Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 42 ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ Βιοστατική ΙΙ Ενότητα 3 είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου ΜΕΡΟΣ ΕΥΤΕΡΟ ΙΑΦΑΝΕΙΕΣ 40-20 Ιωάννης Ντζούφρας Τµήµα Στατιστικής Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Χιαστός λόγος των πιθανοτήτων που εµφανίζονται σε ένα 2 2 πίνακα συνάφειας Ονοµάζεται και «λόγος σταυρωτού ή χιαστού πολλαπλάσιου» crossproduct ratio Στην Ιατρική Στατιστική χρησιµοποιούνται και οι όροι : «προσεγγιστικός σχετικός κίνδυνος» ή «σχετικός λόγος» ή απλά «σχετικός κίνδυνος» καθώς επίσης «σχετικός λόγος συµπληρωµατικών πιθανοτήτων» για λεπτοµέρειες ϐλ Τριχόπουλος, Τζώνου και Κατσουγιάννη, 2000, σελ 70 75 Στους 2 2 πίνακες συνάφειας ο λόγος σχετικών πιθανοτήτων ΛΣΠ εκτιµάται από τον εκτιµητή ÔR p p 22 n n 22 p 2 p 2 n 2 n 2 δηλαδή από το λόγο των χιαστών πολλαπλάσιων του πίνακα συχνοτήτων Αθήνα, 3 Νοεµβρίου 2006 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 4 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 43 3442 Σύγκριση Σχετικών πιθανοτήτων µε τη χρήση του Odds Ratio ΟΡΙΣΜΟΣ Ο «λόγος σχετικών πιθανοτήτων» ``odds ratio δίνεται από το λόγο των σχετικών πιθανοτήτων εµφάνισης της νόσου για διαφορετικά επίπεδα του παράγοντα κινδύνου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Λόγος σχετικών πιθανοτήτων της νόσου για τους εκτεθειµένους έναντι των µη εκτεθειµένων στον παράγοντα κινδύνου OR odds E π E π E odds E π E π E ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ : odds ratio σε 2 2 πίνακες Λόγος σχετικών πιθανοτήτων του X έναντι του X 2: oddsx OR oddsx 2 π i/π 2 i π /π 2 π π 22 3 π i2 /π 2 i2 π 2 /π 22 π 2 π 2 2 Ο ΛΣΠ χρησιµοποιείται ευρέως κυρίως στην Ιατρική Η δηµοτικότητα του ΛΣΠ οφείλεται στη σχετικά εύκολη ερµηνεία του, στο γεγονός ότι µπορεί να υπολογιστεί και σε προοπτικές και σε αναδροµικές µελέτες στο ότι είναι σχεδόν ίσος µε το σχετικό κίνδυνο σε συγκεκριµένες περιπτώσεις στο ότι αναφέρεται συγκρίσεις σχετικών πιθανοτήτων odds στο ότι προκύπτει άµεσα από τις παραµέτρους των µοντέλων λογιστικής παλινδρόµησης που ϑα εξετάσουµε στα επόµενα κεφάλαια
Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 44 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 46 Ανεξαρτησία και odds ratio Η σύνδεση το odds ratio µε την έννοια της ανεξαρτησίας σε πίνακες 2 2 είναι άµεση αφού «ανεξαρτησία» OR για το λόγο αυτό ο έλεγχος µπορεί να γραφτεί και ως H 0 : OR έναντι της εναλλακτικής H : OR Αν OR > ο επίπεδο της κατηγορικής µεταβλητής δηλαδή η γραµµή του πίνακα είναι πιο πιθανή από το 2ο επίπεδο Πχ αν OR 4 το ο επίπεδο της µεταβλητής X έχει σχετική πιθανότητα τετραπλάσια της σχετικής πιθανότητας του δεύτερου επιπέδου της µεταβλητής X Πχ αν OR /4 η 2η γραµµή του πίνακα X 2 έχει σχετική πιθανότητα τετραπλάσια της σχετικής πιθανότητας της ης γραµµής X ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑΣ ΣΤΙΣ ΙΑΤΡΙΚΕΣ ΜΕΛΕΤΕΣ Αν OR a η σχετική πιθανότητα της νόσου Y όταν ένα άτοµο εκτεθεί στον κίνδυνο X είναι ίση µε a ϕορές την ίδια σχετική πιθανότητα όταν δεν εκτεθεί στον κίνδυνο X 2 Η ισοδύναµα : η σχετική πιθανότητα µη εµφάνισης της νόσου Y 2ότανένα άτοµο δεν εκτεθεί στον κίνδυνο X 2 είναι ίση µε a ϕορές την ίδια σχετική πιθανότητα όταν εκτεθεί στον κίνδυνο X 2 Αν OR a> η σχετική πιθανότητα της νόσου Y ότανέναάτοµο εκτεθεί στον κίνδυνο X είναιa ή {a }00% ϕορές µεγαλύτερη της ίδιας σχετικής πιθανότητας όταν δεν εκτεθεί στον κίνδυνο X 2 3 Αν OR a< η σχετική πιθανότητα της νόσου Y ότανέναάτοµο εκτεθεί στον κίνδυνο X είναι a ή { a}00% ϕορές µικρότερη της ίδιας σχετικής πιθανότητας όταν δεν εκτεθεί στον κίνδυνο X 2 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 45 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 47 ΠΡΟΣΟΧΗ: Ο ΛΣΠ αλλάζει και η αντίστοιχη ερµηνεία του αν αλλάξουµε τη σειρά των επίπεδων της µιας από τις δύο µεταβλητές Αν όµως αλλάξουµε τη σειρά και στις δυο µεταβλητές τότε ο ΛΣΠ δεν µεταβάλλεται ΛΣΠ + Σχετικός κίνδυνος στενά συνδεδεµένοι διότι, κάτω από προϋποθέσεις, αποτελεί προσεγγιστική εκτίµηση του στις µελέτες µαρτύρων-ασθενών ΙΣΟ ΥΝΑΜΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑΣ «η σχετική πιθανότητα του Y όταν X είναι ίση µε OR ϕορές την αντίστοιχη συπληρωµατική πιθανότητα όταν X 2» «η σχετική πιθανότητα του Y 2όταν X 2είναι ίση µε OR ϕορές την αντίστοιχη συπληρωµατική πιθανότητα όταν X» Επιβαρυντικός παράγοντας κινδύνου Οταν OR > : παρουσία του παράγοντα X κίνδυνος Προστατευτικός παράγοντας κινδύνου Οταν OR < : παρουσία του X κίνδυνος
Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 48 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 50 Λογαριθµοποίηση odds ratio Στην στατιστική πολλές ϕορές χρησιµοποιούµε και το λογάριθµο του ΛΣΠ Μπορούµε να ϐρούµε ποιό εύκολα την κατανόµή του λογάριθµου του δειγµατικού odds ratio Χρησιµοποιείται στα µοντέλα λογιστικής παλινδρόµησης Στην περίπτωση αυτή η υπόθεση της ανεξαρτησίας µπορεί να γραφεί ως H 0 :logor 0 έναντι της εναλλακτικής H :logor 0 Σχέση ΛΣΠ νόσου και έκθεσης στον κίνδυνο σε 2 2 Πίνακες Σε2 2 πίνακες οι δύο ΛΣΠ συµπίπτουν Σαν να ϐλέπουµε το ίδιο αντικείµενο από διαφορετική οπτική γωνία Συνεπώς αν αλλάξουµε τη διάταξη των µεταβλητών σε ένα 2 2 πίνακα δηλαδή ποια µεταβλητή καθορίζει τις γραµµές και ποια µεταβλητή τις στήλες του πίνακα ο ΛΣΠ ϑα παραµείνει αµετάβλητος Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 49 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 5 Λόγος σχετικής πιθανότητας µιας νόσου disease odds ratio Ο παραπάνω ΛΣΠ ϐασίζεται στη νόσο ως µεταβλητή απόκρισης Επιτυχία:ηεµφάνισητηςνόσου, συγκρίνει τις σχετικές πιθανότητες της νόσου µεταξύ των ατόµων που έχουν ή όχι εκτεθεί σε ένα παράγοντα κινδύνου Ο λόγος των σχετικών πιθανοτήτων εµφάνισης µιας νόσου για άτοµα διαφορετικής έκθεσης σε ένα παράγοντα κινδύνου ονοµάζεται και λόγος σχετικής πιθανότητας µιας νόσου disease odds ratio, Rosner, 994, σελ 365 ΛΣΠ έκθεσης σε ένα παράγοντα κινδύνου exposure odds ratio Επιτυχία : έκθεση στον κίνδυνο 345 Εκτίµηση του σχετικούκινδύνου και του ΛΣΠ µε τη Χρήση SPSS Στο SPSS µπορούµε να υπολογίσουµε το σχετικό κίνδυνο και το λόγο σχετικών πιθανοτήτων για πίνακες 2 2 Αυτό µπορεί να γίνει στο µενού Analyze>Descriptive Statistics>Crosstabs Αφού εισάγουµε τις µεταβλητές που επιθυµούµε στις στήλες και στις γραµµές, επιλέγουµε το δεύτερο σε σειρά κουτί επιλογών που εµφανίζεται στο κάτω µέρος της οθόνης µε τίτλο Statistics και τσεκάρουµε την εκτύπωση των δεικτών κινδύνου µε ένδειξη Risk Προσοχή οι δείκτες κινδύνου σχετικός κίνδυνος και λόγος σχετικών πιθανοτήτων υπολογίζονται µόνο για 2 2 πίνακες Υπολογίζουµε το λόγο των σχετικών πιθανότητων έκθεσης στον κίνδυνο για τους ασθενείς και µάρτυρες ΛΣΠ έκθεσης σε ένα παράγοντα exposure odds ratio, Rosner, 994, σελ 366
Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 52 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 54 Γιατί ο RR δεν υπολογίζεται σε Αναδροµικές µελέτες ; 35 Σχέση ΣχετικούΚινδύνου και ΛΣΠ Odds Ratio ΛΣΠ έγινε δηµοφιλής στην Ιατρική στατιστική ή Βιοστατιστική γιατί ο ΛΣΠ µπορεί να υπολογιστεί και στους δύο τύπους µελετών προοπτικές και αναδροµικές ο σχετικός κίνδυνος µπορεί να υπολογιστεί µόνο σε προόπτικες µελέτες ΛΣΠ είναι ασυµπτωτικά ίσος µε το σχετικό κίνδυνο όταν ηπι- ϑανότητα εµφάνισης της νόσου είναι µικρή δηλαδή στις σπάνιες αρρώστιες Για RR χρειαζόµαστε την πιθανότητα εµφάνισης της νόσου π j και π j 2 εν µπορούν να εκτιµηθούν από µελέτες µαρτύρων-ασθενών γιατί το µέγεθος τόσο των ασθενών όσο και των µαρτύρων είναι προκαθορισµένο λόγω του σχεδιασµού της µελέτης Αντίθετα στις προοπτικές µελέτες, όπου λαµβάνεται δείγµα αντιπροσωπευτικό του υπό µελέτη πληθυσµού, αυτές οι ποσότητες µπορούν να εκτιµηθούν άρα να υπολογιστεί και ο σχετικός κίνδυνος ΛΣΠ της νόσου δίνεται από τον τύπο OR odds E odds E π E π E π E π E π j π j2 2 π j 2 π j2 ο οποίος προαπαιτεί την εκτίµηση αυτών των πιθανοτήτων π E και π E Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 53 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 55 Γιατί odds ratio RR; OR Odds E OddsX Odds E OddsX 2 π j /π j2 π j π j2 π j 2 /π j2 2 π j 2 π j2 2 RRY RRY 2 Αν το γεγονός που εξετάζουµε νόσος έχει πιθανότητα εµφάνισης πολύ µικρή πχ σπάνια ασθένεια τότε καταλήγοντας στο αποτέλεσµα π j2 και π j2 2 RRY 2 OR RRY Εχουµε ικανοποιητική προσέγγιση όταν ο επιπολασµός της νόσου είναι µικρότερος του 00 ϐλ Rosner, 994, σελ 368 Αναλύοντας όµως τον παραπάνω τύπο έχουµε OR π i/π 2 i π i2 /π 2 i2 π π 22 π 2 π 2 π i π π i2 2 π 2 π i 2 π 2π i2 π OR π i π i2 2 π i 2 π i2 δηλ ο ΛΣΠ έκθεσης στον κίνδυνο! 4 Συνεπώς ΛΣΠ ορίζεται επαρκώς αν αντί για τις δεσµευµένες πιθανότητες π j i χρησιµοποιήσουµε τις πιθανότητες π i j οι οποίες µπορούν να εκτιµηθούν από µια µελέτη µαρτύρων-ασθενών ΑΡΑ ο ΛΣΠ µπορεί να εκτιµηθεί χωρίς πρόβληµα ανεξαρτήτως ποια από τις δύο µεταβλητές X ή Y ϑα είναι τυχαία Συνεπώς µπορεί να χρησιµοποιηθεί και να υπολογιστεί και στις αναδροµικές και στις προοπτικές µελέτες
Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 56 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 58 36 Υπολογισµός του ΣχετικούΚινδύνου στις Μελέτες Μαρτύρων-Ασθενών RR PA E PA E π E π E Στις µελέτες µαρτύρων-ασθενών κατανοµή των ασθενών A και µαρτύρων A είναι προκαθορισµένη οι παραπάνω πιθανότητες και ο RR δεν µπορούν να εκτιµηθούν Θα χρησιµοποιήσουµε το ϑεώρηµα του Bayes για να εκφράσουµε το RR ως συνάρτηση των πιθανοτήτων του παράγοντα κινδύνου X δηλαδή E και E RR PA E PA, E/PE PA E PA, E/PE PE APA/PE PE APA/PE PE A PE A PE PE Στην παραπάνω ισότητα, η πιθανότητα έκθεσης και µη έκθεσης αναφέρεται στο γενικό πληθυσµό 37 Παραδείγµατα 37 Μυοκαρδιακή Ανεπάρκεια και Αντισύλληψη Μελέτη Μαρτύρων-Ασθενών Παράδειγµα 3 Τα δεδοµένα του 2 2 Πίνακα 59 προέρχονται από την ερευνητική δουλειά των Mann et al 975, Brit J Med Στη έρευνα αυτή 58 γυναίκες κάτω των 45 χρονών µε µυοκαρδιακή ανεπάρκεια εξετάσθηκαν ως προς τη χρήση ή όχι αντισυλληπτικού χαπιού Το δείγµα προερχόταν από δύο νοσοκοµεία της Αγγλίας και της Ουαλίας την περίοδο 968 972 Επίσης επιλέχτηκε περίπου τριπλάσιος αριθµός µαρτύρων από τα ίδια νοσοκοµεία που δεν είχαν την νόσο της µυοκαρδιακής ανεπάρκειας Τα δεδοµένα αυτά δίνονται επίσης στις σελ 3 από τον Agresti 990 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 57 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 59 Σε µία µελέτη µαρτύρων ασθενών, λόγω της δειγµατοληψίας, αυτή πιθανότητα δεν εκτιµάται σωστά Αρά µε τη χρήση του ϑεωρήµατος της ολικής πιθανότητας µπορούµε να γράψουµε Ε ΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ RRA PE A PE A PE APA+PE APA PE APA+PE APA PE A PE A [ PE A]PA+[ PE A][ PA] PE APA+PE A[ PA] X: Y: Μυοκαρδιακή Ανεπάρκεια ΠερΚατ ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι X Στην παραπάνω ισότητα πρέπει να γνωρίζουµε τις πιθανότητες έκθεσης στον παράγοντα κινδύνου δεδοµένου ότι κάποιος έχει ή όχι τη νόσο δηλαδή είναι ασθενής ή µάρτυρας - πιθανότητες PE A και PE A που υπολογίζονται σε αναδροµικές µελέτες 2 τον επιπολασµό της νόσου PA ο οποίος δεν µπορεί να εκτιµηθεί από µια µελέτη µαρτύρων-ασθενών αλλά από µία συγχρονική ή προοπτική µελέτη µε τυχαίο δείγµα από το γενικό πληθυσµό : Ναί 23 34 57 2: Οχι 35 32 67 ΠερΚατ Y 58 66 224 Πίνακασ : εδοµένα Παραδείγµατος 3: Μυοκαρδιακή Ανεπάρκεια και Αντισυλληπτικό Χάπι Mann et al, 975
Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 60 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 62 X: Y: Μυοκαρδιακή Ανεπάρκεια ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι 37 Από κοινούκαι δεσµευµένες Συναρτήσεις Πιθανότητας Η από κοινού συνάρτηση κατανοµής δίνεται από τον ακόλουθο πίνακα X: Y: Μυοκαρδιακή Ανεπάρκεια ΠερΚατ ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι X : Ναί π 23 224 003 π 2 34 224 052 π 23+34 224 0255 2: Οχι π 2 35 224 056 π 22 32 224 0589 π 35+32 224 0745 ΠερΚατ Y π 24+35 224 0259 π2 34+32 224 074 : Ναί π i 23 57 0404 π 2 i 34 57 0596 2: Οχι π i2 35 67 020 π 2 i2 32 67 0790 ΠερΚατ Y π 24+35 224 0259 π2 34+32 224 074 Συνεπώς στον παραπάνω πίνακα ϑέλουµε να συγκρίνουµε τις πιθανότητες εµφάνισης της νόσου στις δύο οµάδες δηλαδή το 0404 µε το 020 Η σύγκριση αυτή είναι ισοδύναµη µε το έλεγχο της ισότητας των πιθανοτήτων της µη εµφάνισης της νόσου δηλαδή του 0596 µε το 079 ΠΡΟΣΟΧΗ : Στο παραπάνω πρόβληµα η κατανοµή της µυοκαρδιακής ανεπάρκειας είναι σταθερή προκαθορισµένη από το σχεδιασµό του πειράµατος - µελέτης η εξέταση των παραπάνω κατανοµών δεν έχει νόηµα µπορούµε να ελέγξουµε αν οι κατανοµές PX Y εφόσον το X είναι όντως τυχαίο χωρίς όµως να µπορεί να µας µεταφέρει όλη τη επιθυµητή πληροφορία Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 6 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 63 Μεταβλητή απόκρισης είναι η µυοκαρδιακή ανεπάρκεια Μας ενδιαφέρει να συγκρίνουµε την κατανοµή της νόσου µεταξύ των ατόµων που χρησιµοποίησαν αντισύλληψη µε την αντίστοιχη κατανοµή στην οµάδα των ατόµων που χρησιµοποιησαν αντισύλληψη Η σύγκριση αυτή ϑα µας δώσει και την επίδραση της χρήσης αντισυλληπτικού χαπιού στην πιθανότητα εµφάνισης της νόσου Θα συγκρίνουµε τις δεσµευµένες κατανοµές PY X και PY X 2για τις οµάδες που χρησιµοποιούν ή όχι αντισυλληπτικό χάπι αντίστοιχα Οι δεσµευµένες κατανοµές της χρήσης του χαπιού στους µάρτυρες και τους ασθενείς δίνεται από τον ακόλουθο πίνακα : X: Y: Μυοκαρδιακή Ανεπάρκεια ΠερΚατ ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι X : Ναί π j 23 58 0397 π j2 34 66 0205 π 23+34 224 0255 2: Οχι π 2 j 35 58 0603 π 2 j2 32 66 0795 π 35+32 224 0745 Ετσι οι δεσµευµένες κατανοµές της νόσου δίνονται από τον ακόλουθο πίνακα : X: Y: Μυοκαρδιακή Ανεπάρκεια ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι : Ναί π i 23 57 0404 π 2 i 34 57 0596 2: Οχι π i2 35 67 020 π 2 i2 32 67 0790 ΠερΚατ Y π 24+35 224 0259 π2 34+32 224 074 Μπορούµε να συγκρίνουµε το ποσοστό των ασθενών που χρησιµοποιούν αντισυλληπτικό χάπι 397% µε το αντίστοιχο ποσοστό των µαρτύρων 205% Με χρήση του ϑεωρήµατος του Bayes µπορούµε να υπολογίσουµε και τις δεσµευµένες κατανοµές PY X που µας ενδιαφέρουν αλλά χρειαζόµαστε να ξέρουµε το ποσοστό της ασθένειας στον πληθυσµό επιπολασµός
Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 64 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 66 372 Εκτίµηση ΛΣΠ και Συνάρτησης Κινδύνου Το επόµενο ϐήµα είναι να υπολογίσουµε το ΛΣΠ X: Y ΠερΚατ ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι X : Ναί 23 34 57 2: Οχι 35 32 67 ΠερΚατ Y 58 66 224 373 Σχετικός και Αποδιδόµενος κίνδυνος Εδω ϑα υπολογίσουµε και ερµηνεύσουµε το σχετικό και αποδιδόµενο κίνδυνο ΠΡΟΣΟΧΗ : Σε µελέτες µαρτύρων-ασθενών όπως και εδώ δεν µπορούµε να τα υπολογίσουµε γιατί δεν εκτιµούν σωστά τα ακόλουθα δειγµατικά µέτρα Εδώ τα υπολογίζουµε και τα ερµηνεύουµε µόνο ως παράδειγµα ÔR 23 32 35 34 255 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 65 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 67 ΕΡΜΗΝΕΙΑ OR 255 Η σχετική πιθανότητα της µυοκαρδιακής ανεπάρκειας Y µιας γυναίκας που χρησιµοποιεί αντισυλληπτικό χάπι X είναι ίση µε 255 ϕορές την αντίστοιχη πιθανότητας µιας γυναίκας που δε χρησιµοποιεί αντισυλληπτικό χάπι X 2 2 Αν αλλάξουµε τη σειρά των κατηγοριών και στις δύο µεταβλητές τότε δεν αλλάζει ο ΛΣΠ: Η σχετική πιθανότητα µη εµφάνισης της µυοκαρδιακής ανεπάρκειας Y 2σε µια γυναίκα που δεν χρησιµοποιεί αντισυλληπτικό χάπι X 2 είναι ίση µε 255 ϕορές την αντίστοιχη πιθανότητα µιας γυναίκας που χρησιµοποιεί αντισυλληπτικό χάπι X 3 Πιο απλά ϑα µπορούσαµε να πούµε ότι η χρήση του αντισυλληπτικού χαπιού από τις γυναίκες αυξάνει τη σχετική πιθανότητα ή τον κίνδυνο εµφάνισης µυοκαρδιακής ανεπάρκειας 4 Η χρήση του αντισυλληπτικού χαπιού αποτελεί επιβαρυντικό παράγοντα κινδύνου για τη µυοκαρδιακή ανεπάρκεια X: Y ΠερΚατ ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι X : Ναί 23 34 57 2: Οχι 35 32 67 ΠερΚατ Y 58 66 224 RRY RRmyocard 23/57 35/67 0404 020 936 Η πιθανότητα µυοκαρδιακής ανεπάρκειας για µια γυναίκα που χρησιµοποιεί αντισυλληπτικό χάπι είναι 93% υψηλότερη από την αντιστοιχή πιθανότητα µιας γυναίκας που δε χρησιµοποιεί τέτοιο είδος αντισύλληψης
Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 68 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 70 X: Y ΠερΚατ ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι X : Ναί 23 34 57 2: Οχι 35 32 67 ΠερΚατ Y 58 66 224 X: Y ΠερΚατ ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι X : Ναί 23 34 57 2: Οχι 35 32 67 ΠερΚατ Y 58 66 224 RRY 2RRmyocard 2 34/57 52/67 0596 0790 0759 Η πιθανότητα να µην εµφανίσει τη νόσο της µυοκαρδιακής ανεπάρκειας µια γυναίκα που χρησιµοποιεί αντισυλληπτικό χάπι είναι 24% µικρότερη της αντίστοιχης πιθανότητας µιας γυναίκας που δε χρησιµοποιεί τέτοιου είδους αντισύλληψη ARY 2ARmyocard 2 34 52 57 67 0596 05965 07904 0939 0790 [Το αποτέλεσµα είναι ίδιο όπως πρίν µε διαφορετικό πρόσηµο] Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 69 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 7 X: Y ΠερΚατ ΑντισυλΧάπι : Ναί 2: Οχι X : Ναί 23 34 57 2: Οχι 35 32 67 ΠερΚατ Y 58 66 224 38 Συµπερασµατολογία και Ελεγχοι Υπόθεσης για 2 2 Πίνακες Συνάφειας 38 Ισότητα ύο ιωνυµικών Ποσοστών 38 Αποδιδόµενος κίνδυνος ίτιµη µεταβλητή απόκρισης Y έχει ή όχι τη νόσο, A και A ARY ARmyocard 23 57 35 04035 02096 0939 67 9% των γυναικών που χρησιµοποίησαν αντισυλληπτικό χάπι δε ϑα είχαν µυοκαρδιακή ανεπάρκεια αν δεν έκανα χρήση αυτού του είδους της αντισύλληψης 2 οµάδες µε διαφορετική έκθεση στον κίνδυνο E και E Μας ενδιαφέρει να ελέγξουµε αν η πιθανότητα εµφάνισης της νόσου είναι ίδια στις δύο οµάδες
Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 72 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 74 Συνεπώς H 0 : PA E PA E έναντι της εναλλακτικής H : PA E PA E H 0 : π E π E έναντι της εναλλακτικής H : π E π E Συνεπώς έχουµε H 0 : PA E PA E 0 H : PA E PA E 0 H 0 : π E π E 0 H : π E π E 0 Y E Binπ E, και Y E Binπ E, H 0 : AR 0 H : AR 0 Από τα παραπάνω µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τη διωνυµική κατανοµή για να ελέγξουµε κατά πόσο ο αποδιδόµενος κίνδυνος είναι µηδέν ή όχι ελέγχου γίνεται ÂR z N0, π π + Αντικαθιστούµε το κοινό π µε την αντίστοιχη εκτίµηση του p + / + οπότε ÂR z p E N0, p p + p p + Εφόσον ο αποδιδόµενος κίνδυνος µπορεί να εκτιµηθεί µόνο στις προοπτικές µελέτες, µόνο εκεί µπορούµε να εφαρµώσουµε την παραπάνω προσέγγιση Στις αναδροµικές µελέτες, η παραπάνω σύγκριση µπορεί να γίνει ανάποδα για να συγκρίνουµε την έκθεση στον κίνδυνο για τους µάρτυρες και τους ασθενείς, δηλαδή να ελέγξουµε την υπόθεση H 0 : PE A PE A έναντι της εναλλακτικής H : PE A PE A Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 73 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 75 Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το κεντρικό οριακό ϑεώρηµα και να ϕτιάξουµε ένα z test Αν π E, π E, π E και π E 5 N π E, π E π E και p N π E, π E π E E όπου και είναι τα δειγµατικές αναλογίες εµφάνισης της νόσου για τις οµάδες µε έκθεση ή όχι στον παράγοντα κινδύνου Αν τώρα πάρουµε τις διαφορές ϑα έχουµε π E π E ÂR N π E π E, + π E π E Άρα µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε για τον παραπάνω έλεγχο τη συνάρτηση ελέγχου : ÂR AR z N0, π E π E + πe π E Αν ισχύει η H 0 τότε AR π E π E 0και π E π E π συνεπώς η συνάρτηση H 0 : π E π E ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ AR έναντι της εναλλακτικής H : π E π E H 0 : AR 0 έναντι της εναλλακτικής H : AR 0 z AR p p + p + + Απορρίπτουµε την H 0 όταν z AR <Z α/2
Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 76 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 78 Το κοινό ποσοστό εκτιµάται ίσο µε ΤΥΠΙΚΟ ΣΦΑΛΜΑ ΕΚΤΙΜΗΤΡΙΑΣ AR ΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Από τα παραπάνω επίσης προκύπτει ότι µπορούµε να ϕτιάξουµε 00 α% διαστήµατα εµπιστοσύνης για τον αποδιδόµενο κίνδυνο το οποίο ϑα δίνεται από τον τύπο ÂR ± z α/2 + p E p E p n n n + n 2 n + n 2 + n 2 + n 22 Επιπλέον το τυπικό σφάλµα του αποδιδόµενου κινδύνου, εάν η H 0 ισχύει, ϑα είναι ίση µε seâr p p nn2 n 2 n + n 2 nn2 n 2 n + n 2 n n2 n n 2 nn n 2 n + n 2 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 77 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 79 Αποδιδόµενος κίνδυνος σε πίνακες 2 2: ΕΚΤΙΜΗΣΗ AR Στους πίνακες 2 2 όπου η σειρα των ενδεχοµένων για τις δύο µεταβλητές είναι E, E και A, A ο αποδιδόµενος κίνδυνος δίνεται από τον τύπο και εκτιµάται AR π E π E π π 2 ÂR p p 2 n n n 2 n 2 n n + n 2 n 2 n 2 + n 22 n n 2 + n n 22 n 2 n n 2 n 2 n + n 2 n 2 + n 22 n n 22 n 2 n 2 n + n 2 n 2 + n 22 n n 22 n 2 n 2 n n 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ AR Συνεπώς η συνάρτηση ελέγχου δίνεται από τον τύπο Z n n +n 2 n2 n 2+n 22 n n2 n n n 2 n n 22 n 2 n 2 n n n2n n 2 n n 22 n 2 n 2 n n n 2 n2 n n n 2 Οι παραπάνω τύποι δε ϑα αλλάξουν αν χρησιµοποιήσουµε αντίστροφα όπως είναι και ο συνηθισµένος τρόπος τα ενδεχόµενα των δύο µεταβλητών δηλαδή έχουµε X E, E και Y A, A
Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 80 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 82 382 Σχετικός κίνδυνος Σχετικός κίνδυνος λόγος των πιθανοτήτων εµφάνισης κινδύνου για τις δύο οµάδες διαφορετικής έκθεσης στον κίνδυνο δηλαδή RR π E /π E Μας ενδιαφέρει η κατανοµή δειγµατοληψίας του δειγµατικού σχετικού κινδύνου RR / την οποία µπορούµε να τη χρησιµοποιήσουµε για την κατασκευή διαστηµάτων εµπιστοσύνης και ελέγχων υποθέσεων Για την ακρίβεια ϑα ασχοληθούµε µε την κατανοµή δειγµατοληψίας του λογαρίθµου του σχετικού κινδύνου : log RR logpe log γνωρίζοντας ότι Συνεπώς µε ϐάση τους τρεις πρώτους όρους της σειρά Taylor έχουµε EhX hµ+h µ VX 2 5 Οµοια µπορούµε να υπολογίσουµε τη διακύµανση ϐασιζόµενοι στους δύο πρώτους όρους της σειράς Ετσι έχουµε EhX {h µ} 2 VX 6 Binπ E, Binπ E,, όπου Binp, n είναι η διωνυµική κατανοµή µε πιθανότητα επιτυχίας p και αριθµό επαναλήψεων n Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 8 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 83 Γυρνώντας στην περίπτωση του σχετικού κινδύνου, έχουµε X, hx log, Από τα προηγούµενα είδαµε ότι για αρκετά µεγάλο δείγµα πιο συγγεκριµένα για,,, 5 µπορούµε να ϑεωρήσουµε ότι η κατανοµή του προσεγγίζεται ικανοποιητικά από την κανονική κατανοµή Συνεπώς έχουµε π E π E π N π E, και N π E, E π E EX π E και VX π E π E / Συνεπώς Elog log π E π E π E π 2 logπ E π E E 2 2 π E log π E για µεγάλο Συνεπώς το log είναι ασυµπτωτικά αµερόληπτος εκτιµητής του log π E Οµοια από τον τύπο 6 προκύπτει ότι Vlog π E π E π 2 π E E π E
Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 84 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 86 Συνεπώς προκύπτει ότι ασυµπτ log N π E log π E, π E Με ακριβώς τα ίδια επιχειρήµατα ϐρίσκουµε και την ασυµπτωτική κατανοµή του log ηοποίαδίνεταιως ασυµπτ π log N log π E, E π E Από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει και η κατανοµή δειγµατοληψίας του λογαρίθµου υποθέτοντας ανεξαρτησία των δύο οµάδων έκθεσης στον κίνδυνο η οποία ϑα δίνεται από τον τύπο ασυµπτ log RR logpe log N π E log RR, + π E π E π E ΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Ενα 00 α% διάστηµα εµπιστοσύνης για το λογάριθµο του σχετικού κινδύνου ϑα δίνεται από τις τιµές log RR ± z α/2 Vlog RR δηλαδή log RR ± z α/2 + r E r E όπου z q είναι το 00q ποσοστηµόριο της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής Αντίστοιχα για το σχετικό κίνδυνο το αντίστοιχο διάστηµα εµπιστοσύνης προκύπτει από τις τιµές log RR±z α/2 + r E r n e E E όπου e 27 είναι η ϐάση των ϕυσικού λογαρίθµου Η παραπάνω προσέγγιση είναι ικανοποιητική µόνο αν 5 και 5 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 85 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 87 Στην πράξη εκτιµούµε το τυπικό σφάλµα χρησιµοποιώντας του τις δειγµατικές αναλογίες και από τον τύπο Vlog RR + r E + r E r E r E + r E r E όπου r E και r E είναι ο παρατηρούµενος αριθµός των ασθενών στις οµάδες µε ή χωρίς έκθεση στον κίνδυνο αντίστοιχα ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ Αν ϑέλουµε να ελέγξουµε την υπόθεση της ανεξαρτησίας µεταξύ νόσου και παράγοντα κινδύνου τότε µπορούµε να κάνουµε τον έλεγχο : H 0 :logrr 0έναντι της εναλλακτικής H :logrr 0 Χρησιµοποιούµε τη συνάρτηση ελέγχου log RR Z + N0, re ne r n E E Αν Z <Z α/2 τότε δεν απορρίπτουµε την υπόθεση της ανεξαρτησίας σε επίπεδο σηµαντικότητας 00α% αλλιώς απορρίπτουµε την H 0
Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 88 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 90 Επιπλέον πολλές ϕορές µας ενδιαφέρει και αν ένας παράγοντας είναι επιβαρυντικός ή προστατευτικός H : RR > επιβαρυντικός παράγοντας H : RR < προστατευτικός παράγοντας Οι παραπάνω εναλλακτικές υποθέσεις αναφέρονται σε ελέγχους µίας ουράς one sided tests όπου απορρίπτουµε την H 0 Περιοχή απόρριψης : Z>Z α όταν ελέγχουµε αν ο παράγοντας είναι επιβαρυντικός H : RR > Z<Z α όταν ελέγχουµε αν ο παράγοντας είναι προστατευτικός H : RR < και 383 Λόγος σχετικών Πιθανοτήτων Ο λόγος σχετικών πιθανοτήτων ΛΣΠ ή Odds Ratio ή OR δίνεται από τον τύπο OR Odds E π E/ π E Odds E π E / π E π E π E π E π E και εκτιµάται από το ÔR / / Οπως και στις προηγούµενες περιπτώσεις δουλεύουµε µε το λογάριθµο δηλαδή µε log ÔR log p log E Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 89 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 9 Ακολουθούµε την ίδια προσέγγιση όπως στην κατανοµή δειγµατοληψίας του σχετικού κινδύνου µε X h log log Σχετικός κίνδυνος σε 2 2 Πίνακες : Σε 2 2 πίνακες το τυπικό σφάλµα του selog RR + n n n 2 n 2 log RR είναι ίσο µε h p E + /[ ] και h p 2 E + 2 Ετσι έχουµε E V log log log Odds E + Odds E Odds E log Odds E για µεγάλο + r E Οµοια είναι τα αποτελέσµατα για τια την οµάδα των µη εκτεθειµένων στον κίνδυνο αντικαθιστούµε το E µε E
Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 92 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 94 Συνεπώς π E π Elog ÔR log log E logodds E log Odds π E π E logor E Vlog ÔR + + + r E r E r E r E άρα για, αρκετά µεγάλα έχουµε log ÔR ασυµπτ N log OR, + + + r E r E r E r E Η παραπάνω απόδειξη µπορεί να προκύψει ως άµεσο αποτέλεσµα από την κατανοµή δειγµατοληψίας του σχετικού κίνδυνου αν γράψουµε το ΛΣΠ ως log ÔR log π E π E log π E π E log RR log RR Στην προηγούµενη ενότητα έχουµε υπολογίσει την κατανοµή του log RR ενώ η κατανοµή του log RR log π E προκύπτει µε τον ίδιο τρόπο αφού είναι ο σχετικός π E κίνδυνος του συµπληρωµατικού ενδεχοµένου A ενώ ο RR εξετάζει το A ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ Αν ϑέλουµε να ελέγξουµε την υπόθεση της ανεξαρτησίας µεταξύ νόσου και παράγοντα κινδύνου τότε µπορούµε να κάνουµε τον έλεγχο : H 0 :logor 0έναντι της εναλλακτικής H :logor 0 Χρησιµοποιούµε τη συνάρτηση ελέγχου log ÔR Z + N0, re r E + + r E r E Αν Z <Z α/2 τότε δεν απορρίπτουµε την υπόθεση της ανεξαρτησίας σε επίπεδο σηµαντικότητας 00α% αλλιώς απορρίπτουµε την H 0 Οµοια µε τους αντίστοιχους ελέγχους του σχετικού κινδύνου µπορούµε να ελέγξουµε αν ένας παράγοντας είναι προστατευτικός H : OR < ή επιβαρυντικός H : OR > Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 93 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 95 ΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Ενα 00 α% διάστηµα εµπιστοσύνης για το λογάριθµο του ΛΣΠ ϑα δίνεται από τις τιµές log ÔR ± z α/2 Vlog ÔR δηλαδή log ÔR ± z α/2 + + + r E r E r E r E όπου z q είναι το 00q ποσοστηµόριο της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής Αντίστοιχα για το ΛΣΠ το αντίστοιχο διάστηµα εµπιστοσύνης προκύπτει από τις τιµές log ÔR±z α/2 + + + r E r E r n r e E E E όπου e 27 είναι η ϐάση των ϕυσικού λογαρίθµου Η παραπάνω προσέγγιση είναι ικανοποιητική µόνο αν 5 και 5 ΛΣΠ σε 2 2 Πίνακες : Σε 2 2 πίνακες ο παραπάνω τύπος απλοποιείται σε log ÔR ασυµπτ N log OR, + + + n n 2 n 2 n 22 ΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ log n n 22 ± z α/2 + + + log ÔR±z α/2 + + + r E r E r n r e E E E n 2 n 2 n n 2 n 2 n 22 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ Z logn n 22 logn 2 n 2 N0, n + n 2 + n 2 + n 22
Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 96 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 98 Εστω και µια συχνότητα σε ένα κελί 0 ΠΡΟΒΛΗΜΑ : ΛΣΠ 0 ή Τυπικό σφάλµα ΛΥΣΗ : Προσθέτουµε την ποσότητα δ 05 σεόλατακελιάκαινα ξαναυπολογίζουµε τον εκτιµητή και τη διακύµανση του δηλαδή ÔR cor n + δn 22 + δ n 2 + δn 2 + δ Varlog ÔR cor n + δ + n 2 + δ + n 2 + δ + n 22 + δ Οταν όλα τα n ij είναι σχετικά µεγάλα τότε ο παραπάνω εκτιµητής διαφέρει ελάχιστα του αρχικού εκτιµητή Μπορούµε να υπολογίσουµε όλα τα µέτρα κινδύνου AR, RR και OR α Αποδιδόµενος κίνδυνος : ÂR 023 0070 0053 Επιθυµούµε να δούµε αν η διαφορά ϑνησιµότητας είναι στατιστικά σηµαντική, συνεπώς ϑέλουµε να ελέγξουµε την υπόθεση H 0 : AR 0έναντι της εναλλακτικής H : AR 0 Αν η µηδενική υπόθεση ισχύει έχουµε VÂR H 0 p p + 34 334 368 368 seâr H 0 0000936 00306 54 + 0000936 24 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 97 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 99 384 Παράδειγµα Παράδειγµα 32 Σε µια προοπτική µελέτη κατά την οποία εξετάσθηκαν 368 άνδρες καπνιστές ηλικίας κάτω των 60 ετών οι οποίοι έπαθαν µια καρδιακή ανακοπή και επιβίωσαν Μετά από 2 έτη εξετάσθηκαν πόσοι από αυτούς είχαν επιβιώσει και τους χωρίσαµε ανάλογα εάν είχαν κόψει το τσιγάρο ή όχι Ετσι εδώ µας ενδιαφέρει να εξετάσουµε αν το σταµάτηµα του καπνίσµατος X είχε ευνοϊκή επίδραση στην επιβίωση µετά από δύο έτη Y Τα δεδοµένα δίνονται στον 2 2 Πίνακα που ακολουθεί X: Y: Επιβίωση σε 2 χρόνια ΠερΚατ Συνέχισαν το κάπνισµα ; : Πεθαµένος 2: Ζωντανός X : Ναί 9 23% 35 877% 54 2: Οχι 5 70% 99 930% 24 ΠερΚατ Y 34 92% 334 908% 368 ÂR 0053 seâr H 0 00306 z 00503/00306 743 <z 0975 96 δεν απορρίπτουµε την H 0 δεν υπάρχει στατιστική διαφορά της ϑνησιµότητας ανάλογα αν ο ασθενής συνεχίσει το κάπνισµα το σταµάτηµα του καπνίσµατος δεν επηρεάζει τη ϑνησιµότητα ΠΡΟΣΟΧΗ : Η διαφορά είναι στατιστικά σηµαντική για α 00 Σηµείωση : ισχύει η προϋπόθεση 54 023 023 66 > 5 και 24 007 007 2396 > 5 Πίνακασ 2: εδοµένα Παραδείγµατος 32: Κάπνισµα και Επιβίωση σε Ασθενείς Καρδιακής Ανεπάρκειας Daly et al, 983
Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 00 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 02 γ Λόγος σχετικών πιθανοτήτων : Γιαναϐρούµετο95% διάστηµα εµπιστοσύνης υπολογίζουµε πρώτα το τυπικό σφάλµα seâr + p E p E 023 023 007 007 + 54 24 000070046 + 00003042056 0037 συνεπώς το 95% Ε δίνεται από τον τύπο 0053 ± 96 0037 0009, 05 9 99 ÔR 5 35 867 log ÔR log867 06244 selog ÔR 9 + 35 + 5 + 99 037 0363 95% Ε :γιαlog OR 06244 ± 96 0363 00867, 3358 95% Ε :γιαor e 00867, e 3358 0967, 38030 Ελεγχος υπόθεσης : H 0 : ORR έναντι της εναλλακτικής H : OR Z OR 06244/0363 72 <z 0975 δεν απορρίπτουµε την H 0 για α 5% η σχετική πιθανότητα ϑανάτου δεν διαφοροποιείται σηµαντικά για τα άτοµα που συνέχισαν να καπνίζουν σε σχέση µε τα άτοµα που σταµατήσαν το κάπνισµα Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 0 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 03 ϐ Σχετικός κίνδυνος : RR 023/0070 76 log RR log76 05654 selog RR 9 54 + 5 24 00832 03288 95% Ε :γιαlog RR 05654 ± 96 03288 0079, 2099 95% Ε :γιαrr e 0079, e 2099 0924, 3353 Ελεγχος υπόθεσης : H 0 : RR έναντι της εναλλακτικής H : RR Z RR 05654/03288 72 <z 0975 δεν απορρίπτουµε την H 0 για α 5% τα ποσοστά ϑνησιµότητας δεν αλλάζουν για τα άτοµα που συνέχισαν να καπνίζουν σε σχέση µε τα άτοµα που σταµατήσαν το κάπνισµα 382 Ελεγχος Ανεξαρτησίας χ 2 του του Pearson Οι προηγούµενοι έλεγχοι αναφέρονται στον έλεγχος της σχέσης εξάρτησης δύο δίτιµων κατηγορικών µεταβλητών δηλ ισότητα 2 διωνυµικών αναλογιών - ποσοστών Οταν ϑέλουµε να ελέγξουµε γενικότερα την ισότητα της πιθανότητας εµφάνισης της νόσου σε πολλές διαφορετικές οµάδες ή γενικότερα µεταξύ δύο κατηγορικών µεταβλητών µε πολλά επίπεδα έλεγχος ανεξαρτησίας του Pearson
Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 04 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 06 Εχουµε X και Y κατηγορικές µεταβλητές µε I και J επίπεδα Ελέγξουµε την υπόθεση H 0 : «Ανεξαρτησία µεταξύ X και Y» έναντι της εναλλακτικής H : «X και Y είναι εξαρτηµένες µεταβλητές» Ανεξαρτησία π ij π iπj Πρακτικά στο δείγµα χρησιµοποιούµε τα αντίστοιχα δειγµατικά µέτρα : παρατηρούµενη συχνότητα n ij κάθε κελιού i, j εκτιµούµενη από το δείγµα αναµενόµενη τιµή e ij κάθε κελιού i, j Συνεπώς έχουµε I J χ 2 n ij e ij 2 obs 8 e i j ij Απορρίπτουµε την υπόθεση της ανεξαρτησίας όταν χ 2 obs >χ2 I J,095 Η παραπάνω προσέγγιση είναι ικανοποιητική για e ij 5 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 05 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 07 Αναµενόµενες τιµές των κελιών i, j κάτω από την υπόθεση της ανεξαρτησίας : EN ij H 0 ε ij nπ iπj οι οποίες ϑα εκτιµηθούν στο δείγµα από τις ποσότητες e ij n n i n nj n Υποθέτοντας ότι N ij Poissonε ij Nij εij εij 2 Nij ε ij ασυµ εij χ 2 n inj n ασυµ N0, το άθροισµα τους ακολουθεί τη χ 2 κατανοµή µε I J ϐαθµούς ελευθερίας I i j J N ij ε ij 2 ε ij ασυµ χ 2 I J 7 2 2 Πίνακες Συνάφειας Σε 2 2 πίνακες συνάφειας ο έλεγχος απλοποιείται ως χ 2 nn n 2 n 2 n 2 2 n n 2 n n 2 z 2 9 Ελεγχος ανεξαρτησίας του Pearson στους 2 2 πίνακες είναι ισοδύναµος µε τον έλεγχο για τον αποδιδόµενο κίνδυνο που περιγράψαµε στην ενότητα 38 Στους πίνακες 2 2 για λόγους καλύτερης προσέγγισης χρησιµοποιείται το χ 2 τεστ µε τη διόρθωση του Yates το οποίο δίνεται από τον τύπο : χ 2 Yates 2 i j 2 n ij e ij /2 2 e ij χ 2 0
Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 08 Παράδειγµα 32 συνέχεια: χ 2 Στο παράδειγµά µας 3689 99 5 352 34 334 54 24 άρα δεν απορρίπτουµε την υπόθεση της ανεξαρτησίας 303 74 2 <χ 2 095 384 Εναλλακτικά µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τον τύπο 8 οπότε e 34 54/368 423 e 2 3977 e 2 977 e 22 942 χ 2 9 4232 35 39772 + + 423 3977 303 p value 0082 5 9772 977 Τέλος αν χρησιµοποιήσουµε το χ 2 µε τη διόρθωση του Yates έχουµε χ 2 Yates + 99 94232 9423 9 423 /2 2 35 3977 /22 5 977 /22 99 9423 /22 + + + 423 3977 977 9423 243 p value 09 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 0 I J Πίνακες Συνάφειας H 0 : «X,Y ανεξάρτητες µεταβλητές» έναντι της H : «X,Y εξαρτηµένες µεταβλητές» H εκτιµούµε όλες τις από κοινού πιθανότητες π ij d IJ αφαιρούµε µία επειδή ισχύει ότι I i J j π ij άρα εκτιµούµε µία λιγότερη αφού την τελευταία την υπολογίζουµε απλά ως συνάρτηση των υπολοίπων H 0 εκτιµούµε τις περιθωριακές κατανοµές π i και πj d 0 I + J I + J 2 d d 0 IJ I J +2 IJ I J + IJ J I J Επιπλέον, υποθέτοντας πολυωνυµική κατανοµή έχουµε L 0 L I J π iπj Nij log L 0 I J i j i j I J I J π Nij ij log L N ij log π ij i j i j N ij log π i + I i j J N ij log πj Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 09 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 383 Ελεγχος Μεγίστης Πιθανοφάνειας Το 935 ο Wilks απέδειξε G 2 2log L 0 L χ 2 d d 0 L k είναι η πιθανοφάνεια του µοντέλου µας ή της H k υπόθεσης d k είναι ο αριθµός των εκτιµώµενων παραµέτρων κάτω από από την υπόθεση H k k 0, G 2 2log L 0 log L G 2 obs I J i j I J i j N ij log ε ij/n π ij n ij log e ij n ij I J i j I J i j N ij log π iπj π ij N ij log ε ij nπ ij Απορρίπτουµε την υπόθεση της ανεξαρτησίας αν G 2 obs >χ2 I J, α Προϋπόθεση n/ij 5 δεν είναι τόσο αυστηρή όσο οι προϋποθέσεις του ελέγχου ανεξαρτησίας του Pearson G 2 µέτρο απόκλισης παρατηρούµενων n ij & αναµενόµενων e ij συχνοτήτων Αν υποθέσουµε κατανοµή Poisson ή διωνυµική Ιδιο αποτέλεσµα Οταν H 0 αληθής χ 2 δοκιµασία του Pearson + έλεγχος πιθανοφάνειας ϑα ίδιο συµπέρασµα
Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 2 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 4 384 Ακριβής Ελεγχος Ανεξαρτησίας του Fisher Οι παραπάνω έλεγχοι είναι ασυµπτωτικοί δείγµα ικανοποιητικά µεγάλο Ακριβής exact έλεγχος δε ϐασίζεται σε ασυµπτωτικά αποτελέσµατα δεν προαπαιτεί την ισχύ προϋποθέσεων για το µέγεθος/σύνθεση του δείγµατος Οι ασυµπτωτικοί έλεγχοι χρησιµοποιούνται διότι ϐασίζονται στην κανονική και στις παράγωγες της κατανοµές όπως για παράδειγµα τη χ 2 κριτικές τιµές και τα p value και µπορούν να υπολογιστούν εύκολα Εδώ ϑα ασχοληθούµε µε τον ακριβή έλεγχο του Fisher Fisher s exact test ϐασίζεται στο αποτέλεσµα : ανεξαρτησία + σταθερές τις περιθωριακές συχνότητες N ϑα ακολουθεί υπεργεωµετρική κατανοµή Μπορούµε να υπολογίσουµε όλους τους πιθανούς πίνακες που αντιστοιχούν στις συγκεκριµένες περιθωριακές συχνότητες και τις αντίστοιχες πιθανότητες µε ϐάση την υπεργεωµετρική κατανοµή Υπολογίζουµε το p value ως άθροισµα των πιθανοτήτων που αντιστοιχούν σε πίνακες µε χειρότερη ή ίση τιµή ελεγχοσυνάρτησης από αυτή που έχουµε παρατηρήσει Y ΠερΚατ Πίνακας Α X A A X E 3 4 n 3 E 3 4 ΠερΚατ Y 4 4 8 OR 9 Y ΠερΚατ Πίνακας Β X A A X E 3+4-0 4 n 4 E -0 3+4 4 ΠερΚατ Y 4 4 8 OR ή OR cor 8 Y ΠερΚατ Πίνακας Γ X A A X E 3-2 +2 4 n 2 E +2 3-2 4 ΠερΚατ Y 4 4 8 OR Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 3 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 5 Παράδειγµα 33 Εστω ότι έχουµε παρατηρήσει τον πίνακα Y ΠερΚατ X A A X E 3 4 E 3 4 ΠερΚατ Y 4 4 8 και µας ενδιαφέρει να ελέγξουµε την υπόθεση H 0 : OR έναντι της H : OR > Φυσικά δε µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τις παραπάνω ασυµπτωτικές διαδικασίες αλλά ϑα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε την ακριβή δοκιµασία του Fisher Εφόσον οι περιθωριακές συχνότητες είναι σταθερές οι πιθανές τιµές του n είναι 0,, 2, 3, 4 Άρα πιθανοί πίνακες είναι Y ΠερΚατ Πίνακας X A A X E 3-2 +23 4 n E +23 3-2 4 ΠερΚατ Y 4 4 8 OR /9 0 Y ΠερΚατ Πίνακας Ε X A A X E 3-30 +34 4 n 0 E +34 3-30 4 ΠερΚατ Y 4 4 8 OR 0ή OR cor /8 002
Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 6 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 8 Για να υπολογίσουµε το p value ϑα ϐρούµε τις πιθάνότητες των πινάκων µε OR µεγαλύτερο ή ίσο του 9 που παρατηρήσαµε στο δείγµα Συνεπώς 4 4 4 4 3 4 0 p value PA+PB + 8 8 4 4 4 4 PA+PB 5 6 7 8/2 3 4 + 5 6 7 8/2 3 4 6 5 2 7 + 5 2 7 7 70 024286 συνεπώς δεν απορρίπτουµε την H 0 2 2 Πίνακες Συνάφειας Στους 2 2 πίνακες η πιθανότητα ενός πίνακα δίνεται και από τον τύπο Pn,n 2,n 2,n 22 n,n2,n,n 2 n!n2!n!n 2!, n!n!n 2!n 2!n 22! για λεπτοµέρειες παραπέµπουµε στο ϐιβλίο του Rosner 994, σελ 37 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 7 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 9 Αν κάνουµε τον έλεγχο δύο ουρών τότε p value PΠίνακες µε OR 9 + PΠίνακες µε OR /9 4 4 2 2 PA + PB+ P + PE PΓ 8 4 36 054 0486 70 εν απορρίπτουµε την H 0 ούτε στον έλεγχο των δύο ουρών Ελεγχος Fisher σε 4 ϐήµατα Κατασκευάζουµε όλους τους πιθανούς πίνακες που αντιστοιχούν στις περιθωριακές συχνότητες που έχουµε παρατηρήσει 2 Υπολογίζουµε την συνάρτηση ελέγχου για κάθε πίνακα 3 Υπολογίζουµε την πιθανότητα εµφάνισης για τους πίνακες µε χειρότερη πιο αποµακρυσµένη ή ίση τιµή ελεγχοσυνάρτησης από αυτή που παρατηρήσαµε στο δείγµα µας 4 Υπολογίζουµε το p-value α Αν H : π E π E ή H : OR τότε p-value 2min{PN n,pn n } ϐ Αν H : π E >π E ή H : OR > τότε p-value PN n γ Αν H : π E <π E ή H : OR < τότε p-value PN n Οι ακριβείς έλεγχοι ισχύου πάντα αλλά τους εφαρµόζουµε µόνο αν e ij < 5 όποτε δε µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τους αντίστοιχους ασυµπτωτικούς ελέγχους
Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 20 385 Μόντε Κάρλο Ελεγχοι Ανεξαρτησίας Στις περισσότερες περιπτώσεις, όταν χρειάζεται να υπολογίσουµε τα ακριβή τεστ, ο αριθµός των πιθανών πινάκων είναι µεγάλος Εναλλακτικά µπορούµε να προσοµοιώσουµε έναν αριθµό από αυτούς δηλάδη να κατασκευάσουµε ένα τυχαίο δείγµα έτσι ώστε να εκτιµήσουµε το πραγµατικό p value Το µέγεθος του δείγµατος που προσοµοιώνουµε είναι µεγάλο πχ 0000 πίνακες έτσι ώστε να εκτιµήσουµε µε ακρίβεια το p value Αποτέλεσµα διάστηµα εµπιστοσύνης συνήθως 99% γιατοp value Απορρίπτουµε H 0 άν όλο το διάστηµα εµπιστοσύνης να είναι µικρότερο του α Αν το α εµπεριέχεται στο Ε του p value δεν µπορούµε να αποφασίσουµε για την H 0