Líkindi Skilgreining

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Líkindi Skilgreining"

Transcript

1 Líkindi Skilgreining Ω = útkomumengi = mengi allra hugsanlegra útkoma. Atburður er hlutmengi í Ω. Ω A Skilgreining: Atburðir A og B kallast sundurlægir (ósamræmanlegir) ef A B =. Ω A B Skilgreining: Líkindi (líkur) eru fall P úr safni allra atburða sem uppfyllir: (1) P(Ω) = 1. (2) P(A) 0 fyrir alla atburði A. (3) Ef A 1, A 2,... eru sundurlægir atburðir gildir: ( ) P A i = P(A i ). Ω i=1 i=1 A 1 A 3 A 4 A

2 Reiknireglur P(Ω) = 1 og P( ) = 0. Um alla atburði A og B gildir: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Ω A B Um alla sundurlæga atburði A og B gildir: P(A B) = P(A) + P(B). Ω A B P(A c ) = 1 P(A). Ω A A c A B P(A) P(B). Ω B A 2

3 Jafnar líkur Skoðum Ω = {ω 1,..., ω n } og setjum p i = P({ω i }). Skilgreining: Líkindi P á {ω 1,..., ω n } kallast jöfn ef p 1 = p 2 =... = p n = 1 n. Við segjum þá líka að útkoman sé valin af handahó úr {ω 1,..., ω n }. Takið eftir að líkindi eru jöfn ef og aðeins ef fjöldi staka í A P(A) =, A {ω 1,..., ω n }. n Strjál líkindi Líkindi P kallast strjál ef Ω = {ω 1,..., ω n } eða Ω = {ω 1, ω 2,...}. Líkur á atburði A Ω eru þá P(A) = ω A P({ω}). Takið eftir því að jafnar líkur eru ekki til þegar Ω = {ω 1, ω 2,...} vegna þess að p 1 = p 2 = p 3 =... hefði þá í för með sér eftirfarandi mótsögn: {, ef p 1 > 0, 1 = P(Ω) = p i = 0, ef p 1 = 0. i=1 3

4 Skilyrtar líkur Skilgreining: Ef A og B eru atburðir og P(B) > 0, kallast P(A B) P(A B) := P(B) skilyrtu líkurnar á A geð B. Takið eftir að P(A B) = P(B)P(A B). Takið líka eftir að fyrir jafnar líkur gildir: P(A B) = fjöldinn í A B fjöldinn í B. Skilgreining: Sundurlægir atburðir B 1, B 2,... mynda skiptingu á Ω ef þeir þekja Ω þ.e. i=1 B i = Ω. Regla: Ef B 1, B 2,... mynda skiptingu á Ω gildir: P(A) = i P(A B i ) = i P(B i )P(A B i ). Ω A... B 4 B 3 B 1 B 2 Bayes-lögmálið: Ef P(A) > 0 gildir: P(B A) = P(B)P(A B). P(A) 4

5 Óháðir atburðir Það væri eðlilegt að segja að A sé óháður B ef P(A B) = P(A) og að B sé óháður A ef P(B A) = P(B) þ.e. þ.e. P(A B) P(B) P(A B) P(A) = P(A) = P(B). Skilgreining: Atburðir A og B kallast óháðir ef P(A B) = P(A)P(B). Skilgreining: Atburðir A, B og C kallast óháðir ef og P(A B) = P(A)P(B) P(A C) = P(A)P(C) P(B C) = P(B)P(C) P(A B C) = P(A)P(B)P(C). Almenn skilgreining: Atburðir A 1,..., A n kallast óháðir ef fyrir öll k og n 1 <... < n k gildir: P(A n1... A nk ) = P(A n1 ) P(A nk ). Atburðir A 1, A 2... kallast líka óháðir ef þetta gildir. 5

6 Slembistærðir Slembistærð er fall X : Ω R. X Ω ω X(ω) R Fyrir x R skilgreinum við {X = x} := {ω Ω : X(ω) = x}. X Ω {X = x} x R Fyrir a < b skilgreinum við á sama hátt t.d. {a < X b} := {ω Ω : a < X(ω) b}. X Ω {a<x b} a b Og almennt fyrir A R skilgreinum við {X A} := {ω Ω : X(ω) A}. R 6

7 Dreifall slembistærðar Skilgreining: Dreifall slembistærðar X er F (x) := P(X x), x R. Skrifum oft F X í stað F. Þetta er gert til að greina F frá dreiföllum annarra slembistærða. Regla: Dreifall F uppfyllir: (1) 0 F (x) F (y) 1, x < y. (2) F (x) 0 þegar x. (3) F (x) 1 þegar x +. (4) F er samfellt frá hægri: F (y) F (x) þegar y x. Aths: Ef fall F hefur þessa 4 eiginleika, þá er til slembistærð X með F sem dreifall. Regla: P(a < X b) = F (b) F (a), a < b. Setjum F (b ) := lim a b F (a), b R. Takið eftir að fyrir öll b R gildir P(X = b) = F (b) F (b ), og sér í lagi F samfellt í b P(X = b) = 0. 7

8 Strjálar slembistærðir Skilgr: X kallast strjál ef hún tekur endanlega mörg gildi {a 1,..., a k } eða teljanlega mörg gildi {a 1, a 2,...}. Fallið x P(X = x) kallast þá líkindafall X. Takið eftir að ef X er strjál þá gildir: F (x) = y x P(X = y). Dæmi (tveir teningar): Látum P vera jafnar líkur á útkomumenginu Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Látum X vera punktasummuna, þ.e. X(i, j) = i + j. Líkindafall X er þá svona: 6/36 x P (X = x) Og dreifall X er svona: 36/36 30/36 x F (x) 24/36 18/36 12/36 6/

9 Samfelldar slembistærðir Skilgreining: Fall f sem uppfyllir f(x) 0, x R, og f(x)dx = 1 kallast þéttleiki. Slembistærð X kallast samfelld ef til er þéttleiki f þ.a. F (x) = x x f(y) dy, x R. f f = F f kallast þá þéttleiki X. Skrifum oft f X í stað f. Aths: Ef f er þéttleiki, þá er til X með þéttleika f. Regla: Ef X er samfelld slembistærð, þá er dreifallið F samfellt fall. Ennfremur gildir að og P(a < X b) = b a f(x) dx, a < b, P(X = b) = 0, b R. Dæmi: Samfelld slembistærð X kallast jöfn á bilinu [a, b] ef hún hefur þéttleikann { 1 f X (x) = b a, a x b, 0, annars. Við segjum þá líka að X ha jafna dreingu á [a, b] og að X ha verið valið af handahó á milli a og b. 9

10 Samdreifall Skoðum nú slembistærðir X 1,..., X n `í sambúð'. Skilgr: Fallið F sem er skilgreint í (x 1,..., x n ) R n á eftirfarandi hátt: F (x 1,..., x n ) := P(X 1 x 1,..., X n x n ) kallast samdreifall slembistærðana X 1,..., X n. Takið eftir t.d. að F X1 (x) = F (x,,..., ). Samlíkindafall Skilgreining: Ef X 1,..., X n eru allar strjálar kallast (x 1,..., x n ) P(X 1 = x 1,..., X n = x n ) samlíkindafall þeirra. Takið eftir að líkindafall t.d. X 1 fæst svona: x P(X 1 = x) = x 2,...,x n P(X 1 = x, X 2 = x 2,..., X n = x n ). Þetta fall er því stundum nefnt jaðarlíkindafall X 1. 10

11 Samþéttleiki Skilgreining: Látum F vera samdreifall X 1,..., X n. Ef til er fall f : R n [0, ) þannig að F (x 1,..., x n ) = xn... x1 f(y 1,..., y n ) dy 1... dy n þá kallast f samþéttleiki stærðanna X 1,..., X n. Fallið f er oft fundið með því að dira F (x 1,..., x n ) = P(X 1 x 1,..., X n x n ) í öllum breytistærðum x 1,..., x n. Regla: Ef C R n er t.d. rétthyrningur, hringur, kassi eða kúla, þá má nota f til að reikna líkurnar á því að vigurinn sem stærðirnar mynda lendi í C: P ( (X 1,..., X n ) C ) = f(x 1,..., x n ) dx 1... dx n (x 1,...,x n ) C Regla: Ef X 1,..., X n hafa samþéttleika, þá eru þær samfelldar hver fyrir sig og þéttleiki t.d. X 1 er f X1 (x) = f(x, x 2..., x n ) dx 2... dx n. Aths: Þótt stærðirnar X 1,..., X n séu samfelldar hver fyrir sig, er ekki víst að þær ha samþéttleika. 11

12 Skilyrt líkindafall Skilgreining: Ef X 1,..., X n eru strjálar slembistærðir og P(X 2 = x 2,..., X n = x n ) > 0, þá kallast fallið x P(X 1 = x X 2 = x 2,..., X n = x n ) skilyrt líkindafall X 1 geð X 2 = x 2,..., X n = x n. Munið að P(A B) := P(A B)/P(B) og því er P(X 1 = x X 2 = x 2,..., X n = x n ) := P(X 1 = x, X 2 = x 2,..., X n = x n ) P(X 2 = x 2,..., X n = x n ) Skilyrtur þéttleiki Skilgreining: Látum X 1,..., X n hafa samþéttleika f. Látum f X2,...,X n vera samþéttleika X 2,..., X n. Ef f X2,...,X n (x 2,..., x n ) > 0, þá kallast fallið x f X1 X 2,...,X n (x x 2,..., x n ) := f(x, x 2,..., x n ) f X2,...,X n (x 2,..., x n ) skilyrtur þéttleiki X 1 geð X 2 = x 2,..., X n = x n. Skilgreining: Skilyrtu líkurnar á að X 1 taki t.d. gildi á bili A geð X 2 = x 2,..., X n = x n eru þá P(X 1 A X 2 = x 2,..., X n = x n ) := f X1 X 2,...,X n (x x 2,..., x n ) dx. A 12

13 Óháðar slembistærðir Skilgreining: X 1,..., X n kallast óháð ef P(X 1 A 1,..., X n A n ) = P(X 1 A 1 )... P(X n A n ), fyrir öll bil A 1,..., A n. Regla: Þetta gildir ef og aðeins ef F (x 1,..., x n ) = F X1 (x 1 )... F Xn (x n ), x 1,..., x n R, þar sem F er samdreifallið og F Xi er dreifall X i : F Xi (x i ) = P(X i x i ), i = 1,..., n. Regla: Strjál X 1,..., X n eru óháð ef og aðeins ef P(X 1 = x 1,..., X n = x n ) = P(X 1 = x 1 )... P(X n = x n ) fyrir öll x 1,..., x n R. Regla: Samfelld X 1,..., X n eru óháð ef og aðeins ef (x 1,..., x n ) f X1 (x 1 )... f Xn (x n ) er samþéttleiki fyrir stærðirnar X 1,..., X n. 13

14 Væntigildi Skilgreining: Væntigildi (meðalgildi) X er xp(x = x), ef X er strjál, x µ = µ X = E[X] := xf(x) dx, ef X er samfelld. Dæmi: Skoðum X sem er jöfn á [0, 1] þ.e. f X (x) = 1, 0 x 1, Fáum: E[X] = 1 0 x dx = 1 2. (og f X (x) = 0 annars). Skoðum nú X 3. Dreifallið fæst svona: 0, y < 0, F X 3(y) = P(X 3 y) = P(X y 1 3) = y 1 3, 0 y 1, 1, y > 1. Þéttleikinn er því f X 3(y) = F X 3 (y) = Væntigildið fæst nú svona: E[X 3 ] = yf X 3(y) dy = { 1 3 y 2 3, 0 y 1, 0, annars. 1 0 y 1 3 y 2 3 dy = 1 4. Takið eftir að við fengum E[X 3 ] = 1 4 ( 1 2) 3 = (E[X]) 3. 14

15 Lögmál hins ómeðvitaða tölfræðings Lögmál hins ómeðvitaða tölfræðings: Ef g : R R er fall gildir að g(x)p(x = x), ef X er strjál, x E[g(X)] = g(x)f(x) dx, ef X er samfelld. Dæmi: Skoðum Y = X 3 þar sem X sem er jöfn á [0, 1] þ.e. f X (x) = 1, 0 x 1, (og f X (x) = 0 annars). Við fengum áðan (eftir talsvert vafstur) E[X 3 ] = yf X 3(y) dy = 1 Við getum nú farið einfaldari leið: E[X 3 ] = x 3 f X (x) dx = y 1 3 y 2 3 dy = 1 4. x 3 dx = [ x 4 4 ] 1 0 =

16 Reglur um væntigildi Munið skilgreininguna á væntigildi: xp(x = x), ef X er strjál, x µ = E[X] := xf(x) dx, ef X er samfelld. Lögmál hins ómeðvitaða tölfræðings: Skoðum Y = g(x 1,..., X n ) þar sem g : R n R er fall. Þá gildir að E[Y ] = g(x 1,..., x n )P(X 1 = x 1,..., X n = x n ) x n x 1 ef (X 1,..., X n ) eru strjálar, g(x 1,..., x n )f(x 1,..., x n ) dx 1... dx n ef X 1,..., X n hafa samþéttleika f. Reglur: Fyrir a, a 1,..., a n R gildir (1) E[a] = a. (2) (3) (4) E[aX] = ae[x]. E[X + Y ] = E[X] + E[Y ]. E[a 1 X a n X n ] = a 1 E[X 1 ] a n E[X n ] Regla: Ef X og Y eru óháð gildir E[XY ] = E[X]E[Y ]. 16

17 Dreifni Skilgreining: Dreifni slembistærðar X er Var[X] := E[(X µ) 2 ] (hér er µ = E[X]) og staðalfrávik hennar er σ := Var[X]. Takið eftir að Var[X] 0. Reglur: (1) (2) Var[X] = E[X 2 ] (E[X]) 2. Var[a + bx] = b 2 Var[X], a, b R. Regla: Ef X 1,..., X n eru óháðar gildir að Var[X X n ] = Var[X 1 ] Var[X n ]. 17

18 Samdreifni og fylgni Skilgreining: Samdreifni slembistærða X og Y er Cov[X, Y ] := E[(X µ X )(Y µ Y )] og fylgnistuðull þeirra er ρ = ρ X,Y := Cov[X, Y ] σ X σ Y. Takið eftir að Cov[X, X] = Var[X]. Regla: 1 ρ 1 Regla: Cov[X, Y ] = E[XY ] E[X]E[Y ] Reglur: Fyrir a R og n, m N gildir að (1) (2) (3) (4) Cov[aX, Y ] = a Cov[X, Y ] Cov[X + Y, Z] = Cov[X, Z] + Cov[Y, Z] [ n m ] n m Cov X i, Y j = Cov[X i, Y j ] i=1 j=1 [ n ] Var X i = i=1 n i=1 j=1 i=1 Var[X i ] + 2 i<j Cov[X i, X j ] Regla: Ef X og Y eru óháðar gildir Cov[X, Y ] = 0. 18

19 Ójöfnur Markovs og Chebyshevs Ójafna Markovs: Ef P(X 0) = 1, þá gildir að Sönnun: Setjum P(X > a) E[X] a, a > 0. Y := { 0, ef X a, a, ef X > a. Þá er P(Y X) = 1, sem gefur E[Y ] E[X]. Takið loks eftir að E[Y ] = a P(X > a). Ójafna Chebyshevs: P( Y E[Y ] > ε) Var[Y ] ε 2, ε > 0. Sönnun: Setjum X := (Y E[Y ]) 2. Þá er P( Y E[Y ] > ε) = P(X > ε 2 ) E[X] ε 2 = E[(Y E[Y ])2 ] ε 2 = Var[Y ] ε 2. (ójafna Markovs) 19

20 Lögmál mikils fjölda Munið ójöfnu Chebyshevs: P( Y E[Y ] > ε) Var[Y ] ε 2, ε > 0. Við notum hana nú til að sanna merka reglu: Lögmál mikils fjölda: Ef X 1, X 2,... eru óháðar og hafa allar sama endanlega væntigildi µ = E[X i ] og allar sömu endanlegu dreifni σ 2 = Var[X i ], þá gildir fyrir öll ε > 0 að ( ) X X n P µ n > ε 0, n. Sönnun: Setjum Y := (X X n )/n. Þá er E[Y ] = (µ µ)/n þ.e. E[Y ] = µ og vegna þess að X 1,..., X n eru óháðar fæst líka Var[Y ] = (σ σ 2 )/n 2 þ.e. Var[Y ] = σ 2 /n. Ójafna Chebyshevs gefur nú P( Y E[Y ] > ε) σ2 /n ε 2 0, n. 20

21 Lögmál mikils fjölda og túlkun líkinda Við vorum að sanna eftirfarandi reglu: Lögmál mikils fjölda: Ef X 1, X 2,... eru óháðar og hafa allar sama endanlega væntigildi µ = E[X i ] og allar sömu endanlegu dreifni σ 2 = Var[X i ], þá gildir fyrir öll ε > 0 að ( ) X X n P µ n > ε 0, n. Þetta skrifum við stundum losaralega svona: X X n n µ þegar n er stórt. Um túlkun líkinda: Hugsum okkur að við framkvæmum tilraun í n óháð skipti og skráum hjá okkur 1 eða 0 eftir því hvort tiltekinn atburður gerist eða gerist ekki. Við fáum þá óháðar slembistærðir X 1,..., X n þ.a. P(X i = 1) = p þar sem p eru líkurnar á að atburðurinn gerist í einni tiltekinni tilraun (segjum þá að sú tilraun heppnist). Nú er µ = p og lögmál mikils fjölda gefur: eftir margar tilraunir er hlutfallsleg tíðni heppnaðra tilrauna p. Þess vegna er eðlilegt að túlka líkindin p sem hlutfallslega tíðni heppnaðra tilrauna þegar tilraun er endurtekin í mörg óháð skipti. 21

22 Nokkrar mikilvægar slembistærðir STRJÁLAR: Bernoulli-stærð X Ber(p) tvíkostastærð X Bin(n, p) Poisson-stærð X Poi(λ) strjál veldisstærð X Geo(p) SAMFELLDAR: jöfn stærð X Unf([a, b]) veldisstærð X Exp(λ) normleg stærð X N(µ, σ 2 ) Bernoulli-stærð X Ber(p) Skilgreining: Látum 0 < p < 1. Slembistærð X kallast Bernoulli-stærð með stika p ef P(X = 1) = p og P(X = 0) = 1 p. Reglur: Ef X Ber(p) gildir að (1) (2) E[X] = p Var[X] = p(1 p) Sönnun: (1) E[X] = 0 P(X =0) + 1 P(X = 1) = p. (2) E[X 2 ] = 0 2 P(X = 0) P(X = 1) = p og (1) gefa seinna skreð í Var[X] = E[X 2 ] (E[X]) 2 = p p 2. 22

23 Tvíkostastærð X Bin(n, p) Skilgreining: Látum n 1 og 0<p<1. Slembistærð X kallast tvíkosta stærð (binomial) með stika n, p ef ( ) n P(X = k) = p k (1 p) n k, k = 0,..., n. k Regla: Ef X 1,..., X n eru óháðar Ber(p), þá er X X n Bin(n, p). Sönnun: Til að summan verði k þarf að fá 1 í k skipti og 0 í hin. Líkurnar á að fá 1 í tiltekin k skipti og 0 í hin eru þær sömu og að fá 1 í fyrstu k skiptin og svo 0 í hin. Þessar líkur eru P(X 1 =1,..., X k =1, X k+1 =0,... X n =0) = p k (1 p) n k. Margföldun með fjölda möguleika gefur ( ) n P(X X n = k) = p k (1 p) n k. k Reglur: Ef X Bin(n, p) gildir að (1) (2) E[X] = np Var[X] = np(1 p) Sönnun: Látum X 1,..., X n vera óháðar Ber(p). Notum regluna hér að ofan, summureglur um væntigildi og dreifni, og að E[X i ] = p og Var[X i ] = p(1 p): E[X X n ] = E[X 1 ] E[X n ] = np. Var[X X n ] = Var[X 1 ]+...+Var[X n ] = np(1 p). 23

24 Poisson-stærð X Poi(λ) Munið að k=0 λ k k! = eλ sem gefur k=0 λ λk e k! = 1. Skilgreining: Látum 0 < λ <. Slembistærð X kallast Poisson-stærð með stika λ ef P(X = k) = e λ λk, k = 0, 1, 2,... k! Regla: Ef Y Bin(n, p) og X Poi(np) þá gildir að { np 2 P(Y A) P(X A) fyrir öll A R. p Skrifum þetta stundum losaralega svona: Bin(n, p) Poi(np) þegar p er lítið. Þetta þýðir að ef tilraun er endurtekin í n óháð skipti og líkurnar p á að heppnast í einni tiltekinni tilraun eru hverfandi litlar, þá er fjöldi heppnaðra tilrauna Poisson með λ = np. Reglur: Ef X Poi(λ) gildir að (1) (2) E[X] = λ Var[X] = λ Sönnun: (1) E[X] = λk 0 k e λ k! = λ λk 1 1 e λ (k 1)! = λ. (2) E[X(X 1)]= 0 k(k 1)e λλk k! =λ 2 λk 2 2 e λ (k 2)! = λ2 gefur lokaskreð í E[X 2 ] = E[X(X 1)]+E[X] = λ 2 +λ sem gefur Var[X] = E[X 2 ] (E[X]) 2 = (λ 2 +λ) λ 2 = λ. 24

25 Strjál veldisstærð X Geo(p) Munið a i = 1 1 a ( a <1) og því (1 p) k 1 = 1 p. i=0 k=1 Skilgreining: Látum 0 < p < 1. Slembistærð X kallast strjál veldisstærð með stika p ef P(X = k) = p(1 p) k 1, k = 1, 2,... Regla: Látum Y 1, Y 2,... vera óháðar Ber(p). Látum X vera fyrsta n þannig að Y n = 1, þ.e. Þá er X Geo(p). X := min{n 1 : Y n = 1}. Sönnun: P(X = k) = P(Y 1 = 0,..., Y k 1 = 0, Y k = 1) = P(Y 1 = 0)... P(Y k 1 = 0)P(Y k = 1) = (1 p) k 1 p. Reglur: Ef X Geo(p) gildir að (1) P(X > n) = (1 p) n, n = 0, 1,... (2) (3) E[X] = 1 p Var[X] = 1 p p 2 Sönnun á (1): Notum regluna hér að ofan: P(X > n) = P(Y 1 = 0,..., Y n = 0) = (1 p) n. 25

26 Jöfn stærð X Unf[a, b] Skilgreining: Látum < a < b <. Slembistærð X kallast jöfn stærð á bilinu [a, b] ef { 1 f X (x) = b a, a x b, 0, annars. Reglur: Ef X Unf[a, b] gildir að F X (x) = x a (1) b a, a x b (2) (3) Sönnun: (1) E[X] = a + b 2 (b a)2 Var[X] = 12 F X (x) = x a 1 b a og σ X = b a 12 x a dy = b a, a x b. (2) E[X]= b a x b a dx=[ 1 b 2 b a] a = 1 2 x 2 b 2 a 2 b a = 1 (a+b)(b a) 2 b a = a+b 2. (3) E[X 2 ]= b a x 2 b a dx = 1 b 3 a 3 3 b a = 1 (a 2 +ab+b 2 )(b a) 3 b a = a2 +ab+b 2 3 og því Var[X] = E[X 2 ] (E[X]) 2 = a2 +ab+b 2 3 ( a+b 2 )2 = 4(a2 +ab+b 2 ) 3(a 2 +2ab+b 2 ) 12 = a2 2ab+b 2 12 = (b a)2 12. Varðveisluregla: X Unf[a, b] X a b a Unf[0, 1] Sönnun: Tökum u [0, 1] og x [a, b] þ.a. u = x a Þá er P(X x) = x a b a P(X a b a u) = u. b a. 26

27 Veldisstærð X Exp(λ) Skilgreining: Látum 0 < λ <. Slembistærð X kallast veldisstærð með stika λ ef { λe λx, x 0, f X (x) = 0, x < 0. Reglur: Ef X Exp(λ) gildir að (1) (2) P(X > x) = e λx, x 0 F X (x) = 1 e λx, x 0 (3) E[X] = 1 λ (4) Var[X] = 1 λ 2 Skilgreining: Slembistærð X sem tekur bara jákvæð gildi kallast minnislaus ef P(X > a + b X > a) = P(X > b), a, b 0. Takið eftir að ef tæki er alltaf eins og nýtt meðan það er nothæft, þá er endingartími þess minnislaus. Regla: X er minnislaus til er λ þ.a. X Exp(λ) 27

28 Normleg stærð X N(µ, σ 2 ) Skilgreining: Látum µ R og 0 < σ 2 <. Slembistærð X kallast normleg stærð með stika µ og σ 2 ef f X (x) = 1 e 1 2σ 2(x µ)2, x R. 2πσ Regla: X N(µ, σ 2 ) E[X] = µ og Var[X] = σ 2 Varðveisluregla: X N(µ, σ 2 ) X µ σ N(0, 1) Z kallast stöðluð normleg stærð ef Z N(0, 1). Þá er E[Z] = 0 og Var[Z] = 1 og Loks er F Z = Φ þar sem f Z (x) = 1 2π e x2 2, x R. Φ(x) := x 1 2π e y2 2 dy, x R. f Z x 28

29 Notkun á Z N(0, 1) og Φ ( ) x µ Regla: X N(µ, σ 2 ) F X (x) = Φ, x R σ Normleg stærð X er samfelld og því gildir fyrir a R að P(X = a) = 0 og P(X < a) = P(X a). Þess vegna má skipta á < og (og á > og ) alls staðar hér fyrir neðan. Nota má Φ til að reikna líkur fyrir X N(µ, σ 2 ): ( ) b µ P(X < b) = Φ σ og ( ) ( ) b µ a µ P(a < X < b) = Φ Φ. σ σ Vegna samhverfu gildir: P(Z < x) = P(Z > x) og því Φ( x) = 1 Φ(x). P(Z < x) x f Z P(Z > x) x Skilgreining: Fyrir 0 <α <1 látum við z α vera þá tölu sem uppfyllir P(Z > z α ) = α. f Z α z α z 0,05 = 1,645 z 0,025 = 1,960 z 0,01 = 2,326 z 0,005 = 2,576 29

30 Athugasemd um stöðlun Ef X er slembistærð með endanlegt væntigildi µ og endanlega strangt jákvæða dreifni σ 2, kallast X µ stöðluð stærð. σ Þá gildir [ ] [ ] X µ X µ E = 0 og Var σ σ = 1. Látum X 1, X 2,... vera óháðar slembistærðir sem allar hafa sama endanlega væntigildi µ = E[X i ], i = 1, 2,..., og sömu endanlegu strangt jákvæðu dreifni σ 2 = Var[X i ], i = 1, 2,.... Þá gildir fyrir öll n N að E[X X n ] = nµ og Var[X X n ] = nσ 2 og því gefur stöðlun [ ] X X n nµ E σ = 0 n og [ ] X X n nµ Var σ = 1. n 30

31 Höfuðmarkgildisreglan Normleg nálgun Höfuðmarkgildisreglan: Látum X 1, X 2,... vera óháðar slembistærðir sem allar hafa sama dreifall með endanlegt væntigildi µ = E[X i ], i = 1, 2,..., og endanlega strangt jákvæða dreifni σ 2 = Var[X i ], i = 1, 2,.... Þá gildir fyrir öll x R að ( ) X X n nµ P σ x Φ(x), n. n Við skrifum þetta oft losaralega svona: X X n nµ σ N(0, 1) þegar n stórt n eða svona: X X n N(nµ, nσ 2 ) þegar n stórt. Dæmi: Byggja á 1000 íbúða hver. Vitað er að bílafjöldi á dæmigerða fjölskyldu í svona hver hefur eftirfarandi dreingu: 20% á engan bíl, 70% á einn bíl, 10% á tvo bíla. Spurning: Hvað þarf stóra bílageymslu til að hún dugi fyrir hverð með u.þ.b. 95% líkum? 31

32 Normleg nálgun á Bin(n, p) og á Poi(λ) Höfuðmarkgildisreglan segir að ef X 1,..., X n eru óháðar slembistærðir sem allar hafa sama dreifall með endanlegt væntigildi µ og endanlega strangt jákvæða dreifni σ 2 þá gildir að X X n N(nµ, nσ 2 ) þegar n stórt. Vegna þess að Bin(n, p) er summa n óháðra Ber(p) leiðir af þessu að Bin(n, p) N(np, np(1 p)) þegar n er stórt. Hversu stórt n þarf að vera fer eftir því hvað p er. Nálgunin verður þeim mun betri sem p er nær 1 2. Hér er algeng puttaregla: puttaregla: np(1 p) 10 Vegna þess að Poi(λ) Bin(n, λ/n) þegar n er stórt leiðir af þessu að Poi(λ) N(λ, λ) Hér er algeng puttaregla: þegar λ er stórt. puttaregla: λ 10 32

33 Varðveislureglur Eftirfarandi reglur gilda fyrir óháðar stærðir X og Y. X Bin(n, p) Y Bin(m, p) } X + Y Bin(n + m, p). X Poi(λ) Y Poi(µ) } X + Y Poi(λ + µ). X N(µ 1, σ 2 1) Y N(µ 2, σ 2 2) } X + Y N(µ 1 + µ 2, σ σ 2 2). X Exp(λ 1 ) Y Exp(λ 2 ) } min{x, Y } Exp(λ 1 + λ 2 ). 33

34 Poisson-ferli (c) Látum T 1, T 2,... vera slembistærðir þ.a. 0 < T 1 < T 2 <... og T n, n. Hugsum okkur að þessi T n séu tímapunktar þegar einhver viðburður gerist. Talningarferli viðburðastreymisins er (N t ) t 0 þar sem N t = #{n 1 : T n t} = fjöldi viðburða á bilinu [0, t] Billengdir viðburðastreymisins eru X 1 = T 1 og X n = T n T n 1, n 2. Skilgreining: Talningarferli (N t ) t 0 kallast Poissonferli með tíðni c = E[N 1 ] ef eftirfarandi gildir N t1, N t2 N t1,..., N tn N tn 1 eru óháðar slembistærðir fyrir öll n 1 og 0 < t 1 < t 2 <... < t n. E[N t ] = ct fyrir öll t 0. Regla: Ef (N t ) t 0 er Poisson-ferli með tíðni c gildir: N t Poi(ct), t 0. Jafngildisregla: (N t ) t 0 er Poisson-ferli með tíðni c X 1, X 2,... eru óháðar og allar Exp(c) N t Poi(ct), t 0, og ef skilyrt er með {N t = n} er eins og þessum n punktum ha verið stráð af handahó á bilið [0, t]. 34

35 Poisson-ferli samruni og sundrun Látum (L t ) t 0, (M t ) t 0, (N t ) t 0 vera þ.a. L t + M t = N t, t 0. Setjum a = E[L 1 ], b = E[M 1 ], c = E[N 1 ] svo a + b = c. Látum I 1, I 2,... vera Bernoulli-stærðir þ.a. { 0 ef n ti punktur (N t ) t 0 kemur úr (L t ) t 0, I n = 1 ef n ti punktur (N t ) t 0 kemur úr (M t ) t 0. Setjum q = P(I 1 = 0) og p = P(I 1 = 1) svo q + p = 1. Regla: (L t ) t 0 og (M t ) t 0 eru óháð Poisson-ferli með tíðnir a = qc og b = pc (N t ) t 0 er Poisson-ferli með tíðni c = a + b, I 1, I 2,... eru óháðar og allar Ber(p) þar sem p = b c, Runan (I 1, I 2,...) er óháð talningarferlinu (N t ) t 0. Sér í lagi segir þessi regla að Poisson-ferli (c) þynnt með p er Poisson-ferli (pc). Samruni óháðra Poisson-ferla (a) og (b) er Poissonferli (a + b). 35

Reikniverkefni VII. Sævar Öfjörð Magnússon. 22. nóvember Merki og ker Jónína Lilja Pálsdóttir

Reikniverkefni VII. Sævar Öfjörð Magnússon. 22. nóvember Merki og ker Jónína Lilja Pálsdóttir Reikniverkefni VII Sævar Öfjörð Magnússon 22. nóvember 25 8.3.4 Merki og ker Jónína Lilja Pálsdóttir KAFLI 9.2 Pólar 2. stigs kerfa Í þessum kaa vinnum við með 2. stigs ker á forminu H(s) = ω 2 n. ()

Διαβάστε περισσότερα

Þriggja fasa útreikningar.

Þriggja fasa útreikningar. Þriggja asa útreikningar. Hér þurum við að byrja á því að skilgreina 4 hugtök. 1. Netspenna er spenna sem við mælum á milli tveggja asa.. Netstraumur er straumurinn í hverjum asaleiðara.. Fasaspenna er

Διαβάστε περισσότερα

x(t) = T 0 er minnsta mögulega gildi á T

x(t) = T 0 er minnsta mögulega gildi á T Fyrir x(t) = u(t) þá fáum við lim t y(t) = lim t tu(t) = sem er óstöðugt. (oft er gott að skoða hvort impúlssvörunin sé alsamleitin, ef svo er, þá er kerð stöðugt). Tímaóháð Ker er tímaóháð ef það kemur

Διαβάστε περισσότερα

Meðalmánaðardagsumferð 2009

Meðalmánaðardagsumferð 2009 Meðalmánaðardagsumferð 2009 Almennt Á meðfylgjandi stöplaritum gefur að líta, hvernig umferð um 74 staði/snið dreifist hlutfallslega eftir mánuðum yfir árið 2009. Í upphafi var ákveðið að velja alla talningarstaði,

Διαβάστε περισσότερα

PRÓFBÚÐIR Í LÍNULEGRI ALGEBRU VIÐ HR VOR 2014 HERKÚLES

PRÓFBÚÐIR Í LÍNULEGRI ALGEBRU VIÐ HR VOR 2014 HERKÚLES PRÓFBÚÐIR Í LÍNULEGRI ALGEBRU VIÐ HR VOR 2014 HERKÚLES GUÐMUNDUR EINARSSON Herkúles Prófbúðir April 8, 2014 1 / 52 OUTLINE 1 Grunnhugtök, einfaldar aðgerðir og innfeldi Grunnhugtök Innfeldi Jafna Línu

Διαβάστε περισσότερα

Ályktanir um hlutföll og tengslatöflur

Ályktanir um hlutföll og tengslatöflur Ályktanir um hlutföll og tengslatöflur LAN 203G & STÆ209G Anna Helga Jónsdóttir Sigrún Helga Lund Háskóli Íslands Anna Helga og Sigrún Helga (HÍ) Ályktanir um hlutföll og tengslatöflur 1 / 27 Helstu atriði:

Διαβάστε περισσότερα

Kaplan Meier og Cox. Aðferðafræði klínískra rannsókna haustið 2010 Fimmtudagur 11 nóvember. Thor Aspelund Hjartavernd og Háskóla Íslands

Kaplan Meier og Cox. Aðferðafræði klínískra rannsókna haustið 2010 Fimmtudagur 11 nóvember. Thor Aspelund Hjartavernd og Háskóla Íslands Kaplan Meier og Cox Aðferðafræði klínískra rannsókna haustið 2010 Fimmtudagur 11 nóvember Thor Aspelund Hjartavernd og Háskóla Íslands Tími að atburði í heilbrigðisvísindum Í heilbrigðisvísindum er útkoman

Διαβάστε περισσότερα

t 2 c2 2 Φ = 0. (2.1)

t 2 c2 2 Φ = 0. (2.1) 2 Bylgjuaflfræði Eftir að de Broglie setti fram tilgátu sína og í ljós kom að hún átti við rök að styðjast var ljóst að finna þyrfti bylgjujöfnu sem þessar bylgjur hlíttu. Rafsegulbylgjur, hljóðbylgjur

Διαβάστε περισσότερα

RAF301G Merki og kerfi Miðmisserispróf, lausn

RAF301G Merki og kerfi Miðmisserispróf, lausn RAF301G Merki og kerfi Miðmisserispróf, lausn Miðvikudaginn 20. okóber 2010, kl. 08:20-09:50 Leyfileg hjálpargögn: reiknivél og ei A-blað með hverju sem er (innan marka heilbrigðrar skynsemi) á báðum hliðum.

Διαβάστε περισσότερα

Span og orka í einfaldri segulrás

Span og orka í einfaldri segulrás Rafmagnsvélar 1 - RAF601G 1 Span og orka í einfaldri segulrás Inductance and energy in a simple magnetic circuit Rafmagnsvélar 1 - RAF601G 2 Lögmál Faradays spansegulviðnám Lögmál Faradays er hluti af

Διαβάστε περισσότερα

FRÆÐSLUSKRIFSTOFA RAFIÐNAÐARINS

FRÆÐSLUSKRIFSTOFA RAFIÐNAÐARINS FÆÐSLSKIFSTOF FIÐNÐINS FOMÚL VEGN SVEINSÓFS Í FIÐNM Útgáfa SVEINSÓFSNEFND FIÐN STEKSTMS Fræðsuskrifstofa rafiðnaðarins Sveinsprófsnefnd sterkstraums FOMÚL FOMÚLTEXTI ρ Δ cosϕ I ρ Δ ρ Δ Spenna V I Straumur

Διαβάστε περισσότερα

Menntaskólinn í Reykjavík

Menntaskólinn í Reykjavík Menntakólinn í Reykjaík Jólaróf 006, fötudaginn 5. de. kl. 9 0 Eðlifræði í 6.M og S náttúrufræðideild I Sör erkefnið er á 5 töluettu blaðíðu. Leyfileg hjálargögn eru hjálagt forúlublað og aareiknir. otaðu

Διαβάστε περισσότερα

Aðskilnaður breytistærða í rúmi

Aðskilnaður breytistærða í rúmi Kai 9 Aðskinaður breytistærða í rúmi 9.1 Bygjujafna í skífu 2 u = c 2 2 u, x 2 + y 2 < a 2 t 2 js: u = 0, x 2 + y 2 = a 2 us: u u t=0 = ϕ, = ψ t=0 t 9.1) Geymum upphafsskiyrðin us) beitum aðskinaði breytistærða

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

4. Απαγορεύεται η χρήση υπολογιστή χειρός. Απαγορεύεται η χρήση κινητού, και ως υπολογιστή χειρός.

4. Απαγορεύεται η χρήση υπολογιστή χειρός. Απαγορεύεται η χρήση κινητού, και ως υπολογιστή χειρός. ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΙΩΑΝΝΗΣ ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ, ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, ΙΟΥΝΙΟΣ 207 ΟΝΟΜΑ ΦΟΙΤΗΤΗ:.............................. Οδηγίες. Συμπληρώστε το όνομά

Διαβάστε περισσότερα

Eðlisfræði II: Riðstraumur. Kafli 11. Jón Tómas Guðmundsson 10. vika vor 2016

Eðlisfræði II: Riðstraumur. Kafli 11. Jón Tómas Guðmundsson 10. vika vor 2016 Eðlisfræði II: Riðstraumur Kafli 11 Jón Tómas Guðmundsson tumi@hi.is 10. vika vor 2016 1 Inngangur Grafið sem sýnir augnabliksgildi rafmerkis sem fall af tíma er nefnt bylgjuform merkis Gjarnan eru bylgjuform

Διαβάστε περισσότερα

Undirstöðuatriði RC-tengds magnara Ólafur Davíð Bjarnason og Valdemar Örn Erlingsson 28. apríl 2009

Undirstöðuatriði RC-tengds magnara Ólafur Davíð Bjarnason og Valdemar Örn Erlingsson 28. apríl 2009 Háskóli Íslands Vor 2009 Kennari: Vilhjálmur Þór Kjartansson Undirstöðuatriði RC-tengds magnara 28. apríl 2009 1 Magnari án forspennu Notuð var rás eins og á mynd 1. Við bárum saman uce og ube á sveiflusjá.

Διαβάστε περισσότερα

4.01 Maður ekur 700 km. Meðalhraðinn er 60 km/klst fyrstu 250 km og 75 km/klst síðustu 450 km. Hver er meðalhraðinn?

4.01 Maður ekur 700 km. Meðalhraðinn er 60 km/klst fyrstu 250 km og 75 km/klst síðustu 450 km. Hver er meðalhraðinn? 4. kafli, dæmi og vör með útreikningum Skrifað út 9..4; :34 4. Maður ekur 7 km. Meðalhraðinn er 6 km/klt fyrtu 5 km og 75 km/klt íðutu 45 km. Hver er meðalhraðinn? S S Sv.: Hér þarf að reikna tímann fyrir

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Είδη τυχαίων διανυσµάτων 1. ιακριτού τύπου X = (X 1, X 2,...,X k ) ονοµάζεται διακριτό τυχαίο διάνυσµα αν το πεδίο τιµών του είναι της µορφής, S = {x 1 x 2 n,,...,x,...}.

Διαβάστε περισσότερα

Bústólpi ehf - Nýtt kjarnfóður H K / APRÍL 2014

Bústólpi ehf - Nýtt kjarnfóður H K / APRÍL 2014 Bústólpi ehf - Nýtt kjarnfóður H K / APRÍL 2014 Nýtt kjarnfóður frá Bústólpa PREMIUM PRO-FIT 17 PREMIUM PRO-FIT 13 Nýtt kjarnfóður frá Bústólpa PREMIUM PRO-FIT 17 Kjarnfóður sem ætlað er að hámarka fitu,

Διαβάστε περισσότερα

Borðaskipan í þéttefni

Borðaskipan í þéttefni Eðlisfræði þéttefnis I: Borðaskipan í þéttefni Kafli 7 Jón Tómas Guðmundsson tumi@hi.is 8. vika haust 2017 1 Inngangur Sú nálgun sem gerð var með einnar rafeindar nálguninni og með því að gera ráð fyrir

Διαβάστε περισσότερα

1) Birgðabreyting = Innkaup - Sala + Framleiðsla - Rýrnun - Eigin notkun. Almennari útgáfa af lögmálinu hér fyrir ofan lítur svona út:

1) Birgðabreyting = Innkaup - Sala + Framleiðsla - Rýrnun - Eigin notkun. Almennari útgáfa af lögmálinu hér fyrir ofan lítur svona út: Massajöfnunarkerfi Svokölluð jöfnunarkerfi eru notuð til að fylgjast með magni efnis þegar það fer í gegnum ferli. Slík kerfi eru útgáfur af lögmálinu um varðveislu massans. Einfaldasta jöfnunarkerfið

Διαβάστε περισσότερα

Tölfræði II. Lausnahefti við völdum dæmum. Haustönn 2004

Tölfræði II. Lausnahefti við völdum dæmum. Haustönn 2004 Tölfræð II Lausaheft vð völdum dæmum Haustö 4 Erledur Davíðsso 5 Erledur Davíðsso Efsyfrlt Dæm Slembbreytur, líkdafræð...4 Dæm - Þéttföll...4 Dæm 3 Ýmsar drefgar...4 Dæm 4 - Vætgld...5 Dæm 5 Vægsframleðarar...5

Διαβάστε περισσότερα

Guðbjörg Pálsdóttir Guðný Helga Gunnarsdóttir NÁMSGAGNASTOFNUN

Guðbjörg Pálsdóttir Guðný Helga Gunnarsdóttir NÁMSGAGNASTOFNUN Guðbjörg Pálsdóttir Guðný Helga GunnarsdóttirNÁMSGAGNASTOFNUN Til nemenda Námsefnisflokkurinn 8 tíu er ætlaður nemendum í 8. 10. bekk. Grunnbókin 8 tíu 5 skiptist í átta meginkafla. Í hverjum kafla er

Διαβάστε περισσότερα

Vísandi mælitæki (2) Vísandi mælitæki. Vísandi mælitæki (1) Vísandi mælitæki (3)

Vísandi mælitæki (2) Vísandi mælitæki. Vísandi mælitæki (1) Vísandi mælitæki (3) 1 2 Vísandi mælitæki (2) Vísandi mælitæki Fjöldi hliðrænna tækja byggir á því að rafsegulsvið myndast umhverfis leiðara með rafstraumi. Við það færist vísir: Með víxlverkun síseguls og segulsviðs umhverfis

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του όγδοου φυλλαδίου ασκήσεων.

Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του όγδοου φυλλαδίου ασκήσεων. Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 2017-. Λύσεις του όγδοου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Έστω F X, F Y οι συναρτήσεις κατανομής των τ.μ. X, Y και F X,Y η από κοινού συνάρτηση κατανομής τους. Αποδείξτε ότι (i)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Δ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Δ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Δ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (5) ΑΘΗΝΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 2013 1 ΕΠΕΞΗΓΗΣΗ ΤΥΠΩΝ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Τυχαία μεταβλητή είναι μία συνάρτηση η οποία να αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Τµ. Επιστήµης των Υλικών Συνάρτηση Κατανοµής Ορισµός F(x) = P(X x) = f(t) x t x f(t)dt, X διακριτή τ.µ., X συνεχής τ.µ. Ιδιότητες 0 F(x). 2 F είναι αύξουσα συνάρτηση. 3 F είναι συνεχής εκ δεξιών. 4 lim

Διαβάστε περισσότερα

Viðskipta- og Hagfræðideild Tölfræði II, fyrirlestur 6

Viðskipta- og Hagfræðideild Tölfræði II, fyrirlestur 6 Viðskipta- og Hagfræðideild Tölfræði II, fyrirlestur 6 Háskóli Íslands Helgi Tómasson Líkindafræði kafli 2-9 Berið saman við líkindafræðina í Newbold. Tilgangur líkindafræði í tölfræðinámsskeiði er að

Διαβάστε περισσότερα

H2S loftgæðamælingar í Norðlingaholti og í Hveragerði

H2S loftgæðamælingar í Norðlingaholti og í Hveragerði H2S loftgæðamælingar, Norðlingaholt, Hveragerði, 1. og 2. ársfjórðungur 2015 Bls. 1 Skýrsla nr. 14 16. júlí 2015 H2S loftgæðamælingar í Norðlingaholti og í Hveragerði Skýrsla um mælingar fyrir janúar til

Διαβάστε περισσότερα

P(Ο Χρήστος κερδίζει) = 1 P(Ο Χρήστος χάνει) = 1 P(X > Y ) = 1 2. P(Ο Χρήστος νικά σε 7 από τους 10 αγώνες) = 7

P(Ο Χρήστος κερδίζει) = 1 P(Ο Χρήστος χάνει) = 1 P(X > Y ) = 1 2. P(Ο Χρήστος νικά σε 7 από τους 10 αγώνες) = 7 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 28 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις Εβδοµης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης: 3/2/28 Ηµεροµηνία Παράδοσης: 7/2/28

Διαβάστε περισσότερα

Iðjuþjálfun LIE0103 Hrefna Óskarsd.

Iðjuþjálfun LIE0103 Hrefna Óskarsd. Intraplural fluid alveoli P atm = O mmhg P alv P ip = P alv = O mmhg Lung elastic recoil 4 mmhg Chest wall P ip = -4 mmhg að anda inn og út. útöndun án mikils krafts, þ.e. af ákveðnu hlutleysi, og getum

Διαβάστε περισσότερα

Forritunarkeppni Framhaldsskólanna 2014

Forritunarkeppni Framhaldsskólanna 2014 2014 Morpheus deild - eftir hádegi Háskólinn í Reykjavík 20. mars 2014 Verkefni 1 Á Milli Skrifið forrit sem les inn þrjár heiltölur a, b og c. Skrifið út Milli ef talan b er á milli a og c á talnalínunni.

Διαβάστε περισσότερα

6. júní 2016 kl. 08:30-11:00

6. júní 2016 kl. 08:30-11:00 Sveinsprófsnefnd sterkstraums Rafmagnsfræði, stýrikerfi og búnaður 6. júní 2016 kl. 08:30-11:00 Nafn: Kennitala: Heimilisfang:_ Hjálpargögn: Skriffæri, reglustika, og reiknivél. Nota má bókina Formúlur

Διαβάστε περισσότερα

Eðlisfræði 1. Dæmi 5.2 (frh.) Dæmi Dæmi (frh.) d) P = W tog. = 0, 47kW. = 9, 4kJ

Eðlisfræði 1. Dæmi 5.2 (frh.) Dæmi Dæmi (frh.) d) P = W tog. = 0, 47kW. = 9, 4kJ S I S Menntakólinn Dæi 5. frh. - 5.3 R E Y K SIGILLUM J A V SCHOLÆ I C E N í Reykjavík 5. frh. d P W tog t 9,4kJ 0 0, 47kW Eðlifræði Kafli 5 - Vinna og orkuvarðveila Óleyt dæi 5. nóveber 006 Kritján Þór

Διαβάστε περισσότερα

Hagrannsóknir II fyrirlestraglósur

Hagrannsóknir II fyrirlestraglósur Hagrannsóknir II fyrirlestraglósur hluti I Björn Arnar Hauksson bah@hi.is Vor 2003 Útdráttur Efni þessa glósurits er ritað í fyrirlestrum í Hagrannsóknum II, vorið 2003. Kennt af Helga Tómassyni. Engin

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία

Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Θα γενικεύσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής από συνάρτηση στο R σε συνάρτηση στο R n. Ακολούθως, θα επεκτείνουμε τις έννοιες με τις οποίες ασχοληθήκαμε μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Στοιχεία Θεωρίας Συνόλων Θεωρούµε Ω το σύνολο αναφοράς. σ-άλγεβρα Εστω A είναι µια κλάση υποσυνόλων του Ω. τ.ω. A είναι µη κενή. 2 A A A c A. 3 A, A 2,... A A A 2...

Διαβάστε περισσότερα

Verkefni 1: Splæsibrúun og jafnhæðarferlar

Verkefni 1: Splæsibrúun og jafnhæðarferlar Verkefni 1: Splæsibrúun og jafnhæðarferlar Friðrik Freyr Gautason og Guðbjörn Einarsson I. SPLÆSIBRÚUN FORRITUÐ Hérna er markmiðið að útfæra forrit sem leyfir notanda að smella á teikniglugga eins oft

Διαβάστε περισσότερα

Gagnasafnsfræði Venslaalgebra og bestun fyrirspurna. Hallgrímur H. Gunnarsson

Gagnasafnsfræði Venslaalgebra og bestun fyrirspurna. Hallgrímur H. Gunnarsson Gagnasafnsfræði Venslaalgebra og bestun fyrirspurna Hallgrímur H. Gunnarsson Inngangur SQL: SQL er declarative mál, segir bara hvað á að reikna, en ekki hvernig. Það er undir gagnasafnskerfinu komið að

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Στατιστική & Πιθανότητες

Σημειώσεις Στατιστική & Πιθανότητες Σημειώσεις Στατιστική & Πιθανότητες https://github.com/kongr45gpen/ece-notes 26, Εαρινό εξάμηνο Περιεχόμενα I Πιθανότητες 2 2. Πείραμα τύχης.......................................... 2.. Πράξεις..........................................

Διαβάστε περισσότερα

H2S loftgæðamælingar í Norðlingaholti og í Hveragerði

H2S loftgæðamælingar í Norðlingaholti og í Hveragerði H2S loftgæðamælingar, Norðlingaholti og Hveragerði, fyrir árið 2015 Bls. 1 Skýrsla nr. 18 18. janúar 2016 H2S loftgæðamælingar í Norðlingaholti og í Hveragerði Skýrsla um mælingar fyrir árið 2015 Unnið

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Ιδιότητες του cov(x, Y) Ιδιότητες των εκτιμητών Παράδειγμα. 1 Συσχέτιση Μεταβλητών. 2 Εκτιμητές και κατάλοιπα

Περιεχόμενα. Ιδιότητες του cov(x, Y) Ιδιότητες των εκτιμητών Παράδειγμα. 1 Συσχέτιση Μεταβλητών. 2 Εκτιμητές και κατάλοιπα Περιεχόμενα 1 Συσχέτιση Μεταβλητών Ιδιότητες του cov(x, Y 2 Ιδιότητες των εκτιμητών BEΠ (UPatras Γραμμικά Μοντέλα 4η, 5η Διάλεξη, 2018-19 1 / 12 Συσχέτιση Μεταβλητών Ιδιότητες του cov(x, Y Ένα μέτρο της

Διαβάστε περισσότερα

H2S mælingar í Norðlingaholti og Hveragerði Skýrsla um mælingar árið 2013 Unnið fyrir Orkuveitu Reykjavíkur

H2S mælingar í Norðlingaholti og Hveragerði Skýrsla um mælingar árið 2013 Unnið fyrir Orkuveitu Reykjavíkur Bls. 1 Skýrsla nr. 2 (útgáfa 2) 12. janúar 2014 H2S mælingar í Norðlingaholti og Hveragerði Skýrsla um mælingar árið 2013 Unnið fyrir Orkuveitu Reykjavíkur Höfundur: Andrés Þórarinsson Verkfræðistofan

Διαβάστε περισσότερα

c(x 1)dx = 1 xf X (x)dx = (x 2 x)dx = 2 3 x3 x 2 x 2 2 (x 1)dx x 2 f X (x)dx = (x 3 x 2 )dx = 2 4 x4 2 3 x3

c(x 1)dx = 1 xf X (x)dx = (x 2 x)dx = 2 3 x3 x 2 x 2 2 (x 1)dx x 2 f X (x)dx = (x 3 x 2 )dx = 2 4 x4 2 3 x3 Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Θεωρία Πιθανοτήτων ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τελικής Εξέτασης - 9 Ιανουαρίου 05 Θέµα. α Η γραφική παράσταση της σ.π.π. f X x ϕαίνεται στο σχήµα :

Διαβάστε περισσότερα

1 Aðdragandi skammtafræðinnar

1 Aðdragandi skammtafræðinnar 1 Aðdragandi skammtafræðinnar 1.1 Inngangur Fram yfir aldamótin 1900 töldu flestir eðlisfræðingar að aflfræði Newtons og rafsegulfræði Maxwells dygðu til að gera grein fyrir gangi náttúrunnar. Á síðustu

Διαβάστε περισσότερα

H 2 S loftgæðamælingar í Norðlingaholti og í Hveragerði

H 2 S loftgæðamælingar í Norðlingaholti og í Hveragerði H 2 S loftgæðamælingar, Norðlingaholti og Hveragerði, 1. - 3. ársfjórðungur 2016 Bls. 1 Skýrsla nr. 24 19. október 2016 H 2 S loftgæðamælingar í Norðlingaholti og í Hveragerði Skýrsla um mælingar fyrir

Διαβάστε περισσότερα

CHEMISTRY. Bylgjueðli ljóss. Bylgjueðli ljóss. Rafeindabygging atóma. Bylgjueðli ljóss. Bylgjueðli ljóss. Bylgjueðli ljóss

CHEMISTRY. Bylgjueðli ljóss. Bylgjueðli ljóss. Rafeindabygging atóma. Bylgjueðli ljóss. Bylgjueðli ljóss. Bylgjueðli ljóss CHEMISTRY The Central Science 9th Edition Rafeindabygging atóma David P. White Allar bylgjur hafa einkennandi bylgjulengd, λ, og útslag, A. Tíðni bylgju, ν, er fjöldi heilla bylgna sem fara yfir línu á

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ Περιεχόμενα Προειδοποίηση 2 2 Συνδυαστική 3 3 Αξιωματική Πιθανότητα 5 4 Δεσμευμένη Πιθανότητα 7 5 Τυχαίες

Διαβάστε περισσότερα

H 2 S loftgæðamælingar við Hellisheiðarvirkjun og við Nesjavallavirkjun

H 2 S loftgæðamælingar við Hellisheiðarvirkjun og við Nesjavallavirkjun H2S loftgæðamælingar, Hellisheiði og Nesjavöllum, 1. og 2. ársfjórðungur 2015 Bls. 1 Skýrsla nr. 15 16. júlí 2015 H 2 S loftgæðamælingar við Hellisheiðarvirkjun og við Nesjavallavirkjun Skýrsla um mælingar

Διαβάστε περισσότερα

Nokkur valin atriði úr aflfræði

Nokkur valin atriði úr aflfræði Einföld sveifluhreyfin Nour valin atriði úr aflfræði Soðum raftajöfnuna fyrir orm með ormstuðul sem má rita á eftirfarandi formi: mẍ = x sem er óhliðruð. stis diffurjafna. Umritum hana yfir á eftirfarandi

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαίες Μεταβλητές Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

Τυχαίες Μεταβλητές Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Τυχαίες Μεταβλητές Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Τυχαίες Μεταβλητές Συνάρτηση Κατανοµής ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Παράµετροι τ.µ. Συνεχείς Τυχαίες

Διαβάστε περισσότερα

Tölfræði II Samantekt vor 2010

Tölfræði II Samantekt vor 2010 Tölfræði II Samatekt vor 00 Ályktuartölfræði Hvað er ályktuartölfræði (iferetial statistics)? Öryggisbil (cofidece iterval) Marktektarpróf Ályktuartölfræði: Hverig er öryggisbil reikað? Gerum ráð áðfyrir

Διαβάστε περισσότερα

Um tölvur stýrikerfi og forritun

Um tölvur stýrikerfi og forritun Um tölvur stýrikerfi og forritun Tölvur Fyrstu tölvurnar voru smíðaðar um miðja síðustu öld. Þær voru gríðarstórar á okkar tíma mælikvarða og fylltu stóra sali. Grunnhlutar tölva hafa frá þessum fyrstu

Διαβάστε περισσότερα

Orkuumbreyting milli raforku og hreyfiorku

Orkuumbreyting milli raforku og hreyfiorku 1 Orkuumbreyting milli raforku og hreyfiorku Electromechanical energy conversion principles Umbreyting milli raforku og hreyfiorku Umbreytingin getur almennt gengið í hvora áttina sem er: Umbreyting úr

Διαβάστε περισσότερα

H 2 S loftgæðamælingar við Hellisheiðarvirkjun og Nesjavallavirkjun

H 2 S loftgæðamælingar við Hellisheiðarvirkjun og Nesjavallavirkjun H 2 S loftgæðamælingar á Hellisheiði og Nesjavöllum, 1. ársfjórðungur 2018 Bls. 1 Skýrsla nr. 42 3. maí 2018 H 2 S loftgæðamælingar við Hellisheiðarvirkjun og Nesjavallavirkjun Skýrsla um mælingar fyrir

Διαβάστε περισσότερα

Meistararitgerð. Verðlagning langlífisáhættu

Meistararitgerð. Verðlagning langlífisáhættu Meistararitgerð í hagfræði Verðlagning langlífisáhættu Rafn Sigurðsson Hagfræðideild Háskóla Íslands Leiðbeinendur: Helgi Tómasson, Birgir Hrafnkelsson Júní 2010 Útdráttur Í fyrri hluta verkefnisins er

Διαβάστε περισσότερα

Rafbók. Riðstraumsmótorar. Kennslubók

Rafbók. Riðstraumsmótorar. Kennslubók Kennslubók Þetta hefti er þýtt úr dönsku með góðfúslegu leyfi EVU í Danmörku. Íslensk þýðing: Sigurður H. Pétursson Mynd á kápu er fengin frá Guðna Þór í Rönning Umbrot: Ísleifur Árni Jakobsson Faglegur

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 2010-2011 ιδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ ιδάσκων ε ί Συµβάσει Π. 407/80 v.koutras@fme.aegean.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών ειγµατοληψία Με ιάταξη ειγµατοληψία Χωρίς ιάταξη Χωρίς Επανατοποθέτηση (n)k Με Επανατοποθέτηση n k Χωρίς Επανατοποθέτηση ( n k) Με Επανατοποθέτηση ( n+k 1 ) k ειγµατοληψία Με ιάταξη

Διαβάστε περισσότερα

Hugtakalisti fyrir 10. bekk. Listinn er ekki tæmandi!!!

Hugtakalisti fyrir 10. bekk. Listinn er ekki tæmandi!!! Hugtakalisti fyrir 10. bekk. Listinn er ekki tæmandi!!! Tölur o Talnamengin eru fjögur: N, Z, Q og R. o Náttúrulegar tölur (N) Allar jákvæðar heilar tölur. ATH. ekki 0. o Heilar tölur (Z) Allar heilar

Διαβάστε περισσότερα

Kafli 1: Tímastuðull RC liður. Dæmi 1.1 A: 3,3ms B: 7,56V Dæmi 1.2 A: 425µF B: 1s Dæmi 1.3 A: 34,38V B: 48,1V Dæmi 1.4 A: 59,38s

Kafli 1: Tímastuðull RC liður. Dæmi 1.1 A: 3,3ms B: 7,56V Dæmi 1.2 A: 425µF B: 1s Dæmi 1.3 A: 34,38V B: 48,1V Dæmi 1.4 A: 59,38s Kafli 1: Tímastuðull RC liður Dæmi 1.1 A: 3,3ms B: 7,56V Dæmi 1.2 A: 425µF B: 1s Dæmi 1.3 A: 34,38V B: 48,1V Dæmi 1.4 A: 59,38s Kafli 2: NTC, PTC, LDR, VDR viðnám Dæmi 2.1 A: Frá vinstri: NTC viðnám, VDR

Διαβάστε περισσότερα

Skilaverkefni 1. Skil á þriðjudaginn

Skilaverkefni 1. Skil á þriðjudaginn Nafn: Skilaverkefni 1 Skil á þriðjudaginn 1. Bíll ekur frá Reykjavík á Selfoss. Ferðin tekur 45 mínútur og vegalendin sem bíllinn fer er 50 Km. Hver er meðalhraði bílsins á leiðinni í m/s og Km/klst? 2.

Διαβάστε περισσότερα

X i = Y = X 1 + X X N.

X i = Y = X 1 + X X N. Κεφάλαιο 6 Διακριτές τυχαίες μεταβλητές Σε σύνθετα προβλήματα των πιθανοτήτων, όπως π.χ. σε προβλήματα ανάλυσης πολύπλοκων δικτύων ή στη στατιστική ανάλυση μεγάλων δεδομένων, η λεπτομερής, στοιχείο-προς-στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Η «ύλη» του προπτυχιακού µαθήµατος

Η «ύλη» του προπτυχιακού µαθήµατος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι Η «ύλη» του προπτυχιακού µαθήµατος Βασικές έννοιες Πείραµα τύχης ειγµατοχώρος Ενδεχόµενα Πιθανότητα εσµευµένη πιθανότητα Ανεξαρτησία Βασικά ϑεωρήµατα Θεώρηµα ολικής πιθανότητας Θεώρηµα Bayes

Διαβάστε περισσότερα

Veghönnunarreglur 03 Vegferill

Veghönnunarreglur 03 Vegferill 3 Veghönnunarreglur 03 01.08.2010 Flokkun gagna innan Vegagerðarinnar Flokkur Efnissvið Einkenni (litur) 1 Lög, reglugerðir, og önnur Svartur fyrirmæli stjórnvalda 2 Stjórnunarleg fyrirmæli, Gulur skipurit,

Διαβάστε περισσότερα

FOUCAULT þrír textar 2014

FOUCAULT þrír textar  2014 FOUCAULT þrír textar www.starafugl.is 2014 Inngangur: Listaverk er ekki hlutur, það er lífið Nanna Hlín Halldórsdóttir Núna þegar niðurnjörvaður prófessjónalismi er búinn að gelda svo margt fallegt er

Διαβάστε περισσότερα

FYLGISEÐILL FYRIR. PHENOLEPTIL 100 mg töflur fyrir hunda

FYLGISEÐILL FYRIR. PHENOLEPTIL 100 mg töflur fyrir hunda FYLGISEÐILL FYRIR PHENOLEPTIL 100 mg töflur fyrir hunda 1. HEITI OG HEIMILISFANG MARKAÐSLEYFISHAFA OG ÞESS FRAMLEIÐANDA SEM BER ÁBYRGÐ Á LOKASAMÞYKKT, EF ANNAR Markaðsleyfishafi: Nafn: Le Vet B.V. Heimilisfang:

Διαβάστε περισσότερα

Sæmundur E. Þorsteinsson, TF3UA

Sæmundur E. Þorsteinsson, TF3UA Sæmundur E. Þorsteinsson, TF3UA Flutningslínur Á formlegri ensku heita þær Transmission Lines Líka oft kallaðar Feeder lines Fæðilínur Flutningslínur, merkjaflutningslínur Flutningslína flytur afl (merki)

Διαβάστε περισσότερα

Rit LbhÍ nr Áhrif aldurs áa, þunga, holda og framleiðsluára. á gagnasafni Hestbúsins

Rit LbhÍ nr Áhrif aldurs áa, þunga, holda og framleiðsluára. á gagnasafni Hestbúsins Rit LbhÍ nr. 110 Áhrif aldurs áa, þunga, holda og framleiðsluára á frjósemi áagreining á gagnasafni Hestbúsins 2002-2013 Jóhannes Sveinbjörnsson Emma Eyþórsdóttir Eyjólfur K. Örnólfsson 2018 Rit LbhÍ nr.

Διαβάστε περισσότερα

(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X

(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X X, Y f X,Y x, y X x, Y y f X Y x y X x Y y X x, Y y Y y f X,Y x, y f Y y f X Y x y x y X Y f X,Y x, y f X Y x y f X,Y x, y f Y y x y X : Ω R Y : Ω E X < y Y Y y 0 X Y y x R x f X Y x y gy X Y gy gy : Ω

Διαβάστε περισσότερα

BLDC mótorstýring. Lokaverkefni í rafmagnstæknifræði BSc. Halldór Guðni Sigvaldason

BLDC mótorstýring. Lokaverkefni í rafmagnstæknifræði BSc. Halldór Guðni Sigvaldason BLDC mótorstýring Halldór Guðni Sigvaldason Lokaverkefni í rafmagnstæknifræði BSc 2014 Höfundur: Halldór Guðni Sigvaldason Kennitala: 201266-2979 Leiðbeinandi: Baldur Þorgilsson Tækni- og verkfræðideild

Διαβάστε περισσότερα

H 2 S loftgæðamælingar við Hellisheiðarvirkjun og við Nesjavallavirkjun

H 2 S loftgæðamælingar við Hellisheiðarvirkjun og við Nesjavallavirkjun H 2 S loftgæðamælingar, Hellisheiði og Nesjavöllum, 1. ársfjórðungur 2016 Bls. 1 Skýrsla nr. 21 26. apríl 2016 H 2 S loftgæðamælingar við Hellisheiðarvirkjun og við Nesjavallavirkjun Skýrsla um mælingar

Διαβάστε περισσότερα

Vinkill. Lausnir. Ítarefni í stærðfræði fyrir 10. bekk

Vinkill. Lausnir. Ítarefni í stærðfræði fyrir 10. bekk Vinkill 7. ágúst 008 Ítarefni í stærðfræði frir 0. bekk Um efnið Efnisfirlit Þetta efni er ætlað sem ítarefni í stærðfræði frir unglingastig. Efnið getur hentað til einstaklings- eða paravinnu í skólanum

Διαβάστε περισσότερα

Stærðfræði. Lausnir. Lausnir. 8tíu. NÁMSGAGNASTOFNUN 20. apríl 2009

Stærðfræði. Lausnir. Lausnir. 8tíu. NÁMSGAGNASTOFNUN 20. apríl 2009 4 1 2 3 5 6 Lausnir Lausnir 8tíu NÁMSGAGNASTOFNUN 20. apríl 2009 Átta Lausnir 2007 Björgvin Sigurðsson, Guðbjörg Pálsdóttir og Guðný Helga Gunnarsdóttir Ritstjóri: Hafdís Finnbogadóttir Öll réttindi áskilin

Διαβάστε περισσότερα

9 x 2 x 2 x 3 = 19 (9 + 2) 2 3 = 19

9 x 2 x 2 x 3 = 19 (9 + 2) 2 3 = 19 Verkefnablað 7.35 Horfin aðgerðartákn Settu aðgerðartákn (+,, :, ) og sviga á rétta staði þannig að svörin verði rétt. Dæmi: 9 x 2 x 2 x 3 = 19 (9 + 2) 2 3 = 19 a 9 x 8 x 3 x 2 = 7 b 16 x 9 x 5 x 5 = 10

Διαβάστε περισσότερα

Kafli 4 Línulegur kraftur og hreyfing

Kafli 4 Línulegur kraftur og hreyfing Kafli 4 Línulegur kraftur og hreyfing Kraftur (force) Ytri og innri kraftar. Við þurfum að beita miklum innri kröftum til mótvægis við ytri krafta og mikið álag á þessa innri krafta getur valdið vefjaskemmdum.

Διαβάστε περισσότερα

Vinkill 3. Ítarefni í stærðfræði fyrir 10. bekk

Vinkill 3. Ítarefni í stærðfræði fyrir 10. bekk Vinkill 3 Ítarefni í stærðfræði frir 0. bekk Um efnið Efnisfirlit Þetta efni er ætlað sem ítarefni í stærðfræði frir unglingastig. Efnið getur hentað til einstaklings- eða paravinnu í skólanum en einnig

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι (ΝΠΣ) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι (ΠΠΣ) Φεβρουάριος 2010

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι (ΝΠΣ) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι (ΠΠΣ) Φεβρουάριος 2010 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι (ΝΠΣ) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι (ΠΠΣ) Φεβρουάριος 1 Επώνυμο... Όνομα... A.E.M.... Εξάμηνο... Θέμα 1 Θέμα Θέμα 3 Θέμα 4 Θέμα 5 Θέμα 5* Βαθμός ΝΠΣ ΠΠΣ / / / / / /1 / / / / / / /1 ΘΕΜΑ 1: Στο ράφι

Διαβάστε περισσότερα

fyrirlestrapunktar vor 2009 Háskóli Íslands Mælingar tengdar í tíma. Kafli 7 (muna 5.5. og k. 1-4)

fyrirlestrapunktar vor 2009 Háskóli Íslands Mælingar tengdar í tíma. Kafli 7 (muna 5.5. og k. 1-4) Viðskipta- og Hagfræðideild fyrirlestrapunktar vor 2009 Háskóli Íslands Hagrannsóknir II, Helgi Tómasson Mælingar tengdar í tíma. Kafli 7 (muna 5.5. og k. 1-4) Nokkur hugtök Stationarity: Weak/Strong.

Διαβάστε περισσότερα

16 kafli stjórn efnaskipta

16 kafli stjórn efnaskipta 16 kafli stjórn efnaskipta Stjórnun efnaskipta kodhydrata, próteina og fitu Þegar við erum búin að koma næringu úr meltingarveginum og út í blóðið, þarf að koma næringunni áfram yfir í þær frumur sem eiga

Διαβάστε περισσότερα

P(200 X 232) = =

P(200 X 232) = = ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Το μέγεθος ενός αναλογικού σήματος, που λαμβάνεται από έναν ανιχνευτή και μετράται σε microvolts, είναι τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την Κανονική κατανομή Ν(00, 6) σε συγκεκριμένη

Διαβάστε περισσότερα

Stillingar loftræsikerfa

Stillingar loftræsikerfa Stillingar loftræsikerfa Apríl 009 Stillingar loftræsikerfa Höfundar: og Útgefandi: IÐAN fræðslusetur ehf IÐAN fræðslusetur Skúlatúni 105 Reykjavík Fyrsta útgáfa 004 Önnur útgáfa 008 Þriðja útgáfa 009

Διαβάστε περισσότερα

Annar kafli Hraði, hröðun, kraftur og massi

Annar kafli Hraði, hröðun, kraftur og massi Annar kafli Hraði, hröðun, kraftur og massi Markmið kaflans eru að kunna: Hraða, hröðun Stigstærð, vektorstærð Reikna krafta sem verka á hluti með hliðsjón af massa og hröðun hans Geta reiknað lokahraða

Διαβάστε περισσότερα

Lauf_P :26 Page 1 Laufblaðið Gefið út af Landssamtökum áhugafólks um flogaveiki 2. tölublað 9. árg. 2001

Lauf_P :26 Page 1 Laufblaðið Gefið út af Landssamtökum áhugafólks um flogaveiki 2. tölublað 9. árg. 2001 Laufblaðið Gefið út af Landssamtökum áhugafólks um flogaveiki 2. tölublað 9. árg. 2001 Laufblaðið Gefið út af: Landssamtökum áhugafólks um flogaveiki LAUF Hátúni 10b 105 Reykjavík Sími: 551-4570 Bréfsími:

Διαβάστε περισσότερα

SAMANTEKT Á EIGINLEIKUM LYFS

SAMANTEKT Á EIGINLEIKUM LYFS SAMANTEKT Á EIGINLEIKUM LYFS 1. HEITI DÝRALYFS PHENOLEPTIL 25 mg töflur handa hundum 2. INNIHALDSLÝSING Hver tafla inniheldur Virk innihaldsefni mg Fenóbarbital 25 Hjálparefni: Sjá lista yfir öll hjálparefni

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ..Π.Μ.Σ. Μαθηµατικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων. Πάτρα, 27 Ιανουαρίου 2011

ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ..Π.Μ.Σ. Μαθηµατικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων. Πάτρα, 27 Ιανουαρίου 2011 Πάτρα, 7 Ιανουαρίου 011 Γενικά Πολλές ϕορές µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε τις σχέσεις που υπάρχουν ανάµεσα στις µεταβλητές. Παράδειγµα 1 OZON 300 80 60 40 0 00 180 150 00 50 300 350 400 450 CFC 1 Από το

Διαβάστε περισσότερα

Var(X 1 + X 2 ) = σ 2 X 1. E(Y ) = np (3) xf X (x) xp(x = x) (x 1 + x 2 )f X1 X 2. x 1 f X1 X 2. (x 1, x 2 ) + x 2 f X1 X 2. (x 1, x 2 ) + x 1,x 2

Var(X 1 + X 2 ) = σ 2 X 1. E(Y ) = np (3) xf X (x) xp(x = x) (x 1 + x 2 )f X1 X 2. x 1 f X1 X 2. (x 1, x 2 ) + x 2 f X1 X 2. (x 1, x 2 ) + x 1,x 2 Ροπές πίνακας περιεχομένων Πότε χρειάζεται η ανεξαρτησία;....................... 3 Ιδιότητες κλιμάκωσης.............................. 8 Μέση τιμή και ccdf.............................. 1 Ο νόμος των μεγάλων

Διαβάστε περισσότερα

Greinargerð Trausti Jónsson. Sveiflur IV. Árstíðasveiflur í háloftunum yfir Keflavík

Greinargerð Trausti Jónsson. Sveiflur IV. Árstíðasveiflur í háloftunum yfir Keflavík Greinargerð 44 Trausti Jónsson Sveiflur IV Árstíðasveiflur í háloftunum yfir Keflavík VÍ-VS4 Reykjavík Mars 24 Árstíðasveifla ýmissa veðurþátta í háloftunum yfir Keflavík Inngangur Hér verður fjallað um

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,

Διαβάστε περισσότερα

Stær fræ i. Kennsluleiðbeiningar. Kennsluleiðbeiningar. 8tíu. NÁMSGAGNASTOFNUN 15. febrúar 2007

Stær fræ i. Kennsluleiðbeiningar. Kennsluleiðbeiningar. 8tíu. NÁMSGAGNASTOFNUN 15. febrúar 2007 4 1 2 3 5 6 Kennsluleiðbeiningar Kennsluleiðbeiningar 8tíu NÁMSGAGNASTOFNUN 15. febrúar 2007 Átta tíu Stærðfræði 4 Kennsluleiðbeiningar 2007 Guðbjörg Pálsdóttir og Guðný Helga Gunnarsdóttir 2007 teikningar

Διαβάστε περισσότερα

H 2 S loftgæðamælingar við Hellisheiðarvirkjun og við Nesjavallavirkjun

H 2 S loftgæðamælingar við Hellisheiðarvirkjun og við Nesjavallavirkjun H2S loftgæðamælingar, Hellisheiði og Nesjavöllum, fyrir árið 2015 Bls. 1 Skýrsla nr. 19 18. janúar 2016 H 2 S loftgæðamælingar við Hellisheiðarvirkjun og við Nesjavallavirkjun Skýrsla um mælingar fyrir

Διαβάστε περισσότερα

SAMANTEKT Á EIGINLEIKUM LYFS

SAMANTEKT Á EIGINLEIKUM LYFS SAMANTEKT Á EIGINLEIKUM LYFS 1. HEITI DÝRALYFS PRID alpha 1,55 g skeiðarinnlegg fyrir nautgripi 2. VIRK INNIHALDSEFNI OG STYRKLEIKAR Virkt innihaldsefni: Prógesterón... 1,55 g Hjálparefni: Hjálparefni

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Δ.Φουσκάκης- Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 1 ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Συνάρτηση Κατανομής: Έστω Χ=(Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Ορισμός (Συνάρτηση Κατανομής Πιθανότητας). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) της τ.μ. Χ την: F(x) = P(X x), x.

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Ορισμός (Συνάρτηση Κατανομής Πιθανότητας). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) της τ.μ. Χ την: F(x) = P(X x), x. ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Ορισός (Τυχαία Μεταβλητή). Οοάζουε τυχαία εταβλητή (τ..) κάθε απεικόιση Χ: Ω για τη οποία το σύολο { ω Ω : Χ(ω) x} έχει προσδιορίσιη πιθαότητα για κάθε x. Τούτο σηαίει ότι η ατίστροφη

Διαβάστε περισσότερα

Hæðarkerfi og hæðir Þórarinn Sigurðsson Landmælingar Íslands

Hæðarkerfi og hæðir Þórarinn Sigurðsson Landmælingar Íslands Hæðarkerfi og hæðirh Þórarinn Sigurðsson Landmælingar Íslands thorarinn@lmi.is Tilkoma hæðarkerfisinsh Nefnd til að fjalla um landmælingar lingar á Íslandi sett á fót t 1991 Sameiginlegt hæðarkerfi h fyrir

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 εκεµβρίου 29 5.1. Στο τυχαίο πείραµα της ϱίψης δύο διακεκριµένων κύβων έστω X η ένδειξη του πρώτου κύβου και Y η µεγαλύτερη από τις δύο ενδείξεις. Να προσδιορισθούν

Διαβάστε περισσότερα

Upprifjun á námsefni í rafvirkjun Kafli A -RAF Formúlur, töflur o.fl. A-1

Upprifjun á námsefni í rafvirkjun Kafli A -RAF Formúlur, töflur o.fl. A-1 pprifjun á námsefni í rafvirkjun Kafi -F Formúur, töfur o.f. - pprifjunarefni Tafa. okkur mikivæg formúutákn, stærðir og einingar, fest samkvæmt. Formúutákn: eiti: Eining: Eining (stytt, samsett) Fötur,

Διαβάστε περισσότερα