PRÓFBÚÐIR Í LÍNULEGRI ALGEBRU VIÐ HR VOR 2014 HERKÚLES

Transcript

1 PRÓFBÚÐIR Í LÍNULEGRI ALGEBRU VIÐ HR VOR 2014 HERKÚLES GUÐMUNDUR EINARSSON Herkúles Prófbúðir April 8, / 52

2 OUTLINE 1 Grunnhugtök, einfaldar aðgerðir og innfeldi Grunnhugtök Innfeldi Jafna Línu og Plans 2 Línuleg Jöfnuhneppi 3 Hæði og Óhæði 4 Fylki 5 Fylkja-andhverfa 6 Hlutrúm og grunnar 7 Línulegar varpanir 8 Eigingildi og eiginvigrar 9 Ákveður 10 Ámóta fylki 11 Hornrétt mengi 12 Almenn Vigurrúm 2 / 52

3 GRUNNAÐGERÐIR MEÐ VIGRUM (1) Samlagning Fyrir tvo dálkvigra v, u R n er summa þeirra vigurinn: u 1 v 1 u 1 + v 1 u 2 u + v =. + v 2. = u 2 + v 2. u n v n u n + v n Skoðum nú eitt slíkt dæmi myndrænt á töflunni fyrir vigra í R 2 3 / 52

4 GRUNNAÐGERÐIR MEÐ VIGRUM (2) Margföldun með skalar/rauntölu Við getum margfaldað vigur u R n með rauntölu a R n : u 1 a u 1 u 2 a u = a. = a u 2. u n a u n Skoðum hvernig slík margföldun lítur út rúmfræðilega í R 2 á töflunni. 4 / 52

5 VIGUR FRÁ PUNKTI A Í PUNKT B Fyrir tvo gefna punkta A, B R n, hvernig finnum við vigurinn frá A til B? Frá A til B Gerum ráð fyrir að punktarnir hafi hnit A = (a 1, a 2,..., a n ) t og B = (b 1, b 2,..., b n ) t. Þegar við lítum á punkta sem vigra þá skrifum við oft OA og OB, sem þýðir einfaldlega vigurinn frá núllpunktinum í A og B. Vigurinn frá A til B er þá: AB = AO + OB = OA + OB = OB OA Skoðum nú slíkt dæmi á töflunni, hvernig finnum við vigurinn frá B til A? 5 / 52

6 REIKNIREGLUR FYRIR VIGRA Athugum að helstu reiknireglur gilda áfram, samanber víxlregla samlagningar, tengiregla samlagningar o.s.frv. Við þurfum samt að passa okkur að sýna að þessar reglur gilda en ekki gera bara ráð fyrir að útreikningar séu eins og með rauntölur. 6 / 52

7 INNFELDI (e.dot product) Við getum ekki almennt skilgreint margfeldi fyrir vigra í R n, það sem kemst hinsvegar nálægt því er innfeldi: Innfeldi Látum u, v R n, þá er innfeldi u og v skilgreint sem: u v = u 1 v 1 + u 2 v u n v n Athugum að þegar við innfeldum saman tvo vigra þá er útkoman tala, en ekki annar vigur. Skoðum einföld dæmi á töflunni. 7 / 52

8 REIKNIREGLUR FYRIR INNFELDI u v = v u, víxlregla. u (v + w) = u v + u w, dreifiregla. (cu) v = c(u v) u u 0 og u u = 0 þá og því aðeins að u = 0. Aftur eru þetta reglur sem þarf að sanna og ekki bara hægt að ganga útfrá! Innfeldið gefur okkur nokkrar mikilvægar reiknireglur! 8 / 52

9 LENGD VIGURS Notum innfeldið til að skilgreina lengd vigurs u R n Lengd vigurs Lengd vigurs u er skilgreind sem jákvæða rauntalan: u = u u = u u u2 n Tökum nokkur dæmi á töflunni! Hvaða vigur hefur lengd 0? Athugum einnig að: cu = c u 9 / 52

10 EININGARVIGRAR Einingarvigur Vigur u er sagður vera einingarvigur ef u = 1. Fyrir gefin vigur v getum við fundið einingarvigur í sömu stefnu, en það er vigurinn 1 v v. Venjulegu einingarvigrarnir eru táknaðir e 1, e 2,..., e n. Skoðum þá á töflunni. 10 / 52

11 TVÆR MIKILVÆGAR ÓJÖFNUR (1) Cauchy-Schwarz ójafnan Fyrir öll pör u, v R n gildir u v u v 11 / 52

12 TVÆR MIKILVÆGAR ÓJÖFNUR (2) Þríhyrningsójafnan Fyrir öll pör u, v R n gildir u + v u + v Auðvelt er að sjá fyrir sér að þetta gildi í R 2 og R / 52

13 FJARLÆGÐ MILLI TVEGGJA VIGRA Fjarlægð Fyrir öll pör u, v R n er fjarlægðin frá frá u til v: d(u, v) = u v Skoðum þetta á töflunni, látum báða vigrana byrja í núllpunktinum. 13 / 52

14 HORN MILLI TVEGGJA VIGRA Horn milli vigra Fyrir öll pör u, v R n \ {0} má finna hornið milli u og v með: cos(θ) = u v u v Athugum að við þurfum síðan andhverfu cos til að reikna sjálft hornið. Athugum sérstaklega að tveir vigrar eru hornréttir ef innfeldi þeirra er / 52

15 ALMENN PÝÞAGÓRASARREGLA Pýþagóras Fyrir u, v R n gildir að u + v 2 = u 2 + v 2 þá og því aðeins að u og v séu hornréttir. 15 / 52

16 OFANVARP Í R n Ofanvarp vigurs v á u Fyrir u, v R n þannig að u 0, þá er ofanvarp vigursins v á vigurinn u skilgreint sem: ( u v ) proj u (v) = u u u 16 / 52

17 JAFNA LÍNU OG PLANS Athugum að jafna línu er á forminu ax + by = c, við getum líka skrifað jöfnuna á stikaformi: x = p + td [ ] a n = er normalvigur línunnar og er hornréttur á hana, b d er stefnuvigur línunnar. Almennt séð er jafna línunnar n (x p) = 0 þar sem p er punktur á línunni. Þessa jöfnu má einnig nota til að skilgreina plön. Eins er jafna plans á forminu ax + by + cz = d og getum við líka ritað jöfnu plansins á stikaformi og notað almennu jöfnuna að ofan. Skoðum það á töflunni. 17 / 52

18 FJARLÆGÐ PUNKTS FRÁ LÍNU OG PLANI Fjarlægð punkts B frá línu l má reikna með formúlunni d(b, l) = v proj d (v) Hér er v = AB, þar sem A er einhver punktur á línunni og d er stefnuvigur línunnar. Eins er fjarlægð punkts B frá plani P d(b, P) = proj n ( AB) Þar sem A er einhver punktur í planinu og n er normalvigur á planið. 18 / 52

19 KROSSFELDI Athugum að krossfeldi er aðeins hægt að skilgreina í R 3, fyrir u, v R 3 skilgreinum við krossfeldi vigrana: u 2 v 3 u 3 v 2 u v = u 3 v 1 u 1 v 3 u 1 v 2 u 2 v 1 Útkoman er hornrétt á bæði u og v. 19 / 52

20 LÍNULEG JÖFNUHNEPPI Línulegt jöfnuhneppi er safn jafna af gerðinni: a 1 x 1 + a 1 x 2 + a n x n = b Við höfum áhuga á að finna lausn sem er sameiginleg öllum jöfnunum. Hvaða aðferð beitum við til þess? Hvaða aðgerðum má beita í aðferðinni?, 3 talsins. Skoðum tvö einföld dæmi. Hvernig túlkum við slík jöfnuhneppi rúmfræðilega? Hvað er aukið fylki? 20 / 52

21 LÍNULEG JÖFNUHNEPPI Við segjum að jöfnuhneppið sé óhliðrað ef allar jöfnurnar eru af gerðinni: a 1 x 1 + a 1 x 2 + a n x n = 0 Það er að segja hægri hliðin er alltaf 0. Slík jöfnuhneppi hafa alltaf að minnsta kosti eina lausn, hver er hún? 21 / 52

22 LÍNULEGT HÆÐI Hvað þýðir það að safn vigra sé línulega óháð? En línulega háð? Hvað þýðir það að safn vigra spanni eitthvað mengi? 22 / 52

23 LAUSN JÖFNUHNEPPA Athugum að hneppið [A b] hefur lausn þá og því aðeins að b liggi í spanni dálka A. Skoðum þetta aðeins betur. 23 / 52

24 AÐ STILLA EFNAJÖFNUR Skoðum dæmi með því að setja upp hneppi: wnh 3 + xo 2 yn 2 + zh 2 O 24 / 52

25 FYLKI Hvernig lítur m n fylki A út? Til eru nokkrar sérstakar gerðir af fylkjum, t.d. einingarfylki, ferningsfylki, hornalínufylki o.s.frv. Við getum lagt jafnstór fylki saman og margfaldað með skalar, eins og við gerum fyrir vigra. 25 / 52

26 FYLKJAMARGFÖLDUN Hvernig fylki er hægt að margfalda saman. Skoðum einfalda aðferð til að muna hvernig fylkjamargföldun virkar upp á töflu. Athugum að fylkjamargföldun er ekki víxlin! Hvað þýðir það? Hvað ef fylkin eru jafnstór? 26 / 52

27 BYLT FYLKI Hver er skilgreiningin á A T ef A er n m fylki? Hvað þýðir að fylki sé samhverft? Mikilvæg regla sem gleymist stundum er (AB) T = B T A T 27 / 52

28 ANDHVERFA n n-fylkja Hvað þýðir að n n-fylki A hafi andhverfu? Hvernig má leysa hneppið A x = b með andhverfu? Er andhverfan alltaf til? Formúla fyrir 2 2 fylki sem vert er að muna, ath reglan gildir ekki ef ad bc = 0, þá er andhverfan ekki til. Hvað er ad bc? [ ] 1 A 1 a b = = c d 1 ad bc [ d ] b c a 28 / 52

29 GRUNNFYLKI Grunnfylki eru fylki sem margfölduð við önnur fylki framkvæma leyfilega línuaðgerð. Skoðum einfalt dæmi. 29 / 52

30 AÐ REIKNA ANDHVERFU Hvernig reiknum við andhverfu fylkja almennt? Skoðum einfalt dæmi þar semð við ryðjum [A I]. 30 / 52

31 HLUTRÚM Hlutrúm í R n er safn vigra S í R n sem uppfylla: Núllvigurinn er í S. Hlutrúmið er lokað undir samlagningu, þ.e.a.s. ef u, v S, þá er u + v S. Hlutrúmið er lokað undir margföldun með skalar, þ.e.a.s. ef u S og c R, þá er cu S. 31 / 52

32 DÆMI UM HLUTRÚM Lína sem fer í gegnum núllpunktinn í R 2. Lína sem fer í gegnum núllpunktinn í R 3. Plan sem fer í gegnum núllpunktinn í R 3. Span af vigrum. Dálkrúm fylkis er span dálkvigra þess. Línurúm fylkis er span línuvigra þess. 32 / 52

33 MIKILVÆGT HLUTRÚM Núllrúm n m fylkis A samanstendur af öllum lausnum hneppisins Ax = 0 og er hlutrúm í R n. 33 / 52

34 ÞRJÚ TILFELLI Við lausn á línulegu jöfnuhneppi Ax = b geta komið upp þrjú tilfelli: Engin lausn er á hneppinu. Það er nákvæmlega ein lausn. Það eru óendanlega margar lausnir. Hvernig má sjá þetta fyrir sér rúmfræðilega? 34 / 52

35 GRUNNAR Grunnur fyrir R n er mengi vigra sem spannar R n og er línulega óháð. Allir grunnar hafa jafnmörg stök. Fjöldi staka í grunni er kallaður vídd rúmsins. 35 / 52

36 MIKILVÆG SETNING Fyrir m n fylki A gildir að rank(a) + nullity(a) = n Það sem rank(a) er dálk- og línuvídd A, en nullity(a) er vídd núllrúmsins (hvað var aftur núllrúm?). 36 / 52

37 HNIT MEÐ TILLITI TIL GRUNNS Látum S vera hlutrúm í R n og B = {v 1, v 2,..., v k } vera grunn fyrir S. Fyrir sérhvert v S er til nákvæmlega ein leið til þess að rita v sem línulega samantekt af grunnvigrunum: v = c 1 v 1 + c 2 v c k v k c 1, c 2,..., c k eru þá hnit v m.t.t. grunnsins B og c 1 c 2 [v] B =. kallast hnitavigur v m.t.t grunnsins B. c k 37 / 52

38 LÍNULEGAR VARPANIR Vörpun T : R n R m er sögð línuleg ef T (u + v) = T (u) + T (v) fyrir öll u, v R n. T (cu) = ct (u) fyrir alla u R n og skalara c. Það að margfalda vigur með fylki er línuleg vörpun. 38 / 52

39 LÍNULEGAR VARPANIR Línuleg vörpun ákvarðast fullkomlega af því hvað hún gerir við grunnvigra Við getum þá fundið fylki vörpunarinnar m.t.t. venjulega grunnsins. Við getum skeytt línulegum vörpunum saman, það má líka gera með fylkjamargföldun. 39 / 52

40 EIGINGILDI Látum A vera n n fylki. Skalar λ kallast eigingildi A ef til er vigur x 0 þannig að Ax = λx. Slíkur vigur x kallast eiginvigur A sem tilheyrir eigingildinu λ. 40 / 52

41 EIGINRÚM Allir eiginvigrar sem tilheyra eigingildinu λ ásamt núllvigrinum mynda eiginrúm λ sem er táknað E λ. 41 / 52

42 ÁKVEÐUR Ákveður er einingis hægt að reikna fyrir n n fylki. Skoðum nú leiðir til að reikna þær fyrir 2 2 og 3 3 fylki. Einnig má benda á að ákveða þríhyrningsfylkis er bara margfeldi hornalínustakanna. 42 / 52

43 ÁKVEÐUR n n Látum A vera n n fylki. Þá er ákveða A skalarinn: det A = a 11 det A 11 a 12 det A ( 1) 1+n a 1n det A 1n n = ( 1) 1+j a 1j det A 1j j=1 Hér liðum við eftir fyrstu línu, við getum liðað eftir hvaða dálki eða línu sem er. 43 / 52

44 ÁKVEÐUR NOKKRAR REGLUR det(eb) = (det(e))(det(b)) Ferningsfylki A er andhverfanlegt þá og því aðeins að det(a) 0. det(ka) = k n det(a) det(a 1 ) = 1 det(a) det(a) = det(a T ) 44 / 52

45 REGLA CRAMER Skoðum þessa reglu ef hún kemur fyrir á gömlu prófi. 45 / 52

46 HVERNIG FINNIUM VIÐ EIGINGILDI? Eigingildi n n fylkis A eru lausnir á jöfnunni det(a λi) = 0 Þessi jafna kallast kennijafna A og margliðan vinstra megin jafnaðarmerkisins nefnist kennimargliða A. 46 / 52

47 MIKILVÆG REGLA Ferningsfylki er andhverfanlegt þá og því aðeins að núll sé ekki eigingildi þess. 47 / 52

48 ÁMÓTA FYLKI Látum A og B vera n n fylki. Við segjum að A sé ámóta B ef það er til andhverfanlegt n n fylki P þannig að P 1 AP = B. Ef A er ámóta B þá ritum við A B. det(a) = det(b). A er andhverfanlegt þá og því aðeins að B sé það. A og B hafa sama rank. A og B hafa sömu kennimargliðu. A og B hafa sömu eigingildi. 48 / 52

49 HORNALÍNUGERANLEG FYLKI n n fylki A er sagt vera hornalínugeranlegt ef til er hornalínufylki D þannig að A D. A er hornalínugeranlegt þá og því aðeins að það hafi n línulega óháða eiginvigra. Ef við getum ritað P 1 AP = D, þá eru dálkar P eiginvigrar A og eigingildin í sömu röð á hornalínu D. Ef A hefur n ólík eigingildi, þá er það hornalínugeranlegt. 49 / 52

50 HORNRÉTT MENGI Mengi vigra {v 1, v 2,..., v k } er sagt vera hornrétt ef fyrir öll pör i, j, þannig að i j gildi að v i v j = 0. Ef enginn af vigrunum er núllvigurinn, þá eru þeir línulega óháðir. Hornréttur grunnur er hornrétt mengi sem spannar allt rúmið. Við segjum að grunnur sé staðlaður ef allir grunnvigrarnir hafa lengd 1. Ef dálkvigrar fylkis Q samanstanda af þverstöðluðum vigrum, þá segjum við að fylkið sé þverstaðlað. 50 / 52

51 ÞVERSTÖÐLUÐ FYLKI Þverstöðluð fylki hafa nokkra mikilvæga eiginleika: Qx = x fyrir öll x R n Qx Qy = x y. Q T er líka þverstaðlað. Q 1 = Q T. det(q) = ±1. Ef λ er eigingildi Q, þá er λ = 1. Ef Q 1 og Q 2 eru þverstöðluð fylki, þá er Q 1 Q 2 það líka. 51 / 52

52 ALMENN VIGURRÚM Hingað til hafa einu vigurrúmin sem við höfum talað um verið R n. Önnur dæmi eru: Margliður af stigi n. Fylkjarúm. Fallarúm. Tvinntölur. 52 / 52