Θέµτ Γεωµετρίς Γενικής Πιδείς Β Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµ 1ο Α.1. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ µε διάµεσο ΑΜ ν ποδείξετε ότι το άθροισµ των τετργώνων δύο πλευρών του ισούτι µε το διπλάσιο του τετργώνου της διµέσου που περιέχετι µετξύ των πλευρών υτών, υξηµένο κτά το µισό του τετργώνου της τρίτης πλευράς, δηλδή: β γ µ (Μονάδες 10 Α.. Σε τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ < ΑΓ ν συµπληρώσετε τη σχέση: ΑΓ ΑΒ. ώστε ν εκφράζει το δεύτερο θεώρηµ των διµέσων. (Μονάδες,5 Β. Ν γράψετε στο τετράδιό σς το γράµµ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση γι κθέν πό τ ερωτήµτ Β1 κι Β. Β1. Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνοντι β 8, γ 6 κι µ 5. Η πλευρά είνι ίση µε: Α. 7 Β. Γ. 10. 9 Ε. 11 (Μονάδες 6,5 Β. Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνοντι, β 7, γ 5, Α το ύψος κι ΑΜ η διάµεσος. Η προβολή Μ της διµέσου ΑΜ πάνω στην πλευρά είνι ίση µε: Α. Β. 8 Γ. 8/. 5 Ε. (Μονάδες 6 Τεχνική Επεξεργσί: Keystone 1
Ζήτηµ ο ίνετι ορθογώνιο τρπέζιο ΑΒΓ µ ΑΒ//Γ, ΑΒ<Γ κι ΑΒ, Α, ΒΓ 5. Ν υπολογίσετε: Την προβολή της ΒΓ πάνω στη Γ. β Το εµβδόν του τρπεζίου ΑΒΓ. γ Το εµβδόν του τριγώνου ΒΓ. (Μονάδες 9 (Μονάδες 9 (Μονάδες 7 Ζήτηµ ο Σε κύκλο (Ο,R είνι εγγεγρµµένο ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρά ΑΒ 15. Ν υπολογίσετε: Την κτίν R του κύκλου. β Το εµβδόν του κυκλικού δίσκου (Ο,R. γ Το εµβδόν του ισόπλευρου τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 6 (Μονάδες 6 (Μονάδες 6 δ Το εµβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τον κύκλο κι το ισόπλευρο τρίγωνο. (Μονάδες 7 Ζήτηµ ο ίνετι κύκλος (Ο,R κι µι διάµετρός του ΑΒ. Από έν σηµείο Μ του κύκλου, διφορετικό των Α κι Β, φέρνουµε κάθετη στη διάµετρο ΑΒ, που τέµνει τον κύκλο στο σηµείο Ζ κι τη διάµετρο στο σηµείο. Επί της ΑΒ θεωρούµε το ευθύγρµµο τµήµ ΟΓ Ο κι φέρνουµε τη ΜΓ, που τέµνει τον κύκλο στο σηµείο Ε. Ν ποδείξετε ότι: Μ Α Β. (Μονάδες 6 β ΜΓ ΓΕ Μ Ζ R Ο. (Μονάδες 6 γ ΜΓ Μ (R Ο. (Μονάδες 5 δ ΜΓ ΓΕ Μ Ζ (R Ο R Ο (Μονάδες 8 Τεχνική Επεξεργσί: Keystone
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ζήτηµ 1ο Α.1. Έστω ΑΒ < ΑΓ κι ΑΜ διάµεσος. Τ τρίγων ΑΒΜ κι ΑΜΓ έχουν: ΑΜ κοινή, ΒΜ ΜΓ κι ΑΒ < ΑΓ, άρ: M < 1 M (φού έχουν δύο πλευρές ίσες κι τις τρίτες πλευρές άνισες, οι πένντι γωνίες είνι οµοίως άνισες. Όµως, άρ: M o 1 M 180 M > o ο 1 < 90 κι M 90 Εφρµόζουµε στο τρίγωνο ΑΒΜ την γενίκευση του πυθγορείου ο θεωρήµτος γι οξεί γωνί (M 90 κι έχουµε: 1 < ΑΒ ΑΜ ΒΜ - ΒΜ Μ (1 Εφρµόζουµε στο τρίγωνο ΑΜΓ την γενίκευση του πυθγορείου ο θεωρήµτος γι µβλεί γωνί (M 90 κι έχουµε: > ΑΓ ΑΜ ΓΜ ΓΜ Μ ( Από τις σχέσεις (1 κι ( βρίσκουµε ότι: ΑΒ ΑΓ ΑΜ ΒΜ ΜΓ ΒΜ Μ ΓΜ Μ ΒΓ ΒΓ AM ΒΜ Μ ΒΜ Μ ΒΓ ΒΓ ΒΓ AM ΑΜ ΑΜ Εποµένως: Τεχνική Επεξεργσί: Keystone
β γ µ β Έστω ΑΒ ΑΓ. Τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είνι ιοσκελές, οπότε η διάµεσος Α είνι ύψος κι διχοτόµος. Αφού Α διάµεσος, τότε Β Γ ΒΓ/, κι επιεδή Α ύψος, τότε το τρίγωνο ΑΒ είνι ορθογώνιο, π όπου µε Π.Θ. έχουµε: ΑΒ Α Β ΑΒ (Α Β ΑΒ ΑΓ Α Β ΒΓ ΒΓ ΒΓ AB ΑΓ Α Α Α Εποµένως: β γ µ γ Οµοίως µε το ( ποδεικνύετι ν ΑΒ > ΑΓ Α.. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ < ΑΓ, όπου Α ύψος κι ΑΜ διάµεσος. Τότε πό το δεύτερο θεώρηµ διµέσων έχουµε: ΑΓ ΑΒ ΒΓ Μ. Β.1. Από το θεώρηµ των διµέσων γνωρίζουµε ότι: Τεχνική Επεξεργσί: Keystone
β γ µ κι επειδή έχουµε β 8, γ 6 κι µ 5, βρίσκουµε: 8 6 5 / 6 6 5 / 100 50 / / 50 100 10, Εποµένως σωστή πάντηση είνι η Γ. Β.. Από το δεύτερο θεώρηµ των διµέσων, κι επειδή β > γ,, β 7, γ 5, βρίσκουµε: β γ Μ 7 5 Μ 9 5 8 Μ 8 Μ Μ, Εποµένως σωστή πάντηση είνι η Ε. Ζήτηµ ο Φέρνουµε το ύψος ΒΕ, οπότε η προβολή της ΒΓ πάνω στη Γ είνι το τµήµ ΓΕ. Επειδή το ΒΕ είνι ύψος (όπως κι το Α, θ ισχύει: ΒΕ Α. Εφρµόζουµε το πυθγόρειο θεώρηµ στο τρίγωνο ΒΕΓ κι βρίσκουµε ότι: ΒΓ ΒΕ ΕΓ ΕΓ ΒΓ ΒΕ ΕΓ 5 ΕΓ 16 ΕΓ. β Το τρπέζιο ΑΒΓ έχει µικρή βάση ΑΒ, µεγάλη βάση Γ Ε ΕΓ 8 κι ύψος Α, άρ: ΑΒ Γ 8 E ΑΒΓ Α 6 18 Ε ΑΒΓ 18 τετρ. µονάδες. γ Το τρίγωνο ΒΓ έχει βάση Γ 8 κι ύψος ΒΕ, οπότε: Τεχνική Επεξεργσί: Keystone 5
Γ ΒΕ 8 E ΒΓ 1 Άρ: Ε ΒΓ 1 τετρ. µονάδες. Ζήτηµ ο Γνωρίζουµε πό τη θεωρί ότι: λ λ 15 λ R R R R R 5 E (O, R (O,R (O, R β πr E π( 5 E π 5. µονάδες. Ε (0,R 75π τετρ. µονάδες. γ Γνωρίζουµε ότι έν ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς έχει εµβδόν: E Οπότε γι ΑΒ 15, βρίσκουµε ότι: 15 E AΒΒ E AΒΒ 5 τετρ.µονάδες δ Το εµβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τον κύκλο κι το ισόπλευρο τρίγωνο είνι: 5 E 75π - 00 5 Ε τετρ.µονάδες. Τεχνική Επεξεργσί: Keystone 6
Ζήτηµ ο Γι τη χορδή ΜΖ το Ο είνι πόστηµ, άρ το είνι το µέσο της χορδής ΜΖ κι το Β είνι το µέσο του τόξου ΜΖ. Επίσης, οι ΜΖ, ΑΒ είνι χορδές του κύκλου (Ο, R που τέµνοντι στο, εποµένως: Α Β Μ Ζ Α Β Μ Μ Α Β Μ. β Το ΜΕ είνι χορδή του κύκλου κι το Γ σηµείο της χορδής ΜΕ (εσωτερικό του κύκλου, άρ: ΜΓ ΓΕ R ΟΓ. Οµοίως το ΜΖ είνι χορδή του κύκλου κι το σηµείο της χορδής ΜΖ (εσωτερικό του κύκλου, άρ: Μ Ζ R ΟΓ. Συνεπώς: ΜΓ ΓΕ Μ Ζ R ΟΓ. γ Στο τρίγωνο ΜΓ το ΜΟ είνι διάµεσος οπότε πό το 1 ο θεώρηµ των διµέσων βρίσκουµε ότι: Μ ΜΓ ΜΟ (1/ Γ Μ ΜΓ R 1/ (Ο Μ ΜΓ R 1/ (Ο Μ ΜΓ R Ο. δ Επειδή Μ Ζ, Μ Ζ R ΟΓ κι Μ ΜΓ R Ο, η δοσµένη σχέση γράφετι ισοδύνµ: ΜΓ Μ ΓΕ Ζ (R R Ο Ο ΜΓ Μ ΓΕ Μ M ΜΓ Μ Ζ ΜΓ Μ ΜΓ 1 ΜΕ Μ ΜΓ Μ 1 ΓΕ Μ ΜΓ Μ ΜΓ ΜΓ 1 1 ΓΕ Μ ΜΓ ΜΓ ΓΕ Μ Τεχνική Επεξεργσί: Keystone 7
1 ΓΕ ΜΓ Μ Μ ΜΓ ΓΕ Μ Ζ ΜΓ ΓΕ Η τελευτί σχέση ισχύει λόγω του ου ερωτήµτος. Τεχνική Επεξεργσί: Keystone 8