AUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA

Saulius LISAUSKAS AUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA Projekto kodas VP1-.-ŠMM-7-K-1-47 VGTU Elektronikos fakulteto I pakopos studijų programų esminis atnaujinimas Vilnius Technika 1

VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS UNIVERSITETAS Saulius LISAUSKAS AUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA Kursinių projektų rengimo metodika Vilnius Technika 1

S. Lisauskas. Automatinio valdymo teorija: kursinių projektų rengimo metodika. Vilnius: Technika, 1. 19 p. [3,97 aut. l. 1 6 4]. Šis technologijos mokslų srities, elektronikos ir elektros mokslo krypties leidinys skirtas Elektronikos fakulteto pagrindinių nuolatinių ir ištęstinių studijų studentams, studijuojantiems automatinio valdymo teorijos kursą. Jame pateikiama kursinio darbo metodika ir reikalingos teorinės žinios. Leidiniu galės naudotis ir kitų fakultetų studentai. Leidinį rekomendavo VGTU Elektronikos fakulteto studijų komitetas Recenzavo: prof. habil. dr. Roma Rinkevičienė, VGTU Automatikos katedra prof. habil. dr. Algimantas Juozas Poška, VGTU Automatikos katedra Leidinys parengtas vykdant projektą VGTU Elektronikos fakulteto I pakopos studijų programų esminis atnaujinimas. Leidinio rengimą ir leidybą finansavo Vilniaus Gedimino technikos universitetas ir Europos socialinis fondas (sutarties Nr. VP1-.-ŠMM-7-K-1-47). VGTU leidyklos TECHNIKA 139-S mokomosios metodinės literatūros knyga http://leidykla.vgtu.lt Redaktorė Reda Asakavičiūtė Maketuotojas Donaldas Petrauskas eisbn 978-69-457-15-7 doi:1.3846/139-s Saulius Lisauskas, 1 Vilniaus Gedimino technikos universitetas, 1

Turinys Įvadas.......................................... 5 1. Automatinio valdymo sistemų sandara....................6 1.1. Bendros žinios apie automatinio valdymo sistemas......6 1.. Automatinio valdymo sistemų klasifikacija............9 1..1. Atviroji automatinio valdymo sistema...........1 1... Reguliavimo pagal trikdį principas.............1 1..3. Uždaroji automatinio valdymo sistema..........11 1..4. Kombinuoto reguliavimo principas.............1 1.3. Kontroliniai klausimai ir užduotys..................13. Automatinio valdymo sistemų dinamikos lygtys...........14.1. Automatinio valdymo sistemų ir jų elementų diferencialinės lygtys................................14.. Diferencialinių lygčių ištiesinimas...................3. Kontroliniai klausimai ir užduotys..................4 3. Automatinio valdymo sistemų operacinės lygtys ir perdavimo funkcijos...................................5 3.1. Laplaso transformacija...........................5 3.. Sistemos operacinių lygčių sudarymas...............33 3.3. Automatinio valdymo sistemų perdavimo funkcijos.....35 3.4. Kontroliniai klausimai ir užduotys..................41 4. Automatinio valdymo sistemų struktūrinės schemos........43 4.1. Struktūrinių schemų sudarymas ir prastinimas.........43 4.. Kontroliniai klausimai ir užduotys..................54 5. Automatinių sistemų statika...........................56 5.1. Statinis reguliavimas.............................56 5.. Astatinis reguliavimas............................58 5.3. Kontroliniai klausimai ir užduotys..................61 6. Automatinio valdymo sistemų dinaminės ir dažninės charakteristikos.......................................6 6.1. Automatinio valdymo sistemų signalai...............6 3

6.. Automatinio valdymo sistemų dinaminės charakteristikos 64 6.3. Dažninės charakteristikos.........................71 6.4. Tipinės dinaminės grandys ir jų charakteristikos.......73 6.4.1. Grandžių klasifikacija........................73 6.4.. Ideali stiprinimo grandis......................74 6.4.3. Aperiodinė (inercinė) grandis..................75 6.4.4. Integravimo grandis.........................78 6.4.5. Diferencijavimo grandis......................8 6.4.6. Švytavimo grandis..........................83 6.4.7. Vėlinimo grandis...........................86 6.5. Kontroliniai klausimai ir užduotys..................87 7. Automatinių valdymo sistemų stabilumo tyrimas...........88 7.1. Sistemų stabilumas..............................88 7.. Algebriniai stabilumo kriterijai.....................9 7.3. Rauso ir Hurvico stabilumo kriterijai................9 7.4. Michailovo stabilumo kriterijus....................93 7.5. Naikvisto stabilumo kriterijus......................95 7.6. Logaritminis stabilumo kriterijus...................98 7.7. Automatinių sistemų koregavimas..................99 7.8. Kontroliniai klausimai ir užduotys.................18 8. Literatūra.........................................19 4

Įvadas Automatinio valdymo teorijos kursinių projektų metodikos tikslas padėti studentams suvokti teorinę paskaitų medžiagą, įgyti gebėjimų projektuoti, analizuoti automatinio valdymo sistemas, praktiškai pritaikyti teorines žinias, išmokti sudaryti automatinių sistemų matematinius ir kompiuterinius modelius, jų struktūrines schemas, gauti dinamines charakteristikas, tirti sistemų stabilumą. Kursinį projektą sudaro tokie pagrindiniai skyriai: automatinio valdymo sistemos veikimo principo aprašymas, elementų diferencialinių ir operacinių lygčių sudarymas, atvirosios sistemos stiprinimo koeficiento skaičiavimas, logaritminių dažninių charakteristikų gavimas, sistemos koregavimas, sistemos modeliavimas ir dinaminių charakteristikų gavimas, kokybinių pereinamojo proceso rodiklių skaičiavimas, sistemos stabilumo tyrimas, išvados ir grafinė dalis. Kursinių projektų metodikoje išnagrinėti visi minėti automatinio valdymo sistemų projektavimo ir tyrimo etapai. Kiekvieno skyriaus pradžioje pateikiama reikalinga teorinė medžiaga. Toliau nurodomi pavyzdžiai ir MATLAB Simulink modeliai ar skaičiavimo programos. Skyriaus pabaigoje pateikiami kontroliniai klausimai ir savarankiškam darbui skirtos užduotys. 5

1. Automatinio valdymo sistemų sandara 1.1. Bendros žinios apie automatinio valdymo sistemas Visos sistemos turi įėjimo ir išėjimo kintamuosius. Sistemos reakcija yra aprašoma išėjimo kintamojo priklausomybe nuo įėjimo kintamojo. Tokios priklausomybės tarp vieno ar kelių kintamųjų paprastai aprašomos matematinėmis lygtimis, kurios yra pagrįstos fizikiniais dėsniais arba gaunamos eksperimentiškai. Sistema apima įvairius komponentus, valdymo algoritmus, įrenginius ir prietaisus, kurie sąveikauja tarpusavyje. Ji gali turėti bet kokį skaičių įėjimų ir išėjimų. Tokia sistemos koncepcija parodyta 1.1 paveiksle. 1.1 pav. Sistemos koncepcija Valdymo sistemos esmė yra stebėti kintamuosius, rasti sprendimus, kaip efektyviai reguliuoti įėjimus, kad būtų galima gauti pageidaujamą išėjimą. Valdymo sistemos užduotis sąlygiškai galime suskirstyti į tris dalis: 1. Išėjimo kintamųjų stebėjimas juos matuojant.. Racionalių valdymo sprendimų priėmimas ar algoritmų taikymas, atsižvelgiant į situaciją ir remiantis informacija apie esamą ir pageidaujamą sistemos būseną. 3. Efektyvus tokių sprendimų įgyvendinimas. Paprasčiausią valdymo sistemą sudaro du komponentai valdiklis (reguliatorius) ir valdomas objektas. Įrenginys, kuriame vyksta 6

reguliavimas ar valdymas, vadinamas reguliuojamu arba valdomu objektu. Automatiniu reguliavimu vadinamas kokio nors fizikinio dydžio reikšmės palaikymas specialiais automatiniais reguliatoriais be žmogaus pagalbos. Valdomo objekto darbas priklauso nuo visumos trikdžių, valdymo poveikių ir valdomų kintamųjų, kurie bendru atveju yra vektoriai: ( i) (1) (1) (1) u y z () () () u y z u =, y =, z =, ( p) ( l) ( r) u y z (1.1) čia u valdymo poveikis, i = 1,,..., p; y valdomas kintamasis, j = 1,,..., l; z trikdis, m = 1,,..., r. Valdomo objekto bloki- ( m) nė schema parodyta 1. paveiksle. ( j) 1. pav. Valdomo objekto blokinė schema Valdymo poveikiai tai kintamieji, kuriuos galime keisti ir jie turi įtakos valdomiems kintamiesiems. Pvz., keisdami įtampą, keičiame variklio greitį ar elektrinio šildytuvo temperatūrą. Trikdžiai tai kintamieji, kurie taip pat turi įtakos valdomam objektui. Pvz., apkrova elektros pavarai, generatoriui, išorės temperatūros pokytis 7

temperatūros reguliavimo sistemoje. Juos galima suskirstyti į dvi rūšis: kontroliuojamus (matuojamus darbo metu) ir nekontroliuojamus išorinius poveikius. Jeigu žinomas objekto matematinis aprašymas, tai žinoma ir lygčių sistema, valdomuosius kintamuosius susiejanti su visais išoriniais poveikiais, veikiančiais objektą. Todėl pagal išorinius užduotus poveikius galima rasti valdomuosius kintamuosius y( u, z). Paprastuose objektuose yra tik vienas valdantysis poveikis u ir vienas valdomas kintamasis y. Esant statiniam režimui, išoriniai poveikiai z ir valdantieji poveikiai u yra pastovūs ir nekinta laikui bėgant. Nagrinėjant objekto dinamiką, aprašomos priklausomybės y ( u, z ), charakterizuojamos diferencialinėmis objekto lygtimis ir esant užduoties poveikiams u( t), z( t). Bendru atveju objekto diferencialinės lygtys yra netiesinės. Jei šio lygtys yra tiesinės, tai valdymo objektas vadinamas tiesiniu. Valdymo objektas gali būti stabilus, nestabilus ir neutralus. Objektas yra stabilus, jei, pasibaigus išoriniam poveikiui, jis grįžta į nusistovėjusią padėtį, kurią nulemia jo statinė charakteristika. Nestabiliame objekte, pasibaigus poveikiui, kad ir koks mažas jis bebūtų, išėjimo dydis tebekinta ir objektas negrįžta į nusistovėjusią padėtį. Neutralūs tai yra tokie objektai, kuriuose, pasibaigus poveikiui, nusistovi nauja neapibrėžta pusiausvyros padėtis, priklausanti nuo įvykdyto poveikio. Reguliuojamų objektų pavyzdžiai: rezervuaras, kuriame reikia palaikyti pastovų užduotą skysčio lygį, esant skirtingam skysčio panaudojimui; elektros pavara, kur reikia palaikyti pastovų sukimosi greitį ar momentą. 8

1.. Automatinio valdymo sistemų klasifikacija Pagal automatinių sistemų nusistovėjusios paklaidos didumą sistemos skirstomos į statines ir astatines. Jeigu esant pastoviam nuostatui ( u = const ) arba trikdančiam ( z = const ) poveikiui sistemoje, dirbančioje nusistovėjusiu režimu, statinė paklaida nelygi nuliui st, tai tokia automatinio valdymo sistema (AVS) nagrinėjamojo poveikio atžvilgiu yra statinė. Jeigu esant pastoviam poveikiui paklaida yra lygi nuliui, tuomet tokia sistema yra astatinė. Pagal išėjimo dydžio kitimo dėsnį sistemos klasifikuojamos taip: 1. Stabilizavimo sistema tai automatinė sistema, kuri duotu tikslumu palaiko pastovų reguliuojamąjį parametrą, su paklaida, ne didesne už leistiną.. Programinio valdymo sistema tai tokia sistema, kuri keičia reguliuojamąjį parametrą pagal iš anksto nustatytą programą, priklausančią nuo duotojo poreikio. 3. Sekos sistema vadinama automatinio reguliavimo sistema (ARS), kuri keičia reguliuojamąjį parametrą pagal iš anksto nežinomą laiko funkciją, apibūdinamą nuostatu. Šiose sistemose reguliuojamas dydis turi sekti nuostato poveikį, kuris paprastai yra lėtai kintanti iš anksto nežinoma laiko funkcija. Dar sistemos gali būti klasifikuojamos pagal: 1) fizikinio dydžio pobūdį (įtampa, lygis, greitis); ) naudojamos energijos pobūdį (elektromechaninės, elektroninės, pneumatinės, hidraulinės); 3) signalų, veikiančių sistemoje, pobūdį (tolydžios, diskrečiosios); 4) diferencialinių lygčių pobūdį (tiesinės, netiesinės); 5) sistemos parametrų stabilumą laike (su pastoviais ir kintamais parametrais). Sistemos su pastoviais parametrais 9

vadinamos determinuotos, arba stacionarios; su kintamais laike nestacionarios; 6) valdomų kintamųjų skaičių; 7) pagal savybę prisitaikyti prie pasikeitusių išorinių darbo sąlygų ir pagerinti savo darbą, remiantis sukaupta patirtimi (paprastos ir susiderinančios). AVS taip pat galima suskirstyti į: 1) atvirąją AVS; ) atvirąją AVS, įvertinant trikdžius; 3) uždarąją AVS; 4) kombinuotas AVS. 1..1. Atviroji automatinio valdymo sistema Atviroji AVS neturi grįžtamojo ryšio. Paprasčiausia automobilio greičio reguliavimo sistema parodyta 1.3 paveiksle. 1.3 pav. Paprasčiausia atviroji AVS Tokioje sistemoje nėra galimybės palyginti esamą ir norimą greitį. Dėl įvairių priežasčių aktualus greitis gali nutolti nuo užduotos reikšmės, pvz., dėl vėjo, kalno ar nuokalnės ir pan. 1... Reguliavimo pagal trikdį principas Šiose sistemose valdymo poveikis formuojamas išmatavus objekto trikdantį poveikį. Sistemos, sudarytos šiuo principu, neturi grįžtamojo ryšio, t. y. jos yra atviros. Tokios sistemos skirstomos į dvi grupes: trikdžio kompensavimo ir programinio valdymo sistemas. Automatinės trikdžio kompensavimo sistemos struktūrinė schema parodyta 1.4 paveiksle. 1

1.4 pav. Automatinės trikdžio kompensavimo sistemos struktūrinė schema Valdymo poveikio didumas ir ženklas turi būti tokie, kad visiškai ar gerokai kompensuotų trikdžio poveikį reguliuojamam objektui. Pagrindinis šio principo privalumas didelis kompensavimo grandžių greitaeigiškumas, nes sistema šiuo atveju reaguoja ne į pasekmę, t. y. reguliavimo parametro nuokrypą, bet į jo priežastį. Jei sistemą veikia keletas trikdžių, naudojamos kelios kompensavimo grandys. Tačiau ne visus trikdžius galima išmatuoti ir kompensuoti. Tai pagrindinis šio principo trūkumas. 1..3. Uždaroji automatinio valdymo sistema Jei automatinėje sistemoje valdymo poveikis formuojamas pagal reguliuojamojo parametro nuokrypą nuo nuostato reikšmės, tai laikoma, jog tokia sistema sudaryta reguliavimo pagal nuokrypą arba grįžtamojo ryšio principu. Tokių sistemų reguliavimo įtaise palyginamos reguliuojamojo parametro esamosios ir nuostato reikšmės ir pagal gautą skirtumą formuojamas valdymo signalas. Šis reguliavimo principas taikomas sistemose su grįžtamuoju ryšiu. Jų struktūrinė schema atskleidžiama 1.5 paveiksle. 11

1.5 pav. ARS su grįžtamuoju ryšiu struktūrinė schema Valdymo poveikis šioje sistemoje formuojamas atsižvelgiant į skirtumą ε ( t) tarp nuostato ynu ( t) ir esamosios reguliuojamojo parametro y( t ) reikšmių: u = F( ε ). (1.) Grįžtamasis ryšys yra automatinių sistemų, veikiančių reguliavimo pagal nuokrypą principu, būdingas bruožas. Grįžtamuoju ryšiu vadinamas ryšys, kuriuo informacija apie valdomo objekto būvį perduodama iš sistemos išėjimo į reguliavimo įtaiso įėjimą. Grįžtamasis ryšys laikomas neigiamu, jei reguliavimo įtaise palyginimo elementas nustato nuokrypą ε ( t) = ynu ( t) y( t). Reguliavimo pagal nuokrypą principas yra universalus ir efektyvus, nes juo galima valdyti nestabilius objektus, keisti reguliuojamąjį parametrą pagal norimą dėsnį, kai paklaida ε gana maža, neatsižvelgiant į ją sukėlusias priežastis. Grįžtamasis ryšys būdingas ne tik techninėms sistemoms, bet ir gyviems organizmams. 1..4. Kombinuoto reguliavimo principas Didelio tikslumo automatinės sistemos sudaromos kombinuoto reguliavimo principu, panaudojant reguliavimo pagal nuokrypą ir pagal trikdį savybes. Tokios sistemos struktūrinė schema parodyta 1.6 paveiksle. 1

1.6 pav. Kombinuoto valdymo sistema Kombinuoto valdymo sistemose, be pagrindinio grįžtamojo ryšio, yra pagrindinio trikdančiojo poveikio z( t ) kompensavimo grandis. Neįvertintų trikdžių poveikį kombinuotose ARS kompensuoja arba gerokai susilpnina reguliavimo pagal nuokrypą kontūras. 1.3. Kontroliniai klausimai ir užduotys 1. Kas yra sistema?. Kokia valdymo sistemos užduotis? 3. Iš ko susideda paprasčiausia AVS? 4. Nuo ko priklauso valdomo objekto darbas? 5. Koks objektas yra stabilus, nestabilus ir neutralus? 6. Apibrėžkite statinę ir astatinę valdymo sistemą ir skirtumą tarp jų? 7. Kaip klasifikuojamos AVS pagal išėjimo dydžio kitimo dėsnį? 8. Apibrėžkite uždarąją ir atvirąją AVS. Koks pagrindinis skirtumas tarp jų? 9. Apibrėžkite reguliavimo pagal trikdį principą. Koks pagrindinis šio principo privalumas ir trūkumas? 13

. Automatinio valdymo sistemų dinamikos lygtys.1. Automatinio valdymo sistemų ir jų elementų diferencialinės lygtys Sistemų dinamika tiria pereinamuosius vyksmus. Pereinamasis vyksmas tai objekto išėjimo parametro kitimas laike veikiant nuostatui arba trikdančiajam poveikiui. Pereinamasis vyksmas gali būti surastas žinant visos sistemos elementų diferencialines lygtis. Iš visų elementų diferencialinių lygčių sudaroma viena bendra sistemos diferencialinė lygtis, kuri gali būti tiesinė ar netiesinė. n = n n F ( y, y, y,, y ) F ( z, z, z, z, u, u, u,, u ). (.1) Tiesinėms sistemoms galima taikyti superpozicijos metodą. Tuomet F ( y, y, y,, y ) = F ( z, z, z, z ) + + F ( u, u, u,, u ); n n n n (.) čia y, y, y,, y valdomas dydis ir jo išvestinės; u, u, u,, u n įėjimo (nuostato, uždavimo) dydis ir jo išvestinės; z, z, z, z trikdantysis poveikis ir jo išvestinės. Sistemos pereinamąjį vyksmą galima gauti įvairiais būdais: analitiniu, grafiniu, modeliuojant kompiuteriu. Klasikinis diferencialinių lygčių sprendimo metodas leidžia gauti analitinį sprendinį. Bendrasis diferencialinės lygties sprendinys: x = x + x (.3) iš iš n laisv; čia x iš bendrasis sprendinys, charakterizuojantis išėjimo dydžio kitimą laike; x priverstinė nusistovėjusio dydžio reikšmė; iš n n 14

x laisv laisvasis judesys, aprašomas diferencialine lygtimi, kurios dešinioji pusė lygi nuliui: n n d xiš d xiš dxiš n n n 1 n 1 iš a + a + + a + a x =. (.4) dt dt dt Šios lygties sprendinys: n αt αt αnt laisv = + + + n = i i= α t x C e C e C e C e i ; (.5) čia C i integravimo konstantos; α i būdingosios lygties šaknys. Būdingoji lygtis gaunama diferencialinėje lygtyje pakeitus d α : dt n n a α + a α + + a α + a = (.6) n n. Aukštos eilės lygčių šaknys randamos apytikriais metodais. Naudojant programinį paketą Matlab, šaknys randamos taip: 1. Sudaroma matrica A iš lygties koeficientų: a = [ an an an a a].. Panaudojama komanda roots(a)..1 pavyzdys 4 3 Duotos būdingosios lygtys: s 5s + 1; s + 3s 15s s + 9 ; 4 s +. Raskime jų šaknis. Matlab kodas: A1=[1-5 1] roots(a1) A=[1 3-15 - 9] roots(a) A3=[1 1] roots(a3). 15

Pirmos lygties šaknys: 4,7913,,87. Antros: 5,5745,,5836,,7951,,786. Trečios lygties šaknys gaunamos kompleksinės:,771 +,771i,,771,77,,771 +,77,,771,77.. pavyzdys Užrašykime.1 paveiksle parodytos schemos diferencialinę lygtį. i1 i 3 i uį I II u i š.1 pav. Elektrotechninė schema Naudodami Kirchhofo dėsnius.1 paveiksle parodytai schemai galime užrašyti: Pirmam kontūrui: di1 1 uį ( t) = L Ri. dt + + C (.7) Antram kontūrui: t uiš ( t) = Ri + i ( τ) dτ + uc (). (.8) C Mazgui a: i1 i i3 =. (.9) Jei schema nebus apkrauta, tai i 3 =. Tuomet: i = i = i. (.1) 16

Iš (.7) ir (.8) formulių gauname: tada galime užrašyti: di uį ( t) L u ( t), dt 1 = + iš (.11) t 1 i ( t) = u ( ) u ( ) d. L τ τ τ (.1) 1 į iš Įvertindami (.1) lygtį, i įrašome į (.8) lygtį: 1 u ( t) = R u ( τ) u ( τ) dτ + iš į iš L t τ1 1 + uį ( τ) uiš ( τ) dτdτ 1 + uc (). CL t Du kartus diferencijavę (.13) lygtį gauname: iš d u dt pertvarkę gauname: R duį duiš 1 = + L dt dt CL ( uį uiš ), (.13) (.14) d uiš du du iš į CL + CR + u iš = CR + uį. (.15) dt dt dt Pažymėkime T = RC ir T = LC. Gauname, kad tokios schemos matematinis modelis aprašomas antros eilės diferencialine lygtimi: d uiš du du iš į T + T 1 + uiš = T1 + uį. (.16) dt dt dt.3 pavyzdys. paveiksle parodyta automatinė nuolatinės srovės variklio greičio reguliavimo sistema, kai greitis reguliuojamas keičiant va- 17

riklio inkaro įtampą. Parodytoje schemoje darbo mašiną sukančio variklio greičiui matuoti naudojamas tachogeneratorius, kurio išėjimo įtampa U BR lyginama su etalonine (užduota) įtampa U e. Gautą įtampų skirtumą U galime sustiprinti pridėdami įtampą U. Tuomet įtampa U s tiekiama į stiprintuvą, kuri formuoja tiristorinio lygintuvo valdymo įtampą U v. Atsižvelgiant į šią įtampą, keičiasi valdomo lygintuvo išėjimo įtampa, o kartu ir variklio greitis. V =co n st T G V ŽA M T L k s { U v Ts Us U + - U e U 1 + -. pav. Nuolatinės srovės variklio greičio reguliavimas, kai keičiama variklio inkaro įtampa Užrašykime. paveiksle parodytos AVS elementų diferencialines lygtis: Palyginimo mazgas: u = u. e ubr (.17) 18

Stiprintuvui: u = u + u. (.18) s du v T uv ksus dt Tiristoriniam keitikliui: + =. (.19) U = k U (.) k v. Nuolatinės srovės variklio inkarui: diin u( t) = e( t) + Riniin + Lin ; (.1) dt Variklio dinamikos lygtis: Grįžtamojo ryšio lygtis: e = cφω ; (.) U ω = ; (.3) c Φ M = cφ i in. (.4) dω M M = J. (.5) dt u BR s = k ω. (.6) BR.4 pavyzdys.3 paveiksle pateikta erdvėlaivio saulės sekimo sistemos schema. Erdvėlaivio saulės sekimo sistema skirta erdvėlaivio padėčiai valdyti saulės atžvilgiu dideliu tikslumu..3 paveiksle pateikta schema paaiškina aprašytos erdvėlaivio saulės sekimo sistemos veikimo bei valdymo principus. Priimta, kad saulė juda tik viena plokštuma. 19

Saulės spindulys Paklaidos diskriminatorius C a W α b L B A f oto elem en ta s fo to elem en tas ia ib θ Išėjimo reduktorius 1/n R _ θv R Saulės ašis α Įrenginio ašis θv R + + e _ + e s _ S tip rin tu va s K s + e a _ M Nuolatinės srovės variklis _ e t + BR Tachogeneratorius.3 pav. Erdvėlaivio saulės sekimo sistemos schema Pagrindiniai saulės sekimo sistemos paklaidų diskriminatoriaus elementai yra du stačiakampiai silicio fotogalvaniniai elementai (A fotoelementas ir B fotoelementas), montuojami už stačiakampio plyšio gaubte. Fotoelementai įrengti taip, kad fotojutikliai būtų nuolat nukreipti į saulę, o šviesos spindulys kristų pro plyšį ant abiejų fotoelementų. Pro plyšį patekęs W pločio saulės spindulys (šviesos spindulys) krenta ant abiejų fotoelementų (A ir B). Spindulio kritimo kampas yra α, o kiekvieno fotoelemento aukštis yra C. Šviesos spindulys nuo plyšio vietos iki fotoelementų praeina atstumą, lygų L. Šviesos virtimas elektros energija dėl fotogalvaninio efekto: fotono energija sužadina elektronus (fotonai absorbuojami, o jų energija panaudojama elektronams sužadinti). Kadangi į fotoelementus krenta skirtingos vertės fotonų srautai, fotoelementų išėjimuose kuriamos skirtingo dydžio srovės: i a (iš A fotoelemento) ir i b (iš B fotoelemento). Kai fotoelementai yra nukreipti tiksliai į saulę, tuomet srovės lygios ir jų skirtumas lygus nuliui, ir kampas α (t) =. Šios srovės priešingu poliarumu patenka į integralinio sumatoriaus su grįžtamojo ryšio varža R įėjimus. Jo išėjime gaunama sustiprinta įtampa e. Ši įtampa sumuojama su tachogeneratoriaus įtampa e t

ir gaunama suminė stiprintuvo įėjimo įtampa e s. Stiprintuvo išėjime gaunama įtampa e a, kuria maitinamas nuolatinės srovės variklis M. Variklis tam tikru kampu suka θ m išėjimo reduktorių sistema pozicionuojasi (sistema tiksliai atsukama į didžiausio apšviestumo padėtį). Projektuojama valdymo sistema tarp kampų θ r (t) ir θ (t) turi palaikyti paklaidą, artimą. Užrašykime.3 paveiksle parodytos AVS elementų diferencialines lygtis: Paklaidos diskriminatorius: α = θ ( ) θ ( t ). (.7) r t Kai šviesai jautrūs elementai nukreipti į saulę α ( t) =, i ( t) = i ( t) arba i ( t) i ( t) =, tada: a b a Operacinis stiprintuvas: Stiprintuvas: b α k = i ( t) i ( t);. (.8) α a b [ ] e = R ia ( t) ib ( t). (.9) e ( t) = k e ( t). (.3) a s s Reduktoriaus išėjimo posūkio kampas siejasi su variklio posūkio kampu: θ m = ω m dt; (.31) θ = θ m N. (.3) Nuolatinės srovės variklis aprašomas lygtimis: diin ea ( t) = eb ( t) + Riniin + Lin ; (.33) dt e ( t) = k ω ( t); (.34) b b m e = cφω ; (.35) 1

M ( t) = cφ i ( t); (.36) in dωm ( t) M ( t) M s ( t) = J + Bω m ( t). (.37) dt Į inkaro apvijos induktyvumą L in, variklio veleno klampiosios trinties koeficientą B ir statinį apkrovos momentą M st neatsižvelgsime. Todėl L in =, B = ir M st =. Tachogeneratorius: e ( t) = k ω ( t). (.38) t t m.. Diferencialinių lygčių ištiesinimas Lygčių ištiesinimas tai netiesinių diferencialinių lygčių pakeitimas apytikrėmis tiesinėmis su prielaida, kad viso reguliavimo proceso metu visi kintamieji mažai nukrypsta nuo nusistovėjusių reikšmių (.4 paveikslas). Bendru atveju, užrašant diferencialines lygtis prieaugiams, naudojamas analitinės funkcijos skleidimas Teiloro eilute su sąlyga, kad parametrai įgauna mažas nuokrypas nuo nusistovėjusių reikšmių. Lygčių ištiesinimas ir jų užrašymas prieaugių forma leidžia gauti nulines pradines sąlygas. Tiesinant lygtis priimama, kad x = x + x, x kintamasis, x jo pradinė reikšmė, x prieaugis. Tuomet: n x x x ( n) f ( x) = f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) + + f ( x ). (.39)!! n! Taikant šią formulę, į antros eilės ir aukštesnius narius neatsižvelgiama, todėl galima laikyti, kad: f ( x) = f ( x ) + f ( x ) x. (.4)

f ( x) f ( x ) A f ( x ) x x x.4 pav. Diferencialinių lygčių ištiesinimas Toliau iš (.39) formulės atimamos nusistovėjusio režimo funkcijos reikšmės f ( x ) ir gaunami funkcijos prieaugiai: f ( x) = f ( x) f ( x ); (.41) f ( x) = x f ( x ); (.4) čia f ( x ) = tgα funkcijos išvestinė pagal įėjimo dydį, randama kaip statinės charakteristikos polinkio kampo tangentas darbo taške A, esant įėjimo dydžiui x (.5 paveikslas). f ( x) f ( x ) A α.5 pav. Charakteristikos polinkio kampas x x 3

.3. Kontroliniai klausimai ir užduotys 1. Kas yra pereinamasis vyksmas? Kaip galime gauti sistemos pereinamąjį vyksmą?. Naudodami programinį paketą Matlab, raskite duotų charakteringųjų lygčių šaknis: 1s 5s 3s s + 1, 6s 16s 1, 3 4 3 6s 16s + 1. 3. Kas yra diferencialinių lygčių ištiesinimas? 4. Užrašykite.6 paveiksle parodytų schemų diferencialines lygtis. uį uiš uį u iš.6 pav. Schemos 4

3. Automatinio valdymo sistemų operacinės lygtys ir perdavimo funkcijos 3.1. Laplaso transformacija Laplaso transformacija skirta spręsti tiesines diferencialines lygtis. Šis metodas turi du privalumus: 1. Homogeninės lygtys ir daliniai integralai sprendžiami naudojant vieną operaciją.. Diferencialinės lygtys paverčiamos į algebrines ir joms spręsti galima taikyti algebrinių lygčių sprendimo metodus, o galutinį sprendimą gauti naudojant atvirkštinę Laplaso transformaciją. Duota funkcija f ( t ), kuri tenkina sąlygas: f ( t) e dt <, (3.1) σt tuomet realiems σ tiesioginė Laplaso transformacija bus: arba simboliškai F( s) = L[ f ( t)]. F( s) = f ( t) e dt, (3.) Čia s = σ + jω yra kompleksinis kintamasis, vadinamas Laplaso operatoriumi. Grafiškai s galime pavaizduoti, kaip parodyta 3.1 paveiksle, kur σ yra realioji dalis, o ω menamoji dalis. st 5

Im( s) ω σ Re( s) 3.1 pav. Grafinis Laplaso operatoriaus vaizdavimas Svarbiausios Laplaso transformacijos teoremos: 1. Daugyba iš konstantos:. Suma ir atimtis: [ ] L kf ( t) = kf( s). (3.3) L[ f ( s) ± f ( s)] = F ( s) ± F ( s). (3.4) 3. Diferencijavimas: df ( t) L sf( s) lim f ( t) sf( s) f (); dt = = t (3.5) n d f ( t) n n ( ) () n = L s F s s f dt n (1) ( n 1) s f () f (). (3.6) 4. Integravimas: t F( s) L f ( τ) dτ = ; s (3.7) t t tn tn F( s) L f ( τ) dτ dtdt dtn dtn =. n s (3.8) 6

5. Poslinkis laike: [ ] Ts L f ( t T ) u ( t T ) = e F( s). (3.9) 6. Pradinių reikšmių teorema: t s lim f ( t) = lim sf( s). (3.1) s 7. Galutinių reikšmių teorema: lim f ( t) = lim sf( s). (3.11) t 8. Complex shifting: ± at 9. Kompleksų daugyba: s L[ e f ( t)] = F( s ± a). (3.1) t F ( s) F ( s) = L f( τ) f( t τ) dτ = t = f( τ) f( t τ) dτ = L[ f( t) f( t) ]; čia yra kompleksų sandauga. (3.13) 3.1 pavyzdys Apibrėžkime funkciją f ( t ), kurios reikšmė lygi konstantai, kai t, ir lygi nuliui, kai t <. Raskime šios funkcijos Laplaso transformaciją: st st F( s) = f ( t) e dt = e = [ 1 ] =. (3.14) s s s 3. pavyzdys Funkcija f ( t) = e at, kai t ir a = const. Raskime šios funkcijos Laplaso transformaciją: 7

st at st ( s+ a) t F( s) = f ( t) e dt = e e = e dt = ( s+ a) = e =. s + a s + a (3.15) Funkcijos f ( t ) gavimas iš transformuotos F( s ) vadinamas atvirkštine Laplaso transformacija: σ+ jω st f ( t) = F( s) e ds. (3.16) π j σ jω Simboliškai tai žymima: f ( t) = L [ F( s) ]. Funkcijos pirmavaizdis randamas naudojant Laplaso transformaciją atskirai kiekvienam poveikiui. Tam pasitelkiamos atvaizdų lentelės arba Hevisaido skaidybos formulės. Daugelį inžinerinių problemų galima spręsti naudojant Laplaso transformacijų lentelę. 3.1 lentelėje pateiktos pagrindinės Laplaso transformacijos. 3.1 lentelė. Laplaso transformacijos Laplaso transformacija, F( s) 8 Laiko funkcija f ( t) δ( t) (impulsas, kai t = ) s s n! n s + s + a us ( t ) (šuolinė funkcija, kai t = ) t (Ramp at t = ) n t ( n teigiamas skaičius) e at

s ( s + a)( s + b) s ω n + ωn s n s + ω ( s + a) n! ( s + a ) n+ ω n n ( s + a) + ω s + a ( s + a) + ωn (1 + st ) n ωn + ζω ns + ωn ωn + ζω ns + ωn s( s ) ω n T ζ n e e e at e b a sin ω cos ω bt n t n t te at n at t e at at sin ω t n cosω t t ( n 1)! e ζωn t n n sin ω e n t T ζ t ( n t ) 1 ζω 1+ e n t sin ω 1 ζ φ ; 1 ζ čia φ = tan ζ ζ 9

s ω ( ) n ζω e n t sin ωn 1 ζ t + φ + ζω + ω s ωn ns n 1 ζ ; čia φ = tan ζ ζ t s(1 + st ) e T s(1 + st ) s (1 + st ) t + T e T t T t T + ( t + T ) e T t + as t s (1 + st ) t ( a T ) 1 e + T s ( s + ω ) n ( s + ω n1 ) ( s + ωn ) s s n ( s + ω ) ω ω n ωn ω n n t sin ω t n ( cosω t cosω t) n n ( sin ω t + ω cosω t) n n n 3.3 pavyzdys s + 3 Gaukime perdavimo funkcijos G( s) = ( s + 1)( s + ) Laplaso transformaciją. Išskaidome funkciją: s + 3 A B G( s) = = + ; ( s + 1)( s + ) s + 1 s + atvirkštinę (3.17) 3

čia: s + 3 1+ 3 A = ( s + 1) G( s) s= = = = ; s + + s= s + 3 + 3 B = ( s + ) G( s) s= = = = 1; s + + s= (3.18) (3.19) tuomet gauname: s + 3 1 G( s) = = +. ( s + 1)( s + ) s + 1 s + (3.) Funkcijos G( s ) atvirkštinė Laplaso transformacija: g( t) = L + L s s = s + + + + t t L = e 1 e, kai t. s + 3.4 pavyzdys Gaukime perdavimo funkcijos Laplaso transformaciją. Išskaidome funkciją: G( s) = s ( s + 1) A A B G( s) = ; s ( s + 1) = s + s + s + (3.1) atvirkštinę (3.) čia d d A = s G( s) s= = = dt dt s + = 1; = ( s + 1) s= A s G s s= 31 s= s= = ( ) = = 1; s + (3.3) (3.4)

B = ( s + 1) G( s) s= = = 1. (3.5) s s= Tuomet galime užrašyti: G( s) = = + +. s ( s + 1) s s s + (3.6) Funkcijos G( s ) atvirkštinė Laplaso transformacija: g( t) = L + + L s s s = s + +. (3.7) t + L + L = + t + e s s + Tiesioginę ir atvirkštinę Laplaso transformaciją galima atlikti pasitelkiant Matlab programinį paketą. Tam naudojamos komandos laplace tiesioginei ir ilaplace atvirkštinei transformacijai gauti. 3.5 pavyzdys t Raskime funkcijos f ( t) = 5e Laplaso transformaciją. Matlab kodas: Pirmiausia reikia aprašyti simbolinį kintamąjį t. Todėl rašome komandą: >>syms t. t Tuomet įvedame funkciją f ( t) = 5e : >>f=5*exp(-*t) ir užrašome laplaso transformacijos komandą: L=laplace(f). Gaunamas rezultatas: L = 5/(s + ). 3

3.6 pavyzdys Raskime funkcijos f ( t) = 1 d y Laplaso transformaciją. Matlab kodas: dt >>laplace(1*diff(sym( y(t) ),)). Gaunamas rezultatas: 1*s^*laplace(y(t), t, s) - 1*s*y() - 1*D(y)(); čia y() pradinės sąlygos. 3.7 pavyzdys s 5 Gaukime funkcijos F( s) = atvirkštinę Laplaso transformaciją. s( s + ) Matlab kodas: >> syms t s >> F=(s-5)/(s*(s+)^); >> ilaplace(f) ans = 5/(4*exp(*t)) + (7*t)/(*exp(*t)) - 5/4 >>pretty(ans) 5 7 t 5 ---------- + ---------- - - 4 exp( t) exp( t) 4. 3.. Sistemos operacinių lygčių sudarymas Sudarant operacines lygtis pagal sistemos diferencialines lygtis, reikia žinoti pradines sąlygas. Jei duota diferencialinė lygtis: dxiš ( t) T + xiš ( t) = kxį ( t), (3.8) dt tai, esant pradinėms nulinėms sąlygoms, operacinė lygtis sudaroma pakeičiant išvestines ir integralo ženklus operatoriumi: 33

n d d d n = s, = s, = s, dt. dt n = (3.9) dt dt s Tuomet iš (3.8) lygties gauname: iš iš į t TsX ( s) + X ( s) = kx ( s). (3.3) Sudarant AVS, susidedančias iš kelių elementų operacinių lygčių, pirmiausia užrašoma sistemos diferencialinių lygčių sistema, po to taikomas Laplaso pakeitimas ir gaunama operacinių lygčių sistema, kuri išsprendžiama išėjimo signalo atžvilgiu: n n 1 ( n n L ) i m m 1 ( m m L ) a s + a s + + a s + a X ( s) = 1 1 š = b s + b s + + b s + b X ( s) + k 1 1 į k 1 k 1 L 1 + ( C s + C s + + C s + C ) Z( s). k (3.31) Iš šios lygties, esant užduotam įėjimo dydžiui xá ( t ) ar trikdžiui z( t ), gauname išėjimo dydžio operacinę lygtį: X iš B( s) Xį ( s) + C( s) Z( s) ( s) = ; (3.3) A( s) čia A( s), B( s), C( s ) kompleksinio kintamojo operaciniai daugianariai. 3.8 pavyzdys Duota diferencialinė lygtis. Ją užrašykime operacine forma ir gaukime jos sprendimą naudodami atvirkštinę Laplaso transformaciją: d d t f ( t) + 3 f ( t) + f ( t) = e, (3.33) dt dt d pradinės sąlygos f () = f ( t) =. Užrašome operacinę lygtį pagal (3.33) dt formulę: s F( s) + 3 sf( s) + F( s) =. (3.34) s + 34

Iškeliame F( s ) : F( s) =. s + s + 3s + Norėdami gauti lygties sprendimą, turime ją išskaidyti: F( s) = +. s + s + ( s + 1) Naudodamiesi 3.1 lentele gauname: t t t (3.35) (3.36) f ( t) = e e + te. (3.37) 3.3. Automatinio valdymo sistemų perdavimo funkcijos Taikant tiesioginį Laplaso pakeitimą ir esant pradinėms nulinėms sąlygoms, galima gauti operacinę lygtį: A( s) X ( s) = B( s) X ( s) + C( s) Z( s). (3.38) iš Perdavimo funkcija tai išėjimo dydžio operacinio atvaizdo santykis su operaciniu įėjimo dydžio atvaizdu, esant nulinėms pradinėms sąlygoms. Skiriamos grandies atvirosios ir uždarosios sistemų perdavimo funkcijos. Užrašykime perdavimo funkciją, kai veikia įėjimo signalas X į : į į Xiš ( s) B( s) W ( s) = =. (3.39) X ( s) A( s) Veikiant trikdžiui Z, perdavimo funkcija užrašoma taip: Xiš ( s ( ) ) C ( s W ) z s =. Z( s) = A( s) (3.4) AVS sistemų elementų perdavimo funkcijos naudojamos struktūrinėms schemoms sudaryti. 35

3.9 pavyzdys Užrašykime. pavyzdyje nagrinėtos sistemos perdavimo funkciją. Užrašome operacinę lygtį: Sutvarkę gauname: iš 1 iš iš 1 į į. T s u + T su + u = T su + u (3.41) 1 iš 1 į ( T s + T s + 1) u = ( T s + 1) u. (3.4) Užrašome perdavimo funkciją: u ( s) T s + 1 W ( s) = =. u ( s) T s + T s + 1 iš 1 į 1 (3.43) 3.1 pavyzdys Užrašykime. paveiksle parodytos sistemos operacines lygtis ir perdavimo funkcijas. Naudodamiesi anksčiau užrašytomis sistemos diferencialinėmis lygtimis (.13.) gauname: Palyginimo mazgas: U ( s) = Ue ( s) UBR ( s); (3.44) Us ( s ) U ( s ) U ( s ). = + (3.45) Pagal (3.44) ir (3.45) lygtis sudaryta struktūra parodyta 3. paveiksle. 3. pav. Sumavimo mazgai 36

Stiprintuvo, kaip periodinės grandies, operacinė lygtis: ( Ts + 1) U ( s) = k U ( s). (3.46) v s s Iš (3.46) lygties gauname stiprintuvo perdavimo funkciją: Uv ( s) ks Ws ( s) = =. (3.47) Us ( s) Ts + 1 Struktūrinės schemos dalis su stiprintuvu pateikta 3.3 paveiksle. 3.3 pav. Struktūrinės schemos dalis su stiprintuvu Variklio inkaro grandinės operacinė lygtis: U ( s) = E( s) + RinIin ( s) + LinsIin ( s). (3.48) Kitos lygtys, susiejančios variklio parametrus: E( s) = cφ ω( s); (3.49) U ( s) ω ( s) = ; cφ (3.48) lygtį perrašome tokia forma: (3.5) M ( s) = cφ Iin ( s). (3.51) Lin U ( s) E( s) = Rin (1 + s) Iin ( s). (3.5) Rin Skaitiklį ir vardiklį padalijame iš c Φ ir pažymime U ( s) E( s) Rin = (1 + T e s) Iin( s). cφ cφ cφ L i n T e = : Rin (3.53) 37

Pritaikę (3.49) ir (3.5) lygtis, gauname: Rin ( s) ( s) = (1 + T e s) Iin ( s). cφ ω ω (3.54) Inkaro srovė išreiškiama iš (3.51) lygties: ir įrašoma į (3.54) lygtį: ( ) in ( ) M s I s = cφ (3.55) Rin ω ( s) ω( s) = (1 + T ) ( ). e s M s c Φ (3.56) Variklio dalies, kai įėjimas yra greitis, o išėjimas sukuriamas momentas, perdavimo funkcija yra: M ( s) c Φ Wm ( s) = =, ω ( s) ω( s) Rin ( Te s + 1) o gauta struktūrinė schema parodyta 3.4 paveiksle. (3.57) 3.4 pav. Variklio inkaro grandinės struktūrinė schema Variklio tuščiosios eigos greitis ω su inkaro įtampa siejamas lygtimi. Pagal šią lygtį struktūrinės schemos dalis pateikta 3.5 paveiksle. U 1 C 3.5 pav. Įtampos ir greičio ryšys 38

Pavaros dinamikos lygtis: M ( s) M s ( s) = Jsω( s). (3.58) Iš (3.58) lygties randame variklio mechaninę inerciją įvertinančią perdavimo funkciją: ω( s) 1 Wd ( s) = =. M ( s) M s ( s) Js (3.59) Šios dalies struktūra parodyta 3.6 paveiksle. 3.6 pav. Variklio struktūrinės schemos dalis Tachogeneratoriaus operacinė lygtis: UBR ( s) = kbrω( s). (3.6) Iš (3.6) lygties randamas tachogeneratoriaus perdavimo koeficientas: U k BR BR =. (3.61) ω Tachogeneratoriaus struktūrinės schemos dalis parodyta 3.7 paveiksle. U BR ω 3.7 pav. Tachogeneratoriaus struktūrinės schemos dalis 39

3.11 pavyzdys Užrašykime.3 paveiksle parodytos sistemos operacines lygtis ir perdavimo funkcijas. Į inkaro apvijos induktyvumą L in ir variklio veleno klampiosios trinties koeficientą B neatsižvelgsime. Paklaidos diskriminatorius: θ ( ) θ ( ) = α ( ); (3.6) r s s s Ia ( s) Ib ( s) α( s) kα = Ia ( s) Ib ( s) W ( s) = = kα. α( s) Operacinis stiprintuvas: [ ] a b Ia ( s) Ib ( s) (3.63) E ( s) I ( s) I ( s) R = E ( s) W = = R. (3.64) Stiprintuvas: E ( s ) Et ( s ) = Es ( s ); (3.65) E ( s) E ( s) k = E ( s) W ( s) = = k. (3.66) a s s a 3 s Es ( s) Nuolatinės srovės variklis: I ( s) ( ) ( ) ( ) ; (3.67) E in a s E b s = R in I in s W 4 = = E a ( s ) E b ( s ) R in E ( s) E ( s) k ( s) W ( s) k ; b b = bω m 5 = = b ωm ( s) (3.68) M ( s) M ( s) = C Φ Iin ( s) W6 ( s) = C ki; I ( s) = Φ = (3.69) M ( s) M ( s) = Jsω ( s) + Bω ( s) ωm ( s) W7 ( s) = =. M ( s) M ( s) Js + B in s m m s (3.7) 4

Reduktorius: θm ( s) θ m ( s) = ωm ( s) W8 = = ; s ω ( s) s θ( s) θ ( s) = θm ( s) W9 = =. N θ ( s) N m m (3.71) (3.7) Tachogeneratorius: Et ( s) = ktωm ( s) Et ( s) θ m ( s) = θ m ( s) = ωm ( s) s kt s Et ( s) W = = skt. θ ( s) m (3.73) 3.4. Kontroliniai klausimai ir užduotys 1. Užrašykite tiesioginės ir atvirkštinės Laplaso transformacijos formules.. Kas yra perdavimo funkcija? 3. Raskite Laplaso transformacija funkcijų: f ( t) = cos t ; f ( t) = sin t ; f ( t) = cos(3 t) ; 5t f ( t) = t e ; x f ( x) = e sin x 3. 4. Gaukite atvirkštinę Laplaso transformaciją perdavimo funkcijų: G( s) = s 3 s + G( s) =. ( s + 5)( s + 1s + 5) + s ; 1 6 G( s) = + 3 s s + 4 ; G( s) = ; s( s + 4) 5. Užrašykite 3.8 paveiksle parodytų sistemų (elementų) diferencialines ir operacines lygtis, perdavimo funkcijas. 41

F k R R 3 m y i C R 4 i3 f u r R 1 i 1 R 1 - + u c a) b) + ur R 1 R 1 R R3 R 3 - - ua M u k U f Trigeris Lygintuvas NS variklis ω Apkrova M - Tachogeneratorius + c) 3.8 pav. Sistemos: a) mechaninė; b) operacinis stiprintuvas; c) nuolatinės srovės pavaros automatinio valdymo sistema 4

4. Automatinio valdymo sistemų struktūrinės schemos 4.1. Struktūrinių schemų sudarymas ir prastinimas Dėl savo paprastumo ir universalumo struktūrinės schemos dažnai naudojamos aprašyti įvairias AVS. Struktūrinės schemos leidžia paprastai aprašyti sistemos sudėtį ir ryšius tarp jos elementų. Sudarant šias schemas naudojamos perdavimo funkcijos, kurias pasitelkiant aprašoma elemento išėjimo signalo priklausomybė nuo įėjimo signalo. 4.1 4.3 paveiksle parodyti trys pagrindiniai struktūrinių schemų jungimo būdai ir jų prastinimas. R( s ) C( s) G ( s) G ( s) 4.1 pav. Nuoseklus jungimas R( s) C( s) = G ( s) G ( s) R( s), (4.1) G ( s) G ( s) C( s) C( s) G ( s) G ( s). R( s ) = (4.) 43

G ( s) + R( s ) C( s) G ( s) + 4. pav. Lygiagretus jungimas [ ] C( s) = G ( s) + G ( s) R( s), (4.3) R( s) G ( s) + G ( s) C( s) C( s) G ( s) G ( s). R( s ) = + (4.4) R( s ) ε( s) C( s) G( s) H ( s) 4.3 pav. Uždaroji AVS C( s) = G( s) E( s); (4.5) E( s) = R( s) H ( s) C( s); (4.6) [ ] C( s) = G( s) R( s) H ( s) C( s) ; (4.7) 44

G( s) C( s) = R( s); (4.8) 1 + G( s) H ( s) R ( s ) G ( s ) 1 + G( s) H ( s) C( s) C( s) G( s) =. (4.9) R( s) 1 + G( s) H ( s) Struktūrinių schemų prastinimo taisyklės pateiktos 4.1 lentelėje. 4.1 lentelė. Struktūrinių schemų prastinimo taisyklės Nr. Originali schema Ekvivalentinė schema R( s ) 1 G ( s) G ( s) C( s) R( s ) C( s) G ( s) G ( s) G ( s) R( s ) C( s) G ( s) ± + R( s ) C( s) G ( s) ± G ( s) R( s ) ε( s) C( s) G( s) 3 ± R ( s ) G ( s ) 1 ± G( s) H ( s) C( s) H ( s) W Z Y 4 W Z X Y X 45

5 X Y G Z X Y G G Z 6 X Y G Z X Y G G Z 7 G G G 8 G G G 4.1 pavyzdys Raskime 4.4 paveiksle parodytos uždarosios AVS perdavimo funkciją: R( s ) + 4 s + s C( s) - Pritaikę 1 taisyklę gauname: 4.4 pav. AVS struktūrinė schema R( s ) + 4 C( s) s( s + 1) 46

Pagal 3 taisyklę gauname uždarosios sistemos perdavimo funkciją: 4 C( s) s( s + 1) 4 = =. R( s) 4 + s + s + 4 s( s + 1) (4.1) 4. pavyzdys Raskime 4.5 paveiksle parodytos uždarosios AVS perdavimo funkciją: R( s) + G ( s) + G ( s) C( s) - - H ( s) 4.5 pav. AVS struktūrinė schema Naudodami 3 taisyklę suprastiname sistemą: R( s) + - G ( s) G ( s) 1 + G ( s) H ( s) C( s) Remdamiesi 1 taisykle gauname: R( s ) + G ( s) G ( s) C( s) 1 + G ( s) H ( s) - 47

Pasitelkdami 3 taisyklę gauname uždarosios sistemos perdavimo funkciją: G ( s) G ( s) C( s) 1 + G ( s) H ( s) G ( s) G ( s) = = R( s) 1 + G ( s) H ( s) + G ( s) G ( s) 1 ( ) ( ). (4.11) G ( s) G ( s) + + G s H s 4.3 pavyzdys Raskime 4.6 paveiksle parodytos uždarosios AVS perdavimo funkciją: G 5 ( s) R( s) + G ( s) + + G ( s) G 3 ( s) C( s) - G 4 ( s) 4.6 pav. AVS struktūrinė schema Struktūrinėje schemoje G ir G 5 sudaro uždarąją sistemą. Todėl surandame jos perdavimo funkciją, naudodami 3 taisyklę. R( s) + - G ( s) G ( s) 1 G ( s) G ( s) 5 G 3 ( s) C( s) G 4 ( s) 48

Remdamiesi 8 taisykle gauname tokią struktūrinę schemą: R( s) + - G ( s) G ( s) 1 G ( s) G ( s) 5 G 3 ( s) C( s) G 4 ( s) G ( s) 3 Naudodami 1 taisyklę gauname: R( s ) + G ( s) G ( s) G ( s) C( s) - 1 3 1 G ( s) G ( s) 5 G4 ( s) G ( s) 3 Pasitelkdami 3 taisyklę randame uždarosios sistemos perdavimo funkciją: G1 ( s) G ( s) G3 ( s) C( s) 1 G ( s) G5 ( s) = = R( s) G1 ( s) G ( s) G3 ( s) G4 + 1 G ( s) G ( s) G 5 3 G1 ( s) G ( s) G3 ( s) =. 1 G ( s) G ( s) + G ( s) G ( s) G ( s) 5 1 3 (4.1) 4.4 pavyzdys Gaukime sistemos su dviem įėjimais perdavimo funkciją. Vienas sistemos įėjimas yra nuostato signalas, o kitas apkrovos trikdžio signalas: 49

D( s) R( s ) + + G ( + ( C( s) - H ( s) Pagal superpozicijos principą galima užrašyti, kad sistemos išėjimo dalis C ( s), kurią kuria nuostato signalas, egzistuoja tik tada, kai D( s ) = : G ( s) G ( s) ( ) = R( s). (4.13) 1 + G ( s) G ( s) H ( s) C s Kita dalis C ( s), kuriama trikdžio, egzistuoja tik tada, kai R( s ) = : G ( s) C ( s) = D( s). (4.14) 1 + G ( s) G ( s) H ( s) Bendrą perdavimo funkciją gauname: G ( s) G ( s) C( s) = C ( s) + C ( s) = R( s) + 1 + G ( s) G ( s) H ( s) G ( s) + D( s). 1 + G ( s) G ( s) H ( s) (4.15) G ( s) G ( s) H ( s ) yra atvirosios sistemos perdavimo funkcija, o 1 + G ( s) G ( s) H ( s) = charakteringoji lygtis. 4.5 pavyzdys Nubraižykime. paveiksle parodytos sistemos struktūrinę schemą. 5

Naudodami trečiame skyriuje gautas operacines lygtis ir 3. 3.7 paveikslus sudarome struktūrinę schemą, kuri parodyta 4.7 paveiksle. M s U U Us Uv e k s u U BR Ts+ k k u CΦ ω ω ω C Φ R ( T s + ) in e M M Js ω k BR 4.7 pav. Variklio greičio reguliatoriaus struktūrinė schema Sistemai tirti laikome, kad atsiranda įtampos U e pokytis U e, o įtampa U 1 ir apkrovos momentas nekinta ir t. y. M s =. Perbraižome struktūrinę schemą pokyčiams (4.8 paveikslas). U v 4.8 pav. Reguliatoriaus struktūrinė schema, perbraižyta pokyčiams Suprastinkime 4.7 paveiksle parodytą struktūrinę schemą. Pirmiausia suprastiname variklio uždarą struktūrą: ( CΦ) Rin ( Te s + 1) Js ( CΦ) Wvu = = ( CΦ ) JRinTe s + JRin s + ( CΦ) + Rin ( Te s + 1) Js. (4.16) 51

(4.16) padaliję iš ( CΦ ), gauname: Wvu =, JRin JR T in es + s + ( CΦ) ( CΦ) (4.17) pažymėję T m = JRin ( ), CΦ gauname: Wvu =. TmTe s + Tm s + (4.18) Suprastinę uždarą variklio struktūrą, gauname tokią struktūrinę schemą: U e U k s Ts + U v k k U ω CΦ TmTe s + Tm s + ω U BR k BR Užrašykime atvirosios sistemos perdavimo funkciją: k W s = k k = s a ( ) k BR Ts + CΦ TmTe s + Tm s + (4.19) k k k =. C Φ ( Ts + 1)( T T s + T s + 1) s k BR m e m 4.6 pavyzdys Nubraižykime.3 paveiksle parodytos sistemos struktūrinę schemą. 5

Naudodami trečiame skyriuje gautas operacines lygtis, sudarome struktūrinę schemą, kuri parodyta 4.9 paveiksle. θ r + - α k α ia i b R e es e t k s e a e b Ra ia M k ωm i Js+ B k b s θm θ N sk t 4.9 pav. Erdvėlaivio saulės sekimo sistemos struktūrinė schema Erdvėlaivio saulės sekimo sistemoje veikia tokie signalai: - θ r apkrovos kampas tarp saulės ašies ir atskaitymo ašies; - θ m apkrovos kampas tarp variklio ašies ir atskaitymo ašies; - θ apkrovos kampas tarp fotoelementų korpuso ašies ir atskaitymo ašies; - α kampas tarp įrenginio ašies ir saulės ašies; - i a srovė, tekanti iš A fotoelemento; - i b srovė, tekanti iš B fotoelemento; - e integralinio sumatoriaus išėjimo įtampos signalas; - e s stiprintuvo įėjimo įtampos signalas; - e t tachogeneratoriaus BR įtampos signalas; - e a stiprintuvo išėjimo įtampos signalas; - e b tachogeneratoriaus išėjimo įtampos signalas; - M variklio kuriamas momentas; - ω m variklio išėjimo veleno kampinis greitis. 4.9 paveiksle pateikta struktūrinė schema gali būti suprastinta ir užrašyta analitiškai. Tam tikslui signalus užrašome kaip signalų pokyčius (i a i a ir t. t.). Naudodami 4.1 lentelės 3 taisyklę, suprastiname vidinius grįžtamuosius ryšius: 53

W u ki ki Ra Js Ra Js = = = R ajs + kik + k b i kb R Js R Js a kira Js ki = = R Js( R Js + k k ) R Js + k k a a i b a i b a. (4.) Gautą funkciją padaliję iš ( cφ ) = kkkb, gausime: W u kb kv ( s) = = ; Ra Js T ms + + k k i b (4.1) čia T m laiko pastovioji; k v variklio konstanta. Nutraukus išorinį grįžtamąjį ryšį galima gauti atvirosios saulės sekimo sistemos perdavimo funkciją: kα R ks ki 1/ N kα R ks ki 1/ N Wa ( s) = =. (4.) R Js + k k s s( R Js + k k ) a i b a i b 4.. Kontroliniai klausimai ir užduotys 1. Kam naudojamos struktūrinės schemos?. Sudarykite 3.8 paveiksle parodytų sistemų struktūrines schemas. 3. Suprastinkite 4.1 paveiksle parodytas struktūrines schemas. 54

H ( s) R( s) + G ( s) G ( s) G 3 ( s) C( s) - H ( s) a) R( s) + - G ( s) + G ( s) + - + - G 3 ( s) C( s) H ( s) H 3 ( s) H ( s) b) H 3 ( s) R( s) + - G ( s) + G ( s) + - - G 3 ( s) G 4 ( s) C( s) H ( s) H ( s) c) 4.1 pav. AVS struktūrinės schemos 55

5. Automatinių sistemų statika 5.1. Statinis reguliavimas Nagrinėjant automatinės sistemos darbo režimus statiniu požiūriu, visi sistemos parametrai laiko atžvilgiu yra pastovūs. Pagrindiniai klausimai, kuriuos nagrinėja statika, yra: sistemos tikslumas; sistemos elementų ir jų statinių charakteristikų analizė. Sistemos statinė charakteristika tai jos išėjimo dydžio priklausomybė nuo įėjimo dydžio ar trikdžio nusistovėjusio režimo atveju. Pagal charakteristikų pobūdį AVS skirstomos į statines ir astatines. Statinis reguliatorius yra toks reguliatorius, kuris palaiko nustatytą išėjimo dydį su leistina statine paklaida. Reguliavimas vyksta pagal nuokrypos principą. Tokie reguliatoriai naudojami įvairiems parametrams stabilizuoti: greičiui, įtampai, srovei, lygiui ir t. t. Kai reguliatorius atjungtas, sistema vadinama atvirąja. Atvirosios sistemos išėjimo ir įėjimo parametrų pokyčių santykis vadinamas atvirosios sistemos stiprinimo koeficientu: xiš ka =. (5.1) xį Išėjimo dydžio nuokrypa nuo nustatytos reikšmės, atsiradusi veikiant trikdžiui, vadinama reguliavimo paklaida. Santykinė statinė paklaida: xiš δ = ; (5.) xišv čia x išv išėjimo parametro vardinė reikšmė. Reguliuojamojo dydžio nuokrypos ir užduoto reguliuojamojo dydžio santykis, esant didžiausiai apkrovai, vadinamas statizmu S. 56

Atvirajai sistemai: S atv uždarajai sistemai: xišatv + xiš xiš min atv xišatv = = 1 = ; (5.3) x x x išatv išatv išatv S uzd xišužd =. (5.4) x išužd Atvirosios sistemos statizmas yra didesnis negu uždarosios. Jei Sužd, tai reguliavimas (valdymas) vadinamas statiniu, o sistema statinė, jei S užd =, tai reguliavimas vadinamas astatiniu, o sistema astatine. Išnagrinėsime nuolatinės srovės variklio greičio stabilizavimo sistemą, parodytą. paveiksle. Statinės reguliatoriaus charakteristikos parodytos 5.1 paveiksle ω ω ωmin už ω min atv δ ω gr. r tr = ω uždaroji atviroji M max M 5.1 pav. Statinės reguliatoriaus charakteristikos Jei sistema yra atviroji (t. y. reguliatorius yra atjungtas), tai, keičiantis variklio apkrovos momentui nuo nulio iki maksimalios reikšmės, variklio greitis pasikeičia dydžiu: ω = = ω ω (5.5) tr 57 min atv; čia ω tuščiosios eigos variklio sukimosi greitis; ω min atv variklio sukimosi greitis esant maksimaliai apkrovai; ω sukimosi

greičio nuokrypa atvirojoje sistemoje (t. y. tr reguliuojamo parametro nuokrypa atvirojoje sistemoje). Kai reguliavimo sistema uždaroji (esant įjungtam reguliatoriui), variklio greitis negali būti idealiai pastovus ir, keičiantis apkrovai nuo nulio iki maksimalios reikšmės, pakinta dydžiu: ω = ω ω = δ (5.6) už min už. Uždarojoje sistemoje šis nukrypimas nuo nustatyto dydžio, atsiradęs veikiant trikdžiui, vadinamas reguliavimo paklaida δ. Apkrovus variklį didžiausiu momentu, variklio greitis sumažėja tr = ω, o veikiant grįžtamajam ryšiui padidėja dydžiu: Statinė paklaida lygi: ω = δ (5.7) gr. r. ka. Tuomet (5.7) įrašę į (5.8) gauname: δ = ω (5.8) tr gr. r.. δ = tr δ ka ; (5.9) k a tr = 1. (5.1) δ 5.. Astatinis reguliavimas Sistemos, kurių išėjimo dydis esant nusistovėjusiam režimui palaikomas pastovus, vadinamos astatinėmis. Išėjimo dydžio kitimo greičio santykis su įėjimo signalu vadinamas astatinės sistemos stiprinimo koeficientu: xi š ka = ; (5.11) x čia dxiš xi š = išėjimo dydžio kitimo greitis. dt 58 į

Minimali stiprinimo koeficiento reikšmė randama iš nusistovėjusio režimo reikalavimų. Apskaičiuokime.3 paveiksle parodytos erdvėlaivio saulės sekimo sistemos stiprinimo koeficientą. Užduoti tokie reikalavimai: 1. Nusistovėjusio režimo paklaida α ( t) (į vienetinį augantį θ r signalą) turi būti ne didesnė už,1 rad/s nuo nusistovėjusios greičio vertės, t. y α ( t) < 1%.. Maksimali dinaminė nuokrypa į šuolinį vienetinį įėjimą neturi viršyti 5 % arba turi būti kiek galima mažesnė 3. Pereinamojo proceso trukmė t p <. s. Pagal galutinės (nusistovėjusios) reikšmės teoremą dydžiui α ( t) nurodoma: lim α ( t ) = lim s A ( s ) = lim s θr ( ) 1 + W ( s) s ; (5.1) t s s čia = Wε ( s) + ( s) W a a paklaidos perdavimo funkcija; A( s) = Wε ( s) θr ( s) išėjimo signalo (paklaidos) vaizdas; θ r (s) sistemos įėjimo signalas. Vienetinis augantis θ (s) poveikis parodytas 5. paveiksle. r θ r t, s 5. pav. Vienetinis augantis θ (s) poveikis 59 r

Kai θ ( ) = t, tai θ ( ) : r t r s θ r ( s ) =. (5.13) s Tarkime, kad apskaičiuota atvirosios saulės sekimo sistemos 5ks perdavimo funkcija: Wa ( s) =. Tuomet tokios sistemos sti- s( s + 5) prinimo koeficientas apskaičiuojamas taip: lim α ( t) = lim s = 5k + s s( s + 5) t s s s( s + 5) 1 = lim s = s s ( s + 5) + 5 k s s s + 5,1 = lim =. s s( s + 5) + 5k k s s (5.14) Pagal sistemos reikalavimus nusistovėjusio režimo paklaida α ( t) turi būti mažesnė nei,1. Tuomet,1,1. Vadinasi, k s turi būti didesnis už vienetą arba blogiausiu atveju lygus vienam ( ks ). Galima sudaryti būdingąją lygtį (perdavimo funkcijos s( s + 5) s( s + 5) + 5k s k s vardiklį prilyginus nuliui): s s( s + 5) + 5 = ; (5.15) + 5s + 5 = / 5;,4s +,1+ 1 = ; T s + T s + 1 =. 6

Remiantis tuo galima teigti, kad laiko pastoviosios: T =,4 =, s; T =,1s. Iš gautos lygties galima išskaičiuoti slopinimo koeficientą ξ : T,1 ξ = = =,5. T, (5.16) Galima daryti išvadą, kad pereinamojo proceso pobūdis yra švytuojamasis. 5.3. Kontroliniai klausimai ir užduotys 1. Kokius klausimus nagrinėja statika?. Kas yra sistemos statinė charakteristika? 3. Kaip skirstomos sistemos pagal statines charakteristikas? 4. Kas yra statinis reguliatorius? 5. Kas yra statizmas? 6. Kas yra atvirosios sistemos stiprinimo koeficientas? 7. Kas yra santykinė statinė paklaida? 61