Tölfræði II Samantekt vor 2010

Transcript

1 Tölfræði II Samatekt vor 00

2 Ályktuartölfræði Hvað er ályktuartölfræði (iferetial statistics)? Öryggisbil (cofidece iterval) Marktektarpróf

3 Ályktuartölfræði: Hverig er öryggisbil reikað? Gerum ráð áðfyrir að eifalt tilviljuarúrtak ilj af stærð sé tekið úr þýði og að meðalgildi þýðis sé μ og staðalfrávik ðlfáikσ. Formúla fyrir öryggisbil μ þegar miðað ð er við öryggisstig C er: x ± z * σ X Þarsem Xer villufrávik (margi of error) σ X z *

4 Ályktuartölfræði: Marktektarpróf Marktektarpróf k ófli leitast við að svara tiltekum spurigum um þýðið. Þau eru því eðlisólík öryggisbilum sem reya að lýsa eigileikum þýðisis. Við marktektarprófu búum við til líka af aðstæðum í þýði og berum það sama við iðurstöður úrtaksis. Ef úrtaksiðurstöður víkja mikið frá þýðislíkaiu, mikar trúverðugleiki líkasis Við höfum líkaiu ef úrtakið væri mjög óvejulegt samkvæmt líkaiu

5 Ályktuartölfræði: Marktektarprófu Marktektarpróf byggist á aðaltilgátu, H a. Sú tilgáta tilgreiir egi sérstök þýðisgildi og er því ekki prófaleg Adhverfa, úlltilgáta, gefur upp eitt gildi og er því prófaleg. Við búum til líkidalíka og berum úrtaksmeðaltalið sama við þð það. Ef úrtaksmeðaltalið er ólíklegt samkvæmt úlltilgátui, l veikir það trú okkar á H 0 og eykur trúleika aðaltilgátuar.

6 Ályktuartölfræði: Ákvörðuarregla Núlltilgáta stedur fyrir ímydað ástad í þýði adhverfu H a Við ákvörðum α, áhættua sem við viljum taka udir H 0. Þar með höfum við ákvarðað hvað frávikið frá H 0 þarf að vera mikið til að við höfum hei og tökum upp H a Ef frávikið fá kðer mia eru líkurar á iðurstöðui ð meiri e α og við höfum ekki H 0 ; Ef frávikið er meira, eru líkurar mii e α og við höfum úlltilgátui

7 Ályktuartölfræði: z próf z próf er eifaldasta marktektarprófið og byggist á því að við þekkjum staðalfrávik þýðis. Prófið getur ýmist verið eihliða eða tvíhliða eftir því hvort aðaltilgáta tilgreiir frávik upp á við, iður á við eða í hvora átt sem er. Ef prófiðurstaða samsvarar því að líkurar á þetta miklu eða meira fráviki frá úlltilgátui séu litlar, t.d. mii e 0,05, má hafa úlltilgátu og taka upp aðaltilgátua. z x µ 0 σ Eihliða próf Eihliða próf Líkidi udir H 0 z-gildi Eihliða Tvíhliða 64, , ,0,96 0,05 0,05,33 0,0 0,0,58 0,005 0,0 Tvíhliða próf

8 Ályktuartölfræði: Afköst Ef við gefum okkur tiltekið meðaltal í þýði, getum við reikað út hversu oft iðurstaða í úrtaki verður marktæk. Þetta getum við aðeis reikað fyrir tiltekið þýðismeðaltal Afköst aukast eftir því sem meðaltalið er ólíkara því sem úlltilgáta segir. Það fer því eftir því hvað við viljum fia mikil frávik hvað afkösti verða mikil Við höfum áhrif á afkösti með stærð úrtaksis og með þeirri áhættu sem við tökum þegar úlltilgáta er rétt. Við höfum lítil áhrif á staðalfrávikið e þó getur mæliaðferði ði og ákvæmi hear haft áhrif á stærð þess. t/cat_00/applets/power.html

9 Ályktuartölfræði: Rökfræði tilgátuprófuar Ef úlltilgáta er rétt getum við gert þau mistök að hafa hei. Tíði þess ákvörðum við með α. Við vitum því hverjar líkurar eru á því að hafa úlltilgátu þegar hú er rétt. Ef úlltilgáta er rög getum við gert þau mistök að hafa hei ekki. Líkidi þess getum við reikað miðað við eitthvert tiltekið frávik frá H 0. Núlltilgáta Ákvörðu Rétt Rög Ekki hafa α β Hafa α ββ Samtals,00,00 Höfuarmistök Fastheldimistök Mistök af tegud I Mistök af tegud II Afköst

10 T próf á meðaltöl: t próf t próf er í framkvæmd áast eis og z próf. Muuri er sá að við otum spágildi staðalfráviks µ og metum staðalvillua í stað 0 t X þess að geta reikað breidd s úrtakadreifigariar (samplig distributio) ákvæmlega. df Niðurstöðui er flett upp í t töflu með hliðsjó af frígráðuum. Ef líkurar á þetta miklu eða meira frávik frá H 0 er jaftogeðamia e α, getum við hafað úlltilgátui og tekið upp aðaltilgátua. µ 0 : Viðmiðsgil di Tákui er lítillega breytt frá keslubók. Viðmiðsgildið µ 0 stedur fyrir það þýðismeðaltal sem úlltilgáta tilgreiir.

11 T próf á meðaltöl: öryggisbil Öryggisbil eru reikuð á sama hátt og fyrir z próf. Hér þarf að gæta þess að þar sem þýðisstaðalfrávikið er óþekkt, þarf að fletta upp réttu vedigildi t* miðað við frígráður og α í t töflu. X t eða X ± t s s < µ < X + t s Algegast er að ota 95% og studum 99% öryggisbil. Moore og McCabe ota gjara 90% öryggisbil e það er tiltölulega sjaldséð.

12 t próf í óháðum hópum Þegar bori eru sama tvö meðaltöl eru staðalfráviki eiig tvö. Þar sem þau koma úr hvort x x t úr síu þýðiu, er gert ráð fyrir að s s þýðisstaðalfráviki séu ólík. + Niðurstaða t prófsis fylgir ekki t dreifigu ákvæmlega. Við því þíer H 0 :µ µ µ brugðist með því að fletta iðurstöðu þess upp með færri fí frígráðum. Við það þðmikar marktekt prófsis, sérstaklega í fámeum úrtökum. Best er að láta forritum eftir ákvæma útreikiga. df s s + s s +

13 Samlagðar (pooled) dreifitölur Ef hægt er að gera ráð fyrir því að staðalfráviki séu eis í þýði, fylgir t prófið t dreifigui x x t ákvæmlega. s Það er umdeilt hvort hægt sé að gefa sér jöf staðalfrávik sem forsedu. Sumir vilja prófa forsedua áður e prófið er framkvæmt, aðrir vilja að kassarit séu athuguð e e aðrir t.d. Moore & McCabe kjósa að gera ráð fyrir ólíkum staðalfrávikum í flest öllum tilfellum. s p s p + ( ) s + ( ) + s

14 Raðsummupróf: Útreikigur Við breytum mæligildum í raðtölur W :Summa raðtala í hópi þaig að lægsta tala fái, æsta N + fái o.s.frv. ( N + ) µ W Við leggjum sama raðtölurar í hvorum hópi fyrir sig. Við otum þá ( N + ) σw summu raðtala sem er lægri. W µ W Við getum aað hvort athugað rétt z σ vedigildi í töflu. Þá er iðurstaða W örugglega rétt. Við getum líka otað Samfelluleiðréttig (cotiuity correctio) ormalálguia sem sýd er hér til W 0,5 µ W z eða hliðar, gjara með leiðréttigu fyrir σw (skort á) samfellu. W + 0, 5 µ W z σ W - 0,5 ef W > N( + )/4 aars + 0,5

15 Ályktair um hlutföll: Hlutföll Hlutföll llsamsvara meðaltölum ðl l þegar uið er með tvíkostabreytur. Það eru tveir möguleikar og hlutfallið segir hversu oft aar þeirra verður sem hlutfall af heildarfjöldaum. Hlutfallið llið í þýði er tákað með p. Oftast þekkjum við það ekki e verðum að meta það í úrtaki. Ef úrtakið er stórt og hlutfallið ekki of álægt 0,0 eða,0, má gera ráð fyrir því að úrtakadreifig hlutfalls sé ormallaga. X X : Fjöldi aars kostis : Heildarfjöldi í úrtaki σ p ˆ p ( p) SE p ˆ ( ) 4

16 Ályktair um hlutföll: Öryggisbil í stórum úrtökum Formúlurar hér til hliðar miðast við ormallaga úrtakadreifigu. Oft er miðað við aðformúlurar gildi ef úrtakið er stórt. Algegt g er að miða við að fjöldi þurfi að vera 0 í mii hópum. Í 5. útgáfu bókariar miða Moore & McCabe við að 5 séu í mii hópum. SE z eða p ˆ( p ˆ ) ± z SE SE < p < + z SE Egi þessara viðmiða eru traust og álgui batar ekki alltaf við stærra úrtak. 5

17 Ályktair um hlutföll: Leiðrétt öryggisbil Það er auðvelt að fá betra öryggisbil. Það ægir að bæta fjórum mæligildum við gagasafið. Tvö þeirra eru sett í hvor hóp fyrir sig. Við reikum ýtt mat á hlutfalliu í þýði sem við setjum i í formúlurar. Við getum aað hvort (a) reikað þetta í höduum, (b) bætt fjórum mæligum tímabudið í gagasafið eða (c) otað forritliga á etiu. SPSS býður ekki upp á þessa álgu. ~ p SE~ p ~ p z X ~ p ~ p + 4 SE eða ~ p ± z SE ( ) ~ p ~ p < p < ~ p + z SE Moore og McCabe miða við að þessi álgu heti þegar 0, þ.e. í öllum ema allra mistu úrtökuum. ~ p

18 Öryggisbil tveggja hlutfalla Formúlurar gefa ormalálgu að öryggisbili fyrir mismu tveggja óháðra hlutfalla. Óháð hlutföll koma t.d. td úr tveimur aðskildum hópum. Hlutföll eru háð ef t.d. sömu eistakligar eru metir á tveim ólíkum tímum. Hlutfall þeirra sem fylgja ríkisstjór er augljóslega háð hlutfalli þeirra sem eru á móti. Ef misti udirhópuri er ógu stór, gildir ormalálgu. Varast ber ormalálgu ef fjöldi er lítill eða eitthvert hlutfall álægt 0,0 eða,0. ˆ D p SE D D z eða D ± z SE SE D D ( ) ( ) < µ D + < D + z SE Moore & McCabe mæla með þessari aðferð ef a.m.k. 0 stök eru í mista udirhópum. Slík ráð hafa þó reyst illa og best að vera mu stragari. D

19 Marktektarpróf í mismu hlutfalla Marktektarpróf á mismu hlutfalla byggist á því að að meta hlutfallið sem úlltilgáta gefur sér við köllum það hér p 0. Við byrjum yj á að meta þetta hlutfall á grui beggja hópaa. Síða otum við það til að reika út staðalvillua. Mismuur hlutfallaa og staðalvilla fer i í z prófið. Niðurstaða þess er bori sama við ormaltöflu í vejulega hátt. H : p SE z p : Mat okkar á p udir H X + X + D p SE Dp 0 ( ) 0 0 +

20 töflur Mydi sýir fjölda þeirra sem detta í það eftir kyi. Við lítum á kyferði sem frumbreytu og látum haa því skilgreia dálkaa. Þetta eru tvær tvíkostabreytur, tafla hefur því fjögur hólf (cells). Svoa töflur eru kallaðar töflur. Heildartölur fyrir kyferði og það að detta í það kallast jaðardreifigar. Ef við skoðum tölurar frirhortk fyrir hvort ky fyrir sig, eru það skilyrtar dreifigar (coditioal distributio). Að detta í það er fylgibreyta og skilgreiir i i líur. Kyferði er frumbreyta og skilgreiir dálka. Kyferði Detta í það Karlar Kour Samtals Já Nei Samtals Skilyrt dreifig fyrir karla. Þetta er eitt af hólfum töfluar. Jaðardreifig

21 Kíkvaðratpróf Ef tíði er lík vætitíðii er frávikið frá úlltilgátui lítið. Við viljum vita hvort frávikið sé það mikið að við treystum okkur til að hafa úlltilgátui. Kíkvaðratprófið ber sama rau og vætitíði og er mælikvarði á mismu þeirra. Ef iðurstaða prófsis er há, er mikið frávik frá úlltilgátui. Ef frávikið er það mikið að líkurar á þetta miklum eða meiri frávikum eru α eða lægri, getum við hafað úlltilgátui. χ ( df, N fjöldi) ( rautíði vætitíði) vætití ði Þetta próf er sambærilegt z eða t prófi þar sem iðurstaða gefur frávikið frá H 0. Ólíkt þeim er það alltaf stefulaust. Niðurstöðui flettum við upp í töflu eða berum sama við vedigildi. Ef við fáum iðurstöðu sem er jafhá eða hærri e vedigildið sem við fium í töflu F, höfum við úlltilgátui.

22 Forsedur kíkvaðratprófs Kíkvaðratpróf gefur álgu að úrtakadreifigui sem batar eftir því sem fjöldi er meiri. Það er úlltilgáta sem skiptir máli, þ.e. vætitíði. Algegt viðmið er að ekkert hólf hafi vætitíði udir,0 og í mesta lagi 0% þeirra séu udir 5,0. M&M miða við að meðaltal lvætitíði iíð isé 5 eða hærra. Mæligar þurfa aðvera óháðare það er uppfyllt ef hvert stak kemur aðeis eiu sii fyrir í töflui. Forsedur kíkvaðratprófs Óháðar mæligar Mæligar byggjast á tíði Vætitíði,0 eða hærri í öllum hólfum Vætitíði udir 5 í mest 0% hólfaa

23 Eiföld aðfallsgreiig Við höfum upplýsigar um tvær samfelldar breytur og viljum gera líka af áhrifum frumbreytuar á fylgibreytua. Við teljum að þegar frumbreyta hækkar um eia eiigu mui fylgibreyta hækka (eða lækka) ákveðið mikið að jafaði. Við viljum vita hverig tegsli eru, hversu vel tegsli lýsa gög og hversu vel er hægt að spá á grui tegslaa. Mydi sýir þrjú gildi frumbreytu, líu sem lýsir tegsluum og dreifigu fylgibreytu ki krigum líuar. Lía lýsir meðaltali fylgibreytu fyrir gildi þrjú á frumbreytui. Normalferlarir sýa dreifigu fylgibreytuar yg y í krigum meðaltöli.

24 Aðfallsjafa Jafa gefur okkur þýðismeðaltalið fyrir hvert gildi frumbreytuar. Yfirleitt þekkjum við ekki jöfua ákvæmlega. Gildi hvers eistakligs, y i, er ólíkt þýðismeðaltaliu. Frávikið er villa sem við tákum með ε. Athugið að villa er ákveði tala fyrir hver eistakligs, þ.e. frávik has frá meðaltaliu. y i o + y i ε µ i β β x + ε µ β + β x y o i i

25 Tegsli í göguum Mydi sýir tegsl eðlisþygdar líkamas og þykktar fitufelliga.,0 Hér vitum við ekki hver tegsli 08,08 eru milli breytaa tveggja.,06 Gögi gefa his vegar möguleika á að meta þau, þe þ.e. komast að 04,04 eihverri iðurstöðu sem við,0 höldum að lýsi tegsluum í þýði.,0,4,8, Við þekkjum ekki þýðismeðaltöli é villua fyrir hver eistaklig. Í besta falli getum við fegið bestu spá fyrir jöfua og ákvarðað þaig spágildi eistakligsis og leif has. De i LSki y b x + bo + i e i

26 Próf 0. maí kl. 9 Gildir 80% hlutapróf 0% 5 7 efisspurigar (60%) og 6 krossaspurigar (40%)