Μαθηματικά Β Γυμνασίου
Περιεχόμενα 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ... 3 1.2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ... 5 1.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΥΠΩΝ... 7 1.4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ... 8 1.5 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ... 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ... 11 2.1ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚOΥ ΑΡΙΘΜOΥ... 13 2.2 AΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟI ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟI ΑΡΙΘΜΟI... 15 2.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ... 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 17 3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ... 19 3.2 ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ -ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ... 20 3.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ψ=ΑΧ... 21 3.4 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ψ=ΑΧ+Β... 23 3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ψ=Α/Χ... 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ... 26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ: ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ... 28 1.1 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ... 30 1.2 ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ... 31 1.3 ΕΜΒΑΔO ΕΠIΠΕΔΟΥ ΣΧΗΜAΤΩΝ... 33 1.4 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ... 35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ: ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ- ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ... 37 1
2.1ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ... 40 2.2 ΗΜΙΤΟΝΟ ΚΑΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ... 41 2.3 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΗΜΙΤΟΝΟΥ, ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟΥ ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ... 42 2.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΩΝ ΓΩΝΙΩΝ 30, 45, 60... 43 2.5 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ... 44 2.6 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ... 46 2.7 ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΥΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΙΣ... 47 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ... 49 3.1 ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΕΣ ΓΩΝΙΕΣ... 52 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ... 54 3.3 ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ... 56 3.4 ΜHΚΟΣ ΤOΞΟΥ... 57 3.5 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ... 58 3.6 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ... 59 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ:ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ... 61 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΤΕΡΕΩΝ... 63 2
1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Θέμα 1ο Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, λέγεται, παράσταση. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς και μεταβλητές ονομάζεται παράσταση. Γράψε την επιμεριστική ιδιότητα.... Τι είναι αναγωγή όμοιων όρων;... (15 μονάδες) Θέμα 2ο Τι είναι μεταβλητή ;.. Γράψε με την βοήθεια των μεταβλητών σε μαθηματική γλώσσα τις παρακάτω εκφράσεις. 1. Το πενταπλάσιο ενός αριθμού. 2. Στο διπλάσιο ενός αριθμού προσθέτω 7. 3. Από έναν αριθμό αφαιρώ 3 4. Τα επτά πέμπτα ενός αριθμού 5. Σε ένα αριθμό προσθέτω 2 και βρίσκω 9 6. Από το διπλάσιο ενός αριθμού αφαιρώ 3 και βρίσκω 15. 7. Σε ένα αριθμός προσθέτω εννιά. 8. Το πενταπλάσιο ενός αριθμού είναι μικρότερο του 3 9. Στο επταπλάσιο ενός αριθμού αφαιρώ 7. 10. Από έναν αριθμό αφαιρώ 10 και βρίσκω 20 11. Σε ένα αριθμό προσθέτω 12 και βρίσκω 39 12. Από το διπλάσιο ενός αριθμού διαιρώ 3 και βρίσκω 2 13. Σε ένα αριθμό προσθέτω 1 και βρίσκω 2 (15 μονάδες) Θέμα 3ο Να γίνουν οι πράξεις 17 α + 2 α = x + 5 x - 3 x = 4 t - 2 t - 8 t = (15 μονάδες) 3
Θέμα 4ο Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: (α) 2y + 4x 2y+ x (β) 3y + 2ω 2y + 5 + ω + 8. Θέμα 5ο Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = 6(x + 2) - 7(x - 2) - 8, όταν x = -0,35. (15 μονάδες) (15 μονάδες) Θέμα 6ο Να υπολογίσετε την περίμετρο του παρακάτω τετραπλεύρου, όταν x + ψ = 10. ψ+3 6 ψ+4 2x-3 4
1.2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ Θέμα 1ο Αν και στα δύο μέλη μιας ισότητας προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα. Δηλαδή: Αν α = Β τότε. Αν και από τα δύο μέλη μιας ισότητας αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα. Δηλαδή: Αν α = Β τότε.. Αν και τα δύο μέλη μιας ισότητας πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλιμια ισότητα. Δηλαδή: Αν α=β τότε Αν και τα δύο μέλη μιας ισότητας διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα. Δηλαδή: Αν α=β τότε Θέμα 2ο Εξίσωση ονομάζεται Τι είναι λύση μιας εξίσωσης;... Στην παράσταση 2χ + 100 = χ+20 Το 2x + 100 λέγεται ενώ η παράσταση x + 20λέγεται.. Σε μία εξίσωση μπορούμε να «μεταφέρουμε» όρους από το ένα μέλος στο άλλο, αλλάζοντας το τους. Ποιες είναι οι λύσεις της εξίσωσης 0 x=3. Πως λέγεται μια τέτοια εξίσωση; Ποιες είναι οι λύσεις της εξίσωσης 0 x=0. Πως λέγεται μια τέτοια εξίσωση; Θέμα 3ο Περιγράφω τα βήματα λύσης της παρακάτω εξίσωσης 5
Θέμα 4ο Να λυθούν οι εξίσωσεις 1. 7x-15=3x+9 2. 8(x+2)-5=2(x-3) 3. 3ψ-4=5ψ+2 x 2 2x 7 4. = 3 4 x 1 x 2 5. 6- = - 2 3 x 3 4 6
1.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΥΠΩΝ Θέμα 1ο Διαπιστώσαμε ότι, αν έχουμε μία σχέση που συνδέει δύο ή περισσότερες μπορούμε (χρησιμοποιώντας τις τεχνικές που μάθαμε στις εξισώσεις) να λύσουμε τη σχέση αυτή ως προς μία.. Θέμα 2ο H σχέση Q = m c e, να λυθεί ως προς e Θέμα 3ο Το Εμβαδόν τραπεζίου δίνεται από τη σχέση: Ε=1/2 (Β+β) υ. Να λυθεί η παραπάνω σχέση ως προς β και ως προς υ. Θέμα 4ο H σχέση S = U o t + 1/2 qt 2, να λυθεί ως προς υο. Θέμα 5ο Το εμβαδόν ενός τριγώνου με βάση β και ύψος υ, γνωρίζουμε ότι δίνεται από τον τύπο Ε = 1/2 βυ. α)να λύσετε τον τύπο αυτόν ως προς β και ως προς υ. β)το ύψος ενός τριγώνου που έχει εμβαδόν 18 cm 2 και βάση 6 cm. 7
1.4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θέμα 1ο Tα βήματα που ακολουθούμε για να λύσουμε ένα πρόβλημα με εξισώσεις είναι τα εξής: 1. Διαβάζουμε καλά το πρόβλημα και διακρίνουμε τα.. και τα... 2. Χρησιμοποιούμε ένα γράμμα (συνήθως το Χ) για να εκφράσουμε τον.. αριθμό που πρέπει να προσδιορίσουμε. 3. Εκφράζουμε όλα τα άλλα μεγέθη του προβλήματος με τη βοήθεια του.... 4. Γράφουμε την εξίσωση του προβλήματος χρησιμοποιώντας τα.. της εκφώνησης. 5. Λύνουμε την εξίσωση. 6. Ελέγχουμε αν η λύση που βρήκαμε Θέμα 2ο Τρεις φίλοι μοιράστηκαν ένα χρηματικό ποσό. Ο πρώτος πήρε το 1/2 του ποσού, ο δεύτερος πήρε το 1/4 του ποσού και ο τρίτος πήρε από το 1/3 του ποσού 100 λιγότερα. Να βρείτε το αρχικό χρηματικό ποσό που μοιράστηκαν και το μερίδιο του καθενός. Θέμα 3ο Ένας πατέρας είναι 42 ετών και ο γιος του είναι 10 ετών. Μετά από πόσα έτη η ηλικία του πατέρα θα είναι τριπλάσια της ηλικίας του γιου; Θέμα 4ο Όλα μου τα στυλό εκτός από 5 είναι μπλε, όλα μου τα στυλό εκτός από 4 είναι κόκκινα, όλα μου τα στυλό εκτός από 4 είναι μαύρα. Πόσα στυλό έχω; 8
1.5 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ Θέμα 1ο Αν και στα δύο μέλη μιας ανίσωσης προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ανίσωση με.φορά. Δηλαδή: Αν α < β τότε.και Αν α > β τότε.και... Αν και τα δύο μέλη μιας ανίσωσης πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο θετικό αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ανίσωση με..φορά. Δηλαδή: Αν α<β και γ > Ο τότε.και Αν α>β και γ > Ο τότε.και Αν και τα δύο μέλη μιας ανίσωσης πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο αρνητικό αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ανίσωση..φορά. Δηλαδή: Αν α<β και γ < Ο τότε τότε.και. Αν α>β και γ < Ο τότε τότε.και Μια ανίσωση που περιέχει μία μεταβλητή και η οποία αληθεύει για ορισμένες τιμές της μεταβλητής, λέγεται ανίσωση με έναν άγνωστο. Ο τρόπος που ακολουθούμε για να λύσουμε μια ανίσωση, είναι παρόμοιος με τον τρόπο που ακολουθούμε στην επίλυση εξισώσεων. Δηλαδή: Χωρίζουμε Κάνουμε αναγωγές Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου. Αν ο συντελεστής είναι θετικός η ανισότητα φορά, ενώ αν είναι αρνητικός φορά της ανίσωσης. 9
Θέμα 2ο Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις: a. 3 ( x 4) 15 b. 2 (3x 2) 4 x c. x 1 1 2 5 d. x 1 x 2 3 1 ( x 2) ( x 3) 1 ( x 2) 2 Θέμα 3ο Να βρεθεί που συναλυθεύουν οι παρακάτω ανισώσεις: x 2 3(2x 1) 6 2x 7 α) + - < - 2 5 4 10 4x 5 6x 1 β) > 2 3 10
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Να απαντήσετε τα παρακάτω: α)τι είναι η εξίσωση; β)ποια εξίσωση ονομάζεται αδύνατη και ποια αόριστη και ποιάς μορφής είναι; γ)ποια βήματα ακολουθούμε για να λύσουμε μια ανίσωση; ΘΕΜΑ 2 Ο Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις. α)3-2(3χ+1)=χ-5(5-7χ) β) 3x 1 2x 5 5x 1 4 6 12 γ) 5 4 x 3 3 2 2 x x 20 7 7 δ) 2 3 x 1 1 x x 2 5 2 4 5 10 ΘΕΜΑ 3 Ο Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 2 x 1 3 x 1 2 x 3 3 x 3 6 2 x 3 α) 2x 1 x 1 4 x 2 x 1 x 2x 3 x 1 β) 2 2 6 3 3 5 15 5 ΘΕΜΑ 4 Ο Να λυθεί το παρακάτω πρόβλημα με τη βοήθεια εξίσωσης. Ρώτησα τον Κώστα την ηλικία του και απάντησε ως εξής : Αν στην ηλικία μου προσθέσεις 3, μετά διαιρέσεις το άθροισμα με το 4 και προσθέσεις στο πηλίκο το διπλάσιο της ηλικίας μου θα βρεις 39. Ποία είναι η ηλικία του; 11
ΘΕΜΑ 5 Ο Το 1/3 των μαθητών ενός σχολείου φθάνει στο σχολείο με τα πόδια, το 1/4 με λεωφορείο, το 1/6 με Ι.Χ, ενώ 24 μαθητές φθάνουν με ποδήλατο. Πόσοι είναι συνολικά οι μαθητές; 12
2.1ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚOΥ ΑΡΙΘΜOΥ Θέμα 1ο Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται.... Δενορίζεται η τετραγωνικήρίζααρνητικούαριθμού, γιατί.. Διακαιολογήστεμεαριθμητικάπαραδέιγματα ότι ισχύει: α β= α β α β = α β Θεμα 2ο Να υπολογιστούν οι παρακάτω τετραγωνικές ρίζες : Θέμα 3ο Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Θέμα 4ο Να αποδείξετε ότι: 13
Θέμα 5ο Να υπολογίσετε την άγνωστη πλευρά των παρακάτω ορθογωνίων τριγώνων Θέμα 6ο Να υπολογίσετε το ύψος του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ 14
2.2 AΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟI ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟI ΑΡΙΘΜΟI 2.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Θέμα 1ο Άρρητοςαριθμός ονομάζεται κάθε αριθμός Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R είναι. Θέμα 2ο Να βάλετε σε μία σειρά από τον μικρόυερο προς τον μεγαλύτερο τους παρακάτω αριθμούς 3, 8, 7, 1 17, 28, 5, 21, 4 2 + 2, 3, 2, 2-1 Θέμα 3ο Να βρείετε τις ρητές προσεγγίσεις έως και 3 δεκαδικά ψηφία των αριθμών Α) 11 β) 6 Θέμα 4ο Να βρείτε το σημείο της ευθείας των πραγματικών αριθμών που παριστάνει τον αριθμό 29 Θέμα 5 ο Μιά αποθήκη έχει ύψος 3,5m καιη σκεπή της έχει σχήμα ισόπλευρου τριγώνου πλευράς 6m. Να βρείτε την απόσταση της κορυφής Α της σκεπής από το έδαφος, δηλαδή την απόσταση ΑΒ. 15
Θέμα 6 ο Δύο πλευρές ενός τριγώνου έχουν μήκος 5cm και 4cm αντίστοιχα. Να βρεθεί η τρίτη πλευρά του, ώστε το τρίγωνο να είναι ορθογώνιο. (Να διακρίνετε δύο περιπτώσεις) Θέμα 7 ο Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΕ = 20cm και ΕΔ = 16cm. Να βρεθούν οι πλευρές του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). 16
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ 1 Ο Να απαντήσετε τα παρακάτω: α)τι ορίζεται σαν τετραγωνική ρίζα; β)γιατί δεν ορίζεται ρίζα αρνητικού αριθμού; γ)να εξηγήσετε αν η παρακάτω προτάσεις είναι σωστές ή λάθος. i) a = ii) iii) = a = ΘΕΜΑ 2 Ο Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων. α) 32 285 13 6 3 β) ( 7 4) 14 4 ΘΕΜΑ 3 Ο Στα παρακάτω σχήματα να υπολογίσετε τις άγνωστες πλευρές. 17
ΘΕΜΑ 4 Ο Να βρείτε την περίμετρο του παρακάτω σχήματος. ΘΕΜΑ 5 Ο Ισοσκελες τρίγωνο ΑΒΓ έχει περίμετρο 22 cm, αν η βάση του είναι 6 cm να βρεθεί το ύψος που αντιστοιχεί στην βάση του τριγώνου 18
3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θέμα 1ο Συνάρτηση ονομάζεται η..με την οποία της μεταβλητής x αντιστοιχίζεται... της μεταβλητής y. Πινάκας τιμών ονομάζεται Γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι Θέμα 2 ο Δίνεται η συνάρτηση ψ=2x 2-3 συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών: x -2-1 0 1 2 ψ Θέμα 2ο Δίνεται η συνάρτηση ψ=x 2-5x+6. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνανα τιμών : x -3-2 0 2 5 ψ Θέμα 4ο Το Φ.Π.Α. για τα ηλεκτρικά είδη είναι 19%.Να εκφράσετε τις τιμές ψ με Φ.Π.Α., ως συνάρτηση των τιμών χ χωρίς το Φ.Π.Α. 19
3.2 ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ -ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Θέμα 1ο Έχουμε δύο κάθετους άξονες x x και y y με κοινή αρχή 0. Από ένα σημείο Μ του επιπέδου φέρνουμε τις κάθετες στους δύο άξονες x x και y y. Ονομάζουμε..του σημείου Μ τον αριθμό που αντιστοιχεί στο ίχνος της καθέτου προς τον x x και...του σημείου Μ τον αριθμό που αντιστοιχεί στο ίχνος της καθέτου προς τον y y. Oι δύο αριθμοί μαζί λέγονται του σημείου Μ και γράφουμε. Θέμα 2 ο Σε ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων να σημειώσετε τα σημεία: Α( 4,2), Γ(0,2), Ε(3/5, 2/7), Ζ(5,0). Θέμα 3 ο Δίνονται τα σημεία Α(7, 2) και Να βρείτε τις συντεταγμένες των συμμετρικών τους σημείων α) ως προς τον άξονα x x β) ως προς τον άξονα y y γ) ως προς την αρχή 0 των αξόνων Θέμα 4 ο Δίνονται τα σημεία Α(0, 2), Β( 1, 1) και Γ( 4, 0). Να βρεθούν: α) τα μήκη των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ. β) να δειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. γ) να υπολογίσετε το εμβαδόν του. Θέμα 5 ο Να βρείτε τις αποστάσεις των σημείων Α(5,2), Β( 2,4) και Γ( 1,0) από τους άξονες x x και y y. Θέμα 6 ο Να βρείτε τις αποστάσεις των σημείων: α) Α(4, 2) και Β(1,2) β) Γ(5,3) και Δ(3, 3) γ) Ε(7,2) και Ζ(7, 5) δ) Κ( 3, 5) και Λ(4,5) 20
3.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ψ=αχ Θέμα 1ο Δύο ποσά λέγονται ανάλογα, όταν Αν δύο ποσά είναι ανάλογα, τότε ολόγοςτωντιμώντου ενός προς τις αντίστοιχες τιμές του άλλου είναι.. Αν δύο ποσά είναι ανάλογα, τότε οι τιμές y του ενός εκφράζονται ως συνάρτηση των τιμών x του άλλου με την ισότητα. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης Θέμα 2 ο Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών των ανάλογων ποσών x και y: x 2 4 6 10 ψ 5 20 Θέμα 3 ο β) Να εκφράσετε το y ως συνάρτηση του x γ) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση αυτή. Θέμα 4 ο Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα ορθογωνίων αξόνων τις ευθείες: y = 3x, y = 5x και y = 2x Θέμα 5 ο Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα ορθογωνίων αξόνων τις ευθείες: y = 2x και y = -1/2x Τί γωνία σχηματίζουν οι δύο ευθείες; 21
Θέμα 6 ο Μια ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σημείο Α( 4,6). Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας αυτής. Θέμα 7 ο Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία έχει κλίση 5/2και διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 22
3.4 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ψ=αχ+β Θέμα 1ο Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx + β, όπου x πραγματικός αριθμός και β 0, είναι μια ευθεία..προς τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx, που τέμνει τον άξονα y y στο σημείο.. Θέμα 2ο Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τις ευθείες με εξισώσεις: ε1: y = 2x, ε2: y = 2x + 3, ε3: y = 2x 2 Θέμα 3ο Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση y = 5x + 3, όταν: α) ο x είναι πραγματικός αριθμός β) x 0 γ) 3 x 3 Θέμα 4ο Δίνονται οι ευθείες y = (5λ 2)x + 3 και y = (λ + 2)x 9 Να προσδιορίσετε το λ, ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες. Θέμα 5ο Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία έχει κλίση -2/5 και τέμνει τον άξονα y y στο σημείο με τεταγμένη 7. Θέμα 6ο Δίνονται τα σημεία Α( 2, 1) και Β(2,4) α) Να υπολογίσετε την απόσταση ΑΒ β) Να εξετάσετε αν η ευθεία 3x + 4y = 10 διέρχεται από τα σημεία Α και Β. 23
3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ψ=α/χ Θέμα 1ο Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφωςανάλογα, όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιμές του ενός ποσού με έναν αριθμό,... Αν δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, τότε το των αντίστοιχων τιμών τους είναι. Αν α 0 είναι το σταθερό γινόμενο δύο αντιστρόφως ανάλογων ποσών x και y, τότε το y εκφράζεται ως συνάρτηση του Χαπό τον τύπο. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης όπου α 0 λέγεται και αποτελείται από δύοκλάδουςπου βρίσκονται: Στο 1o και στο 3o τεταρτημόριο των αξόνων, όταν. Στο 2o και στο 4o τεταρτημόριο των αξόνων, όταν. Θέμα 2ο Τα ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: χ -2-1 2 5 4 ψ 5 β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης που συνδέει τα x και y. Θέμα 3ο Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: y=5/x και y=- 5/x Θέμα 4ο Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: y=-2/x, y=- 4/x,και y=- 6/x Θέμα 5ο Δίνεται η συνάρτηση y= (2λ-5)/x 0 α) Να βρείτε το λ αν η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο (6,-1/2) β) Να κάνετε τη γραφιική της παράσταση. 24
Θέμα 6ο 12 εργάτες κάνουν ένα έργο σε 20 ημέρες. Ύστερα από 5 ημέρες από τότε που άρχισε το έργο αποχώρησαν 2 εργάτες Να βρεθεί σε πόσες ημέρες θα τελειώσουν το έργο οι υπόλοιποι εργάτες. 25
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Να απαντήσετε τα παρακάτω: α)ποια ποσά ονομάζονται ανάλογα; Ποιες ιδιότητες ισχύουν γι αυτά και ποια η γραφική τους παράσταση; β) Ποια ποσά ονομάζονται αντιστρόφως ανάλογα; Ποιες ιδιότητες ισχύουν γι αυτά και ποια η γραφική τους παράσταση; γ)τι γνωρίζετε για τη συνάρτηση y=αx+β; ΘΕΜΑ 2 Ο Α. Να ελέγξεις αν είναι σωστή η λανθασμένη καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις γράφοντας τη λέξη Σωστή ή Λάθος δίπλα στο αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση: 1. Η ευθεία ψ = 6χ είναι ευθεία που διέρχεται από το (0, 0). 2. Η ευθεία ψ χ = 1 είναι ευθεία που δεν διέρχεται από το (0, 0). 3. Η ευθεία ψ = 3 είναι ευθεία που είναι παράλληλη με τον ψ ψ. 4. Η ευθεία χ = 4 είναι ευθεία που είναι παράλληλη με τον χ χ. 5. Στην ευθεία 2χ + ψ = 3 η κλίση της ισούται με το 2. Β. Θεώρησε την ευθεία (ε): ψ = 2χ 1. 1. Με τη χρήση της εξίσωσης της ευθείας (ε) να συμπληρώσεις τον διπλανό πίνακα: χ 0 1 2 ψ 5 0 2. Να βρεις τις συντεταγμένες του σημείου τομής της γραφικής παράστασης της ευθείας (ε): i. Με τον χ χ ii. Με τον ψ ψ 3. Να σχεδιάσεις τη γραφική παράσταση της ευθείας (ε). ΘΕΜΑ 3 Ο α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σημείο Α(2, 10) β) Να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση. ΘΕΜΑ 4 Ο Στον παρακάτω πίνακα, τα ποσά χ και y είναι αντιστρόφως ανάλογα. 26
α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα. β) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει το ποσό y με το x. γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της σχέσης με την προϋπόθεση ότι τα x, yείναι πραγματικοί αριθμοί 0 α 4 2 16 1,5 β 6 8 ΘΕΜΑ 5 Ο Να σχεδιάσετε σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων μια ευθεία η οποία να διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων και να έχει κλίση 2 1 Το κάθε θέμα υπολογίζεται σε 4 μονάδες. 27
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο : ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑ 1 Ο Να απαντήσετε τις παρακάτω ερωτήσεις: α)τι ονομάζουμε συχνότητα; β)πως βρίσκουμε τη μέση τιμή ενός συνόλου παρατηρήσεων; γ)πως βρίσκουμε τη διάμεσο ενός συνόλου παρατηρήσεων; ΘΕΜΑ 2 Ο Οι βαθμοί στη χημεία 40 μαθητών ενός Λυκείου φαίνονται παρακάτω: 15, 16, 10, 12, 12, 15, 20, 17, 10, 13, 12, 12, 14, 14, 19, 18, 09, 09,09, 16, 20, 18, 17, 17, 15, 15, 13, 13, 10, 20, 20, 02, 04, 06, 14, 14, 16, 16, 20, 20 α) Να κατασκευάσετε πίνακα κατανομής συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων β) Να βρείτε πόσοι μαθητές έχουν βαθμό τουλάχιστον 16. γ) Ποιο ποσοστό μαθητών έχει βαθμό το πολύ 12. δ) Πόσοι μαθητές έχουν βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 14 και μικρότερο από 18 ε) Αν στο 10% δοθεί έπαινος, τι βαθμό θα πρέπει να έχει ένας μαθητής για να πάρει έπαινο ; ΘΕΜΑ 3 Ο Το διπλανό ραβδόγραμμα σχετικών Σχετική συχνότητα % 6x 5x 4x συχνοτήτων αναφέρεται στον αριθμό των πάρκων 3x 2x x που έχουν οι συνοικίες κάποιας πόλης. 1 2 3 4 Αριθμός ορόφων 5 6 α) Να βρείτε το x β) Να βρείτε το ποσοστό των συνοικιών που έχουν από 3 πάρκα και πάνω. γ) Να κάνετε κυκλικό διάγραμμα για το πλήθος των παρκών. 28
ΘΕΜΑ 4 Ο Η βαθμολογία σε 10 μαθήματα του πρώτου τετραμήνου δυο μαθητών της Β Γυμνασίου είναι Α μαθητής: 15, 17, 12, 16, 18, 19, 15, 14, 18, 17 Β μαθητής:17, 18, 18, 19, 17, 18, 19, 20, 20, 19 α)να βρείτε τα μέσο όρο της βαθμολογίας κάθε μαθητή. β)να εκτιμήσετε ποιος μαθητής έχει καλύτερη επίδοση. γ)να βρείτε τη διάμεσο της βαθμολογίας κάθε μαθητή. Το κάθε θέμα υπολογίζεται σε 4 μονάδες. ΘΕΜΑ 5 Ο Ο αριθμός των χαλασμένων κερασιών που βρέθηκαν σε 60 ατομικά κεσεδάκια ήταν : 3 4 5 2 6 7 2 2 3 4 5 6 7 4 0 6 4 0 0 2 3 1 1 4 5 4 3 3 7 6 4 3 2 1 0 1 2 3 33 4 4 5 6 8 3 9 3 1 0 4 4 5 5 6 6 7 8 9 5 α) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα σε πέντε κλάσεις πλάτους 2 και να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων. β) Να κατασκευάσετε τα ιστογράμματα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων γ)να υπολογίσετε τη μέση τιμή. 29
1.1 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Θέμα 1 ο Το εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας είναι ένας που εκφράζει την έκταση που καταλαμβάνει η επιφάνεια αυτή στο επίπεδο. O αριθμός αυτός εξαρτάται από που θα χρησιμοποιήσουμε. Θέμα 2 ο Να υπολογίσετε τα εμβαδά των παρακάτω σχημάτων Σ1 και Σ2, με μονάδα μέτρησης το ένα Θέμα 3 ο Να βρείτε το λόγο των εμβαδών του τετραγώνου ΑΒΓΔ προς το εμβαδό του τετραπλεύρου ΕΖΗΘ. Θέμα 4 ο Αν τα πέντε σημειωμένα τρίγωνα είναι ισόπλευρα, στην ταινία, βρείτε το λόγο του εμβαδού του ορθογωνίου ΑΒΓΔ προς το άθροισμα των εμβαδών των ισόπλευρων τριγώνων. 30
31
1.2 ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Θέμα 1ο Βασικήμονάδα μέτρησης επιφανειών είναι το.. Υποδιαιρέσεις: Το. Το. Το. Το. ( 10 μονάδες) Θέμα 2 ο Να μετατρέψετε σε cm2 τα παρακάτω μεγέθη: 25m 2, 2,16Km 2, 143dm 2, 5779mm 2, 712m 2. Θέμα 3 ο Να μετατρέψετε σε m 2 τα παρακάτω μεγέθη: 498 cm 2, 111dm 2, 12,7Km 2, 13534mm 2, 607dm 2. Θέμα 4 ο Να μετατρέψετε σε mm2 τα παρακάτω μεγέθη: 456m 2, 82,7dm 2, 0,571cm 2, 0,0025m 2. Θέμα 5 ο Να μετατρέψετε σε Km2 τα παρακάτω μεγέθη: 914m 2, 4832dm 2, 17075m 2, 103 στρέμματα. Θέμα 6 ο Να μετατρέψετε σε στρέμματα τα παρακάτω μεγέθη: 72564m 2, 3,4Km 2, 137920dm 2, 45m 2. ( 10 μονάδες) ( 10 μονάδες) ( 10 μονάδες) ( 10 μονάδες) ( 10 μονάδες) 32
1.3 ΕΜΒΑΔO ΕΠIΠΕΔΟΥ ΣΧΗΜAΤΩΝ Θέμα 1ο Εμβαδόντετραγώνου.. Εμβαδόνορθογωνίου.. Εμβαδόντυχαίουτριγώνου Εμβαδόνορθογωνίουτριγώνου.. Εμβαδόντραπεζίου. Θέμα 2 ο Αν το εμβαδόν ενός τετραγώνου είναι 144cm2, να υπολογίσετε την περίμετρό του. Θέμα 3 ο Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει περίμετρο 162m και το μήκος του είναι διπλάσιο από το πλάτος του. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του. Θέμα 4 ο Ένα βιβλίο έχει 127 φύλλα, που το καθένα έχει διαστάσεις 16cm και 25cm. Να υπολογίσετε πόση επιφάνεια χαρτιού έχει όλο το βιβλίο. Θέμα 5 ο Ένα θερμοκήπιο σχήματος ορθογωνίου έχει μήκος 46m και πλάτος 20m. Θέλουμε να βάλουμε λίπασμα και ξέρουμε ότι χρειάζονται 300g για κάθε 1m 2. Πόσα κιλά λίπασμα θα χρειαστούμε και πόσο θα μας κοστίσει, αν 1 κιλό κοστίζει 2 ; Θέμα 6 ο Ένα παραλληλόγραμμο έχει το ίδιο εμβαδόν και την ίδια περίμετρο με ένα ορθογώνιο που έχει διαστάσεις 8cm και 7cm. Αν η μία πλευρά του παραλληλογράμμου είναι 10cm να υπολογίσετε την άλλη πλευρά του και τα ύψη του παραλληλογράμμου. 33
Θέμα7 Η μεγάλη βάση ενός τραπεζίου είναι διπλάσια απο τη μικρή βάση. Αν το εμβαδόν του είναι 36cm 2 και το ύψος του 6cm, να υπολογίσετε τις βάσεις του. 34
1.4 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Θέμα 1ο Διατύπωσε το ΠυθαγόρειοΘεώρημα: Σχεση : (α ). (β) (γ) Τ Διατύπωσε το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος: Θέμα 2 ο Να εξετάσετε αν τα παρακάτω τρίγωνα είναι ορθογώνια. α) β) γ) Θέμα 3 ο Η πλευρά ενός τετραγώνου είναι η διαγώνιος ορθογωνίου παραλληλογράμμου με μήκος 12cm και πλάτος 9cm. Να βρείτε την περίμετρο και το εμβαδόν του τετραγώνου. Θέμα 4 ο Η πλευρά ενός τετραγώνου είναι το ύψος ενός ισόπλευρου τριγώνου πλευράς 8cm. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραγώνου. 35
Θέμα 5 ο Ένα οικόπεδο έχει σχήμα ρόμβου με διαγώνιες 80m και 60m. Να βρείτε: α) την περίμετρο και το εμβαδόν του οικοπέδου β) πόσο κοστίζει να περιφράξουμε το οικόπεδο, όταν το 1 μέτρο περίφραξης κοστίζει 15 ευρώ. Θέμα 6 ο Να υπολογίσετε την άγνωστη πλευρά x στα παρακάτω σχήματα. 36
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ 1 0Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ: ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ-ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΕΜΑ 1 Ο α)να αντιστοιχίσετε την στήλη Α με την στήλη Β Α Β 1 Εμβαδόν τριγώνου (α) 2 Εμβαδόν τετραγώνου 1 2 (β) 2 3 Εμβαδόν τραπεζίου (γ) 2 4 Εμβαδόν ορθογωνίου (δ) 2 5 Εμβαδόν ρόμβου (ε) 2 β)να διατυπώσετε το πυθαγόρειο θεώρημα. γ)να διατυπώσετε το αντίστροφο του πυθαγορείου θεωρήματος. ΘΕΜΑ 2 Ο Να υπολογιστεί το εμβαδόν του τετραγώνου ΒΔΖΕ αν είναι γνωστό ότι το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκη πλευρών ΑΒ=4 cm και ΑΔ=0,3 dm. 37
ΘΕΜΑ 3 Ο Το τρίγωνο ΑΒΓ του παρακάτω σχήματος είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ=15 mm και ΒΓ=24. α)να υπολογίσετε το ύψος ΑΔ του τριγώνου. β)το εμβαδόν του τριγώνου. ΘΕΜΑ 4 Ο Στο παρακάτω σχήμα να υπολογίσετε: α)το ύψος του τριγώνου. β)το συνολικό εμβαδόν του σχήματος. ΘΕΜΑ 5 Ο Στο παρακάτω σχήμα να υπολογίσετε: α)την πλευρά ΒΓ του τριγώνου. β)τη διαγώνιο ΓΕ του τετραγώνου. γ)το συνολικό εμβαδόν του σχήματος. 38
39
2.1ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Θέμα 1 ο Εφαπτομένημιαςοξείαςγωνίαςενός ορθογωνίου τριγώνου λέγεται 1) Κλίσημιαςευθείαςε ως προς μια άλλη οριζόντια ευθεία ονομάζεται η της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία ε με την οριζόντια ευθεία. 2) Η κλίση ενός δρόμου 3) Ηκλίσητηςευθείαςμεεξίσωση y = αχ. Θέμα 2 ο Στα παρακάτω σχήματα να υπολογίσετε το x: Θέμα 3 ο Nα κατασκευάσετε μια γωνία ω με εφω =3/5 Θέμα 4 ο Να υπολογίσετε το x στο παρακάνω σχήμα. 40
2.2 ΗΜΙΤΟΝΟ ΚΑΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Θέμα 1 ο 1. Ημίτονο οξείας γωνίας.. 2. Συνημίτονο οξείας γωνίας... 3. Επειδή σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο οι κάθετες πλευρές είναι μικρότερες από την υποτείνουσα, ισχύουν ότι:.<ημω<.και <συνω<. για οποιαδήποτε οξεία γωνία ω. 4. Ισχύει η σχέση για οποιαδήποτε οξεία γωνία ω.εφω = ημω συνω 5. Ισχύει η σχέση για οποιαδήποτε οξεία γωνία ω ημ 2 ω + συν 2 ω=1 6. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ισχύει:ημb = συν Γ και : συν B = ημ Γ Θέμα 2 ο Να υπολογίσετε τα ημίτονα και τα συνημίτονα των οξείων γωνιών στα πα-ρακάτω ορθογώνια τρίγωνα. Θέμα 3 ο Για μια οξεία γωνία ω ισχύει ότι συνω =5/13 Να υπολογίσετε το ημω καιτην εφω. Θέμα 4 ο Για μια οξεία γωνία ω ισχύει ότι ημω =8/17 Να υπολογίσετε το συνω καιτην εφω. Θέμα 5 ο Να αποδείξετε ότι για κάθε οξεία γωνία ω, ισχύει: α) 5 3 ημω> 2 β) 7ημω + 4 συνω< 11 γ) 6 +3 συνω< 9 δ) 2ημω + 3συνω + 5 < 10 41
2.3 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΗΜΙΤΟΝΟΥ, ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟΥ ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ Θέμα 1 ο Όταναυξάνεταιμιαοξείαγωνία,..τοημίτονότης. Όταναυξάνεταιμιαοξείαγωνία, τοσυνημίτονότης. Όταναυξάνεταιμιαοξείαγωνία,.καιηεφαπτομένητης. Θέμα 2 ο Να υπολογίσετε τα x, y, ω, z στα παρακάτω τρίγωνα: Θέμα 3 ο Να διατάξετε από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο τους παρακάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς. α) συν 73 συν 45 συν 11 συν 81 συν 34 β) ημ 24 ημ 7 ημ 78 ημ 59 ημ 62 γ) εφ 83 εφ 5 εφ 18 εφ 49 εφ 50 Θέμα 4 ο Αν ω είναι οξεία γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου, να αποδείξετε ότι: δ) (1 συν2ω) (1 + εφ2ω) = εφ2ω συν2ω + εφ2ω + ημ2ω= 1/ συν 2 ω 42
2.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΩΝ ΓΩΝΙΩΝ 30, 45, 60 Θέμα 1ο Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 45 Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 30 και 60 Θέμα 2ο Να υπολογίσετε τα x και y στα παρακάτω ορθογώνια τρίγωνα: Θέμα 3 ο Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες: α) συν60 = συν 2 30 ημ 2 30 β) ημ60 = 2ημ30 ˆ συν30 γ) εφ 2 45 = εφ30 ˆ εφ60 δ) ημ30 εφ45 = συν60 ε) συν60 + 2ημ230 = 1 στ) συν 2 45 + 2ημ 2 60 = 2 Θέμα 4 ο Αν ισχύει η σχέση ημ245 + εφ230 = x ˆ ημ45 ˆ συν45 ˆ εφ60, να βρείτε την τιμή του x. 43
2.5 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Θέμα 1 ο Μονόμετρο μέγεθος λέγεται... Τέτοια μεγέθη είναι... Διανυσματικό μέγεθος λέγεται.. Τέτοια μεγέθη είναι... Η παράσταση ενός διανυσματικού μεγέθους γίνεται.. Το ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο το ένα άκρο καθορίζεται ως αρχή του και το άλλο ωςπέρας λέγεται διάνυσμα. Τα χαρακτηριστικά ενός διανύσματος είναι: 1.. 2. 3.. Δυο διανύσματα είναι ίσα όταν:. Δύο διανύσματα είναι αντίθετα όταν:. Θέμα 2 ο Στο διπλανό κανονικό εξάγωνονα γράψετε διανύσματα που: α) είναι ίσα β) είναι παράλληλα γ) είναι αντίθετα δ) έχουν ίσα μέτρα. Θέμα 3 ο Στο διπλανό σχήμα να βρείτε: ίσα διανύσματα αντίθετα διανύσματα διανύσματα με ίσα μέτρα. 44
Θέμα 4 ο Δίνονται τρία σημεία Α, Β, Γ τα οποία δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. α) Πόσα διανύσματα σχηματίζουμε με αρχή το Α; β) Πόσα διανύσματα σχηματίζουμε με τα σημεία αυτά; 45
2.6 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Θέμα 1 ο Δύο ή περισσότερα διανύσματα λέγονται διαδοχικά διανύσματα όταν Άθροισμα των διαδοχικών διανυσμάτων ΑΒ και ΓΔ ονομάζεται το διάνυσμα.. Για να προσθέσουμε μη διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα. Μηδενικό ονομάζω το διάνυσμα Διαφορά του διανύσματος α από το διάνυσμα β ορίζεται ως... Θέμα 2 ο Δίνονται τα διανύσματα του παρακάτω σχήματος. Να σχεδιάσετε τα διανύσματα. Θέμα 3 ο Στο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ του διπλανού σχήματος το Ο είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του. Να βρείτε τα διανύσματα: 46
2.7 ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΥΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΙΣ Θέμα 1ο Για να αναλύσουμε ένα διάνυσμα σε δύο κάθετες συνιστώσες κάνουμε τα εξής: Θέμα 2 ο Να αναλύσετε τα παρακάτω διανύσματα σε άθροισμα δύο κάθετων συνιστωσών. Θέμα 3 ο Σε μία σήραγγα ενός ορυχείου το βαγόνι μεταφοράς υλικού σύρεται σε ράγες που σχηματίζουν με το οριζόντιο έδαφος γωνία 45. Το βαγόνι ζυγίζει3000ν γεμάτο. Να βρείτε πόση δύναμη ασκεί το συρματόσκοινο στο βαγόνιγια να κινείται με σταθερή ταχύτητα προς τα πάνω. 47
Θέμα 4 ο Ένας ελαιοχρωματιστής για να βάψει το ταβάνι ενός σπιτιού ανέβηκε σε μία ξύλινη σκάλα όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Αν το βάρος του ελαιοχρωματιστή είναι 500Ν, να βρείτε ποιό είναι το μέτρο της δύναμης που δέχεται κάθε πλευρά της σκάλας από το βάρος του ελαιοχρωματιστή. 48
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ 2 0Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 Ο α)να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. β)να συμπληρώσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών. ΘΕΜΑ 2 Ο Στο παρακάτω σχήμα να υπολογίσετε: α)την πλευρά ΑΒ. β)την πλευρά ΑΓ. γ)το εμβαδόν του τριγώνου. 49
ΘΕΜΑ 3 Ο Δίνεται ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι 24 και η ΒΓ=8.Να βρείτε τις ΒΔ,ΑΒ,ΕΖ ΘΕΜΑ 4 Ο Στο παρακάτω σχήμα είναι Α=90 Ο,ΒΓ=8 και ΒΔΓ=135 Ο. Να υπολογίσετε: α)τις γωνίες φ,ω και θ. β)τις πλευρές ΑΒ,ΑΓ και ΒΔ. 50
ΘΕΜΑ 5 Ο Στο παρακάτω τραπέζιο, να υπολογίσετε: α)το ύψος του τραπεζίου. β)το μήκος της πλευράς ΒΓ. γ)το μήκος της μεγάλης βάσης ΔΓ. δ)το εμβαδόν του τραπεζίου. ΘΕΜΑ 6 Ο Σε τρίγωνο ΑΒΓ δείξτε ότι + + =0 ΘΕΜΑ 7 Ο Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Κ τυχαίο σημείο. Να δειχτεί ότι + = +. ΘΕΜΑ 8 Ο Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Δ ένα σημείο τέτοιο ώστε = +. Να αποδείξετε ότι για τυχαίο σημείο Μ είναι + = +. Το κάθε θέμα υπολογίζεται σε 2,5 μονάδες 51
3.1 ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΕΣ ΓΩΝΙΕΣ Θέμα 1ο Εγγεγραμμένη γωνία στον κύκλο (Ο,ρ) λέγεται η γωνία..... Το τόξο του κύκλου (Ο,ρ) που περιέχεται στην εγγεγραμμένη γωνία λέγεται.. τηςεγγεγραμμένης γωνίας. Ακόμα, λέμε ότι η εγγεγραμμένη γωνία.στο τόξο Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούταιμε το.της επίκεντρης που έχει το ίδιο αντίστοιχο τόξο Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι.. Οι εγγεγραμμένες γωνίες ενός κύκλου που βαίνουν στο ίδιο τόξο είναι Αν δύο εγγεγραμμένες γωνίες είναι ίσες, τότε τα τόξα στα οποία βαίνουν είναι. Θέμα 2 ο Να υπολογίσετε τις γωνίες x, y και ω στα παρακάτω σχήματα. Θέμα 3 ο Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓ είναι ισόπλευρο τρίγωνο και Μ ένα σημείο του τόξου Να υπολογίσετε τη γωνία 52
Θέμα 4 ο Να υπολογίσετε τις γωνίες στο διπλανό σχήμα. 53
120 0 20 0 120 0 40 0 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ Θέμα 1ο Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν...... Η κεντρική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου είναι ίση με... Καθεμία από τις ίσες γωνίες του ν γώνου λέγεται γωνία του πολύγωνου και συμβολίζεται με φ και είναι ίση με Κατασκευή κανονικών πολυγώνων Για να κατασκευάσουμε ένα κανονικό πολύγωνο με ν πλευρές (κανονικό ν γωνο) κάνουμε τα εξής βήματα: Θέμα 2 ο Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Πλήθος πλευρών κανονικού πολυγώνου 4 5 8 12 Γωνία πολυγώνου Κεντρικήγωνία Θέμα 3 ο Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Γωνία κανονικού πολυγώνου Κεντρική γωνία Θέμα 4 ο Σε κανονικό πολύγωνο η γωνία του είναι πενταπλάσια της κεντρικής του γωνίας. Να βρείτε τον αριθμό των πλευρών του πολυγώνου. 54
Θέμα 5 ο Η κεντρική γωνία ενός κανονικού πολυγώνου είναι τα της ορθής. Ναβρείτε τον αριθμό των πλευρών του πολυγώνου. Θέμα 6 ο Να κατασκευάσετε κανονικό δεκάγωνο. 55
3.3 ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ Θέμα 1ο Ο λόγος του μήκους L ενός κύκλου (ο,ρ) προς τη διάμετρο του δ είναι σταθερός και συμβολίζεται με το Ελληνικό γράμμα π. Μήκος κύκλου: L =. ή L=. Το μήκος ενός κύκλου ονομάζεται και.του κύκλου Θέμα 2 ο Να βρείτε το μήκος κύκλου με διάμετρο 18cm. Θέμα 3 ο Αν το μήκος ενός κύκλου είναι 81,64 cm, να βρείτε την ακτίνα του κύκλου. Θέμα 4 ο Οι περίμετροι δύο κύκλων έχουν διαφορά 26cm. Να βρείτε πόσο διαφέρουν οι ακτίνες των κύκλων. Θέμα 5 ο Οι διάμετροι δύο κύκλων έχουν διαφορά κατά 8cm. Να βρείτε πόσο διαφέρουν: α) οι ακτίνες τους β) οι περίμετροί τους. Θέμα 6 ο Οι τροχοί ενός αυτοκινήτου έχουν διάμετρο 68cm και έκαναν 3.500 στροφές. Να υπολογίσετε πόση απόσταση διάνυσε το αυτοκίνητο. Θέμα 7 ο Στο διπλανό σχήμα η ΑΒ είναι διάμετρος ΜΑ = 12cm και ΜΒ = 16cm. Να βρείτε το μήκος του κύκλου. 56
3.4 ΜHΚΟΣ ΤOΞΟΥ Θέμα 1 ο Το μήκος L ενός τόξου μ ενός κύκλου με ακτίνα ρ ισούται:.. Το ακτίνιο ή radείναι μονάδα μέτρησης τόξων ενός κύκλου και ισούται.. Αν ένα τόξο είναι μ και συγχρόνως α rad, τότε ισχύει η σχέση:.. Θέμα 2 ο Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: (25μονάδες) Τόξο σε μοίρες Τόξο σε ακτίνια 45 75 330 π/12 4π/15 5π/4 Θέμα 3 ο Σε έναν κύκλο με μήκος 50,24cm να βρείτε: α) την ακτίνα του β) το μήκος τόξου 90 Θέμα 4 ο Να συμπληρώσετε τον πίνακα: Ακτίνα ρ 4cm 5m Τόξοσεμοίρες 30 0 270 0 Τόξοσε ακτίνια π/4 Μήκοςτόξου L 6π cm Θέμα 5 ο Να βρείτε το μήκος του τόξου που αντιστοιχεί στην πλευρά ισόπλευρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας 30cm. Θέμα 6 ο Ένα τόξο 40 έχει μήκος 8,37m. Nα βρείτε την ακτίνα του κύκλου. 57
3.5 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ Θέμα 1ο Το εμβαδόν κυκλικού δίσκου ή το εμβαδόν κύκλου ακτίνας ρ, ισούται με Θέμα 2ο Να υπολογίσετε το μήκος ενός κύκλου που έχει εμβαδόν 1256 cm2. Θέμα 3ο Υπολογίσετε το εμβαδόν ενός κύκλου που έχει μήκος 81,64m. Θέμα 4ο Ένας κύκλος (Ο,ρ) έχει ακτίνα ρ = 3 cm. Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου που έχει οκταπλάσια επιφάνεια από τον κύκλο (Ο,ρ). Θέμα 5ο Να υπολογίσετε το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου που φαίνεται στοδιπλανό σχήμα. 58
Θέμα 6ο Στο διπλανό σχήμα να υπολογίσετε το μήκος και το εμβαδόν του κύκλου. (ΜΑ=4 cm και ΜΒ= 3 cm) 59
3.6 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ Θέμα 1 ο Το εμβαδόν κυκλικού τομέα κύκλου ακτίνας ρ γωνίας μ, ισούται με Αν το τόξο είναι μετρημένο σε ακτίνια τότε ο τύπος είναι.. Θέμα 2 ο Ένας κυκλικός τομέας έχει εμβαδόν ίσο με 1/10 του εμβαδού του κύκλου. Να βρείτε τη γωνία του κυκλικού τομέα. Θέμα 3 ο Το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα 120 είναι 84,78cm2. Να υπολογίσετε την ακτίνα ρ του κύκλου και την ακτίνα του αντίστοιχου τόξου. Θέμα 4 ο Το εμβαδόν ενός κυκλικού δίσκου είναι 1519,76cm2. Να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα γωνίας 72. Θέμα 5 ο Το μήκος ενός τόξου 30 ενός κύκλου είναι L =2π/3. Να υπολογίσετε την ακτίνα του κύκλου και το εμβαδόν του αντίστοιχου κυκλικού τομέα. Θέμα 6 ο Σε έναν κύκλο με ακτίνα 12 cm να πάρετεένα τόξο 60. Nα υπολογίσετε: α) Το εμβαδόν του κυκλικού τομέααοβ = β) Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΟΒ γ) Το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος τ. 60
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ 3 0Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ:: ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο Να απαντήσετε τα παρακάτω: α)ποια γωνία ονομάζεται εγγεγραμμένη και ποιες οι ιδιότητες των εγγεγραμμένων γωνιών. β)ποια πολύγωνα ονομάζονται κανονικά; Από ποιόν τύπο υπολογίζεται η κεντρική γωνία ω του ν-γωνου και από ποιόν τύπο η γωνία φ; ΘΕΜΑ 2 Ο Στο παρακάτω σχήμα να υπολογίσετε τις γωνίες x,y,ρ,ω ΘΕΜΑ 3 Ο Στο παρακάτω σχήμα είναι ΑΒ=6cm και ΑΓ=8cm. α)να υπολογίσετε τη γωνία Α. β)να υπολογίσετε την πλευρά ΒΓ. γ)να υπολογίσετε το μήκος του κύκλου. δ)να υπολογίσετε το εμβαδόν του κύκλου. 61
ΘΕΜΑ 4 Ο Στον παρακάτω κύκλο η ακτίνα είναι ρ=2cm. Nα βρείτε α)το μήκος των τόξων,,γδ, ΔΑ β)το εμβαδόν των κυκλικών τομέων (ΟΑΒ), (ΟΒΓ), (ΟΓΔ), (ΟΑΔ) ΘΕΜΑ 5 Ο Στο παρακάτω σχήμα η ακτίνα του κύκλου είναι ρ=5cm και η πλευρά ΑΒ=6cm. Nα υπολογίσετε: α)το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου. β)το μήκος του τόξου ΑΒ. γ)το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου.. Το κάθε θέμα υπολογίζεται σε 20 62
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ 4 0Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Ο Να γράψετε από ποιους τύπους δίνονται τα παρακάτω: α)εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας ενός πρίσματος. β)εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας ενός κυλίνδρου. γ)όγκος κυλίνδρου. δ)όγκος πρίσματος. ε)εμβαδόν πυραμίδας. ζ)όγκος πυραμίδας. η)όγκος κώνου. θ)εμβαδόν σφαίρας. ΘΕΜΑ 2 Ο Σε κύβο με ακμή 12cm, να υπολογίσετε: α)το ολικό εμβαδόν του κύβου. β)τον όγκο του κύβου. ΘΕΜΑ 3 Ο Ένας κύλινδρος έχει ακτίνα βάσης 3cm και εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας 30π cm 2. Nα προσδιορίσετε: α)το ύψος του κυλίνδρου. β)το ολικό εμβαδόν του κυλίνδρου. γ)τον όγκο του κυλίνδρου. ΘΕΜΑ 4 Ο Σε τετραγωνική πυραμίδα με πλευρά βάσης 12cm και ύψος 8cm, να βρείτε: α)το απόστημα της πυραμίδας. β)το ολικό εμβαδόν. γ)τον όγκο της πυραμίδας. ΘΕΜΑ 5 Ο Η επιφάνεια της σφαίρας είναι 64π cm² και το ύψος του κώνου τετραπλάσιο από την ακτίνα της σφαίρας. Αν η ακτίνα του κώνου είναι 6 cm να βρείτε τη διαφορά των όγκων τους και το εμβαδόν του κώνου. 63
64