Φθίνουσες ταλαντώσεις

ΦΥΣ 111 - Διαλ.39 1 Φθίνουσες ταλαντώσεις q Οι περισσότερες ταλαντώσεις στη φύση εξασθενούν (φθίνουν) γιατί χάνεται ενέργεια. q Φανταστείτε ένα σύστημα κάτω από μια δύναμη αντίστασης της μορφής F = bυ b!x Αυτή η δύναμη δρα επιπλέον της δύναμης επαναφοράς του ελατηρίου q Κοιτάμε τέτοιες δυνάμεις επειδή: Ø Είναι λογικό να χουμε τέτοια συμπεριφορά δύναμης Ø Μπορούμε να λύσουμε ακριβώς την εξίσωση για x() F = ma Kx b x = m x x + 2γ x + ω 2 x = (1) όπου γ b 2m και ω 2 Κ m φυσική συχνότητα συστήματος q Μαντεύουμε μια λύση της μορφής x() = Ae a και αντικαθιστούμε: (1) a 2 Ae a + 2γ aae a + ω 2 Ae a = a 2 + 2γ a + ω 2 = a = γ ± γ 2 ω 2 Τρεις περιπτώσεις ανάλογα με την τιμή της διακρίνουσας

ΦΥΣ 111 - Διαλ.39 2 Φθίνουσες ταλαντώσεις Μικρή απόσβεση (γ<ω ) Ορίζουμε Ω ω 2 γ 2 επομένως a γ ± iω Έχουμε έτσι δύο λύσεις: x() = Ae ( γ +iω) και x() = Be ( γ iω) Ø Από τη στιγμή που η εξίσωση είναι γραμμική ως προς x το άθροισμα των παραπάνω λύσεων θα είναι επίσης λύση. Ø Μια και λέμε ότι κάνουμε φυσική, η εξίσωση θέσης, x(), πρέπει να ναι πραγματική και όχι μιγαδική. Άρα οι 2 λύσεις πρέπει να ναι συζυγείς μιγαδικοί: x()= Ce γ ( e i( Ω+ϕ ) + e i ( Ω+ϕ )) = De γ cos Ω +ϕ ( ) A = B Ce iϕ B = A * = Ce iϕ H x() μοιάζει με μια συνημιτονοειδή συνάρτηση ταλάντωσης μέσα σε μια e -γ εκθετικά φθίνουσα συνάρτηση H συχνότητα ταλάντωσης είναι: Ω ω 2 γ 2 = K m b 2m 2 παράδειγμα Tα D και φ της x() καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες

ΦΥΣ 111 - Διαλ.39 3 Φθίνουσες ταλαντώσεις Μεγάλη απόσβεση (γ>ω ) Ορίζουμε Ω γ 2 ω 2 επομένως a γ ± Ω Η γενική λύση στην περίπτωση αυτή είναι x() = Αe (γ +Ω) (γ Ω) + Βe και προφανώς πραγματική. Δεν υπάρχει κίνηση ταλάντωσης στην περίπτωση αυτή. x() μοιάζει όπως τα παρακάτω σχήματα (γ Ω) Σημειώστε ότι γ + Ω > γ Ω για μεγάλα, x() μοιάζει με x() Be αφού ο πρώτος όρος (γ +Ω) x() = Αe x είναι ακόμα πιο μικρός ή x Αρνητικό εκθετικό Για μεγάλα γ, γ Ω είναι πολύ μικρό και το x πηγαίνει στο αργά γιατί γ Ω = γ γ 1 ω 2 γ γ γ 1 ω 2 2 2γ 2 Διονυµικό ανάπτυγµα: ( a+ b) n = n k= n k an k b k = n an b + για α=1 και β=ε<<1 έχουµε: ( 1+ ε ) n = ω 2 2γ = μικρό n 1 an 1 b 1 +!+ n n 1 a1 b n 1 + n n a b n n όπου: k = n! k! ( n k)! n! n! ( n )!! 1n ε + ( n 1)!1! 1n 1 ε 1 +!+ n!!n! 1 ε n 1+ nε + n ( n 1 ) ε 2 +! 2!

Φθίνουσες ταλαντώσεις Κριτική απόσβεση (γ=ω ) q Στην περίπτωση αυτή, a = γ ±, και επομένως έχουμε μόνο μια λύση της Δ.Ε Ø Είναι η περίπτωση που η στρατηγική του να δοκιμάζουμε μια εκθετική λύση για την επίλυση Δ.Ε. δεν δουλεύει. q Μια άλλη λύση βγαίνει τελικά ότι είναι της μορφής q Προσθέτοντάς την στην προηγούμενη γενική λύση έχουμε: O όρος e γ ( ) = Ae γ + Be γ x( ) = e γ ( A+ B ) x ( ) = Be γ υπερισχύει του όρου Β και για μεγάλα το x κατά e γ x ΦΥΣ 111 - Διαλ.39 4 q Η κριτική απόσβεση επαναφέρει το x στο μηδέν γρηγορότερα απ όλες τις διεργασίες απόσβεσης. Ø Για πολύ μεγάλα γ, η μεγάλη απόσβεση πηγαίνει στο x= πολύ αργά (καμπύλη c) Ø Για πολύ μικρά γ, η μικρή απόσβεση πηγαίνει στο x= πολύ αργά (καμπύλη α) Ø Για γ=ω, κριτική απόσβεση πηγαίνει στο x= γρηγορότερα (καμπύλη b)

ΦΥΣ 111 - Διαλ.39 5 Εξαναγκασµένες φθίνουσες ταλαντώσεις q Στην περίπτωση αυτή µελετάµε την δεδοµένη οδηγό δύναµη: F d () = F cosω d η οποία δρα επιπλέον των άλλων δυνάµεων: Kx b x Ø H συχνότητα µπορεί να ναι οτιδήποτε. Ø Εν γένει είναι χρήσιµο να κοιτάξουµε τέτοιες δυνάµεις γιατί κάθε γενική συνάρτηση του µπορεί να γραφεί συναρτήσει ηµιτόνων και συνηµίτονων µέσω Fourier ανάλυση. q Επικεντρωνόµαστε στην F d () = F cosω d γιατί µπορούµε να την λύσουµε F = ma Kx b x + F d cosω d = m x x + 2γ x + ω 2 x = f cosω d όπου γ b 2m και ω 2 Κ m και f = F d m Ως συνήθως µαντεύουµε την λύση της µορφής x( ) = Acosω d + Bsinω d Θα µπορούσαµε να πάρουµε οποιαδήποτε άλλη συχνότητα πέρα από την συχνότητα της οδηγού δύναµης. Αν δούµε ότι δεν έχουµε λύση για ω d τότε δοκιµάζουµε άλλη συχνότητα. Αλλά θα δούµε ότι πάντα υπάρχει λύσει για ω d

ΦΥΣ 111 - Διαλ.39 6 Εξαναγκασµένες φθίνουσες ταλαντώσεις Ø Η λύση αυτή είναι διαφορετική από τι έχουµε κάνει µέχρι τώρα. Ø Εδώ µαντεύουµε την συχνότητα και λύνουµε ως προς τις σταθερές Α και Β ενώ πριν λύναµε για τη συχνότητα και βρίσκαµε Α και Β από αρχικές συνθήκες. Αντικαθιστώντας στην διαφορική εξίσωση (F=mα) έχουµε: ω 2 d Acosω d d Bsinω d + 2γ ( ω d Asinω d + ω d Bcosω d ) + ω ( Acosω d + Bsinω d ) = f cosω d Aν η σχέση ισχύει για κάθε τότε οι συντελεστές των cosω d και sinω d πρέπει να συµφωνούν και από τις 2 πλευρές της εξίσωσης: sinω d ω d 2 B 2γω d A + ω 2 B = cosω d ω d 2 A + 2γω d B + ω 2 A = f Σύστηµα 2 εξισώσεων µε 2 αγνώστους το οποίο δίνει για Α και Β ( ω d ) f A = ( ω d ) 2 + 2γω d ( ) 2 B = Ορίζουµε = ( ω d ) 2 + 2γω d ( 2γω d ) f ( ) 2 ( ω d ) 2 + 2γω d ( ) 2 ( ) 2 οπότε A = ω d 2 B = 2γω ( ) f 2

Εξαναγκασµένες φθίνουσες ταλαντώσεις ΦΥΣ 111 - Διαλ.39 7 Γράφουμε την x() μετά την εύρεση των Α και Β: Ορίζουμε τις ποσότητες: 2γω anθ = d ( ω d ) x( ) = f cosθ ( ) 2 + 2γω d ( ) ω 2 ω d 2 cosθ = ω d sinθ = 2γω d ( ) 2 και θ A = f cosθ Β = f sinθ cosω d + f sinθ sinω d x( ) = f cos ( ω d θ) θ ω d ( ) 2γω d Όλα σ αυτή την λύση είναι προσδιορισµένα!! Δεν υπάρχουν ελεύθερες παράµετροι. Δεν έχει να κάνει µε τις αρχικές συνθήκες του x και υ. Η πιο γενική λύση της εξίσωσης είναι αυτή που έχει την παραπάνω λύση και την λύση της οµογενούς που βρήκαµε στις (σελίδες 2, 3). x( ) = f cos ( ω θ d )+ Λύση ομογενούς De γ cos Ω +ϕ Αν υπάρχει απόσβεση τότε ο όρος e -γ της οµογενούς κάνει τον όρο να µηδενίζεται και αποµένει µια λύση που ταλαντώνει µε συχνότητα ω d και η οποία είναι ανεξάρτητη από τις αρχικές συνθήκες. ( )

Εξαναγκασµένες ταλαντώσεις - Συντονισµός Το πλάτος της συγκεκριμένης ταλάντωσης είναι ανάλογο του 1 1 ω d ( ) 2 + 2γω d ( ) 2 ( ω d ) 2 + 2γω d ( ) 2 x = ω d = ω 2 2γ 2 ΦΥΣ 111 - Διαλ.39 8 Ø Για συγκεκριμένα γ και ω d, γίνεται μέγιστο όταν ο πρώτος όρος στην ρίζα είναι μηδέν. Αυτό συμβαίνει όταν ω =ω d. Ø Aν το γ είναι μικρό (μικρή απόσβεση) και ω (ιδιοσυχνότητα) είναι κοντά στην ω d (οδηγούσα συχνότητα) το πλάτος είναι πολύ μεγάλο. Ø Όταν ω =ω d λέμε ότι το σύστημα βρίσκεται σε συντονισμό Ø Για συγκεκριμένα γ και ω, χρειάζεται κάποια δουλειά για να βρούμε την συχνότητα ω d στην οποία το πλάτος μεγιστοποιείται. Αυτό που χρειάζεται να κάνουμε είναι να ελαχιστοποιήσουμε την συνάρτηση Θέτοντας την παράγωγο ίση με έχουμε Για μικρά γ (που είναι η συνηθισμένη περίπτωση) έχουμε και πάλι ω =ω d

ΦΥΣ 111 - Διαλ.39 9 Εξαναγκασµένες ταλαντώσεις - Συντονισµός Για συγκεκριμένες τιμές των γ και ω, η τιμή του 1/ συναρτήσει του ω d μπορεί να μοιάζει με το παρακάτω σχήμα: 1/ ω ω d H φάση θ: Για συγκεκριµένο ω, η φάση θ στην εξίσωση x µπορεί να υπολογισθεί για ορισµένες περιπτώσεις ω d ~ è θ~ (σε φάση με τη δύναμη) ( ) = f cos ( ω d θ) ω d ~ ω è θ~π/2 (δύναμη μέγιστη στο x=). Εφαρμόζουμε τη δύναμη όταν το σώμα κινείται ταχύτατα (x = ) è P = Fυ. Μέγιστη μεταφορά ισχύος è Μέγιστη Ε è Μέγιστο πλάτος ω d è θ~π χρησιµοποιώντας anθ = 2γω d ω 2 ω d 2 ( ) (Η κίνηση δεν είναι σε φάση με την δύναμη). Η μάζα δεν κινείται ιδιαίτερα και το ελατήριο δίνει μικρή δύναμη

ΦΥΣ 111 - Διαλ.39 1 Συντονισμός και η γέφυρα Tacoma Narrows

Σπάζοντας ένα ποτήρι ΦΥΣ 111 - Διαλ.39 11

ΦΥΣ 111 - Διαλ.39 12 Παραδείγµατα Μια µάζα 3kg τοποθετείται σε ένα ελατήριο σταθεράς k=24n/m. Επιµηκύνεται κατά 5cm και αφήνεται να ταλαντωθεί. (α) Ποια εξίσωση περιγράφει τη θέση του συναρτήσει του χρόνου (β) Ποια η ενέργεια του συστήµατος (γ) Ποια η µέγιστη ταχύτητα του συστήµατος (δ) Μετά από πόσο χρόνο έχει και πάλι αποµάκρυνση +5cm (α) Ξέρουµε ότι για =, x=5cm ενώ υ=m/s. Εποµένως: x( ) = 5cos( ω) (β) Η µηχανική ενέργεια διατηρείται. Εποµένως τη χρονική στιγµή = 24 ( 5 1 2 ) 2 =.3J E µηχ = E κιν. + E ελ. = + 1 2 kx2 = 1 2 (γ) Το σώµα έχει µέγιστη ταχύτητα όταν η Ε δυν =, ενώ Ε µηχ =σταθ. E µηχ = E κιν. + E ελ. = + 1 2 mυ 2 =.3J υ = 2.3 3 (δ) Η γωνιακή συχνότητα του συστήµατος είναι: ω = k m = 2π T T = 2π m k = 2π 3 24 T = 2.2s υ =.14m / s

ΦΥΣ 111 - Διαλ.39 13 Quiz Ø Γράψτε σε μια σελίδα το όνομά σας και τον αριθμό ταυτότητάς σας Έτοιµοι;