Ασκήσεις υποδειγματικές για το θεωρητικό μέρος του μαθήματος Α1. Εξετάστε αν είναι Σωστή ή Λάθος κάθε μία από τις επόμενες προτάσεις. Εξηγείστε την απάντησή σας. 1. Σε ένα τουρνουά με 8 παίκτες μπορεί οι παίκτες να συμμετείχαν σε: 6,5,4,4,4,3,1,1 αγώνες αντίστοιχα; (Θεωρούμε τους παίκτες ως κορυφές και τη συμμετοχή του παίκτη α με τον παίκτη β σε αγώνα μια ακμή που συνδέει τις κορυφές α, β. Τότε θα έπρεπε να υπάρχει γράφημα με βαθμούς κορυφών τις συμμετοχές, δηλ. αρκεί να είναι η δοθείσα ακολουθία να είναι γραφική Αριστερά φαίνεται ο έλεγχος και παρακάτω η κατασκευή σε 4 βήματα 1ο βήμα 2o βήμα
3 ο βήμα 4 ο βήμα 2. Η ακολουθία 5, 4, 3, 2, 1 είναι γραφική. (Όχι, τρία περιττά ή βαθμός 5 σε γράφημα με 5 κορυφές) 3 3. Το γράφημα G έχει 3 κορυφές, και για τα διαγώνια στοιχεία του A, όπου A ο πίνακας 3 3 3 συνδέσεων του G ισχύει a11 + a22 + a33 ¹ 0, επομένως το γράφημα περιέχει κύκλο (από τη σχέση προκύπτει ότι κάποιο από τα διαγώνια στοιχεία του Α 3 (έστω π.χ. το ) είναι διάφορο του 0. Άρα υπάρχει περίπατος μήκους 3 που ξεκινάει από το 1 και καταλήγει στο 1, δηλαδή υπάρχει κύκλος)
4. Ο κύκλος με 5 κορυφές είναι αυτοσυμπληρωματικό γράφημα (Ναι, πάρτε το K 5 που χωρίζεται σε δύο κύκλους C 5, που είναι συμπληρωματικά γραφήματα όπως φαίνεται από τα παραπάνω σχήματα) 5. Ένα γράφημα με 40 κορυφές και 114 ακμές δεν μπορεί να είναι επίπεδο (Όχι, αφού στα επίπεδα γραφήματα ισχύει 3 6. Αλλά 114 3 40 6 και επομένως δεν αποκλείεται να είναι επίπεδο) 6. Κάθε δένδρο 10 κορυφών έχει ακριβώς 9 γέφυρες και τουλάχιστον μια τομή (Ναι, Είναι φανερό ότι κάθε ακμή ενώνει δύο κορυφές που δεν ενώνονται με άλλο μονοπάτι διότι τότε θα υπήρχε κύκλος και άρα δεν θα ήταν δέντρο. Άρα κάθε ακμή είναι γέφυρα. Επίσης υπάρχουν 9 (γενικά p 1) ακμές, άρα το δέντρο 10 κορυφών έχει 9 γέφυρες. Αφού υπάρχει γέφυρα υπάρχουν σημεία τομής (μία τουλάχιστον από τις κορυφές της γέφυρας). Υπάρχει δέντρο με ένα μόνο σημείο τομής, είναι το αστέρι δηλαδή μία κορυφή που συνδέεται με τις υπόλοιπες κορυφές) 7. Το μοντέλο των Watts Strogatz μειώνει τη μέση απόσταση μεταξύ των κορυφών αλλά έχει πολύ μικρή επίδραση στον συντελεστή συσταδοποίησης (ΝΑΙ. Μπορεί να αποδειχθεί (ας το αποδείξει κάποιος και να μου το στείλει) ότι για ένα κανονικό γράφημα W(n, k, 0) του μοντέλου Watts Strogatz (δηλαδή n κορυφές με k (άρτιο) πλήθος γειτόνων, ο συνολικός συντελεστής συσταδοποίησης (clustering) δίνεται από τη σχέση, ενώ για αυτό που προκύπτει με τη μέθοδο των Watts Strogatz και πιθανότητα p που συμβολίζεται W(n, k, p) δίνεται από τη σχέση 1. Επειδή το p είναι συνήθως μικρό η νέα τιμή του συντελεστή συσταδοποίησης μειώνεται λίγο. Αντίθετα η μέση απόσταση μεταξύ των κορυφών στο W(n, k, 0) είναι που γίνεται 0.5 στο W(n, k, p), κάτι που σημαίνει ότι μειώνεται αρκετά, ειδικά όσο αυξάνεται η τιμή του p.) Σχετικό το γράφημα (το πρώτο είναι το W(24,4,0), το δεύτερο W(24,4,p), το τρίτο W(24,4,1))
Η καμπύλη με τις μαύρες τελείες είναι του μέσου μήκους μονοπατιών, ενώ με τις άδειες τελείες του συντελεστή συσταδοποίησης 8. Τα παρακάτω γραφήματα είναι ισχυρά συνδετικά (ΟΧΙ. Το πρώτο είναι διότι οι κορυφές που σχηματίζουν τρίγωνο επικοινωνούν κυκλικά μεταξύ τους, άρα από κάθε μία πηγαίνουμε σε οποιαδήποτε άλλη. Το ίδιο γίνεται για το τετράπλευρο. Τώρα από οποιαδήποτε κορυφή φτάνουμε στην κάτω κοινή κορυφή και άρα οπουδήποτε και αντίστροφα. Το δεύτερο δεν είναι ισχυρά συνδετικό, διότι από την άνω κορυφή δεν πάμε πουθενά. Το δεύτερο είναι μονόδρομα συνδετικό)
Α2. Δίνεται ο πίνακας συνδέσεων Α του γραφήματος G. é0 1 1 0 0ù 1 0 1 0 0 A = 1 1 0 1 0. 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 êë úû Αφού κάνετε την αναπαράσταση του G στο επίπεδο, να απαντήσετε στις επόμενες ερωτήσεις. (α) Βρείτε τις εκκεντρότητες των κορυφών. (β) Βρείτε το/τα κέντρα του G. (γ) Υπολογίστε τη διάμετρο και παρουσιάστε ένα μονοπάτι με μήκος ίσο με αυτό της διαμέτρου. (δ) Υπολογίστε την ακτίνα και επαληθεύστε για το G τη σχέση rad G d G 2 rad G. ( ) ( ) ( ) (ε) Παρουσιάστε το γραμμογράφημα του G. Γράφημα α) 3, 3, 2, 2, 3 (για τις κορυφές 1,2,3,4,5) β) Κέντρο {3, 4} γ) Διάμετρος 3. Π.χ. μονοπάτι 1-3-4-5 (μήκους 3) δ) ακτίνα 2 (η μικρότερη εκκεντρότητα), Διάμετρος 3, άρα ισχύει 2 4 2, δηλαδή εδώ οι ανισο-ισότητες ισχύουν ως αυστηρές ανισότητες ε) γραμμογράφημα
Α3. (α) Δίπλα δίνεται το γράφημα 5,7. Να σημάνετε τις κορυφές του και να βρείτε: το χρωματικό αριθμό, τον αριθμό ανεξαρτησίας τον αριθμό κλίκας και τον αριθμό κλίκας όπου το συμπληρωματικό του. α) χρώματα 1, 2,3, 3, 1 άρα 3, Τα ανεξάρτητα σύνολα κορυφών είναι τα (Α,Ε} και {Β, Ε}, {Γ, Δ} άρα 2. Επειδή υπάρχει υπογράφημα ίσο με το, άρα 3. Το δεύτερο σχήμα είναι το συμπληρωματικό οπότε βρίσκουμε 2 α, και 3 ω (αφού στο συμπληρωματικό τα ανεξάρτητα σύνολα κορυφών είναι τα {Α, Β, Γ}, {Α, Β, Δ}, {Γ, Ε}, {Δ, Ε}. (β) Να χρωματίσετε τις κορυφές του, σύμφωνα με το χρωματικό αριθμό που βρήκατε και να παρουσιάσετε μια διαμέριση του συνόλου των κορυφών του σε ανεξάρτητα μεταξύ τους σύνολα (καταγράψτε τα σύνολα). β) Χρώματα στις κορυφές Α, Β, Γ, Δ, Ε μπορεί να είναι τα 1,2,3,3,1 Η διαμέριση μπορεί να είναι,,, που αντιστοιχεί στο χρωματισμό που δώσαμε. Από το {Β,Ε} πήραμε μόνο το {Β}, αφού το Ε είχε χρησιμοποιηθεί. (θυμηθείτε η ένωση των ανεξάρτητων συνόλων πρέπει να έχει ένωση το σύνολο V δεν είναι αναγκαστικά ξένα. Θα μπορούσαμε να κάνουμε άλλη διαμέριση π. χ.,, που δίνει το χρωματισμό 1, 2, 3, 3, 2 (γ) Με τη βοήθεια των ερωτημάτων (α) και (β) να δείξετε ότι για ένα οποιοδήποτε γράφημα,, με χρωματικό αριθμό, και αριθμό ανεξαρτησίας, θα ισχύει, δηλαδή /. γ) Παρατηρούμε ότι ο χρωματικός αριθμός χ είναι όσα τα σύνολα της διαμέρισης και κάθε σύνολο της διαμέρισης περιέχει το πολύ α κορυφές, άρα το γινόμενο των δύο αυτών αριθμών θα είναι μεγαλύτερο του n. ΟΕΔ
Α.4 Το δίκτυο αναπαριστά την ύπαρξη ή όχι επαγγελματικής σχέσης στο τμήμα μιας εταιρείας όπου οι c, d είναι προϊστάμενοι των a,b και e, f αντίστοιχα. 1 Βρείτε τις κορυφές (nodes) που αποτελούν τομές (cutvertices). ({c, d}) 2 Βρείτε τις ακμές (links) που αποτελούν γέφυρες (bridges). ({c,d}, {d,e}, {d,f} ) 3 Ποιο από τα δυο υπογραφήματα (subgraphs) αποτελεί 2 συνιστώσα (bi component). 3.1.Το υπογράφημα με κορυφές:,, 3.2. Το υπογράφημα με κορυφές:,,. ( To υπογράφημα με κορυφές:,,, Το e,d,f, δεν είναι αφού περιέχει σημείο τομής) 4 Βρείτε το κέντρο (center) του. ( Εκκεντρότητες των a,b,c,d,e,f είναι 3,3,2,2,3,3. Άρα κέντρο ={c,d}) 5 Συμπληρώστε τον πίνακα: Node c Node d Node b Degree centrality =3/5 =3/5 =2/5 Closeness centrality =5/7 =5/7 =1/2 Clustering coefficient =0.333 =0 =1 Εξήγηση: Ο βαθμός του c είναι 3, οι κορυφές 6 άρα βαθμική κεντρικότητα βαθμός/(n 1)=3/5 Για την κεντρικότητα εγγύτητας: στο c μετράμε τις αποστάσεις από τα a,b,d,e,f που είναι 1,1,1,2,2 και έχουν άθροισμα 7, δηλ. 7/(n 1)=7/5. Αντιστρέφοντας βγαίνει 5/7. Στο b οι αποστάσεις είναι 1, 1, 2, 3, 3 με άθροισμα 10, άρα 10/(n 1)=10/5. Αντιστρέφοντας βγαίνει 1/2. Για το συντελεστή σύμπλεξης (clustering): Για το c έχουμε 3 γείτονες με 3 το πολύ μεταξύ τους συνδέσεις. Όμως υπάρχει μόνο 1, άρα 1/3, ενώ για το b υπάρχουν δύο γείτονες με 1 το πολύ σύνδεση που την έχουν άρα 1/1=1. Το d έχει τρεις γείτονες με 3 το πολύ συνδέσεις αλλά δεν υπάρχει καμία. Άρα 0. (παρατηρήστε ότι το b έχει μικρότερη βαθμική κεντρικότητα από το c. Επίσης μικρότερη κεντρικότητα εγγύτητας, όμως έχει μεγαλύτερο συντελεστή σύμπλεξης) 6. Ποιος ο δείκτης σύμπλεξης και ποιος ο λόγος μεταβατικότητας του G; Οι συντελεστές σύμπλεξης των 6 κορυφών a,b,,f είναι 1,1,1/3,0,0,0 άρα C(G)=7/18. Ο λόγος μεταβατικότητας είναι T(G)=3/8 (αφού υπάρχει 1 τρίγωνο δηλαδή 3 μεταβατικές τριάδες και 8 δυνατές τριάδες (cab, abc, acb, acd, bcd, cde, cdf, edf)
Αλλιώς: v τ(v) ρ(v) C(v) a 1 1 1 b 1 1 1 c 1 3 1/3 d 0 3 0 e 0 0 0 f 0 0 0 άθροισμα 3 8 7/3 C(G)=(7/3)/6=7/18 T(G)=3/8 7 Αν επρόκειτο να εργαστείτε σε αυτό το τμήμα της εταιρίας και είχατε τη δυνατότητα να επιλέξετε προϊστάμενο ποιον θα επιλέγατε και γιατί (η ερώτηση δεν έχει σωστή και λάθος απάντηση, ζητάμε να υποστηρίξετε τη γνώμη σας με αυτά που έχετε υπολογίσει από το γράφημα). (τον c γιατί από αυτούς που έχουν μεγάλη βαθμική κεντρικότητα (c,d) ο c έχει μεγαλύτερο βαθμό σύμπλεξης)