Κβαντικός περιστροφέας που J J J H y z τοποθετείται y z περιγράφεται μέσα σε από τη ομογενές, Χαμιλτονιανή χρονοανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο με κατεύθυνση στα θετικά του άξονα z, δηλαδή B B ez, με B >. Αν ο γυρομαγνητικός λόγος του περιστροφέα είναι g και η στροφορμή του j, υπολογίστε τις ενέργειές του. Τι παρατηρείτε; Ελέγξτε τα αποτελέσματά σας δείχνοντας ότι αν μηδενιστεί το μαγνητικό πεδίο, παίρνουμε τις ενέργειες που υπολογίσαμε στην ανάρτηση με τίτλο «Το ενεργειακό φάσμα του ελεύθερου κβαντικού περιστροφέα στροφορμής j». Θεωρήστε ότι οι τρεις ροπές αδράνειας του περιστροφέα είναι διαφορετικές μεταξύ τους. Λύση Η μαγνητική ροπή του περιστροφέα είναι m g J, και η δυναμική του ενέργεια μέσα στο μαγνητικό πεδίο είναι U - m B -g J ( B ez ) -g B J e J y ey Jz ez ez -g B J z ( ) Δηλαδή U -g B J z () Σημείωση Δεχόμαστε ότι η σχέση m g J, εκτός από την τροχιακή στροφορμή και το σπιν, ισχύει και για μια γενική στροφορμή. Η Χαμιλτονιανή του περιστροφέα μέσα στο μαγνητικό πεδίο είναι H H U () Όπως εξηγήσαμε στην ανάρτηση με τίτλο «Ο κβαντικός περιστροφέας Γενικά», η Χαμιλτονιανή H μετατίθεται με το τετράγωνο της στροφορμής, αλλά, αφού ¹ y, δεν μετατίθεται με τη z συνιστώσα της στροφορμής. Αντίθετα, η δυναμική ενέργεια U μετατίθεται και με το τετράγωνο της στροφορμής και με τη z συνιστώσα της. Επίσης, αφού ¹ y, η Χαμιλτονιανή H δεν μετατίθεται με τη δυναμική ενέργεια U, η οποία είναι ανάλογη της z συνιστώσας της στροφορμής. Επομένως, οι τελεστές H και U δεν έχουν κοινές ιδιοκαταστάσεις, και αυτό σημαίνει ότι, γενικά, δεν μπορούμε να προσθέσουμε τις ενέργειες του περιστροφέα έξω από το μαγνητικό πεδίο, δηλαδή τις ιδιοτιμές της Χαμιλτονιανής H, με τις τιμές της δυναμικής ενέργειας U για να πάρουμε τις ενέργειες του περιστροφέα μέσα στο μαγνητικό πεδίο, δηλαδή τις ιδιοτιμές της Χαμιλτονιανής H. Δηλαδή, E ¹ E EU. Η Χαμιλτονιανή H μετατίθεται μόνο με το τετράγωνο της στροφορμής, επομένως έχει κοινές ιδιοκαταστάσεις με τον τελεστή J. Αυτό σημαίνει ότι οι καταστάσεις
σταθερού j είναι ιδιοκαταστάσεις της Χαμιλτονιανής H, η οποία, επειδή δεν έχει άλλους βαθμούς ελευθερίας, δεν έχει άλλες ιδιοκαταστάσεις. Για j, έχουμε τις καταστάσεις,,,,, -, και οι ιδιοκαταστάσεις της Χαμιλτονιανής H είναι γραμμικοί συνδυασμοί των τριών αυτών καταστάσεων. Επειδή η Χαμιλτονιανή H δεν μετατίθεται με τη z συνιστώσα της στροφορμής, οι τρεις αυτές καταστάσεις δεν είναι, γενικά, ιδιοκαταστάσεις της Χαμιλτονιανής H. Παρ όλα αυτά, όπως θα δούμε, η κατάσταση,, που είναι ιδιοκατάσταση της ενέργειας του ελεύθερου κβαντικού περιστροφέα, παραμένει ιδιοκατάσταση της ενέργειας του, μη ελεύθερου πλέον, περιστροφέα μέσα στο μαγνητικό πεδίο. Στη διατεταγμένη βάση {,,,,, - }, η Χαμιλτονιανή H αναπαρίσταται από τον πίνακα æ y z H y y (3), y z y που υπολογίσαμε στην ανάρτηση με τίτλο «Το ενεργειακό φάσμα του ελεύθερου κβαντικού περιστροφέα στροφορμής j». Στην ίδια βάση, η z συνιστώσα της στροφορμής αναπαρίσταται από τον διαγώνιο πίνακα æ Jz - Επομένως, η δυναμική ενέργεια U αναπαρίσταται από τον πίνακα æ U -g B (4) - Η Χαμιλτονιανή () αναπαρίσταται από τον πίνακα H H U, που με τη βοήθεια των (3) και (4) γράφεται
æ æ æ y y z æ -g B æ H y g B æ æ - y y z æ æ æ - g B y y z æ y æ æ g B z y y Δηλαδή æ æ - g B y z H æ y æ y (5) æ g B y z æ y Οι ιδιοτιμές του πίνακα H ταυτίζονται με τις ιδιοτιμές της Χαμιλτονιανής H όταν j, είναι δηλαδή οι ενέργειες του περιστροφέα μέσα στο μαγνητικό πεδίο όταν η στροφορμή του είναι j. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα H είναι το det ( H - l 3 ) æ - g B - l y z æ -l y æ g B - l y z æ y æ - g B - l æ æ y z -l y æ y æ y æ y æ g B - l y z
æ æ - l * y ææ æ æ æ æ æ - g B - l g B - l - y z y y z Οι ιδιοτιμές του πίνακα H είναι οι ρίζες του προηγούμενου χαρακτηριστικού πολυωνύμου, δηλαδή æ æ - l Þ l y y και æ æ æ æ æ æ - g B - l g B - l - y z y z y Το τριώνυμο του αριστερού μέλους γράφεται æ æ æ æ æ æ - g B g B - - g B l y z y z y z æ æ æ - l - g B l l - y y z æ æ æ æ æ - ( g B ) - l l - y z y z y æ l - l - ( g B ) y z æ æ æ æ æ æ - y z y y z y æ l - l - ( g B ) y z æ æ æ æ - y z y y z y 444444443 3 4444444444 y z z æ æ l - l y z Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι æ æ - ( g B ) y z z
æ æ æ æ æ æ - - 4 y z y z z g B ( ) æ æ æ - 4 4 ( g B ) y z y z z ææ æ æ 4 - ( g B ) y z y z z 4 Όμως æ y z z y z y z æ æ æ - y z y y z z z y æ æ y y z z y æ æ æ æ æ - y z y z z y æ y y æ æ - y Έτσι, η διακρίνουσα του τριωνύμου γράφεται æ æ æ æ 4 - ( g B ) - ( g B ) ³ y y Επομένως, το τριώνυμο μηδενίζεται για æ ± y z l æ æ - ( g B ) y Οι ενέργειες του περιστροφέα μέσα στο μαγνητικό πεδίο, για j, είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα H, δηλαδή æ ± æ y z, y æ æ - ( g B ) y æ δεν επηρεάζεται από την παρουσία του y æ μαγνητικού πεδίου. Η ενέργεια είναι η ενέργεια που αντιστοιχεί στην y ιδιοκατάσταση, όταν ο περιστροφέας είναι έξω από το μαγνητικό πεδίο, και εξακολουθεί να είναι ιδιοκατάσταση και μέσα στο μαγνητικό πεδίο, αφού Παρατηρήστε ότι η ενέργεια
U, -g B Jz,, 3, επομένως æ H, H U, H, U,, 44 3 3 y æ ( ), y Αυτό είναι αναμενόμενο, αφού εφόσον το μαγνητικό πεδίο είναι παράλληλο στον άξονα z, η z συνιστώσα της στροφορμής του περιστροφέα είναι αυτή που αλληλεπιδρά με το μαγνητικό πεδίο, και στην κατάσταση,, η z συνιστώσα της στροφορμής του περιστροφέα είναι μηδέν, επομένως όταν ο περιστροφέας βρίσκεται σε αυτήν την κατάσταση, δεν αλληλεπιδρά με το μαγνητικό πεδίο. Αν το μαγνητικό πεδίο μηδενιστεί, οι προηγούμενες ενέργειες γίνονται æ, y æ æ æ æ ± - ± y y z y z æ æ ± - y z y æ æ ± y z y - y æ æ,, z y z παίρνουμε δηλαδή τις ενέργειες που υπολογίσαμε στην ανάρτηση με τίτλο «Το ενεργειακό φάσμα του ελεύθερου κβαντικού περιστροφέα στροφορμής j». Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. skonstan@otmail.com