουμε την δεύτερη σειρά οπότε έχουμε την εξής κατάσταση. 17
Με την επιλογή ΟΚ το αποτέλεσμα είναι όπως φαίνεται παρακάτω. 18
ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΤΟΥ ΜΕΣΟΥ Από την στατιστική είναι γνωστό ότι το διάστημα εμπιστοσύνης του μέσου είναι X ± Z1 α / 2 S N όπου X είναι ο μέσος αριθμητικός του δείγματος, S είναι η τυπική απόκλιση, N είναι το μέγεθος του δείγματος και Z 1 α / 2 η κριτική τιμή της τυπικής κανονικής κατανομής σε επίπεδο σημαντικότητας α. Για μικρά δείγματα χρησιμοποιείται η κριτική τιμή της κατανομής Student-t με N 1 βαθμούς ελευθερίας. Το πακέτο S υπολογίζει την τιμή Z1 α / 2 για οποιοδήποτε επίπεδο σημαντικότητας α. Η N συνάρτηση που πρέπει να χρησιμοποιήσουμε είναι η CONFIDENCE της οποίας ο πίνακας εμφανίζεται στην επόμενη οθόνη. Στην επιλογή Alpha ορίζουμε το επίπεδο σημαντικότητας να είναι 0,07. Στην επιλογή Standard_dev ορίζουμε την τυπική απόκλιση. Αυτό μπορεί να γίνει αν απλά κάνουμε ένα κλικ στο κελί Α8 στο οποίο την έχουμε ήδη υπολογίσει. Στην επιλογή Size ορίζουμε το μέγεθος του δείγματος, δηλαδή 5 και έχουμε τα ακόλουθα. 19
Το αποτέλεσμα όπως φαίνεται είναι 7,657 πράγμα που σημαίνει ότι το διάστημα εμπιστοσύνης είναι 18,6 ± 7, 657. ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΟΥ ΜΕΣΟΥ Ο έλεγχος της υπόθεσης ότι ο μέσος του πληθυσμού ισούται με μια ορισμένη τιμή, πχ H : µ 8 μπορεί να γίνει με την συνάρτηση ZTEST όπως στην επόμενη οθόνη. 0 = 20
Οι επιλογές για την συνάρτηση αυτή είναι όπως στην επόμενη οθόνη. 21
Στην θέση Array έχουμε μαρκάρει τα κελιά που αποτελούν το δείγμα μας. Στην θέση Χ πρέπει να δώσουμε την τιμή που ελέγχουμε (πχ 8). Την επόμενη θέση αφήνουμε κενή για να δηλώσουμε ότι η τυπική απόκλιση σ του πληθυσμού είναι άγνωστη και επομένως πρέπει να εκτιμηθεί με την τυπική απόκλιση του δείγματος S. Το αποτέλεσμα του ελέγχου είναι σε όρους της πιθανότητας ή τιμής p του ελέγχου που είναι p = 0. 00671. Η τιμή αυτή είναι το ελάχιστο επίπεδο σημαντικότητας στο οποίο μπορούμε να απορρίψουμε την μηδενική υπόθεση. Επομένως σε α = 0, 05 μπορούμε να απορρίψουμε και να πούμε ότι ο μέσος δεν είναι 8. Αν ελέγχαμε την τιμή µ = 15 θα είχαμε Επομένως μπορούμε να απορρίψουμε την H 0 : µ = 15 μόνο σε επίπεδα σημαντικότητας μεγαλύτερα του 0,197. Πχ σε επίπεδο 0,05 ή 0,10 δεν μπορούμε να απορρίψουμε την μηδενική υπόθεση. ΕΛΕΓΧΟΣ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΔΥΟ ΜΕΣΩΝ Ένας άλλος έλεγχος που μπορεί να μας ενδιαφέρει είναι αν δυο δείγματα προέρχονται από πληθυσμούς με τον ίδιο μέσο. Η μηδενική υπόθεση που θέλουμε να ελέγξουμε είναι H 0 : µ 1 = µ 2 με δικατάληκτη εναλλακτική. Η πιο γενική και ρεαλιστική υπόθεση που μπορούμε να κάνουμε είναι ότι οι διακυμάνσεις των δυο πληθυσμών είναι άγνωστες και δεν είναι υποχρεωτικά ίσες. Η συνάρτηση που θα χρησιμοποιήσουμε λέγεται TTEST και έχει ως εξής. 22
Με την επιλογή ΟΚ έχουμε την ακόλουθη οθόνη. 23
Στις θέσεις Array1 και Array2 μαρκάρουμε τα δυο δείγματα, στην θέση Tails δίνουμε 2 όταν έχουμε δικατάληκτη εναλλακτική και στην θέση Type δίνουμε 3 για να δηλώσουμε ότι έχουμε πληθυσμούς με πιθανώς άνισες διακυμάνσεις τις οποίες δεν γνωρίζουμε και επομένως θα πρέπει να εκτιμηθούν. Το αποτέλεσμα του ελέγχου είναι σε όρους της τιμής p όπως και στον έλεγχο του μέσου και το αποτέλεσμα είναι 6 9,64E 06 που σημαίνει 9,64 10. Κατά συνέπεια πρέπει να απορρίψουμε την μηδενική υπόθεση της ισότητας των δυο μέσων αν έχουμε κάποιο λογικό επίπεδο σημαντικότητας, πχ 0,01 ή 0,05 κλπ. ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΥΟ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΩΝ 2 2 Ο έλεγχος ότι οι διακυμάνσεις δυο πληθυσμών είναι ίδιες, δηλαδή H0 : σ 1 = σ 2 γίνεται με την στατιστική F και η συνάρτηση που πρέπει να χρησιμοποιήσουμε είναι η FTEST. Στην συνάρτηση αυτή πρέπει να δώσουμε τα δυο δείγματα και τα αποτελέσματά της φαίνονται στον επόμενο πίνακα. Από την τιμή p η οποία είναι 0,8811 είναι σαφές ότι δεν μπορούμε να απορρίψουμε την υπόθεση ισότητας των διακυμάνσεων σε λογικά επίπεδα εμπιστοσύνης, πχ 0,01 ή 0,05 κλπ. ΚΡΙΤΙΚΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Μια χρήσιμη ιδιότητα του πακέτου είναι ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των κριτικών τιμών οποιασδήποτε κατανομής και επομένως με αυτό τον τρόπο δεν είναι ανάγκη να καταφεύγουμε σε πίνακες. 24
Ας υποθέσουμε ότι Z έχει την τυπική κανονική κατανομή N (0,1), δηλαδή έχει μέσο µ = 0 και διακύμανση σ 2 = 1 και θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα p ( Z < 1,96). Θα χρησιμοποιήσουμε την συνάρτηση NORMDIST και έχουμε την ακόλουθη οθόνη. Το αποτέλεσμα είναι 0,975. Αυτό είναι λογικό γιατί ξέρουμε ήδη από τον έλεγχο του μέσου ότι η κριτική τιμή είναι 1,96 σε επίπεδο εμπιστοσύνης 0,05. Μοιράζοντας αυτό το 0,05 στις δυο ουρές της κατανομής προκύπτει ότι μέχρι την κριτική τιμή 1,96 πρέπει να υπάρχει μάζα 0,975 ή 97,5%. Ένα άλλο παράδειγμα είναι ο υπολογισμός της πιθανότητας P ( X < 17) όταν η X έχει μια κανονική κατανομή με μέσο µ = 20 και τυπική απόκλιση σ = 4. Το αποτέλεσμα και οι απαιτούμενες εισροές στην συνάρτηση φαίνονται στην επόμενη οθόνη. 25
Πρέπει να είναι σαφές ότι η συνάρτηση NORMDIST είναι περισσότερο χρήσιμη από τους πίνακες. Οι πίνακες αναφέρονται σε μια τυπική κανονική κατανομή ενώ η συνάρτηση μπορεί να υπολογίσει πιθανότητες για οποιαδήποτε κανονική κατανομή με αυθαίρετες τιμές των µ και σ. Στην συνέχεια ας υπολογίσουμε ότι θέλουμε την κριτική τιμή της κατανομής Studentt με 4 βαθμούς ελευθερίας. Η συνάρτηση που πρέπει να χρησιμοποιήσουμε είναι η TDIST και οι εισροές μαζί με το αποτέλεσμα φαίνονται στην επόμενη οθόνη. 26
Στην πραγματικότητα η συνάρτηση επιστρέφει την τιμή 1 P ( Tν < t) όπου T ν είναι τυχαία μεταβλητή με την κατανομή Student-t και ν βαθμούς ελευθερίας. Το αποτέλεσμα είναι 0,12155 και επομένως P( T ν < t) = 1 0,12155 = 0, 87845. Στην συνέχεια έστω ότι Y ~ χ 2 ( ν ). Η πιθανότητα P ( Y < 10) όταν ν = 7 μπορεί να υπολογισθεί με την συνάρτηση CHIDIST όπως στην ακόλουθη οθόνη. 27
Η πιθανότητα που θέλουμε είναι 1-0,18857=0,811427. Παρόμοια μπορούμε να υπολογίσουμε κριτικές τιμές της F κατανομής με την εντολή FDIST. Η κατανομή έχει δυο παραμέτρους βαθμών ελευθερίας, ν 1 και ν 2. Αν οι βαθμοί ελευθερίας είναι 6 και 11 αντίστοιχα, Q έχει την κατανομή F 6, 11 και θέλουμε την πιθανότητα P ( Q < 4) οι εισροές και το αποτέλεσμα της συνάρτησης φαίνονται στην επόμενη οθόνη. 28
Η ζητούμενη πιθανότητα είναι 1-0,02265=0,977. Εναλλακτικά, το πακέτο μας δίνει 2 απευθείας την πιθανότητα P ( Q > 4). Αυτό ισχύει για τις κατανομές t, χ και F. Είναι επίσης δυνατόν να χρησιμοποιήσουμε τις αντίστροφες αυτών των συναρτήσεων. Πχ αντί να θέλουμε την πιθανότητα P ( Z < z) μπορεί να θέλουμε να προσδιορίσουμε σε ποια τιμή του z έχουμε P ( Z < z) = p, όπου p είναι μια δοσμένη τιμή. Πχ στον έλεγχο του μέσου μας ενδιέφερε να προσδιορίσουμε σε ποια τιμή z έχουμε P ( Z < z) = 1 α / 2 όπου α ήταν ένα δεδομένο επίπεδο σημαντικότητας. Αν ορίσουμε Φ ( z ) = P( Z < z), δηλαδή την αθροιστική συνάρτηση κατανομής, είναι σαφές ότι η τιμή z για την οποία P ( Z < z) = p, ικανοποιεί = Φ 1 1 z ( π ) όπου Φ είναι η αντίστροφη αθροιστική συνάρτηση κατανομής. Εφόσον Φ( z π dt η αντίστροφη δεν μπορεί να προσδιορισθεί z ) = (2 ) 1/ 2 2 exp( t / 2) αναλυτικά αφού το ολοκλήρωμα δεν είναι γνωστό σε κλειστή μορφή. Για τον λόγο αυτό χρησιμοποιούνται αριθμητικές μέθοδοι για τον υπολογισμοί της συνάρτησης Φ και της αντίστροφής της. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε την τιμή z για την οποία P ( Z < z) = 0, 815. Η συνάρτηση που θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε είναι η NORMINV της οποίας οι εισροές και τα αποτελέσματα φαίνονται στην επόμενη οθόνη. 29
Είναι σαφές ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυθαίρετο μέσο και τυπική 2 απόκλιση. Αν πχ έχουμε X ~ N( µ, σ ) με µ = 15 και σ = 5, η τιμή x για την οποία έχουμε P ( X < x) = 0, 76 δίνεται με την ακόλουθη εξειδίκευση. 30
Η τιμή αυτή θα είναι z = 18, 53. Παρόμοια μπορούμε να υπολογίσουμε τις αντίστροφες συναρτήσεις κατανομής άλλων κατανομών με τις εντολές TINV, CHIINV και FINV. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΣΕ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ Το μεγάλο πλεονέκτημα των υπολογισμών σε spreadsheets είναι ότι από την στιγμή που ορίσουμε κάποιους υπολογισμούς, αν αλλάξουμε κάποια τιμή τότε ολόκληρο το φύλλο εργασίας τροποποιείται λαμβάνοντας υπόψη αυτή την αλλαγή. Για να ορίσουμε ότι σε ένα κελί θα χρησιμοποιηθούν συναρτήσεις υπολογισμού χρησιμοποιούμε το σύμβολο της ισότητας (=). Σαν παράδειγμα ας αρχίσουμε από τις δυο μεταβλητές που έχουμε και ας υπολογίσουμε μια τρίτη, που θα είναι C = A + B. Πηγαίνουμε στο κελί C 1 και δίνουμε το σύμβολο =. Στην συνέχεια κάνουμε κλικ στο κελί A 1 και βλέπουμε να εμφανίζεται το σύμβολό του. Μετά δίνουμε + και μετά κάνουμε κλικ στο κελί B1 ώστε τελικά να έχουμε την εξής εικόνα. 31
Πατώντας enter εμφανίζεται στο κελί το αποτέλεσμα του υπολογισμού που είναι 89. Για να επαναλάβουμε αυτή την διαδικασία και για τα υπόλοιπα κελιά ακολουθούμε την εξής απλή διαδικασία. Στο κελί C 1 επιλέγουμε «Αντιγραφή» από την γραμμή εργαλείων. Μαρκάρουμε τα κελιά C 2 έως C 5 με το mouse. Επιλέγουμε «Επικόλληση» από την γραμμή εργαλείων. Στο τέλος αυτής της διαδικασίας έχουμε την επόμενη οθόνη στην οποία φαίνονται τα αποτελέσματα των υπολογισμών. 32
Στην συνέχεια ας δούμε πως μπορούμε να αξιοποιήσουμε τις δυνατότητες του πακέτου για να επιλύσουμε ένα μακροοικονομικό υπόδειγμα που έχει τις ακόλουθες εξισώσεις. Ct = 10 + 0, 25Y t I 2 + 0,2Y 1 0, 85 t = t = 1+ 0,40 t 1 G t Y Y t = Ct + It + Gt για t = 2,3,4,..., 20 με Y 40. R t 1 = Στο υπόδειγμα αυτό C t είναι η κατανάλωση του έτους t, Y t είναι το εισόδημα, Rt είναι το επιτόκιο, G t είναι οι δημόσιες δαπάνες. Θα υποθέσουμε ότι R t = 7. Αν αντικαταστήσουμε στον ορισμό του εισοδήματος όλες τις προηγούμενες εξισώσεις έχουμε Y 17,33 0,8 1 1, 133R t = + Yt t Αρχίζουμε με ένα νέο φύλλο εργασίας του Excel και δίνουμε στην στήλη Α τα στοιχεία για το επιτόκιο, δηλαδή μια σειρά που αποτελείται από τον αριθμό 7 για τα κελιά Α1 έως Α20. Μπορούμε απλά να δώσουμε το 7 στο κελί Α1 και μετά να επιλέξουμε την διαδικασία. 33
Δίνουμε enter και εμφανίζεται το αποτέλεσμα 41,399. Για να δημιουργήσουμε το εισόδημα των επόμενων περιόδων κάνουμε «Αντιγραφή» στο κελί Β2, επικόλληση στα επόμενα κελιά και έχουμε τα ακόλουθα αποτελέσματα. 34
Αν παραστήσουμε γραφικά την σειρά Y t θα έχουμε τα εξής αποτελέσματα. 35
Βλέπουμε πχ ότι αρχίζοντας από την αρχική τιμή 40 το εισόδημα αυξάνει προς την κατάσταση μακροχρόνιας ισορροπίας του. Στην συνέχεια θα κάνουμε μια συγκριτική δυναμική ανάλυση. Το ερώτημα που θα μας απασχολήσει είναι η σύγκριση τριών διαφορετικών πολιτικών επιτοκίου. Πολιτική 1. Το επιτόκιο αυξάνει σε 12% από την περίοδο 11 και μετά, δηλαδή έχουμε μια μόνιμη μεταβολή στα επιτόκια. Πολιτική 2. Το επιτόκιο αυξάνει σε 12% από την περίοδο 11 έως και την περίοδο 15 και μετά μειώνεται σε 10%. Πολιτική 3. Το επιτόκιο αυξάνει σε 12% μόνο για την περίοδο 11 και επανέρχεται στο 7% εφεξής, οπότε έχουμε μια παροδική μεταβολή στα επιτόκια. Για να δούμε τα αποτελέσματα της πολιτικής 1, αλλάζουμε τα επιτόκια στα κελιά Α11 ως Α15 σε 12 και βλέπουμε πως τροποποιείται η δεύτερη στήλη. Η γραφική παράσταση του εισοδήματος έχει ως εξής. 36
Βλέπουμε ότι το εισόδημα μειώνεται σαν αποτέλεσμα της αύξησης των επιτοκίων και όταν αυτά αρχίζουν να μειώνονται μετά την περίοδο 16 αρχίζει να αυξάνει και να συγκλίνει πάλι προς το επίπεδο μακροχρόνιας ισορροπίας. Για να δούμε τα αποτελέσματα της πολιτικής 2, αλλάζουμε τα κελιά ώστε να έχουμε την ακόλουθη εικόνα. 37
Τα αποτελέσματα φαίνονται στην ακόλουθη οθόνη. 38
Στην πρερίπτωση αυτή, το εισόδημα μειώνεται συνεχώς σαν αποτέλεσμα της μόνιμης αύξησης των επιτοκίων. Η πολιτική 3 μπορεί να εξετασθεί αν αλλάξουμε μόνον το κελί Α11 οπότε θα έχουμε τα εξής αποτελέσματα. Η παροδική μεταβολή προκαλεί μια μεγάλη μείωση στο εισόδημα το οποίο από την επόμενη περίοδο αρχίζει να αυξάνει και πάλι και να συγκλίνει στα επίπεδα της μακροχρόνιας ισορροπίας. ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Είναι δυνατόν με την βοήθεια του υπολογιστή να κατασκευάσουμε τυχαίους αριθμούς, δηλαδή τυχαία δείγματα από έναν ορισμένο πληθυσμό. Πχ για να κατασκευάσουμε τυχαία δείγματα από την ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα (0,1) με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας 1, f ( x) = 0, αν x (0,1) διαφορετικά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την συνάρτηση RAND (). 39
Χρησιμοποιώντας Copy και Paste στα επόμενα 100 κελιά έχουμε: 40
Αν κατασκευάσουμε ένα ιστόγραμμα αυτής της σειράς (για να το κάνετε πρέπει να έχετε εγκατεστημένα το εργαλείο «Ανάλυση Δεδομένων» στο μενού «Εργαλεία») θα έχουμε την εξής εικόνα. Για να κατασκευάσουμε μια σειρά τυχαίων αριθμών από την κανονική κατανομή με 2 μέσο µ και διακύμανση σ ο γενικός τύπος είναι x = µ + σφ ( 1 u όπου u έχει την τυπική ομοιόμορφη κατανομή, Φ είναι η αθροιστική συνάρτηση 1 κατανομής της τυπικής κανονικής κατανομής και Φ είναι η αντίστροφη συνάρτηση. Η συνάρτηση αυτή είναι διαθέσιμη στην συνάρτηση NORMINV και έχουμε την ακόλουθη οθόνη. ) 41
Το ιστόγραμμα της σειράς φαίνεται στην ακόλουθη οθόνη. 42
Αυτό το ιστόγραμμα δεν απέχει πολύ από την κανονική καμπύλη και είναι με αυτήν ακριβώς την έννοια που οι τυχαίοι αριθμοί είναι «τυχαίοι»: Παρότι παράγονται με αιτιοκρατικούς τύπους εντούτοις τα ιστογράμματά τους προσεγγίζουν τις συναρτήσεις πυκνότητας των αντίστοιχων τυχαίων μεταβλητών. Επίσης θα περιμέναμε ο μέσος της σειράς στην στήλη Β να είναι κοντά στο μηδέν και η διακύμανση κοντά στην μονάδα. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Για να κάνουμε γραμμική παλινδρόμηση χρησιμοποιούμε την επιλογή «Ανάλυση Δεδομένων» από το μενού «Εργαλεία». Ας υποθέσουμε ότι έχουμε τα ακόλουθα στοιχεία. 43
Η επιλογή «Ανάλυση Δεδομένων» από το μενού «Εργαλεία» μας δίνει την ακόλουθη οθόνη στην οποία θα πρέπει να ορίσουμε τις μεταβλητές Y και X. Θα υποθέσουμε ότι θέλουμε να κάνουμε την παλινδρόμηση με τις πρώτες 5 παρατηρήσεις. 44
Επιλέγουμε επίσης τα αποτελέσματα να πάνε σε ένα νέο βιβλίο εργασίας και δίνοντας ΟΚ έχουμε την ακόλουθη οθόνη την οποία παίρνουμε επιλέγοντας «Μορφή», «Αυτόματη μορφοποίηση» και «Έγχρωμη 2» για να εμφανίζονται καλύτερα τα αποτελέσματα. 45
Το πακέτο μας δίνει τις εκτιμήσεις των παραμέτρων, τα τυπικά τους σφάλματα και τις 2 στατιστικές t που χρησιμεύουν στον έλεγχο υποθέσεων, το R κλπ. Αν θέλουμε μπορούμε να αποθηκεύσουμε τα αποτελέσματα αυτά ή να ακυρώσουμε το βιβλίο εργασίας και να εμφανισθεί η ακόλουθη οθόνη στην οποία επιλέγουμε «Όχι». 46
ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισμένες εξισώσεις όπως πχ η γραμμική ax + b = 0 ή η τετραγωνική 2 ax + bx + c = 0 επιδέχονται αναλυτική λύση ως προς x. Υπάρχουν ωστόσο αρκετές εξισώσεις που δεν είναι δυνατόν να επιλυθούν αναλυτικά. Ας θεωρήσουμε μια τέτοια εξίσωση στην γενική μορφή f ( x) = * Σκοπός μας είναι να προσδιορίσουμε μια ρίζα x τέτοια ώστε f ( x * ) = 0. Τέτοιες εξισώσεις είναι δυνατόν να λυθούν αριθμητικά με την λεγόμενη επανάληψη Newton. Η διαδικασία αυτή ξεκινά με μια αρχική τιμή x 0 που αποτελεί την εκτίμησή μας για την ρίζα. Η εκτίμηση αυτή αναθεωρείται σε x 1 και αυτή με την σειρά της σε x 2 κλπ σύμφωνα με το σχήμα f ( xi ) xi+ 1 = xi, i = 0,1,2,3,... f ( x ) i Τερματίζουμε αυτή την διαδικασία όταν η μεταβολή xi+ 1 xi είναι μικρή, πχ μικρότερη από 0,0001. Όταν αυτό συμβαίνει είναι σαφές ότι θα έχουμε f ( x i ) 0 και * επομένως x i θα αποτελεί μια καλή αριθμητική εκτίμηση της ρίζας x (με την υπόθεση ότι η πρώτη παράγωγος δεν μηδενίζεται). 0 47
Ας θεωρήσουμε σαν εφαρμογή την εξίσωση f ( x) = x exp( x) με παράγωγο f ( x) = 1+ exp( x). Η επανάληψη Newton θα είναι x i+ 1 = x i xi exp( xi ) 1+ exp( x ) i με δεδομένη την τιμή x 0. Αν υπολογίσουμε τις τιμές της συνάρτησης στο διάστημα από 3 ως 3 (με 18 ενδιάμεσες τιμές) και κάνουμε ένα διάγραμμα της συνάρτησης θα έχουμε την εξής εικόνα. Το σημείο στο οποίο φαίνεται να υπάρχει ρίζα είναι στο 0,789 (το σημείο αυτό φαίνεται αν με το mouse στοχεύσουμε εκεί που η συνάρτηση προσεγγιστικά τέμνει τον οριζόντιο άξονα). Αυτή θα μπορούσε να είναι μια αρχική τιμή που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε. Θα χρησιμοποιήσουμε παρόλα αυτά την τιμή x 0 = 4 Αρχίζουμε με ένα νέο φύλλο εργασίας και εισάγουμε την τιμή 4 στην θέση Α1. Στην θέση Α2 πληκτρολογούμε την επανάληψη Newton και έχουμε την εξής εικόνα. 48
Πατώντας enter έχουμε την εμφάνιση της τιμής 0,089931. Κάνοντας copy (Αντιγραφή) στην τιμή αυτή, μαρκάροντας τα επόμενα 10 κελιά και χρησιμοποιώντας paste (Επικόλληση) έχουμε 49
Είναι φανερό ότι από την επανάληψη 5 και μετά οι τιμές δεν μεταβάλλονται πράγμα που σημαίνει ότι έχουμε βρεί την ρίζα και αυτή είναι x * 0,567143 Για να βεβαιωθούμε ότι έχουμε βρει την ρίζα πρέπει να υπολογίσουμε την f ( x * ) και αυτή να είναι κοντά στο μηδέν, πράγμα που κάνουμε στην επόμενη οθόνη. Το αποτέλεσμα είναι πραγματικά μηδέν: 50
Σαν άσκηση μπορείτε να ξεκινήσετε την διαδικασία Newton από μια διαφορετική αρχική τιμή και να δείτε αν συγκλίνει στην ρίζα και πόσο γρήγορα συγκλίνει στην 2 ρίζα. Μια άλλη άσκηση είναι να εξετάσετε την συνάρτηση f ( x) = x 3x + 2 με αρχικές τιμές x 0 = 0 και x 0 = 4. Η διαδικασία Newton θα συγκλίνει την πρώτη φορά στην τιμή 1 και την δεύτερη φορά στην τιμή 2 που αποτελούν τις ρίζες της συνάρτησης. ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Το πρόβλημα max : f ( x) χαρακτηρίζεται από τις αναγκαίες και ικανές συνθήκες f ( x * ) = 0 και f ( x * ) < 0 Η εξίσωση f ( x * ) = 0 είναι δυνατόν να μην λύνεται αναλυτικά οπότε θα πρέπει να καταφύγουμε στην χρήση αριθμητικών μεθόδων. Για να βρούμε αριθμητικά το μέγιστο μπορούμε να εφαρμόσουμε την επανάληψη Newton για την λύση της εξίσωσης f ( x * ) = 0, η οποία θα είναι f ( xi ) xi+ 1 = xi, i = 0,1,2,... με δεδομένο x0 f ( x ) i Σαν παράδειγμα ας θεωρήσουμε την συνάρτηση f ( x) = x exp( x) με παραγώγους f ( x) = 1 exp( x) και f ( x) = exp( x). Η αναλυτική λύση είναι x * = 0. Η επανάληψη Newton στην περίπτωση αυτή θα είναι 51
52 ) exp( 1 ) exp( ) exp( 1 ) ( ) ( 1 i i i i i i i i i x x x x x x f x f x x + = = = + Το διάγραμμα της συνάρτησης φαίνεται στην επόμενη οθόνη. Για να προγραμματίσουμε την επανάληψη Newton χρησιμοποιούμε την εντολή
Με αντιγραφή και επικόλληση οι επόμενες επαναλήψεις της μεθόδου είναι όπως στην ακόλουθη οθόνη. 53
Από την 11 η επανάληψη η διαδικασία συγκλίνει στην τιμή 0 που αποτελεί και την αναλυτική τιμή στην οποία η συνάρτηση μεγιστοποιείται. Σαν άσκηση μπορείτε να επιβεβαιώσετε ότι αν αρχίσετε από την τιμή x 0 = 100 θα χρειασθείτε 106 επαναλήψεις για να συγκλίνετε στην τιμή 0. Μια άλλη ιδιότητα της επανάληψης Newton είναι ότι συγκλίνει σε μια επανάληψη αν η συνάρτηση f (x) είναι τετραγωνική. Αν έχουμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης της συνάρτησης f (x) μπορούμε να μεγιστοποιήσουμε την g( x) = f ( x) και να έχουμε την ίδια επανάληψη Newton. Απλώς θα πρέπει να βεβαιωθούμε ότι ισχύουν οι συνθήκες δεύτερης τάξης ή να κάνουμε ένα διάγραμμα της συνάρτησης για να βεβαιωθούμε ότι έχουμε βρει το μοναδικό ελάχιστο ή μέγιστο. ΑΠΛΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ Αν και είναι δυνατόν να χρησιμοποιήσουμε το Excel για την διεξαγωγή απλής ή πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης υπάρχουν πιο εξειδικευμένα προγράμματα για τέτοιες εργασίες όπως το SPSS ή το Eviews. Στην συνέχεια θα δούμε πως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε απλές συναρτήσεις του Excel για να εφαρμόσουμε την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων όταν το εργαλείο «Ανάλυση Δεδομένων» δεν είναι εγκατεστημένο. Όπως είναι γνωστό από την στατιστική αν έχουμε το γραμμικό υπόδειγμα Y = α + βx + u, i = 1,.., n i i i οι εκτιμήσεις ελαχίστων τετραγώνων των παραμέτρων δίνονται από τις σχέσεις όπου n xi y ˆβ i i= 1 =, n αˆ = Y βˆ X x x i i= 1 2 i = X X και y = Y Y i Θα εφαρμόσουμε απευθείας αυτούς τους τύπους. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε τα στοιχεία στην ακόλουθη οθόνη. i i 54
Στην συνέχεια κατασκευάζουμε τους μέσους των μεταβλητών χρησιμοποιώντας Insert, Function, Average. 55
Έχουμε επομένως την ακόλουθη οθόνη. 2 Στην συνέχεια κατασκευάζουμε τις μεταβλητές x i και x y i i με την διαδικασία που φαίνεται στις επόμενες οθόνες. Για να κατασκευάσουμε την απόκλιση x i πρέπει να χρησιμοποιήσουμε την εντολή A2 A$ 7. Το σύμβολο $ σημαίνει ότι το κελί που ακολουθεί πρέπει να αφαιρεθεί στην μορφή αυτή και να μην αυξηθεί ο δείκτης όπως συμβαίνει συνήθως με τον συμβολισμό A 2 όταν αυτός επικολλάται σε πεδίο κελιών. Εφαρμόζοντας την διαδικασία Copy, Paste στα επόμενα κελιά και κάνοντας το ίδιο για την μεταβλητή y έχουμε την ακόλουθη οθόνη. 56
Έχουμε επίσης υπολογίσει τα αθροίσματα των x και y με την χρήση του πλήκτρου Σ από την Γραμμή Εργαλείων για να βεβαιωθούμε ότι οι αποκλίσεις από τους μέσους είναι μηδέν όπως θα έπρεπε. Στην συνέχεια υπολογίζουμε τις μεταβλητές xx = x * x και xy = x * y στις επόμενες δυο στήλες. 57
Έχουμε την ακόλουθη οθόνη για τον υπολογισμό του βˆ Για τον υπολογισμό του αˆ έχουμε την επόμενη οθόνη. 58
Το αποτέλεσμα είναι η εκτίμηση 4,1 για την σταθερά και 5,5 για την κλίση. Στην συνέχεια δημιουργούμε τα κατάλοιπα U = Y αˆ βˆ X i, τα τετράγωνά τους UU = U ^2 και το άθροισμα των τετραγώνων. 59
60
Το άθροισμα τετραγώνων των καταλοίπων είναι 34,7. Το άθροισμα των καταλοίπων 15 είναι 7,1 10, δηλαδή πρακτικά μηδέν όπως ισχύει πάντοτε όταν εφαρμόζουμε την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων. Για να εκτιμήσουμε την διακύμανση των καταλοίπων έχουμε την οθόνη μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την συνάρτηση VAR: 61
Το αποτέλεσμα είναι 8,675. Για να παραστήσουμε γραφικά τα στοιχεία μαζί με την ευθεία παλινδρόμησης πρέπει πρώτα να κατασκευάσουμε μια σειρά που αποδίδει την ευθεία αυτή σε κάθε παρατήρηση X με την εντολή στην ακόλουθη οθόνη. i 62
Για να κατασκευάσουμε το διάγραμμα τώρα χρησιμοποιούμε τον Οδηγό Γραφημάτων ή Chart Wizard και ακολουθούμε τα βήματα στις επόμενες οθόνες. 63
Στον επόμενο οδηγό επιλέγουμε «Σειρά» και έχουμε 64
Καταργούμε τις επόμενες σειρές και έχουμε το εξής διάγραμμα με την επιλογή «Τέλος» ή Finish. 65
Στο διάγραμμα αυτό φαίνονται τα αρχικά στοιχεία μας μαζί με την γραμμή της παλινδρόμησης και είναι εύκολο να δούμε κατά πόσον η προσαρμογή του υποδείγματος στα στοιχεία είναι καλή. Για να δούμε πιο καλά την προσαρμογή μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον συντελεστή συσχέτισης μεταξύ των Y και Yfit το τετράγωνο του οποίου είναι ο συντελεστής προσδιορισμού 2 R. Θα έχουμε r = 0, 94715 και r 2 = 0, 897. 66
Αξίζει να σημειώσουμε ότι το φύλλο εργασίας είναι πια διαμορφωμένο όπως θα διαμορφώνατε έναν πίνακα τιμών για να εκτιμήσετε τις παραμέτρους όπως σε μια τυπική άσκηση παλινδρόμησης. 67