Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1

Στατιστική είαι ο κλάδος τω μαθηματικώ, ο οποίος ως έργο έχει τη συγκέτρωση στοιχείω, τη ταξιόμησή τους και τη παρουσίασή τους σε κατάλληλη μορφή, ώστε α μπορού α ααλυθού και α ερμηευθού για τη εξυπηρέτηση διαφόρω σκοπώ. Πληθυσμός είαι το σύολο τω ατικειμέω (έμψυχω ή άψυχω) για τα οποία συλλέγοται στοιχεία. Άτομο οομάζεται κάθε στοιχείο εός πληθυσμού ή εός δείγματος. Δείγμα είαι έα μέρος (υποσύολο) του πληθυσμού, που είαι ατιπροσωπευτικό του πληθυσμού και από τη εξέταση του οποίου βγάζουμε συμπεράσματα για ολόκληρο το πληθυσμό. Δειγματοληψία είαι η εξέταση εός δείγματος, κάποιου πληθυσμού. Μέγεθος ( ) εός πληθυσμού (ή εός δείγματος) οομάζεται το πλήθος τω ατόμω του.

Μεταβλητή είαι το χαρακτηριστικό εός πληθυσμού, ως προς το οποίο αυτός εξετάζεται. Οι μεταβλητές διακρίοται στις εξής κατηγορίες: Ποσοτικές μεταβλητές είαι εκείες που μπορού α μετρηθού, πχ. ύψος, μισθός, ώρες εργασίας, τιμή, κλπ. Ποιοτικές μεταβλητές είαι εκείες που δε επιδέχοται μέτρηση, πχ. χρώμα ματιώ, μόρφωση, θρήσκευμα, κλπ. Διακριτές μεταβλητές Συεχείς μεταβλητές είαι εκείες, στις οποίες κάθε άτομο του πληθυσμού μπορεί α πάρει μόο διακεκριμέες τιμές, πχ. αριθμός παιδιώ, μέρες διακοπώ, κλπ. είαι εκείες, στις οποίες κάθε άτομο του πληθυσμού μπορεί α πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή, που αήκει σε διάστημα (ή έωση διαστημάτω) πραγματικώ αριθμώ, πχ. ύψος, βάρος, κλπ. 3

Συχότητα ( i ) της τιμής μιας μεταβλητής X οομάζεται το πλήθος τω ατόμω του πληθυσμού (ή του δείγματος) για τα οποία η μεταβλητή παίρει τη τιμή και συμβολίζεται με i. Προφαώς, α η μεταβλητή Χ παρουσιάζει κ διαφορετικές τιμές με ατίστοιχες συχότητες i, τότε: = 1 + +... + κ Σχετική συχότητα ( fi ) της τιμής μιας μεταβλητής Χ οομάζεται ο λόγος της συχότητας προς το μέγεθος του δείγματος και συμβολίζεται με f i. f i = v i Ισχύει ότι: f 1 + f +... + f κ = 1 ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Α η τιμή f i είαι γωστή και χρειάζεται α τη συμπληρώσουμε στο τύπο (γιατί πχ. ααζητούμε κάποιο απ τα i ή ) τότε ΔΕΝ χρησιμοποιούμε τη τιμή επί τοις εκατό (%), αλλά το δεκαδικό αριθμό < 1 που βρίσκεται στη στήλη f i. Α η τελευταία δε υπάρχει, τότε διαιρούμε απλώς τη τιμή της στήλης % με το 100. Αθροιστική συχότητα ( Ni ) της τιμής μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ λέγεται το άθροισμα τω συχοτήτω i τω τιμώ που είαι μικρότερες ή ίσες με τη τιμή αυτή. Σχετική αθροιστική συχότητα ( Fi ) της τιμής μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ λέγεται το άθροισμα τω σχετικώ συχοτήτω f i τω τιμώ που είαι μικρότερες ή ίσες με τη τιμή αυτή. Ισχύει επίσης ότι: F i = N i 4

Επικρατούσα τιμή (Mo) μιας μεταβλητής οομάζεται η τιμή με τη μεγαλύτερη συχότητα. Α δύο ή περισσότερες τιμές έχου τη μέγιστη συχότητα τότε υπάρχου περισσότερες από μία επικρατούσες τιμές. Μέση τιμή ( X ) διαφόρω τιμώ είαι το πηλίκο του αθροίσματος τω τιμώ προς το πλήθος τους. X = i= 1 x i = x 1 + x +... + x Α οι μεταβλητές είαι ταξιομημέες σε πίακα συχοτήτω, τότε καταλληλότερος είαι ο παρακάτω τύπος: X = i= 1 x i i = v 1 x 1 + v x +... + v x Διάμεσος (δ) εός δείγματος παρατηρήσεω που έχου διαταχθεί σε αύξουσα σειρά οομάζεται: Η μεσαία παρατήρηση α το πλήθος τω παρατηρήσεω είαι περιττό. πχ. x 1 x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 Το ημιάθροισμα τω μεσαίω παρατηρήσεω α το πλήθος τω παρατηρήσεω είαι άρτιο. πχ. x 1 x x 3 x 4 x 5 x 6 x 3 x 4 δ = + 5

Εύρος τω τιμώ μιας μεταβλητής είαι η διαφορά της μικρότερης τιμής από τη μεγαλύτερη. R = x max x min Διακύμαση ( s ) μιας μεταβλητής Χ που παίρει το πλήθος τιμές x 1, x,, x με μέση τιμή X οομάζεται το πηλίκο: s (X ) i= 1 1 ) +... + = (X - x = + (X - x ) (X - x ) Α οι μεταβλητές είαι ταξιομημέες σε πίακα συχοτήτω, τότε καταλληλότερος είαι ο παρακάτω τύπος: s i (X ) i= 1 1(X - x 1 ) +... + = = + (X - x ) κ (X - x κ ) Τυπική απόκλιση ( s ) μιας μεταβλητής Χ που παίρει το πλήθος τιμές t 1, t,, t με μέση τιμή X οομάζεται το: s = 1 1 ) + (X - x ) +... + (X - x κ (X - x κ ) Με άλλα λόγια, η τυπική απόκλιση είαι η τετραγωική ρίζα της διακύμασης: s = s 6

Συτελεστής μεταβολής ή μεταβλητότητας ( CV ) μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ που παρουσιάζει μέση τιμή X και τυπική απόκλιση s οομάζεται το πηλίκο: s Τυπική απόκλιση CV = 100% = X Μέση τιμή Α CV < 10% τότε λέμε ότι ο πληθυσμός (ή το δείγμα) είαι ομοιογεής. Α CV 10% τότε λέμε ότι ο πληθυσμός (ή το δείγμα) είαι αομοιογεής. 7

Η απλούστερη άσκηση είαι α μας δίου έα σύολο δεδομέω, συήθως αριθμητικές μετρήσεις κάποιου μεγέθους, και α μας ζητού α φτιάξουμε έα πίακα συχοτήτω. Παρακάτω θα δούμε, καταρχάς, πώς κατασκευάζεται έας τέτοιος πίακας και, κατά δεύτερο λόγο, τι είδους ερωτήσεις μας βοηθάει αυτός απατήσουμε. Ας υποθέσουμε ότι τα παρακάτω δεδομέα δίου τις μέσες θερμοκρασίες μιας πόλης, κατά τη διάρκεια 0 ημερώ: 15 15 18 17 19 10 17 16 14 17 18 19 16 15 17 18 15 14 16 17 Στόχος μας είαι α παρουσιάσουμε τα δεδομέα σε έα πίακα συχοτήτω, στο οποίο α περιλαμβάοται επιπλέο οι σχετικές συχότητες, οι αθροιστικές συχότητες και οι σχετικές αθροιστικές συχότητες. Πίακας συχοτήτω Τιμές Συχότητα i 10 1 Μετράμε πόσες φορές εμφαίζεται ο αριθμός 10 14 Μετράμε πόσες φορές εμφαίζεται ο αριθμός 14 15 4 Μετράμε πόσες φορές εμφαίζεται ο αριθμός 15 16 3 Μετράμε πόσες φορές εμφαίζεται ο αριθμός 16 17 5 Μετράμε πόσες φορές εμφαίζεται ο αριθμός 17 18 3 Μετράμε πόσες φορές εμφαίζεται ο αριθμός 18 19 Μετράμε πόσες φορές εμφαίζεται ο αριθμός 19 Σύολο 0 Προφαώς, το άθροισμα όλω τω συχοτήτω μας δίει το μέγεθος () του δείγματος. Σχετική συχότητα Για α συμπληρώσουμε τη στήλη τω σχετικώ συχοτήτω, γεικά, εφαρμόζουμε το τύπο που είαι γωστός από τη θεωρία, έτσι: v 1 = 1 v v f1 = = 0,05 = 3 4 f = = 0, 10 f 3 = = = 0, 0 κλπ... 0 0 0 8

Τιμές Συχότητα i Σχετική συχότητα f i 10 1 0,05 f 1 = 1 / = 1 / 0 = 0,05 14 0,10 f = / = / 0 = 0,05 15 4 0,0 f 3 = 3 / = 4 / 0 = 0,05 16 3 0,15 f 4 = 4 / = 3 / 0 = 0,05 17 5 0,5 f 5 = 5 / = 5 / 0 = 0,05 18 3 0,15 f 6 = 6 / = 3 / 0 = 0,05 19 0,10 f 7 = 7 / = / 0 = 0,05 Σύολο 0 1 Συήθως, διευκολύει ιδιαίτερα τη αάλυσή μας α στο πίακα προσθέσουμε και μια στήλη επιπλέο, με τη σχετική συχότητα επί τοις εκατό (%). Ο πίακας τότε γίεται: Τιμές Συχότητα i Σχετική συχότητα f i f i (%) 10 1 0,05 5 = f 1 100 14 0,10 10 = f 100 15 4 0,0 0 = f 3 100 16 3 0,15 15 = f 4 100 17 5 0,5 5 = f 5 100 18 3 0,15 15 = f 6 100 19 0,10 10 = f 7 100 Σύολο 0 1 100 Πρακτικός τρόπος Πολύ συχά αλλά μόο α είαι βολικό το σύολο χωράει ακριβώς, έστω κ φορές, στο αριθμό 100, πχ. το 0 χωράει στο 100 ακριβώς 5 φορές. Τότε μπορούμε α συμπληρώσουμε, εξαιρετικά εύκολα τη στήλη fi (%) πολλαπλασιάζοτας κατευθεία κάθε συχότητα i με το αριθμό κ. Στη συέχεια, η συμπλήρωση της στήλης f i γίεται παιχιδάκι, διαιρώτας απλώς με το 100, κάθε τιμή της fi (%). i f i (%) f i 10 1 5 5 : 100 0,05 14 5 10 : 100 0,10 15 4 5 0 : 100 0,0 16 3 5 15 : 100 0,15 17 5 5 5 : 100 0,5 18 3 5 15 : 100 0,15 19 5 10 : 100 0,10 Σύολο 0 5 100 1 9

Αθροιστική συχότητα Α φτιάξουμε μια έα στήλη, όπου κάθε σειρά της θα αποτελείται από τα αθροίσματα όλω τω προηγούμεω συχοτήτω, μέχρι και τη σειρά αυτή, τότε θα έχουμε φτιάξει τη στήλη τω αθροιστικώ συχοτήτω. Τιμές Συχότητα i Ν i 10 1 1 Ν 1 = 1 14 3 Ν = 1+ = 3 15 4 7 Ν 3 = 1++4 = 7 16 3 10 Ν 4 = 1++4+3 = 10 17 5 15 Ν 5 = 1++4+3+5 = 15 18 3 18 Ν 6 = 1++4+3+5+3 = 18 19 0 Ν 7 = 1++4+3+5+3+ = 0 Σύολο 0 Εαλλακτικά, μπορούμε α σκεφτούμε και ως εξής: Συχότητα i Αθροιστική Συχότητα Ni 1 1 3 4 7 3 10 5 15 3 18 0 Αθροιστική σχετική συχότητα Όπως ακριβώς υπολογίζουμε τα διάφορα N i με βάση τα i, με ετελώς αάλογο τρόπο υπολογίζουμε τη στήλη F i με βάση τα f i. Συήθως, συμπληρώουμε με μια επιπλέο στήλη F i (%), δηλαδή με το ποσοστό επί τοις εκατό της F i. Έτσι τελικά, ο ολοκληρωμέος πίακας συχοτήτω έχει ως εξής: 10

Τιμές Συχότητ α i Σχετική συχότητα f i f i % Αθροιστική συχότητα Ν i Αθροιστική σχετική συχότητα F i 10 1 0,05 5,00 1 0,05 5,00 14 0,10 10,00 3 0,15 15,00 15 4 0,0 0,00 7 0,35 35,00 16 3 0,15 15,00 10 0,50 50,00 17 5 0,5 5,00 15 0,75 75,00 18 3 0,15 15,00 18 0,90 90,00 19 0,10 10,00 0 1 100 Σύολο 0 1 100 F i % 11

Η κατασκευή του πίακα συχοτήτω μας βοηθάει α απατούμε εύκολα σε μια σειρά από τυπικά ερωτήματα τω παρακάτω τύπω: Συχότητα Ατίστοιχη μαθηματική σχέση ίση με κ = κ μικρότερη / λιγότερη / κάτω από κ < κ το πολύ / έως και κ κ τουλάχιστο κ κ μεγαλύτερη / περισσότερη / πάω από κ > κ από κ έως και λ κ... λ Με βάση το προηγούμεο παράδειγμα, λοιπό, μπορούμε α απατήσουμε σε ερωτήσεις, όπως «Να βρεθεί πόσες μέρες η μέση θερμοκρασία ήτα...» α. ίση με 15 βαθμούς. β. μικρότερη από 15 βαθμούς. γ. το πολύ 16 βαθμούς. δ. τουλάχιστο 17 βαθμούς. ε. μεγαλύτερη από 17 βαθμούς. στ. μεταξύ 15 και 17 βαθμώ (περιλαμβαομέω). ζ. ζυγός αριθμός. η. η υψηλότερη. Λύσεις με τη βοήθεια της στήλης τω απλώ συχοτήτω (α προτιμάται) α. Πηγαίουμε απευθείας στη στήλη τω 15 βαθμώ. Η συχότητά της είαι = 4. β. Σημαίει 10 ή 14 βαθμούς, άρα αθροίζουμε τις ατίστοιχες συχότητες. Θα είαι = 1 + = 3. γ. Σημαίει έως και 16 βαθμούς. Αθροίζοτας τις ατίστοιχες συχότητες βρίσκουμε = 1 + + 4 + 3 = 10. δ. Σημαίει από 17 βαθμούς και πάω, άρα = 5 + 3 + = 10. ε. Ότι και το δ αλλά οι 17 βαθμοί δε περιλαμβάοται, δηλαδή = 3 + = 5. στ. Αθροίζουμε τις κατάλληλες συχότητες. Θα είαι = 4 + 3 + 5 = 1. ζ. Μιλάμε για τις θερμοκρασίες τω 10, 14, 16 και 18 βαθμώ. Από τις ατίστοιχες συχότητες βρίσκουμε = 1 + + 3 + 3 = 9. η. Η υψηλότερη θερμοκρασία είαι εκείη τω 19 βαθμώ, άρα =. 1

Λύσεις με τη βοήθεια της στήλης τω αθροιστικώ συχοτήτω Η αθροιστική συχότητα, επειδή συγκετρώει τη πληροφορία από όλες τις προηγούμεες τιμές, απατάει άμεσα σε ερωτήσεις του τύπου «το πολύ μέχρι». Για κάθε άλλη περίπτωση χρειάζοται κατάλληλοι υπολογισμοί. α. Από τη αθροιστική συχότητα τω 15 βαθμώ αφαιρούμε τις συχότητες που αφορού σε μικρότερες θερμοκρασίες, δηλαδή τη προηγούμεη αθροιστική. Άρα = Ν(15) Ν(14) = 7 3 = 4. β. Μικρότερη από 15 βαθμούς σημαίει έως και 14, άρα = Ν(14) = 3. γ. Απευθείας = Ν(16) =10. δ. Εδώ σκεφτόμαστε λίγο διαφορετικά. Από το σύολο αφαιρούμε όλες εκείες τις θερμοκρασίες που δε πληρού τις προϋποθέσεις, δηλαδή κάτω από 17 βαθμούς. Τελικά = 0 Ν(16) = 0 10 = 10. ε. Ααλόγως, από το σύολο αφαιρούμε τις θερμοκρασίες από 17 και κάτω. Άρα = 0 Ν(17) = 0 15 = 5. στ. Από τη αθροιστική συχότητα τω 17 βαθμώ αφαιρούμε τις θερμοκρασίες που είαι κάτω κι από 15, άρα = Ν(17) Ν(14) = 15 3 = 1. Οι τελευταίες ερωτήσεις δε είαι δυατό α απατηθού με τη βοήθεια της αθροιστικής συχότητας. Μετατροπή της στήλης τω αθροιστικώ συχοτήτω σε απλές Α δίεται μόο η στήλη τω N i και η λογική της φατάζει δυσόητη, τότε χωρίς πολύ κόπο μπορούμε από αυτή α υπολογίσουμε τη στήλη τω απλώ i κι έτσι α δουλέψουμε σύμφωα με το πρώτο τρόπο, που είαι ιδιαίτερα απλός. Το μόο που έχουμε α κάουμε είαι σε κάθε σειρά α αφαιρούμε το ατίστοιχο N i από εκείο της προηγούμεης σειράς. Προφαώς, ξεκιάμε από τη η σειρά, εφόσο ο πρώτος αριθμός παραμέει ο ίδιος. Τιμές Ν i Συχότητα i 10 1 1 14 3 3 1 = 15 7 7 3 = 4 16 10 10 7 = 3 17 15 15 10 = 5 18 18 18 15 = 3 19 0 0 18 = Σύολο 0 13

Σε άλλες ασκήσεις ζητείται α συμπληρωθεί έας πίακας συχοτήτω, ο οποίος μπορεί α περιέχει ελάχιστα μόο στοιχεία. Αυτό που πρέπει α καταοήσουμε είαι πως τα δεδομέα όσο λίγα κι α είαι, σίγουρα είαι όσα χρειαζόμαστε. Το μόο που χρειάζεται είαι α αακαλύψουμε το τρόπο που συδέοται μεταξύ τους. Ορίστε μερικές χρήσιμες συμβουλές: Τιμές Συχότητ α i Σχετική συχότητα f i f i % Αθροιστική συχότητα Ν i Αθροιστική σχετική συχότητα F i F i % x 1 Ίδιο με 1 Ίδιο με f 1 x x 3 x 4 1 100 Σύολο 1 100 Εδώ πάτοτε συμπληρώουμε το αριθμό 1. Εδώ τα τελικά αθροίσματα συμπίπτου πάτα με τα ατίστοιχα σύολα τω πρώτω στηλώ. Οι αριθμοί αυτοί συδέοται πάτα με τη σχέση f i = i /. Αυτό σημαίει πως α γωρίζουμε από αυτούς μπορούμε εύκολα α υπολογίσουμε και το τρίτο. Εδώ πάτοτε συμπληρώουμε το αριθμό 100. Τα υπόλοιπα στοιχεία υπολογίζοται εύκολα εφαρμόζοτας τη λογική κάθε στήλης ευθέως ή ατίστροφα σκεπτόμεοι. Για παράδειγμα, ας συμπληρώσουμε το παρακάτω πίακα: i f i (%) N i F i (%) x 1 x 100 150 x 3 67,5 x 4 10 x 5 400 Σύολο 14

Συμπληρώουμε με κλειστά μάτια τα εξής: i f i (%) N i F i (%) x 1 x 100 150 x 3 67,5 x 4 10 x 5 400 100 Σύολο 400 100 Γωρίζουμε το = 400 και το = 100, άρα απ το τύπο υπολογίζουμε 100 f = f = = 0,5 ή 5%. 400 v 4 v 4 Επίσης από = 400 και f 4 = 10 υπολογίζουμε f4 = 0,10 = 400 v 4 = 400 0,10 v 4 = 40. Προσέξτε ότι στο τύπο δε ατικαταστήσαμε όπου f 4 το 10 αλλά το 0,10. Αφού το Ν = 150 και = 100 τότε Ν 1 = Ν = 150 100 = 50. Συεπώς και το 1 = 50. Τέλος, εύκολα υπολογίζουμε και το F 4 = F 3 + f 4 = 67,5 + 10 = 77,5. i f i (%) N i F i (%) x 1 50 50 x 100 5 150 x 3 67,5 x 4 40 10 77,5 x 5 400 100 Σύολο 400 100 Στη στήλη Fi είαι προφαές ότι από το 77,5 για α φτάσουμε στο 100 χρειάζεται 100 77,5 =,5. Άρα f 5 =,5. v 5 v 5 Α όμως f 5 =,5 τότε f5 = 0,5 = v 5 = 400 0,5 v 5 = 90. 400 Τελικά, στη στήλη i απομέει μοάχα έα κεό στοιχείο. Εύκολα, σκεφτόμαστε: 50 + 100 + 3 + 40 + 90 = 400 3 = 400 80 = 10. 15

i f i (%) N i F i (%) x 1 50 50 x 100 5 150 x 3 10 67,5 x 4 40 10 77,5 x 5 90,5 400 100 Σύολο 400 100 Εφόσο, έχει πλέο ολοκληρωθεί η στήλη τω συχοτήτω i η συέχεια είαι απλούστατη. Τελικά, ο πίακας καταλήγει: i f i (%) N i F i (%) x 1 50 1,5 50 1,5 x 100 5 150 37.5 x 3 10 30 70 67,5 x 4 40 10 310 77,5 x 5 90,5 400 100 Σύολο 400 100 16

Επικρατούσα τιμή Πρόκειται για το ευκολότερο υπολογισμό. Στη στήλη i, ααζητούμε τη μεγαλύτερη συχότητα. Η τιμή που ατιστοιχεί σε αυτή είαι η επικρατούσα τιμή. Στο παράδειγμά μας, η μεγαλύτερη συχότητα είαι 5 και ατιστοιχεί σε μέση θερμοκρασία 17 βαθμώ. Άρα η επικρατούσα τιμή είαι το 17. ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Πολύ συχά γίεται η παραόηση α εκλαμβάεται ως επικρατούσα τιμή η συχότητα πχ. το 5, ατί του ορθού 17. Να μη ξεχάμε, επίσης, ότι κάποιες φορές μπορεί α υπάρχου περισσότερες της μίας επικρατούσες τιμές, άρα δε χρειάζεται α τα χάουμε. Μέση τιμή Η εύρεσή της είαι απλή εφαρμογή. Για λίγα δεδομέα συμφέρει η άμεση εφαρμογή του τύπου. Διαφορετικά, ταξιομούμε πρώτα τα δεδομέα μας σε πίακα συχοτήτω. Στο παράδειγμα με τις μέσες θερμοκρασίες θα ήτα: 15 + 15 + 18 + 17 + 19 + 10 + 17 + 16 + 14 + 17 + 18 + 19 + 16 + 15 + 17 + 18 + 15 + 14 + 16 + 17 X = 0 33 X = X = 16,15 0 Ωστόσο, είαι προφαές ότι ακόμη και για μοάχα 0 απλούς ακέραιους αριθμούς ο τύπος είαι δύσχρηστος. Για α απλοποιήσουμε τη διαδικασία, συμπληρώουμε το πίακα συχοτήτω με τη στήλη x 1 1. Το άθροισμα της στήλης είαι ο αριθμητής του προηγούμεου κλάσματος. Άρα, εύκολα λέμε: Τιμές Συχότητα i xi i 10 1 10 14 8 15 4 60 16 3 48 17 5 85 18 3 54 19 38 Σύολο 0 33 33 X = X = 16,15 0 17

Διάμεσος ( = άρτιος) Για τη εύρεση της διαμέσου, προκειμέου για λίγες, διακριτές τιμές η διαδικασία είαι σα παιχίδι. Καταρχάς, πρώτα απ όλα ταξιομούμε τα δεδομέα κατά αύξουσα σειρά. Στο παράδειγμά μας, επειδή το πλήθος = 0 είαι ζυγός αριθμός, η διάμεσος είαι το ημιάθροισμα τω μεσαίω παρατηρήσεω. Για α βρούμε τις τελευταίες, σκεφτόμαστε 0 : = 10, άρα η διάμεσος βρίσκεται αάμεσα στη 10 η και 11 η θέση. 10 14 14 15 15 15 15 16 16 16 17 17 17 17 17 18 18 18 19 19 δ = 16 + 17 = 33 = 16,5 Λίγο δυσκολότερη γίεται η εύρεση της διαμέσου, από το πίακα συχοτήτω. Τότε αθροίζουμε διαδοχικά τις συχότητες i μέχρι α φτάσουμε το 10. Μπορούμε α κάουμε το ίδιο συτομότερα, ααζητώτας στη στήλη N i, α υπάρχει, το αριθμό 10. Βλέπουμε ότι στη θέση αυτή ατιστοιχεί ο αριθμός 16. Στη αμέσως επόμεη θέση, δηλαδή τη 11 η, ατιστοιχεί ο αριθμός 17. Συεπώς: δ = 16 + 17 = 33 = 16,5 Τιμές Συχότητα i Ν i 10 1 1 1 η θέση 14 3 3 η θέση 15 4 7 7 η θέση 16 3 10 10 η θέση 17 5 15 15 η θέση 18 3 18 18 η θέση 19 0 0 η θέση Σύολο 0 Στη περίπτωση που στο άθροισμα δε βρίσκουμε ακριβώς το αριθμό 10 αλλά το ξεπεράμε, τότε αυτό σημαίει ότι και στις μεσαίες θέσεις βρίσκεται ο ίδιος αριθμός, ο οποίος είαι τελικά και η διάμεσος. Για παράδειγμα, στο παρακάτω πίακα διάμεσος είαι ο αριθμός που βρίσκεται αάμεσα στη 60 η και 61 η θέση, που είαι ο ίδιος δηλαδή δ = 4 (δε χρειάζοται άλλοι υπολογισμοί). 18

Τιμές Συχότητα i 1 11 11 11 η θέση 17 8 8 η θέση 3 0 48 48 η θέση 4 5 73 73 η θέση 5 95 95 η θέση 6 16 111 111 η θέση 7 9 10 10 η θέση Σύολο 10 Ν i Διάμεσος ( = περιττός) Σε περιττό πλήθος παρατηρήσεω, θα υπάρχει πάτα έας αριθμός ο οποίος βρίσκεται θα ακριβώς στη μέση τω (ταξιομημέω πάτα) δεδομέω. Ο αριθμός αυτός είαι η διάμεσος. Για α υπολογίσουμε κατευθεία τη θέση που βρίσκεται, α το μέγεθος του δείγματος τότε ( + 1) : η θέση της διαμέσου. Στο παρακάτω παράδειγμα, είαι = 1, άρα η διάμεσος βρίσκεται στη : = 11 η θέση: 1 1 1 3 3 3 3 4 5 5 6 6 6 7 7 8 8 9 10 δ = 5 19

Εύρος Πολύ απλά: R = x max x min = 19 10 = 9 Διακύμαση Στη περίπτωση τω παραμέτρω διασποράς, η άμεση εφαρμογή τω τύπω είαι χροοβόρα και δύσχρηστη. Για το λόγο αυτό, συμπληρώουμε το πίακα συχοτήτω με τις παρακάτω στήλες: i i X ( X ) i ( X ) 10 1 10 16,15 10 = 6,15 6,15 = 37,8 1 37,8 = 37,8 14 8 16,15 14 =,15,15 = 4,6 4,6 = 9,4 15 4 60 16,15 15 = 1,15 1,15 = 1,3 4 1,3 = 5,9 16 3 48 16,15 16 = 0,15 0,15 = 0,0 3 0,0 = 0,07 17 5 85 16,15 17 = -0,85 ( 0,85) = 0,7 5 0,7 = 3,61 18 3 54 16,15 18 = -1,85 ( 1,85) = 3,4 3 3,4 = 10,7 19 38 16,15 19 = -,85 (,85) = 8,1 8,1 = 16,5 Σύολο 0 33 8,55 Το άθροισμα της τελευταίας στήλης δε είαι παρά ο αριθμητής από το τύπο της διακύμασης, δηλαδή: s = 8,55 0 = 4,13 Προσοχή! Είαι προφαές ότι για τους παραπάω υπολογισμούς απαιτείται πρωτύτερα η εύρεση της μέσης τιμής X. Τυπική απόκλιση Πολύ εύκολα, από το τύπο: s = s = 4, 13,03 0

Συτελεστής μεταβλητότητας Πάλι με απλή χρήση του τύπου: CV = s 4,13 = 0,6 ή 6% X 16,15 Επειδή CV > 10% το δείγμα τω μέσω θερμοκρασιώ δε είαι ομοιογεές. 1

Πολύ συχά, α μετράμε μια συεχή μεταβλητή η οποία παίρει απεριόριστες εδιάμεσες τιμές ή α, γεικότερα, τα δεδομέα μας παρουσιάζου μεγάλη διαφοροποίηση τιμώ, τότε ο κλασικός πίακας συχοτήτω μπορεί α περιέχει μεγάλο αριθμό σειρώ και α καθίσταται δύσχρηστος. Πχ. Να κατασκευάσετε πίακα συχοτήτω για τις παρακάτω 40 μετρήσεις: 177 181 183 187 19 194 171 180 190 19 179 18 184 187 191 193 194 190 186 183 179 176 178 180 183 186 185 191 187 178 170 176 177 181 174 19 194 178 188 193 Α κατασκευάσουμε το πίακα με το «κλασικό» τρόπο, θα προκύψει έα αποτέλεσμα που δε μας γλιτώει απ το μεγάλο πλήθος υπολογισμώ, αυτό δηλαδή που θέλουμε α αποφύγουμε: i 170 1 171 1 174 1 176 177 178 3 179 180 181 18 1 183 3 184 1 185 1 186 187 3 188 1 190 191 19 3 193 194 3 Σύολο 0 Παρατηρούμε ότι το πλήθος τω σειρώ είαι τόσο μεγάλο, ώστε τελικά είαι σχεδό σα α μη κάαμε κα πίακα! Στη περίπτωση αυτή, συμφέρει ακολουθήσουμε διαφορετική τακτική.

Ομαδοποιούμε τα δεδομέα μας σε κατηγορίες που οομάζοται κλάσεις και οι οποίες περιλαμβάου περισσότερες της μίας μετρήσεις. Κάθε κλάση έχει έα συγκεκριμέο εύρος αριθμώ που περιλαμβάει, το οποίο οομάζεται πλάτος της κλάσης. Το πλάτος μια κλάσης υπολογίζεται εύκολα α αφαιρέσουμε από το μεγαλύτερο όριό της το μικρότερο. Για το πρηγούμεο παράδειγμα, μια κλάση θα μπορούσε α ομαδοποιήσει, ας πούμε, όλες τις μετρήσεις από το 175 έως και το 180 κι έτσι α εργαστούμε πιο άετα. Ας προσέξουμε λίγο το συμβολισμό... Μια κλάση συμβολίζεται σα έα κλειστό αοιχτό διάστημα, πχ. [175, 180) Η αγκύλη [ διαβάζεται «κλειστό» και σημαίει ότι ο αριθμός 175 περιλαμβάεται στο διάστημα. Η παρέθεση ) διαβάζεται «αοικτό» και σημαίει ότι ο αριθμός 180 ΔΕΝ περιλαμβάεται στο διάστημα. Μη αησυχείτε, θα περιληφθεί στη επόμεη κλάση: [180, 185). Η κλάση αυτή θα έχει πλάτος = 180 175 = 5. Μετρώτας διαπιστώουμε ότι στη κλάση αυτή αήκου 9 δεδομέα: 176, 176, 177, 177, 178, 178, 178, 179, 179. Τότε λέμε ότι η κλάση αυτή έχει συχότητα i = 9. Ας υποθέσουμε τώρα ότι θέλουμε α ομαδοποιήσουμε τους παραπάω 40 αριθμούς σε κλάσεις πλάτους ίσου με 5 (αυτό θα δίεται συήθως από τη εκφώηση της άσκησης). Χρησιμοποιούμε όσες κλάσεις χρειάζοται, έως ότου καλύψουμε όλα τα δεδομέα μας. Στη συγκεκριμέη περίπτωση, οι κλάσεις που θα χρειαστού είαι οι: [170, 175) [175, 180) [180, 185) [185, 190) [190, 195) Παρατηρούμε! ότι κάθε επόμεη κλάση ξεκιά από το ίδιο ακριβώς αριθμό που τελειώει η προηγούμεη κλάση, έτσι ώστε α καλύπτοται όλες οι μετρήσεις. Στη συέχεια, μετράμε τα δεδομέα μας έα έα, ταξιομώτας τα στις κατάλληλες κλάσεις. 170, 171, 174 176, 176, 177, 177, 178, 178, 178, 179, 179 180, 180, 181, 181, 18, 183, 183, 183, 184 185, 186, 186, 187, 187, 187, 188 190, 190, 191, 191, 19, 19, 19, 193, 193, 194, 194, 194 [170, 175) [175, 180) [180, 185) [185, 190) [190, 195) Συχότητα = 3 Συχότητα = 9 Συχότητα = 9 Συχότητα = 7 Συχότητα = 1 3

Έτσι, μπορούμε α φτιάξουμε έα έο πίακα συχοτήτω, με κλάσεις αυτή τη φορά, και προφαώς πολύ περισσότερο «συμπυκωμέο» από το αρχικό πίακα: Κλάση i [170, 175) 3 [175, 180) 9 [180, 185) 9 [185, 190) 7 [190, 195) 1 Παράμετροι θέσης & διασποράς σε κλάσεις Η εύρεση τω X, s και s πραγματοποιείται με το ίδιο ακριβώς τρόπο. Το πρόβλημα έκγειται στο γεγοός ότι προκειμέου α κατασκευάσουμε τις βοηθητικές μας στήλες, πχ. i μας λείπου οι τιμές, εφόσο τα δεδομέα μας είαι ταξιομημέα σε κλάσεις. Στη περίπτωση αυτή, επιλέγουμε σα «ατιπρόσωπο» κάθε κλάσης τη μέση τιμή τω άκρω της, δηλαδή το αριθμό που βρίσκεται ακριβώς στο κέτρο της κλάσης και το οποίο συμβολίζουμε με κ i. Γεικά: [α, β) κ i = α + β Κλάση κ i i [170, 175) 17,5 3 [175, 180) 177,5 9 [180, 185) 18,5 9 [185, 190) 187,5 7 [190, 195) 19,5 1 Οι τιμές κ i παίζου το ίδιο ακριβώς ρόλο με τα εός απλού πίακα συχοτήτω. Η επικρατούσα τιμή και η διάμεσος υπολογίζοται μόο γραφικά για τη εξεταστέα ύλη αυτής της τάξης. Έα παράδειγμα δίεται στη εφαρμογή 8. 4

Προκειμέου α έχουμε μια καλύτερη ατίληψη, συηθίζουμε α τα απεικοίζουμε τα δεδομέα μας σε διάφορα διαγράμματα, το καθέα με το δικό του ιδιαίτερο χαρακτήρα και τα πλεοεκτήματα ή μειοεκτήματα. Απλή Γραφική Παράσταση Θεωρούμε έα ορθογώιο σύστημα αξόω. Στο οριζότιο άξοα x x εκφράζουμε τις διάφορες τιμές της μεταβλητής Χ, εώ στο κάθετο άξοα y y τις ατίστοιχες συχότητες i. Έστω ο παρακάτω τυχαίος πίακας συχοτήτω, σα αφορμή για το παράδειγμά μας. i 1 i f i x 1 3 0,10 x 8 0,7 x 3 10 0,33 x 4 5 0,17 x 5 4 0,13 10 8 6 4 0 x1 x x3 x4 x5 Κατακόρυφο Ραβδόγραμμα Α στο προηγούμεο τύπο διαγράμματος, ατικαταστήσουμε τις τελείες με κάθετα ορθογώια (μπάρες), τότε δημιουργείται αυτό που οομάζουμε κατακόρυφο ραβδόγραμμα. i 1 i f i x 1 3 0,10 x 8 0,7 x 3 10 0,33 x 4 5 0,17 x 5 4 0,13 10 8 6 4 0 x1 x x3 x4 x5 5

Οριζότιο Ραβδόγραμμα Α στο κατακόρυφο ραβδόγραμμα εαλλάξουμε τη θέση τω δύο αξόω, δηλαδή μεταφέρουμε τις τιμές στο άξοα y y εώ τις ατίστοιχες συχότητες στο x x, τότε παίρουμε το οριζότιο ραβδόγραμμα. i f i x 1 3 0,10 x 8 0,7 x 3 10 0,33 x 4 5 0,17 x 5 4 0,13 x5 x4 x3 x x1 0 4 6 8 10 1 Παραλλαγή Τόσο στο κατακόρυφο, όσο και στο οριζότιο ραβδόγραμα, είαι δυατό α «γεμίσουμε» τις μπάρες έτσι ώστε α καταλαμβάου όλο το χώρο αάμεσά τους. i i 1 10 x5 8 x4 6 x3 4 x x1 0 x1 x x3 x4 x5 0 4 6 8 10 1 ΠΡΟΣΟΧΗ! Πρέπει α γίει καταοητό ότι ο άξοας τω τιμώ ΔΕΝ είαι έας αριθμητικός άξοας, όπως ο άξοας τω συχοτήτω. Πρόκειται απλά για έα άξοα με διαδοχικές «θέσεις» στις οποίες τοποθετούται οι διάφορες τιμές, συεπώς ΔΕΝ παίζει ρόλο η ορθή διάταξη (ασχέτως α μας εξυπηρετεί ότα έχουμε αριθμητικές τιμές). Συεπώς μπορούμε α φτιάχουμε ραβδογράμματα ακόμα και για τιμές οι οποίες δε είαι αριθμητικές, όπως ας πούμε σε μια ποιοτική μεταβλητή. i Θα μπορούσαμε, για παράδειγμα, στο προηγούμεο πίακα α έχουμε γράμματα, εικόες ή απλές λέξεις και το ραβδόγραμμα α μη άλλαζε στο παραμικρό... 6

Τιμές Τιμές Τιμές Συχότητα i Α Μπλε 3 Β Μαύρο 8 Γ Καφέ 10 Δ Πράσιο 5 Ε Ροζ 4 i 1 10 8 6 4 0 Α Β Γ Δ Ε Μπλε Μαύρο Καφέ Πράσιο Ροζ Κυκλικό διάγραμμα Α πάλι χωρίζαμε έα κύκλο σε κομμάτια «πίτσας», έτσι ώστε κάθε επίκετρη γωία α καταλαμβάει μέρος του κύκλου ίσο με το ποσοστό της ατίστοιχης τιμής, τη οποία συμβολίζει, τότε κατασκευάζουμε αυτό που λέμε «κυκλικό διάγραμμα». Για α βρούμε πόσες μοίρες πρέπει α σχεδιάσουμε κάθε γωία φ i χρησιμοποιούμε το παρακάτω τύπο: φˆ i = 360 f i x 5 13% x 1 10% 46,8 o 36 o Για το παράδειγμά μας, έχουμε: φ 1 = 360 ο f 1 = 360 o 0,10 = 36 o φ = 360 ο f = 360 o 0,7 = 97, o φ 3 = 360 ο f 3 = 360 o 0,33 = 118,8 o φ 4 = 360 ο f 4 = 360 o 0,17 = 61, o φ 5 = 360 ο f 5 = 360 o 0,13 = 46,8 o x 5 17% 61, o 97, o 118,8 o x 7% x 3 33% 7

Ιστόγραμμα συχοτήτω Το ραβδόγραμμα που ατιστοιχεί σε έα πίακα χωρισμέο σε κλάσεις λέγεται ιστόγραμμα. Η ουσιαστικότερη διαφορά του ιστογράμματος από το ραβδόγραμμα είαι πως στο πρώτο ο οριζότιος άξοας τω είαι κι αυτός επίσης αριθμητικός άξοας και για το λόγο αυτό συεχής και διατεταγμέος. Για το λόγο αυτό, τοποθετούμε τα όρια τω κλάσεω πάω στις γραμμές του άξοα και όχι αάμεσά τους! Έτσι για παράδειγμα στο πίακα της εφαρμογής 6 ατιστοιχεί το παρακάτω ιστόγραμμα: i 14 Κλάση i Ν i 1 [170, 175) 3 3 [175, 180) 9 1 [180, 185) 9 1 [185, 190) 7 8 [190, 195) 1 40 10 8 6 4 0 170 175 180 185 190 195 Πολύγωο συχοτήτω Η τεθλασμέη γραμμή που παρατηρούμε στο προηγούμεο ιστόγραμμα λέγεται πολύγωο συχοτήτω. Ότα καλούμαστε α το σχεδιάσουμε, απλά εώουμε τα μέσα τω κορυφώ κάθε ορθογωίου. Επιπρόσθετα, προκειμέου α «κλείσου» οι άκρες του πολυγώου, εισάγουμε δύο επιπλέο κλάσεις στη αρχή και στο τέλος κι εώουμε με παρόμοιο τρόπο. Πολύγωο αθροιστικώ (σχετικώ) συχοτήτω Εώ το ιστόγραμμα αθροιστικώ συχοτήτω δε παρουσιάζει ιδιαίτερη δυσκολία, χρειάζεται ωστόσο προσοχή στη κατασκευή του πολυγώου, γιατί διαφέρει απ τη προηγούμεη περίπτωση. Ξεκιάμε φέροτας τη διαγώιο του πρώτου ορθογωίου και συεχίζουμε με παρόμοια τρόπο διαγωίως. N i 45 40 35 30 5 0 15 10 5 0 170 175 180 185 190 195 8

Επικρατούσα τιμή σε πίακα κλάσεω Χρησιμοποιώτας ως παράδειγμα το παρακάτω πίακα συχοτήτω κάποιας μεταβλητής, κατασκευάζουμε το ιστόγραμμα συχοτήτω. Επιλέγουμε τη κλάση με τη μεγαλύτερη συχότητα (δηλ. το ψηλότερο ορθογώιο) και φέρουμε τις διαγώιες γραμμές όπως ακριβώς φάιοται στο σχήμα. Η τετμημέη του σημείου τομής τω δύο διαγωίω γραμμώ μας δίει κατά προσέγγιση τη επικρατούσα τιμή του δείγματος. Κλάση i Ν i [10, 15) 6 3 [15, 0) 11 14 [0, 5) 16 30 [5, 30) 1 4 [30, 35) 8 50 18 16 14 1 10 8 6 i 4 0 10 15 0 5 30 35 Διάμεσος σε πίακα κλάσεω Για τη διάμεσο κατασκευάζουμε το ιστόγραμμα αθροιστικώ (ή σχετικώ αθροιστικώ) συχοτήτω και μαζί με αυτό και το ατίστοιχο πολύγωο συχοτήτω. Στη συέχεια από το μέσο του άξοα Ν i ή F i δηλαδή από το αριθμό : ή το 50 ατίστοιχα φέρουμε μια οριζότια γραμμή που τέμει το πολύγωο σε κάποιο σημείο. Η τετμημέη του σημείου αυτού μας δίει κατά προσέγγιση τη διάμεσο του δείγματος. 60 50 40 30 0 10 0 N i περίπου,5 50 : = 5 10 15 0 5 30 35 περίπου 3 9