Stær fræ i. Kennsluleiðbeiningar. Kennsluleiðbeiningar. 8tíu. NÁMSGAGNASTOFNUN 15. febrúar 2007

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Stær fræ i. Kennsluleiðbeiningar. Kennsluleiðbeiningar. 8tíu. NÁMSGAGNASTOFNUN 15. febrúar 2007"

Transcript

1 Kennsluleiðbeiningar Kennsluleiðbeiningar 8tíu NÁMSGAGNASTOFNUN 15. febrúar 2007

2 Átta tíu Stærðfræði 4 Kennsluleiðbeiningar 2007 Guðbjörg Pálsdóttir og Guðný Helga Gunnarsdóttir 2007 teikningar Halldór Baldursson 2007 stærðfræðiteikningar Hlöðver Smári Haraldsson 2007 ljósmynd Hafdís Finnbogadóttir Ritstjóri: Hafdís Finnbogadóttir Öll réttindi áskilin 1. útgáfa 2007 Námsgagnastofnun NÁMSGAGNASTOFNUN 2007 Kennsluleiðbeiningar 09743

3 Efnisyfirlit Hlutföll Stæður Tölfræði og líkindi Jöfnur Fjármál Hyrningar og hringir Tími Stærðfræði í morgunsárið NÁMSGAGNASTOFNUN 2007 Kennsluleiðbeiningar 09743

4 Hlutföll Inntak Markmið að nemendur Öðlist færni í að fást við hlutföll í ýmsu samhengi og styrki hlutfallaskilning sinn. Geti notað hlutföll við samanburð á stærðum og í útreikningum. Styrki tök sín á prósentureikningi. Kynnist hugtakinu einslögun. Aðferðir Markmið að nemendur Skoði og kanni stærðfræðilega ýmis viðfangsefni. Þekki dæmi um notkun hlutfalla í daglegu lífi og geti beitt hlutfallareikningi við að leysa ýmis viðfangsefni. Geti rökstutt niðurstöður sínar og skýrt lausnaleiðir af nákvæmni, t.d. þar sem hlutföll koma fyrir. Umfjöllun um inntak og vinnubrögð Hugtakið hlutfall er eitt af meginhugtökum stærðfræðinnar og kemur víða fyrir í ýmsu samhengi. Almenn brot og prósentur eru hlutföll, mælikvarðar lýsa hlutfallasambandi, í tölfræði er talað um hlutfallstíðni og hlutfallslega skiptingu, π er hlutfallið milli ummáls og þvermáls hrings svo örfá dæmi séu nefnd. Hlutfallaskilningur nemenda byggist upp smátt og smátt og mikilvægt er að nemendur kynnist hlutföllum í ýmsu samhengi og frá ýmsum hliðum. Í 8-tíu 1 er kafli um hlutföll og í kennsluleiðbeiningum með þeirri bók er fjallað um hlutföll og hlutfallaskilning. Æskilegt að kennarar kynni sér það efni. Hlutföll byggjast á margföldunarsambandi bæði innan hlutfalls og milli hlutfalla. Í hlutfallinu 3:5 er margföldunarstuðullinn innan hlutfallsins 5 3 eða eða 1,4. Ef skoðað er sambandið á milli 3:5 og 9:15 má sjá að margföldunarsambandið á milli hlutfallanna er 3. Nemendur hafa mest fengist við viðfangsefni þar sem margföldunarsamband milli hlutfalla eða margföldunarsamband innan hlutfalls er heiltölusamband en einnig þarf að gefa því gaum að ekki er alltaf um heiltölusamband að ræða. Mikilvægt er að nemendur fáist bæði við verkefni þar sem skoðað er samband innan hlutfalls og samband milli hlutfalla. Í dæmum þar sem fengist er við að finna hlutfall milli lengdar og breiddar í rétthyrningum er verið að finna samband innan hlutfalls. NÁMSGAGNASTOFNUN 2007 Kennsluleiðbeiningar 09743

5 l,5 3 Í þessu dæmi er mun auðveldara að notfæra sér hlutfallið milli einslægra hliða (margföldunarsamband milli hlutfalla) en hlutfallið milli lengdar og breiddar (margföldunarsamband innan hlutfalls) vegna þess að fyrra sambandið er heiltölusamband en hið seinna brot. Í hlutfalladæmum er mikilvægt að nemendur geri sér grein fyrir hvaða stærðir eru þekktar og sambandinu á milli þeirra og átti sig jafnframt á sambandi milli óþekktrar stærðar og þekktra stærða. Ef hlutfallið milli breiddar og hæðar í sjónvarpsskjá er 1,33:1 og breiddin er þekkt (60 cm) en hæðin ekki, má skrá samband milli stærða á eftirfarandi hátt. 1,33 = 60 1 x Hægt er að finna x með því að finna fyrst margföldunarsambandið á milli 1,33 og 1 (þ.e. milli breiddar og hæðar) eða þá tölu sem þarf að margfalda 1,33 með til að fá einn. 1,33 x = 1 x 0,75 1,33 Sama samband er á milli 60 og x og er á milli 1,33 og 1. Það þarf því að margfalda 60 með 0,75 til að finna x. Einnig má finna x með því að byrja á að finna margföldunarsambandið milli 1,33 og 60 (þ.e. milli breiddanna) eða þá tölu sem þarf að margfalda 1,33 með til að fá 60. 1,33 x = 60 x = 60 0,45 1,33 Sjálfsagt finnst flestum seinni leiðin augljósari en miklu skiptir að nemendur átti sig á að það er sama hvor leiðin er farin og að hér er alltaf um margföldunarsamband að ræða. Í báðum tilvikunum hér á undan þurfti að margfalda með broti en viðfangsefnin verða auðveldari þegar um heiltölusamband er að ræða. Í hliðstæðu dæmi þar sem hlutfall milli breiddar og hæðar í sjónvarpsskjá er 1,33:1 og hæðin er þekkt en breiddin ekki má skrá sambandið á eftirfarandi hátt. 1,33 = x Hér er sambandið á milli hæðanna heiltölusamband og sambandið á milli breiddanna er þá sama heiltölusambandið. Til að finna x þarf því að margfalda 1,33 með 40. En það má líka sjá að hlutfallið á milli breiddarinnar og hæðarinnar er 1,33. Það þarf að margfalda hæðina 1 með 1,33 til að fá breiddina 1,33. Ef hæðin er 40 má finna breiddina með því að margfalda hæðina með 1,33. x NÁMSGAGNASTOFNUN 2007 Kennsluleiðbeiningar 09743

6 Mikilvægt er að beina sjónum nemenda að því að hlutföll eru margföldunarsamband. Ef dæmin eru leyst á hefðbundinn hátt sem jöfnur er hætta á að nemendur missi sjónar á því að um margföldunarsamband er að ræða og að þeir eru yfirleitt að leita að margföldunarstuðli. Einslögun er hugtak sem nemendur eru að kynnast hér í fyrsta sinn. Þeir hafa fengist við að skoða form sem eru sams konar eða eins, aljafna (congruent). Þá eru einslæg horn jafn stór og einslægar hliðar jafn langar og formin verða því jafn stór. Hlutfallið milli einslægra hliða er einn þannig að í raun eru tvær sams konar myndir einslaga. En myndir sem ekki eru jafn stórar geta líka verið einslaga. Einslæg horn eru áfram jafn stór en í stað þess að hliðar séu jafn langar þá er hlutfallið á milli einslægra hliða það sama. Í einslaga marghyrningum eru einslæg horn jafn stór og hlutfall milli einslægra hliða er jafnt. Mikilvægt er að taka til umræðu með nemendum hugtökin einslaga, einslæg horn og einslægar hliðar. Þau eru mjög lík og hjálpa þarf nemendum að átta sig á hvað býr að baki hugtökunum, þannig að þeir geti greint á milli þeirra. Myndir og teikningar eru mjög mikilsverðar í því sambandi. Hlutföll í kvikmyndum og ljósmyndum eru tekin til sérstakrar skoðunar í kaflanum. Flestir hafa örugglega veitt því athygli að þegar horft er á kvikmyndir á sjónvarpsskjá þá fylla þær misvel út í skjáinn. Margir vita sjálfsagt að það er vegna þess að kvikmyndir eru framleiddar í öðrum hlutföllum en sjónvarpsskjáir en fæstir vita hver þessi hlutföll eru nákvæmlega. Sjónvarpsskjáir voru yfirleitt framleiddir í hlutfallinu 1,33:1 (4:3) en nú til dags eru þeir yfirleitt í hlutfallinu 1,78:1 (16:9). Fyrstu kvikmyndirnar voru í hlutfallinu 1,33:1 en algeng hlutföll í kvikmyndum í dag eru 1,85:1 og 2,35: :1 1.85:1 1.33:1 NÁMSGAGNASTOFNUN 2007 Kennsluleiðbeiningar 09743

7 Hlutföll í kvikmyndum virðast yfirleitt vera skráð sem hlutfall milli breiddar og hæðar þar sem hæðin er einn og breiddin er skráð sem tugabrot með tveimur aukastöfum. Eins og sjá má á þessari mynd skiptir miklu máli hvert sambandið er milli skjáhlutfalls og þess hlutfalls sem myndin er gerð í. Upp í 45% af upphaflegu myndinni fara forgörðum ef mynd sem tekin er í hlutfallinu 2,35:1 er aðlöguð til sýninga í hlutfallinu 1,33:1 með því að skera hana til eins og stundum er gert. Algengara er þó að reynt sé að breyta hlutföllum sem minnst en það þýðir að yfirleitt er svört rönd efst og neðst á skjánum eða til hliðanna. Eitthvað er um að kvikmyndir séu framleiddar í hlutfallinu 1,55:1(14:9) til þess að auðveldara sé að aðlaga þær að sýningum í sjónvarpstækjum og kvikmyndahúsum. Í kvikmyndahúsum er kvikmyndum yfirleitt varpað á sýningartjaldið í þeim hlutföllum sem þær eru gerðar. Hægt er að fá ýmsar upplýsingar um hlutföll í sjónvarpstækjum og kvikmyndum á þessari slóð Hlutföll í ljósmyndum geta verið með ýmsu móti en algengt er að þau séu nálægt 1,5:1 (3:2). Þegar um ljósmyndir eða rétthyrninga er að ræða getur hærri talan allt eins verið hæðin og lægri talan breiddin. Þegar hlutföll eru borin saman skiptir miklu að skýrt sé hvort um er að ræða hlutfall milli hæðar og breiddar (lengdar og breiddar) eða öfugt. Myndvinnsluforrit bjóða upp á ýmsa möguleika við vinnslu stafrænna mynda. Mikilvægt er að átta sig á að punktafjöldi myndar hefur áhrif á hversu stóra mynd er hægt að prenta þannig að myndgæði verði viðunandi. Ef nemendur hafa aðgang 7 NÁMSGAGNASTOFNUN 2007 Kennsluleiðbeiningar 09743

8 að myndvinnsluforritum er hægt að beina þeim inn í að skoða og breyta upplausn mynda og að stækka og minnka myndir, bæði þannig að hlutföll haldist og með því að breyta hlutföllum. Þegar fengist er við rétthyrninga og talað um lengd og breidd þeirra er mikilvægt að átta sig á að lengdin vísar yfirleitt til lengri hliðarinnar og breiddin til þeirrar styttri. Ef hins vegar er rætt er um hæð og breidd þá er breiddin yfirleitt lárétta hliðin en hæðin lóðrétta hliðin. Í verkefni 32 er fengist við að stækka marghyrning út frá tilteknum punkti innan marghyrningsins og fá þannig fram annan marghyrning sem er einslaga en stærri. Nota má sömu aðferð til að minnka marghyrninga þannig að hlutföll haldist óbreytt. Einnig er hægt að stækka eða minnka marghyrninga út frá tilteknum punkti sem er utan marghyrningsins eins og sýnt er á þessari mynd. Stækkunina má ákveða með því að ákvarða lengd strikanna sem teiknuð eru út frá punktinum. Ef lengdin frá punktinum að hornpunkti er sú sama og lengdin frá hornpunkti að nýjum hornpunkti tvöfaldast hliðarlengdir og flatarmál fjórfaldast. Hægt er að notfæra sér það að hlutföll milli einslægra hliða í einslaga þríhyrningum eru þau sömu á ýmsan hátt. Þetta má t.d. nýta sér við að mæla hæðir bygginga og mannvirkja. Ef vitað er að manneskja sem er 1,6 m á hæð varpar frá sér skugga sem er 2,4 metrar á sama tíma og flaggstöng varpar frá sér 7,5 metra löngum skugga má nokkuð auðveldlega finna hæð flaggstangarinnar. Þar sem ekki er alltaf hægt að treysta á sólina hefur verið reynt að búa til einföld mælitæki sem byggja á sömu hugmynd. Myndin í kennslubókinni gefur ekki alveg rétta mynd af því hvernig nota má hæðarmælinn því hún miðast eiginlega við að sá sem notar tækið liggi á jörðinni. Yfirleitt stendur sá sem mælir og þá þarf að bæta við hæðina sem svarar hæðinni frá jörðu að augnhæð þess sem mælir. Myndin hér til hliðar sýnir mynd af hæðarmæli sem búa má til úr pappaspjaldi og 30 cm reglustiku. Mælitækið byggist á þeirri hugmynd að búa til tvo einslaga rétthyrnda þríhyrninga. Hæðarmælirinn myndar skammhliðar minni þríhyrningsins og er önnur hliðin (sú lárétta) föst lengd en lengd hinnar er lesin af reglustikunni. Lárétt hlið hins þríhyrningsins er vegalengdin frá mælingarmanni til þess sem mæla á en hæð þess sem mæla á er lóðrétta skammhliðin. Með því að mæla vegalengdina frá mælingarmanni að því sem á að mæla má finna hlutfallið á milli einslægra hliða í þríhyrningunum. Út frá því hlutfalli og aflestri af reglustikunni má finna hæðina (óþekktu stærðina). NÁMSGAGNASTOFNUN 2007 Kennsluleiðbeiningar 09743

9 Dæmi: Mælingarmaður stendur í 20 m fjarlægð frá turni. Mælitækið er 20 cm á lengd. Mælingarmaður stillir reglustikuna þannig að það myndist bein sjónlína við efstu brún turnsins. Hæð reglustikunnar er 12 cm. Hlutfall milli einslægra hliða í þríhyrningnum er 0,2:20 eða 1:100. Hæð turnsins er því 0,12m 100 eða 12 m. Kennsluhugmyndir Kaflinn skiptist í þrjá meginhluta. Á blaðsíðu 4 10 er fengist við hlutföll í sjónvarpskjám, kvikmyndum og ljósmyndum. Því næst er sjónum beint að einslögun og hvernig nýta má hlutföll í því samhengi. Í lok kaflans eru síðan nokkrar blaðsíður þar sem nemendur fá þjálfun í að beita hlutfallareikningi í ýmsu samhengi. Æskilegt er að byrja vinnuna með hlutföll með því að nemendur mæli hæð og breidd nokkurra skjáa í umhverfi sínu eins og lagt er upp með fyrst í dæminu. Í flestum skólum ættu nemendur að hafa aðgang að nokkrum ólíkum skjáum, svo sem tölvuskjáum og sjónvarpsskjáum. Einnig gætu þeir farið í tölvu- og/eða raftækjaverslanir og fengið að mæla skjái þar. Ræða þarf við nemendur hvernig hlutföll eru skráð og að skrá má sama hlutfallið á ýmsa vegu. Í því samhengi er gott að lesinn sé með þeim textinn á blaðsíðu 4 og hann ræddur. Ef nemendur mæla marga skjái í umhverfi sínu og finna hlutfallið á milli breiddar þeirra er hægt að sleppa því að vinna dæmi 2. Í verkefnum er verið að fást við hlutfallið 1,33:1 sem er líkast til enn sem komið er algengasta hlutfallið í skjáum í umhverfinu. Gott er að nemendur teikni skjá í því hlutfalli og hengi upp í stofunni ef þar er ekki að finna samsvarandi skjá. Tilvalið verkefni er að nemendur teikni líka upp skjái í hlutföllunum 1,85:1 og 2,35:1 svo þeir hafi öll þessi skjáform fyrir augunum. Gjarnan má miða við að skjáirnir séu allir með sömu hæð, t.d. 40 cm. Einnig gætu nemendur teiknað alla skjáina inn á eina og sömu myndina eins og gert er á þessari mynd. Slíkt verkefni væri mjög góður undanfari að hópverkefninu á blaðsíðu 6 og ætti að auðvelda þeim vinnuna. 2.35:1 1.85:1 1.33:1 Í dæmum 9 10 er sjónum síðan beint að hlutfallinu 1,77:1 (16:9), þ.e.a.s. skjáhlutfalli sem er í nýjum sjónvarpstækjum eða flatskjám, og ættu þau verkefni að vera nemendum auðveld ef þeir hafa leyst verkefnin á undan. Hópverkefnið á blaðsíðu 7 varpar ljósi á hvaða áhrif það hefur að klippa af myndum sem eru gerðar í hlutfallinu 1,85:1 þannig að þær falli inn í ramma sem NÁMSGAGNASTOFNUN 2007 Kennsluleiðbeiningar 09743

10 er í hlutföllunum 1,33:1. Sjá myndina í miðjunni á blaðsíðu 7 hér að framan. Nemendur þurfa að hafa aðgang að góðum myndum til að skoða. Á Netinu má einnig finna heimasíður þar sem sýnd eru nokkur dæmi um hvaða áhrif þetta hefur úr vel þekktum kvikmyndum, t.d. ( anamorphic/aspectratios/widescreenorama2.html) Á blaðsíðu 8 eru verkefni þar sem nemendum er ætlað að uppgötva hvað átt er við þegar talað er um stærðir sjónvarpsskjáa í tommum. Væntanlega vita einhverjir nemendur að stærðin vísar til lengdar hornalínu í tommum og því er rétt að nemendur vinni dæmi 12 og 13 hver fyrir sig eða tveir og tveir saman. Í framhaldi af þeirri vinnu þurfa þeir síðan að ræða niðurstöður sínar og komast að niðurstöðu um hvað stærðin stendur fyrir. Dæmi 14 er mikilvægt að nemendur vinni verklega þannig að þeir átti sig á að hliðar geta verið mislangar þó hornalínan sé 15 tommur. Best er að halda sig við mælingar í tommum og heilar tölur í mælingunum. Með því að prófa sig áfram ættu nemendur að geta komist að því að sjónvarpsskjár í hlutföllunum 4:3 sem er 15 tommur á stærð er 12 tommur á breidd og 9 tommur á hæð. Með því að stytta hornalínuna og leggja hana samsíða 15 tommu línunni má auðveldlega sjá hverjar hliðarlengdirnar verða ef hornalínan er 5 eða 10 tommur Forvitnilegt er að sjá að ef hornalínan er 5 tommur verða hliðarnar 4 og 3 tommur en ef hornalínan er 10 tommur þá verða hliðarnar 8 og 6 tommur og 12 og 9 tommur ef hún er 15 tommur eins og fram hefur komið. Dæmi 15 ætti að vera nemendum auðvelt ef þeir uppgötva þetta samhengi. 10 NÁMSGAGNASTOFNUN 2007 Kennsluleiðbeiningar 09743

11 Verkefnin á blaðsíðum 9 10 fjalla um hlutföll í ljósmyndum. Þau gefa nemendum tækifæri til að þjálfa sig í hlutfallareikningi í nýju samhengi sem sumum nemendum þykir væntanlega áhugavert. Allir ættu að ráða nokkuð vel við dæmin á blaðsíðu 9. Dæmi eru í sjálfu sér ekki erfið en nemendur þurfa að átta sig á að deila þarf með 300 eða 180 í punktafjöldann á hverri hlið til að fá út stærð myndar (lengd og breidd) í tommum og síðan þarf að margfalda þá tölu með 2,54 til að fá út stærðina í sentímetrum. Nemendur geta unnið dæmin saman eða skipt þeim á milli sín og síðan borið saman niðurstöður. Verkefni 23 krefst smávegis yfirlegu, sérstaklega c liðurinn, ef reikna á dæmið nákvæmlega en með því að setja upp hlutfallatöflu ættu nemendur að geta farið mjög nærri svarinu. Þetta má einnig skoða í myndvinnsluforriti. upplausn breidd hæð Í tengslum við vinnu með ljósmyndir er sjálfsagt að beina nemendum inn á að skoða myndvinnsluforrit og prófa að minnka og stækka myndir, prenta þær út í mismunandi stærðum og skoða áhrif þess á upplausn myndanna. Einnig er hægt að breyta hlutföllum í myndum í myndvinnsluforritum og getur verið gaman að skoða áhrif þess á myndirnar. Tvær rétthyrndar myndir teljast einslaga ef hlutfall milli einslægra hliða er jafnt. a c = b d Á blaðsíðu 11 er hugtakið einslaga kynnt. Nemendur skoða myndir og rétthyrninga og hlutfallið á milli lengdar og breiddar þeirra annars vegar og hlutfallið milli einslægra hliða í einslaga rétthyrningum. Í dæmum er rétt að nemendur einbeiti sér að því að finna þær stærðir sem vantar út frá upplýsingum sem gefnar eru. Það er í sjálfu sér ekki erfitt ef nemendur skrá hjá sér þekktar stærðir og hlutföll sem gefin eru upp. Í dæmi 26 er til dæmis vitað að hlutfallið á milli einslægra hliða er í tveimur rétthyrningum 2:3. Breidd annars er 12 cm og gefið er að hann er minni en breidd hins er óþekkt. Þetta má skrá þannig 12 = 2. x 3 Með því að skoða tölurnar og margföldunarsambandið á milli þeirra er nokkuð auðvelt að finna hver óþekkta stærðin er jafnvel þó ekki sé um heiltölusamband að ræða eins og í þessu tilviki. Þegar nemendur hafa reiknað dæmin er gott að draga saman og ræða um hugtakið einslaga og einslægar hliðar og horn. Í því samhengi geta nemendur unnið dæmi 30 31og Einnig gefst gott tækifæri til umræðu um þessi hugtök í tengslum við verkefni 32 og 33. Þar skiptir miklu máli að nemendur prófi sjálfir að teikna marghyrninga og stækka þá og minnka samkvæmt þeim fyrirmælum sem eru í dæmunum. Hluti nemenda gæti unnið verkefnin samkvæmt lýsingunni í bókinni en 11 NÁMSGAGNASTOFNUN 2007 Kennsluleiðbeiningar 09743

12 aðrir gætu prófað að stækka og minnka marghyrninga út frá punkti sem er utan við marghyrninginn eins og sýnt er í umfjölluninni hér að framan. Í dæmum er sjónum beint að einslaga þríhyrningum. Nemendur þurfa að fá tækifæri til að teikna ýmiss konar þríhyrninga sjálfir og leita leiða til að kanna hvort þeir eru einslaga eða ekki. Nemendur þurfa að átta sig á því að ef stærð tveggja horna í þríhyrningi er ákveðin þá er stærð þriðja hornsins það einnig og að lögun þríhyrninga ákvarðast af hornastærðinni. Því hljóta tveir þríhyrningar að vera einslaga ef tvö einslæg horn í þeim báðum eru jafn stór. B A C A 1 B 1 C 1 Um tvo einslaga þríhyrninga ABC og A B C þar sem A = A, B = B og C = C gildir einnig að A B = A C = B C AB AC BC Þetta hefur í för með sér að ef vitað er að hlutfallið milli einslægra hliða í tveimur þríhyrningum er það sama þá eru þríhyrningarnir einslaga. Það er því nóg að skoða annaðhvort einslæg horn eða einslægar hliðar þegar um þríhyrninga er að ræða en þegar um aðra marghyrninga er að ræða þarf að skoða bæði einslæg horn og einslægar hliðar. Á blaðsíðu 16 eru dæmi um hvernig má nýta sér þá staðreynd að hlutfallið milli einslægra hliða í tveimur einslaga þríhyrningum er það sama, t.d. við hæðarmælingar. Í umfjöllun um efni kaflans er mynd af hæðarmæli sem auðvelt er að búa til og mikilvægt er að nemendur búi hann til og prófi sjálfir að framkvæma hæðarmælingar. Rétt er að hafa í huga að mælingar með slíkum hæðarmæli verða ekki nákvæmar en geta gefið nemendum vísbendingar um raunverulega hæð. Dæmunum á blaðsíðunni er fyrst og fremst ætlað að kynna þessa leið og hvetja til að nemendur búi sjálfir til hæðarmæli og framkvæmi hæðarmælingar. Slíkt verkefni er tilvalið að vinna í hópum. Verkefnunum á blaðsíðu 17 er fyrst og fremst ætlað að beina sjónum að því að þegar hliðarlengdir tvöfaldast fjórfaldast flatarmálið (2²), ef þær þrefaldast þá nífaldast (3²) flatarmálið og svo framvegis. Nemendur hafa skoðað þetta áður og því er fyrst og fremst um upprifjun að ræða. Á blaðsíðu eru nokkur verkefni þar sem nemendur fá æfingu í að beita hlutföllum og hlutfallareikningi í tengslum við ýmiss konar viðfangsefni tengd daglegu lífi. Þeir geta valið 3 4 verkefni til að leysa á hverri blaðsíðu eftir áhuga og getu. 12 NÁMSGAGNASTOFNUN 2007 Kennsluleiðbeiningar 09743

13 Stæður Inntak Markmið að nemendur Þjálfist í að vinna með algeng stærðfræðiheiti og tákn. Æfi sig í að nota algebru til að tákna samband stærða. Noti víxlreglu, tengireglu og dreifireglu til að einfalda táknasamstæður. Æfist í að skrá stæður og einfalda stæður. Aðferðir Markmið að nemendur: Nái valdi á að nota táknmál stærðfræðinnar í bland við venjulegt mál. Þjálfist í notkun sviga og forgangsröð aðgerða. Umfjöllun um inntak og kennslu Alhæfingar eru mikið notaðar í daglegu máli manna. Hugtakið bíll er t.d. alhæfing yfir allar gerðir bíla. Allir sem hafa lært að tala hafa því jafnframt lært að vinna með undir- og yfirflokka. Heimspekingurinn Herbert Spencer fjallaði um táknræna færni og mikilvægi hennar fyrir stærðfræðinám. Hann sagði að liður í vitsmunalegum þroska væri að fara í þykjustuleik og láta hlut eða verknað vera tákn um eitthvað, t.d. að láta viðarkubb tákna dýr, bíl, bát eða flugvél. Bókstafir, orð og myndir geta líka verið tákn fyrir hluti. Skilningur á því styður tengingu á milli talna og tákna. Þessi skilningur er mikilvæg undirstaða fyrir það að geta skilið táknmál stærðfræðinnar og nýtt það til að skrá eigin skilning. Gott getur því verið að tengja tákn við t.d. myndir, þegar nemendur eru að glíma við að ná tökum á að skrá stæður og nota stærðfræðileg tákn. Í stærðfræði hefur verið þróað táknmál sem gerir kleift að setja alhæfingar fram þannig að vinna megi með þær á ýmsan hátt. Í þessum kafla er einföldun stæðna meginviðfangsefnið og mikilvægt að það sé alltaf haft í huga að hver stæða táknar stærð og/eða samband milli stærða. Skapast hefur hefð um forgangsröð aðgerða. 1. Reikna út úr svigum. 3. Margfalda og deila. 2. Reikna veldi og rætur. 4. Leggja saman og draga frá. Svigar eru notaðir til að gefa til kynna hvað eigi að reikna fyrst. Gott er að skrifa dæmi upp og byrja á því að strika undir liði. Hver liður er síðan reiknaður og að lokum lagt saman og dregið frá. 12 : 3 + 4a 2 6a + 8 = 4 + 8a 6a + 8 = a Í stærðfræði hafa skapast ákveðnar hefðir við skráningu. Gott dæmi um það er forgangsröð aðgerða. 13 NÁMSGAGNASTOFNUN 2007 Kennsluleiðbeiningar 09743

14 Nemendur þurfa að ná góðu valdi á forgangsröðinni og festa sér hana í minni. Því getur verið gott að skoða hvernig mismunandi niðurstaða fæst ef reiknað er eftir þeirri röð sem stærðir og aðgerðir koma fyrir í eða eftir forgangsröð aðgerða. Hlutverk sviga þarf að ræða sérstaklega þar sem það ræðst af stöðu þeirra hvar byrjað er að reikna. Margföldun stæðna og þáttun fá mikið vægi í þessum kafla. Valið er að vinna út frá flatarmyndum. Flatarmál rétthyrninga er yfirleitt fundið með því að margfalda saman hliðarlengdir og því hentar ágætlega að skoða margföldun stæðna út frá rétthyrningum. Þannig segir margfeldi tveggja stæðna til um flatarmál og þegar unnið er með þáttun út frá slíkum myndum er markmiðið að finna hliðarlengdir. Slík myndræn framsetning hjálpar mörgum nemendum að sjá fyrir sér hvaða stærðir er um að ræða. Það er mikilvægt að nýta myndir sem mest því margir unglingar eru mjög góðir í að lesa myndir og nota myndlestur mikið í daglegu lífi sínu. Þegar hliðarlengdir rétthyrninga eru skráðar með tveggja liða stæðum kemur upp þörf fyrir að margfalda saman liðastærðir til að lýsa flatarmáli rétthyrningsins. Á blaðsíðu 28 er þetta skoðað í dæmi 31, út frá mynd af rétthyrningi sem er settur saman úr fjórum litlum rétthyrningum. Síðan er fjallað um í glósubók hvernig margfalda má saman tvo sviga. Mikilvægt er að nemendur átti sig á því af hverju þarf að margfalda alla liði hvers sviga með liðum hinna sviganna og ætti myndin á bls. 28 að geta komið að notum við að skýra það. 31 Finndu flatarmál stóra rétthyrningsins með því að leggja saman flatarmál litlu rétthyrninganna. Ein leið til að finna flatarmál stóra rétthyrningsins er að margfalda saman hliðarlengdirnar a + og a + 1. (a + ) (a + 1) Margfalda þarf hvorn lið í fremri sviganum með báðum liðum í seinni sviganum. Þá kemur fram stæðan a + a + a + Ef dregnir eru saman líkir liðir a + a + Þá færðu sömu stæðu og þegar þú lagðir saman flatarmál litlu rétthyrninganna. Stæður geta verið settar saman úr tölum, aðgerðum, svigum, háðum og/eða óháðum breytum. Nemendur þurfa að ná valdi á að setja fram stæður, einfalda þær, finna gildi þeirra fyrir uppgefin gildi á breytum en jafnframt að átta sig á hvað má lesa úr þeim um samband stærða. Mörgum finnst stæða eins og 2x + 3 ekki geta verið niðurstaða. Það tengist oft því að fólk veltir ekki fyrir sér að hverju var verið að leita eða með öðrum orðum um hvað var spurt. Sem dæmi má taka að þegar nemendur eru beðnir að einfalda stæðu eða finna flatarmál rétthyrnings þar sem samband hliðarlengda er gefið upp með breytum er ekki hægt að búast við að niðurstaðan verði oftast ein tala. 1 NÁMSGAGNASTOFNUN 2007 Kennsluleiðbeiningar 09743

15 Miklu skiptir að nemendur geri sér grein fyrir hvernig má sjá hið almenna með því að skoða hið staka. Þeir þurfa að skoða mörg dæmi, greina mynstur og skrá það með orðum og stærðfræðitáknum. Þeir þurfa jafnframt að gera sér grein fyrir hverjar forsendurnar eru og hvaða skilyrði eru skráð í stæður og jöfnur. Þegar skoðuð er jafnan 4 + x = 10, þá þarf x að uppfylla þau skilyrði að gefa summuna 10 ef 4 er bætt við. Sama er upp á teningnum í viðfangsefnum þar sem finna á upphafstölu sem reikniaðgerðum hefur verið beitt á og niðurstöðutala er gefin upp. Þá er oft gott að skoða skilyrðin hvert á eftir öðru en hugsa ekki um þau öll í einu. Kennsluhugmyndir Nemendur hafa unnið töluvert með stæður áður og því er tilvalið að byrja á að rifja hugtakið upp. Spurningin um hvað stæða er gæti því verið Ég hugsa mér tölu, bæti fjórum við og margfalda útkomuna með 10. Niðurstaðan er 80. Hvaða tölu hugsaði ég mér? gott upphaf að umræðum um stæður, einkenni þeirra og tilgang. Í tengslum við þessa spurningu mætti gjarnan ræða um notkun bókstafa í táknmáli stærðfræðinnar. Þar þarf að taka inn bæði notkun bókstafa fyrir eina tiltekna tölu, margar tölur og til að setja fram alhæfingar. Í stæðum eru bókstafir oft notaðir sem breytur til að sýna samband stærða. Bókstafir eru líka notaðir þegar settar eru fram reglur eins og víxlreglan. Nemendur þurfa að geta lesið úr táknasamstæðum og lýst þeim með stærðfræðilegum texta. Glíman við dæmi 1 3 felst einmitt í því að æfa þessi atriði. Gott gæti verið að nemendur ynnu þau dæmi tveir saman og að safnað væri saman hugmyndum þeirra um samhengi fyrir stæðuna 2x Hvetja þarf nemendur til að lesa allan texta sem er að finna í námsbókinni. Á blaðsíðu 22 eru æfingadæmi í að einfalda stæður. Áður en nemendur byrja á því þarf kennari að ræða um hvers vegna verið er að einfalda stæður og af hverju niðurstaðan 7x + 13 er gott svar við dæmi 4a. Dæmin eru miserfið því æ fleiri þætti þarf að hafa í huga eftir því sem stæður verða flóknari. Áhugavert heimaverkefni er til dæmis að biðja nemendur að búa til þrjá flóknar stæður og einfalda þær. Þessar stæður mætti síðan nota þannig að nemendur skiptust á stæðum og bæru svör sín saman. Það getur verið erfitt að átta sig á margföldun stæðna og aðgerðin fær þess vegna töluvert rými í þessum kafla. Notuð er myndræn nálgun í gegnum flatarmál rétthyrninga. Gott er að skoða dæmi 7 og textann þar með nemendum. Hvetja ætti nemendur til að reyna að sjá fyrir sér tvívíðar og þrívíðar myndir þegar þeir einfalda stæður í dæmum 8 og 9. Það er mikill stuðningur fyrir marga nemendur að geta teiknað myndir og séð fyrir sér hliðarlengdir, ekki síst þegar stæður sem margfalda á saman verða flóknari. Mörg viðfangsefni kaflans felast í margföldun stæðna og þáttun enda eru það meginviðfangsefni kaflans. 15 NÁMSGAGNASTOFNUN 2007 Kennsluleiðbeiningar 09743

16 Stæðuspilið á blaðsíðu 23 gefur færi á mikilli æfingu í margföldun einfaldra stæðna og gaman er að skoða mismunandi lausnir við að þekja spilaborðið. Þar er að finna mörg dæmi um pör af tveimum ólíkum stæðum sem hafa sama margfeldi. Spilaborðið má einnig finna í eyðublöðum á vefnum. Hugtökin margfeldi og liðastæður eru, ásamt þáttun, hugtök sem kennari þarf að gefa sérstakan gaum. Það einfaldar allar samræður og útskýringar ef nemendur ná valdi á þessum hugtökum. Í glósubókum á bls. 24, 25 og 28 eru þessi hugtök notuð og því gefst tækifæri til að koma nokkrum sinnum að þeim í kennslunni. Það þarf líka að hvetja nemendur til að lesa það sem stendur í glósubókunum og hjálpa þeim að verða læsir á stærðfræðilegan texta. Í glósubókunum er að finna mikla hjálp við að leysa dæmin og til að skilja af hverju þessi dæmi hafa verið valin sem viðfangsefni. Margfeldi liðastærðar og tölu má skoða sem skráningu á flatarmáli rétthyrnings. Bæði getur verið um að ræða samsetningu nokkurra rétthyrninga eða rétthyrning sem annar rétthyrningur hefur verið klipptur frá. Efst á bls. 24 eru sýnd dæmi um slíkar myndir. Í dæmi 10 eru nemendur hvattir til að teikna upp rétthyrninga og ætti kennari að ganga á eftir því að það sé gert. Einföldun stæðna verður smátt og smátt flóknari eftir því sem líður á kaflann en mörg skref þarf oft að taka við einföldun. Nákvæmni og skipuleg skráning skiptir miklu ef komast á að réttri niðurstöðu. Sérstök ástæða er til að skoða lausnir nemenda eða láta þá bera svör sín saman við lausnir á Netinu eða lausnir samnemenda sinna. Gott getur verið að kennari taki dæmi um hvernig smámistök leiða til rangrar niðurstöðu. Einföldun stæðna krefst margvíslegrar þekkingar og færni. Margföldun jákvæðra og neikvæðra talna er eitt af þeim atriðum sem nemendur þurfa að kunna. Kennari gæti rifjað upp með nemendum hvernig unnið var með margföldun í Átta-tíu 3- Talnameðferð og þannig hjálpað þeim að festa sér reiknireglur í minni. Nemendur kynnast hér í fyrsta skipti margföldun inn í sviga með neikvæðum tölum. Neðst á bls. 25 er hópverkefni þar sem nemendur eiga að skoða þrjár stæður, þ.e. 2x + 3, 3x 2 og 19. Ef þær eru skoðaðar í þessari röð má sjá að ef x er 5 eru fyrri stæðurnar tvær jafnar og jafngilda 13 sem er minna en 19. Ef x er minna en 5 er 2x + 3 alltaf með hærra gildi en 3x 2 en ef x er stærra en 5 hefur stæðan 3x 2 hærra gildi. Þannig að ef x er t.d. 6 eru spilin í stærðarröð því 2x + 3 hefur þá gildið 15, 3x 2 hefur gildið 16 og hæsta gildið er svo 19. Gagnlegt er að nemendur fái að spreyta sig á að beita rannsóknarnálgun og má hvetja þá til að prófa sig áfram með því að velja gildi á x. Gaman getur verið að skoða mismunandi uppröðun stæðnanna og bera saman fyrir hvaða gildi á x röðunin er vaxandi. 16 NÁMSGAGNASTOFNUN 2007 Kennsluleiðbeiningar 09743

17 Þegar finna á óþekkta hliðarlengd út frá flatarmáli og einni þekktri hliðarlengd reynir á þáttun. Í námsbókinni eru notaðir bæði rétthyrningar og þríhyrningar. Það eflir skilning á stæðum að skoða muninn á stæðum fyrir flatarmál rétthyrninga og þríhyrninga og prófa að reikna gildi stæðnanna fyrir tiltekin gildi á óþekktu stærðinni sem unnið er með. Í dæmum 20 og 21 eru rétthyrningar og þríhyrningar með sömu hliðarlengd og gott er að kennari og nemendur skoði þá saman í framhaldi af lausn á dæmi 22. Þar á einmitt að bera saman almennt stæður fyrir flatarmál rétthyrninga og þríhyrninga með sömu hliðarlengd. Í verkefni 27 eiga nemendur að greina reglu fyrir fjölda kubba sem þarf til að byggja turn. Nemendur þurfa að hafa aðgang að kubbum svo þeir geti skoðað nokkur dæmi og prófað sig áfram. Ágætt er að þeir setji reglu sína fram bæði með orðum og táknum. Reikna má með að nemendur setji reglu sína fram með ólíkum stæðum sem gott er að bera saman. Í kaflanum er fjallað um margföldun tveggja sviga. Ekki ætti að gera ráð fyrir að nemendur nái mikilli leikni í slíkri margföldun, frekar að þeir átti sig á hvernig fara má að og skoði hvaða munur kemur fram ef margfaldaðir eru saman svigar þar sem samlagning er í báðum eða frádráttur kemur fyrir. Í dæmi 35 eru dæmi sem gefa grunn fyrir slíka skoðun. Í tengslum við umfjöllun um margföldun tveggja sviga getur verið góð hugmynd að nemendur teikni upp nokkra rétthyrninga svipað og í dæmum 40 og 41. Þeir geta þá gefið hliðarlengdum nafn og skráð stæðu fyrir flatarmál þeirra. Einnig mætti biðja þá að teikna mynd af stæðum eins og t.d. 6k + 18 og 6k 18. Í lok kaflans (dæmi 42 47) eru dæmi sem reyna á flest þeirra atriða sem fengist er við í kaflanum og má nota þau sem námsmatsverkefni. Nemendur gætu t.d. unnið þau sem heimapróf eða skriflegt próf í kennslustund. Einnig getur kennari notað þau sem dæmi til að reikna á töflu með nemendum. Í kaflanum er fyrst og fremst unnið með einföldun stæðna en ástæða er til að gefa því gaum að skrá stæður og finna gildi þeirra. Til að auðvelda nemendum að ná skilningi skiptir miklu máli að skapa umræður um stæður og leiðir til að einfalda þær. Kennari þarf því að leggja mikla áherslu á að ræða um stæður við nemendur og fá þá til að orða sína eigin hugsun um stæður þannig að grunnhugtök verði öllum töm. 17 NÁMSGAGNASTOFNUN 2007 Kennsluleiðbeiningar 09743

18 Tölfræði og líkindi Inntak Markmið að nemendur: Styrki tök sín á að lýsa og vinna úr tölfræðilegum upplýsingum. Geti nýtt sér fjölbreytt myndrit við framsetningu gagna. Geti dregið ályktanir af tölfræðilegum gögnum og metið ályktanir annarra á gagnrýninn hátt. Öðlist aukna færni í að meta líkur, bæði fræðilegar líkur og líkur leiddar af tilraunum. Viti að nota má úrtak til að segja til um þýði. Aðferðir Markmið að nemendur: Geti notað stærðfræðihugtök í umræðum og við rökstuðning. Hafi kynnst almennri notkun gagnagrunna og töflureikna. Umfjöllun um inntak og vinnubrögð Í heiminum í dag fer fram mikil gagnasöfnun. Þessi gögn þarf að flokka og draga saman svo mögulegt sé að skilja þau og draga af þeim merkingu. Þróaðar hafa verið fjölbreyttar leiðir til að setja fram gögn. Allir þurfa að vera færir um að skilja og meta tölfræðilegar upplýsingar til að þeir geti tekið þátt í upplýstri umræðu um samfélagsmál. Margir notfæra sér tölulegar upplýsingar í málflutningi sínum, t.d. stjórnmálamenn, hagsmunasamtök, yfirvöld og matsstofnanir. Mikla áherslu þarf að leggja á lestur og túlkun myndrita og niðurstaðna úr könnunum. Mikilvægt er að vera vakandi fyrir því hvort gröf, töflur og tölfræði eru sett þannig fram að það geti verið villandi. Það er margt sem hafa þarf í huga við framsetningu upplýsinga og þau skilaboð sem komið er þannig á framfæri þurfa að vera skýr og auðskiljanleg. Áhugavert getur verið að skoða mismunandi framsetningarmáta á sömu upplýsingum og bera saman. Það má t.d. skoða upplýsingar frá ýmsum fyrirtækjum og stofnunum og prófa síðan að færa þær í annan búning. Þá gefst tækifæri til að íhuga hvaða áhrif það hefur á túlkun niðurstaðna. Á vef Hagstofu Íslands er að finna margvísleg, áhugaverð gögn sem aðgengilegt er að vinna með. Gott er að nemendur nái valdi á að sækja raunverulegar upplýsingar/gögn, velja framsetningarmáta fyrir þau og setja fram túlkun á hvað lesa má úr gögnunum. Hér eru dæmi um slóðir þar sem finna má tölfræðilegar upplýsingar um lönd heimsins: og Gaman er að skoða á hve margbreytilegan hátt er unnt að setja fram línurit. Kvarðinn á x- og y-ásum skiptir máli en líka sambandið sem línunum er ætlað að lýsa. Ef kvarðinn er fíngerður sjást allar breytingar hratt en ef hann er grófur 18 NÁMSGAGNASTOFNUN 2007 Kennsluleiðbeiningar 09743

19 koma breytingar hægar fram. Það ýtir síðan undir samanburð ef fleiri en ein lína er sett í sama línurit. Í dæmi 4 á bls. 36 er nemendum ætla að skoða áhrif þess að skipta um breytu á öðrum ásnum. Þar er skoðuð hlutfallsleg tölvu- og netnotkun Íslendinga í nokkur ár eftir aldurshópum. Í bókinni er sýnt hvernig línuritið lítur út ef aldurshópar eru á x-ásnum en nemendum er síðan ætlað að búa til línurit út frá sömu upplýsingum sem hefur ártöl á x-ásnum. Það breytir mjög miklu sjónrænt hvort aldurshópar eða ártöl eru á x-ásnum og hefur það mikil áhrif á hvaða atriði eru mest áberandi. Ákvörðun um hvernig kvarðinn á að vera og hvaða breytur eru notaðar byggist á því hvert markmiðið með línuritinu er. Skífurit henta vel til að sýna hlutfallslega skiptingu í nokkra hópa. Erfitt er að teikna skífurit í höndum ef hópar sem sýna á eru fleiri en 5 6. Með töflureikni má á mjög fljótlegan hátt búa til skífurit sem sýna skiptingu í mun fleiri hópa. Gera má ráð fyrir að grunnskólanemendur nú á dögum muni fyrst og fremst nýta sér tölvutækni við gerð skífurita. Samt sem áður er gott að þeir viti hvernig fara má að ef tölva er ekki við höndina og enn þá er staðan sú í mörgum kennslustofum. Flestir hafa þó aðgang að tölvum bæði heima og á afmörkuðum tímum í skólanum. Oft þarf að beita líkindafræði við söfnun og túlkun tölfræðilegra upplýsinga. Nemendur hafa fengist töluvert við mat á líkum og einföldum útreikningum á líkum. Þeir hafa bæði þurft að meta og reikna út líkur á óháðum og háðum atburðum. Almennt er gott að hvetja þá til að skrá skipulega alla útkomumöguleika með töflum, talningartrjám eða mengjamyndum. Það nýtist vel við rökstuðning á niðurstöðum. Með því að búa til herma í töflureikni má bera saman fræðilegar líkur og raunlíkur, t.d. í teningakasti, peningakasti og ef skífu er snúið. Á slóð bandarísku stærðfræðikennarasamtakanna Illuminations er að finna mörg forrit, m.a. forrit sem gefur kost á að gera tilraunir með mismunandi skífur. Slóðin að skífunum er: Vald á tölfræðilegri hugsun felur í sér hæfni til að lesa gröf og töflur af ýmsum gerðum og að skilja fjölbreytt myndrit. En mikilvægur þáttur í slíkri hæfni er líka að skilja hvernig nota má úrtak/sýnishorn til að gefa öruggar upplýsingar um þýði/heild. Almennt er reynt að miða við að segja megi með 95% öryggismörkum að úrtakið gefi rétta mynd af heildinni. Með því að taka mörg sýnishorn af sömu stærð má sjá hvernig líklegt er að niðurstöður dreifist. Með því að skoða miðsækni niðurstaðna fæst oft gleggri mynd af niðurstöðum. Tölfræðingar hafa með rannsóknum fundið út hve marga þarf að nota í úrtak til að geta sagt til um þýðið. Nemendur þurfa að kynnast því á hvaða grunni er byggt þó ekki sé ástæða til að þeir nái valdi á að reikna út stærð úrtaks. Þegar gerðar eru skoðanakannanir er oftast valið tilviljunarkennt úrtak og er áhugavert að bera saman niðurstöður skoðanakannana sem gerðar eru um sama málefni. Niðurstöður góðra kannana eru oft mjög svipaðar en síðan má sjá hvernig umræða í þjóðfélaginu getur breytt á stuttum tíma viðhorfum fólks, t.d. til stjórnmálaflokka. 19 NÁMSGAGNASTOFNUN 2007 Kennsluleiðbeiningar 09743

20 Tölvu- og upplýsingatæknin hefur gjörbreytt aðgangi fólks að upplýsingum og leiðum til að vinna úr þeim. Víða á Netinu má finna áhugaverðar upplýsingar og er um að gera að hvetja nemendur til þess. Á síðunum org/activitysearch.aspx og er að finna margs konar forrit. Þar á meðal eru nokkur góð um myndrit. Kennsluhugmyndir Kaflinn skiptist í tvo hluta, þ.e. annars vegar myndrit og framsetning gagna og hins vegar líkur og rannsóknir á raunlíkum. Töluvert hefur verið fjallað um myndrit áður og ættu nemendur því að þekkja til mismunandi gerða þeirra. Í kaflanum er áhersla lögð á að nemendur fái æfingu í að lesa úr og túlka ólíkar gerðir myndrita. Sjónum þeirra er jafnframt beint að því hvernig tölfræðilegar upplýsingar eru notaðar í almennum fréttatextum. Gagnlegt getur verið að safna fleiri dæmum úr fréttum og er það kjörið heimaverkefni fyrir nemendur. Í hópverkefni á bls. 35 er nemendum ætlað að nýta tölfræðilegar niðurstöður sem rök í málflutningi sínum. Þetta verkefni má útfæra á ýmsa vegu. Í bókinni er gert ráð fyrir að nemendur vinni í litlum hópum og velji sér viðfangsefni en einnig getur bekkurinn/nemendahópurinn allur valið sér málefni til skoðunar og umræðu. Síðan mætti fá einhvern utanaðkomandi til að ræða við bekkinn um málefnið. Gaman gæti líka verið að búa til andmælendur innan nemendahópsins. Þá mætti skipta bekknum í 4 5 manna hópa og væru tveir hópar með sama málefni. Annar hópurinn væri meðmæltur en hinn á móti. Aðrir gætu svo metið málflutninginn og hvernig hópnum tókst að nýta sér tölfræði. Þannig mætti taka fyrir tvö málefni í 20 manna nemendahópi. Á vef Hagstofu Íslands er að finna mikið gagnasafn sem auðvelt er að sækja sem töflureiknisskjöl. Nokkur dæmi úr safninu eru notuð í kaflanum en kjörið er að nemendur finni sér fleiri og prófi að vinna úr þeim og setja fram á fjölbreytilegan hátt. Línurit eru góð til að sýna þróun en það fer eftir því hvaða þróun á að skoða hvernig heppilegt er að setja þau fram. Á línuriti á bls. 36 er sýnt hve stórt hlutfall nokkurra aldurshópa notar tölvur í nokkur ár. Þessi framsetning kallar á að horft sé á hvernig notkun minnkar eftir því sem fólk verður eldra og hve svipuð notkunin er hjá aldurshópunum milli ára. Ef hins vegar breytan á lárétta ásnum (x-ás) er ártölin er sjónum beint að þróun í notkun innan hvers hóps. Þetta er mjög gott dæmi um það hvernig val á framsetningu hefur áhrif á túlkun. Gott er að ræða dæmi 4 við nemendur þegar þeir hafa lokið við að leysa það. Mikilvægt er að greina á milli prósentuhækkunar og hækkunar í prósentustigum. Prósentuhækkun segir til um hlutfallslega hækkun. Margir eru í vandræðum með að greina á milli og því þarf að ræða þetta og skoða muninn. Í tengslum við þetta má líka ræða hvers vegna summa hvers dálks í töflu á bls. 37 er ekki 100%. Gaman gæti verið að leggja þá spurningu fyrir nemendur og ræða í framhaldi af því af hverju ekki er hægt að leggja saman prósentutölur fyrir ólíka hópa. Í verkefni 7 og 8 er tekið fyrir hvort og þá hvernig nota má þróun síðustu ára til að 20 NÁMSGAGNASTOFNUN 2007 Kennsluleiðbeiningar 09743

21 spá fyrir um framtíðina. Þessi verkefni ættu að geta kallað á töluverðar umræður sem vert er að ýta undir. Súlurit eru eitt algengasta form myndrita. Í dæmi 9 koma fyrir súlurit þar sem mjög háar tölur eru á y-ásnum, aflestur getur þess vegna ekki orðið nákvæmur. Það þrýstir á að skoða stóru línurnar í breytingum milli ára. Súluritin sýna notkun mælda í mínútum en nemendur eru síðan beðnir að skoða hlutfallslega aukningu á notkun. Það reynir á skilning þeirra á hlutföllum og því gott að taka hugtakið til umfjöllunar. Stundum er heppilegt að bera saman Heimili þar sem sá sem lenti í úrtaki var á aldrinum ára með því að setja saman nokkrar súlur fyrir mismunandi breytur eins og gert er á bls. 39. Þá má skoða hópa súlna og bera þá saman. Einnig getur verið gott að setja hvern hóp af súlum fram sem skífurit. Nemendur geta prófað að skoða sömu upplýsingar settar fram í súluknippum og skífuritum og velt fyrir sér hvort þeim finnst skýrara. Í verkefni 12 eiga nemendur að gera könnun. Gott er að safna saman niðurstöðum frá öllum hópnum og þá geta nemendur borið eigin niðurstöður saman við niðurstöður hópsins. Það er góður undirbúningur fyrir verkefni í seinni hluta kaflans. Margir nemendur á unglingastigi eru farnir að velta fyrir sér framhaldsskólanámi. Þess vegna þótti kjörið að nota framhaldsskólana sem viðfangsefni. Þá gefst nemendum tækifæri til að kynna sér skólana og fá yfirsýn yfir hvaða skólar eru til. Upplýsingarnar í bókinni miðast við árið 2005 og er hægt að uppfæra þær með því að fara inn á vef Hagstofu Íslands eða vef menntamálaráðuneytisins. Kjörið er að tengja frekari skoðun á einstökum skólum við verkefni Það má t.d. skoða skiptingu í brautir, þróun nemendafjölda og/eða skiptingu nemenda eftir aldri og kyni. Jafnframt gætu nemendur kynnt sér námsframboð í þeim skólum sem þeir hafa hug á að sækja um nám í. Hér eiga nemendur að lesa úr töflu, flokka gögn og nýta sér rammarit til að skoða miðsækni og dreifingu. Villandi myndrit eru alltaf svolítið heillandi. Í sumum þeirra eru upplýsingar settar þannig fram að það ýti undir ákveðin viðbrögð, án þess að neitt sé beinlínis gert rangt en í öðrum eru villur. Skoðun á villandi myndritum ýtir undir nákvæmni við lestur myndrita og gagnrýna hugsun. Nemendur gætu haft gaman af því að búa til villandi myndrit og leggja fyrir bekkjarfélaga að finna út hvaða brögðum hafi verið beitt. Gagnrýnin hugsun skiptir miklu máli í ýmsum þáttum stærðfræðináms. Nemendur þurfa að geta skilið framsetningu annarra og greint hugsanavillur. Þar reynir líka á hæfnina til að orða hugsun sína. Í dæmi 22 reynir á að nemendur átti sig á muninum á samsettum líkum og óháðum atburðum. Dæmið hentar vel sem paraverkefni og því ákjósanlegt að nemendur vinni tveir saman að lausn þess. 21 NÁMSGAGNASTOFNUN 2007 Kennsluleiðbeiningar 09743

22 Gott er að skrá útkomumöguleika í talningartré þegar mögulegar útkomur í hverjum atburði eru tvær eða þrjár. Í dæmum 24 og 25 ætti að hvetja nemendur til að nota talningartré og reikna út niðurstöður bæði fyrir tvo atburði og þrjá. Þegar nemendur hafa lokið við dæmin er tilvalið að ræða um muninn á jöfnum og ójöfnum líkum á hverjum atburði. Einnig þarf að ræða um hvað hugtökin háður og óháður atburður þýða. Gott er að nemendur hafi peninga við höndina svo þeir geti skoðað mögulegar útkomur. Það er munur á að finna líkur á að fá skjaldarmerki í næsta kasti eða að fá fimm skjaldarmerki í röð. Í fyrra tilfellinu er um óháðan atburð að ræða en í því seinna um röð atburða sem eru háðir hver öðrum. Þegar um óháðan atburð er að ræða þarf að ákvarða líkur út frá fjölda möguleika. Háða atburði þarf að reikna með því að margfalda saman líkur. Á blaðsíðu 45 eru skoðaðar niðurstöður af því að snúa skífu 50 sinnum þar sem 50% möguleikar eru á að fá rautt. Nemendur eiga fyrst að giska og síðan að rýna í niðurstöður tilrauna. Nemendur þurfa að skoða þessi verkefni í samhengi og prófa síðan sjálfir í verkefni 30 að framkvæma tilraun af þessari gerð. Þá er kjörið að nota forrit til að fá niðurstöður. Nota má forritið: eða nemendur geta búið til hermi. Nemendur geta líka notað spilastokk eða kubba en þá tekur nokkuð langan tíma að gera þá tilraun sinnum. Verkefnin á bls fjalla öll um það hvernig niðurstöður af mörgum sams konar tilraunum raðast á tiltekið bil. Hér er verið að gefa nemendum tækifæri til að undirbyggja skilning sinn á gildi skoðanakannana og töku sýna. Áherslu þarf því að leggja á að allir nemendur reyni að meta og draga ályktanir út frá niðurstöðum. Oft eru líkur metnar á grundvelli niðurstaðna úr könnunum. Gaman gæti verið að fá í heimsókn fulltrúa þeirra sem vinna að gerð kannana. Einnig er hægt að skrifa til fyrirtækja sem sérhæfa sig í könnunum og fá svör við helstu spurningum. Það gæti styrkt umræðuna um hvað má skoða á þennan hátt og hvaða ályktanir má draga. Kjörið er að safna saman niðurstöðum skoðanakannana sem birtar eru opinberlega á meðan fengist er við þennan kafla. Á heimasíðum fyrirtækja sem gera slíkar kannanir er oft að finna ágætar upplýsingar um hvernig staðið var að gerð hverrar könnunar. 22 NÁMSGAGNASTOFNUN 2007 Kennsluleiðbeiningar 09743

23 Jöfnur Inntak Markmið að nemendur: Æfist í að nota jöfnur til að leysa viðfangsefni. Geri greinarmun á jöfnu og stæðu. Nái leikni í að einfalda og leysa jöfnur. Læri að fara rétt með stærðfræðitákn, svo sem jafnaðarmerki. Aðferðir Markmið að nemendur: Þekki ýmsar leiðir til að leysa jöfnur. Geti lýst lausnaleiðum á skýran hátt og fært rök fyrir þeim. Umfjöllun um inntak og vinnubrögð Í þessum kafla er megináhersla lögð á að nemendur læri að leysa jöfnur skref fyrir skref með því að framkvæma sömu útreikninga báðum megin jafnaðarmerkis. Jafnaðarmerkið gegnir lykilhlutverki í hverri jöfnu. Þegar sett er jafnaðarmerki milli tveggja stæðna fæst fullyrðing um að stæðurnar tvær séu jafngildar. Jafna er því fullyrðing sem segir okkur að tvær stæður séu jafngildar. Þegar fengist er við jöfnur er yfirleitt verið að leita að því í hvaða tilvikum jafnaðarmerkið gildir. Það er kallað að leysa jöfnuna. Jafnaðarmerkið var fyrst notað árið1557 af Robert Recorde ( ). Fibonacci ( ) notaði jöfnur á svipaðan hátt og nú er gert í skólum í riti sínu Liber Abacci frá árinu François Viete skilgreindi hugtakið jafna í ritinu In artem analyticem isagoge árið Lítum á nokkrar jöfnur = = x = 7 x 2 = 25 Það er auðvelt að taka afstöðu til fyrstu tveggja jafnanna. Sú fyrri er sönn og sú seinni ósönn. Í þriðju og fjórðu jöfnunni er x óþekkt stærð. Fullyrðingarnar verða sannar ef ákveðin skilyrði eru fyrir hendi. Í þriðju jöfnunni ætti maður strax að geta séð út frá þekkingu á talnastaðreyndum að fullyrðingin er sönn ef x = 3. Í þeirri fjórðu getur x hins vegar staðið fyrir tvær tölur, þ.e. bæði 5 og 5. Lýsa má lausnamengi jöfnunnar L með því að skrá L = { 5.5} 23 NÁMSGAGNASTOFNUN 2007 Kennsluleiðbeiningar 09743

24 Í mörgum tilvikum má auðveldlega sjá lausnir á jöfnum út frá þekkingu á talnastaðreyndum, með því að prófa sig áfram og beita rökhugsun. Oft er t.d. gott að afmarka þann lið eða stæðu sem óþekkta stærðin er í, ef einungis er um eina óþekkta stærð að ræða, og finna þannig út frá samhenginu hvað hann stendur fyrir. Dæmi: 3x + 1 = 5 2 3x + 1 = 10 Hér má sjá að stæðan ofan á brotastrikinu sem óþekkta stærðin er í hlýtur að jafngilda 10. Út frá þessari staðreynd er nokkuð auðvelt að sjá að 3x = 9 og að x = 3. Nemendur hafa áður fengist við að leysa einfaldar jöfnur og þannig kynnst ýmsum óformlegum leiðum við að leysa þær. Það að leysa jöfnur getur verið spennandi leit að óþekktum tölum. Ef lögð er áhersla á að ýmsar leiðir eru færar getur þetta orðið spennandi og jafnframt þroskandi leit. Nemendur öðlast skilning á því hvað jöfnur eru, hvað gera má við þær og þeir geta fundið árangursríkar leiðir til lausnar á þeim jöfnum sem þeir glíma við hverju sinni. Nemendur þurfa eigi að síður að kynnast formlegum leiðum sem nota má við að leysa jöfnur. Þau dæmi sem nemendur glíma við á þann hátt mega ekki vera svo einföld að þeir komi ekki auga á ávinning af því að vinna kerfisbundið skref fyrir skref. Í kaflanum kynnast nemendur því hvernig leysa má jöfnur skref fyrir skref með því að notfæra sér að í jöfnu má leggja við eða draga frá sömu tölu báðum megin jafnaðarmerkis án þess að lausnamengi hennar breytist, að í jöfnu má margfalda eða deila með sömu tölu báðum megin jafnaðarmerkis án þess að lausnamengi hennar breytist, þó má ekki margfalda eða deila með tölunni 0. Þetta má setja fram á formlegri hátt Jafnan a = b er jafngild a + c = b + c Jafnan a = b er jafngild ac = bc ef gefið er að c 0 Þegar nemendur telja sig hafa leyst tiltekna jöfnu er mikilvægt að þeir temji sér að prófa hvort stæður báðum megin jafnaðarmerkis verða jafngildar ef lausnin (lausnirnar) er sett inn í jöfnuna í staðinn fyrir óþekktu stærðina. Sumir hafa lært að leysa jöfnur á þann hátt að taka megi liði eða þætti öðrum megin jafnaðarmerkis, flytja þá yfir jafnaðarmerkið og breyta formerkjum. Mikilvægt er að átta sig á að ekki er um tilfærslur á liðum að ræða heldur er ákveðinni stærð, t.d. + 4, bætt við báðar hliðar jöfnunnar. Yfirleitt er bætt við eða margfaldað með andhverfu tölu sem æskilegt er að eyða út úr annarri hlið jöfnunnar. Við hina hlið jöfnunnar bætist liður eða þáttur sem er andhverfa þess liðar sem gerður er hlutlaus með því að bæta við hann eða margfalda hann með andhverfu. Sjálfsagt eiga nemendur eftir að koma auga á þetta samhengi og geta þá sparað sér nokkur skref við lausn jöfnunnar en mikilvægt er að þeir átti sig á hvers vegna þetta gerist og að hér er ekki um einhverjar töfrakúnstir að ræða. 24 NÁMSGAGNASTOFNUN 2007 Kennsluleiðbeiningar 09743

Meðalmánaðardagsumferð 2009

Meðalmánaðardagsumferð 2009 Meðalmánaðardagsumferð 2009 Almennt Á meðfylgjandi stöplaritum gefur að líta, hvernig umferð um 74 staði/snið dreifist hlutfallslega eftir mánuðum yfir árið 2009. Í upphafi var ákveðið að velja alla talningarstaði,

Διαβάστε περισσότερα

Guðbjörg Pálsdóttir Guðný Helga Gunnarsdóttir NÁMSGAGNASTOFNUN

Guðbjörg Pálsdóttir Guðný Helga Gunnarsdóttir NÁMSGAGNASTOFNUN Guðbjörg Pálsdóttir Guðný Helga GunnarsdóttirNÁMSGAGNASTOFNUN Til nemenda Námsefnisflokkurinn 8 tíu er ætlaður nemendum í 8. 10. bekk. Grunnbókin 8 tíu 5 skiptist í átta meginkafla. Í hverjum kafla er

Διαβάστε περισσότερα

S t æ r ð f r æ ð i. Kennsluleiðbeiningar. Kennsluleiðbeiningar. 8tíu NÁMSGAGNASTOFNUN. 7. september 2006

S t æ r ð f r æ ð i. Kennsluleiðbeiningar. Kennsluleiðbeiningar. 8tíu NÁMSGAGNASTOFNUN. 7. september 2006 2 3 4 5 6 S t æ r ð f r æ ð i Kennsluleiðbeiningar Kennsluleiðbeiningar 8tíu NÁMSGAGNASTOFNUN NÁMSGAGNASTOFNUN 2. útgáfa 2006 7. september 2006 Átta tíu Kennsluleiðbeiningar 2006 Guðbjörg Pálsdóttir og

Διαβάστε περισσότερα

Reikniverkefni VII. Sævar Öfjörð Magnússon. 22. nóvember Merki og ker Jónína Lilja Pálsdóttir

Reikniverkefni VII. Sævar Öfjörð Magnússon. 22. nóvember Merki og ker Jónína Lilja Pálsdóttir Reikniverkefni VII Sævar Öfjörð Magnússon 22. nóvember 25 8.3.4 Merki og ker Jónína Lilja Pálsdóttir KAFLI 9.2 Pólar 2. stigs kerfa Í þessum kaa vinnum við með 2. stigs ker á forminu H(s) = ω 2 n. ()

Διαβάστε περισσότερα

Þriggja fasa útreikningar.

Þriggja fasa útreikningar. Þriggja asa útreikningar. Hér þurum við að byrja á því að skilgreina 4 hugtök. 1. Netspenna er spenna sem við mælum á milli tveggja asa.. Netstraumur er straumurinn í hverjum asaleiðara.. Fasaspenna er

Διαβάστε περισσότερα

Stærðfræði. Lausnir. Lausnir. 8tíu. NÁMSGAGNASTOFNUN 20. apríl 2009

Stærðfræði. Lausnir. Lausnir. 8tíu. NÁMSGAGNASTOFNUN 20. apríl 2009 4 1 2 3 5 6 Lausnir Lausnir 8tíu NÁMSGAGNASTOFNUN 20. apríl 2009 Átta Lausnir 2007 Björgvin Sigurðsson, Guðbjörg Pálsdóttir og Guðný Helga Gunnarsdóttir Ritstjóri: Hafdís Finnbogadóttir Öll réttindi áskilin

Διαβάστε περισσότερα

Námsáætlun í stærðfræði fyrir 10. bekk Tímabil: 22. ágúst júní 2012

Námsáætlun í stærðfræði fyrir 10. bekk Tímabil: 22. ágúst júní 2012 Námsáætlun í stærðfræði fyrir 10. bekk 2011-2012 Tímabil: 22. ágúst 2011-. júní 2012 kennslustundir á viku Kennari: Kolbrún Jónsdóttir, Kristín Elva Viðarsdóttir og Sigfús Aðalsteinsson Námsefni Unnið

Διαβάστε περισσότερα

Ályktanir um hlutföll og tengslatöflur

Ályktanir um hlutföll og tengslatöflur Ályktanir um hlutföll og tengslatöflur LAN 203G & STÆ209G Anna Helga Jónsdóttir Sigrún Helga Lund Háskóli Íslands Anna Helga og Sigrún Helga (HÍ) Ályktanir um hlutföll og tengslatöflur 1 / 27 Helstu atriði:

Διαβάστε περισσότερα

Viðskipta- og Hagfræðideild Tölfræði II, fyrirlestur 6

Viðskipta- og Hagfræðideild Tölfræði II, fyrirlestur 6 Viðskipta- og Hagfræðideild Tölfræði II, fyrirlestur 6 Háskóli Íslands Helgi Tómasson Líkindafræði kafli 2-9 Berið saman við líkindafræðina í Newbold. Tilgangur líkindafræði í tölfræðinámsskeiði er að

Διαβάστε περισσότερα

Kaplan Meier og Cox. Aðferðafræði klínískra rannsókna haustið 2010 Fimmtudagur 11 nóvember. Thor Aspelund Hjartavernd og Háskóla Íslands

Kaplan Meier og Cox. Aðferðafræði klínískra rannsókna haustið 2010 Fimmtudagur 11 nóvember. Thor Aspelund Hjartavernd og Háskóla Íslands Kaplan Meier og Cox Aðferðafræði klínískra rannsókna haustið 2010 Fimmtudagur 11 nóvember Thor Aspelund Hjartavernd og Háskóla Íslands Tími að atburði í heilbrigðisvísindum Í heilbrigðisvísindum er útkoman

Διαβάστε περισσότερα

Bústólpi ehf - Nýtt kjarnfóður H K / APRÍL 2014

Bústólpi ehf - Nýtt kjarnfóður H K / APRÍL 2014 Bústólpi ehf - Nýtt kjarnfóður H K / APRÍL 2014 Nýtt kjarnfóður frá Bústólpa PREMIUM PRO-FIT 17 PREMIUM PRO-FIT 13 Nýtt kjarnfóður frá Bústólpa PREMIUM PRO-FIT 17 Kjarnfóður sem ætlað er að hámarka fitu,

Διαβάστε περισσότερα

6. júní 2016 kl. 08:30-11:00

6. júní 2016 kl. 08:30-11:00 Sveinsprófsnefnd sterkstraums Rafmagnsfræði, stýrikerfi og búnaður 6. júní 2016 kl. 08:30-11:00 Nafn: Kennitala: Heimilisfang:_ Hjálpargögn: Skriffæri, reglustika, og reiknivél. Nota má bókina Formúlur

Διαβάστε περισσότερα

RAF301G Merki og kerfi Miðmisserispróf, lausn

RAF301G Merki og kerfi Miðmisserispróf, lausn RAF301G Merki og kerfi Miðmisserispróf, lausn Miðvikudaginn 20. okóber 2010, kl. 08:20-09:50 Leyfileg hjálpargögn: reiknivél og ei A-blað með hverju sem er (innan marka heilbrigðrar skynsemi) á báðum hliðum.

Διαβάστε περισσότερα

AÐALNÁMSKRÁ GRUNNSKÓLA STÆRÐFRÆÐI

AÐALNÁMSKRÁ GRUNNSKÓLA STÆRÐFRÆÐI AÐALNÁMSKRÁ GRUNNSKÓLA STÆRÐFRÆÐI Menntamálaráðuneytið 2007 MENNTAMÁLARÁÐUNEYTIÐ 2007 AÐALNÁMSKRÁ GRUNNSKÓLA STÆRÐFRÆÐI Menntamálaráðuneytið: námskrár júní 2007 Útgefandi: Menntamálaráðuneytið Sölvhólsgötu

Διαβάστε περισσότερα

SKALI STÆRÐFRÆÐI FYRIR UNGLINGASTIG KENNARABÓK. Grete Normann Tofteberg Janneke Tangen Ingvill Merete Stedøy-Johansen Bjørnar Alseth

SKALI STÆRÐFRÆÐI FYRIR UNGLINGASTIG KENNARABÓK. Grete Normann Tofteberg Janneke Tangen Ingvill Merete Stedøy-Johansen Bjørnar Alseth SKALI KENNARABÓK STÆRÐFRÆÐI FYRIR UNGLINGASTIG Grete Normann Tofteberg Janneke Tangen Ingvill Merete Stedøy-Johansen Bjørnar Alseth Menntamálastofnun 7377 2B Skali 2B Kennarabók Heiti á frummálinu: Maximum

Διαβάστε περισσότερα

SKALI STÆRÐFRÆÐI FYRIR UNGLINGASTIG KENNARABÓK. Grete Normann Tofteberg Janneke Tangen Ingvill Merete Stedøy-Johansen Bjørnar Alseth

SKALI STÆRÐFRÆÐI FYRIR UNGLINGASTIG KENNARABÓK. Grete Normann Tofteberg Janneke Tangen Ingvill Merete Stedøy-Johansen Bjørnar Alseth SKALI KENNARABÓK STÆRÐFRÆÐI FYRIR UNGLINGASTIG Grete Normann Tofteberg Janneke Tangen Ingvill Merete Stedøy-Johansen Bjørnar Alseth Menntamálastofnun 8542 3B Skali 3B Kennarabók Heiti á frummálinu: Maximum

Διαβάστε περισσότερα

Menntaskólinn í Reykjavík

Menntaskólinn í Reykjavík Menntakólinn í Reykjaík Jólaróf 006, fötudaginn 5. de. kl. 9 0 Eðlifræði í 6.M og S náttúrufræðideild I Sör erkefnið er á 5 töluettu blaðíðu. Leyfileg hjálargögn eru hjálagt forúlublað og aareiknir. otaðu

Διαβάστε περισσότερα

Líkindi Skilgreining

Líkindi Skilgreining Líkindi Skilgreining Ω = útkomumengi = mengi allra hugsanlegra útkoma. Atburður er hlutmengi í Ω. Ω A Skilgreining: Atburðir A og B kallast sundurlægir (ósamræmanlegir) ef A B =. Ω A B Skilgreining: Líkindi

Διαβάστε περισσότερα

PRÓFBÚÐIR Í LÍNULEGRI ALGEBRU VIÐ HR VOR 2014 HERKÚLES

PRÓFBÚÐIR Í LÍNULEGRI ALGEBRU VIÐ HR VOR 2014 HERKÚLES PRÓFBÚÐIR Í LÍNULEGRI ALGEBRU VIÐ HR VOR 2014 HERKÚLES GUÐMUNDUR EINARSSON Herkúles Prófbúðir April 8, 2014 1 / 52 OUTLINE 1 Grunnhugtök, einfaldar aðgerðir og innfeldi Grunnhugtök Innfeldi Jafna Línu

Διαβάστε περισσότερα

Hugtakalisti fyrir 10. bekk. Listinn er ekki tæmandi!!!

Hugtakalisti fyrir 10. bekk. Listinn er ekki tæmandi!!! Hugtakalisti fyrir 10. bekk. Listinn er ekki tæmandi!!! Tölur o Talnamengin eru fjögur: N, Z, Q og R. o Náttúrulegar tölur (N) Allar jákvæðar heilar tölur. ATH. ekki 0. o Heilar tölur (Z) Allar heilar

Διαβάστε περισσότερα

Eðlisfræði 1. Dæmi 5.2 (frh.) Dæmi Dæmi (frh.) d) P = W tog. = 0, 47kW. = 9, 4kJ

Eðlisfræði 1. Dæmi 5.2 (frh.) Dæmi Dæmi (frh.) d) P = W tog. = 0, 47kW. = 9, 4kJ S I S Menntakólinn Dæi 5. frh. - 5.3 R E Y K SIGILLUM J A V SCHOLÆ I C E N í Reykjavík 5. frh. d P W tog t 9,4kJ 0 0, 47kW Eðlifræði Kafli 5 - Vinna og orkuvarðveila Óleyt dæi 5. nóveber 006 Kritján Þór

Διαβάστε περισσότερα

Vísandi mælitæki (2) Vísandi mælitæki. Vísandi mælitæki (1) Vísandi mælitæki (3)

Vísandi mælitæki (2) Vísandi mælitæki. Vísandi mælitæki (1) Vísandi mælitæki (3) 1 2 Vísandi mælitæki (2) Vísandi mælitæki Fjöldi hliðrænna tækja byggir á því að rafsegulsvið myndast umhverfis leiðara með rafstraumi. Við það færist vísir: Með víxlverkun síseguls og segulsviðs umhverfis

Διαβάστε περισσότερα

9 x 2 x 2 x 3 = 19 (9 + 2) 2 3 = 19

9 x 2 x 2 x 3 = 19 (9 + 2) 2 3 = 19 Verkefnablað 7.35 Horfin aðgerðartákn Settu aðgerðartákn (+,, :, ) og sviga á rétta staði þannig að svörin verði rétt. Dæmi: 9 x 2 x 2 x 3 = 19 (9 + 2) 2 3 = 19 a 9 x 8 x 3 x 2 = 7 b 16 x 9 x 5 x 5 = 10

Διαβάστε περισσότερα

Span og orka í einfaldri segulrás

Span og orka í einfaldri segulrás Rafmagnsvélar 1 - RAF601G 1 Span og orka í einfaldri segulrás Inductance and energy in a simple magnetic circuit Rafmagnsvélar 1 - RAF601G 2 Lögmál Faradays spansegulviðnám Lögmál Faradays er hluti af

Διαβάστε περισσότερα

Gagnasafnsfræði Venslaalgebra og bestun fyrirspurna. Hallgrímur H. Gunnarsson

Gagnasafnsfræði Venslaalgebra og bestun fyrirspurna. Hallgrímur H. Gunnarsson Gagnasafnsfræði Venslaalgebra og bestun fyrirspurna Hallgrímur H. Gunnarsson Inngangur SQL: SQL er declarative mál, segir bara hvað á að reikna, en ekki hvernig. Það er undir gagnasafnskerfinu komið að

Διαβάστε περισσότερα

x(t) = T 0 er minnsta mögulega gildi á T

x(t) = T 0 er minnsta mögulega gildi á T Fyrir x(t) = u(t) þá fáum við lim t y(t) = lim t tu(t) = sem er óstöðugt. (oft er gott að skoða hvort impúlssvörunin sé alsamleitin, ef svo er, þá er kerð stöðugt). Tímaóháð Ker er tímaóháð ef það kemur

Διαβάστε περισσότερα

t 2 c2 2 Φ = 0. (2.1)

t 2 c2 2 Φ = 0. (2.1) 2 Bylgjuaflfræði Eftir að de Broglie setti fram tilgátu sína og í ljós kom að hún átti við rök að styðjast var ljóst að finna þyrfti bylgjujöfnu sem þessar bylgjur hlíttu. Rafsegulbylgjur, hljóðbylgjur

Διαβάστε περισσότερα

fyrirlestrapunktar vor 2009 Háskóli Íslands Mælingar tengdar í tíma. Kafli 7 (muna 5.5. og k. 1-4)

fyrirlestrapunktar vor 2009 Háskóli Íslands Mælingar tengdar í tíma. Kafli 7 (muna 5.5. og k. 1-4) Viðskipta- og Hagfræðideild fyrirlestrapunktar vor 2009 Háskóli Íslands Hagrannsóknir II, Helgi Tómasson Mælingar tengdar í tíma. Kafli 7 (muna 5.5. og k. 1-4) Nokkur hugtök Stationarity: Weak/Strong.

Διαβάστε περισσότερα

Undirstöðuatriði RC-tengds magnara Ólafur Davíð Bjarnason og Valdemar Örn Erlingsson 28. apríl 2009

Undirstöðuatriði RC-tengds magnara Ólafur Davíð Bjarnason og Valdemar Örn Erlingsson 28. apríl 2009 Háskóli Íslands Vor 2009 Kennari: Vilhjálmur Þór Kjartansson Undirstöðuatriði RC-tengds magnara 28. apríl 2009 1 Magnari án forspennu Notuð var rás eins og á mynd 1. Við bárum saman uce og ube á sveiflusjá.

Διαβάστε περισσότερα

4.01 Maður ekur 700 km. Meðalhraðinn er 60 km/klst fyrstu 250 km og 75 km/klst síðustu 450 km. Hver er meðalhraðinn?

4.01 Maður ekur 700 km. Meðalhraðinn er 60 km/klst fyrstu 250 km og 75 km/klst síðustu 450 km. Hver er meðalhraðinn? 4. kafli, dæmi og vör með útreikningum Skrifað út 9..4; :34 4. Maður ekur 7 km. Meðalhraðinn er 6 km/klt fyrtu 5 km og 75 km/klt íðutu 45 km. Hver er meðalhraðinn? S S Sv.: Hér þarf að reikna tímann fyrir

Διαβάστε περισσότερα

H2S loftgæðamælingar í Norðlingaholti og í Hveragerði

H2S loftgæðamælingar í Norðlingaholti og í Hveragerði H2S loftgæðamælingar, Norðlingaholt, Hveragerði, 1. og 2. ársfjórðungur 2015 Bls. 1 Skýrsla nr. 14 16. júlí 2015 H2S loftgæðamælingar í Norðlingaholti og í Hveragerði Skýrsla um mælingar fyrir janúar til

Διαβάστε περισσότερα

Forritunarkeppni Framhaldsskólanna 2014

Forritunarkeppni Framhaldsskólanna 2014 2014 Morpheus deild - eftir hádegi Háskólinn í Reykjavík 20. mars 2014 Verkefni 1 Á Milli Skrifið forrit sem les inn þrjár heiltölur a, b og c. Skrifið út Milli ef talan b er á milli a og c á talnalínunni.

Διαβάστε περισσότερα

Hæðarkerfi og hæðir Þórarinn Sigurðsson Landmælingar Íslands

Hæðarkerfi og hæðir Þórarinn Sigurðsson Landmælingar Íslands Hæðarkerfi og hæðirh Þórarinn Sigurðsson Landmælingar Íslands thorarinn@lmi.is Tilkoma hæðarkerfisinsh Nefnd til að fjalla um landmælingar lingar á Íslandi sett á fót t 1991 Sameiginlegt hæðarkerfi h fyrir

Διαβάστε περισσότερα

FRÆÐSLUSKRIFSTOFA RAFIÐNAÐARINS

FRÆÐSLUSKRIFSTOFA RAFIÐNAÐARINS FÆÐSLSKIFSTOF FIÐNÐINS FOMÚL VEGN SVEINSÓFS Í FIÐNM Útgáfa SVEINSÓFSNEFND FIÐN STEKSTMS Fræðsuskrifstofa rafiðnaðarins Sveinsprófsnefnd sterkstraums FOMÚL FOMÚLTEXTI ρ Δ cosϕ I ρ Δ ρ Δ Spenna V I Straumur

Διαβάστε περισσότερα

Vinkill. Lausnir. Ítarefni í stærðfræði fyrir 10. bekk

Vinkill. Lausnir. Ítarefni í stærðfræði fyrir 10. bekk Vinkill 7. ágúst 008 Ítarefni í stærðfræði frir 0. bekk Um efnið Efnisfirlit Þetta efni er ætlað sem ítarefni í stærðfræði frir unglingastig. Efnið getur hentað til einstaklings- eða paravinnu í skólanum

Διαβάστε περισσότερα

H2S loftgæðamælingar í Norðlingaholti og í Hveragerði

H2S loftgæðamælingar í Norðlingaholti og í Hveragerði H2S loftgæðamælingar, Norðlingaholti og Hveragerði, fyrir árið 2015 Bls. 1 Skýrsla nr. 18 18. janúar 2016 H2S loftgæðamælingar í Norðlingaholti og í Hveragerði Skýrsla um mælingar fyrir árið 2015 Unnið

Διαβάστε περισσότερα

H2S mælingar í Norðlingaholti og Hveragerði Skýrsla um mælingar árið 2013 Unnið fyrir Orkuveitu Reykjavíkur

H2S mælingar í Norðlingaholti og Hveragerði Skýrsla um mælingar árið 2013 Unnið fyrir Orkuveitu Reykjavíkur Bls. 1 Skýrsla nr. 2 (útgáfa 2) 12. janúar 2014 H2S mælingar í Norðlingaholti og Hveragerði Skýrsla um mælingar árið 2013 Unnið fyrir Orkuveitu Reykjavíkur Höfundur: Andrés Þórarinsson Verkfræðistofan

Διαβάστε περισσότερα

SKALI STÆRÐFRÆÐI FYRIR UNGLINGASTIG KENNARABÓK. Grete Normann Tofteberg Janneke Tangen Ingvill Merete Stedøy-Johansen Bjørnar Alseth

SKALI STÆRÐFRÆÐI FYRIR UNGLINGASTIG KENNARABÓK. Grete Normann Tofteberg Janneke Tangen Ingvill Merete Stedøy-Johansen Bjørnar Alseth SKALI KENNARABÓK STÆRÐFRÆÐI FYRIR UNGLINGASTIG Grete Normann Tofteberg Janneke Tangen Ingvill Merete Stedøy-Johansen Bjørnar Alseth Menntamálastofnun 8538 3A Skali 3A Kennarabók Heiti á frummálinu: Maximum

Διαβάστε περισσότερα

1) Birgðabreyting = Innkaup - Sala + Framleiðsla - Rýrnun - Eigin notkun. Almennari útgáfa af lögmálinu hér fyrir ofan lítur svona út:

1) Birgðabreyting = Innkaup - Sala + Framleiðsla - Rýrnun - Eigin notkun. Almennari útgáfa af lögmálinu hér fyrir ofan lítur svona út: Massajöfnunarkerfi Svokölluð jöfnunarkerfi eru notuð til að fylgjast með magni efnis þegar það fer í gegnum ferli. Slík kerfi eru útgáfur af lögmálinu um varðveislu massans. Einfaldasta jöfnunarkerfið

Διαβάστε περισσότερα

H 2 S loftgæðamælingar í Norðlingaholti og í Hveragerði

H 2 S loftgæðamælingar í Norðlingaholti og í Hveragerði H 2 S loftgæðamælingar, Norðlingaholti og Hveragerði, 1. - 3. ársfjórðungur 2016 Bls. 1 Skýrsla nr. 24 19. október 2016 H 2 S loftgæðamælingar í Norðlingaholti og í Hveragerði Skýrsla um mælingar fyrir

Διαβάστε περισσότερα

H 2 S loftgæðamælingar við Hellisheiðarvirkjun og við Nesjavallavirkjun

H 2 S loftgæðamælingar við Hellisheiðarvirkjun og við Nesjavallavirkjun H2S loftgæðamælingar, Hellisheiði og Nesjavöllum, 1. og 2. ársfjórðungur 2015 Bls. 1 Skýrsla nr. 15 16. júlí 2015 H 2 S loftgæðamælingar við Hellisheiðarvirkjun og við Nesjavallavirkjun Skýrsla um mælingar

Διαβάστε περισσότερα

Niðurstöður aurburðarmælinga í Jökulsá í Fljótsdal árið 2003

Niðurstöður aurburðarmælinga í Jökulsá í Fljótsdal árið 2003 Verknr.: 7-546763 Jórunn Harðardóttir Svava Björk Þorláksdóttir Niðurstöður aurburðarmælinga í Jökulsá í Fljótsdal árið 2003 Unnið fyrir Landsvirkjun OS-2004/010 Apríl 2004 ISBN 9979-68-141-1 ORKUSTOFNUN

Διαβάστε περισσότερα

H 2 S loftgæðamælingar við Hellisheiðarvirkjun og við Nesjavallavirkjun

H 2 S loftgæðamælingar við Hellisheiðarvirkjun og við Nesjavallavirkjun H 2 S loftgæðamælingar, Hellisheiði og Nesjavöllum, 1. ársfjórðungur 2016 Bls. 1 Skýrsla nr. 21 26. apríl 2016 H 2 S loftgæðamælingar við Hellisheiðarvirkjun og við Nesjavallavirkjun Skýrsla um mælingar

Διαβάστε περισσότερα

H 2 S loftgæðamælingar við Hellisheiðarvirkjun og Nesjavallavirkjun

H 2 S loftgæðamælingar við Hellisheiðarvirkjun og Nesjavallavirkjun H 2 S loftgæðamælingar á Hellisheiði og Nesjavöllum, 1. ársfjórðungur 2018 Bls. 1 Skýrsla nr. 42 3. maí 2018 H 2 S loftgæðamælingar við Hellisheiðarvirkjun og Nesjavallavirkjun Skýrsla um mælingar fyrir

Διαβάστε περισσότερα

Veghönnunarreglur 03 Vegferill

Veghönnunarreglur 03 Vegferill 3 Veghönnunarreglur 03 01.08.2010 Flokkun gagna innan Vegagerðarinnar Flokkur Efnissvið Einkenni (litur) 1 Lög, reglugerðir, og önnur Svartur fyrirmæli stjórnvalda 2 Stjórnunarleg fyrirmæli, Gulur skipurit,

Διαβάστε περισσότερα

FOUCAULT þrír textar 2014

FOUCAULT þrír textar  2014 FOUCAULT þrír textar www.starafugl.is 2014 Inngangur: Listaverk er ekki hlutur, það er lífið Nanna Hlín Halldórsdóttir Núna þegar niðurnjörvaður prófessjónalismi er búinn að gelda svo margt fallegt er

Διαβάστε περισσότερα

Vinkill 3. Ítarefni í stærðfræði fyrir 10. bekk

Vinkill 3. Ítarefni í stærðfræði fyrir 10. bekk Vinkill 3 Ítarefni í stærðfræði frir 0. bekk Um efnið Efnisfirlit Þetta efni er ætlað sem ítarefni í stærðfræði frir unglingastig. Efnið getur hentað til einstaklings- eða paravinnu í skólanum en einnig

Διαβάστε περισσότερα

Um tölvur stýrikerfi og forritun

Um tölvur stýrikerfi og forritun Um tölvur stýrikerfi og forritun Tölvur Fyrstu tölvurnar voru smíðaðar um miðja síðustu öld. Þær voru gríðarstórar á okkar tíma mælikvarða og fylltu stóra sali. Grunnhlutar tölva hafa frá þessum fyrstu

Διαβάστε περισσότερα

Orkuumbreyting milli raforku og hreyfiorku

Orkuumbreyting milli raforku og hreyfiorku 1 Orkuumbreyting milli raforku og hreyfiorku Electromechanical energy conversion principles Umbreyting milli raforku og hreyfiorku Umbreytingin getur almennt gengið í hvora áttina sem er: Umbreyting úr

Διαβάστε περισσότερα

Kennsluleiðbeiningar Tungutak - Málsaga handa framhaldsskólum

Kennsluleiðbeiningar Tungutak - Málsaga handa framhaldsskólum Kennsluleiðbeiningar Tungutak - Málsaga handa framhaldsskólum Markmiðin með kennslubókinni Tungutak - Málsaga handa framhaldsskólum eru í grófum dráttum eftirfarandi: Fá nemendur til þess að hugsa um tungumálið

Διαβάστε περισσότερα

Fylgiseðill: Upplýsingar fyrir notanda lyfsins. Symbicort mite Turbuhaler 80 míkrógrömm/4,5 míkrógrömm/skammt, Innöndunarduft

Fylgiseðill: Upplýsingar fyrir notanda lyfsins. Symbicort mite Turbuhaler 80 míkrógrömm/4,5 míkrógrömm/skammt, Innöndunarduft Fylgiseðill: Upplýsingar fyrir notanda lyfsins Symbicort mite Turbuhaler 80 míkrógrömm/4,5 míkrógrömm/skammt, Innöndunarduft Budesonid/formoterolfumarattvíhýdrat Lesið allan fylgiseðilinn vandlega áður

Διαβάστε περισσότερα

Vinkill2. Ítarefni í stærðfræði

Vinkill2. Ítarefni í stærðfræði Vinkill2 Ítarefni í stærðfræði Um efnið Þetta efni er ætlað sem ítarefni í stærðfræði fyrir unglingastig. Efnið getur hentað til einstaklings- eða paravinnu í skólanum en einnig má nýta það sem heimavinnuverkefni.

Διαβάστε περισσότερα

Greinargerð Trausti Jónsson. Sveiflur IV. Árstíðasveiflur í háloftunum yfir Keflavík

Greinargerð Trausti Jónsson. Sveiflur IV. Árstíðasveiflur í háloftunum yfir Keflavík Greinargerð 44 Trausti Jónsson Sveiflur IV Árstíðasveiflur í háloftunum yfir Keflavík VÍ-VS4 Reykjavík Mars 24 Árstíðasveifla ýmissa veðurþátta í háloftunum yfir Keflavík Inngangur Hér verður fjallað um

Διαβάστε περισσότερα

Nokkur valin atriði úr aflfræði

Nokkur valin atriði úr aflfræði Einföld sveifluhreyfin Nour valin atriði úr aflfræði Soðum raftajöfnuna fyrir orm með ormstuðul sem má rita á eftirfarandi formi: mẍ = x sem er óhliðruð. stis diffurjafna. Umritum hana yfir á eftirfarandi

Διαβάστε περισσότερα

Hagrannsóknir II fyrirlestraglósur

Hagrannsóknir II fyrirlestraglósur Hagrannsóknir II fyrirlestraglósur hluti I Björn Arnar Hauksson bah@hi.is Vor 2003 Útdráttur Efni þessa glósurits er ritað í fyrirlestrum í Hagrannsóknum II, vorið 2003. Kennt af Helga Tómassyni. Engin

Διαβάστε περισσότερα

Annar kafli Hraði, hröðun, kraftur og massi

Annar kafli Hraði, hröðun, kraftur og massi Annar kafli Hraði, hröðun, kraftur og massi Markmið kaflans eru að kunna: Hraða, hröðun Stigstærð, vektorstærð Reikna krafta sem verka á hluti með hliðsjón af massa og hröðun hans Geta reiknað lokahraða

Διαβάστε περισσότερα

H 2 S loftgæðamælingar við Hellisheiðarvirkjun og við Nesjavallavirkjun

H 2 S loftgæðamælingar við Hellisheiðarvirkjun og við Nesjavallavirkjun H2S loftgæðamælingar, Hellisheiði og Nesjavöllum, fyrir árið 2015 Bls. 1 Skýrsla nr. 19 18. janúar 2016 H 2 S loftgæðamælingar við Hellisheiðarvirkjun og við Nesjavallavirkjun Skýrsla um mælingar fyrir

Διαβάστε περισσότερα

Stillingar loftræsikerfa

Stillingar loftræsikerfa Stillingar loftræsikerfa Apríl 009 Stillingar loftræsikerfa Höfundar: og Útgefandi: IÐAN fræðslusetur ehf IÐAN fræðslusetur Skúlatúni 105 Reykjavík Fyrsta útgáfa 004 Önnur útgáfa 008 Þriðja útgáfa 009

Διαβάστε περισσότερα

Í Háaleitisskóla leggjum við áherslu á að vinna með grunnþætti menntunar á eftirfarandi hátt:

Í Háaleitisskóla leggjum við áherslu á að vinna með grunnþætti menntunar á eftirfarandi hátt: Í Háaleitisskóla leggjum við áherslu á að vinna með grunnþætti menntunar á eftirfarandi hátt: Læsi felst í færni nemenda í því að nota mörg táknkerfi og miðla til þess að skapa merkingu og koma henni á

Διαβάστε περισσότερα

Nemendakönnun: Skýrsla um niðurstöður

Nemendakönnun: Skýrsla um niðurstöður Nemendakönnun: Skýrsla um niðurstöður Spjaldtölvuverkefni í Norðlingaskóla - mat nemenda Niðurstöður kannana í lok skólaárs 212 og 213 Sólveig Jakobsdóttir og Skúlína Kjartansdóttir Í þessari skýrslu er

Διαβάστε περισσότερα

Iðjuþjálfun LIE0103 Hrefna Óskarsd.

Iðjuþjálfun LIE0103 Hrefna Óskarsd. Intraplural fluid alveoli P atm = O mmhg P alv P ip = P alv = O mmhg Lung elastic recoil 4 mmhg Chest wall P ip = -4 mmhg að anda inn og út. útöndun án mikils krafts, þ.e. af ákveðnu hlutleysi, og getum

Διαβάστε περισσότερα

Skilaverkefni 1. Skil á þriðjudaginn

Skilaverkefni 1. Skil á þriðjudaginn Nafn: Skilaverkefni 1 Skil á þriðjudaginn 1. Bíll ekur frá Reykjavík á Selfoss. Ferðin tekur 45 mínútur og vegalendin sem bíllinn fer er 50 Km. Hver er meðalhraði bílsins á leiðinni í m/s og Km/klst? 2.

Διαβάστε περισσότερα

Borðaskipan í þéttefni

Borðaskipan í þéttefni Eðlisfræði þéttefnis I: Borðaskipan í þéttefni Kafli 7 Jón Tómas Guðmundsson tumi@hi.is 8. vika haust 2017 1 Inngangur Sú nálgun sem gerð var með einnar rafeindar nálguninni og með því að gera ráð fyrir

Διαβάστε περισσότερα

ÁFANGALÝSINGAR 2. ÁRS

ÁFANGALÝSINGAR 2. ÁRS ÁFANGALÝSINGAR 2. ÁRS 2016-2017 Áfangalýsingar 2016-2017 2. ár Bls 1 af 44 EFNISYFIRLIT BÓKFÆRSLA... 4 ÁFANGI: BÓKF2BT05... 4 EÐLISFRÆÐI... 5 ÁFANGI: EÐLI2DL05... 5 ÁFANGI: EÐLI2BY05... 6 EFNAFRÆÐI...

Διαβάστε περισσότερα

Aðskilnaður breytistærða í rúmi

Aðskilnaður breytistærða í rúmi Kai 9 Aðskinaður breytistærða í rúmi 9.1 Bygjujafna í skífu 2 u = c 2 2 u, x 2 + y 2 < a 2 t 2 js: u = 0, x 2 + y 2 = a 2 us: u u t=0 = ϕ, = ψ t=0 t 9.1) Geymum upphafsskiyrðin us) beitum aðskinaði breytistærða

Διαβάστε περισσότερα

Skýrsla nefndar um stefnumótun í íþróttum stúlkna og kvenna. í samræmi við þingsályktun sem samþykkt var á Alþingi 4. júní 1996

Skýrsla nefndar um stefnumótun í íþróttum stúlkna og kvenna. í samræmi við þingsályktun sem samþykkt var á Alþingi 4. júní 1996 Skýrsla nefndar um stefnumótun í íþróttum stúlkna og kvenna í samræmi við þingsályktun sem samþykkt var á Alþingi 4. júní 1996 Efnisyfirlit Formáli...3 Inngangur...4 Niðurstöður...5 Kynjaskipting í forystu

Διαβάστε περισσότερα

Ólöf S. Björnsdóttir, Sólveig Friðriksdóttir Dr. Sigurlína Davíðsdóttir. Nám og UT-færni. Niðurstöður úr könnunum um upplýsingatækni og tölvunotkun

Ólöf S. Björnsdóttir, Sólveig Friðriksdóttir Dr. Sigurlína Davíðsdóttir. Nám og UT-færni. Niðurstöður úr könnunum um upplýsingatækni og tölvunotkun Ólöf S. Björnsdóttir, Sólveig Friðriksdóttir Dr. Sigurlína Davíðsdóttir Nám og UT-færni Niðurstöður úr könnunum um upplýsingatækni og tölvunotkun Kannanir lagðar fyrir í: Fjölbrautaskólanum í Breiðholti

Διαβάστε περισσότερα

Geisli. Kennsluleiðbeiningar. Geisli 1A Lausnir Námsgagnastofnun

Geisli. Kennsluleiðbeiningar. Geisli 1A Lausnir Námsgagnastofnun Geisli Kennsluleiðbeiningar apríl 2011 Efnisyfirlit Um náms efn i... 3 Sk r ing ar á tákn um í nem enda efni... 5 Inn gang ur... 6 firaut ir... 10 Mæl ing ar... 15 Marg föld un og deil ing... 20 Rúm fræ

Διαβάστε περισσότερα

Að setja fastan og kvikan texta í myndaglugga GeoGebru

Að setja fastan og kvikan texta í myndaglugga GeoGebru Að setja fastan og kvikan texta í myndaglugga GeoGebru Vinnublað 5 Judith og Markus Hohenwarter www.geogebra.org Íslensk þýðing: ágúst 2010 Þýðendur Freyja Hreinsdóttir Guðrún Margrét Jónsdóttir Nanna

Διαβάστε περισσότερα

Tölfræði II Samantekt vor 2010

Tölfræði II Samantekt vor 2010 Tölfræði II Samatekt vor 00 Ályktuartölfræði Hvað er ályktuartölfræði (iferetial statistics)? Öryggisbil (cofidece iterval) Marktektarpróf Ályktuartölfræði: Hverig er öryggisbil reikað? Gerum ráð áðfyrir

Διαβάστε περισσότερα

Samgöngustofa. Skoðunarhandbók ökutækja Skjal: Formáli Útgáfunúmer: 20 Almenn atriði Dags.:

Samgöngustofa. Skoðunarhandbók ökutækja Skjal: Formáli Útgáfunúmer: 20 Almenn atriði Dags.: Samgöngustofa. Skoðunarhandbók ökutækja Skjal: 1-1-01-1 Almenn atriði Dags.: 15.05.2017 1 Skynbúnaður 2 Hreyfill og fylgibúnaður 3 Yfirbygging 4 Stýrisbúnaður 5 Burðarvirki 6 Hjólabúnaður 7 Aflrás 8 Hemlabúnaður

Διαβάστε περισσότερα

GPS-mælingar á Hengilssvæði í apríl og maí 2003

GPS-mælingar á Hengilssvæði í apríl og maí 2003 ORKUSTOFNUN Rannsóknasvið Verknr. 8 730 014 Nesjavallaveita GPS-mælingar á Hengilssvæði í apríl og maí 2003 Gunnar Þorbergsson Unnið fyrir Orkuveitu Reykjavíkur OS-2003-033 Júní 2003 ORKUSTOFNUN RANNSÓKNASVIÐ

Διαβάστε περισσότερα

FYLGISEÐILL FYRIR. PHENOLEPTIL 100 mg töflur fyrir hunda

FYLGISEÐILL FYRIR. PHENOLEPTIL 100 mg töflur fyrir hunda FYLGISEÐILL FYRIR PHENOLEPTIL 100 mg töflur fyrir hunda 1. HEITI OG HEIMILISFANG MARKAÐSLEYFISHAFA OG ÞESS FRAMLEIÐANDA SEM BER ÁBYRGÐ Á LOKASAMÞYKKT, EF ANNAR Markaðsleyfishafi: Nafn: Le Vet B.V. Heimilisfang:

Διαβάστε περισσότερα

Efnisyfirlit INNGANGUR MARKAÐSSETNING / MARKAÐSFÆRSLA, STUTT YFIRLIT Markaðsáherslan... 8

Efnisyfirlit INNGANGUR MARKAÐSSETNING / MARKAÐSFÆRSLA, STUTT YFIRLIT Markaðsáherslan... 8 Efnisyfirlit INNGANGUR... 7 1. MARKAÐSSETNING / MARKAÐSFÆRSLA, STUTT YFIRLIT... 8 1.1. Markaðsáherslan... 8 1.2. Ákvarðanir tengdar markaðsfærslu:... 8 1.2.1. Val markhópa... 9 1.2.2. Samval söluráða...

Διαβάστε περισσότερα

CHEMISTRY. Eðli orkunnar. Kafli 5 Varmaefnafræði. Hiti-varmi. MR efnafræði í 4. bekk. The Central Science 9th Edition. David P.

CHEMISTRY. Eðli orkunnar. Kafli 5 Varmaefnafræði. Hiti-varmi. MR efnafræði í 4. bekk. The Central Science 9th Edition. David P. CHEMISTRY The Central Science 9th Edition Kafli 5 Varmaefnafræði David P. White Hreyfiorka(skriðorka) og stöðuorka Hreyfiorka er orka hreyfingar. Ek = 1 mv Stöðuorka er orkan sem fólgin er í stöðu. Stöðuorku

Διαβάστε περισσότερα

BLDC mótorstýring. Lokaverkefni í rafmagnstæknifræði BSc. Halldór Guðni Sigvaldason

BLDC mótorstýring. Lokaverkefni í rafmagnstæknifræði BSc. Halldór Guðni Sigvaldason BLDC mótorstýring Halldór Guðni Sigvaldason Lokaverkefni í rafmagnstæknifræði BSc 2014 Höfundur: Halldór Guðni Sigvaldason Kennitala: 201266-2979 Leiðbeinandi: Baldur Þorgilsson Tækni- og verkfræðideild

Διαβάστε περισσότερα

Kafli 1: Tímastuðull RC liður. Dæmi 1.1 A: 3,3ms B: 7,56V Dæmi 1.2 A: 425µF B: 1s Dæmi 1.3 A: 34,38V B: 48,1V Dæmi 1.4 A: 59,38s

Kafli 1: Tímastuðull RC liður. Dæmi 1.1 A: 3,3ms B: 7,56V Dæmi 1.2 A: 425µF B: 1s Dæmi 1.3 A: 34,38V B: 48,1V Dæmi 1.4 A: 59,38s Kafli 1: Tímastuðull RC liður Dæmi 1.1 A: 3,3ms B: 7,56V Dæmi 1.2 A: 425µF B: 1s Dæmi 1.3 A: 34,38V B: 48,1V Dæmi 1.4 A: 59,38s Kafli 2: NTC, PTC, LDR, VDR viðnám Dæmi 2.1 A: Frá vinstri: NTC viðnám, VDR

Διαβάστε περισσότερα

ÞRAUTIR RÖKHUGSUN STÆRÐFRÆÐI

ÞRAUTIR RÖKHUGSUN STÆRÐFRÆÐI STÆRÐFRÆÐI ÞRAUTIR RÖKHUGSUN Á eftirfarandi síðum eru fjölbreyttar þrautir eða rökhugsunarverkefni sem ætluð eru nemendum grunnskóla. Efnið hentar einkum nemendum á mið- og unglingastigi. Það hefur verið

Διαβάστε περισσότερα

SAMANTEKT Á EIGINLEIKUM LYFS. Hver húðuð tafla inniheldur 2 mg af cyproteronacetati og 0,035 mg (35 míkrógrömm) af etinylestradioli sem virk efni.

SAMANTEKT Á EIGINLEIKUM LYFS. Hver húðuð tafla inniheldur 2 mg af cyproteronacetati og 0,035 mg (35 míkrógrömm) af etinylestradioli sem virk efni. SAMANTEKT Á EIGINLEIKUM LYFS 1. HEITI LYFS Cypretyl 2 mg/35 míkrógrömm húðaðar töflur. 2. INNIHALDSLÝSING Hver húðuð tafla inniheldur 2 mg af cyproteronacetati og 0,035 mg (35 míkrógrömm) af etinylestradioli

Διαβάστε περισσότερα

C Q T. þessu blaði. 5. tbl. 23. árg. des. 2005

C Q T. þessu blaði. 5. tbl. 23. árg. des. 2005 C Q T F Í Þeir félagar Ársæll TF3AO og Bjarni TF3GB tóku þátt í CQ WW RTTY keppninni vestur í Otradal hjá Þorvaldi TF4M. Sjá nánar í grein í blaðinu. Myndina tók Þorvaldur Stefánsson TF4M þessu blaði 5.

Διαβάστε περισσότερα

11979 H: Lögum um aðildarskilmála og aðlögun að sáttmálunum aðild Lýðveldisins Grikklands (Stjtíð. EB L 291, , bls. 17),

11979 H: Lögum um aðildarskilmála og aðlögun að sáttmálunum aðild Lýðveldisins Grikklands (Stjtíð. EB L 291, , bls. 17), 4. FÉLAGARÉTTUR A. FÉLAGARÉTTUR 1. 31968 L 0151: Fyrsta tilskipun ráðsins 68/151/EBE frá 9. mars 1968 um samræmingu verndarráðstafana, sem ætlað er að vera jafngildar í bandalaginu og aðildarríki krefjast

Διαβάστε περισσότερα

Meistararitgerð. Verðlagning langlífisáhættu

Meistararitgerð. Verðlagning langlífisáhættu Meistararitgerð í hagfræði Verðlagning langlífisáhættu Rafn Sigurðsson Hagfræðideild Háskóla Íslands Leiðbeinendur: Helgi Tómasson, Birgir Hrafnkelsson Júní 2010 Útdráttur Í fyrri hluta verkefnisins er

Διαβάστε περισσότερα

Fyrir að eða fyrir því að?

Fyrir að eða fyrir því að? Háskóli Íslands Hugvísindasvið Íslenska sem annað mál Fyrir að eða fyrir því að? Um fornöfn í forsetningarliðum sem innleiða setningar Ritgerð til BA-prófs í íslensku sem öðru máli Mirko Garofalo Kt.:

Διαβάστε περισσότερα

Fylgiseðill: Upplýsingar fyrir notanda lyfsins

Fylgiseðill: Upplýsingar fyrir notanda lyfsins Fylgiseðill: Upplýsingar fyrir notanda lyfsins Rabeprazol Medical Valley 10 mg magasýruþolnar töflur Rabeprazol Medical Valley 20 mg magasýruþolnar töflur rabeprazolnatríum Lesið allan fylgiseðilinn vandlega

Διαβάστε περισσότερα

GeoGebruhjálp Handbók með útgáfu 3.2

GeoGebruhjálp Handbók með útgáfu 3.2 GeoGebruhjálp Handbók með útgáfu 3.2 2 Markus Hohenwarter og Judith Hohenwarter www.geogebra.org Handbók GeoGebra 3.2 Höfundar Markus Hohenwarter, markus@geogebra.org Judith Hohenwarter, judith@geogebra.org

Διαβάστε περισσότερα

HÖNNUN BURÐARVIRKIS IÐNAÐARHÚSS SAMANBURÐUR Á MISMUNANDI BYGGINGAREFNUM

HÖNNUN BURÐARVIRKIS IÐNAÐARHÚSS SAMANBURÐUR Á MISMUNANDI BYGGINGAREFNUM HÖNNUN BURÐARVIRKIS IÐNAÐARHÚSS SAMANBURÐUR Á MISMUNANDI BYGGINGAREFNUM Lokaverkefni í byggingartæknifræði BSc 2014 Höfundur: Kennitala: 110981-3929 Torfi G.Sigurðsson Tækni- og verkfræðideild School of

Διαβάστε περισσότερα

SAMANTEKT Á EIGINLEIKUM LYFS

SAMANTEKT Á EIGINLEIKUM LYFS SAMANTEKT Á EIGINLEIKUM LYFS 1. HEITI DÝRALYFS PHENOLEPTIL 25 mg töflur handa hundum 2. INNIHALDSLÝSING Hver tafla inniheldur Virk innihaldsefni mg Fenóbarbital 25 Hjálparefni: Sjá lista yfir öll hjálparefni

Διαβάστε περισσότερα

ÞÁTTTAKA Í FRÆÐSLU Á ÍSLANDI

ÞÁTTTAKA Í FRÆÐSLU Á ÍSLANDI ÞÁTTTAKA Í FRÆÐSLU Á ÍSLANDI NIÐURSTÖÐUR ÚR VINNUMARKAÐSRANNSÓKN HAGSTOFUNNAR 2003 Jón Torfi Jónasson Andrea Gerður Dofradóttir 2009 2009 Höfundar ISBN 978-9979-9847-9-5 Öll réttindi áskilin. Rit þetta

Διαβάστε περισσότερα

HEILSUSTEFNA HÁSKÓLANS Í REYKJAVÍK. - greinargerð vinnuhóps

HEILSUSTEFNA HÁSKÓLANS Í REYKJAVÍK. - greinargerð vinnuhóps HEILSUSTEFNA HÁSKÓLANS Í REYKJAVÍK - greinargerð vinnuhóps Birna Baldursdóttir, KLD Janúar 2010 EFNISYFIRLIT Inngangur... 3 Um vinnulag við mótun heilsustefnu HR... 4 Helstu niðurstöður úr heilsukönnun

Διαβάστε περισσότερα

REGLUGERÐ FRAMKVÆMDASTJÓRNARINNAR (ESB) nr. 1228/2014. frá 17. nóvember 2014

REGLUGERÐ FRAMKVÆMDASTJÓRNARINNAR (ESB) nr. 1228/2014. frá 17. nóvember 2014 Nr. 23/270 EES-viðbætir við Stjórnartíðindi Evrópusambandsins 23.4.2015 REGLUGERÐ FRAMKVÆMDASTJÓRNARINNAR (ESB) nr. 1228/2014 2015/EES/23/41 frá 17. nóvember 2014 um veitingu og synjun leyfis fyrir tilteknum

Διαβάστε περισσότερα

Hugvísindasvið. Íðorð í jarðfræði. Orðmyndun og notkun. Ritgerð til BA-prófs. Fabio Teixidó

Hugvísindasvið. Íðorð í jarðfræði. Orðmyndun og notkun. Ritgerð til BA-prófs. Fabio Teixidó Hugvísindasvið Íðorð í jarðfræði Orðmyndun og notkun Ritgerð til BA-prófs Fabio Teixidó Maí 2012 Háskóli Íslands Hugvísindasvið Íslenska sem annað mál Íðorð í jarðfræði Orðmyndun og notkun Ritgerð til

Διαβάστε περισσότερα

Kafli 4 Línulegur kraftur og hreyfing

Kafli 4 Línulegur kraftur og hreyfing Kafli 4 Línulegur kraftur og hreyfing Kraftur (force) Ytri og innri kraftar. Við þurfum að beita miklum innri kröftum til mótvægis við ytri krafta og mikið álag á þessa innri krafta getur valdið vefjaskemmdum.

Διαβάστε περισσότερα

Rit LbhÍ nr Áhrif aldurs áa, þunga, holda og framleiðsluára. á gagnasafni Hestbúsins

Rit LbhÍ nr Áhrif aldurs áa, þunga, holda og framleiðsluára. á gagnasafni Hestbúsins Rit LbhÍ nr. 110 Áhrif aldurs áa, þunga, holda og framleiðsluára á frjósemi áagreining á gagnasafni Hestbúsins 2002-2013 Jóhannes Sveinbjörnsson Emma Eyþórsdóttir Eyjólfur K. Örnólfsson 2018 Rit LbhÍ nr.

Διαβάστε περισσότερα

VIÐAUKI I SAMANTEKT Á EIGINLEIKUM LYFS

VIÐAUKI I SAMANTEKT Á EIGINLEIKUM LYFS VIÐAUKI I SAMANTEKT Á EIGINLEIKUM LYFS 1 1. HEITI LYFS Cystadane 1 g duft til inntöku 2. INNIHALDSLÝSING 1 g af dufti inniheldur 1 g af vatnsfríu betaíni. Sjá lista yfir öll hjálparefni í kafla 6.1. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Skýrsla LV nr: LV Dags: desember Titill: Landbrot á bökkum Hálslóns í Kringilsárrana úttekt 2017

Skýrsla LV nr: LV Dags: desember Titill: Landbrot á bökkum Hálslóns í Kringilsárrana úttekt 2017 Lykilsíða Skýrsla LV nr: LV-2017-103 Dags: desember 2017 Fjöldi síðna: 15 Upplag: Dreifing: Birt á vef LV Opin Takmörkuð til Titill: Landbrot á bökkum Hálslóns í Kringilsárrana úttekt 2017 Höfundar/fyrirtæki:

Διαβάστε περισσότερα

Fylgiseðill: Upplýsingar fyrir notanda lyfsins. Daivobet 50 míkrógrömm/0,5 mg/g smyrsli. kalsípótríól/betametasón

Fylgiseðill: Upplýsingar fyrir notanda lyfsins. Daivobet 50 míkrógrömm/0,5 mg/g smyrsli. kalsípótríól/betametasón Fylgiseðill: Upplýsingar fyrir notanda lyfsins Daivobet 50 míkrógrömm/0,5 mg/g smyrsli kalsípótríól/betametasón Lesið allan fylgiseðilinn vandlega áður en byrjað er að nota lyfið. Í honum eru mikilvægar

Διαβάστε περισσότερα

SAMANTEKT Á EIGINLEIKUM LYFS. Hver tafla inniheldur 2,0 mg af cýpróterónacetati og 35 míkrógrömm af etinýlestradíóli.

SAMANTEKT Á EIGINLEIKUM LYFS. Hver tafla inniheldur 2,0 mg af cýpróterónacetati og 35 míkrógrömm af etinýlestradíóli. SAMANTEKT Á EIGINLEIKUM LYFS 1. HEITI LYFS Diane mite filmuhúðaðar töflur. 2. INNIHALDSLÝSING Hver tafla inniheldur 2,0 mg af cýpróterónacetati og 35 míkrógrömm af etinýlestradíóli. Hver tafla inniheldur

Διαβάστε περισσότερα

Eðlisfræði II: Riðstraumur. Kafli 11. Jón Tómas Guðmundsson 10. vika vor 2016

Eðlisfræði II: Riðstraumur. Kafli 11. Jón Tómas Guðmundsson 10. vika vor 2016 Eðlisfræði II: Riðstraumur Kafli 11 Jón Tómas Guðmundsson tumi@hi.is 10. vika vor 2016 1 Inngangur Grafið sem sýnir augnabliksgildi rafmerkis sem fall af tíma er nefnt bylgjuform merkis Gjarnan eru bylgjuform

Διαβάστε περισσότερα

Fylgiseðill: Upplýsingar fyrir notanda lyfsins. Daivobet 50 míkrógrömm/0,5 mg/g hlaup. kalsípótríól/betametasón

Fylgiseðill: Upplýsingar fyrir notanda lyfsins. Daivobet 50 míkrógrömm/0,5 mg/g hlaup. kalsípótríól/betametasón Fylgiseðill: Upplýsingar fyrir notanda lyfsins Daivobet 50 míkrógrömm/0,5 mg/g hlaup kalsípótríól/betametasón Lesið allan fylgiseðilinn vandlega áður en byrjað er að nota lyfið. Í honum eru mikilvægar

Διαβάστε περισσότερα

FYLGISEÐILL. Dorbene Vet 1 mg/ml stungulyf, lausn fyrir hunda og ketti.

FYLGISEÐILL. Dorbene Vet 1 mg/ml stungulyf, lausn fyrir hunda og ketti. FYLGISEÐILL Dorbene Vet 1 mg/ml stungulyf, lausn fyrir hunda og ketti 1. HEITI OG HEIMILISFANG HANDHAFA MARKAÐSLEYFIS OG ÞESS FRAMLEIÐANDA SEM BER ÁBYRGÐ Á LOKASAMÞYKKT, EF ANNAR Laboratorios SYVA S.A.U.,

Διαβάστε περισσότερα