Περιεχόμενα 2ης Διάλεξης 1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθα

Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (2η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 54

Περιεχόμενα 2ης Διάλεξης 1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθανοτήτων 5 Διωνυμικοί Συντελεστές 6 Πιθανότητα ένωσης γεγονότων 7 Επιπλέον Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 2 / 54

1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθανοτήτων 5 Διωνυμικοί Συντελεστές 6 Πιθανότητα ένωσης γεγονότων 7 Επιπλέον Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 3 / 54

Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος Δειγματοχώρος Ω: σύνολο όλων των αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης. Είδη δειγματοχώρων: διακριτοί πεπερασμένοι αριθμήσιμα άπειροι συνεχείς Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 4 / 54

Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος Γεγονός: υποσύνολο του δειγματοχώρου, σύνολο αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης. Πραγματοποίηση γεγονότος: όταν το πείραμα οδηγεί σε αποτέλεσμα (απλό γεγονός) που περιέχεται στο γεγονός. ΓΕΓΟΝΟΤΑ ΣΥΝΟΛΑ Γνωστές πράξεις συνόλων: Συμπλήρωμα A : δε συμβαίνει το γεγονός Α Τομή : και τα δύο γεγονότα συμβαίνουν Ενωση : τουλάχιστον ένα γεγονός συμβαίνει Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 5 / 54

Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος Ορισμός Πιθανότητα = συνολοσυνάρτηση: υποσύνολα του Ω πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή γεγονότα πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 6 / 54

Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος Ορισμός Πιθανότητα = συνολοσυνάρτηση: υποσύνολα του Ω πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή γεγονότα πιθανότητες Αξιώματα 1 o Αξίωμα : P(A) 0 2 o Αξίωμα : P(Ω)= 1 3 o Αξίωμα : A B = Ø P(A B) = P(A) + P(B) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 6 / 54

Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος Ορισμός Πιθανότητα = συνολοσυνάρτηση: υποσύνολα του Ω πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή γεγονότα πιθανότητες Αξιώματα 1 o Αξίωμα : P(A) 0 2 o Αξίωμα : P(Ω)= 1 3 o Αξίωμα : A B = Ø P(A B) = P(A) + P(B) Σημαντικό Θεώρημα P( i A i ) i P {A i } (ανισότητα Boole) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 6 / 54

2ο Μάθημα Πιθανότητες Πιθανότητα και Απαρίθμηση (σημείωση: οι μέθοδοι απαρίθμησης διδάσκονται αναλυτικά στο μάθημα Διακριτά Μαθηματικά Ι, εδώ γίνεται συνοπτική υπενθύμιση βασικών εννοιών και χρήση κατά τον υπολογισμό πιθανοτήτων) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 7 / 54

2. Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση Εστω Ω = {ω 1, ω 2,..., ω n } ω i ισοπίθανα A = k : Ρ{ω 1}+ +Ρ{ω n } = Ρ{Ω}=1 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 9 / 54

2. Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση Εστω Ω = {ω 1, ω 2,..., ω n } ω i ισοπίθανα A = k : Ρ{ω 1}+ +Ρ{ω n } = Ρ{Ω}=1 Ρ{w i } = 1 n, i Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 9 / 54

2. Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση Εστω Ω = {ω 1, ω 2,..., ω n } ω i ισοπίθανα A = k : Ρ{ω 1}+ +Ρ{ω n } = Ρ{Ω}=1 Ρ{w i } = 1 n, i P {A} = i k i=i 1 Ρ{ω i } = k 1 n = k n Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 9 / 54

2. Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση σε ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ αρκούν τα n (όλες οι περιπτώσεις), k (ευνοϊκές περιπτώσεις) ολόκληρος κλάδος διακριτών μαθηματικών: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ στο μάθημα: 3 βασικές αρχές απαρίθμησης: multiplication principle (κανόνας γινομένου) addition principle (κανόνας αθροίσματος) inclusion-exclusion principle (αρχή εγκλεισμού-αποκλεισμού) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 10 / 54

2. α. Κανόνας Γινομένου Γεγονός Α: με m τρόπους Γεγονός Β: με n τρόπους } και τα δύο (τομή Α Β): με m n τρόπους Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 11 / 54

2. β. Κανόνας Αθροίσματος Γεγονός Α: με m τρόπους Γεγονός Β: με n τρόπους } κάποιο (ένωση Α Β): με m+n τρόπους Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 12 / 54

Σύνθετο Παράδειγμα Vandermonde s convolution: ( )( ) m l k n k k Απόδειξη (sketch): ( ) m + l = n m άνδρες m + l άνθρωποι l γυναίκες Διαλέγω n ανθρώπους Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 13 / 54

2. γ. Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού #(A 1... A n ) = #(A 1 ) + #(A 2 ) +... + #(A n ) #(A 1 A 2 )... #(A n 1 A n ) +... +( 1) n 1 #(A 1 A 2 A n ) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 14 / 54

3. Διατάξεις - Συνδυασμοί Με βάση τις αρχές απαρίθμησης μπορούμε να υπολογίζουμε διατάξεις - συνδυασμούς. Από n αντικείμενα παίρνω k. Διάφορα κριτήρια: Με ενδιαφέρει η σειρά διάταξη (arrangement) Δεν με ενδιαφέρει η σειρά συνδυασμός (combination) διακεκριμένα αντικείμενα όχι διακεκριμένα Χωρίς επαναλήψεις Με επαναλήψεις Χρήσιμος συμβολισμός: n k = n(n 1)...(n k + 1) = όπου n k είναι η κ-οστή παραγοντική ροπή. n! (n k)! Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 16 / 54

3. α. Διατάξεις Χωρίς επανάληψη n k Με επανάληψη n k Ολων (μεταθέσεις, permutations) n! Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 17 / 54

3. α. Διατάξεις x 1 όμοια, x k όμοια x 1 +... + x k = n n! x 1!...x k! διατάξεις όλων Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 18 / 54

3. β. Διαταράξεις Διαταράξεις: κανένα στην αρχική θέση της διάταξης. # = #όλες - #(1ο στην ίδια θέση... n-οστό στην ίδια θέση) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 19 / 54

3. β. Διαταράξεις Διαταράξεις: κανένα στην αρχική θέση της διάταξης. # = #όλες - #(1ο στην ( ) ίδια θέση... n-οστό στην ( ) ίδια θέση) n n = n! n (n 1)! + (n 2)! +... + ( 1) n (n n)! 2 n Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 19 / 54

3. β. Διαταράξεις Διαταράξεις: κανένα στην αρχική θέση της διάταξης. # = #όλες - #(1ο στην ( ) ίδια θέση... n-οστό στην ( ) ίδια θέση) n n = n! n (n 1)! + (n 2)! +... + ( 1) n (n n)! [ 2 n = n! 1 1 1! + 1 2!... + ( 1)n 1 ] n! e 1 n! Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 19 / 54

3. γ. Συνδυασμοί Συνδυασμοί (χωρίς επανάληψη) ( ) n = nk k k! = n! k!(n k)! ( ) n + k 1 με επανάληψη k Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 20 / 54

4. Παράδειγμα 1 Τυχαία χωρίς επανάθεση διαλέγουμε 5 αριθμούς από το {1, 2,..., 20}. Ποιά η πιθανότητα α) ο μικρότερος να είναι ο 6 και ο μεγαλύτερος το 13, β) ο τρίτος κατά σειρά μεγέθους να είναι ο 9. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 22 / 54

4. Παράδειγμα 1 Τυχαία χωρίς επανάθεση διαλέγουμε 5 αριθμούς από το {1, 2,..., 20}. Ποιά η πιθανότητα α) ο μικρότερος να είναι ο 6 και ο μεγαλύτερος το 13, β) ο τρίτος κατά σειρά μεγέθους να είναι ο 9. Λύση: #όλοι οι τρόποι επιλογής 5 αριθμών = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 22 / 54

4. Παράδειγμα 1 Τυχαία χωρίς επανάθεση διαλέγουμε 5 αριθμούς από το {1, 2,..., 20}. Ποιά η πιθανότητα α) ο μικρότερος να είναι ο 6 και ο μεγαλύτερος το 13, β) ο τρίτος κατά σειρά μεγέθους να είναι ο 9. ( ) 20 Λύση: #όλοι οι τρόποι επιλογής 5 αριθμών = 5 α) ευνοϊκοί Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 22 / 54

4. Παράδειγμα 1 Τυχαία χωρίς επανάθεση διαλέγουμε 5 αριθμούς από το {1, 2,..., 20}. Ποιά η πιθανότητα α) ο μικρότερος να είναι ο 6 και ο μεγαλύτερος το 13, β) ο τρίτος κατά σειρά μεγέθους να είναι ο 9. ( ) 20 Λύση: #όλοι οι τρόποι επιλογής 5 αριθμών = 5 α) ευνοϊκοί 6... 13 # ευνοϊκοί: Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 22 / 54

4. Παράδειγμα 1 Τυχαία χωρίς επανάθεση διαλέγουμε 5 αριθμούς από το {1, 2,..., 20}. Ποιά η πιθανότητα α) ο μικρότερος να είναι ο 6 και ο μεγαλύτερος το 13, β) ο τρίτος κατά σειρά μεγέθους να είναι ο 9. ( ) 20 Λύση: #όλοι οι τρόποι επιλογής 5 αριθμών = 5 α) ευνοϊκοί 6... 13 ( ) 6 # ευνοϊκοί: 1 1 3 ( 6 3) P = ( 20 ) 5 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 22 / 54

4. Παράδειγμα 1 - Συνέχεια β) ευνοϊκοί α 1..α 2...9...α 4..α 5. Με α 3 = 9, ο τρίτος αριθμός κατά σειρά μεγέθους είναι ο 9 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 23 / 54

4. Παράδειγμα 1 - Συνέχεια β) ευνοϊκοί α 1..α 2...9...α 4..α 5. Με α 3 = 9, ο τρίτος αριθμός κατά σειρά μεγέθους είναι ο 9 ( ) ( ) 8 11 1 2 2 P = ( 8 ) ( 2 11 ) 2 ( 20 ) 5 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 23 / 54

4. Παράδειγμα 2 Ποιά η πιθανότητα από 9 άτομα, 2 να γεννήθηκαν Δευτέρα και 3 Τετάρτη; Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 24 / 54

4. Παράδειγμα 2 Ποιά η πιθανότητα από 9 άτομα, 2 να γεννήθηκαν Δευτέρα και 3 Τετάρτη; Λυσή: # όλοι οι πιθανοί τρόποι = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 24 / 54

4. Παράδειγμα 2 Ποιά η πιθανότητα από 9 άτομα, 2 να γεννήθηκαν Δευτέρα και 3 Τετάρτη; Λυσή: # όλοι οι πιθανοί τρόποι = 7 9 ευνοϊκοί: (ποιά 2 γενν. Δ.) (ποιά 3 γενν. Τ.) (υπόλοιπα) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 24 / 54

4. Παράδειγμα 2 Ποιά η πιθανότητα από 9 άτομα, 2 να γεννήθηκαν Δευτέρα και 3 Τετάρτη; Λυσή: # όλοι οι πιθανοί τρόποι = 7 9 ευνοϊκοί: (ποιά 2 γενν. Δ.) (ποιά 3 γενν. Τ.) (υπόλοιπα) P (A) = ( 9 ) ( 2 7 ) 3 5 4 7 9 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 24 / 54

4. Παράδειγμα 3 Αφηρημένη γραμματέας (Τοποθετεί n γράμματα σε n φακέλους. Κανένα γράμμα στο σωστό φάκελο) Ρ{κανένα σωστό} = D n n! Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 25 / 54

4. Παράδειγμα 3 Αφηρημένη γραμματέας (Τοποθετεί n γράμματα σε n φακέλους. Κανένα γράμμα στο σωστό φάκελο) Ρ{κανένα σωστό} = D n n! n! e 1 n! = 1 e Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 25 / 54

5. Διωνυμικοί Συντελεστές (x + y) n = k ( ) n x k y n k k Βασικές ταυτότητες: ( ) ( ) ( ) n n n α) + +... + 0 1 n = 2 n k ( ) n = 2 n k Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 27 / 54

5. Διωνυμικοί Συντελεστές β) Ο αριθμός των υποσυνόλων ενός συνόλου με άρτιο πληθικό αριθμό ισούται με τον αριθμό των υποσυνόλων με περιττό. ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n Δηλαδή + +... = + +... 0 2 1 3 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 28 / 54

5. Διωνυμικοί Συντελεστές γ) Προσέγγιση Stirling: Οταν το n n! ( n ) n n! 2πn δηλαδή lim ( e n 2πn n ) n = 1 e Το απόλυτο σφάλμα Το σχετικό σφάλμα 0 Καλή προσέγγιση ακόμα και για μικρά n π.χ. n = 5 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 29 / 54

5. Διωνυμικοί Συντελεστές δ) Χρήσιμη ιδιότητα: ( ) n 2 + 0 ( ) n 2 +... + 1 ( ) n 2 = n ( ) 2n n Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 30 / 54

6. Πιθανότητα ένωσης γεγονότων α) Ορισμένοι συμβολισμοί Εστω n γεγονότα: A 1,..., A n Θεωρούμε ότι ξέρουμε τις τομές των γεγονότων ανά k δηλαδή η πιθανότητα P (A i1 A i2...a ik ) θεωρείται γνωστή ή εύκολα υπολογίσιμη, για 1 i 1 <... < i k n Εστω το άθροισμα των πιθανοτήτων των τομών ανά k : S k = P (A i1 A i2...a ik ) 1 i 1 <...<i k n Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 32 / 54

6. Πιθανότητα ένωσης γεγονότων β) Θεώρημα ( n ) P A i = P (A 1 A 2 A n ) i=1 P (τουλάχιστον 1 από n γεγονότα) = P (A 1 ) + + P (A n ) S 1 P (A 1 A 2 ) P (A n 1 A n ) S 2 + +( 1) n 1 P (A 1 A n ) S n n = ( 1) k 1 S k = S 1 S 2 + + ( 1) n 1 S n k=1 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 33 / 54

6. Πιθανότητα ένωσης γεγονότων Απόδειξη: 1η περίπτωση: Αν τα στοιχειώδη γεγονότα του πεπερασμένου δειγματοχώρου είναι ισοπίθανα τότε χρησιμοποιούμε: P(A) = A N αρχή εγκλεισμού - αποκλεισμού 2η περίπτωση (γενική περίπτωση): P (A 1 A 2 ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) P (A 1 A 2 ) επαγωγή Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 34 / 54

6. Πιθανότητα ένωσης γεγονότων Παράδειγμα: Αφηρημένη γραμματέας : n γράμματα σε n φακέλους. Pr{κανένα γράμμα στον σωστό φάκελο } = ; Απόδειξη 1ος τρόπος: Πιο πρίν δείξαμε ότι ο αριθμός των διαταράξεων n αντικειμένων είναι n! e 1 P = αριθμός ευνοϊκών τρόπων αριθμός όλων n! e 1 n! = e 1 = 1 e Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 35 / 54

6. Πιθανότητα ένωσης γεγονότων Απόδειξη 2ος τρόπος: Pr{κανένα γράμμα σε σωστό φάκελο } = 1 - P r{τουλάχιστον 1 σωστό} Pr{τουλάχιστον 1 σωστό} = P r{a 1 A n } όπου A i : το i γράμμα στο σωστό φάκελο Υπολογίζω τις τομές ανά k: (n k)! P (A i1 A i2 A ik ) = i 1, i 2, i k, λόγω συμμετρίας n! ( ) n (n k)! n! (n k)! S k = = = 1 k n! k!(n k)! n! k! { } n P r A i = ( 1) k 1 1 k! = 1 1! 1 2! + 1 1 +( 1)n 1 3! n! i k=1 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 36 / 54

6. Πιθανότητα ένωσης γεγονότων = 1 1 + 1 1! 1 2! + 1 3!... + ( 1)n 1 1 n! = ( = 1 1 1 1! + 1 2! 1 3! +... + ( 1)n 1 ) = 1 e 1 n! αφού e x = k 1 k! xk e 1 = ( 1) k k! P r{κανένα σωστό} = 1 ( 1 e 1) = e 1 = 1 e. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 37 / 54

6. Πιθανότητα ένωσης γεγονότων Θεώρημα (Πραγματοποίση ακριβώς k από n γεγονότα) ( ) ( ) ( ) k + 1 k + 2 n P [k] = S k S k+1 + S k+2 +( 1) n k S n k k k Απόδειξη: Εστω ένα σημείο του Ω που ανήκει ακριβώς σε m γεγονότα. Το 1ο μέλος το μετράει μόνο όταν k = m. Θα δείξουμε ότι το 2ο μέλος το μετράει μόνο όταν k = m, και μάλιστα μόνο μία φορά. Παρατήρηση: συνεισφέρει μόνο στα S 1, S 2,, S m και όχι στα S m+1, S m+2,, S n Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 38 / 54

Απόδειξη (Συνέχεια) α) m < k καμμιά συνεισφορά στο 2ο μέλος β) m = k συνεισφέρει μόνο στο S m και μάλιστα μόνο 1 φορά, στο συγκεκριμένο P (A i1...a im ) γ) m > k συνεισφέρει στα S k, S k+1,...s m : ( ) m k ( k + 1 k ) ( ) m + k + 1 ( k + 2 k ) στο S k στο S k+1 στο S k+2 ( ) m +... = k + 2 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 39 / 54

Απόδειξη (Συνέχεια) = ( ) m (k + 1)! k k!1! m! (k + 2)!(m k 2)! = ( m k ( ) m k ) [( m k m! (k + 2)! + (k + 1)!(m k 1)! k!2! m! (m k) + k!(m k)! 1 0 ) = ( m k 1 ) + m! k!(m k)! ( m k ( ) m 0 = 0. k 2 ) ] (m k)2... = 1 = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 40 / 54

Παράδειγμα Γραμματέας: Pr{ακριβώς k στη σωστή θέση } = ; Λύση: S k = 1 i 1 <...<i k n P (A i1 A i2...a ik ) Αλλά P (A i1 A i2...a ik ) εξαρτάται μόνο από το k και μάλιστα όλοι οι τρόποι: n! ευνοϊκοί: 1 1 1 (n k) 1 = (n k)! (n k)! P (A i1 A i2...a ik ) = n! ( ) n (n k)! S k = = 1 k n! k! S k = 1 k! Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 41 / 54

Παράδειγμα (Συνέχεια) Οπότε Pr{ακριβώς k στη σωστή θέση } = ( ) ( 1 k + 1 k! 1 k + 2 k (k + 1)! + k ) 1 (k + 2)!... = 1 k! 1 k!1! + 1 k!2! = 1 (1 11! k! + 12! ) = 1k! e 1 = e 1 k!. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 42 / 54

7. Παράδειγμα 1 Βάζω με τυχαίο τρόπο σε σειρά n κεραίες κινητής τηλεφωνίας εκ των οποίων m είναι ελαττωματικές και n - m λειτουργούν. Θεωρώ ότι όλες οι ελαττωματικές και όλες οι λειτουργικές είναι μή διακεκριμένες. Ποιά η πιθανότητα να μην υπάρχουν 2 διαδοχικές ελαττωματικές ; Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 44 / 54

7. Παράδειγμα 1 - Α Τρόπος Βάζω με τυχαίο τρόπο σε σειρά n κεραίες κινητής τηλεφωνίας εκ των οποίων m είναι ελαττωματικές και n - m λειτουργούν. Θεωρώ ότι όλες οι ελαττωματικές και όλες οι λειτουργικές είναι μή διακεκριμένες. Ποιά η πιθανότητα να μην υπάρχουν 2 διαδοχικές ελαττωματικές ; Α τρόπος: Βάζω τις ελαττωματικές: Ε Ε Ε Ε Ε ( m Ε ) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 45 / 54

7. Παράδειγμα 1 - Α Τρόπος Βάζω με τυχαίο τρόπο σε σειρά n κεραίες κινητής τηλεφωνίας εκ των οποίων m είναι ελαττωματικές και n - m λειτουργούν. Θεωρώ ότι όλες οι ελαττωματικές και όλες οι λειτουργικές είναι μή διακεκριμένες. Ποιά η πιθανότητα να μην υπάρχουν 2 διαδοχικές ελαττωματικές ; Α τρόπος: Βάζω τις ελαττωματικές: Ε Ε Ε Ε Ε ( m Ε ) Γεμίζω τις θέσεις ανάμεσά τους με μία λειτουργική: Ε Λ Ε Λ Ε Λ Ε Λ Ε ( m-1 Λ ) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 45 / 54

7. Παράδειγμα 1 - Α Τρόπος Βάζω με τυχαίο τρόπο σε σειρά n κεραίες κινητής τηλεφωνίας εκ των οποίων m είναι ελαττωματικές και n - m λειτουργούν. Θεωρώ ότι όλες οι ελαττωματικές και όλες οι λειτουργικές είναι μή διακεκριμένες. Ποιά η πιθανότητα να μην υπάρχουν 2 διαδοχικές ελαττωματικές ; Α τρόπος: Βάζω τις ελαττωματικές: Ε Ε Ε Ε Ε ( m Ε ) Γεμίζω τις θέσεις ανάμεσά τους με μία λειτουργική: Ε Λ Ε Λ Ε Λ Ε Λ Ε ( m-1 Λ ) Μένουν n - m - ( m - 1) = n - 2m + 1 Λ Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 45 / 54

7. Παράδειγμα 1 - Α Τρόπος Βάζω με τυχαίο τρόπο σε σειρά n κεραίες κινητής τηλεφωνίας εκ των οποίων m είναι ελαττωματικές και n - m λειτουργούν. Θεωρώ ότι όλες οι ελαττωματικές και όλες οι λειτουργικές είναι μή διακεκριμένες. Ποιά η πιθανότητα να μην υπάρχουν 2 διαδοχικές ελαττωματικές ; Α τρόπος: Βάζω τις ελαττωματικές: Ε Ε Ε Ε Ε ( m Ε ) Γεμίζω τις θέσεις ανάμεσά τους με μία λειτουργική: Ε Λ Ε Λ Ε Λ Ε Λ Ε ( m-1 Λ ) Μένουν n - m - ( m - 1) = n - 2m + 1 Λ Αυτές μπαίνουν σε m + 1 θέσεις, με επανάληψη Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 45 / 54

7. Παράδειγμα 1 - Α Τρόπος (Συνέχεια) Βάζω με τυχαίο τρόπο σε σειρά n κεραίες κινητής τηλεφωνίας εκ των οποίων m είναι ελαττωματικές και n - m λειτουργούν. Θεωρώ ότι όλες οι ελαττωματικές και όλες οι λειτουργικές είναι μή διακεκριμένες. Ποιά η πιθανότητα να μην υπάρχουν 2 διαδοχικές ελαττωματικές ; Α τρόπος: (Συνέχεια) Αυτό ισοδυναμεί με επιλογή από x = m + 1 διακριτά αντικείμενα y = n - 2m - 1 αντικειμένων με επανάληψη Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 46 / 54

7. Παράδειγμα 1 - Α Τρόπος (Συνέχεια) Βάζω με τυχαίο τρόπο σε σειρά n κεραίες κινητής τηλεφωνίας εκ των οποίων m είναι ελαττωματικές και n - m λειτουργούν. Θεωρώ ότι όλες οι ελαττωματικές και όλες οι λειτουργικές είναι μή διακεκριμένες. Ποιά η πιθανότητα να μην υπάρχουν 2 διαδοχικές ελαττωματικές ; Α τρόπος: (Συνέχεια) Αυτό ισοδυναμεί με επιλογή από x = m + 1 διακριτά αντικείμενα y = ( n - 2m - 1) αντικειμένων με επανάληψη x + y 1 = y Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 46 / 54

7. Παράδειγμα 1 - Α Τρόπος (Συνέχεια) Βάζω με τυχαίο τρόπο σε σειρά n κεραίες κινητής τηλεφωνίας εκ των οποίων m είναι ελαττωματικές και n - m λειτουργούν. Θεωρώ ότι όλες οι ελαττωματικές και όλες οι λειτουργικές είναι μή διακεκριμένες. Ποιά η πιθανότητα να μην υπάρχουν 2 διαδοχικές ελαττωματικές ; Α τρόπος: (Συνέχεια) Αυτό ισοδυναμεί με επιλογή από x = m + 1 διακριτά αντικείμενα y = ( n - 2m - 1) αντικειμένων ( με επανάληψη ) x + y 1 m + 1 + n 2m + 1 1 = = y n 2m + 1 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 46 / 54

7. Παράδειγμα 1 - Α Τρόπος (Συνέχεια) Βάζω με τυχαίο τρόπο σε σειρά n κεραίες κινητής τηλεφωνίας εκ των οποίων m είναι ελαττωματικές και n - m λειτουργούν. Θεωρώ ότι όλες οι ελαττωματικές και όλες οι λειτουργικές είναι μή διακεκριμένες. Ποιά η πιθανότητα να μην υπάρχουν 2 διαδοχικές ελαττωματικές ; Α τρόπος: (Συνέχεια) Αυτό ισοδυναμεί με επιλογή από x = m + 1 διακριτά αντικείμενα y = ( n - 2m - 1) αντικειμένων ( με επανάληψη ) x + y 1 m + 1 + n 2m + 1 1 = = ( y ) ( n 2m ) + 1 n m + 1 n m + 1 = = n 2m + 1 m Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 46 / 54

7. Παράδειγμα 1 - Α Τρόπος (Συνέχεια) Βάζω με τυχαίο τρόπο σε σειρά n κεραίες κινητής τηλεφωνίας εκ των οποίων m είναι ελαττωματικές και n - m λειτουργούν. Θεωρώ ότι όλες οι ελαττωματικές και όλες οι λειτουργικές είναι μή διακεκριμένες. Ποιά η πιθανότητα να μην υπάρχουν 2 διαδοχικές ελαττωματικές ; Α τρόπος: (Συνέχεια) Αυτό ισοδυναμεί με επιλογή από x = m + 1 διακριτά αντικείμενα y = ( n - 2m - 1) αντικειμένων ( με επανάληψη ) x + y 1 m + 1 + n 2m + 1 1 = = ( y ) ( n 2m ) + 1 n m + 1 n m + 1 = = n 2m + 1 m ) Pr {όχι 2 Ε συνεχόμενα} = ( n m+1 m n! m!(n m)! Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 46 / 54

7. Παράδειγμα 1 - Β Τρόπος Βάζω με τυχαίο τρόπο σε σειρά n κεραίες κινητής τηλεφωνίας εκ των οποίων m είναι ελαττωματικές και n - m λειτουργούν. Θεωρώ ότι όλες οι ελαττωματικές και όλες οι λειτουργικές είναι μή διακεκριμένες. Ποιά η πιθανότητα να μην υπάρχουν 2 διαδοχικές ελαττωματικές ; Β τρόπος: Βάζω τις Λειτουργικές: Λ Λ Λ Λ Λ ( n-m Λ ) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 47 / 54

7. Παράδειγμα 1 - Β Τρόπος Βάζω με τυχαίο τρόπο σε σειρά n κεραίες κινητής τηλεφωνίας εκ των οποίων m είναι ελαττωματικές και n - m λειτουργούν. Θεωρώ ότι όλες οι ελαττωματικές και όλες οι λειτουργικές είναι μή διακεκριμένες. Ποιά η πιθανότητα να μην υπάρχουν 2 διαδοχικές ελαττωματικές ; Β τρόπος: Βάζω τις Λειτουργικές: Λ Λ Λ Λ Λ ( n-m Λ ) Πρέπει σε κάθε μία από τις n - m + 1 θέσεις που ορίζουν να μπει 1 το πολύ ελαττωματική. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 47 / 54

7. Παράδειγμα 1 - Β Τρόπος Βάζω με τυχαίο τρόπο σε σειρά n κεραίες κινητής τηλεφωνίας εκ των οποίων m είναι ελαττωματικές και n - m λειτουργούν. Θεωρώ ότι όλες οι ελαττωματικές και όλες οι λειτουργικές είναι μή διακεκριμένες. Ποιά η πιθανότητα να μην υπάρχουν 2 διαδοχικές ελαττωματικές ; Β τρόπος: Βάζω τις Λειτουργικές: Λ Λ Λ Λ Λ ( n-m Λ ) Πρέπει σε κάθε μία από τις n - m + 1 θέσεις που ορίζουν να μπει 1 το πολύ ελαττωματική. Επιλογή m από n - m + 1 διακεκριμένων αντικειμένων. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 47 / 54

7. Παράδειγμα 1 - Β Τρόπος Βάζω με τυχαίο τρόπο σε σειρά n κεραίες κινητής τηλεφωνίας εκ των οποίων m είναι ελαττωματικές και n - m λειτουργούν. Θεωρώ ότι όλες οι ελαττωματικές και όλες οι λειτουργικές είναι μή διακεκριμένες. Ποιά η πιθανότητα να μην υπάρχουν 2 διαδοχικές ελαττωματικές ; Β τρόπος: Βάζω τις Λειτουργικές: Λ Λ Λ Λ Λ ( n-m Λ ) Πρέπει σε κάθε μία από τις n - m + 1 θέσεις που ορίζουν να μπει 1 το πολύ ελαττωματική. Επιλογή m από n - m + 1 διακεκριμένων αντικειμένων. ( ) n m + 1 m Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 47 / 54

7. Παράδειγμα 2 Μοιράζουμε μία καλά ανακατεμένη τράπουλα 52 φύλλων (13 σειρές των 4 φύλλων). α) Ποιά η πιθανότητα το 14ο φύλλο να είναι άσος; β) Ποια η πιθανότητα ο πρώτος άσος να είναι στο 14ο φύλλο; Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 48 / 54

7. Παράδειγμα 2 Μοιράζουμε μία καλά ανακατεμένη τράπουλα 52 φύλλων (13 σειρές των 4 φύλλων). α) Ποιά η πιθανότητα το 14ο φύλλο να είναι άσος; β) Ποια η πιθανότητα ο πρώτος άσος να είναι στο 14ο φύλλο; Λύση: α) Το 14ο φύλλο Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 48 / 54

7. Παράδειγμα 2 Μοιράζουμε μία καλά ανακατεμένη τράπουλα 52 φύλλων (13 σειρές των 4 φύλλων). α) Ποιά η πιθανότητα το 14ο φύλλο να είναι άσος; β) Ποια η πιθανότητα ο πρώτος άσος να είναι στο 14ο φύλλο; Λύση: α) Το 14ο φύλλο 4 τρόποι Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 48 / 54

7. Παράδειγμα 2 Μοιράζουμε μία καλά ανακατεμένη τράπουλα 52 φύλλων (13 σειρές των 4 φύλλων). α) Ποιά η πιθανότητα το 14ο φύλλο να είναι άσος; β) Ποια η πιθανότητα ο πρώτος άσος να είναι στο 14ο φύλλο; Λύση: α) Το 14ο φύλλο 4 τρόποι Τα υπόλοιπα 51 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 48 / 54

7. Παράδειγμα 2 Μοιράζουμε μία καλά ανακατεμένη τράπουλα 52 φύλλων (13 σειρές των 4 φύλλων). α) Ποιά η πιθανότητα το 14ο φύλλο να είναι άσος; β) Ποια η πιθανότητα ο πρώτος άσος να είναι στο 14ο φύλλο; Λύση: α) Το 14ο φύλλο 4 τρόποι Τα υπόλοιπα 51 51! τρόποι Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 48 / 54

7. Παράδειγμα 2 Μοιράζουμε μία καλά ανακατεμένη τράπουλα 52 φύλλων (13 σειρές των 4 φύλλων). α) Ποιά η πιθανότητα το 14ο φύλλο να είναι άσος; β) Ποια η πιθανότητα ο πρώτος άσος να είναι στο 14ο φύλλο; Λύση: α) Το 14ο φύλλο 4 τρόποι Τα υπόλοιπα 51 51! τρόποι Pr = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 48 / 54

7. Παράδειγμα 2 Μοιράζουμε μία καλά ανακατεμένη τράπουλα 52 φύλλων (13 σειρές των 4 φύλλων). α) Ποιά η πιθανότητα το 14ο φύλλο να είναι άσος; β) Ποια η πιθανότητα ο πρώτος άσος να είναι στο 14ο φύλλο; Λύση: α) Το 14ο φύλλο 4 τρόποι Τα υπόλοιπα 51 51! τρόποι Pr = 4 51! 52! = 4 52 = 1 13 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 48 / 54

7. Παράδειγμα 2 Μοιράζουμε μία καλά ανακατεμένη τράπουλα 52 φύλλων (13 σειρές των 4 φύλλων). α) Ποιά η πιθανότητα το 14ο φύλλο να είναι άσος; β) Ποια η πιθανότητα ο πρώτος άσος να είναι στο 14ο φύλλο; Λύση: α) Το 14ο φύλλο 4 τρόποι Τα υπόλοιπα 51 51! τρόποι Pr = 4 51! 52! = 4 52 = 1 13 Άλλος τρόπος: Pr {14ο φύλλο = 1 14ο φύλλο = 2... } = 1 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 48 / 54

7. Παράδειγμα 2 Μοιράζουμε μία καλά ανακατεμένη τράπουλα 52 φύλλων (13 σειρές των 4 φύλλων). α) Ποιά η πιθανότητα το 14ο φύλλο να είναι άσος; β) Ποια η πιθανότητα ο πρώτος άσος να είναι στο 14ο φύλλο; Λύση: α) Το 14ο φύλλο 4 τρόποι Τα υπόλοιπα 51 51! τρόποι Pr = 4 51! 52! = 4 52 = 1 13 Άλλος τρόπος: Pr {14ο φύλλο = 1 14ο φύλλο = 2... } = 1 Λόγω συμμετρίας Pr {14ο φύλλο = 1 } = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 48 / 54

7. Παράδειγμα 2 Μοιράζουμε μία καλά ανακατεμένη τράπουλα 52 φύλλων (13 σειρές των 4 φύλλων). α) Ποιά η πιθανότητα το 14ο φύλλο να είναι άσος; β) Ποια η πιθανότητα ο πρώτος άσος να είναι στο 14ο φύλλο; Λύση: α) Το 14ο φύλλο 4 τρόποι Τα υπόλοιπα 51 51! τρόποι Pr = 4 51! 52! = 4 52 = 1 13 Άλλος τρόπος: Pr {14ο φύλλο = 1 14ο φύλλο = 2... } = 1 Λόγω συμμετρίας Pr {14ο φύλλο = 1 } = 1 13 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 48 / 54

7. Παράδειγμα 2 - Συνέχεια Μοιράζουμε μία καλά ανακατεμένη τράπουλα 52 φύλλων (13 σειρές των 4 φύλλων). α) Ποιά η πιθανότητα το 14ο φύλλο να είναι άσος; β) Ποια η πιθανότητα ο πρώτος άσος να είναι στο 14ο φύλλο; Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 49 / 54

7. Παράδειγμα 2 - Συνέχεια Μοιράζουμε μία καλά ανακατεμένη τράπουλα 52 φύλλων (13 σειρές των 4 φύλλων). α) Ποιά η πιθανότητα το 14ο φύλλο να είναι άσος; β) Ποια η πιθανότητα ο πρώτος άσος να είναι στο 14ο φύλλο; Λύση: β) 1 2... 13 14 15... 52 (Θέσεις) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 49 / 54

7. Παράδειγμα 2 - Συνέχεια Μοιράζουμε μία καλά ανακατεμένη τράπουλα 52 φύλλων (13 σειρές των 4 φύλλων). α) Ποιά η πιθανότητα το 14ο φύλλο να είναι άσος; β) Ποια η πιθανότητα ο πρώτος άσος να είναι στο 14ο φύλλο; Λύση: β) 1 2... 13 14 15... 52 (Θέσεις) 48 47... 36 4 38... 1 (Τρόποι) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 49 / 54

7. Παράδειγμα 2 - Συνέχεια Μοιράζουμε μία καλά ανακατεμένη τράπουλα 52 φύλλων (13 σειρές των 4 φύλλων). α) Ποιά η πιθανότητα το 14ο φύλλο να είναι άσος; β) Ποια η πιθανότητα ο πρώτος άσος να είναι στο 14ο φύλλο; Λύση: β) 1 2... 13 14 15... 52 (Θέσεις) 48 47... 36 4 38... 1 (Τρόποι) Pr = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 49 / 54

7. Παράδειγμα 2 - Συνέχεια Μοιράζουμε μία καλά ανακατεμένη τράπουλα 52 φύλλων (13 σειρές των 4 φύλλων). α) Ποιά η πιθανότητα το 14ο φύλλο να είναι άσος; β) Ποια η πιθανότητα ο πρώτος άσος να είναι στο 14ο φύλλο; Λύση: β) 1 2... 13 14 15... 52 (Θέσεις) 48 47... 36 4 38... 1 (Τρόποι) Pr = 48 47... 36 4 38... 1 52! Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 49 / 54

7. Παράδειγμα 3 Μία κάλπη περιέχει n άσπρα και n μαύρα σφαιρίδια. Τραβάμε τυχαία, άρτιο πλήθος σφαιριδίων. Γεγονός Α = ίσος αριθμός άσπρων και μαύρων. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 50 / 54

7. Παράδειγμα 3 Μία κάλπη περιέχει n άσπρα και n μαύρα σφαιρίδια. Τραβάμε τυχαία, άρτιο πλήθος σφαιριδίων. Γεγονός Α = ίσος αριθμός άσπρων και μαύρων. Απόδειξη: Ολες οι περιπτώσεις Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 50 / 54

7. Παράδειγμα 3 Μία κάλπη περιέχει n άσπρα και n μαύρα σφαιρίδια. Τραβάμε τυχαία, άρτιο πλήθος σφαιριδίων. Γεγονός Α = ίσος αριθμός άσπρων και μαύρων. Απόδειξη: Ολες οι περιπτώσεις = ( 2n 2 ) + ( 2n 4 ) +... + ( ) 2n = 2n Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 50 / 54

7. Παράδειγμα 3 Μία κάλπη περιέχει n άσπρα και n μαύρα σφαιρίδια. Τραβάμε τυχαία, άρτιο πλήθος σφαιριδίων. Γεγονός Α = ίσος αριθμός άσπρων( και) μαύρων. ( ) ( ) 2n 2n 2n Απόδειξη: Ολες οι περιπτώσεις = + +... + = 2 4 2n ( ) ( ) ( ) 2n 2n 2n + +... + 1 = # άρτιων υποσυνόλων - 1 = 0 2 2n Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 50 / 54

7. Παράδειγμα 3 Μία κάλπη περιέχει n άσπρα και n μαύρα σφαιρίδια. Τραβάμε τυχαία, άρτιο πλήθος σφαιριδίων. Γεγονός Α = ίσος αριθμός άσπρων( και) μαύρων. ( ) ( ) 2n 2n 2n Απόδειξη: Ολες οι περιπτώσεις = + +... + = 2 4 2n ( ) ( ) ( ) 2n 2n 2n + +... + 1 = # άρτιων υποσυνόλων - 1 = 0 2 2n = πλήθος υποσυνόλων 2-1 = 22n 2-1 = 2 2n 1-1 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 50 / 54

7. Παράδειγμα 3 Μία κάλπη περιέχει n άσπρα και n μαύρα σφαιρίδια. Τραβάμε τυχαία, άρτιο πλήθος σφαιριδίων. Γεγονός Α = ίσος αριθμός άσπρων( και) μαύρων. ( ) ( ) 2n 2n 2n Απόδειξη: Ολες οι περιπτώσεις = + +... + = 2 4 2n ( ) ( ) ( ) 2n 2n 2n + +... + 1 = # άρτιων υποσυνόλων - 1 = 0 2 2n = πλήθος υποσυνόλων 2-1 = 22n ευνοϊκές: ( n 1 ) ( n 1 ) + 2-1 = 2 2n 1-1 ) ( ) n +... + 2 ( n 2 ( n n ) ( ) n = n Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 50 / 54

7. Παράδειγμα 3 Μία κάλπη περιέχει n άσπρα και n μαύρα σφαιρίδια. Τραβάμε τυχαία, άρτιο πλήθος σφαιριδίων. Γεγονός Α = ίσος αριθμός άσπρων( και) μαύρων. ( ) ( ) 2n 2n 2n Απόδειξη: Ολες οι περιπτώσεις = + +... + = 2 4 2n ( ) ( ) ( ) 2n 2n 2n + +... + 1 = # άρτιων υποσυνόλων - 1 = 0 2 2n πλήθος υποσυνόλων = 2-1 = 22n 2-1 = 2 2n 1-1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( n n n n n ευνοϊκές: + +... + = k ( n k 1 ) ( n n k 1 ) 2 ( n 0 ) 2 ) = ( n 0 ( 2n n ) ( ) n = n n ) 1 (Vandermonde) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 50 / 54

7. Παράδειγμα 3 - Συνέχεια Αλλά ( ) 2n n P (A) = ( 2n n ) 1 2 2n 1 1 ( 2n n ) 2 2n 1 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 51 / 54

7. Παράδειγμα 3 - Συνέχεια Αλλά P (A) = ( 2n n ( ) 2n = (2n)! n (n)! (n)! ) 1 2 2n 1 1 ( 2n n ) 2 2n 1 ( 2π2n 2n ) 2n e ( ( 2πn n ) n ) 2 = 22n πn e P (A) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 51 / 54

7. Παράδειγμα 3 - Συνέχεια Αλλά P (A) = ( 2n n ( ) 2n = (2n)! n (n)! (n)! ) 1 2 2n 1 1 ( 2n n ) 2 2n 1 ( 2π2n 2n ) 2n e ( ( 2πn n ) n ) 2 = 22n πn e P (A) 2 2n πn 2 2n 1 = 2 πn Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 51 / 54

7. Παράδειγμα 4 n διακριτές μπάλες τοποθετούνται τυχαία σε n διακριτά κελιά. Ποιά η πιθανότητα ακριβώς ένα κελί να είναι άδειο; Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 52 / 54

7. Παράδειγμα 4 n διακριτές μπάλες τοποθετούνται τυχαία σε n διακριτά κελιά. Ποιά η πιθανότητα ακριβώς ένα κελί να είναι άδειο; Απόδειξη: Ολοι οι τρόποι είναι n n Ευνοϊκοί τρόποι: α) ποιό κελί άδειο: n τρόποι n μπάλες σε n - 1 κελιά ώστε κανένα κελί άδειο β1) 1 κελί με 2 μπάλες β2) όλα τα άλλα κελιά έχουν μία μπάλα β1) Ποιό κελί έχει 2 μπάλες : n - 1 τρόποι Ποιές 2 συγκεκριμένες μπάλες : ( ) n τρόποι 2 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 52 / 54

7. Παράδειγμα 4 - Συνέχεια β2) Ολα τα άλλα κελιά έχουν από μία μπάλα n - 2 μπάλες σε n - 2 κελιά 1η μπάλα: n - 2 τρόποι 2η μπάλα: n - 3 τρόποι... n - 2 μπάλα: 1 τρόπος (n - 2)! τρόποι Από α), β1) και β2) Pr {ακριβώς ένα κελί άδειο} = P = ( n ) 2 n! = n n n (n 1) (n 2) (n 2)! n n Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 53 / 54

7. Παράδειγμα 4 - Συνέχεια n διακριτές μπάλες τοποθετούνται τυχαία σε n διακριτά κελιά. Ποιά η πιθανότητα ακριβώς ένα κελί να είναι άδειο; Άλλος τρόπος: Βάζω 2 μπάλες σε ένα κελί: Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 54 / 54

7. Παράδειγμα 4 - Συνέχεια n διακριτές μπάλες τοποθετούνται τυχαία σε n διακριτά κελιά. Ποιά η πιθανότητα ακριβώς ένα κελί να είναι άδειο; Άλλος τρόπος: Βάζω 2 μπάλες σε ένα κελί: ( ) n τρόποι 2 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 54 / 54

7. Παράδειγμα 4 - Συνέχεια n διακριτές μπάλες τοποθετούνται τυχαία σε n διακριτά κελιά. Ποιά η πιθανότητα ακριβώς ένα κελί να είναι άδειο; Άλλος τρόπος: Βάζω 2 μπάλες σε ένα κελί: Αφήνω ένα κελί άδειο. ( ) n τρόποι 2 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 54 / 54

7. Παράδειγμα 4 - Συνέχεια n διακριτές μπάλες τοποθετούνται τυχαία σε n διακριτά κελιά. Ποιά η πιθανότητα ακριβώς ένα κελί να είναι άδειο; Άλλος τρόπος: Βάζω 2 μπάλες σε ένα κελί: Αφήνω ένα κελί άδειο. ( ) n τρόποι 2 Βάζω 1 μπάλα σε κάθε ένα από τα n-2 υπόλοιπα κελιά. Διατάσσω αυτά τα n κελιά. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 54 / 54

7. Παράδειγμα 4 - Συνέχεια n διακριτές μπάλες τοποθετούνται τυχαία σε n διακριτά κελιά. Ποιά η πιθανότητα ακριβώς ένα κελί να είναι άδειο; Άλλος τρόπος: Βάζω 2 μπάλες σε ένα κελί: Αφήνω ένα κελί άδειο. ( ) n τρόποι 2 Βάζω 1 μπάλα σε κάθε ένα από τα n-2 υπόλοιπα κελιά. Διατάσσω αυτά τα n κελιά. n! τρόποι Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 54 / 54

7. Παράδειγμα 4 - Συνέχεια n διακριτές μπάλες τοποθετούνται τυχαία σε n διακριτά κελιά. Ποιά η πιθανότητα ακριβώς ένα κελί να είναι άδειο; Άλλος τρόπος: Βάζω 2 μπάλες σε ένα κελί: Αφήνω ένα κελί άδειο. ( ) n τρόποι 2 Βάζω 1 μπάλα σε κάθε ένα από τα n-2 υπόλοιπα κελιά. Διατάσσω αυτά τα n κελιά. n! τρόποι Άρα Pr {ακριβώς ένα κελί άδειο} = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 54 / 54

7. Παράδειγμα 4 - Συνέχεια n διακριτές μπάλες τοποθετούνται τυχαία σε n διακριτά κελιά. Ποιά η πιθανότητα ακριβώς ένα κελί να είναι άδειο; Άλλος τρόπος: Βάζω 2 μπάλες σε ένα κελί: Αφήνω ένα κελί άδειο. ( ) n τρόποι 2 Βάζω 1 μπάλα σε κάθε ένα από τα n-2 υπόλοιπα κελιά. Διατάσσω αυτά τα n κελιά. n! τρόποι ( n ) 2 n! Άρα Pr {ακριβώς ένα κελί άδειο} = n n Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 54 / 54