Δυναμικι Μθχανϊν I Διάλεξθ 16 Χειμερινό Εξάμθνο 2013 Τμιμα Μθχανολόγων Μθχ., ΕΜΠ 1
Ανακοινϊςεισ Office Hours: Δευτζρα 1-3 μμ, Εργαςτιριο Εμβιομθχανικισ, Ιςόγειο Κτθρίου Μ (210 772-1516) DMmeche2013@gmail.com http://cw.mech.ntua.gr/ml23065 Διαλζξεισ 15 & 16 κα αναρτθκοφν ςτο web ςιμερα 2
Μεταςχθματιςμόσ Laplace Περιεχόμενα Επίλυςθ γραμμικϊν διαφορικϊν εξιςϊςεων ςτακερϊν ςυντελεςτϊν μζςω μ/χ Laplace Συνάρτθςθ Μεταφοράσ Πόλοι και Μθδενιςτζσ Σφνδεςθ με τα προθγοφμενα Μοντελοποιϊντασ Γραμμικά Δυναμικά Συςτιματα 3
Μεταςχθματιςμόσ Laplace O μ/χ Laplace f(s) ενόσ ςιματοσ f(t) ορίηεται ωσ: Θεωρείται ότι f t = 0 για t < 0 f s = L*f(t)+ = f t e s t dt Ο αντίςτροφοσ μ/χ Laplace ορίηεται ωσ: f t = L 1 *f s + = f s e s t ds Ή ιςοδφναμα: f t L 0 σ+ σ f s 4
Μεταςχθματιςμόσ Laplace Εδϊ κεωροφμε τον μονόπλευρο μ/χ Laplace: Για ςιματα που είναι μθ-μθδενικά για t 0 Προχποκζςεισ για να ζχει ζνα ςιμα f(t) μ/χ Laplace: Η f(t) Ζχει πεπεραςμζνο αρικμό αςυνεχειϊν Οι αςυνζχειεσ ζχουν πεπεραςμζνο εφροσ Υπάρχουν Μ, α ϊςτε f t < Μe at Συνικωσ ο μ/χ Laplace υπολογίηεται μζςω Των μ/χ Laplace ςτοιχειωδϊν ςυναρτιςεων Των ιδιοτιτων του μ/χ Laplace O αντίςτροφοσ μ/χ Laplace υπολογίηεται μζςω ιδιοτιτων 5
M/X Laplace Στοιχειωδϊν Συναρτιςεων Συνάρτθςθ Dirac (κρουςτικι διζγερςθ) Βθματικι διζγερςθ (πόλοσ ςτο 0) Ημθτονοειδισ/ςυνθμιτονοειδισ ςυναρτιςεισ: φανταςτικοίπόλοι ±ω 0 j Ημθτονοειδισ/ςυνθμιτονοειδισ ςυναρτιςεισ επί εκκετικι ςυνάρτθςθ: μιγαδικοί πόλοι α ± ω 0 j 6
Ιδιότθτεσ Μ/Χ Laplace Γραμμικότθτα: L f t + g t Ολίςκθςθ χρόνου: L f t + τ Κλιμάκωςθ χρόνου: = f s + g s = e τ s f s L f t κ = κ 1 f s κ Παραγϊγιςθ: L f t = s f s f 0 L f t = s 2 f s s f 0 f 0 Ολοκλιρωςθ: t L f τ dτ 0 = 1 s f s 7
Θεϊρθμα τελικισ τιμισ: Ιδιότθτεσ Μ/Χ Laplace Ιςχφει μόνο αν ςε μεγάλο χρόνο θ f(t) καταλιγει ςε κάποια τιμι: lim f(t) = f ss t Η τιμι αυτι μπορεί να υπολογιςτεί από τον μ/χ Laplace lim t f(t) = lim s 0 s f s 8
Επίλυςθ Διαφορικϊν Εξιςϊςεων Μζςω Μ/Χ Laplace Μεκοδολογία για να λυκεί θ ΣΔΕ: d n y dt n + a n 1 dn 1 y dt n 1 + + a 1 dy dt + a 0 y = β m dm u dt m + + β 1 du dt + β 0 u 1. Αντικατάςταςθ των μ/χ Laplace των y(t), u(t), και παραγϊγων τουσ 2. Λφνουμε ωσ προσ y s 3. Ανάλυςθ ςε απλοφσ παράγοντεσ 4. Αντίςτροφοσ μ/χ Laplace μζςω πινάκων και ιδιοτιτων Επανάλθψθ ςτθν φλθ του μακιματοσ των διαφορικϊν εξιςϊςεων! 9
Επίλυςθ Διαφορικϊν Εξιςϊςεων Μζςω Μ/Χ Laplace Παράδειγμα: Να βρεκεί θ απόκριςθ τθσ y(t) ςε βθματικι είςοδο (u t = u s t) ςτο πρόβλθμα αρχικϊν ςυνκθκϊν y + 3y + 2y = u όταν y 0 = y 0 και y 0 = 0. Λφςθ 10
Επίλυςθ Διαφορικϊν Εξιςϊςεων Μζςω Μ/Χ Laplace Παρόμοια μεκοδολογία μπορεί να χρθςιμοποιθκεί για να υπολογιςτεί θ απόκριςθ ςε ζνα ςφςτθμα ΣΔΕ. Για παράδειγμα, ςτο ςφςτθμα ΣΔΕ 2 θσ τάξθσ: M q + C q + K q = G f Αντικατάςταςθ των μ/χ Laplace των q(t), f(t) και επίλυςθ ωσ προσ q(s) δίνει: q s = (M s 2 + C s + K) 1,G f s + M s + C q(0) + M q (0)- Το διάνυςμα q s περιζχει λόγουσ πολυωνφμων του s, ο αντίςτροφοσ μ/χ των οποίων δίνει τθν απόκριςθ q(t) 11
Συνάρτθςθ Μεταφοράσ Ζςτω ζνα δυναμικό ςφςτθμα που περιγράφεται από μια γραμμικι ΣΔΕ: d n y dt n + a n 1 dn 1 y dt n 1 + + a 1 dy dt + a 0 y = β m dm u dt m + + β 1 du dt + β 0 u Σφςτθμα μίασ ειςόδου και μιασ εξόδου (SISO) Σε φυςικά ςυςτιματα m n Εφαρμόηοντασ μ/χ Laplace (μθδενικζσ αρχικζσ ςυνκικεσ) και λφνοντασ ωσ προσ y s u s προκφπτει θ ςυνάρτθςθ μεταφοράσ: y s Η s = u s = β m s m + + β 1 s + β 0 s n + a n 1 s n 1 + + a 1 s + a 0 12
Η s Συνάρτθςθ Μεταφοράσ = y s u s = β m s m + + β 1 s + β 0 s n + a n 1 s n 1 + + a 1 s + a 0 Περιγράφει μια ςχζςθ μεταξφ τθσ ειςόδου u(t) και τθσ εξόδου y(t) του ςυςτιματοσ H είςοδοσ u(t) είναι θ διζγερςθ του πειράματοσ Η ζξοδοσ y(t) είναι κάποια μεταβλθτι ενδιαφζροντοσ Μθδενικζσ αρχικζσ ςυνκικεσ Αν ςτο ςφςτθμα εφαρμοςτεί διζγερςθ u t = e st ( μιγαδικό s), τότε θ απόκριςθ (μθδενικζσ αρχικζσ ςυνκικεσ) είναι: y t = H(s) e st Το ςφςτθμα λειτουργεί ςαν ζνασ ενιςχυτισ, του οποίου το κζρδοσ H(s) εξαρτάται από τθν τιμι του s 13
Συνάρτθςθ Μεταφοράσ Ζςτω ότι ςτο ςφςτθμα αςκείται κρουςτικι είςοδοσ u t = δ t u s = 1 Τότε ο μ/χ Laplace τθσ απόκριςθσ είναι: y s = Η(s) O αντίςτροφοσ μ/χ Laplace δίνει τθν χρονικι απόκριςθ, θ οποία είναι θ απόκριςθ (t) ςε κρουςτικι διζγερςθ: t = L 1 y s = L 1 H s Επομζνωσ προκφπτει ότι θ ςυνάρτθςθ μεταφοράσ H s είναι ο μ/χ Laplace τθσ απόκριςθσ t ςε κρουςτικι διζγερςθ: H s = L t 14
Μθτρϊο Μεταφοράσ Ο μ/χ Laplace μπορεί να εφαρμοςτεί ςε ςυςτιματα ΣΔΕ Συςτιματα πολλϊν ειςόδων-πολλϊν εξόδων (ΜΙΜΟ) Για παράδειγμα, ςτο ςφςτθμα ΣΔΕ 2 θσ τάξθσ M q + C q + K q = G f Το μθτρϊο μεταφοράσ H(s) από το διάνυςμα ειςόδου f ςτθν ζξοδο q είναι: q s = H s f s Όπου ςε αυτι τθ περίπτωςθ H(s) = (M s 2 + C s + K) 1 G 15
Μθτρϊο Μεταφοράσ Ζνα μθτρϊο μεταφοράσ ζχει H(s) ζχει ν μ ςτοιχεία ν: αρικμόσ εξόδων μ: αρικμόσ ειςόδων (διεγζρςεων) Το ςτοιχείο H i,j (s) ςτθν γραμμι i και ςτιλθ j του μθτρϊου μεταφοράσ H(s) περιγράφει πωσ θ j-ιοςτι διζγερςθ επιδρά ςτθν απόκριςθ τθσ i-ιοςτισ εξόδου H s = H 1,1 (s) H 1,μ (s) H ν,1 (s) H ν,μ (s) 16
Πόλοι και Μθδενιςτζσ (SISO) Συςτιματα μιασ ειςόδου-μίασ εξόδου (SISO) y s Η s = u s = β m s m + + β 1 s + β 0 s n + a n 1 s n 1 + + a 1 s + a 0 Χαρακτθριςτικό πολυϊνυμο Οι n ρίηεσ του παρονομαςτι ονομάηονται πόλοι του ςυςτιματοσ Ταυτίηονται με τισ ιδιοτιμζσ του ςυςτιματοσ Οι m ρίηεσ του αρικμθτι ονομάηονται μθδενιςτζσ του ςυςτιματοσ 17
Οι πόλοι : Πόλοι και Μθδενιςτζσ (SISO) Περιγράφουν το είδοσ των όρων τθσ ομογενισ απόκριςθσ του ςυςτιματοσ Περιγράφουν τθν δυναμικι του ςυςτιματοσ! Κακορίηουν τθν ευςτάκεια του ςυςτιματοσ το ςφςτθμα είναι ευςτακζσ όταν ΟΛΟΙ οι πόλοι ζχουν αρνθτικό πραγματικό μζροσ Μθδενιςτζσ: Αντιςτοιχοφν ςε εκκετικζσ ειςόδουσ u t = e st για τουσ οποίουσ θ απόκριςθ y t είναι μθδενικι 18
Imaginary Axis (seconds -1 ) Πόλοι και Μθδενιςτζσ (SISO) Γραφικι παράςταςθ πόλων-μθδενιςτϊν (pole-zero plot) 5 Pole-Zero Map 0-5 -6-5 -4-3 -2-1 0 1 Real Axis (seconds -1 ) 19
x(t) x(t) Θζςθ Πόλων ςτο Μιγαδικό Επίπεδο s 1 0.9 0.8 0.7 = 1, = 1 = 1.5, = 1 = 3, = 1 0<ζ<1 Im(s) 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 x 0.1 0 0 5 10 15 20 25 30 time ζ>1 x x Re(s) 1 0.5 = 0.9, = 1 = 0.5, = 1 = 0.25, = 1 x 0-0.5 0 5 10 15 20 25 30 time Ευστάθεια Αστάθεια 20
Πόλοι και Μθδενιςτζσ (MIMO) Το μθτρϊο μεταφοράσ είναι: H(s) = (M s 2 + C s + K) 1 G 1 H(s) = M s 2 + C s + K adj(m s2 + C s + K) G Αυτό μπορεί να γραφεί ςαν: H s = H s = Χαρακτθριςτικό πολυϊνυμο Α 1 1,1 s Α 1,μ s M s 2 + C s + K Α ν,1 s Α ν,μ s Α 1,1 (s) M s 2 + C s + K Α 1,μ (s) M s 2 + C s + K Α ν,1 (s) M s 2 + C s + K Α ν,μ (s) M s 2 + C s + K 21
Πόλοι και Μθδενιςτζσ (MIMO) Α 1,1 (s) M s 2 + C s + K Α 1,μ (s) M s 2 + C s + K H s = Α ν,1 (s) M s 2 + C s + K Α ν,μ (s) M s 2 + C s + K Όλα τα ςτοιχεία του μθτρϊου μεταφοράσ ζχουν τουσ ίδιουσ πόλουσ Ταυτίηονται με τισ ιδιοτιμζσ του ςυςτιματοσ Περιγράφουν τθν ομογενι απόκριςθ & τθν ευςτάκεια ςυςτιματοσ Τα διάφορα ςτοιχεία του μθτρϊου μποροφν να ζχουν διαφορετικοφσ μθδενιςτζσ Κάκε ζξοδοσ αντιδρά διαφορετικά ςτισ διεγζρςεισ 22
Πόλοι και Μθδενιςτζσ (MIMO) Θεωρϊ ότι όλεσ οι αδράνειεσ είναι ίςεσ με I, και όλεσ οι ελαςτθκότθτεσ με k. Ο λόγοσ μετάδοςθσ ςτο γρανάηι είναι τ 23
Πόλοι και Μθδενιςτζσ (MIMO) Μθτρϊο μεταφοράσ Σε αυτι τθ περίπτωςθ υπάρχει ζνασ πόλοσ και ζνασ μθδενιςτισ ςτο -1 που απλοποιοφνται H s = s 2 + 1 5s 2 (s 2 + 2) 2 5s 2 (s 2 + 2) s 2 1 5s 2 (s 2 + 2) 24
Πόλοι και Μθδενιςτζσ (MIMO) Υπολογιςμόσ απόκριςθσ ςε βθματικι είςοδο μζςω του μ/χ Laplace 25
Μοντελοποίθςθ Δυναμικϊν Συςτθμάτων Ζνα δυναμικό ςφςτθμα μπορεί να περιγραφεί με διάφορουσ τρόπουσ u(t) Γραμμικό Δυναμικό Σφςτθμα y(t) Δυναμικζσ εξιςϊςεισ Μ-Κ (ςφςτθμα ΣΔΕ 2 θσ τάξθσ) Μ q + C q + K q = G u(t) Eξιςϊςεισ μεταβλθτϊν κατάςταςθσ (ςφςτθμα ΣΔΕ 1 θσ τάξθσ) x = A x + Β u(t) y = C x + D u(t) Μθτρϊο μεταφοράσ y(s) = H(s) u(s) H(s) = (M s 2 + C s + K) 1 G 26
Μοντελοποίθςθ Δυναμικϊν Συςτθμάτων Η απόκριςθ ενόσ δυναμικοφ ςυςτιματοσ μπορεί να περιγραφεί με διάφορουσ τρόπουσ u(t) Γραμμικό Δυναμικό Σφςτθμα y(t) Πεδίο Χρόνου t Πεδίο Laplace s t H s = L t y t = t u t y s = Η s u s 27