Ηλεκτρικό Δυναμικό
Δομή Διάλεξης Ορισμός Ηλεκτρικού Δυναμικού και συσχέτιση με το Ηλεκτρικό Πεδίο Ιδιότητες ηλεκτρικού δυναμικού (χρησιμότητα σε υπολογισμούς, σημείο αναφοράς, αρχή υπέρθεσης) Διαφορικές εξισώσεις για το ηλεκτρικό δυναμικο (εξίσωση Poisson για πηγές, εξίσωση Laplace χωρίς πηγές) Ολοκληρωτική έκφραση για το δυναμικό συναρτήσει της πυκνότητας φορτίου Συνοριακές συνθήκες για το ηλεκτρικό πεδίο και το δυναμικό στην ηλεκτροστατική Σύνοψη
Ορισμός Ηλεκτρικού Δυναμικού Το ολοκλήρωμα του ηλεκτρικού πεδίου μεταξύ δύο σημείων στον χώρο είναι ανεξάρτητο της διαδρομής. Ανεξάρτητο της διαδρομής. Ηλεκτρικό Δυναμικό (ορισμός) Από αρχή υπέρθεσης ισχύει και για n φορτία. Ο είναι σταθερό σημείο αναφοράς που συμβατικά συνήθως το θεωρούμε στο άπειρο.. Το δυναμικό είναι μεγαλύτερο κοντά σε θετικά φορτία.
Διαφορά Δυναμικού Κλίση Διαφορά δυναμικού μεταξύ δυο σημείων a, b: Ο διαφορικό δυναμικού (dv) Η διαφορά δυναμικού μπορεί να προκύψει και από την κλίση του δυναμικού: Αληθεύει για κάθε ζεύγος σημείων a, b.
Διαφορά Δυναμικού Κλίση Το ηλεκτρικό πεδίο προκύπτει στην ηλεκτροστατική από την κλίση βαθμωτού δυναμικού V. Από 3 συνιστώσες (συναρτήσεις) έχουμε να υπολογίσουμε μόνο μια βαθμωτή συνάρτηση. Κάναμε χρήση του μηδενισμού του στροβιλισμού του Ε από όπου προκύπτει ότι στην πραγματικότητα υπάρχει μόνο ένας βαθμός ελευθερίας στο Ε και όχι τρεις. Η αρχή της υπέρθεσης ισχύει και για το δυναμικό:
Σημείο Αναφοράς για Δυναμικό Αλλαγή του σημείου αναφοράς προσθέτει μια σταθερά στο δυναμικό και επομένως δεν αλλάζει το ηλεκτρικό πεδίο: Το σημείο αναφοράς συνήθως επιλέγεται στο άπειρο εκτός αν οι κατανομές φορτίων εκτείνονται στο άπειρο. Τότε το άπειρο δεν είναι καλό σημείο αναφοράς γιατί οδηγεί σε άπειρο δυναμικό. Δυναμικό από άπειρο φορτισμένο επίπεδο: Ο απειρισμός εξαφανίζεται αν το σημείο αναφοράς πάει στην αρχή των αξόνων.
Παράδειγμα υπολογισμού δυναμικού Σφαιρικό κέλυφος με ομογενές φορτίο: Το δυναμικό στο εσωτερικό του φλοιού εξαρτάται και από το πεδίο στο εξωτερικό του φλοιού!
Προτεινόμενες Ασκήσεις Από Griffiths: 2.20, 2.21, 2.22
Διαφορικές Εξισώσεις για το Δυναμικό Θεμελιώδεις νόμοι ηλεκτροστατικής: Εξίσωση Poisson Στο κενό (ρ=0) η εξίσωση Poisson γίνεται: Εξίσωση Laplace Ο μηδενισμός του στροβιλισμού του Ε ικανοποιείται αυτόματα από το V αφού:
Δυναμικό από τοπική κατανομή φορτίου Για σημειακό φορτίο με ολοκλήρωση του ηλεκτρικού πεδίου έχουμε: Θετικό φορτίο έχει θετικό δυναμικό. Από αρχή υπέρθεσης (διακριτή κατανομή): Από αρχή υπέρθεσης (συνεχής κατανομή):
Δυναμικό από τοπική κατανομή φορτίου Από αρχή υπέρθεσης (συνεχής κατανομή): Σύγκριση με αρχή υπέρθεσης για ηλεκτρικό πεδίο: Διανυσματική έκφραση (πιο περίπλοκο ολοκλήρωμα!) Γραμμική και επιφανειακή κατανομή:
Παραδειγμα: Δυναμικό Σφαιρικού Φλοιού Χρήση αρχής υπέρθεσης: Τετράγωνο διαφοράς διανυσμάτων: έξω μέσα
Παράδειγμα: Δυναμικό Σφαιρικού Φλοιού έξω μέσα έξω μέσα έξω μέσα Ίδιο αποτέλεσμα όπως με ολοκλήρωση του ηλεκτρικού πεδίου όπως περιμέναμε.
Προτεινόμενες Ασκήσεις Από Griffiths: 2.25, 2.27
Σύνοψη Ηλεκτροστατικής
Ασυνέχεια Ε σε φορτισμένες επιφάνειες Από νόμο Gauss έχουμε: Τελικά σε διανυσματική μορφή: Ασυνέχεια κάθετης συνιστώσας (συνοριακή συνθήκη) Η παράλληλη με την επιφάνεια συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου είναι πάντα συνεχής
Συνέχεια V σε φορτισμένες επιφάνειες Διαφορά δυναμικού πάνω-κάτω: Στο όριο μικρού διαστήματος ab το ολοκλήρωμα μηδενίζεται (πεπερασμένο Ε) Το δυναμικό είναι πάντα συνεχές σε διαχωριστικές επιφάνειες ακόμα και αν είναι φορτισμένες. Κλίση δυναμικού: Η κλίση του δυναμικού είναι ασυνεχής σε φορτισμένες επιφάνειες
Σύνοψη Το ηλεκτρικό δυναμικό σε δεδομένο σημείο του χώρου ορίζεται ως το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα του ηλεκτρικού πεδίου από σημείο αναφοράς που συνήθως ορίζεται στο άπειρο μέχρι το δεδομένο σημείο στο χώρο. Το ηλεκτρικό δυναμικό υπολογίζεται από το ολοκλήρωμα του ηλεκτρικού πεδίου ή από την αρχή της υπέρθεσης. Το ηλεκτρικό πεδίο υπολογίζεται από το δυναμικό θεωρώντας την κλίση του. Ο υπολογισμός του δυναμικού με την αρχή της υπέρθεσης είναι πολύ πιο εύκολος από τον υπολογισμό του ηλεκτρικού πεδίου με την ίδια αρχή γιατί το δυναμικό είναι βαθμωτό μέγεθος. Το ηλεκτρικό πεδίο εμφανίζει ασυνέχεια στην κάθετη συνιστώσα του σε περιοχή φορτισμένης επιφάνειας. Το δυναμικό είναι παντού στο χώρο συνεχής συνάρτηση.