ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2003 Λ Υ Σ Ε Ι Σ Τ Ω Ν Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν ΜΕΡΟΣ Α (40%)

Σχετικά έγγραφα
ΕΞEΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΡΤΙΟΣ 2003 Λ Υ Σ Ε Ι Σ Τ Ω Ν Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν ΜΕΡΟΣ Α

ΕΞΕΤAΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2002 Λ Υ Σ Ε Ι Σ Τ Ω Ν Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν ΜΕΡΟΣ Α

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΜΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ( ) ΟΜΑΔΑ Α ( 40% )

Η παρουσίαση που ακολουθεί, αφορά την κανονική κατανομή και σκοπό έχει τη διευκόλυνση των φοιτητών του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών

3. Κατανομές πιθανότητας

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ -ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ(τελικές εξετάσεις πλη12)

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Φεβρουάριος 2018 Σειρά Α Θέματα 3 ως 7 και αναλυτικές (ή σύντομες) απαντήσεις

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

μιας παρατήρησης όπου λ. Αν για το πλήθος Ν(Ω) των σφαιρών που υπάρχουν στο κουτί ισχύει 64<Ν(Ω)<72, τότε λ

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. αλλού


Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές Ι

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα.

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

07/11/2016. Στατιστική Ι. 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές)

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

Βιομαθηματικά BIO-156

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Κανονική Κατανομή. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Κανονική Κατανομή. τεχνικές. 73 άλυτες ασκήσεις.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας

Στατιστική Συμπερασματολογία

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Α

ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΜΕΡΟΣ Α (Σ. ΧΑΤΖΗΣΠΥΡΟΣ) . Δείξτε ότι η στατιστική συνάρτηση T = X( n)

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2

συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό;

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

β. Αν το διαγώνισμα αποτελείται από 2 τέτοιες ερωτήσεις, ποια η πιθανότητα να απαντήσει σωστά και στις 2 ερωτήσεις;

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Η διακριτή συνάρτηση μάζας πιθανότητας δίνεται από την

εξαρτάται από το θ και για αυτό γράφουµε την σ.π.π. στην εξής µορφή: ( θ, + ) θ θ n 2n (θ,+ ) 1, 0, x θ.

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Για την Γ Τάξη Γενικού Λυκείου Μάθημα Επιλογής ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ

Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων. f X (t) dt για κάθε x. F Y (y) = P (Y y) = P X y b ) a.

Στατιστική Συμπερασματολογία

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

και τυπική απόκλιση σ = 40mg ανά μπανάνα. α) Ποια είναι η πιθανότητα μια μπανάνα να περιέχει i)

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Στατιστική. Ενότητα 4 η : Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Διακριτής και Συνεχούς Τυχαίας Μεταβλητής. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Χημικών Μηχανικών Α.Π.Θ.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Y=g(X) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ13 ( 1 )

ΟΔΕ 2116 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ ΣΕΛΙΔΑ: 1 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116)

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2013 στη Στατιστική

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Οι παρατηρήσεις του δείγματος, μεγέθους n = 40, δίνονται ομαδοποιημένες κατά συνέπεια ο δειγματικός μέσος υπολογίζεται από τον τύπο:

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 11/01/2018

, µπορεί να είναι η συνάρτηση. αλλού. πλησιάζουν προς την τιµή 1, η διασπορά της αυξάνεται ή ελαττώνεται; (Εξηγείστε γιατί).

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι. Βασικές διακριτές κατανομές

Βιομαθηματικά BIO-156. Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2017

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3.

Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι: Αν Α Β τότε Ρ(Α) Ρ(Β)

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Αναλυτική Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Α Ν Ω Τ Α Τ Ο Σ Υ Μ Β Ο Υ Λ Ι Ο Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ Π Ρ Ο Σ Ω Π Ι Κ Ο Υ Ε Ρ Ω Τ Η Μ Α Τ Ο Λ Ο Γ Ι Ο

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές

3 ο Μέρος Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ για τη λήψη αποφάσεων

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ

Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

Στατιστική. Εκτιμητική

Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 19 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

ΠΠΜ 512: Ανάλυση Κινδύνου για ΠΜΜΠ. Ακαδημαϊκό Έτος Εαρινό Εξάμηνο. 1 η Ενδιάμεση Εξέταση. 6:00-8:30 μ.μ. (150 λεπτά)

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2

Transcript:

ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 00 Λ Υ Σ Ε Ι Σ Τ Ω Ν Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν ΜΕΡΟΣ Α (0%) ) Η αντοχή ενός τύπου σκυροδέματος ως γνωστόν θεωρείται κανονική. Ελέγχω δοκίμια: από αυτά έχουν αντοχή στο διάστημα [90, 00] 5 από αυτά έχουν αντοχή στο διάστημα [00,] 5 από αυτά έχουν αντοχή στο διάστημα [,0] 6 από αυτά στο διάστημα [0,0] και στο διάστημα [0,0]. Μπορώ να υποθέσω ότι και στην περίπτωση μας η αντοχή είναι κανονική; (%) Είναι γνωστό ότι με ικανοποιητική προσέγγιση η αντοχή ενός τύπου δοκιμίου θεωρείται κανονική. Έχω συνολικά δοκίμια. δοκίμια [90,00) 5 δοκίμια [00,) 5 δοκίμια (,0] 6 δοκίμια (0,0] δοκίμια (0,0] Σύμφωνα με τον κανονισμό σκυροδέματος πρέπει να έχουμε αξιοπιστία 95% και για τον λόγο αυτόν επιλέγουμε επίπεδο σημαντικότητας 0.05. Για να διαπιστώσουμε από το δείγμα αυτό αν η ποιότητα των δοκιμίων είναι διαφορετική από αυτήν που παρασκευάσαμε θα εφαρμόσουμε τον έλεγχο. ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΔΟΚΙΜΙΩΝ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΤΙΜΗ(ni) ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΤΙΜΗ(ei) (n i -e i ) /e i.8 0, 5.8 0,008 5.8 0,008 6.8 0, 5.8 0, ΣΥΝΟΛΟ 0,6 Η εφαρμογή του ελέγχου χ είναι η ακόλουθη: X > X n, p = X 5, 0.05 = 9.9 Εμείς έχουμε ΣΧ =0,6<9,9 Άρα η κατανομή είναι αποδεκτή. --

) Δίνεται μια τυχαία μεταβλητή ομοιόμορφη χ στο [0,]. Να βρεθεί η συνάρτηση πιθανότητας της αν 0 h()= 0 αλλού Να βρεθεί η συνάρτηση πιθανότητας της Υ=h() και να επαληθευτεί ότι πράγματι είναι συνάρτηση πιθανότητας. (%) Έχουμε την συνάρτηση : h()= αν 0 0 αλλού Για να είναι συνάρτηση πιθανότητας αρκεί να ισχύει: + h( ) d = = d 0 = d 0 = 0 = 0 ισχύει. ) Κατασκευάστε ένα πιθανοθεωρητικό μοντέλο, το οποίο να περιγράφει τη λειψυδρία μιας περιοχής κατά τον μήνα Ιούλιο. Θεωρείστε ότι στην περιοχή αυτή υπάρχουν τρεις πηγές παροχής νερού Π, Π, Π.Να αναπτυχθεί διεξοδικά πως υπολογίζεται η πιθανότητα λειψυδρίας. (5%) Αρχικά θεωρούμε όλες τις τυχαίες κατανομές συνεχείς. Έστω ότι η υδροδότηση μιας πόλης γίνεται από τρεις πηγές Π,Π,Π. που ακολουθούν κανονικές κατανομές, ( Π, Π, Π οι ημερήσιες παροχές ). Έστω Π Ν (0,), Π Ν (5,), Π Ν (,). Θεωρούμε ότι η ζήτηση είναι επίσης συνεχής κατανομή, κανονική με Ζ Ν(50, ). Το ζητούμενο είναι έστω να βρεθεί η πιθανότητα έλλειψης μία ημέρα. Για να έχουμε έλλειψη πρέπει Ζ > Π Π-Ζ < 0. Θεωρούμε Φ = Π-Ζ. Η Φ θα είναι επίσης κανονική κατανομή με μ = -50+0+5+ = 5 σ = + + + = 5,77 --

Θέλουμε την πιθανότητα 5 P ( Φ < 0) = Φ( ) = Φ( 0,97) = Φ(0,97) = 0,886 = 0,8 5,77 Έστω ότι ζητούσαμε την έλλειψη τουλάχιστον ημέρες την εβδομάδα. Θα λυθεί με διωνυμική κατανομή ( δοκιμές Bernoulli). P ( X ) = X ) = 0) ) X ) = 0,706 Θεωρούμε την ζήτηση ίδια με το προηγούμενο παράδειγμα συνεχή κατανομή με Z Ν(50, ) και την παροχή διακριτή με Π = 60 με πιθανότητα 0,7 ή Π = 75 με πιθανότητα 0,. έλλειψη) = Ε / Π = 60) * Π = 60) + Ε / Π = 75) * Π = 75) έλλειψη) = K > 60)*0,7 + K > 75)*0, = 60 50 75 50 = Φ 0,7 0, = 0,008 + Φ ) Έστω για την εκτίμηση του ποσοστού ρ ενός πληθυσμού παίρνουμε ένα δείγμα ν ατόμων. Να βρεθεί το ν έτσι ώστε το ποσοστό των καπνιστών στο δείγμα να διαφέρει από το πραγματικό ποσοστό ρ, κατ απόλυτη τιμή λιγότερο από 0,0 με πιθανότητα τουλάχιστον 0.95; (%) Από ένα δείγμα θα βγάλω συμπεράσματα για όλον τον πληθυσμό. σ σ έχουμε : na, + na n n -α = 0,95 α= 0,05 α/ = 0,05 n a/ =Φ - (-α/) = Φ - (0,975) =,96.96 σ, +.96 n σ n : το ποσοστό ρ των καπνιστών του πληθυσμού. --

,96 σ n 0,0,96σ 0,0 n ( 96σ ) n 96σ n 5) Στο προηγούμενο διαγώνισμα των πιθανοτήτων υπήρχαν 00 γραπτά 0 από το πρώτο έτος 60 από το δεύτερο 0 από το τρίτο 0 από το τέταρτο και 50 από το πέμπτο και πάνω. Τα παρακάτω ποσοστά δείχνουν το ποσοστό των φοιτητών που πήραν κάτω από την βάση στα αντίστοιχα έτη: 5% 5% 0% 50% 70%. Παίρνουμε στη τύχη ένα γραπτό και διαπιστώνουμε ότι είναι κάτω από την βάση. Ποια η πιθανότητα να είναι γραπτό του δευτέρου έτους; (5%) Αρχικά υπολογίζω σύμφωνα με τα ποσοστά αποτυχίας ανά έτος τον αριθμό των φοιτητών ανά έτος που έγραψαν κάτω από την βάση στις εξετάσεις. Ετσι έχουμε: ο έτος: 6 ο έτος :5 ο έτος : ο έτος : 5 ο έτος : 5 σύνολο = 78 Η πιθανότητα να έρθει γραπτό με βαθμό κάτω από την βάση είναι : Κ=(Κ Α) (Κ Β) (Κ Γ) (Κ Δ) (Κ Ε) Το αποδεικνύω: Κ=(Κ Α) (Κ Β) (Κ Γ) (Κ Δ) (Κ Ε) = Κ (Α Β Γ Δ Ε) = = Κ Ω = Κ Κ=(Κ Α) (Κ Β) (Κ Γ) (Κ Δ) (Κ Ε) = Κ Ω = 0 ΞΕΝΑ Άρα Ρ(Κ) = Ρ[(Κ Α) (Κ Β) (Κ Γ) (Κ Δ) (Κ Ε)] = = Ρ(Κ Α)+Ρ(Κ Β)+Ρ(Κ Γ)+Ρ(Κ Δ)+Ρ(Κ Ε) Ρ(Κ/Α) = Ρ(Κ/B) = Ρ(Κ/Γ) = Ρ(Κ/Δ) = Ρ(Κ/Ε) = K A) A) K B) B) K Γ) Γ) K Δ) Δ) K Ε) Ε) --

Άρα: Ρ(Κ) =Ρ(Κ/Α)*Ρ(Α)+Ρ(Κ/B)*Ρ(Β)+Ρ(Κ/Γ)*Ρ(Γ)+Ρ(Κ/Δ)*Ρ(Δ)+Ρ(Κ/Ε)*Ρ(Ε) Η πιθανότητα τώρα το γραπτό που θα βγει να είναι κάτω από την βάση και να είναι και από το δεύτερο έτος είναι : B K) Ρ(Β/Κ) = = K) K / B) * B)) K / A) * A) + K / B) * B) + K / Γ) * Ρ( Γ) + Ρ( Κ / Δ) * Ρ( Δ) + Ρ( Κ / Ε) * Ρ( Ε) = 0,5,5 % η πιθανότητα να προέρχεται το γραπτό από το ο έτος. -5-

ΜΕΡΟΣ Β (60%) ) Μια τυχαία μεταβλητη Α που παίρνει μόνο θετικές τιμές είναι κανονικη. Το ύψος της καμπάνας του gauss είναι μια μονάδα. Επίσης παρά το γεγονός ότι στη κανονική κατανομή η τυχαία μεταβλητητ παιρνει και αρνητικες τιμές το σφάλμα θεωρείται μηδαμινο. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η πιθανότητα Ρ(Α<.). αν η πιθανότερη τιμή της Α είναιο Α=, να βρεθεί η πιθανότητα Ρ(Α,,) Υ ΚΑΜΠΑΝΑ ΤΟΥ GAUSS μ -σ μ μ + σ P 0 μ σ ( < < 0) = 0 Φ Φ( ) = 0 μ μ Φ = 0 Φ = 0 σ σ Ρ μ μ Φ =.5 μ.5σ σ σ ( Α <.) = Ρ( < Α <.) = Φ ( ) = Φ (), μ. μ Φ σ σ για να έχουμε ma A<.) πρέπει η.-μ/σ να γίνει η μεγιστη. -6-

μ.5σ μ =.5σ σ = μ /.5, μ,,5σ, για μ=,5σ : = =, 5 σ σ σ () για μ=. : Ρ, μ σ,,,,5 0,5, ( Α <.) = Φ = Φ = Φ = Φ( 0,8) = 0, 655 ) Ένα έργο πρέπει να τελειώσει την χρονική στιγμή t. αν τελειώσει την χρονική στιγμή t(t>t) τότε η ζημιά που προκαλείται είναι c(t-t), c>0. αν τελειώσει την χρονική στιγμή t(t<t) η ζημιά που προκαλείται είναι c(t-t), c<0. αν ο χρόνος για να τελειώσει το έργο είναι κανονική κατανομή Ν(t+d,d). να βρεθεί ο μέσος όρος της ζημίας ως συνάρτηση του d. Από την εκφώνηση ξέρω ότι ο χρόνος για να τελειώσει το έργο είναι κανονική κατανομή, Ν(t +d,d) έστω C η ζημιά που προκαλείται αν τελειώσει το έργο νωρίτερα η αργότερα. C (t-t ) t>t C=g(t)= C (t-t ) t<t Έστω f(t) η συνάρτηση πιθανότητας της t (κανονική κατανομή). Τότε η αναμενόμενη ζημία είναι : t g ( t) f ( t) dt = g( t) f ( t) dt + g( t) f ( t) dt = C (t-t ) t>t )+ C (t-t ) t<t )= t t ti d t ti d = C (t-t ) Φ + C (t-t ) Φ = d d Φ = = (c +c ) (t-t ) ( ( )) -7-

) Σε ένα συγκρότημα παρασκευής σκυροδέματος το μίγμα άμμου χαλικιού προμηθέυεται από τρία διαφορετικά μέρη. Το μέσο ποσοστό άμμου κατά βαρός στα μίγματα είναι 80,50,70 ( 80 από την πρώτη πηγή 50 από την δέυτερη και 70 από την Τρίτη) με συνταλέστές μεταβλητότητας 0.05 0.08 και 0.05 αντίστοιχα. Το υπόλοιπο ποσοστό καλύπτεται από χαλίκι. Παρασκευλαζεται ένα μίγμα φορτιων που προέρχονται από την πρωτη πηγή από την δέυτερη και τεσσερα από την Τρίτη. Ποια έιναι η πιθανότητα ότι στο μόγμα αυτό ο λόγος άμμου προς χαλίκι θα ξεπερνάει τα.6 και δεν θα είναι κάτω από.7. χ Η ΠΗΓΗ : μέσο ποσοστό άμμου: 80±0,05*80 χαλίκι : 0-(80±0,05*80) y χ Η ΠΗΓΗ : μέσο ποσοστό άμμου: 50±0,08*50 χαλίκι : 0-(50±0,08*50) y χ Η ΠΗΓΗ : μέσο ποσοστό άμμου: 70±0,05*70 χαλίκι : 0-(70±0,05*70) y Η ΠΗΓΗ / Η ΠΗΓΗ / Η ΠΗΓΗ / AMMOS ΧΑΛΙΚΙ 80 y 0 ± ± 50 y 50 ± 70 ± ±.5 y 0 ±.5-8-

= Var ( ) Var + = Var + + + ( ) = var + var + var Var ( ) = + +.5 σ =,8 σ =, μ = 80 + 50 + 70 = 67 άμμος : Ν (μ, σ ) : (67, ) χαλίκι : Ν (μ, σ ) : (, ) θέτουμε :,6<μ /μ <,7 μ +μ =0.6<μ /0-μ <.7 μ.6 < 60.6μ < μ 60 <.6μ μ > 7, 0 μ μ <.7 μ < 70.7μ.7μ < 70 μ < 7,9797 0 μ άρα έχουμε: Ρ (.6 < Α <.7) = Ρ( 7, < χ < 7,9797) 7,97 67 7, 67 Φ Φ = Φ,, = (,75) Φ(,7) = 0,99 0,998 = 0, 0057-9-