Έλεγχος Υποθέσεων (Hypothesis Testing)

Έλεγχος Υποθέσεων (Hypothesis Testig) Ορισμοί Μορφές στατιστικού ελέγχου Πιθανότητες σφάλματος τύπου Ι και ΙΙ Ισχύς (Power) ενός ελέγχου Η P-τιμή (P-vlue) Στατιστικοί έλεγχοι υποθέσεων για ειδικές περιπτώσεις Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( )

Στατιστικός έλεγχος: Βασικές έννοιες Αποδοχή ή απόρριψη μιας στατιστικής υπόθεσης για τον πληθυσμό με προκαθορισμένα όρια ανοχής σφάλματος. Έστω άγνωστη παράμετρος θ Θ της κατανομής f(x θ) που αφορά έναν πληθυσμό. Αν Θ και Θ δύο υποσύνολα του παραμετρικού χώρου Θ, τότε ορίζουμε: Η μηδενική υπόθεση: στατιστική υπόθεση που αφορά την υπόθεση ότι θ Θ Η εναλλακτική υπόθεση: στατιστική υπόθεση που αφορά την υπόθεση ότι θ Θ Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( )

Παράδειγμα : Έλεγχος επιπέδου ακτινοβολίας Έστω ότι μια εταιρεία κινητής τηλεφωνίας έχει κατασκευάσει ένα νέο κινητό. Πριν το προωθήσει στην αγορά θέλει να μελετήσει τα επίπεδα εκπομπής της ακτινοβολίας του. Αν ενδιαφέρεται να γνωρίσει τη μέση ακτινοβολία, τότε θα κάνει μία εκτίμηση διαστήματος εμπιστοσύνης του μέσου. Αν όμως ενδιαφέρεται να γνωρίσει αν η μέση ακτινοβολία δεν υπερβαίνει ένα μέγιστο επιτρεπτό όριο, τότε θα πρέπει να κάνει έναν στατιστικό έλεγχο υποθέσεων. Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 3 )

Παράδειγμα : Έλεγχος αν ένα νόμισμα είναι δίκαιο Εκτελούμε ρίψεις και βρίσκουμε τη συχνότητα να έρθει Κορώνα ( N K ). Με βάση την τιμή του Ν K θα αποδεχτούμε ή θα απορρίψουμε την υπόθεση. Αν το νόμισμα είναι δίκαιο αναμένουμε η τιμή του Ν K να είναι κοντά στο 5. Αλλά, για ποιες τιμές ξεκινάμε να απορρίπτουμε την υπόθεση αυτή? Χρειαζόμαστε ένα κριτήριο για να αποφασίζουμε Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 4 )

Παράδειγμα 3: Δικαστικές υποθέσεις Όταν κάποιος οδηγείται σε δίκη είναι γιατί αμφισβητείται η αθωότητά του. Οι δικαστές θέτουν ως μηδενική υπόθεση Η ότι ο κατηγορούμενος είναι αθώος (δηλ. αυτή που αμφισβητείται) και ως εναλλακτική ότι είναι ένοχος. Η : αθώος - Η : ένοχος Η δικαστική διαδικασία έχει ως στόχο να διαπιστώσει εάν υπάρχουν σημαντικά αποδεικτικά στοιχεία εναντίον της αθωότητας του και επομένως να απορρίψει την Η Αν δεν υπάρχουν τέτοια στοιχεία, η Η δεν απορρίπτεται και ο κατηγορούμενος απαλλάσσεται των κατηγοριών. Αυτό βέβαια δεν σημαίνει κατ ανάγκη ότι είναι αθώος!!! Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 5 )

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων Ο στατιστικός έλεγχος υποθέσεων είναι μία συμπερασματική διαδικασία σε προβλήματα αποφάσεων μεταξύ δύο εναλλακτικών υποθέσεων H : μηδενική υπόθεση (ull hypothesis) H : εναλλακτική υπόθεση (ltertive hypothesis) Η ιδέα είναι να θέσουμε ως μηδενική υπόθεση Η αυτή την οποία αμφισβητούμε (αμφιβάλλουμε). Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 6 )

Ελέγχουμε σε ένα τυχαίο δείγμα ={,,, } εάν η υπόθεση που κάνουμε είναι ακραία και προκύπτει σοβαρός λόγος απόρριψης της Η. Δηλαδή, εξετάζουμε αν το τυχαίο δείγμα Χ στατιστικά διαφέρει από αυτό που αναμέναμε αν η Η ήταν αληθής. Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 7 )

Η μηδενική υπόθεση Η για μια παράμετρο είναι μια πρόταση η οποία ελέγχεται σε μια στάθμη σημαντικότητας, α. Η εναλλακτική υπόθεση Η είναι η πρόταση που είναι αληθής όταν η Η απορρίπτεται. Περιοχή απόρριψης της Η λέμε τις τιμές του στατιστικού για τις οποίες η Η απορρίπτεται, ενώ περιοχή μη απόρριψης (αποδοχής) τις τιμές για τις οποίες δεν απορρίπτεται. Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 8 )

Κατασκευή ενός κανόνα απόφασης χωρίζοντας τον δειγματικό χώρο σε: μια περιοχή αποδοχής A (cceptce regio) όπου γίνεται αποδεκτή η Η (δεν απορρίπτεται) μια περιοχή απόρριψης Κ (rejectio or criticl regio) όπου απορρίπτεται η Η, if A => ccept H if K => reject H Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 9 )

μορφές ελέγχου Μονόπλευρος έλεγχος (oe tiled) Δεξιόπλευρος Αριστερόπλευρος H H H : : H : : Αμφίπλευρος έλεγχος (two - tiled) H H : : Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( )

Μονόπλευρος έλεγχος (oe tiled) Δεξιόπλευρος H H : : α: Πιθανότητα απόρριψης της Η Κρίσιμη τιμή c y Η Η δεν απορρίπτεται Περιοχή απόρριψης της H Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( )

Μονόπλευρος έλεγχος (oe tiled) Aριστερόπλευρος H H : : α: Πιθανότητα απόρριψης της Η Κρίσιμη τιμή c y Περιοχή απόρριψης tης H Η Η δεν απορρίπτεται Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( )

Αμφίπλευρος έλεγχος (two tiled) H H : : Κρίσιμες τιμές α: Πιθανότητα απόρριψης της Η c c Z Περιοχή απόρριψης της H Η Η δεν απορρίπτεται Περιοχή απόρριψης της H Πιθανότητες & Στατιστική 6 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 3 )

Απόφαση Είδη σφαλμάτων Πραγματικότητα Ισχύει η Η Ισχύει η Η Αποδοχή Η Αποδοχή Η (Απόρριψη Η ) Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 4 )

Απόφαση Είδη σφαλμάτων Πραγματικότητα Ισχύει η Η Ισχύει η Η Αποδοχή Η Αποδοχή Η (Απόρριψη Η ) Σωστή απόφαση Accept H Σωστή απόφαση Accept H Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 5 )

Είδη σφαλμάτων Πραγματικότητα Απόφαση Ισχύει η Η Αποδοχή Η Σωστή απόφαση Accept H Αποδοχή Η (Απόρριψη Η ) Σφάλμα τύπου I Ισχύει η Η Σωστή απόφαση Accept H Σφάλμα τύπου Ι : Απορρίπτουμε την Η ενώ είναι αληθής (type I error) P type I error P Απόρριψη H ισχύει η H Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 6 )

Είδη σφαλμάτων Απόφαση Πραγματικότητα Ισχύει η Η Ισχύει η Η Αποδοχή Η Σωστή απόφαση Accept H Σφάλμα τύπου II Αποδοχή Η (Απόρριψη Η ) Σφάλμα τύπου I Σωστή απόφαση Accept H Σφάλμα τύπου Ι : Απορρίπτουμε την Η ενώ είναι αληθής (type I error) P type I error P Απόρριψη H ισχύει η H Σφάλμα τύπου ΙI: Δεν απορρίπτουμε την Η ενώ είναι ψευδής (type II error) P type IΙ error P αποδοχή H ισχύει η H Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 7 )

Πιθανότητα σφάλματος τύπου Ι (type I error) P type I error P H H Βαθμός σημαντικότητας ενός ελέγχου και αναπαριστά την ανοχή στο σφάλμα τύπου Ι, δηλ. απόρριψης της Η όταν είναι ορθή. (ενδεικτικές τιμές %, 5%, %) Πιθανότητα σφάλματος τύπου IΙ (type II error) type II error H H P P Αναπαριστά την ανοχή στο σφάλμα τύπου ΙΙ, δηλ. αποδοχή της υπόθεσης Η ενώ δεν ισχύει. Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 8 )

Ισχύς ενός ελέγχου (Power) Ptype II error P H H PH H Πιθανότητα να μην συμβεί σφάλμα τύπου ΙΙ, δηλ. την πιθανότητα ορθής απόρριψης της Η. Έτσι, δίνει το ποσοστό σωστών απορρίψεων (και άρα αποδοχής της Η ) της υπόθεσης Η. Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 9 )

Απόφαση Πραγματικότητα Ισχύει η Η Ισχύει η Η Αποδοχή Η -α α Σφάλμα τύπου Ι : Απορρίπτουμε την Η ενώ είναι αληθής (type I error) Σφάλμα τύπου ΙI: Δεν απορρίπτουμε την Η ενώ είναι ψευδής (type II error) Αποδοχή Η (Απόρριψη Η ) β -β P type I error PΑπόρριψη H ισχύει η H type IΙ error αποδοχήh ισχύει η H P P Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( )

Καμπύλη ισχύος (Power curve) π(θ)=-β θ Η γραφική παράσταση της ισχύος π(θ)=-β για διάφορες τιμές της παραμέτρου θ. Όσο μεγαλώνει η περιοχή απόρριψης (πιθαν. α) τόσο ελαττώνεται το μέγεθος του β. Αν ελαττώσουμε το α, τότε το β θα μεγαλώσει. α >> => μεγάλη απόρριψη Η => μικρή αποδοχή Η => β << => π(θ)-> α << => μικρή απόρριψη Η => μεγάλη αποδοχή Η => β >> => π(θ)-> Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( )

P-τιμή ενός ελέγχου (P-vlue) Η P-τιμή (P-vlue) ενός ελέγχου είναι η μικρότερη στάθμη σημαντικότητας στην οποία η Η απορρίπτεται με βάση το διαθέσιμο δείγμα. Έτσι, σε στάθμη σημαντικότητας α ισχύει ο κανόνας: Αν α > P-vlue απορρίπτεται η Η Αν α < P-vlue δεν απορρίπτεται η Η Με την P-vlue βρίσκουμε πόσο πιθανή είναι η εμφάνιση του δείγματος κάτω από τη μηδενική υπόθεση Σημείωση: Έτσι η «ευθύνη» της απόρριψης ή όχι της μηδενικής υπόθεσης «μετατίθεται» στον ερευνητή Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( )

Γενική στρατηγική για τον έλεγχο υποθέσεων Βήματα της διαδικασίας ελέγχου για την παράμετρο θ. Ορίζουμε τις υποθέσεις: H ( θ ), H Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 3 )

Γενική στρατηγική για τον έλεγχο υποθέσεων Βήματα της διαδικασίας ελέγχου για την παράμετρο θ. Ορίζουμε τις υποθέσεις: H ( θ ), H. Ορίζουμε το επίπεδο σημαντικότητας () του ελέγχου, που είναι η μέγιστη αποδεκτή πιθανότητα εσφαλμένης απόρριψης της Η. Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 4 )

Γενική στρατηγική για τον έλεγχο υποθέσεων Βήματα της διαδικασίας ελέγχου για την παράμετρο θ. Ορίζουμε τις υποθέσεις: H ( θ ), H. Ορίζουμε το επίπεδο σημαντικότητας () του ελέγχου, που είναι η μέγιστη αποδεκτή πιθανότητα εσφαλμένης απόρριψης της Η. 3. Ορίζουμε τη στατιστική συνάρτηση ελέγχου T() και υπολογισμός της τιμής της για το τυχαίο δείγμα Χ. Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 5 )

4. Κατασκευάζουμε μία στατιστική συνάρτηση Y=g(T, θ) η κατανομή της οποίας να μην εξαρτάται από το θ Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 6 )

4. Κατασκευάζουμε μία στατιστική συνάρτηση Y=g(T, θ) η κατανομή της οποίας να μην εξαρτάται από το θ 5. Υπολογίζουμε την περιοχή απόρριψης ή κρίσιμη περιοχή του ελέγχου λύνοντας ως προς T(): (κανόνες απόρριψης) H, H : : : P Y c P Y c H, H : : : P Y c ή P Y c H, H : : : P c Y c P Y c PY c Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 7 )

4. Κατασκευάζουμε μία στατιστική συνάρτηση Y=g(T, θ) η κατανομή της οποίας να μην εξαρτάται από το θ 5. Υπολογίζουμε την περιοχή απόρριψης ή κρίσιμη περιοχή του ελέγχου λύνοντας ως προς T(): (κανόνες απόρριψης) H, H : : : P Y c P Y c H, H : : : P Y c ή P Y c H, H : : : P c Y c P Y c PY c 6. Εξετάζουμε αν η τιμή της T() βρίσκεται ή όχι στην κρίσιμη περιοχή, ώστε να αποφασίσουμε αν θα απορρίψουμε ή όχι την H. Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 8 )

Υπάρχουν μορφές ελέγχου Μονόπλευρος έλεγχος (oe tiled) Περιοχή απόρριψης Η Η δεν απορρίπτεται Κρίσιμη τιμή c Κρίσιμη τιμή c Η Η δεν απορρίπτεται y Περιοχή απόρριψης y δεξιόπλευρος H H : : αριστερόπλευρος H H : : Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 9 )

Αμφίπλευρος έλεγχος (two tiled) H H : : Κρίσιμες τιμές c c Z Περιοχή απόρριψης Η Η δεν απορρίπτεται Περιοχή απόρριψης Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 3 )

Παρατηρήσεις Όταν απορρίπτεται η H τότε το τυχαίο δείγμα ονομάζεται στατιστικά σημαντικό (sttisticlly sigifict) και σημαίνει ότι διαφέρει σημαντικά από αυτό που αναμενόταν με βάση την H Όσο πιο μικρή είναι η τιμή του επιπέδου σημαντικότητας, τόσο πιο στατιστικά σημαντικό είναι το αποτέλεσμα του ελέγχου. Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 3 )

Περιπτώσεις στατιστικού ελέγχου. Έλεγχος για το μέσο (μ). Έλεγχος για την διακύμανση (σ ) 3. Έλεγχος για το ποσοστό (ρ) 4. Έλεγχος για την διαφορά των μέσων (μ μ ) δύο πληθυσμών 5. Έλεγχος για τον λόγο διασπορών (σ σ ) δύο πληθυσμών Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 3 )

Συγκεντρωτικά οι σημαντικές στατιστικές συναρτήσεις.... ~ ~ t, ~ N, ~ F ~ i i Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 33 )

Συγκεντρωτικά οι σημαντικές στατιστικές συναρτήσεις ~ ~ t, ~ N, ~ F ~ i i Περιγράφουν συναρτησιακές σχέσεις μεταξύ δειγματικών συναρτήσεων (, ) και παραμέτρων (μ, σ ) Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 34 )

z-test (A). Έλεγχος υποθέσεων για το μέσο (μ) με γνωστή διασπορά (σ ) Έστω τυχαίο δείγμα ={,,, } όπου υποθέτουμε ότι προέρχεται από κανονική κατανομή N(μ, σ ), με άγνωστο μέσο μ αλλά γνωστή διασπορά σ Στατιστικός έλεγχος για το μ χρησιμοποιώντας επίπεδο σημαντικότητας Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 35 )

(Α). Έλεγχος υποθέσεων για το μέσο (μ) με γνωστή διασπορά (z-test) Ορίζουμε ως στατιστική συνάρτηση ελέγχου T() τον δειγματικό μέσο Βασιζόμαστε στο γνωστό αποτέλεσμα: Y ~ Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: T i N i, Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 36 )

(Α) Δεξιόπλευρος έλεγχος: H :μ=μ έναντι Η :μ>μ Κατασκευή της περιοχής απόρριψης με βάση τη γνωστή κατανομή τηςy υποθέτοντας ότι Η αληθής Κρίσιμη τιμή c y P Η Η δεν απορρίπτεται Περιοχή απόρριψης της H Y c H is true PY c c μία σταθερά που θα προσδιοριστεί με βάση τον βαθμό σημαντικότητας Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 37 )

Εύρεση της σταθεράς c από την κανονική κατανομή της Y: c z c=z και παίρνουμε την ανίσωση: Y z Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 38 )

Λύνουμε ως προς τη στατιστική συνάρτηση T() που έχουμε ορίσει: Y z z Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 39 )

Λύνουμε ως προς τη στατιστική συνάρτηση T() που έχουμε ορίσει: Y z z Επομένως η κρίσιμη περιοχή (περιοχή απόρριψης της Η ) με βαθμό σημαντικότητας είναι η: K : z Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 4 )

Υπολογισμός της πιθανότητας σφάλματος ΙΙ β=p(σφάλμα τύπου ΙΙ)=P(ccept H H is true). z z z P z P z P Y H c P Y is true Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 4 )

Υπολογισμός της πιθανότητας σφάλματος ΙΙ β=p(σφάλμα τύπου ΙΙ)=P(ccept H H is true). z z z P z P z P Y H c P Y is true Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 43 ) N, ~

Συνάρτηση ισχύος: z Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 44 )

π(μ) μ μ Καμπύλη ισχύος: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ισχύος Όσο αυξάνεται η πραγματική τιμή της μ (μ>μ), η ισχύς του ελέγχου τείνει προς το. Επίσης, όταν η πραγματική τιμή τείνει προς το μ, η ισχύς του ελέγχου μειώνεται και τείνει στο Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 45 )

Υπολογισμός της P-vlue Έστω τυχαίο δείγμα Χ με δειγματικό μέσο Υπολογίζουμε την πιθανότητα η παραπάνω τιμή να είναι ακραία: x Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 46 )

Υπολογισμός της P-vlue Έστω τυχαίο δείγμα Χ με δειγματικό μέσο Υπολογίζουμε την πιθανότητα η παραπάνω τιμή να είναι ακραία: Βρίσκουμε το δεξιό άκρο από το δείγμα: c x x x Κρίσιμη τιμή c y Η Η δεν απορρίπτεται Περιοχή απόρριψης της H Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 47 )

Υπολογισμός της P-vlue Έστω τυχαίο δείγμα Χ με δειγματικό μέσο Υπολογίζουμε την πιθανότητα η παραπάνω τιμή να είναι ακραία: Βρίσκουμε το δεξιό άκρο από το δείγμα: Και υπολογίζουμε: P vlue P Y x c H αληθης PY cx c x x x x Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 48 )

Κανόνας απόφασης με βάση την P-vlue: if α > P-vlue => απορρίπτουμε την Η if α < P-vlue => δεν απορρίπτουμε την Η Έτσι, ορίζοντας έναν επιθυμητό βαθμό σημαντικότητας (α), θα απορρίψουμε ή όχι τη μηδενική υπόθεση Η. Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 49 )

(Α) Αριστερόπλευρος έλεγχος: H :μ=μ έναντι Η :μ<μ Κατασκευή της περιοχής απόρριψης με βάση τη γνωστή κατανομή τηςy υποθέτοντας ότι Η αληθής Κρίσιμη τιμή c y Περιοχή απόρριψης tης H Η Η δεν απορρίπτεται P Y c H is true PY c όπου c μία σταθερά που θα προσδιοριστεί με βάση τον βαθμό σημαντικότητας α. Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 5 )

z z z c Y P H c P Y is true z - = - z Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 5 ) c=-z

z - = - z Επομένως η κρίσιμη περιοχή είναι η: K : z Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 5 )

Υπολογισμός της P-vlue P Έστω τυχαίο δείγμα Χ με δειγματικό μέσο x Υπολογίζουμε την πιθανότητα η παραπάνω τιμή να είναι ακραία: Βρίσκουμε το αριστερό άκρο Και έχουμε: vlue c H P Y c x αληθης P Y c x x x Κανόνας απόφασης: if α > P-vlue => απορρίπτουμε την Η if α < P-vlue => δεν απορρίπτουμε την Η Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 53 )

(Α3) Αμφίπλευρος έλεγχος: H :μ=μ έναντι Η :μ μ Κατασκευή της περιοχής απόρριψης με βάση τη γνωστή κατανομή τηςy υποθέτοντας ότι Η αληθής Κρίσιμες τιμές c c Z Περιοχή απόρριψης της H Η Η δεν απορρίπτεται Περιοχή απόρριψης της H P Y c & Y c H is true PY c & Y c όπου c c δύο σταθερές που θα προσδιοριστούν με βάση τον βαθμό σημαντικότητας. Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 54 )

άρα περιοχή απόρριψης (κανόνας απόφασης) και z z Y z z Y c Y c P Y H P & reject Z c z c z z c c Y P z z c c P Y c Y P Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 55 )

Υπολογισμός της P-vlue Έστω τυχαίο δείγμα Χ με δειγματικό μέσο Υπολογίζουμε την πιθανότητα η παραπάνω τιμή να είναι ακραία. x Βρίσκω τις δύο ακραίες c x, c x c x από το δείγμα Τότε P vlue P Y c PY c c x c x c x if α > P-vlue => απορρίπτουμε την Η x if α < P-vlue => δεν απορρίπτουμε την Η x Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 56 )

z-test Έλεγχος για μέσο μ με γνωστή διασπορά (σ ) H : Η = μ > μ Η = μ < μ Η = μ μ z z z z Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 57 )

t-test (B). Έλεγχος υποθέσεων για το μέσο (μ) με άγνωστη διασπορά (σ ) Έστω τυχαίο δείγμα ={,,, } όπου υποθέτουμε ότι προέρχεται από κανονική κατανομή N(μ, σ ), με άγνωστο μέσο μ και άγνωστη διασπορά. Στατιστικός έλεγχος για το μ χρησιμοποιώντας επίπεδο σημαντικότητας Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 58 )

Βασιζόμαστε στο γνωστό αποτέλεσμα: όπου η δειγματική διασπορά: ~ t Y i i Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 59 )

Παρόμοια με το z-test, για τις 3 πιθανές εναλλακτικές υποθέσεις έχουμε τις κρίσιμες περιοχές (περιοχές απόρριψης): t-test H : Η = μ > μ Η = μ < μ Η = μ μ t t t t Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 6 )

z-test Η = μ > μ Η = μ < μ Η = μ μ z z z z t-test Η = μ > μ Η = μ < μ Η = μ μ t t t t Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 6 )

Έλεγχος υποθέσεων για τη διασπορά (σ ) η Περίπτωση: μέσος μ άγνωστος, τότε χρησιμοποιούμε το γνωστό αποτέλεσμα: Y η Περίπτωση: μέσος μ γνωστός τότε χρησιμοποιούμε το γνωστό αποτέλεσμα: Y i i ~ ~ Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 6 )

(Γ) Έλεγχος υποθέσεων για τη διασπορά (σ ) με άγνωστο μέσο (μ) (γ) Η = σ > σ Y P( Y c H is true) P( Y c ) c Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 63 )

(Γ) Έλεγχος υποθέσεων για τη διασπορά (σ ) με άγνωστο μέσο (μ) (γ) Η = σ > σ Y P( Y c H is true) P( Y c ) c Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 64 )

(Γ) Έλεγχος υποθέσεων για τη διασπορά (σ ) με άγνωστο μέσο (μ) (γ) Η = σ > σ Κρίσιμη περιοχή (περιοχή απόρριψης): Y ) ( c P Y H c Y P ) ( is true) ( c c Y Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 65 )

(γ) Η = σ < σ c Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 66 ) c Y P H c Y P ) ( is true) ( Y -

(γ) Η = σ < σ c Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 67 ) c Y P H c Y P ) ( is true) ( Y -

(γ) Η = σ < σ Κρίσιμη περιοχή (περιοχή απόρριψης): c ) ( Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 68 ) c Y P H c Y P ) ( is true) ( c Y Y -

(γ3) Η = σ σ c c P ( Y c H is true) P ( Y c H is true) Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 69 )

(γ3) Η = σ σ c c P ( Y c H is true) ( ) P ( Y c H is true) ( ) Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 7 )

(Δ) Έλεγχος υποθέσεων για τη διασπορά (σ ) με γνωστό μέσο μ Χρησιμοποιώντας το και δουλεύοντας με παρόμοιο τρόπο βρίσκουμε για τις 3 πιθανές εναλλακτικές υποθέσεις: (δ) Η = σ > σ (δ) Η = σ < σ (δ3) Η = σ σ ) ( i i ~ i i Y ) ( i i ) ( i i ) ( i i Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 7 )

(Ε) Έλεγχος υποθέσεων για το ποσοστό (ρ) Έστω τ.δ. ={x, x,, x ) αποτελούμενο από δυαδικές τιμές x ι {,}, υποθέτουμε Beroulli κατανομή. Με βάση το Κ.Ο.Θ. ο δειγματικός μέσος είναι κανονικός: Δουλεύουμε όπως το z-test N N,, ~ Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 7 )

Βρίσκουμε για τις 3 πιθανές υποθέσεις: Θυμίζουμε το z-test (ε) Η = ρ > ρ (ε) Η = ρ < ρ (ε3) Η = ρ ρ z z z z Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 73 ) Η = μ > μ Η = μ < μ Η = μ μ z z z z

Έλεγχος υποθέσεων για τη διαφορά των μέσων δύο πληθυσμών (μ μ) Έστω τ.δ. ={x, x,, x} και Y={y, y,, y} (ΣΤ) Ελεγχος για την διαφορά των μέσων δύο πληθυσμών με γνωστές διασπορές σ, σ. Χρησιμοποιούμε το Y ~ N, και από το (Α) παίρνουμε (στ) Η = μ-μ > δ (στ) Η μ-μ<δ Y z (στ3) Η = μ-μ δ Y z Y z Y z Όπως το z-test Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 74 )

(Ζ) Ελεγχος για την διαφορά των μέσων δύο πληθυσμών με άγνωστές αλλά ίσες διασπορές (σ=σ=σ) Χρησιμοποιούμε το αποτέλεσμα όπου Y ~ t και έτσι παρόμοια με τη (Β) περίπτωση παίρνουμε (ζ) Η = μ-μ > δ (ζ) Η μ-μ<δ (ζ3) Η = μ-μ δ Y t ( ) Y t () Y t () Y t ( ) Όπως το t-test Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 75 )

( Έλεγχος Υποθέσεων ανά περίπτωση Περίπτωση θ>θ Περίπτωση θ < θ Περίπτωση θ θ (Α) Μέσο με γνωστή διασπορά σ (Β) Μέσο με άγνωστη διασπορά σ (Γ) Διασπορά με γνωστό μέσο (Δ) Διασπορά με άγνωστο μέσο (Ε) Ποσοστό ρ (ΣΤ) Διαφορά μέσων με γνωστές διασπορές (Ζ) Διαφορά μέσων με άγνωστές διασπορές ) ( t Y ) ( t Y ) ( t Y ) ( t Y z Y z Y z Y z Y z z z z ) ( i i ) ( i i ) ( i i ) ( i i ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x t t t t z z z z Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 76 )

( Έλεγχος Υποθέσεων ανά περίπτωση Περίπτωση θ>θ Περίπτωση θ < θ Περίπτωση θ θ ) ( t Y ) ( t Y ) ( t Y ) ( t Y z Y z Y z Y z Y z z z z ) ( i i ) ( i i ) ( i i ) ( i i ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x t t t t z z z z

Φ(-x) = Φ(x) x x Y P x P x F Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 78 )

t : t P T Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 79 )

Πίνακας τιμών της χι-τετράγωνο κατανομής: για διάφορες τιμές της πιθανότητας α και f(x) του βαθμού ελευθερίας : P P F α Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 8 ) x

Παραδείγματα σε «Ελέγχους Υποθέσεων» Το 5 η μέση ηλικία των διευθυντικών στελεχών μεγάλων επιχειρήσεων στις ΗΠΑ ήταν 48 ετών. Σε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους 5 βρέθηκε ότι η μέση τιμή τέτοιων στελεχών ήταν 46 και η τυπική απόκλιση 5. Να βρεθεί σε στάθμη σημαντικότητας %, αν η μέση ηλικία στις μεγάλες εταιρίες άλλαξε από το 5. Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 8 )

Ο μέσος χρόνος μεταξύ δύο επισκευών των φωτοτυπικών μηχανημάτων που χρησιμοποιούνται στα σχολεία μιας πόλης πέρυσι ήταν 35 μέρες χρήσης. Αν φέτος σε ένα δείγμα 5 τέτοιων μηχανημάτων η μέση τιμή του χρόνου Χ μεταξύ δύο επισκευών βρέθηκε να είναι 3 ημέρες με τυπική απόκλιση ημέρες, να εξεταστεί σε στάθμη σημαντικότητας 5% αν αυτός ο χρόνος μειώθηκε σε σχέση με πέρυσι. Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 8 )

Να ελεγχθεί σε στάθμη σημαντικότητας 5% αν το ποσοστό των ψηφοφόρων ενός κόμματος είναι 4%, αν σε ένα δείγμα 5 ατόμων βρέθηκαν 68 ψηφοφόροι του κόμματος. Να βρεθεί επίσης η P-vlue του ελέγχου. Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 83 )

Γνωρίζουμε ότι το μήνα Ιανουάριο η μέση τιμή πώλησης ενός προϊόντος σε μια περιοχή είναι ευρώ. Η μέση τιμή πώλησης του ίδιου προϊόντος σε ένα τυχαίο δείγμα = καταστημάτων το μήνα Δεκέμβριο βρέθηκε ίση με 3 ευρώ. Μπορούμε σε επίπεδο σημαντικότητας 5% να πούμε ότι η μέση τιμή πώλησης αυξήθηκε κατά το μήνα Δεκέμβριο (γνωρίζουμε ότι η τυπική απόκλιση του προϊόντος είναι 5). Να βρεθεί στη συνέχεια το P-vlue. Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 84 )

Σε προβλήματα ελέγχου ποιότητας εκτός από τη διατήρηση ενός σταθερού μέσου μας ενδιαφέρει και η διατήρηση της διασποράς σε χαμηλά επίπεδα (διότι αυξάνεται ο κίνδυνος απόρριψης του προϊόντος). Από τη παραγωγή τυχαίο δείγμα =6 έδωσε δειγματική απόκλιση 5.5. Αν η μέγιστη επιτρεπτή τυπική απόκλιση είναι 4 να εξεταστεί εάν η παραπάνω υπέρβαση είναι στατιστικά σημαντική ή όχι (α=.5). Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 85 )

Κατασκευαστής ισχυρίζεται ότι το πολύ % των προϊόντων του είναι ελαττωματικά. Σε τυχαίο δείγμα μεγέθους =9 βρέθηκαν 7 ελαττωματικά. Να ελεγχθεί ο ισχυρισμός του κατασκευαστή. (α=.5) Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 86 )

Έστω ρ το ποσοστό υποστηρικτών ενός μέτρου κυκλοφοριακής ρύθμισης σε μια πόλη. Αν σε ένα τυχαίο δείγμα 34 πολιτών δόθηκαν 864 θετικοί ψήφοι υπέρ του μέτρου αυτού, να γίνει ο έλεγχος της υπόθεσης ότι ένα ποσοστό άνω από 6% των πολιτών βρίσκει θετική την εφαρμογή αυτού του μέτρου με α = 5%. Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 87 )

Τα βιομηχανικά απόβλητα που ρίχνονται στα ποτάμια απορροφούν το διαλυμένο στο νερό οξυγόνο με συνέπεια να μειώνεται. Όταν η μέση τιμή του δεν υπερβαίνει τις 5 μονάδες τότε δημιουργείται πρόβλημα επιβίωσης των υδρόβιων οργανισμών. Σε ένα ποταμό υπήρξαν κάποια μέτρα προστασίας. Κατά τον έλεγχο των αποτελεσμάτων της εφαρμογής του μέτρου αυτού πάρθηκαν μετρήσεις της τιμής του οξυγόνου Χ = {5, 5., 5., 5., 4.9, 5.3, 5., 5, 5., 5.} Με βάση τις παραπάνω τιμές του δείγματος, μπορούμε να συμπεράνουμε (=.5) ότι η μέση ποσότητα του οξυγόνου αυξήθηκε; Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 88 )

Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 89 )

Παραδείγματα (με ποσοστά) Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 9 )

. Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 9 )

Παραδείγματα Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 93 )

. Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 96 )

Παραδείγματα Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 98 )

Έστω τυχαίο δείγμα μεγέθους =9 δεδομένων (υποθέτοντας κανονικό πληθυσμό) με δειγματικό μέσο 6 και δειγματική τυπική απόκλιση. Να γίνει ο έλεγχος σε επίπεδο σημαντικότητας =5% της μηδενικής υπόθεσης Η: μ=65, έναντι της εναλλακτικής Η: μ 65. Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών ΗΥ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ( 99 )