Ασκήσεις Εδαφοµηχανικής (Capper et al., 1978, Salglerat et al., 1985)

Ασκήσεις Εδαφοµηχανικής (Capper et al., 1978, Salglerat et al., 1985) Β. Χρηστάρας ΑΠΘ - Τµήµα Γεωλογίας Εργαστήριο Τεχνικής Γεωλογίας & Υδρογεωλογίας christar@geo.auth.gr

Νόµος του Coulomb

Νόµος Coulomb (1): Τρία δοκίµια, του ιδίου εδαφικού δείγµατος αµµώδους αργίλου, µελετήθηκαν εργαστηριακά σε συσκευή διάτµησης, χωρίς αποστράγγιση (επιφάνεια διάτµησης 60*60 mm) και σηµειώθηκαν τα παρακάτω ζεύγη τιµών «αξονικής φόρτισης - διατµητικής δύναµης θραύσης): τ είγµα Α Β Γ Φόρτιση (Ν) 00 400 800 ιατµ. ύν. (Ν) 04 360 356 Ε Β Επίλυση Να υπολογιστεί η συνολική αξονική τάση που θα προκαλέσει θραύση σε δοκίµιο του ιδίου υλικού που θα υποβληθεί σε τριαξονική φόρτιση, µε (πλευρική) πίεση κυψέλης 100 KN/m. A c ) φ Γ )α Κ σ 3 =100 KN/m σ 1 =77 ΚΝ/m είγµα Α Β Γ Κανονικές (σ 1 ) 56 111 ιατµητικές (σ 3 ) 57 7 9 Με τα παραπάνω ζεύγη τιµών σχεδιάζουµε το διάγραµµα σ-τα, από το οποίο υπολογίζουµε c=44 KN/m και φ=14ο. Έχοντας την ευθεία ΑΒ, σχεδιάζουµε τον κύκλο Mohr µε σ 3 =100KN/m. Από το σηµείο Γ ορίζεται η ευθεία ΓΕ µε κλίση α=45+φ/=5 ο. Έχοντας ορίσει το σηµείο το σηµείο Ε (σηµείο επαφής), προσδιορίζεται το κέντρο Κ του κύκλου, ως τοµή της Γ µε την κάθετη στο σηµείο Ε της ΑΒ. Έτσι, αφού σχεδιαστεί ο κύκλος Mohr, υπολογίζεται γραφικά η τιµή του σηµείου που αντιστοιχεί σε σ 1 = 77 ΚΝ/m

Νόµος Coulomb ():Ένα επίχωµα αποτελείται από άργιλο, για το οποίο υπολογίστηκαν c =5KN/m και φ=6 ο (από εργαστηριακή δοκιµή σε στερεοποιηµένα µη αποστραγγισµένα δείγµατα, µε υπολογισµό της πίεσης των πόρων). Το µέσο φαινόµενο βάρος του υλικού πλήρωσης είναι 1.9 Mg/m 3. Να υπολογιστεί η διατµητική αντοχή του υλικού σε οριζόντιο επίπεδο, 0 m κάτω από την επιφάνεια του επιχώµατος, αν η πίεση των πόρων στο σηµείο αυτό υπολογίζεται από τα πιεζόµετρα σε 180KN/m. Επίλυση: Το βάρος του υλικού πλήρωσης ανά µονάδα όγκου είναι 1.9*9.81=18.64 KN/m 3 Σε βάθος 0m το βάρος του εδάφους προκαλεί πλευρική πίεση 18.64*0=373 KN/m Άρα: Ενεργός πίεση: σ =σ-u=373-180=193 KN/m ιατµητική αντοχή: τα-5+193tan6=119 KN/m

Νόµος Coulomb (): Μια γεώτρηση συναντά λεπτό στρώµα ιλύος σε βάθος 15 m. Το έδαφος, επάνω από το στρώµα αυτό, έχει ξηρή πυκνότητα 1.55 Mg/m 3 και µέση περιεκτικότητα σε νερό 30 %. Ο υδροφόρος ορίζοντας είναι περίπου στην επιφάνεια. οκιµές σε αδιατάρακτα δοκίµια ιλύος έδωσαν τα παρακάτω αποτελέσµατα: c=50kn/m, φ=13 ο, c =40KN/m και φ =3 ο. Να υπολογιστεί η διατµητική αντοχή της ιλύος σε οριζόντιο επίπεδο, α) όταν η διατµητική τάση αυξάνει γρήγορα, β) όταν η διατµητική τάση αυξάνει αργά. Φαινόµενο βάρος: γ = d(1+m) = 1.55*1.3 =.015 Mg/m 3 Πυκνότητα υδροφόρου στρώµατος:.015-1.0 = 1.015 Mg/m 3 Ολική πίεση σε βάθος 15 m:.015*9.81*15 = 96 KN/m Ενεργός πίεση σε βάθος 15 m: 1.015*9.81*15= 149 KN/m Όταν προκαλείται γρήγορη αύξηση της διατµητικής τάσης, θεωρούµε ότι το έδαφος δεν προλαβαίνει να υποστεί αποστράγγιση. Έτσι, σε ολική πίεση 96 KN/m, η διατµητική αντοχή θα είναι τ=50+95 tan13 o =118 KN/m Όταν η αύξηση της διατµητικής τάσης γίνεται µε αργό ρυθµό, τότε το έδαφος έχει το χρόνο να αποστραγγιστεί. Έτσι, για ενεργό τάση σ =149 KN/m, η ιατµητική αντοχή θα είναι τα=40+149tan3 o = 103 KN/m

Κατανοµήτάσεων στο υπέδαφος, λόγω εξωτερικής φόρτισης

Κατανοµή τάσεων (1): Ένας οµογενής εδαφικός σχηµατισµός ασκεί σηµειακή φόρτιση στην επιφάνεια του µε 800 ΚΝ. Να υπολογιστεί η κατακόρυφη τάση που ασκείται σε σηµείο Μ, σε βάθος 1 m, και σε οριζόντια απόσταση 5 m από την κατακόρυφο. M r=5m σ z P=800 KN O z= 1 m Λ Άρα: Επίλυση P σ z = k z k = 3, σ π 1 + Α) στο σηµείο Λ r=0 k Λ = 0.4775 σ 800 0 m 1 z =.4775 = 3 KN / Β) στο σηµείο Μ r=5, k M = 0.394 σ z 1 r z 3 P. z = * 5 π R 800 0 m 1 z =.394 =.31KN / 5 3 = 5 3 z = * 5 π R 3 P * πz cos 5 ϑ,

Κατανοµή τάσεων (): Ορθογώνιο θεµέλιο διαστάσεων 36*4 m ασκεί στο έδαφος φόρτιση 155 KN/m. Να υπολογιστεί η ασκούµενη κατακόρυφη τάση στο έδαφος, κάτω από το κέντρο και τη γωνία θεµελίου, σε βάθος 18 m. C L=36m O z=18m B=4m Επίλυση Μ Λ Μέθοδος ιαγράµµατος Fadum Προσδιορίζεται µόνο ο Κ c. O Κ o υπολογίζεται ως Κ c στην κορυφή του 1/4 του τετραγώνου τµήµατος. Έτσι, ισχύει Κ ο =4Κ c Άρα: n = m = L z B z = 1 = 0.67 Κ c = 0.146 K o = 4*0.155 = 0.619 σ z =155*0.619=96 KN/m

Κατανοµή τάσεων (3): Εκσκαφή διαστάσεων 3*6 m και βάθους.4 m, κατασκευάστηκε σε οµογενές έδαφος, µε ξηρή πυκνότητα 000 Kg/m 3. Να υπολογιστεί η µεταβολή των τάσεων που θα επέλθει στο υπέδαφος µέχρι βάθους 6 m, κάτω από το κέντρο της εκσκαφής. Z=6m Λ 3x6m.4m M Επίλυση A) Πριν από την εκσκαφή η κάθετη πίεση, που ασκείται από το βάρος του εδάφους, είναι: γz=000. 9,81. z [N/m ] για z = 6m γz = 000. 9,81. 6 = 11770 N/m = 118 KN/m B) Εποµένως, πριν από την εκσκαφή η κάθετη πίεση σε βάθος.4 m ήταν: 000. 9,81.,4 = 47088 Ν/m = 47 KN/m Γ) Μετά την εκσκαφή, η πίεση στον πυθµένα του σκάµµατος είναι µηδέν (Θεωρούµε ότι, ως προς την επιφάνεια του εδάφους, η µεταβολή πίεσης είναι -47 KN/m 47-47=0) Βάθος πραγµατικό Βάθος από πυθµένα εκσκαφής Fadum n=l/z=3/z Fadum m=b/z=1.5/z Kc Μεταβολ ή πίεσης κέντρο 4.Kc.-47 KN/m Αρχική πίεση προ εκσκαφής Τελική πίεση µετά εκσκαφή 0 -.4 0 0.4 0 0.5-47 47 0 3.6 1..5 1.5 0.18-41 71 30 4.8.4 1.5 0.65 0.147-8 94 66 6 3.6 0.83 0.417 0.1-19 118 99

Κατανοµή τάσεων (4): Παραλληλόγραµµο θεµέλιο ΑΒΓ, διαστάσεων 4x1 m, ασκεί επί του εδάφους, πίεση 15 Kpa. Να υπολογιστεί η κατακόρυφη τάση που ασκείται σε σηµείο «Ο» εκτός θεµελίου, σε βάθος 8 m. Το σηµείο «Ο» απέχει, οριζόντια, 8 m κάθετα στις προεκτάσεις των δύο πλευρών του θεµελίου Α 4 m Β Ε 1 m q = 15 KN/m Γ Ζ Άρα: Η κατακόρυφη τάση στο σηµείο «Ο» είναι.3 KN/m (συµπίεση) Θ Η Ο Τµήµα L (m) B (m) n= L/z m = B/z I f τάση Κάθετη (KN/m +ΑΕΟΘ 3 0 4.5 0.43 5. +ΓΖΟΗ 8 8 1 1 0.176 37.8 - ΖΟΘ 3 8 4 1-0.05 44.1 -ΒΕΟΗ 0 8.5 1-0.03 43.6 Σ = +.3

Κατανοµή τάσεων (5α): Ορθογώνιο θεµέλιο, διαστάσεων 1x15m, φορτίζει οµοιόµορφα το έδαφος µε 4MN. Το έδαφος θεµελίωσης, από επάνω προς τα κάτω, αποτελείται από ένα στρώµα οµοιόµορφης άµµου, πάχους 6.4m και ένα στρώµα αργίλου πάχους 3.m. Τα χαρακτηριστικά της άµµου είναι: Ξηρή πυκνότητα: 1950 Kg/m 3 Ειδικό βάρος κόκκων:.65 Υπάρχουσα υγρασία: 9% Βάθος υδροφόρου ορίζοντα: 4.3m α) Να υπολογιστεί το βάθος θεµελίωσης ώστε η ασκούµενη τάση στο αργιλικό στρώµα να αυξηθεί µέχρι 75KN/m β) Με δεδοµένο το προηγούµενο αποτέλεσµα, να υπολογιστεί η µέση κατακόρυφη πίεση στη βάση του αργιλικού στρώµατος (πυκνότητα αργίλου: 00 Kg/m 3 ) P=4KN 15m 1m 6.4m 3.m γ d =1950KN/m 3 γ s =.65 w=9% γ d =00KN/m 3 d: βάθος θεµελίωσης z: βάθος αργίλου από το θεµέλιο

Κατανοµή τάσεων (5β): συνέχεια (α) Η πίεση επαφής θεµελίου-εδάφους είναι: (4*10 3 )/1*15) = 133 KN/m Φαινόµενη πυκνότητα άµµου επάνω από τον υδροφορέα: 1950*1.09 = 16 Kg/m 3 Η κατακόρυφη πίεση στην άµµο, σε βάθος d, πριν από την κατασκευή του θεµελίου : 16*9.81*d = 0.86 d KN/m (για d 4.3) 15m 1m P=4KN 6.4m 3.m Σηµείωση: Η αύξηση της κατακόρυφης τάσης, στο στρώµα της αργίλου, οφείλεται στο εξωτερικό φορτίο του θεµελίου µείον το φορτίο του βάρους του αφαιρούµενου χώµατος, κατά την θεµελίωση. Επιβαλλόµενη πίεση: (133-0.86d) KN/m, για d 4.3 Χωρίς την παρουσία υδροφόρου στρώµατος, για βάθος θεµελίωσης 6.38 m, η επί πλέον κατακόρυφη πίεση στην άργιλο µηδενίζεται (6.38 6.4). Έτσι, σύµφωνα µε την παραπάνω σχέση, η επιβαλλόµενη πίεση είναι: 133 KN/m για d=0.0 10 KN/m για d=1.5 70 KN/m για d=3.0 d < 4.3 (Βάθος υδροφόρου ορίζοντα) Σηµείωση: Η µέγιστη τάση στην άργιλο εµφανίζεται στην επάνω επιφάνεια της, κάτω από το κέντρο του θεµελίου. Για την επίλυση του προβλήµατος χρησιµοποιείται το διάγραµµα του Fadum.

Κατανοµή τάσεων (5γ): συνέχεια Αποτελέσµατα τάσεων σε διάφορα βάθη: Βάθος Βάθος αργίλου από το θεµέλιο n=l/z= 7.5/z m=b/z= 6/z K' c 4*K c Επιβαλλό µενη πίεση (KN/m Αύξηση τάσης στην άργιλο (KN/m 0 6.4 1.17 0.94 0.18 0.78 133 96.8 1.5 4.9 1.53 1. 0.06 0.84 10 84 3 3.4.1 1.76 0.3 0.9 70 64.4.3 4.1 1.83 1.46 0. 0.88 85 74.8 (β) Από το (α) βάθος θεµελίωσης =.3 m Άρα, η βάση της αργίλου είναι σε βάθος 6.4+3.-.3=7.3 m, από το επίπεδο θεµελίωσης. Από το νοµόγραµµα του Fadum προκύπτει ότι για z = 7.3m n=1.03, m=0.8, K c =0.16, 4K c =0.648 P=4KN Έτσι, η µέγιστη αύξηση στην κατακόρυφη τάση στη βάση της αργίλου θα είναι 0.648*85=55 KN/m 15m 1m 3.m 6.4m

Κατανοµή τάσεων (5δ): συνέχεια Για να υπολογίσουµε τη συνολική ασκούµενη πίεση στη βάση της αργίλου, πρέπει στην παραπάνω τιµή (55 NK/m ), να προσθέσουµε την προϋπάρχουσα πίεση που ασκεί α) το βάρος της άµµου επάνω από τον υδροφόρο ορίζοντα, β) το βάρος της άµµου εντός του υδροφορέα (Σηµ.: η άργιλος είναι στεγανή) και γ) το βάρος της αργίλου. Έτσι: Πίεση άµµου επάνω από τον υδροφορέα: 16*4.3*9.81 = 89.68 KN/m Πίεση αργιλικού στρώµατος: 00*3.*9.81 = 63.41 KN/m Πίεση άµµου εντός του υδροφόρου στρώµατος (µεταξύ 4.3-6.4 m): 1950 V s =.65*1000 Φαινόµενο βάρος κορεσµένης άµµου: 1 0.736 0.736 3 = 0.736 m e = = 0. 359 γ + e γ = * γ 1+ e.65 + 0.36 *1000 1.36 s = w = 13 Kg / m Άρα, Προϋπάρχουσα Πίεση: 89.68+61.43+45.59 = 199 KN/m Ολική Πίεση: 55+199 = 54 KN/m 3 15m 1m P=4KN Άρα, Πίεση άµµου: 13*.1*9.81=45.59 ΚΝ/m 6.4m 3.m

Φέρουσα ικανότητα Bearing capacity

Φέρουσα ικανότητα: Επίµηκες (λουριδωτό) θεµέλιο εδράζεται επί κορεσµένης αργίλου, σε βάθος m, από την επιφάνεια του εδάφους. Εργαστηριακές δοκιµές σε αστράγγιστα δείγµατα έδωσαν µέση τιµή c=54kn/m. Η φαινόµενη πυκνότητα του εδάφους είναι 1.76Mg/m 3. Να υπολογιστεί η φέρουσα ικανότητα του εδάφους, στο βάθος αυτό. q=c.n c +γ.d f. N q +0.5γ.B.N γ Επειδή η άργιλος είναι κορεσµένη φ=0 άρα Ν γ =0 άρα 0.5γΒΝ γ =0 Άρα: q=cn c +γd f N q N q =1, N c =5.7 γ=1.76*9.81=17.3 KN/m 3 (17.3KN/m για κάθε µέτρο βάθους ή 17.3KN/m /m γd f =17.3*=34.6 q=54*5.7+17/3**1=343 KN/m. Φέρουσα ικανότητα του εδάφους: q=cn c =308 KN/m

Καθιζήσεις Consolidation

Καθίζηση (1α): Σύµφωνα µε τα δεδοµένα του σχήµατος, τεχνικό έργο, µε επίπεδη βάση, εδράζεται σε έδαφος που αποτελείται, από επάνω προς τα κάτω, από ένα στρώµα άµµου πάχους 9 m, τοποθετηµένου επάνω σένα στρώµα αργίλου πάχους 7.5 m, το οποίο είναι τοποθετηµένο σε υδροπερατό υπόβαθρο. Να υπολογιστεί η τελική καθίζηση που θα υποστεί το έδαφος καθώς και η καθίζηση που θα υποστεί µετά από παρέλευση 10 ετών. ιαστάσεις έδρασης θεµελίου 7*18m Πίεση στην διεαφή βάσης µε έδαφος 15KN/m Ξηρή πυκνότητα εδάφους 1830Kg/m 3 Ειδικό βάρος κόκκων άµµου.65 Υγρασία άµµου επάνω από τον υδροφόρο ορίζοντα 8% Φαινόµενο βαρος αργίλου 190 Kg/m 3 Ειδικό βάρος κόκκων αργίλου.7 Υψόµετρο επιφανείας εδάφους 54 m Υψόµετρο επιφανείας αργίλου 45 m Υψόµετρο ανώτ. επιφ. υποβάθρου 37.5 m Υψόµετρο βάσης θεµελίου 51 m Υψόµετρο υδροφόρυ ορίζοντα 48 m 3m 3m 3m 7.5m 15 KN/m 54m 51m 48m 45m 37.5m

Καθίζηση (1β): ίδονται εργαστηριακά δεδοµένα: 3m 3m 3m 7.5m 15 KN/m 54m 51m 48m 45m 37.5m Ενεργός Πίεση P (KN/m ) Συντ. µεταβ. όγκου m v (m /KN) 1 0.00043 4 0.00046 57 0.000433 11 0.00085 4 0.00039 448 0.000144 896 0.000049 Επίλυση Μέσος συντελεστής στερεοποίησης C v =0.07 mm /sec Για τον υπολογισµό του προβλήµατος προσδιορίζονται: Η αρχική κατανοµή της ενεργούς πίεσης στο έδαφος, σ ολόκληρο το βάθος Η τελική κατανοµή της ενεργού πίεσης a H Η σχέση p - m v που δίδεται από τη σχέση m = v 1 v = 1+ e H * p Για τον υπολογισµό της καθίζησης στο αργιλικό στρώµα, αυτό χωρίζεται σε 5 ζώνες πάχους Η =1.5 m η κάθε µια, επειδή έχει µεγάλο πάχος. Έτσι η καθίζηση υπολογίζεται για κάθε ζώνη χωριστά από τη σχέση: s' = mvh ' p Άρα, η συνολική καθίζηση θα είναι: s = s' +... + s 1 ' 5

Καθίζηση (1γ): Η αρχική πίεση του εδάφους πριν από τη θεµελίωση αφορά το βάρος των υπερκείµενων στρωµάτων, καθώς και την πίεση των πόρων. Το φαινόµενο βάρος της άµµου ( µε 8 % υγρασία), επάνω από τον υδροφόρο ορίζοντα, είναι: γ 1 = 1830*1.08 = 1976 Kg/m 3 το φαινόµενο βάρος της άµµου µέσα στο υδροφόρο στρώµα είναι: γ γ + e 1+ e.65 + e 1+ e 3 ( Kg cm ) s = * γ w = *1000 / Η ξηρή πυκνότητα της άµµου ισούται µε d=1830 Kg/m 3..65*1000 1830 = e = 0.45 1+ e.65 + 0.45 3 Άρα: γ = *1000 γ = 138Kg / m 1+ 0.45 Αρχική πίεση σε βάθος z : [(6*1976)+(3*138)+190z]*9.81 N/m = (179+18.8z)KN/m Πίεση πόρων στο υδροφόρο στρώµα: (3+z)1000*9.81 N/m = 9+18.8z) KN/m Έτσι, η αρχική ενεργός πίεση ισούται µε (150+9z) KN/m (z σε µέτρα) Η ενεργός πίεση στην άργιλο δίδεται στον επόµενο πίνακα

Καθίζηση (1δ): Ασκούµενη πίεση - συµπίεση σε κάθε υποζώνη της αργίλου Υποζώνη Βάθος από άνω επιφ. Αργίλου (m) Βάθος κέντρου υποζώνης -z (m) Πάχος υποζώνηςη' (m) Αρχική ενεργός πίεση p (KN/m ) Αύξηση πίεσης p (KN/m ) Tελ. Ενεργός πίεση p+ p (KN/m ) Μέση ενεργός πίεση p+ p/ (KN/m ) a b c d e f g h I j k 1 0-1.5 0.75 1.5 157 137 94 5 0.00035 06 0.0484 1.5-3.0.5 1.5 170 16 96 33 0.0009 189 0.0433 3 3.0-4.5 3.75 1.5 184 114 98 41 0.0005 171 0.0385 4 4.5-6.0 5.5 1.5 197 104 301 49 0.000 156 0.0343 5 6.0-7.5 6.75 1.5 11 97 308 59 0.00015 146 0.0314 s = Σm v H' p = 196 mm Συντ. µεταβ. όγκου mv (m /KN) H' p (KN/m) s'=mvh' p (m) Στη βάση της θεµελίωσης, η καθαρή (τελική) ασκούµενη εξωτερική φόρτιση, επί του εδάφους ισούται µε το βάρος της κατασκευής µείον το αφαιρούµενο έδαφος. 3*1976*9.81 Τελική εξωτερική φόρτιση = 15 = 157 KN / m 1000 Ηπίεση που ασκείται σε βάθος z λόγω εξωτερικής φόρτισης υπολογίζεται µε χρήση του νοµογράµµατος του Fadum

Καθίζηση (1ε): Τελική συνολική καθίζηση οφειλόµενη στη συµπιεστότητα της αργίλου, λόγω εξωτερικής φόρτισης, δίδεται ως άθροισµα των επί µέρους καθιζήσεων s = ΣmvH' p = 196 mm Καθίζηση µετά παρέλευση 10 ετών: T v c t 0.7 * 10 * 365 3 [ * 10 ] ( H / ) ( 7.5 / ) * 4 * 60 v = T = = v 0.605 Από σχετικό πίνακα Τ v -U, εκτιµάται ότι, για T v =0.605, ο βαθµός στερεοποίησης U=0.81 Τελική καθίζηση: 0,81*196 = 159 mm Κορυφή διαπερατή Βάση στεγανή Βαθµός Παράγοντας χρόνου Τ v στερεοποίησης Περίπτωση (1) Περίπτωση () Περίπτωση (3) 0.1 0.008 0.047 0.003 0. 0.031 0.1 0.009 0.3 0.071 0.158 0.04 0.4 0.16 0.1 0.048 0.5 0.197 0.94 0.09 0.6 0.87 0.383 0.16 0.7 0.403 0.5 0.71 0.8 0.567 0.665 0.44 0.9 0.848 0.94 0.7

Καθίζηση (α): Η γεωτεχνική έρευνα που έγινε µε σκοπό τη διερεύνηση της µηχανικής συµπεριφοράς του εδάφους θεµελίωσης ενός τεχνικού έργου, περιλαµβάνει και εργαστηριακή δοκιµή στερεοποίησης του εν λόγω εδάφους. Έτσι έγινε συλλογή κορεσµένων δειγµάτων ιλυώδους αργίλου, τα οποία δοκιµάστηκαν εργαστηριακά, µε χρήση οιδηµέτρου. Το δείγµα που εξετάστηκε και που φορτίστηκε διαδοχικά, σύµφωνα µε τις διεθνείς προδιαγραφές, είχε αρχικό πάχος 15 mm και διάµετρο 76. mm. Το ειδικό βάρος των κόκκων του εδάφους είναι.70. Στο δείγµα ασκήθηκε µέγιστη πίεση 856 KN/m. Μετά το δείγµα αφέθηκε να διογκωθεί επί 48 ώρες, µε αφαίρεση του βάρους και η υγρασία που προσέλαβε υπολογίστηκε σε 38,8 %. Τα δεδοµένα τιµών τελικής καθίζησης για κάθε βαθµίδα φόρτισης δίδονται παρακάτω: Φόρτιση (KN/m ) 0 6.75 53.5 107 14 48 Τελική ένδειξη µικροµέτρου (mm) 5.588 5.3 4.958 4.60 3.96 3.414 Να προσδιοριστούν: α) η σχέση «λόγος κενών - log ενεργή πίεση» β) ο δείκτης συµπίεσης (C c ) γ) οι συντελεστές a v και m v δ) Να γίνουν διαγράµµατα όπου χρειάζεται

(α) Καθίζηση (β): Τελικός λόγος κενών κορεσµένου εδάφους (µετά από αποφόρτιση και διόγκωση): e = 0.388*.7 = 1.045 Το πάχος του δείγµατος σ αυτή τη φάση είναι: 19.000-(5.588-5.) = 18.634 mm (β) δ e 1+ e = δ h h Άρα: δ h δ e = (1 + e) δ e = h.045 18.634 * δ h = 0.1097δ h ιάστηµα P (KN/m ) δp (KN/m) δh (mm) δe (0.1097δh) e (τελικό, βαθµίδας)* α v =δe/δh (m /KN) 0-6.75 6.75-0.356-0.0391 1.046 0.00146 6.75-53.5 6.75-0.74-0.0301 1.016 0.00113 53.5-107 53.5-0.356-0.0391 0.977 0.00073 107-14 107-0.64-0.70 0.907 0.00066 14-48 14-0.548-0.0601 0.847 0.0008 48-856 48-0.63-0.0691 0.778 0.00016 856-0 -856.438 0.674 1.045 * Για τον υπολογισµό του "e" αρχίζουµε από την τελευταία βαθµίδα φόρτισης (αποφόρτιση)

1+e δp δ p d p h d p δe ( m / () m / K ) N C c = K N ( m. m / K) m N ( m / K ) N 0. 3 0 1 1+e Καθίζηση (γ): C c δ e δ = mv = * = αv ( log p)? 1 1+ e de dp 1 1+ e ή 1 m v = h dh dp Ενεργός πίεση Μεταβολή δείκτη πόρων είκτης συµπίεσης Κλίση καµπύλης Συντελεστής συµπιεστότητας Πάχος Κλίση καµπύλης Συντελεστής συµπιεστότητας p (KN/m ) δe h (mm) a b c d e f g h I 0.00-0.0391.065 0.00146 0.000707 18.8 0.0133 0.000707 6.7-0.0301 0.100.031 0.00113 0.000556 18.507 0.010 0.000551 53.50-0.0391 0.130 1.997 0.00073 0.000366 18.19 0.0067 0.000368 107.00-0.070 0.33 1.94 0.00066 0.000340 17.650 0.0060 0.000340 14.00-0.0601 0.00 1.877 0.0008 0.000149 17.040 0.006 0.000153 48.00-0.0691 0.30 1.813 0.00016 0.000088 16.40 0.0015 0.000091 856.00

Καθίζηση (δ):

(Πλευρικές) Ωθήσεις Γαιών

Ωθήσεις γαιών (1): Κατακόρυφος τοίχος αντισtήριξης, ύψους 8 m, συγκρατεί χαλαρό σχηµατισµό πυκνότητας 1.75 Mg/m 3 και γωνίας εσωτερικής τριβής γ=30 ο. Η επιφάνεια του εδάφους είναι οριζόντια. Να υπολογιστεί το µέγεθος και η διεύθυνση της συνισταµένης ενεργητικής ώθησης. a) µε τη µέθοδο Rankine b) µε τη µέθοδο Coulomb, θεωρώντας ότι η γωνία τριβής εδάφους - τοίχου είναι δ=0 0 (εµπειρικός συντελεστής α=0.9-0.8 για δ=15-30 0 a) Rankine: K P α a 1 sinϕ = = tan 1+ sinϕ = 1 K γ h a = b) Coulomb: 1 1 3 (1.75*9.81)8 Επίλυση: 1 1 (45 ϕ ) = = 1+ 1 1 3 = 183KN / m P P a a = = cosδ = 183a 183a 183*0.7 = cosδ cos 0 = 169KN / m

Ωθήσεις γαιών (): Τοίχος αντιστήριξης, ύψους 9.5 m, συγκρατεί χαλαρό εδαφικό σχηµατισµό µε κλίση της άνω επιφάνειας 15 0. Η πυκνότητα του εδάφους είναι 1.9 Mg/m 3 και φ=3 0. Να υπολογιστεί η συνισταµένη ώθηση του εδάφους µε τη µέθοδο Rankine. 0 β =15 σ z = γ z cos β 0 β =15 P α 0 Επίλυση: P r 0 3 V K a β OQ = OV = ( ) 0.35 Ο 15 0 15 Q σ 1 γ=1.9*9.81=18.64 KN/m 3 Τάση στη βάση του τοίχου: OV=σ z =σ 1 *cosβ = γz*cosβ ΟQ=P r =αντιστοιχεί στο (P α ) σ z =18.64*9.5*cos15 = 171 KN/m p α =σ z *0.35 = 60 KN/m P α =(1/)60*9.5 = 85 KN/m P α =(1/)Κ α γη (cosβ) P α =(1/)*0.35*18.64*9.5 (cos15 0 )= 85 KN/m

Ωθήσεις γαιών (3α): Κατακόρυφος τοίχος αντιστήριξης, ύψους 8 m, συγκρατεί χαλαρό εδαφικό σχηµατισµό ο οποίος στα ανώτερα 3 m, έχει d = 1.75 Mg/m 3 και φ=30 0. Στα κατώτερα 5 m, η πυκνότητα d = 1.85 Mg/m 3 και φ=35 0. Η οριζόντια επιφάνεια του εδάφους φορτίζεται οµοιόµορφα µε 1. Mg/m. Να υπολογιστεί το µέτρο και το σηµείο εφαρµογής της συνισταµένης ώθησης α) όταν ο σχηµατισµός έχει υποστεί αποστράγγιση β) όταν, λόγω παρουσίας υπόγειου νερού, η φαινόµενη πυκνότητα στα δύο στρώµατα είναι 1.9 Mg/m 3 και.0 Mg/m 3 (κορεσµένο έδαφος). (α) A 3.9 1 17. (β) A 3.9 1 8.8 No Είδος φορτίου 1 Εξωτερικό φορτίο άνω εδαφικό στρώµα (στα ανώτερα 3m) 3 εξωτερικό φορτίο 4 άνω εδαφικό στρώµα (στα κατώτερα 5m) 5 κάτω εδαφικό στρώµα ( στα κατώτρα 5m) 6 Υδροστατική πίεση P a = 01KN P a =117. 9KN (β) B 3 4 5 3. 17. 4.5 B 3 4 5 3. 8. 8 13. P w = 314KN 6 Υδροστατική πίεση 78.5

(α) 5m 3m A B 3.9 1 No Ωθήσεις γαιών (3β): 17. 3 4 5 3. 17. 4.5 P a = 01KN Ώθηση (εµβαδόν διαγραµµάτων πίεσης) Στη βάση του άνω 0 1 sin 30 στρώµατος (πάχους 3 m): = = 0. 33 Ύψος κέντρων περιοχών από τη βάση (m) 1+ sin 30 Ροπή (ως προς τηβάση του τοίχου) 1 3.9*3= 11.7 6.5 76 0.5*17.*3= 5.8 6 155 33.*5 16.5 40 4 17.*5 86.5 15 5 0.5*4.5*5 61.3 1.67 10 Συνισταµένη ώθηση (KN/m) P=00.8 588 Συνισταµένη ώθηση P α =00.8 KN/m τοίχου Η P α εφαρµόζεται σε ύψος 588/01 =.9 m επάνω από τη βάση του τοίχου. K a Στη βάση του κάτω 0 1 sin 35 στρώµατος (πάχους 5 m): K a = = 0. 7 0 1+ sin 35 γ άνω =1.75*9.81=17.15 KN/m 3 γ κάτω = 1.85*9.81=18.1 KN/m 3 Ώθηση λόγω εξωτερικού φορτίου: βάση άνω στρώµατος (Α) : 1.*9.81*Κ α = 3,9 KN/m βάση κάτω στρώµα (Β): 1.*9.81*Κ α = 3, KN/m (Πλευρική) ώθηση εδάφους: (Α): 0,33*17,18*3=17. KN/m (B): 0.7*18.1*5=4.5 KN/m 0

Ωθήσεις γαιών (3γ): (β) κορεσµένο έδαφος 3.9 Φαινόµενο βάρος άνω στρώµατος: γ=(1.9-1)*9.81=8.83 KN/m 3 Φαινόµενο βάρος κάτω στρώµατος: γ=(.0-1)*9.81=9.81 KN/m 3 Εξωτερική φόρτιση στο Α (3m) : 0.33*8.83*3=8.8 KN/m Εξωτερική φόρτιση στο Β (5m) : 0.7*9.81*5=13. KN/m 5m 3m A 1 8.8 P a =117. 9KN P w = 314KN Υδροστατική πίεση από επάνω προς τα κάτω: 0 έως [1.0*9,81*8=78.5 KN/m ] B 3 4 5 3. 8. 8 13. 6 Υδροστατική πίεση 78.5 Ώθηση (εµβαδόν διαγραµµάτων No πίεσης) 1 3.9*3= 11.7 0.5*8.8*3= 13. 3 3.*5= 16 4 8.8*5= 44 5 0.5*13.*5= 33 117.9 6 (υδροστατική) 0.5*78.5*8= 314 Συνισταµένη ώθηση (KN/m) P α = 431.9 P α (συνολικό) = P α +P w = 117.9+314=431.9

Ωθήσεις γαιών (4): Κατακόρυφος τοίχος αντιστήριξης συγκρατεί οριζόντιο έδαφος του οποίου τα χαρακτηριστικά δίδονται στο παρακείµενο σκαρίφηµα. Να υπολογισθούν οι ωθήσεις στην επιφάνεια του τοίχου και να σχεδιαστεί η κατανοµή των ωθήσεων. Μέθοδος Rankine γ 1 = 1670 KN/m 3 c 1 = 700 KN/m φ 1 = 30 0 γ = 1850 KN/m 3 c = 1000 KN/m 0.798t / m 0.85t / m 0.51t / m φ = 30 0 1.73t / m K tan 45 ϕ tan a = K ( 45 15) = 0.33, = 0. 57 = a z = 0 p = K γz c z = 3 z > 3 z = 5 p p p a a a a a = 0.33*1.67*3 0.798 = 0.85t / m = 0.33*1.67*3 *1*0.57 = 0.51t / m = 0.33* K a = 0.33*1.67*0 7*0.57 = 0.798t / m ( 1.67*3+ 1.85* ) *1*0.57 = 1.73t / m

Ευστάθεια τεχνητών πρανών

Πρανή (1α): κατά την κατασκευή οδού τεχνητό εδαφικό πρανές ύψους 14 m διαµορφώνεται µε κλίση /3. Στα ανώτερα 5 m το έδαφος έχει πυκνότητα d 1 =1800 Kg/m 3, c 1 =5KN/m και φ 1 =10 0. Σε µεγαλύτερο βάθος, το έδαφος έχει πυκνότητα d =1900 Kg/m 3, c =34 KN/m και φ=4 0. Η επιφάνεια του υδροφόρου ορίζοντα δίδεται στο σκαρίφηµα µε διακεκοµµένη γραµµή. Να υπολογιστεί ο συντελεστής ασφάλειας για το συγκεκριµένο κύκλο ολίσθησης σε συνθήκες σταθερής ροής νερού. Ο Οι παράγοντες που επιδρούν είναι: Η παρουσία δύο εδαφικών στρωµάτων Η παρουσία υπόγειου νερού Μέθοδος Bishop (1955) F = W 1 sin a { c' b + ( W ub) tanϕ' } 1+ ( tan a tanϕ' )/ sec a F

Πρανή (1β): Το πρανές χωρίζεται σε οκτώ (8) φέτες πλάτους: b=34.5/8=4.3 m. Οι φέτες ανήκουν και στα δύο εδάφη. Για παράδειγµα, στη φέτα Νο 6, τµήµα µέσου πάχους 5 m, ανήκει στο ανώτερο στρώµα ενώ τµήµα µέσου πάχους 7.4 m ανήκει στο κατώτερο. Έτσι το βάρος της φέτας Νο 6 ισούται µε: W=5*4.31*1.8*9.81+7.4*4.31*1.95*9.81=989 KN Από το τρίγωνο ανάλυσης των δυνάµεων οι συνιστώσες του βάρους Ν, Τ, ισούνται µε Ν=855 ΚΝ και ΤΑ=515 ΚΝ. Το µέσο ύψος στάθµης, από τη βάση του πρανούς, για τη φέτα Νο 6, είναι 7.65 m. Άρα, η πίεση πόρων είναι: 7.65*1*9,81*=75 KN/m. Εάν το µήκος χορδής της φέτας είναι 5. m τότε η δύναµη που ασκεί το νερό των πόρων είναι U=75*5.=390 KN. Και τελικά N =N-U=855-390-465 KN.

Πρανή (1γ): Βάρος φέτας (KN) υνάµεις σε ΚΝ ύναµη νερού πόρων, U ενεργός δύναµη Ν'=Ν-Θ No Συνιστώσες βάρους Εφαπτ. Τ Κάθετη Ν 1 196-55 180 90 90 519-90 510 5 85 3 781 15 780 310 470 4 965 180 945 365 580 5 1084 370 100 385 635 6 989 515 855 390 465 7 71 500 535 305 30 755 8 30 50 175 75 100 Το άθροισµα των εφαπτοµενικών δυνάµεων κατά µήκος της επιφάνειας ολίσθησης ισούται µε ΣΤ= 1685 ΚΝ. Η µέγιστη δύναµη συγκράτησης ισούται µε c+n tanφ. Με υπολογισµό των γωνιών κλίσεων, arc DE=5.43 m και arc BE=35.6 m. Άρα: c=5*5.43+34*33.3=1346 KN Για σχεδόν ολόκληρη τη φέτα Νο 8, η φ=10 0 ενώ για τις υπόλοιπες η φ=4 0 και φ=10 0. ΣΝ tanφ = 755tan4+100tan10=755*0,445+100*0,175=143 ΚΝ Συντελεστής ασφάλειας: c + N' tanϕ 1346 + 143 F = = = 1.54 T 1685

Βιβλιογραφία κεφαλαίου Capper, P., L., Cassie, W. F. & Geddes, J. D. (1978). Problems in engineering soils (SI ed.). E & F. N. SPON Ltd (5 th Ed.), London, 16 p. Sanglerat, G., Olivari, G. & Cambou, B. (1985), Practical problems in soil mechanics and foundation engineering, v. 1,. Elsevier Ed., Amsterdam, 53 p.