СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ 8.. Линеарна једначина с две непознате Упознали смо појам линеарног израза са једном непознатом. Изрази x + 4; (x 4) + 5; x; су линеарни изрази. Слично, линеарни изрази са две непознате су: ) A(x, ) = x + + 6 ) B(x, ) = x + 5( ) + 7; ) D(x, ) = (x + 4) + 5(x + 5) + 6. Први израз је сређен. После сређивања другог израза (користи својства рачунских операција и својства једнакости) добијамо да је B(x, ) = x + 5. Среди израз D(x, ) на облик ax + b + c. У случају израза A(x, ) је a =, b =, У случају израза B(x, ) је a =, b = 5, c =. Сваки израз који се може свести на облик a x + b + c где су a, b и c неки реални бројеви зове се линеарни израз са две променљиве x и. Тако су линеарни изрази 5x 4 + 7, - x+ +, - 0,56x+ + е, али и изрази 4 7 x + 0 + 5; 0 x + 4, тј. x + 5, 4 линеарни су изрази са две променљиве ( * ). Посматрајмо једначину A(x, ) = B(x, ) где су A и B линеарни изрази из примера и, тј. једначину x + + 6 = x + 5 7 (додавањем обема странама једначине израза x добијамо једначину 6 = x + која је еквивалентна с једначином 9 = x +, односно с једначином x + = 9 Ова једначина је једноставнија од полазне у погледу решавања. Слично би се проблем решавања једначине A(x, ) = D(x, ) где су A и D линеарни изрази из претходног примера свео на решавање линеарне једначине x + = (провери). Дакле, једначењем два линеарна израза добијаш једначину ax + b = c, где су a, b, c неки реални бројеви. * Примети да користимо некад реч променљива, а некада непозната. 7
За једначину облика ax + b = c, где су a, b и c неки реални бројеви кажемо да је линеарна једначина са две променљиве x и. Бројеве a и b зовемо коефицијентима уз непознате, а број c је слободан члан.. Одреди једначину облика ax + b = c еквивалентну датој: ) = 9 x; ) x = (5 ); ) (x ) = 5( + ) + x ; 4) x - = ; 5) x + 5 + - + = - ; 6) x + - = - x + 5 ^ - h. Решавали смо линеарну једначину с једном непознатом. Тако је решење једначине x + = 0 био број (она вредност непознате x чијом заменом једначина постаје тачна једнакост: + = 0). Линеарна једначина x + = 0 има две непознате. Које вредности оне могу имати тако да њиховом заменом у једначини она постаје тачна једнакост? Користећи претходну линеарну једначину с једном непознатом лако се види да ако x заменимо са, а са добићемо једнакост + = 0 која је тачна. Кажемо да је уређен пар (, ) решење једначине x + = 0. Одредимо још неки пар вредности које могу имати непознате x, односно ако је x број, а број 4 добијамо једнакост + 4 = 0 која је тачна. Уређен пар (, 4) је такође решење једначине x + = 0. Нађимо још неке вредности непознатих x и чијом заменом у датој једначини она постаје тачна једнакост. Попуни табелу: x 0... α Попуњавањем табеле добили смо да су уређени парови (, 7), ` ; 9 j, (0, 0) решења дате једначине јер су + 7 = 0, $ + 9 = 0 и 0 + 0 = 0 тачне једнакости. Кажемо да су уређени парови (, 7), ` ; 9 j, (0, 0) решења једначине x + = 0. Да ли је решење дате једначине уређен пар (, )? Заменом у једначини добијамо једнакост + = 0 која није тачна па кажемо да уређен пар (, ) није решење дате једначине. Провери да ли је уређен пар (, 7) решење дате једначине? Видимо да једначина x + = 0 има више решења? Можемо ли узети за x неку произвољну вредност α. Ако дату једначину решимо по добићемо једначину = 0 x, па ако је x = α, онда је = 0 α*. Заменом тих вредности у једначини добијамо једнакост α + 0 α = 0 која је тачна, па је уређен пар (α, 0 α) решење дате једначине. Скуп решења једначине x + = 0 је, дакле, скуп уређених парова (α, 0 α), α R. То означавамо овако: R(x + = 0) = {(α, 0 α), α R}. * Да ли си могао/ла уместо узети неку произвољну вредност, рецимо? А β? 0 - Из дате једначине је α =, па су парови 0 -, b ` j решења. 8
Шта геометријски представља скуп тих уређених парова? Једначину x + = 0 можемо записати у облику = 0 x. Тај запис, од раније нам је познат, означавао је и линеарну функцију чији је график била права. Нацртајмо ту праву. 0 9 8 7 6 5 4 (0,0) (,9) M(,7) (,7) N(,) (,4) (,) P(8,) 0 x Слика Тачке M, N и P не припадају графику функције = 0 x (сл. ). Уређени парови (, ), (, 7), (8, ) нису решења једначине x + = 0, односно једначине = 0 x. Кажемо да је уређен пар (α, β) решење линеарне једначине с две непознате ax + b = c, ако заменом x са α, а са β у датој једначини добијамо једнакост aα + bβ = c која је тачна. Скуп свих таквих уређених парова (α, β) јесте скуп решења једначине ax + b = c.. Реши једначину: x + = 9. Попуни прво табелу. x 0 α 0. ) Покажи да су решење једначине x+ = уређени парови (0, ) и (, 0). ) Сваки уређени пар облика a, 6 - a ` jје решење дате једначине. Покажи. Пример Решимо сада једначину 0 x + = 6. 9
Узмимо за x вредност, тада је 0 + = 6 = 6 =. Уређен пар (, ) јесте решење једначине. Ако x заменимо са α тада је 0 α + = 6 = 6 = па је уређен пар (α, ) решење дате једначине за ма које α R, а скуп решења једначине 0 x + = 6 је {(α, }. Одговарајућа табела била би x 0... α чији би график била права = (сл. ). 0 = x Слика 4. Реши једначину: ) 0 x = 5; ) x + 0 = 0. У претходним примерима видели смо да ако линеарна једначина с две непознате има бар једно решење, онда их има бесконачно и да је график скупа решења права. 5. Дате су линеарне једначине с две непознате: ) x 5 = 0; ) x = 0; ) x + =. За ове једначине попуни табелу: x 0 0 а затим нацртај график скупа решења. 6. Запиши скуп решења линеарне једначине с две променљиве (као скуп уређених парова). ) a + b = 7; ) m - n = 5; ) x - 5 + + = ; 40
4) 0 x + 5 = 0; 5)*, 0 x + 0 = 0. 7. Дата је функција = x +. ) Одреди неколико уређених двојки који су решења једначина = x +, односно једначине + x =, па нацртај график свих решења. ) Нађи бар два уређена пара која нису решења дате једначине. 8. Функција дата је у имплицитном облику, тј. једначином x = 4. ) Одреди нулу функције. ) Одреди коефицијенте пресечних тачака графика функције и координатних оса. ) Колико решења има једначина x = 4? 9.* Дата је линеарна једначина x + 0 = 5. ) Да ли уређен пар (5, ) јесте решење те једначине. А парови (5, 0); (5, );... (5, β), β R. ) Представи графички скуп решења те једначине. 0. У једначини = (k )x k одреди параметар k тако да уређена двојка ( ;,5) буде решење те једначине..* ) У једначини (m )x = m одреди параметар m тако да та функција дефинисана њоме има нулу за x =. ) За тај број m напиши једначину и пронађи њена три решења. 8.. Систем две линеарне једначине с две непознате Већ у млађим разредима решавао/ла си овакав задатак: Збир два броја је 9 а њихова разлика је. Који су то бројеви? Сналазили смо се тако што смо сабирајући збир и разлику два броја добијали двоструко већи број. Тако је онда већи број био 5, а мањи 4. Сада, језиком линеарних једначина с две непознате, имамо модел од две једначине с две непознате: x + = 9 и x =. Правимо табелу и за прву и за другу једначину. x + = 9: и x = : x 4 5 6 8 7 6 5 4 x 4 5 6 0 4 5 * Решавали смо једначину ax + b = c, осим у случају када су оба коефицијента (и a и b) једнака 0. Шта ако су оба нула? Да ли је пар (, ) решење једначине 0 x + 0 = 0, а пар (, 4) или пар (α, β), α, β R. Како је 0 α + 0 β= 0 за ма које вредности α и β R то једнакост 0 α + 0 β = 0 постаје нетачна, па је скуп решења дате једначине празан скуп. Слично, једначина 0 x + 0 = 0 за решење има сваки пар (α, β) где су α, β R. 4