ΑΣΚΗΣΕΙΣ. γ < ΟΑ + ΟΒ ΜΓ< ΟΜ + ΟΓ γ + ΜΓ < ΟΑ + ΟΒ + ΟΜ + ΟΓ γ + ΜΓ < (ΟΑ + ΟΓ) + (ΟΜ + ΟΒ) γ + ΜΓ < ΑΓ + ΜΒ γ + ΜΓ < β + ΜΒ

Transcript

1 ΘΕΩΡΙ. νισοτικές σχέσεις σε τρίωνο Κάθε εξωτερική ωνί τριώνου είνι µελύτερη πό τις πένντι εσωτερικές. πένντι πό άνισες πλευρές βρίσκοντι άνισες ωνίες κι ντίστροφ. Τριωνική νισότητ : β < < β + (υποτίθετι β > ) ν δύο τρίων έχουν β = β κι =, θ ισχύει η ισοδυνµί ˆ > ˆ > ΣΚΗΣΕΙΣ. Έστω σηµείο εξωτερικό τριώνου κι εσωτερικό της ωνίς. είξτε ότι β + > +. Έστω Ο η τοµή των,. Στο τρίωνο Ο : Στο τρίωνο Ο : Προσθέτουµε κτά µέλη : < Ο + Ο < Ο + Ο + < Ο + Ο + Ο + Ο + < (Ο + Ο) + (Ο + Ο) + < + + < β + Ο β

2 . ν Ρ είνι έν εσωτερικό σηµείο ενός τριώνου, ν δείξετε ότι τ < Ρ + Ρ + Ρ< τ, όπου τ είνι η ηµιπερίµετρος του τριώνου. Στο τρίωνο Ρ : Στο τρίωνο Ρ : Στο τρίωνο Ρ : < Ρ + Ρ < Ρ + Ρ < Ρ + Ρ Ρ Προσθέτουµε κτά µέλη : + + < Ρ + Ρ + Ρ τ < (Ρ + Ρ + Ρ) τ < Ρ + Ρ + Ρ πό νωστή εφρµοή έχουµε Ρ + Ρ < + Ρ + Ρ < + Ρ + Ρ < + Προσθέτουµε κτά µέλη : Ρ + Ρ +Ρ < + + Ρ + Ρ + Ρ < + + Ρ + Ρ + Ρ < τ 3. ίνετι ωνί ΧΟΨ κι σηµείο της διχοτόµου της Ο. πό το φέρνουµε την ΟΨ κι έστω το σηµείο τοµής της µε την ΟΧ. Ν δείξτε ότι <. Φέρουµε Κ ΟΧ. Τότε = Κ () Στο ορθοώνιο τρίωνο Κ είνι Κ < Η () ίνετι < Χ Κ Ο Ψ

3 3 4. Υπάρχει τρίωνο µε i) 3 β= κι = ; 3 5 ii) 7 = κι β= ; 5 3 ικιολοήστε την πάντηση σς i) β + = + = + = < ηλδή β + < που είνι άτοπο. Οπότε δεν υπάρχει τέτοιο τρίωνο. ii) β = = = > ηλδή β > που είνι άτοπο. Οπότε δεν υπάρχει τέτοιο τρίωνο. 5. Έστω κύκλος (Ο, ρ) κι εξωτερικό του σηµείο. Η Ο τέµνει τον κύκλο στ κι, µε το µετξύ των κι Ο. ποδείξτε ότι η είνι η ελάχιστη πόστση του πό τ σηµεί του κύκλου κι η η µέιστη. Έστω Σ το τυχίο σηµείο του κύκλου. Θ ποδείξουµε ότι Σ Ότν το Σ τυτίζετι µε το, τότε Σ =. Κι ότν το Σ τυτίζετι µε το, τότε Σ =. ι οποιδήποτε άλλη θέση του Σ, πό την τριωνική νισότητ στο τρίωνο ΣΟ έχουµε Ο ΣΟ < Σ < Ο + ΣΟ Ο Ο < Σ < Ο + Ο < Σ < Εποµένως ι οποιδήποτε θέση του Σ έχουµε Σ Σ Ο

4 4 6. Σε κάθε τετράπλευρο δείξτε ότι τ < + < τ, όπου τ η ηµιπερίµετρος του τετρπλεύρου Στο τρίωνο : < + O Στο τρίωνο : < + Στο τρίωνο : < + Στο τρίωνο : < + Προσθέτουµε κτά µέλη : ( + ) < ( ) + < < τ Έστω Ο το σηµείο τοµής των διωνίων. Στο τρίωνο Ο : < Ο + Ο Στο τρίωνο Ο : < Ο + Ο Στο τρίωνο Ο : < Ο + Ο Στο τρίωνο Ο : < Ο + Ο Προσθέτουµε κτά µέλη : < [( Ο + Ο) + (Ο +Ο] τ < ( + ) τ < + 7. ν είνι έν σηµείο της µικρότερης πλευράς τριώνου, ν ποδείξτε β+ ότι > A Επειδή η είνι η µικρότερη πλευρά του τριώνου θ είνι β > κι >. Στο τρίωνο : > Στο τρίωνο : > β Προσθέτουµε κτά µέλη : > β + > β + ( + ) > β + β+ > B β

5 5 8. ν είνι σηµείο της πλευράς τριώνου κι Ε, Ζ οι προβολές του στις πλευρές, ντίστοιχ, ν δείξτε ότι ΕΖ < Στο ορθοώνιο τρίωνο Ε : > Ε Στο ορθοώνιο τρίωνο Ζ : > Ζ Προσθέτουµε κτά µέλη : + > Ε + Ζ > Ε + Ζ () Στο τρίωνο ΕΖ : Ε + Ζ > ΕΖ () () + () + Ε + Ζ > Ε + Ζ + ΕΖ > ΕΖ Ε Ζ 9. ίνετι τρίωνο κι η διχοτόµος του Κ. είξτε ότι > Κ κι > Κ Στο τρίωνο Κ η ωνί Κ είνι εξωτερική άρ Είνι Κ > σν εξωτερική του τριώνου Κ Άρ Κ > Οπότε, στο τρίωνο Κ θ είνι > Κ Οµοίως. > Κ Κ 0. β+ είξτε ότι σε κάθε τρίωνο ισχύει υ < κι στη συνέχει ότι υ + υ β + υ < τ, όπου τ η ηµιπερίµετρος του τριώνου Στο ορθοώνιο τρίωνο : υ < Στο ορθοώνιο τρίωνο : υ < β Προσθέτουµε : υ < β + β+ υ < () Κυκλικά + υ β < () κι β+ υ < (3) () + () + (3) : υ + υ β + υ < + β + υ + υ β + υ < τ υ β

6 6. Σε κυρτό τετράπλευρο µελύτερη πλευρά είνι η κι µικρότερη η. είξτε ότι < κι < Επειδή η είνι η µικρότερη πλευρά του τετρπλεύρου, στο τρίωνο θ είνι < < ɵ Επίσης φού η είνι η µελύτερη πλευρά του τετρπλεύρου, στο τρίωνο θ είνι < () + () () < ɵ () + < ɵ + ɵ < ɵ Οµοίως δουλεύοντς στ τρίων κι ποδεικνύουµε ότι <. Έστω τρίωνο µε < κι η διάµεσος του. ν Ν τυχίο σηµείο της διµέσου, ν δείξετε ότι i) > ii) Ν > Ν i) Τ τρίων κι έχουν Οπότε > ii) Τ τρίων Ν κι Ν έχουν Οπότε Ν > Ν κοινή = κι > Ν κοινή = κι > Ν