Viðskipta- og Hagfræðideild fyrirlestrapunktar vor 2009 Háskóli Íslands Hagrannsóknir II, Helgi Tómasson Mælingar tengdar í tíma. Kafli 7 (muna 5.5. og k. 1-4) Nokkur hugtök Stationarity: Weak/Strong. ACF=auto-correlation-function=sjálffylgnifall. White-Noise, Random-Walk. AR(p)=Auto-Regressive líkan: X t = φ 1 X t 1 + + φ p X t p + ε t L virki, B-virki: LX t = X t 1 BX t = X t 1 MA(q)=Moving-Average líkan X t = ε t + θ 1 ε t 1 + θ q ε t q
ARMA líkan: X t = φ 1 X t 1 + + φ p X t p + ε t + θ 1 ε t 1 + θ q ε t q Heppilegt að skrifa sem: Φ(L)X t = Θ(L)ε t Φ(z) = 1 φ 1 z φ p z p Θ(z) = 1 + θ 1 z + + θ q z q X t er stationary ef rætur Φ(z) eru utan einingarhrings, þ.e. Φ(z) 0 ef z 1. M A-framsetning einhlít ef rætur Θ(z) utan einingarhrings, sagt að framsetning sé invertible. Ef rætur Φ(z) og Θ(z) eru utan einingarhrings þá má skrifa: Φ(L)X t = Θ(L)ε t sem X t = Θ(L) φ(l) ε t eða Φ(L) Θ(L) X t = ε t Φ(z) og Θ(z) mega ekki hafa sameiginlega þætti. φ kk = PACF=partial-auto-correlation-function= fylgni X t og X t k gefnar mælingarnar á milli.
Spár með þekktum stikum (parametrum) Framtíðargildi má sundurliða: X n+h = } ˆX {{ n+h } spá +e n+h }{{} villa Ef X t = Ψ(L)ε t er ARMA, og fyrir hendi eru n mælingar, þá er: h 1 e n+h = ψ k ε n+h k k 0 h 1 V (e n+h ) = σ 2 k=1 ψ 2 k Áttið ykkur á eiginleikum úrtaksstærða, (kafli 7.2.3). Takið vel eftir myndinni á bls. 555 og skrefum 1-6 á bls 556. Tímaröð=Trend+season+cycle+irregular (sbr. Newbold) ARIMA=AR-Integrated-MA. Ýmsar aðferðir við árstíðaþátt.
BJ-ARIMA Grunnhugmynd: Nálga ferli með ARIMA líkani. Nálgunaraðferð: 1. Finn viðeigandi vörpun á gögnum (t.d. log), giska á d, p, q 2. Met φ, θ, σ, o.s.frv. (Ýmsar aðferðir koma til greina). 3. Diagnostics, 4. Nota líkan til að spá með. Klassísk útfærsla Nútíma útfærsla (mín skoðun) Unit-root próf. Kafli 7.4. látinn bíða.
Kaflar 7.5 og 7.6 Dýnamísk kerfi ECM, VAR Distributed lag Tvær grunngerðir að non-stationary líkönum. DS=difference-stationary og TS=trend-stationary. y t = α + βt + ε t ε t WN TS y t = y t 1 + ε t ε t WN DS Vil álykta um stationarity. Algengasta próf er Dickey-Fuller próf. y t = α + βt + φy t 1 + ε t y t = y t y t 1 = α + βt + ρy t 1 + ε t H 0 : β = 0 og ρ = 0H 1 : ρ < 0 og β 0 Líkan metið skv. H 0 og H 1, Nota OLS eins og venjulega og fæ F-gildi: F = (e R e R e e)/2 e e/(n 4) Vegna þess að skv. H 0 er y t non-stationary þá fylgir F ekki hefðbundinni F-dreifingu. Heldur sérstakri töflu á bls 595. Þeir sem eiga Thomas geta borið saman við kafla 15. Athugið að þetta er oft útfært fyrir einn parameter og þá er eins og venjulega reiknað t-gildi. En af sömu ástæðu og áður þá fylgir þannig reiknað t ekki t-dreifingu ef H 0 er rétt heldur sérstakri dreifingu. Útvíkkanir ár DF, ADF, Phillips-Perron. Önnur nálgun á unit-root prófun. Leitið t.d. að KPSS (ekki í bók). Takið eftir tveim tegundum af árstíðaleiðréttingum. Stochastic og deterministic. X-11 aðferði sögulega áhugaverð. Erfitt að segja hvað hún gerir.
Error-Correction-Model Skiljið vel jöfnu 7.33 y t = β 0 x t }{{} skammtímaáhrif (1 φ) }{{} aðlögunarhraði λ lýsir langtíma sambandi, long-run multiplier. (y t 1 λx t 1 δ) +ε }{{} t frávik frá jafnvægi Þetta má meta með OLS ef x t og y t eru stationary. Ef ε t hefur sjálffylgni þá verður að byggja það inn í líkanið. Margvíð kerfi VAR, VARMA. Hvers vegna er VARMA erfitt? Exogeneity og Granger Causality kynnt. Spurious regression og exogeneity, dæmi á bls 656. Mat og diagnostics í stationary VAR. ECM og VAR framsetning. Granger-Engle cointegration. Cointegrating sambönd og VAR líkön (mjög stórt efni). Um exogeneity, kafli 5.7 og viðbætur. Til að meta megi jöfnu eins og y t = βx t + ε t Engin vandamál ef x t er non-stochastic. Vandi ef x t er stochastic. Ef hinn áhugaverði parameter er β þá er spurningin hvort líta megi á x t sem gefið og meta jöfnuna með OLS. Það var t.d. greinilega ekki tilfellið í dæminu á blaðsíðu 656 sem kynnt var í síðasta tíma. Í því dæmi var x t breytan innri(endogen) breyta í kerfinu og því ekki leyfilegt að ganga út frá x t sem gefnu. Við þurfum að hafa skilgreiningu sem segir hvað það þýðir að breyta sé ytri(exogen) breyta.
Nútíma vinnubrögð eru að flokka þetta í þrennt: 1. Nægjanlega exogen til að hægt sé að álykta um β (Weakly exogen). 2. Nægjanlega exogen til að hægt sé að nota við spár (Strongly exogen). 3. Nægjanlega exogen til að hægt sé að nota í stefnumótun (policy analysis) (Super exogenous) Weak exogeneity: Skoða tvívíða kerfið z t = (y t, x t ). Þetta er tvívítt stokastísk kerfi. Líkindadreifingu z t er stjórnað af parameternum θ. Þéttifall z t er: f(z t θ) = f(y t x t, λ 1 )f(x t λ 2 ) Breytan x t er weakly exogen fyrir β ef: 1. β er einungis fall af λ 1 2. λ 1 og λ 2 eru variation-free. Þ.e. hliðarskilyrði á λ 1 mega ekki setja þvingur á λ 2. Ef x t er weakly exogen fyrir β dugar að nota jöfnuna (the conditional model): y t = βx t + ε t til að álykta um β. Annars verður að meta tvívíða líkanið f(z t θ) Granger-non-causality: f(x t I t 1 ) = f(x t I t 1 \ Y t 1 ) Hér táknar I t =upplýsingar á tíma t. Táknið \ er mengjamínus, Y t 1 táknar liðnar upplýsingar um y. Ef jafnan gildir þá táknar það að mælingar á y gagnast ekki við spár á x og sagt að y t Granger-orsaki ekki x t. Ef x t er weakly exogen fyrir β og y t Granger-orsakar ekki x t þá er sagt að x t sé strongly exogen.
Strongly exogen breytur má taka sem gefnar þegar spár eru reiknaðar. Super exogeneity leyfir policy greiningu. Þ.e. að λ 1 breytist ekki þó að stýringu á x t, þ.e. leyfilegum (innan vissra marka ) gildum á λ 2 sé breytt.
Hefðbundin flokkun á exongeneity, strictly exogenous og predetermined. x t er predetermined ef x t er óháð ε t+u, u 0 x t er strictly exogenous ef x t er óháð öllum ε t+u Þetta eru úrelt hugtök. Það er ekki gott að segja nákvæmlega til hvers breyta á að vera exogen með þessum hugtökum. Hefðbundin lausn á því vandamáli sem endogen x-breytur valda er instrumental-aðferðin. Vandinn felst í því að: plim( 1 n X ε) 0 Hugmyndin er að skoða líkanið: Y = Xβ + ε og finna Z (n m fylki) sem spáir X (n k) vel en er ekki tengd ε. Besta spá á X í rúmi spannað af Z er ˆX: ˆX = P Z X = Z(Z Z) 1 Z X Síðan er metið líkanið: Y = ˆXβ + ε Fylkið Z eru kallaðar instrument breytur fyrir X. Aðferðin er tveggja þrepa LS, því tvö LS möt fara fram. Lausnin er kölluð: b IV og sýna má (jafna 5.75) að: plim(b IV ) = β Mikilvægt er að finna góð instrument, þ.e. breytur sem skýra X vel út. Það krefst innsæis að finna góð instrument.
Athugið að varíans-fylgi fyrir b IV er aðeins til ef m k + 2. Lesið lauslega um exogeneity testing. Hér þarf að átta sig á að test eru til. Sumir vilja treysta á (hagfræði)teoríu til að ákvarða um exogeneity. Nóg að vita að Hausman-próf og Sargan-prófin eru til.
VAR líkön Vandi við flokka breytur í exogen/endogen breytur (ásamt árangri einvíðra tímaraðalíkana) leiddi menn í að það að gera allar breytur endogenar og hugsa sér margvítt tímaraðalíkan, þ.e. að skýra allar mældar breytur samtímis: Y t = α + ΦY t 1 + ε t y 1t Y t =. y mt VAR(1) Eins og í einvíða tilfellinu (AR(1)) er stationary skilyrði, þ.e. að I Φ(z)] 0 ef z 1. Við höfum error-correction-form (ECM). Ef við drögum frá Y t 1 báðum megin við jafnaðarmerki fæst: Y t = Y t Y t 1 = α + ΦY t 1 Y t 1 + ε t = α + (Φ I)Y t 1 + ε t = α + ΠY t 1 + ε t Stationary VAR(1) (eða VAR(p)) má meta með OLS (ML eða Bayes) og framkvæma diagnostics (skoða metna afgangsliði) í sama anda og einvíð ARIMA. Tafalengd má t.d. giska á með AIC eða BIC (sjá bls. 662). Exogenar breytur má setja inn í VAR líkön sem skýribreytur. Sjá neðst á bls. 662 umræðu um exogen breytur. Takið eftir Grangercausality prófi.
VAR-líkön eru sérlega áhugaverð til að skoða tengsl raða sem ekki eru stationary. Segjum að hnitir í Y t séu I(1). Þá er Y t I(0). Y t = α + ΠY t 1 + ε t Hvað er hægt að segja um fylkið Π? Π = AB þar sem rank(π) < m A, B eru m r fullrank fylki Þetta má túlka: B Y t 1 lýsir jafnvægisvenslum í Y t 1 A lýsir aðlögununarhraða að jafnvægi Ef röð i í fylkinu A er 0, þá er hnit i í Y t weakly exogen. Fjöldi cointegrating sambanda er r. Hægt er að meta kerfið með hliðarskilyrðinu að r = r 0. Tvær meginleiðir eru til að álykta um r, λ-max próf og λ-trace próf. Trace-prófinu er lýst á blaðsíðu 671. Þetta eru LR-próf en dreifingin er ekki χ 2. Gróf lýsing á gangi mála í Johansen regression: 1. Prófa hvort einstakar hnitir séu stationary: 2. Met óskilyrt VAR 3. Álykta um r 4. Met VAR fyrir gefið r. 5. Túlka metið ECM-líkan og framkvæmipróf Að mörgu er að hyggja, t.d. þarf að athuga trend-strúktúr, árstíðir, skammtímasveiflur o.s.frv.
Aðrar jöfnukerfisaðferðir SUR=Seemingly-Unrelated-Regression Takið eftir jöfnu 7.41 og boxi á bls. 686. Panel-data/repeated-measures/longitudinal-data. Gætið að notkun á orðunum fixed og random í paneldata texta í hagrannsóknum. SEM=Simultaneous-Equation-Models. Eitt sinn meginviðfangsefnið í hagrannsóknarnámskeiðum. Wold og Havelmaa (Nóbelsverðlaunhafi ca. 1980) rifust um þetta milli 1950 og 1960. Nauðsynlegt að skipta breytum upp í exogenar og endogenar breytur. x-breytur í sumum jöfnum eru y-breytur í öðrum. Til að sé hægt að meta svona kerfi þurfa nokkur identification skilyrði að vera uppfyllt. (Rank/order skilyrði hafa verið klassískar prófspurningar í hagrannsóknum í áratugi).
Panel-data, longitudinal data, repeated-measures Stundum er mörgum stuttum tímaröðum safna, t.d. í vinnumarkaðskönnunum. Skoða skal: y it = α i + x itγ + ε it y it er mæling á einstakling númer i á tímapunkti t. x it er gildi skýristærðar hjá einstakling i á tímapunkti t. α i er einstaklingsbundinn þáttur. Þetta getur gefið einfaldari parameteríseringu en SUR. Fjöldi parametra er, m, α i, k 1-víður vektor γ og v(ε it ) = σ 2 Fixed-effects nálgunin. α i eru túlkaðir sem óþekktir parametrar sem þarf að meta. Met líkan: y = Xγ + Dα + ε Athugið að til að fá consistent mat einstaklingsþáttunum α þarf fjöldi mælinga per einstakling að stefna á óendanlegt. Til að fá consistent mat á áhrifum skýristærða dugir að fjöldi einstaklinga stefni á óendanlegt. Random-effects nálgunin. Hér er gengið út frá því að α i sé valið úr einhverri populaton þannig að v(α i ) = σ 2 α. Því gildi að: v(y it x it ) = σ 2 + σα 2 Cov(y it, y is ) = σ 2 Nauðsynlegt að fá mat á σ 2 og σ 2 α. Sjá nánar á bls 696. og Varúð! Þessi bók talar um að í fixed-effect nálguninn séu α i parametrar sem þurfi að meta. Þetta er hin hefðbundna nálgun í flestum tölfræðigreinum. Í hagrannsóknum hefur hins vegar tíðkast að túlka þetta á þann hátt að í fixed-effect líkönum sé α i random(stochastic) þættir sem séu hugsanlega tengdir x it. T.d. sé þetta einstaklingsbundinn þáttur sem gerir að einstaklingurinn er líklegur til að velja ákveðin x-gildi í t.d. menntunarbreytu. Ef OLS væri notað í slíkri stöðu fengist non-consistent mat á áhrifum x. Orðið fixed í hagrannsóknum hefur vísað til fast yfir tíma, fremur en non-stochastic. Hefðbundin fræði hafa hins vegar túlkað fixed sem non-stochastic.
Simultan jöfnukerfi Klassísk ekonometría Grunnformið er (m-jöfnur, n-mælingar af hverri): y it = j γ ij y jt + k β ij z jt + ε it j=1 Athugið að y-breytur í sumum jöfnum eru x-breytur í öðrum jöfnum. OLS ekki consistent því að jöfnur hafa endogen skýribreytur. Lesið vel um Keynes dæmið og hermunina á bls. 703-704. Lausn á matsvanda: Notið 2SLS=Two-stage-least-squares: 1. Skýrið allar endogen breytur með exogen breytum (nota instrumental breytur). 2. Notið spáð gildi á endogen breytum úr skrefi 1 í staðinn fyrir mælingar á endogen breytunum. 3. 3SLS=Three-stage-least-squares endurbætir matið með því að taka tillit til þess að ε it gæti verið tengt ε jt. Berið saman við SUR. Þegar nota á instrumental breytur þarf að gæta að rank-condition (instrument nægjanlega tengd endogen breytum) og order-condition (fjöldi instrumenta stærri en fjöldi endogen breyta) (sjá bls. 398). Klassískar prófspurningar voru að gefið var jöfnukerfi síðan átti að segja til um hvaða jöfnur í kerfinu væru identified. Skoðið dæmi 7.11 a-lið.
Stiklur úr kafla 7.4 Outliers: Klassískur praktískur vandi Lauslega 7.4.2. Time-varying parameters. ARCH/GARCH. Byrjar líklega með Engle 1982. Lauslega 7.4.4